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①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45……猜想与归纳归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
例2将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．例3下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.⑴根据题意，完成下表：⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？优化训练1． 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3S 2＝22（3）2＋1＝4 S 3＝32⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值．2． 观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中的小黑点的个数为y .A 6 … A 51 1 A 4 1 A 3 A 21 A 111 O S 1 S2 S3 S4 S 5图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B OA 1 CB 1C 1⑴ ⑵⑶⑷解答下列问题： ⑴填表：⑵当n ＝8时，y ＝ ___；⑶你能猜想y 与n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；⑷下边给出一种研究方法。
小学美术之10大找规律方法总结找规律方法对于小学生来说是学习美术的基础，通过找规律可以让小学生更好地理解和运用美术知识。
下面是小学美术之10大找规律方法总结：1.形状规律法：通过观察事物的形状和结构，找出其中的规律。
比如，画树叶时可以观察到一片树叶的基本形状是椭圆形，而树叶的边缘通常是锯齿状。
2.颜色规律法：观察事物的颜色分布和色调变化，找出其中的规律。
比如，画风景时可以注意到远处的山峰颜色较淡，逐渐变深近处的山峰颜色较暗。
3.空间规律法：通过观察事物在空间中的位置和排列，找出其中的规律。
比如，画一幅平面图时可以根据不同的前景、中景和背景元素进行合理的排列。
4.运动规律法：观察事物的动态特点和运动方式，找出其中的规律。
比如，画人物时可以观察到人物的肢体动作和姿态，把握人物的运动规律。
5.线条规律法：观察事物的线条特点和排列方式，找出其中的规律。
比如，画房子时可以注意到建筑物的线条通常是垂直和水平的，而天空的云朵的线条则是曲线的。
6.方向规律法：观察事物的方向和运动趋势，找出其中的规律。
比如，画风吹动的树叶时可以注意到树叶的运动方向通常是向上和向外。
7.材质规律法：观察事物的材质特点和纹理变化，找出其中的规律。
比如，画动物的皮毛时可以注意到不同部分的纹理和颜色是不同的。
8.比例规律法：观察事物各部分之间的比例大小关系，找出其中的规律。
比如，画人物时可以注意到不同部位的比例关系，如头的大小约占整个身体的1/79.表现规律法：观察事物的表现方式和特点，找出其中的规律。
比如，画太阳时可以运用暖色调和圆形来表现太阳的特征。
10.情感规律法：观察事物所表现的情感和情绪，找出其中的规律。
比如，画花时可以运用鲜艳的颜色和曲线的线条来表现花朵的美丽和柔和的感觉。
这些找规律方法可以帮助小学生更好地观察、理解和运用美术知识，提高他们的绘画技巧和表现能力。
通过不断练习和实践，小学生可以逐渐掌握这些方法，并在创作中运用到更高的水平。
归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2013•巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对应训练1．（2013•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
探索图形规律的方法总结一、规律探索型问题的分类1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式。
猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律。
它是发现和认识规律的重要手段。
平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律。
2、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。
解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查学生数形结合的数学思想。
二、规律探索型问题常用解法1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。
所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。
所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。
而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
如：一组按规律排列的式子：，，，，…()，其中第7个式子是，第个式子是(为正整数)。
分子和分母的底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一起加以比较，就很容易发现其中的奥秘。
2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多。
对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。
观察、猜想、规律
【李老师提醒】寻找规律是近年来中考必考题，主要考察大家的观察和猜想能力，多以选择题
出现。
解决此类问题主要是两种方法：
第一种：数字归纳法，就是找出已知图形的个
数差别，并找出他们的规律进行延展。
一般来
说就是看几个数字的差之间的关系。
第二种：追根朔源法，就是观察图形变化引起
的数字变化，从而推导出通向公式进行求解。
下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规
律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒根．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）
A．B．
C．D．
按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.
n
26n
+86n
+
44n
+8
n
第第第
第。
中考规律猜想题赏析在近几年各地中考中，规律猜想题深受命题者的青睐与关注，此类题作为一种重要的研究问题的方法和探索发现新知识的重要手段，非常有利于同学们创造性思维能力的培养与训练，它不仅给中考试题的形式和内容注入了新的活力，而且给当前的课堂学习带来了重大影响，此类题经常成为中考中考查知识、能力与数学思想方法的载体．规律猜想题指的是在特定的背景、情境或某些条件下（可以是函数关系式、有规律的数或式、特定的生活情景、流程图、某种特征的图形、图案或图表），认真分析，仔细观察，提取相关的数据、信息，进行适当的分析、综合归纳，作出大胆猜想，得出结论，进而加以验证或解决问题的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，而解决规律性问题关键在于猜想，猜想是一种直觉思维，通过对研究对象的实验、观察和归纳、从而猜想它的规律和结论的一种思维方法．猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳推理可以使猜想更准确．在进行归纳推理与猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．为此要求我们能在一定的背景或特定的条件（已知条件或所提供的若干个特例）下，通过观察、分析、比较、概括、归纳和猜想，从中发现有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论和数学本质的内容，进而利用这个规律或结论进一步解决相关的实际问题。
它体现了“从特殊到一般”及转化的数学思想方法，一般的解题思路是通过观察，进而寻找规律，猜想出相关的结论并加以验证。
出现的形式可能以填空、选择或解答为主．现结合近年的中考试题来说明规律猜想题的酝酿与发现，希望能给大家带来一定的启示与帮助．一、在函数图象中酝酿与发现例1： (福州)如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为．思路点拨与解析：由直线，可知，得到，得到，可知的坐标为（２,０）,同理可知的坐标为（４,０）…，的坐标为（，０）点评：先探讨某种情境中简单情况下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，这是探究问题的一种经验或一种模式，这种思维方式或者说解题方法应引起我们的关注与重视．解题的关键是如何选择切入点及由特殊到一般或由简单到复杂的思维模式，利用类比的数学思想解决问题，这些本质相同的问题解决办法是都进行列举与归纳推理，即从列举对象的一切特殊情形的前提中，推出关于全部对象的一般结论的推理方法．二、在生活图景中酝酿与发现例2：（湖北省恩施州）(1)计算:如图①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切，切点分别为A、B、C，求O A的长（用含的代数式表示）.（２）探索:若干个直径为的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）.②（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）思路点拨：有关两圆相切的问题，常作圆心距，在图①，通过添加辅助线构造等边三角形，O A恰好为等边三角形的高，借助勾股定理便可求解；在图③中，一层的高度恰好为，两层的高度恰好为+，三层的高度恰好为+，四层的高度恰好为+，层圆圈的高度＝+。
中考第二轮复习-----归纳、规律、猜想与说理型归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
一、归纳、规律与猜想1.如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ） A .28 B .56 C .60 D . 1242.如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．3、用等号或不等号填空：（1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1；②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1． 4、观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+，45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。
5．(2010·福州)如图，直线y ＝3x ，点A 1坐标为(1,0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此作法进行下去，点A 5的坐标为________．6．(2010·十堰)如图，n＋1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2的面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形P n M n N n N n＋1的面积为S n，通过逐一计算S1，S2，…，可得S n＝________.7．(2010·连云港)如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为34，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去，……利用这一图形，能直观地计算出34＋342＋343＋…34n＝________.8. 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C∆的面积为1S，322B D C∆的面积为2S，…，1n n nB D C+∆的面积为nS，则2S= ；nS=____ （用含n的式子表示）．D4D3D2D1C5C4C3C2C1B54B3BB1A……9、阅读下列材料，按要求解答问题。
中考数学专题复习：数学猜想与规律发现归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对为中等题，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
◆ 典型例题分析1.（烟台09）如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3 S 2＝22 （3）2＋1＝4 S 3＝32 ⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；⑵推算出OA 10的长；⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值．解：⑴（n ）2＋1＝n ＋1，S n ＝n 2； ⑵∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，∴OA 10＝10；A 6 … A 5 1 1 A 4 1 A 3 A 2 1 A 1 1 1 O S 1 S 2 S 3 S 4 S 5⑶S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102＝14（1＋2＋3＋…＋10）＝554． 2. （2011浙江省，10，）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）A.28B.56C.60D. 124【答案】C 3. （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）【答案】(1)4n n ++或24n n ++4. （2011湖南益阳）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．【答案】解：⑴246524251⨯-=-=-；第1个图形第 2 个图形 第3个图形第 4 个图形 第 18题图⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+--- 1=-.5．(2009年湖州市)观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为810的末位数字是( )A ．2B ．4C ．8D ．66.观察下列数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 7 … 第四行… … … …第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n 行与第n 列交叉点上的数应为＿＿＿＿。
初中归纳猜想总结初中阶段是学生开始接触猜想思维的重要时期，在各个学科中，猜想总结具有重要的教育和学习价值。
以下是初中阶段学生常见的归纳猜想及其总结。
1. 数学领域的归纳猜想与总结在数学学科中，归纳猜想是培养学生逻辑思维和抽象推理能力的重要方法。
有许多经典的数学猜想，如费马大定理、哥德巴赫猜想等，但初中阶段的数学归纳猜想更多地与基础知识和技巧紧密相关。
以下是一些常见的数学归纳猜想及其总结：a. 质数与合数- 归纳猜想：所有大于2的整数都可以写成两个质数的和。
- 总结：通过对自然数的分析和归纳，可以发现所有大于2的整数都可以被分解为两个质数的和，这就是哥德巴赫猜想的初步认识。
b. 偶数与奇数- 归纳猜想：任意两个奇数之和是一个偶数。
- 总结：通过观察和验证，我们可以发现任意两个奇数相加的结果都是一个偶数。
这个归纳猜想在数学计算中有重要的应用。
c. 平方数与立方数- 归纳猜想：任意连续三个自然数中，平方数和立方数最多只有一个重合。
- 总结：通过列举自然数的平方数和立方数，我们可以总结出这一规律，即连续三个自然数中平方数和立方数最多只有一个重合。
2. 科学领域的归纳猜想与总结科学学科中，猜想与实验相结合，培养学生的科学思维和观察能力。
以下是初中科学中常见的归纳猜想及其总结：a. 热传导与热对流- 归纳猜想：固体的热传导速度大于液体和气体的热对流速度。
- 总结：通过观察和实验，我们可以发现在相同条件下，固体的热传导速度明显快于液体和气体的热对流速度。
b. 植物对光的反应- 归纳猜想：植物没有光照会导致生长受到抑制。
- 总结：通过观察和实验，我们可以得出结论，植物的生长和发育需要光合作用，如果没有光照，植物会出现生长迟缓或停止生长的现象。
c. 静电现象- 归纳猜想：相同电荷之间会产生排斥力，不同电荷之间会产生吸引力。
- 总结：通过观察和实验，我们可以发现当两个带有相同电荷的物体靠近时，它们会产生相互排斥的现象，而带有不同电荷的物体靠近时会产生相互吸引的现象。
“归纳与猜想”解决实际问题-------探寻数的变化规律发布时间：2021-05-20T12:19:34.207Z 来源：《教学与研究》2021年4月下作者：谢三果[导读] 索性问题涉及内容广泛，其中归纳与猜想是解决探索性问题的一条基本路线。
引导学生合理运用“归纳与猜想”寻找问题答案，有利于学生在平素的学习过程中提高兴趣、激发强烈动机，养成自觉探索的习惯；有利于增强学生的创新意识，独立解决问题的能力；有利于学生增加苦中有乐的获得感与不断地巩固自己的信心。
新田瑞华实验学校谢三果探索性问题涉及内容广泛，其中归纳与猜想是解决探索性问题的一条基本路线。
引导学生合理运用“归纳与猜想”寻找问题答案，有利于学生在平素的学习过程中提高兴趣、激发强烈动机，养成自觉探索的习惯；有利于增强学生的创新意识，独立解决问题的能力；有利于学生增加苦中有乐的获得感与不断地巩固自己的信心。
本文主要讲述探寻数的变化规律解题的几个方面。
一.算式规律（一）一般性数列、代数式规律 1.统计例1 八（2）班一次数学测试成绩，前30名优秀学生的成绩如下 85 82 93 85 94 98 87 86 90 92 97 86 87 91 99 100 93 87 94 96 82 97 87 88 95 93 89 98 100 95请求出其总分和平均分。
审题如果直接将30个数加起来，运算量比较大，粗略估算，这些数都在90分左右，以90分为基准数，大于90分的记为正，小于90分的记为负，考察这30个数与90的差，当然可以简化运算。
解总分：90×30－5－8＋3－5＋4＋8－3－4＋0＋2＋7－4－3＋1＋9＋10＋3－3＋4＋6－8＋7－3－2＋5＋3－1＋8＋10＋5=2742(分）平均分：2742÷30=90.8（分） 2.一般性数列用含正整数n的等式表示上述规律__________________________.感悟：观察等式相应数字的变化趋势，作出判断，重视正负号的变化，作出表达方式，以把握整体，得到合理的猜想。
……9 归纳—猜想~~~找规律16、将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）. 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_ 条折痕 .如果对折n 次，可以得到 条折痕 .17、如图1，把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体， 然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为（ ）A 、21B 、24C 、33D 、3718、用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中黑色地砖4块；那么第(n )个图案中有白色．．地砖 块。
18题19题 商标图案19、如图是阳光广告公司为某种商品设计的图中阴影部分为红色。
若每个小长方形的面积都1，则红色的面积是20、如下图，从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2条水路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有( )A ．20种B ．8种C ． 5种D ．13种20题图 21题图 22题图 21、观察右图并寻找规律，x 处填上的数字是22、如图，平面内有公共端点的六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字“2008”在（ ）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OD 上 D ．射线OF 上图1£¨µÚ9 Ìâͼ£©-26 -48 -14 -88 -8 -4 -2 -2x 111091287654321ODC B A23、观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有 个圆24、观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A ．22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n25、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．26、如图是一回形图，其回形通道的宽与OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于点A 1，A 2，A 3，…。
九年级图案知识点梳理图在九年级的美术课程中，图案是重要的一个内容。
了解和学习图案，不仅可以熟悉美术的基础概念，还可以培养学生的审美能力和创造力。
下面将从几个方面来梳理九年级图案的知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、图案的基本概念图案是由一系列有规律的元素组成的，可以重复、平铺的装饰性图形。
图案的重复、对称和错落是其基本特点。
1. 图案的重复图案中的元素可以按照一定规律多次重复。
例如：相同的形状、线条、颜色或纹理在不同的地方出现。
2. 图案的对称图案中的元素可以按照某种轴线进行对称。
例如：左右对称、上下对称、中心对称等。
3. 图案的错落图案中的元素可以错综复杂地分布，形成有层次感和动感的效果。
二、图案的种类在九年级的美术课程中，主要涉及到的图案种类有几何图案、动植物图案和人物图案。
1. 几何图案几何图案是由几何形状组成的图案，主要包括简单的线条、点、三角形、正方形、圆形等几何元素。
几何图案在设计中常常用于表达简洁、规律、秩序的概念。
2. 动植物图案动植物图案是以自然界中的动物、植物为主题的图案。
这些图案常常采用抽象和扁平化的手法表达出形象，使得图案更加简洁、生动。
3. 人物图案人物图案是以人物形象为主题的图案。
这些图案通过对人物形象的艺术处理，可以创造出各种表现心情、特点和风格的图案。
三、图案的运用了解图案的种类之后，我们还需要学习图案的运用。
图案可以应用于绘画、设计、纺织、陶瓷等各个领域。
1. 图案在绘画中的运用在绘画作品中，图案可以作为装饰元素，增添画面的美感和趣味性。
例如，在静物画作品中，画家可以使用几何图案作为背景或纹理，使画面更加丰富。
2. 图案在设计中的运用在设计领域中，图案的运用尤为重要。
例如，在平面设计中，图案可以用于包装设计、广告设计等方面，起到吸引眼球和传达信息的作用。
3. 图案在纺织中的运用在纺织品的设计中，图案也扮演着重要角色。
例如，在衣物、窗帘、地毯等纺织品中，图案可以起到美化和个性化的作用。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------探索图形规律感悟数学思想探索图形规律感悟数学思想 --以西师版教科书四年级下册《探索规律》为例《数学课程标准（2019 年版）》提出图形与几何的课程内容，要以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开。
西师版教科书正是基于新课标的要求，遵循学生的认知特点，借助探索图形的规律，蕴涵了丰富的数学思想方法，有助于提高学生的分析问题和解决问题的能力。
教师只有正确理解和把握教科书的编写意图，引导学生开展深度探究，才能感悟知识背后的数学思想。
一、选材不仅注意联系学生熟悉的几何图形，而且呈现内容还注重体现思维推进的线索。
一条线索是知识明线，拼图从简单到复杂，由单个图形到多个图形拼组，由单个方向朝不同方向拼摆。
例题是通过用小平行四边形纸片拼摆成大平行四边形，去发现所用平行四边形的个数与拼出图形周长的关系；课堂活动是用小棒摆出由等边三角形拼成的平行四边形或梯形，，从而发现所用火柴棍的根数与三角形个数之间的关系。
这个活动中隐含的规律不只一种，如三角形的个数与小棒根数之间的关系是有规律的，图形的序号与图形形状的关系是有规律的。
习题中 3 个图都隐含着规律，，,。
1 / 5另一条线索是思维暗线，从探索 4 个、 5 个具体图形拼成图形的周长，到 9个图形的拼组，激发学生去思考图形个数与拼成图形周长有什么关系，构建图形个数与拼成图形周长之间的数学模型。
二、问题设计注意给学生留下思考和探究的空间，数学活动注重给学生提示学习方式，易教利学。
教科书以小组合作讨论的形式呈现，引导学生在摆的过程中去发现问题、提出问题，拼出的平行四边形的周长与平行四边形个数有关系，有什么关系呢，教科书采取了列表的方式表述前面学生所说的关系。
探索图案中的数学规律数学规律与图案设计之间有着密切的联系。
图案中的对称、重复和排列往往对应着数学中的几何、代数和组合等概念。
本文将通过几个具体的例子来探索图案中隐藏的数学规律，展示数学在图案设计中的应用。
1. 对称性与几何图案对称是图案设计的重要原则之一。
在自然界和人类创造的图案中都可以看到各种形式的对称。
几何图案中最常见的对称类型是旋转对称、镜像对称和滑移对称。
旋转对称：旋转对称是指图案在某个中心点旋转一定角度后与原图案重合。
经典的例子是雪花，雪花的六片形状相似，通过旋转180度可以使得相邻的两片重合，形成旋转对称。
镜像对称：镜像对称是指图案通过一个轴线进行对称后与原图案重合。
图案的左右对称和上下对称是最常见的镜像对称。
例如，蝴蝶的翅膀、人脸的左右对称等都是镜像对称的图案。
滑移对称：滑移对称是指图案在一个方向上平移一段距离后与原图案重合。
几何图案中的方格、点阵等都具有滑移对称。
通过对称性的分析，我们可以发现图案中隐藏的几何规律。
这些对称性的特点不仅美化了图案，也给我们提供了一种审美的方式。
2. 数列与排列组合数学中的数列和排列组合也经常被运用在图案设计中。
数列是一个按照一定规律排列的数字序列。
在图案设计中，我们可以通过数列来构建各种有趣的图案。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的数列，每个数都是前两个数的和。
当我们将斐波那契数列中的数字对应为图案的长度或宽度时，就可以得到一系列有趣的图案，如金字塔、螺旋等。
排列组合：排列组合是指对一组元素进行选择、排列和组合的方式。
在图案设计中，我们经常会遇到需要选择和排列元素的情况。
例如，图案中有三种颜色的花瓣，我们可以通过排列组合来确定每个花瓣的颜色，从而得到多样化的图案。
数列和排列组合的使用使得图案设计更具丰富性和创造力。
通过运用数学规律，我们可以创造出更多独特和精美的图案。
3. 分形与自相似性分形是图案设计中一个极具表现力的数学概念。
分形是指在任意缩放下都能保持自我相似性的图形。
图案规律中的猜想归纳思想知识方法精讲1．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2．认识图形（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．（3）重点和难点突破：结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．3.猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
考查学生的归纳、概括、类比能力。
有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。
4.归纳猜想类问题可以分成四大类：（1）数式归纳猜想题这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。
找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。
（2）图形归纳猜想题此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。
其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。
（3）结论归纳猜想题结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。
发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。
（4）类比归纳猜想题类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。
一．选择题（共19小题）1．（2021•巴南区自主招生）把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中共有4个三角形，图案②中共有7个三角形，图案③中共有10个三角形，⋯，若按此规律拼图案，则图案⑧中共有()A．13个三角形B．19个三角形C．25个三角形D．31个三角形2．（2019•渝北区自主招生）下列图形都是由相同的☆按一定规律组成的，其中，第①个图形中一共有3个☆，第②个图形中一共有7个☆，第③个图形中一共有13个☆，⋯，则第7个图形中☆的个数为()A．51B．57C．73D．74 3．（2021•康巴什校级三模）将一些相同的病毒“●”按如图所示的规律依次摆放成类似“蝙蝠侠”的图案，观察下列“蝙蝠侠”图案中病毒“●”的排列规律，则第21个图形中“●”的个数为()A．347B．385C．425D．467 4．（2021•淄川区一模）如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是()A．B．C．D．5．（2021•泗水县一模）将一列有理数1-，2，3-，4，5-，6，⋯，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，有理数4在“峰1”中C的处．则有理数2021-在()A．峰403E处B．峰403D处C．峰404D处D．峰404E处6．（2021•渝中区校级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是()A．34B．40C．49D．59 7．（2021•江北区校级模拟）下列图形是用棋子按照一定规律摆成的，第①个图中有2枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有12枚棋子，⋯，按照这种摆法，第8个图形中共有棋子()A．42B．56C．64D．72 8．（2021•九龙坡区模拟）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点， ，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为()A．19B．20C．22D．239．（2021秋•平阴县期末）将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2022应位于()A．?位B．?位C．?位D．?位10．（2021秋•中原区校级期末）找出以下图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（）A．3030B．3031C．3032D．3033 11．（2021秋•泉州期末）如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，若用(,)a b表示第a行从左到右第b个数，如(2,2)表示的数是12，(3,2)表示的数是16，(4,3)表示的数是112，则(7,5)表示的数是()A ．142B ．1105C ．1210D ．142012．（2021秋•秦淮区期末）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a ，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a 的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n 次变化时，图形的面积和周长分别为( )A ．216a 和32n a +B ．216a 和42n a +C ．232a 和32n a +D ．232a 和4n a13．（2021秋•顺德区期末）用木棒按如图所示的规律摆放图形，第100个图形需要木棒根数是( )A ．501B ．502C ．503D ．50414．（2021秋•丰台区期末）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个图案需要的棋子个数为( )A．81B．91C．109D．111 15．（2021秋•新都区期末）用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“3”，按此规律摆下去，第2021个“3”需要火柴棒的根数为()A．4045B．6065C．6068D．8085 16．（2021秋•锦江区校级期末）如图，用菱形纸片按照如下规律拼成下列图案，若第n个图案中有2021张纸片，则n的值为()A．503B．504C．505D．506 17．（2021秋•西山区期末）将正方形做如下操作，第1次分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形⋯，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数为()A．503B．504C．505D．506 18．（2021秋•嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1)；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2)⋯如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是()A．1B．2020C．2021D．2022 19．（2021秋•大埔县期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，“阿基米德曲线”从点O 开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为1，2-，5，6-，3，4-⋯．那么标记为“2021”的点在()A．射线OA上B．射线OB上C．射线OC上D．射线OD上二．填空题（共6小题）20．（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形⋯，按这样的方法拼成的第(1)n+个正方形比第n 个正方形多个小正方形．21．（2021•安溪县模拟）北京天坛的国丘坛为古代祭天的场所，如图所示分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）环．22．（2021•五华区一模）如图所示，下列各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，⋯，按此规律，那么图8中黑点的个数是．23．（2021•大庆模拟）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形⋯按此规律排列下去，则第5个图案中黑色三角形的个数为个．24．（2021•黔东南州模拟）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆⋯按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是个．25．（2021秋•大同期末）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中★的个数为．三．解答题（共3小题）26．（2021•胶州市一模）问题提出：如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成几部分？问题探究：为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．探究一：如图1，当在平面内不画(0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为(0)1f=．探究二：如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为f（1）112=+=．探究三：当在平面内画2条直线，若两条直线平行（如图3)，该平面被分成3部分；若两条直线相交（如图4)，交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面被分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为f（2）1124=++=，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多．探究四：当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图5)，该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6)，第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为f（3）11237=+++=．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．探究五：当在平面内画4条直线（如图7)，第4条直线与前3条直线有3个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11部分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为f（4）1123411=++++=．探究六：在平面内画5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）问题解决：如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成部分．应用与拓展：（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成个部分．（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有条．（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为块．27．（2021•芜湖模拟）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形⋯按此规律排列下去，解答下列问题：（1）填写下列表格：图序①②③④⋯?136⋯黑色三角形个数（2）若第个图案中黑色三角形的个数有91个，求n的值．28．（2021•安徽模拟）观察下列图形与等式：（1）观察图形，写出第（7）个等式：；根据图中规律，写出第n个图形的规律：；（用含有n的式子表示）（2）求出101180++⋯+的值．。
