2021年九年级中考数学一轮复习提分专练—图形变化类：找规律(解析版)

2021年九年级中考数学一轮复习专题《找规律：图形变化类》高频考点训练（二）1．将图①所示的正六边形进行第一次分割得到图②，则②中共有4个正六边形；再将图②中最小的某一个正六边形按同样地方式进行第二次分割得到图③，则图③中共有7个正六边形；…，按此规律继续进行分割，则：（1）第三次分割后，图中共有个正六边形；（2）第n次分割后，图中共有个正六边形（用含有n的代数式表示）．2．下列图案都是有若干个全等的等边三角形按一定规律摆放而成，依此规律，第10个图中等边三角形的个数为．3．如图所示，将一个等边三角形各边中点连接起来，得到四个小等边三角形（如图1），再将最上边的一个小等边三角形按同样的方法画出四个更小的等边三角形（如图2），然后再按同样地方法画出第三个图形（如图3）…如此继续下去，第n个图中有个等边三角形．（用含n的式子表示）4．观察下列各图中圆的个数，按此规律第（10）个图形中有个圆．5．按如下规律摆放三角形：则第（7）堆三角形的个数为．6．观察下列下面的图形，请问照这样第8个图形共有○的个数应当是．7．如图，第1个图形由5个小正方形组成，第2个图形由9个小正方形组成，第3个图形由13个小正方形组成…以此规律，第n个图形由个小正方形组成．8．按如图所示规律摆放三角形：则第13个图形中三角形的个数是．9．如图，下面是用棋子摆成的反写“T”字，问：按这样的规律摆下去，摆成第10个反写“T”字需要个棋子．10．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点．11．如图，小宇用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第6个图案中共有个黑子．12．如图，把一个正三角形的每一边三等分，取中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，重复上述两步，画出更小的正三角形；一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做“科镂曲线”，又称为“雪花曲线”．已知图①中正三角形的周长为C1＝3，图②中图形的周长C2＝4，按此规律下去，第5个图形的周长C5＝．13．观察下列一组图形，根据其变化规律，可得第8个图形中所有正方形的个数为个．14．如图①，图②，图③，图④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第n个“广”字中的棋子个数是．15．如图，共由381个点组成的是第个图形．16．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．记第n个图中小黑点的个数为y．则y与n的函数关系式为．17．武汉市在开展“创建全国文明城市”过程中，园标局在解放公园举办了大型花展，某园艺公司将“郁金香”摆成菱形图案（每一个小黑点代表一盆郁金香），第五个图案共摆放的郁金香有盘18．观察右面的4个点阵图，探究其中的规律，并按规律写出摆第10个这样的图形需要个点．19．某花圃摆放的一组花盆图案如图所示（“〇”表示红花花盆，“×”表示黄花花盆）．观察图形，并探索规律，在第10个图案中，红花与黄花盆数的差为．20．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2010个图形中共有个★．参考答案1．解：（1）分析可得：将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，增加了3个正六边形，共4个；再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，又增加了3个正六边形，共4+3＝7个；则第三次分割后，图中共有10个正六边形；（2）故每次分割，都增加3个正六边形，那么第n个图形中，共有3n+1．故答案为10；3n+1．2．解：结合图形，发现：第10个图中等边三角形有10×4＝40（个）．故答案为：40．3．解：∵图1中等边三角形的个数是5＝4×1+1；图2中等边三角形的个数是9＝4×2+1；图3个图中等边三角形的个数是13＝4×3+1；…∴第n个图中有（4n+1）个等边三角形．故答案为（4n+1）．4．解：第十个图大圆中的小圆的个数是：102＝100，因而圆的总个数是：100+1＝101．故答案是：101．5．解：观察可得：第（1）堆三角形的个数为5；第（2）堆三角形的个数为5+3＝8个；第（3）堆三角形的个数为5+3+3＝11个，…第（7）堆三角形的个数为5+3×6＝23个．6．解：第一个图形有1个○，第二个图形有1+6×（2﹣1）个圆，第三个图形有1+6+6×（3﹣1）个圆，…第n个图形有1+6+12+…+6（n﹣1）个○，当n＝8时，有1+6+12+18+24+30+36+42＝169个○．故答案为：169．7．解：∵第1个图形由5个小正方形组成，第2个图形由5+4＝9个小正方形组成，第3个图形由5+2×4＝13个小正方形组成，∴第n个图形由5+4（n﹣1）＝4n+1（个）小正方形组成．故答案为：4n+1．8．解：观察可得，第（1）个图形的三角形个数为3×1+2＝5；第（2）个图形的三角形的个数为3×2+2＝8；第（3）个图形的三角形的个数为3×3+2＝11；…；故第n个图形的三角形的个数为3n+2．当n＝13时，3n+2＝3×13+2＝41个三角形．故答案为41．9．解：第1个图形，横向有3个棋子，纵向有2个棋子，共有棋子：3+2＝5个；第2个图形，横向有5个棋子，纵向有3个棋子，共有棋子：5+3＝8个；第3个图形，横向有7个棋子，纵向有4个棋子，共有棋子：7+4＝11个；…，依此类推，第n个图形，横向有（2n+1）个棋子，纵向有（n+1）个棋子，共有棋子：（2n+1）+（n+1）＝3n+2个；所以，第10个图形需要棋子：3×10+2＝32．故答案为：32．10．解：第1个图形有1个点，第2个图形有4×1+1＝5个点，第3个图形有4×2+1＝9个点，第4个图形有4×3+1＝13个点，…，依此类推，第n个图形有4（n﹣1）+1＝4n﹣3个点．故答案为：4n﹣3．11．解：第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由1+3×6﹣6＝13个黑子和6个白子组成，第4个图案由13个黑子和6+4×6﹣6＝24个白子组成，第5个图案由13+5×6﹣6＝37个黑子和24个白子组成，第6个图案由37个黑子和24+6×6﹣6＝54个白子组成．故答案为37．＝3，12．解：图①中正三角形的周长为C1＝3+×3＝3+1＝4，图②中图形的周长C2＝4+××3×4＝，图③中正三角形的周长为C3＝+×××3×4×4＝，图④中图形的周长C4＝+××××3×4×4×4＝．图⑤中图形的周长C5故答案为．13．解：第1个图形有1个正方形，第2个图形比第1个图形多4个小正方形，共有5个正方形，5＝4×1+1，第3个图形比第2个图形又多4个小正方形，共有9个正方形，9＝4×2+1 第4个图形比第3个图形又多4个小正方形，共有13个正方形，13＝4×3+1，…，依此类推，第n个图形共有4（n﹣1）+1＝4n﹣3个正方形，所以，n＝8时，4×8﹣3＝29．故答案为：29．14．解：由题目得，第1个“广”字中的棋子个数是7；第2个“广”字中的棋子个数是9；第3个“广”字中的棋子个数是11；4个“广”字中的棋子个数是13；发现第5个“广”字中的棋子个数是15…进一步发现规律：第n个“广”字中的棋子个数是（2n+5）．故答案为：2n+5．15．解：从图形可知，从一个点向2个方向增加1个点，向3个方向增加2个点，向4个方向增加3个点，…向n个方向增加n﹣1个点，∴第n个图形共有n（n﹣1）+1＝n2﹣n+1个，∴n2﹣n+1＝381解得：n＝20故答案为20．16．解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；则第n个图中小黑点的个数y＝n×（n﹣1）+1＝n2﹣n+1．即y与n的函数关系式为y＝n2﹣n+1．故答案是：y＝n2﹣n+1．17．解：依题意得：第一个图案有1+4，第二个有1+4+8，第三个有1+4+8+12，∴第四个图案有1+4+8+12+16个，∴第五个图案有1+4+8+12+16+20＝61个．故答案为：61．18．解：依题意得：（1）摆第1个“小屋子”需要5个点；摆第2个“小屋子”需要11个点；摆第3个“小屋子”需要17个点．当n＝n时，需要的点数为（6n﹣1）个∴摆第10个这样的“小屋子”需要的点数为60﹣1＝59．故答案为59．19．解：第1个图案，红花花盆：1＝12个，黄花花盆4×1个，第2个图案，红花花盆：4＝22个，黄花花盆8＝4×2个，第3个图案，红花花盆：9＝32个，黄花花盆12＝4×3个，第4个图案，红花花盆：16＝42个，黄花花盆16＝4×4个，…第n个图案，红花花盆：n2个，黄花花盆4n个，∴在第10个图案中，红花与黄花盆数的差为：102﹣4×10＝100﹣40＝60．故答案为：60．20．解：第1个图形中有4个★；第2个图形中有4+3个★；第3个图形中有4+2×3个★；…第2010个图形中有4+2009×3＝6031个★；故答案为6031．。

2021年九年级数学中考复习—— 专题：找规律之图形变化类（四）1．如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案．（1）完成下表的填空： 正方形的个数 1 2 3 4 5 6 火柴棒的根数471013（2）第n 个图形有 根火柴棒．（3）小亮用若干根火柴棒按如图所示的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，……，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n +1）个图案还差8根．问最后摆的第（n +1）个图案是第几个图案？2．某数学兴趣小组在用黑色围棋进行摆放图案的游戏中，一同学摆放了如下图案，请根据图中信息完成下列的问题：（1）填写下表： 图形编号 ① ② ③ … … 图中棋子的总数……（2）第10个图形中棋子为 颗围棋；（3）该同学如果继续摆放下去，那么第n 个图案要用 颗围棋．3．下列图形是用棋子摆成的“上”字，如果按照此规律继续摆下去：（1）图4中的“上”字需要用枚棋子．图5中的“上”字需要用枚棋子；（2）图n中的“上”字需要用枚棋子；（3）现有62名学生，把每一位学生当成一枚棋子，能否让这62枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字？若能，请直接写出最下面一“横”的学生数，若不能，请说明理由．4．观察下面的点阵图，探究其中的规律．摆第1个“小屋子”需要5个点；数一下，摆第2个“小屋子”需要个点；数一下，摆第3个“小屋子”需要个点．（1）摆第9个这样的“小屋子”需要多少个点？（2）写出摆第n个这样的“小屋子”需要的总点数的代数式．（3）摆第几个“小屋子”的时候，需要的总点数共为71个？5．如图，图1中小黑点的个数记为a 1＝4，图2中小黑点的个数记为a 2＝8，图3中小黑点的个数记为a 3＝13，…根据以上图中的规律完成下列问题：（1）图4中小黑点的个数记为a 4，则a 4＝ ；（2）图n 中小黑点的个数记为a n ，则a n ＝ （用含n 的式子表示）； （3）第几个图形中的小黑点的个数为43个？6．有一张厚度为0.05毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.05毫米． （1）对折3次后，厚度为多少毫米？ （2）对折n 次后，厚度为多少毫米？ （3）对折n 次后，可以得到多少条折痕？7．一个农民栽苹果树，他将树栽成一个正方形．为了给苹果树挡风，他在果园的四周栽上松树（×代表松树，〇代表苹果树），如图所示．由图示和下表你可以获得一个规律，并且栽任何行（n）苹果树都可以按照这个规律栽苹果树和松树．苹果树的行数苹果树的棵树松树的棵树1 1 82 43 945n（1）将上面表格补充完整；（2）这个农民要扩大果园，栽上足够多行的苹果树，那么苹果树和松树哪种树的棵数增加得快？请说明理由．8．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式，拼成若干个图案：（1）当黑色地砖有1块时，白色地砖有块，当黑色地砖有2块时，白色地砖有块；（2）第n（n为正整数）个图案中，白色地砖有块；（3）第几个图案中有2018块白色地砖？请说明理由．9．如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A，B，C，D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）．（1）填写下表：正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 …n分割成的三角形的个数 4 6 …（2）如果原正方形被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD内部有多少个点？（3）上述条件下，正方形又能否被分割成2019个三角形？若能，此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．（4）综上所述，你有什么发现？（写出一条即可）10．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案．（1）第1个图案中有6根小棒；第2个图案中有根小棒；第3个图案中有根小棒；（2）第n个图案中有多少根小棒？（3）第25个图案中有多少根小棒？（4）是否存在某个符合上述规律的图案，由2032根小棒摆成？如果有，指出是滴几个图案；如果没有，请说明理由．参考答案1．解：（1）观察图形的变化可知：第1个图形有3×1+1＝4根火柴棒．第2个图形有3×2+1＝7根火柴棒．第3个图形有3×3+1＝10根火柴棒．…第5个图形有3×5+1＝16根火柴棒．第6个图形有3×6+1＝19根火柴棒．故答案为：16，19；（2）由（1）可知：第n个图形有（3n+1）根火柴棒．故答案为：（3n+1）；（3）因为摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n+1）个图案还差8根．所以3（n+1）+1＝20+8，解得n＝8，所以最后摆的第（n+1）个图案是第9个图案．2．解：（1）由图可得，第一个图案3颗棋子，第二个图案6颗棋子，第三个图案10颗棋子．故答案为：3，6，10；（2）由图可得，第10个图案中的棋子为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝66个，故答案为：66；（3）由图可知：第一个图案1+2颗棋子，第二个图案1+2+3颗棋子，第三个图案1+2+3+4颗棋子，故第n个图案的棋子为：1+2+3+…+（n+1）＝颗，故答案为：．3．解：（1）第①个图形中有6个棋子；第②个图形中有6+4＝10个棋子；第③个图形中有6+2×4＝14个棋子；∴第④个图形中有6+3×4＝18个棋子，第⑤个图形中有6+4×4＝22个棋子．故答案为：18、22；（2）第n个图形中有6+（n﹣1）×4＝4n+2．故答案为：4n+2．（3）能，最小面一横的学生人数为31人，理由如下：4n+2＝62，解得n＝15．最下一横人数为2n+1＝31．4．解：依题意得：摆第1个“小屋子”需要6×1﹣1＝5个点；摆第2个“小屋子”需要6×2﹣1＝11个点；摆第3个“小屋子”需要6×3﹣1＝17个点．（1）当n＝9时，需要的点数为6×9﹣1个；（2）当n＝n时，需要的点数为6n﹣1个；（3）根据题意有6n﹣1＝71，解得n＝12，故摆第12个“小屋子”的时候，需要的总点数共为71个．5．解：（1）根据题意知a＝1+2+3+4+5+4＝19，4故答案为：19；（2）a n＝1+2+3+…+n+n+1+n＝+2n+1＝n2+n+1，故答案为：n2+n+1；（3）当n2+n+1＝43时，解得：n＝7或﹣12（负值舍去），所以第7个图形中的小黑点的个数为43个．6．解：由题意可知：第一次对折后，纸的厚度为2×0.05；可以得到折痕为1条；第二次对折后，纸的厚度为2×2×0.05＝22×0.05；可以得到折痕为3＝22﹣1条；第三次对折后，纸的厚度为2×2×2×0.05＝23×0.05；可以得到折痕为7＝23﹣1条；…；第n次对折后，纸的厚度为2×2×2×2×…×2×0.05＝2n×0.05．可以得到折痕为2n ﹣1条．故：（1）对折3次后，厚度为0.4毫米；（2）对折n次后，厚度为2n×0.05毫米；（3）对折n次后，可以得到2n﹣1条折痕．7．解：（1）16；24；16，32；25，40；n2，8n；（2）苹果树棵数增加得快．理由：当n2＝8n时，n＝0或8，所以当，n＞8时，苹果树增加的快，0＜＜n＜8时，松树的棵数增加快，n＝8时，数量一样．8．解：（1）当黑色地砖有1块时，白色地砖有2+4＝6块，当黑色地砖有2块时，白色地砖有2+4×2＝10块，故答案为：6、10；（2）根据题意知第n（n为正整数）个图案中，白色地砖有2+4n（块），故答案为：4n+2．（3）令4n+2＝2018，解得：n＝504，所以，第504个图案中有2018块白色地砖．9．解：（1）有1个点时，内部分割成4个三角形；有2个点时，内部分割成4+2＝6个三角形；有3个点时，内部分割成4+2×2＝8个三角形；有4个点时，内部分割成4+2×3＝10个三角形；…以此类推，有n个点时，内部分割成4+2×（n﹣1）＝（2n+2）个三角形，补全表格如下：正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 …n分割成的三角形的个数 4 6 8 10 …2n+2 （2）能，由（1）知2n+2＝2018，解得：n＝1008，即此时正方形ABCD内部有1008个点；（3）不能，理由如下：由（1）知2n+2＝2019，解得n＝1008，不是整数，所以不能分割成2019个三角形．（4）由题意知分割成的三角形个数是其内部点的个数的2倍与2的和．10．解：（1）第2个图案中有11根小棒；第3个图案中有16根小棒，故答案为：11、16；（2）由图可知：第1个图案中有5+1＝6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1＝11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2＝16根小棒，…，因此第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）＝5n+1根小棒．（3）当n＝25时，5n+1＝5×25+1＝126，所以第25个图案中有126根小棒；（4）因为，5n+1＝2032，所以，n＝406.2；所以不存在由2032根小棒摆成的图案．。

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律之图形变化类》（二）1．探究题：（1）数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系，那么到点100和到点1000距离相等的点表示的数是；到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是：；（2）当x＝时，代数式﹣（x﹣2）2+10有最大值，最大值为：（3）如图，将一块正方形纸片，第一次剪成四个大小形状一样的正方形，第二次再将其中的一个正方形，按同样的方法，剪成四个小正方形，如此循环进行下去．剪n次后图中共有个正方形．2．如图所示，由一些点组成形如三角形的图案，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形总的点数S是多少？当n＝7，100时，S是多少？3．AB是⊙O的直径，把AB分成n条线段，以每条线段为直径分别画小圆，设⊙O的半径为r，那么⊙O的周长l＝2πr，⊙O的面积S＝πr2．计算：（1）如图①，把AB分成两条相等的线段，则每个小圆的周长；（2）如图②，把AB分成三条相等的线段，则每个小圆的周长l3＝；（3）如图③，把AB分成n条相等的线段，则每个小圆的周长l n＝．（4）如图④，把AB分成n条不相等的线段，记n个小圆的周长分别为C1，C2，…，∁n，则n个小圆的周长与大圆的周长的关系为．请依照上面的探索方法和步骤，分别计算出如图①、②、③中每个小圆面积与大圆面积的关系．（直接写出结论，不要求写过程）4．观察如图，解答下列问题．（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？第n层呢？（2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，由此得，1+3＝22．同样，由前三层的圆圈个数和得：1+3+5＝32．由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7＝42．由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9＝52．…根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．（4）计算：1+3+5+…+19的和；（5）计算：11+13+15+…+99的和．5．用棋子摆出下列一组图形：（1）填写下表：（3分）图形编号（1）（2）（3）（4）（5）（6）图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形棋子的枚数．6．某市民广场地面铺设地砖，决定采用黑白2种地砖，按如下方案铺设，首先在广场中央铺3块黑色砖（如图①），然后在黑色砖的四周铺上白色砖（如图②），再在白色砖的四周铺上黑色砖（如图③，再在黑色砖的四周铺上白色砖（如图④）这样反复更换地砖的颜色，按照这种规律，直至铺满整个广场．观察下图，解决下列问题．（1）填表图形序号数①②③④…地砖总数（包括黑白地砖） 3（2）按照这种规律第n个图形一共用去地砖多少块．（用含n的代数式表示）7．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干图案：（1）当黑砖n＝1时，白砖有块，当黑砖n＝2时，白砖有块，当黑砖n ＝3时，白砖有块．（2）第n个图案中，白色地砖共块．8．如图，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是；画出相应的图形．（2）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是；画出相应的图形．（3）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是；小正方形的个数最少是（直接填写结果）（4）一个4×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是．9．如图，用正方体石墩垒石梯，下图分别表示垒到一、二、三阶梯时的情况．那么照这样垒下去，请你观察规律，并完成下列问题．（1）填出下表中未填的两个空格：阶梯级数一级二级三级四级石墩块数 3 9（2）当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩多少块（用含n的代数式表示）？并求当n ＝100时，共用正方体石墩多少块？10．用火柴棒按下图的方式搭三角形（1）填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5 …．火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形，需要多少根火柴棒？参考答案1．解：（1）到点100和到点1000距离相等的点表示的数是550；到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是；（2）当x＝2时，代数式﹣（x﹣2）2+10有最大值，最大值为10；（3）根据题意可知：后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个，即剪第1次时，可剪出4个正方形；剪第2次时，可剪出7个正方形；剪第3次时，可剪出10个正方形；剪第4次时，可剪出13个正方形；…剪n次时，共剪出小正方形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1．故答案为：550，；2，10；3n+1．2．解：∵第一图形中有3×2﹣3＝3个点，第二个图形中有3×3﹣3＝6个点，第三个图形中有4×3﹣3＝9个点…∴S＝3n﹣3，当n＝7时，S＝3n﹣3＝3×7﹣3＝18，当n＝100时，S＝3n﹣3＝3×100﹣3＝297．3．解：（2）根据l＝2πr，把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L＝×2πr＝l，3故答案为：l；（3）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n＝×2πr＝l．故答案为：l；（4）把AB分成n条不相等的线段，记n个小圆的周长分别为C1，C2，…，∁n，则n个小圆的周长为：2π（r1+r2+…+r n）＝2πr，大圆的周长的关系为：2πr，故n个小圆的周长与大圆的周长的关系为：相等，以r为半径的圆的面积为：S＝πr2．把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S2＝π×（r）2＝πr2＝S；把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积S3＝πr2＝S；把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积S n＝S．故答案为：相等．4．解：（1）第七层有13个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈；（2）令2n﹣1＝77，得，n＝39．所以，这是第39层；（3）1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；（4）1+3+5+…+19＝102＝100；（5）11+13+15+…+99＝（1+3+5+...+99）﹣（1+3+5+ (9)＝502﹣52＝2475．5．解：（1）填写下表：图形编号（1）（2）（3）（4）（5）（6）图形中的棋子 6 9 12 15 18 21 （2）根据（1）中的数字规律可得：3（n+1）＝3n+3．6．（1）填表图形序号数①②③④…地砖总数（包括黑白地砖） 3 15 35 63 （2）（2n﹣1）（2n+1）7．解：（1）观察图形得：当黑砖n＝1时，白砖有6块，当黑砖n＝2时，白砖有10块，当黑砖n＝3时，白砖有14块；（2）根据题意得：∵每个图形都比其前一个图形多4个白色地砖，∴可得规律为：第n个图形中有白色地砖6+4（n﹣1）＝4n+2块．故答案为6，10，14，4n+2．8．解：（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是3或6，作图如下：（2）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是4或7或10，作图如下：（3）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 2n；小正方形的个数最少是①n为偶数，有个；②n为奇数，有个；（4）一个4×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 4或6或9或12．故答案为：3或6；4或7或10；2n；①n为偶数，有个；②n为奇数，有个；4或6或9或12．9．解：（1）第一级台阶中正方体石墩的块数为：＝3；第一级台阶中正方体石墩的块数为：＝9；第一级台阶中正方体石墩的块数为：；…依此类推，可以发现：第几级台阶中正方体石墩的块数为：3与几的乘积乘以几加1，然后除以2．阶梯级数一级二级三级四级石墩块数 3 9 18 30 （2）按照（1）中总结的规律可得：当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩块；当n＝100时，∴当n＝100时，共用正方体石墩15150块．答：当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩块；当n＝100时，共用正方体石墩15150块．10．解：（1）从左向右依次填：7，9，11；（2）由图可知，n个三角形需2n+1根火柴棒．。

图形规律探索题【例1】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上,且OA 1=A 1A 2=1,以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3,以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4,…,依此规律,得到等腰直角三角形OA 2017A 2018,则点A 2017的坐标为【答案】（0,2）.【解析】解：由题意知：A 1(0,1),A 2(1,1),OA 2=A 2A 3,OA 3=2,∴A 3(2,0),同理,A 4(2,－2),A 5(0,－4),A 6(－4,－4),A 7(－8,0),A 8(－8,8),A 9(0,16)……每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内,2017÷8=252……1,即点A 2017在y 轴正半轴上,横坐标为0,各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23,……2017÷2=1008……1,可得点A 2017的纵坐标为：21008, 故答案为（0,21008）.【变式1-1】如图,在一个单位为 1 的方格纸上,△A 1A 2A 3,△A 3A 4A 5,△A 5A 6A 7,…,是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2,4,6,…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2,0),A 2(1,-1),A 3(0,0),则依图中所示规律,A 2019的横坐标为（ ）A ．-1008B ．2C ．1D ．1011【答案】A.【解析】解：观察图形可知,奇数点在x轴上,偶数点在象限内,所以A2019在x轴上,A1,A5,A9,A13……,A4n－3在x正半轴,4n－3=2019,n=505.5,所以A2019不在x正半轴上；A3（0,0）,A7（－2,0）,A11（－4,0）,A15（－8,0）……,3=4×0+3,7=4×1+3,11=4×2+3,15=4×3+3,……,2019=4×504+3,∴－2×504=－1008,即A2019的坐标为（－1008,0）,故答案为：A.【变式1-2】如图,在平面直角坐标系中,将正方形O ABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,称为一次旋转,依此方式,……,绕点O连续旋转 2 019 次得到正方形O A2 019B2 019C2 019,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2 019 的坐标为.【答案】,0）.【解析】由旋转及正方形性质可得：B(1,1),B1(0, ),B2(－1, 1),B3(－,0),B4(－1, －1),B5(0, －),B6(1, －1),B7(, 0),B8(1, 1),……∴360÷45=8,2019÷8=252……3,∴点B2019落在x轴负半轴上,即B2019(,0),故答案为：,0）.【例2】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…,若点A（53,0）,B（0,4）,则点B2016的横坐标为（）A．5 B．12 C．10070 D．10080 【答案】D．【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限,∵OA=53,OB=4,∠AOB=90°,在Rt△BOA中,由勾股定理得：AB=133,可得：B2（10,4）,B4（20,4）,B6（30,4）,…∴点B2016横坐标为10080．故答案为：D．【变式2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,10…）和“正方形数”（如1,4,9,16…）,在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n 的值为（）A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C．【解析】解：由图形知：第n个三角形数为1+2+3+…+n＝()12n n+,第n个正方形数为n2,当n＝19时,()12n n+＝190＜200,当n＝20时,()12n n+＝210＞200,所以最大的三角形数：m＝190；当n＝14时,n2＝196＜200,当n＝15时,n2＝225＞200,所以最大的正方形数：n＝196,则m+n＝386,所以答案为：C．1.如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°；连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°；…,按此规律所作的第n个菱形的边长为．【答案】1n -．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB =60°,∴AB =BC =1,∠ACB =∠CAB =30°,∴AC ,同理可得：AC 1=2,AC 213,……第n 个菱形的边长为：1n -,故答案为：1n -．2.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB =30°,点A 的坐标为（2,0）,过点A 作AA 1⊥OB ,垂足为点A 1,过A 1作A 1A 2⊥x 轴,垂足为点A 2；再过点A 2作A 2A 3⊥OB ,垂足为点A 3；再过点A 3作A 3A 4⊥x 轴,垂足为点A 4…；这样一直作下去,则A 2017的横坐标为（ ）A ．32 ）2015B ．32 ）2016C ．32 ）2017D ．32）2018 【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB =30°,点A 坐标为（2,0）,∴OA =2,∴OA 1OA OA 2OA 1=2×2⎝⎭,OA 3OA 2=2×3⎝⎭…,∴OA n =）n OA =2）n ．∴OA 2018）2018=32）2016故答案为：B．3.如图,函数()()()4022824x x xyx x--≤<⎧=⎨-+≤<⎩的图象记为C1,它与x轴交于点O和点A1,将C1绕点A1选择180°得C2,交x轴于点A2……,如此进行下去,若点P(103,m)在图象上,则m的值是（）A. -2B. 2C. -3D. 4【答案】A．【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位,函数值相同,即函数图象重复周期为8,103÷8=12……5,当x=5时,y=－2,即m=－2,故答案为：A.4.如图,弹性小球从点P(0,1)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为P1(-2,0),第 2 次碰到正方形的边时的点为P2,……,第n 次碰到正方形的边时的点为Pn,则点P2 019的坐标是（）A．(0,1) B．(-4,1) C．(-2,0) D．(0,3)【答案】D．【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,1),P7（－2,0）……2019÷6=336……3,即P2019（0,3）,故答案为：D.5.如图,在坐标系中放置一菱形 OABC ,已知∠ABC =60°,点 B 在 y 轴上,OA =1,先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转,每次翻转 60°,连续翻转2019次,点 B 的落点依次为 B 1,B 2,B 3,…,则 B 2 019 的坐标为（ ）A . (1010,0)B .(1310.5, 2)C . (1345, 2)D . (1346,0)【答案】D .【解析】解：连接AC ,如图所示．∵四边形OABC 是菱形,∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°,∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1,∴AC =1．由图可知：每翻转6次,图形向右平移4．∵2019=336×6+3,∴点B 3向右平移1344（即336×4）到点B 2019．∵B 3的坐标为（2,0）,∴B 2019的坐标为（1346,0）,故答案为：D ．6.如图,在直角坐标系中,已知点A （﹣3,0）,B （0,4）,对△OAB 连续作旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2019的直角顶点的坐标为（ ）A．（8076,0）B．（8064,0）C．（8076,125）D．（8064,125）【答案】A．【解析】解：∵点A（﹣3,0）、B（0,4）,由勾股定理得：AB＝5,由图可知,三个三角形为一个循环,经历一次循环前进的水平距离为：12,2019÷3＝673,直角顶点在x轴上,673×12＝8076,∴△2019的直角顶点的坐标为（8076,0）．故答案为：A．7.如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点（1,0）作x轴的垂线交l1于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l1于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为．【答案】（21008,21009）．【解析】解：由图可知：A1（1,2）,A2（﹣2,2）,A3（﹣2,﹣4）,A4（4,﹣4）,A5（4,8）,…,∵2017=504×4+1,∴点A2017在第一象限,∵2017=1008×2+1,∴A2n+1（（﹣2）n,2（﹣2）n）（n为自然数）．∴A2017的坐标为（（﹣2）1008,2（﹣2）1008）=（21008,21009）．故答案为：（21008,21009）．8.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018,如果点A的坐标为（1,0）,那么点B2018的坐标为（）A．（1,1）B．（）C．（）D．（﹣1,1）【答案】D．【解析】解：∵四边形OABC是正方形,OA＝1,∴B（1,1）,连接OB,在Rt△OAB中,由勾股定理得：OB,由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3,∴B1（,B2（﹣1,1）,B3,0）,…,360÷45=8,每8次一循环,2018÷8＝252……2,∴点B2018的坐标为（﹣1,1）.故答案为：D．9.将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,OB＝4,OA＝．将三角形纸板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣3,﹣3）B．（3,﹣3）C．（﹣3,3）D．（0,2 3）【答案】A．【解析】解：360÷60=6,即每6秒一循环,2019÷6=336……3,即2019秒时, 点A与其对应点A′关于原点O对称,∵OA＝4,∠AOB＝30°,可得：A(3, 3),∴第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为(－3, －3),故答案为：A.10.正方形ABCD的位置在坐标中如图所示,点A、D的坐标反别为（1,0）、（0,2）,延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第2017个正方形的面积为【答案】4032352⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA, ∴∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°, ∴∠ADO=∠BAA1,∵∠DOA=∠ABA1,∴△DOA∽△ABA1,∴11 2OA BAOD AB==,由勾股定理得：AB=AD=5,∴BA1,∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC,面积=2⎝⎭,同理,第3个正方形的面积为：232⎛⎝⎭,第4个正方形的面积为：23322⎛⨯⎝⎭,……∴第2017个正方形的面积为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.即答案为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.11.如图所示,一动点从半径为 2 的⊙O 上的A0 点出发,沿着射线A0O 方向运动到⊙O 上的点A1 处,再向左沿着与射线A1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A2 处；接着又从A2 点出发,沿着射线A2O 方向运动到⊙O 上的点A3 处,再向左沿着与射线A3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A4 处；……按此规律运动到点A2 017 处,则点A2 017 与点A0 间的距离是【答案】4.【解析】解：由图分析可知,A6点与A0点重合,2017÷6=336……1,即点A2 017 与A1重合,∵⊙O的半径为 2 ,∴点A2 017 与点A0 间的距离是4.12.如图,由一些点组成形如正多边形的图案,按照这样的规律摆下去,则第n（n＞0）个图案需要点的个数是．【答案】n 2+2n .【解析】解：由图知,第1个图形点数为3+0×3,第2个图形点数为4+1×4；第3个图形点数为5+2×5；第4个图形点数为6+3×6……第n 个图形点数为：（n +2）+（n －1）（n +2）=n 2+2n ,即答案为：n 2+2n .13..如图所示的坐标系中放置一菱形OABC ,已知∠ABC =60°,点B 在y 轴上,OA =1,先将菱形OABC 沿x 轴的正方形无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2017次,点B 的落点分别是B 1,B 2,B 3,……,则B 2017的坐标为【答案】（.【解析】解：由题意知：OB 即B∴B 1,=32,即B 1(32),由图可知,每翻折6次,图形向右平移4个单位,2017=336×6+1,求得：B 2017（336×4+ 32,即B 2017（）,故答案为：（.14.如图,在平面直角坐标系中,点A 1,A 2,A 3,……和点B 1,B 2,B 3,……分别在直线15y x b =+和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3……都是等腰直角三角形,若点A 1(1,1),则点A 2019的纵坐标是【答案】201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：如图,分别过A 1,A 2,A 3作x 轴的垂线,∵点A (1,1)在直线15y x b =+上, ∴b =45, 由△OA 1B 1是等腰直角三角形,得：OB 1=2,设A 2(x ,y ),则B 1C 2=x －2,y = x －2,∴x －2=1455x +,解得：x =72,y =32,即A 2的纵坐标为：32； 同理可得：A 3的纵坐标为：29342⎛⎫= ⎪⎝⎭, 即A n 的纵坐标是A n －1纵坐标的32倍, 即A 2019的纵坐标为：201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.15.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0),点 D 的坐标为(0,2),延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形 A 1CC 1B 1；延长 C 1B 1 交 x 轴于点 A 2,作正方形 A 2C 1C 2B 2；…,按照这样的规律作正方形,则点B2 019的纵坐标为．【答案】201932⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：过B作BH⊥x轴于H,由一线三直角模型,可知△ADO≌△BAH,即BH=OA=1,即B点纵坐标为1,同理得：B1点纵坐标为32,B2点纵坐标为232⎛⎫⎪⎝⎭,B3点纵坐标为332⎛⎫⎪⎝⎭,……B2019点纵坐标为201932⎛⎫⎪⎝⎭,即答案为：2019 32⎛⎫⎪⎝⎭.。

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（五）1．为了庆祝元旦，某商场在门前的空地上用花盆排列出了如图所示的图案，第1图案中10个花盆，第2个图案中有19个花盆，……，按此规律排列下去．（1）第3个图案中有个花盆，第4个图案中有个花盆；（2）根据上述规律，求出第n个图案中花盆的个数（用含n的代数式表示）．（3）是否存在恰好由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案？若存在，说明它是第几个图案？若不存在，请说明理由．2．请观察图形，并探究和解决下列问题：（1）在第n个图形中，每一横行共有个正方形，每一竖列共有个正方形；（2）在铺设第n个图形时，共有个正方形；（3）某工人需用黑白两种木板按图铺设地面，如果每块黑板成本为8元，每块白木板成本6元，铺设当n＝5的图形时，共需花多少钱购买木板？3．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有个正方形；（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有个正方形；（3）能否将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．4．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c 个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．5．下列图形都是由同样大小的空心圆圈按照一定规律所组成的，其中图（1）中一共有7个空心圆圈；图（2）中一共有11个空心圆圈；图（3）中一共有15个空心圆圈；…（1）图（4）一共应有个空心圆圈．（2）按此规律排列下去，猜想图（n）中一共有多少个空心圆圈？用含n的代数式表示（不用说理）．（3）是否存在图（x）中一共有2018个空心圆圈？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．6．某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示，请仔细观察并找出规律，解答下列问题：（1）按照此规律，摆第10个图时，需根火柴棒；摆第n个图时所需根火柴棒；（2）用1202根火柴棒能按此规律摆出一个“金鱼”图案吗？若能，说明是第几个图形；若不能，请说明理由．7．观察下图：我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x+y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x+4y，遵循以上规律，解答下列问题：（1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为．（2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2．①求x和y的值；②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形．8．用火柴棒按下列方式搭建三角形：三角形个数 1 2 3 4 …火柴棒根数 3 5 7 9 …（1）当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是多少？（2）求当n＝100时，有多少根火柴棒？（3）当火柴棒的根数为2017时，三角形的个数是多少？9．用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放：（1）第⑤个图案有张白色小正方形纸片；（2）第n个图案有张白色小正方形纸片；（3）第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？10．如图，第一次将正方形纸片剪成4个一样的小正方形纸片，第2次将右下角的那个小正方形纸片按同样的方法剪成4个小正方形纸片，第3次，将第2次剪出的小正方形纸片右下角的那个小正方形纸片再剪成4个一样的小正方形纸片，…如此循环进行下去．（1）请将下表补充完整．剪的次数 1 2 3 4 5 …总共得到的小正方形纸片的个数 4 …（2）如果剪n次，总共能得到多少个小正方形纸片？（3）如果剪100次，总共得到多少个小正方形纸片？（4）如果想得到361个小正方形纸片，需要剪几次？参考答案1．解：（1）第1个图案中有10个花盆，第2个图案中有2×10﹣1＝19个花盆，第3个图案中有3×10﹣2＝28个花盆，第4个图案中有4×10﹣3＝37个花盆；（2）第n个图案中有10n﹣（n﹣1）＝9n+1个花盆；（3）假设存在恰好由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案，则有9n+1＝2018，解得：n＝，不是整数，所以不存在由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案；故答案为：28；372．解：（1）第n个图形的木板的每行有（n+3）个，每列有n+2个，故答案为：（n+3）、（n+2）；（2）所用木板的总块数（n+2）（n+3），故答案为：（n+2）（n+3）；（3）当n＝5时，有白木板5×（5+1）＝30块，黑木板7×8﹣30＝26块，共需花费26×8+30×6＝388（元）．3．解：（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，∴第n次可得（4n+1）个正方形，∴第100次可得正方形：4×100+1＝401（个）；故答案为：401；（2）由（1）得：第n次可得（4n+1）个正方形，故答案为：4n+1；（3）不能，∵4n+1＝2020，解得：n＝504.75，∴n不是整数，∴不能将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形．4．解：探究三：根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；故答案为a﹣1，4a﹣4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．故答案为2a﹣2，8a﹣8；问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．5．解：（1）第（1）个图形中最下面有2个圆，上面有1+3+1个圆；第（2）个图形中最下面有3个圆，上面有2+4+2个圆，第（3）个图形中最下面有4个圆，上面有3+5+3个圆，那么可得第（4）个图形最下面有5个圆，上面有4+6+4个圆，所以5+4+6+4＝19；故答案为：19；（2）图（n）中一共有n+1+n+n+2+n＝4n+3个空心圆圈；（3）不存在，理由是：根据题意4x+3＝2018，解得：x＝503，不是整数，所以不存在图（x）中一共有2018个空心圆圈．6．解：（1）由图可得，第一幅图的火柴数为：2+6×1＝8，第二幅图的火柴数为：2+6×2＝14，第三幅图的火柴数为：2+6×3＝20，则第10个图的火柴数为：2+6×10＝62，第n个图的火柴数为：2+6n，故答案为：62，（6n+2）；（2）用1202根火柴棒能按此规律摆出一个“金鱼”图案，令6n+2＝1202，解得，n＝200，答：是第200个图形．7．解：（1）∵第1个图形中“正方形多项式”为：4x+y，第2个图形中“正方形多项式”为：9x+4y，第3个图形中“正方形多项式”为：16x+9y，∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x+16y，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n+1）2x+n2y，故答案为：25x+16y，（n+1）2x+n2y；（2）①依题意，得，解得：；②Q＝（n+1）2x+n2y＝﹣n2+4n+2＝﹣（n﹣2）2+6，当n＝2时，Q最大值为6，∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6．8．解：（1）当三角形的个数为1时，需要的火柴棒根数为：1+2＝3，当三角形的个数为2时，需要的火柴棒根数为：1+2×2＝5，当三角形的个数为3时，需要的火柴棒根数为：1+2×3＝7，当三角形的个数为4时，需要的火柴棒根数为：1+2×4＝9，…当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是：1+2n；（2）当n＝100时，1+2n＝1+2×100＝201，即当n＝100时，有201根火柴棒；（3）令1+2n＝2017，解得，n＝1008，答：当火柴棒的根数为2017时，三角形的个数是1008．9．解：（1）∵第1个图形中白色纸片的数量4＝1+3×1，第2个图形中白色纸片的数量7＝1+3×2，第3个图形中白色纸片的数量10＝1+3×3，……∴第5个图片中白色纸片的数量为1+3×5＝16，故答案为：16；（2）由（1）知，第n个图案中白色纸片的数量为1+3n，故答案为：3n+1；（3）设第n个图案中共有81张纸片，由3n+1+n＝81得n＝20，即第20个图案中共有81张纸片．10．解：（1）填表如下：剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 4 7 10 13 16 （2）如果剪了n次，共剪出（3n+1）个小正方形；（3）如果剪了100次，共剪出3×100+1＝301个小正方形；（4）依题意有3n+1＝361，解得：n﹣120．答：需要剪120次．。

2021年九年级数学中考一轮复习《图形变化》培优提升测评（附答案）1．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝2：1，且BF＝2．则DF的长为（）A．4B．3C．4D．62．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE＝9，连接BE，则BE+DE的最小值为（）A．18B．C．10D．3．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E 处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则sin∠AFG的值为（）A．B．C．D．4．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（）A．8B．C．D．105．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝BC，若AD＝2，CD＝1，则BD的值为（）A．B．2C．D．36．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝120°，点D在边BC上，等腰△ADE绕点A顺时针旋转30°后，点D落在边AB上，点E落在边AC上，若AE＝2cm，则四边形ABDE的面积是多少（）A．4cm B．cm C．2cm D．4cm7．矩形ABCD中，AB＝3，CB＝2，点E为AB的中点，将矩形右下角沿CE折叠，使点B 落在矩形内部点F位置，如图所示，则AF的长度为（）A．B．2C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，点O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，OA＝4，OC＝6，点E为OC的中点，将△OAE沿AE翻折，使点O落在点O′处，作直线CO'，则直线CO'的解析式为（）A．y＝﹣x+6B．y＝﹣x+8C．y＝﹣x+10D．y＝﹣x+89．如图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧的中点，AC与BD交于点E．若AE＝3，CD＝2，则BC等于（）A．6B．8C．10D．1210．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝4，ED＝4，则AB的长为（）A．4B．C．D．11．如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD＝3CD＝3，DE ＝AB＝2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE＝．12．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF ＝30步，GH＝750步．问正方形小城ABCD的边长是多少？该问题的答案是．13．在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC＝3+，∠ABC＝60°，∠C＝45°，现将△ABD 沿着AD翻折，得到△ADE，过D作DF⊥AC于点F，交AE于点H，连BH，则BH2的值是．14．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），点P在BC边上运动，过P作PQ⊥OP，交AB边于Q，则AQ的最小值为．15．操作：如图，已知正方形纸片ABCD的边长为10，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，当P刚好位于DP＝DC时，△EDP与△PCG的周长之比为．16．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE＝，BC＝3，则CE＝．17．如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△ADE与△CMN相似．18．如图，正方形ABCD的面积为S，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．19．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为．20．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E．若∠FOG＝45°，求矩形OACB的面积．21．如图，线段AB＝16，以AB为直径的半圆上有一点C，连接BC并延长到点D，使DC ＝2BC，连接OD、AC交于点E，当∠B＝2∠D时，线段OE的长为．22．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是边AD上一点，将△EDC沿EC翻折，点D的对应点D′落在正方形内部，若△AD′E恰是以D′E为腰的等腰三角形，那么DE的长为．23．如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，E点在AB上且AE＝2BE，点F在线段BC上，过F作EF的垂线，交射线AC于G，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，则AG＝．24．已知Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，DB＝EB，CE所在的直线交AD于点F．（1）如图1，若点D在△ABC外，点E在AB边上，求证：AD＝CE，AD⊥CE．（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC内部，如图2，求证：AD＝CE，AD⊥CE．（3）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转，使点D、E都在△ABC外部，如图3，请直接写出AD和CE的数量和位置关系．25．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是；NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝7，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的一点，C1P＝，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q，则△A1B1Q的面积是．26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当△AOD是直角三角形且∠ADO＝90°时，求a的度数；（3）当a＝110°或125°或140°时，判断△AOD的形状，请选择其中一种情况说明理由．27．如图，平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．（1）过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线M于点H，证明：P A＝PH．（2）在（1）的条件下，若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接BQ，点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．28．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：∵AE：BE＝2：1，∴设AE＝2a，BE＝a，则AB＝3a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3a，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴＝，∵BE＝a，CD＝3a，BF＝2，∴＝，解得：DF＝6，故选：D．2．解：如图所示，过点E作CD平行线FG，作D关于FG的对称点D'，连接D'E，则DE ＝D'E，∴BE+DE＝BE+ED'，当B，E，D'在同一直线上时，BE+DE的最小值等于线段BD'的长，∵S△CDE＝9，AB＝CD＝6，∴×6×DF＝9，∴DF＝3，∴DD'＝2DF＝6，AD'＝2+6＝8，又∵AB＝6，∠A＝90°，∴Rt△ABD'中，BD'＝＝＝10，∴BE+DE的最小值为10，故选：C．3．解：连接AE，BE，BD，由∠C＝∠BAD＝60°，CD＝CB，可得等边△CBD，∵DE＝CE，∴BE⊥CD，∴∠ABE＝90°，∴∠EAF+∠AEB＝90°，由轴对称可得，AE⊥GF，∴∠EAF+∠GF A＝90°，∴∠GF A＝∠AEB，设CE＝1，则BC＝2，BE＝，AB＝2，∴AE＝＝，∴sin∠AFG＝sin∠AEB＝＝．故选：B．4．解：如图，延长CE交AD于F，过B作BG⊥CE于G，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵∠ACB＝90°，CE为中线，∴CE＝AE＝BE＝5，S△BCE＝S△ABC，∴CE×BG＝×AC×BC，即BG＝＝，由折叠可得，CF垂直平分AD，∴∠AFE＝90°＝∠BGE，又∵∠AEF＝∠BEG，AE＝BE，∴△AEF≌△BEG（AAS），∴AF＝BG＝，∴AD＝2AF＝，故选：C．5．解：连接AC，BD，作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AD＝2，CD＝1，∴AC＝＝，∵BC＝BC，∴AB＝BC＝，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBH，∴tan∠DAC＝tan∠DBH＝＝，设DH＝x，则BH＝2x，BD＝x，CH＝2x﹣，在Rt△CDH中，则有12＝x2+（2x﹣）2，解得x＝或（舍弃），∴BD＝x＝，故选：C．6．解：如图，作AH⊥BC于H．由题意：∠EAD＝∠BAC＝120°，∠EAC＝∠C＝30°，∴AE∥BC，∵∠ADH＝∠B+∠BAD，∠B＝∠BAD＝30°，∴∠ADH＝60°，BD＝AD＝AE＝2cm，∴AH＝（cm），∵BD＝AE，BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴S平行四边形ABCD＝BD•AH＝2（cm2），故选：C．7．解：如图中，作EM⊥AF，则AM＝FM，∵AE＝EB＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∵∠CEF＝∠CEB，∠BEF＝∠EAF+∠EF A，∴∠BEC＝∠EAF，∴AF∥EC，在Rt△ECB中，EC＝＝，∵∠AME＝∠B＝90°，∠EAM＝∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴＝，∴＝，∴AM＝，∴AF＝2AM＝，故选：A．8．解：连接OO'交AE与点M，过点O'作O'H⊥OC于点H，∴点E为OC中点，∴OE＝EC＝OC＝3，在Rt△AOE中，OE＝3，AO＝4，∴AE＝＝5，∵将△OAE沿AE翻折，使点O落在点O′处，∴AE垂直平分OO'，∴OM＝O'M，在Rt△AOE中，∵S△AOE＝AO•OE＝AE•OM，∴×3×4＝×5×OM，∴OM＝，∴OO'＝，∵∠O'OH+∠AOM＝90°，∠MAO+∠AOM＝90°，∴∠MAO＝∠O'OH，又∵∠AOE＝∠OHO'＝90°，∴△AOE∽△OHO'，∴＝＝，即＝＝，∴OH＝，O'H＝，∴O'的坐标为（，），将点O'（，），C（6，0）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣，b＝8，∴直线CO'的解析式为y＝﹣x+8，故选：D．9．解：连接OD交AC于点F，延长BA、CD交于点G，∵D是弧AC的中点，∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，又∵BC为直径，∴∠BDC＝90，∴△BCG为等腰三角形，∴BD平分CG，∴CG＝2CD＝4，在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，所以Rt△CDE∽Rt△CAG，则＝，即＝，解得CE＝5或CE＝﹣8（舍去）．在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝＝4，因为GA•GB＝GD•GC，即4（AB+4）＝2×4，解得AB＝6．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝10．故选：C．10．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠D，∴∠ABC＝∠D，且∠BAE＝∠BAD，∴△ABE∽△ADB，∴，∴AB2＝AE•AD＝4×（4+4）＝32，∴AB＝4，故选：C．11．解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AD，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴AB＝AC＝BC，∠B＝60°，∴BH＝CH，∵BD＝3CD＝3，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝3+1＝4，∴BH＝CH＝2，∴AB＝AC＝4，∴AH＝2，∵DE＝AB＝2DG＝4，∴DG＝2，∵四边形DEFG是矩形，∴FG＝DE＝4，∠DGF＝90°，EF＝DG＝2，∵AG+AF≥FG，∴当且仅当A、G、F三点共线时，AG+AF取得最小值为4，∵DH＝CH﹣CD＝2﹣1＝1，在Rt△ADH中，根据勾股定理，得AD＝＝＝，在Rt△ADG中，根据勾股定理，得AG＝＝＝3，∴AF＝GF﹣AG＝4﹣3＝1，在Rt△AEF中，根据勾股定理，得AE＝＝＝．∴当AG+AF最小时，则AE＝．故答案为：．12．解：设正方形的边长为x步，∵点G、点E分别是正方形ABCD的边AD、CD的中点，∴DG＝AD，DE＝CD，∴DG＝DE，由题意易得，∠FDE＝∠H，∠FED＝∠DGH＝90°．∴Rt△DFE∽Rt△HDG，∴，而EF＝30步，GH＝750步，即DE×DG＝EF×HG，∴DE2＝30×750＝22500，解得：DE＝150，∴CD＝2DE＝300步．故答案为：300步．13．解：如图，过点作HM⊥CD于M，HN⊥AD于N．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝45°，∴∠C＝∠CAD，∴DA＝CD＝AC＝3+，∵∠ABD＝60°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，∵AB2＝BD2+AD2，∴BD＝+1，AB＝2+1，∵△ADE是由△ADB翻折得到，∴AE＝AB＝2+2，∵DF⊥AC，DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠CDF，∵HM⊥DC，HN⊥AD，∴S△ADE＝•AD•DE＝•AD•HN+•DE•HM，∴HM＝＝＝，∴DM＝HM＝，∴BM＝BD+DE＝+1+＝2+1，∴BH2＝HM2+BM2＝（）2+（2+1）2＝3+12+1+4＝16+4，故答案为：16+4．14．解：设CP为x，BQ为y，则PB＝6﹣x，∵四边形OABC是矩形，PQ⊥OP，∴△OCP∽△PBQ，∴＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，y的最大值为：，∴AQ的最小值为：4﹣＝，故答案为：．15．解：∵DP＝DC，DC＝10，∴DP＝×10＝2，CP＝10﹣2＝8，由翻折性质可得EP＝AE，设ED＝x，则EP＝AE＝10﹣x，在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，即（10﹣x）2＝x2+22，解得x＝4.8，∵∠PED+∠EPD＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∠EPD+∠GPC＝180°﹣∠EPG＝180°﹣90°＝90°，∴∠EPD＝∠GPC，又∵∠D＝∠C＝90°，∴△EPD∽△PGC，∴△EDP与△PCG的周长之比＝＝＝，即，△EDP与△PCG的周长之比为3：5．故答案为：3：5．16．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝3，∴∠ABF+∠AFB＝90°，由折叠的性质，可得：∠BFE＝∠C＝90°，BF＝BC＝3，CE＝EF，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∵tan∠DFE＝，∴sin∠ABF＝，cos∠ABF＝，∴在Rt△ABF中，AF＝BF•sin∠ABF＝3×＝，AB＝BF•cos∠ABF＝3×＝，∴DF＝AD﹣AF＝3﹣＝，∴CE＝EF＝＝×＝2．故答案为：2．17．解：∵AE＝EB，∴AD＝2AE，又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM与AD是对应边时，CM＝2CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+CM2＝4，解得：CM＝；②CM与AE是对应边时，CM＝CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+4CM2＝4，解得：CM＝．综上所述：当CM为或时，△AED与△CMN相似．故答案是：或．18．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO．AC⊥BD，∴B、D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE．∵△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE．∵正方形ABCD的面积为S，∴AB＝，∴BE＝．∴PD+PE的和最小值为．故答案为：．19．解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC ＝α．又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，∵OD＝AD，∴∠AOD＝∠DAO．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°．故答案是：140°．20．解：∵直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点D，点E，∴OD＝OE＝4，∴∠ODE＝∠OED＝45°；∴∠OGE＝∠ODF+∠DOG＝45°+∠DOG，∵∠EOF＝45°，∴∠DOF＝∠EOF++∠DOG＝45°+∠DOG，∴∠DOF＝∠OGE，∴△DOF∽△EGO，∴＝，∴DF•EG＝OE•OD＝16，过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，∵NG＝AC＝a，FM＝BC＝b，∴DF＝b，GE＝a，∴DF•GE＝2ab，∴2ab＝16，∴ab＝8，∴矩形OACB的面积＝ab＝8．故答案为8．21．解：连接OC，过点O作OF⊥AC于点F，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠B＝2∠D，∴∠OCB＝2∠D，∵∠OCB＝∠D+∠DOC，∴∠DOC＝∠D，∴∠DOC＝∠D，∴DC＝OC＝AB＝8，∴BC＝DC＝4，由勾股定理可知，AC＝4，由垂径定理可知：OF＝BC＝2，FC＝AC＝2，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴OF∥CD，∴△OFE∽△DCE，∴＝＝，∴EF＝FC＝，由勾股定理可求得：OE＝，故答案为22．解：①如图，连接AC，当A、D'、C三点共线时，∠EAD'＝∠DAC＝45°，由折叠可得∠D＝∠CD'E＝∠AD'E＝90°，DE＝D'E，∴∠AED'＝45°，∴∠EAD'＝∠AED'，∴AD'＝ED'，即△AD'E是以D′E为腰的等腰三角形，又∵Rt△ABC中，AC＝＝4，而CD'＝CD＝4，∴AD'＝4﹣4，∴DE＝D'E＝AD'＝4﹣4；②如图，当D'E＝AE时，△AD'E是以D′E为腰的等腰三角形，由折叠得，DE＝D'E，∴AE＝DE，又∵AE+DE＝AD＝4，∴DE＝2．故答案为：4﹣4或223．解：当FG∥AB时，如图1，∵∠GFE＝90°，∴∠FEB＝90°，过C作CH⊥AB于H，∵AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴BH＝BC＝3，∴AB＝6，∵AE＝2BE，∴BE＝2，∵EF∥CH，∴＝，∴＝，∴BF＝4，∴CF＝2，∵FG∥AB，∴∠CGF＝∠A，∠CFG＝∠B，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF＝2，∴AG＝4；如图2，当EF∥AC时，∴△BEF∽△BAC，∴＝＝，∴BF＝2，∴CF＝4，∵∠ACB＝120°，∴∠GCF＝60°，∵∠CGF＝∠EFG＝90°，∴CG＝CF＝2，∴AG＝AC+CG＝8，综上所述，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，AG＝4或8．故答案为：4或8．24．（1）证明：在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝90°，∴∠ADB+∠BAD＝90°，∴∠ADB+∠BCE＝90°，∴∠CFD＝90°，∴AD⊥CE，∴AD＝CE，AD⊥CE；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABC＝90°，∴∠BOC+∠BAE＝90°，∵∠BOC＝∠AOF，∴∠BAD+∠AOF＝90°，∴∠AFO＝90°，∴AD⊥CE，∴AD＝CE，AD⊥CE；（3）AD＝CE，AD⊥CE；理由如下：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，即∠ABD＝∠CBE，同（2）的方法，可以得到AD＝CE，AD⊥CE．25．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为：∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，（1）中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝7，∴B1M＝，∴A1M＝＝，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝A1M＝，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝﹣7，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝NC1•＝﹣，∴＝×（）＝，∵＝M＝，∴＝﹣＝＝，故答案为：．26．（1）证明：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD＝60°，OC＝DC，∴△COD是等边三角形；（2）解：∵△COD是等边三角形∴∠CDO＝60°，∵∠ADO＝90°，∴∠ADC＝∠CDO+∠ADO＝60°+90°＝150°，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠a＝∠ADC＝150°；（3）解：当∠a＝110°或125°或140°时，△AOD均是等腰三角形；当∠a＝110°时，理由如下：∵∠ADO＝110°﹣60°＝50°，∠AOD＝360°﹣110°﹣110°﹣60°＝80°．∴∠OAD＝180°﹣50°﹣80°＝50°＝∠ADO；∴△AOD是等腰三角形；当∠a＝125°时，理由如下：∵∠ADO＝125°﹣60°＝65°，∠AOD＝360°﹣110°﹣125°﹣60°＝65°．∴∠AOD＝∠ADO；∴△AOD是等腰三角形；当∠a＝140°时，理由如下：∵∠ADO＝140°﹣60°＝80°，∠AOD＝360°﹣110°﹣140°﹣60°＝50°．∴∠OAD＝180°﹣50°﹣80°＝50°＝∠AOD；∴△AOD是等腰三角形；27．解：（1）∵A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．∴OA＝OB＝OC，∴△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，∴∠6＝∠7＝45°，如图1，过点P作PG∥AB交y轴与G，则∠4＝∠6＝45°，∴OP＝OG，∴AO+OG＝OB+OP，即AG＝PB，∵AP⊥PH，∴∠2+∠5＝90°，∵∠1+∠5＝90°，∴∠1＝∠2，∵MN⊥AB，∴∠3+∠7＝90°，∴∠3＝45°，∴∠3＝∠4，在△APG和△PHB中，，∴△APG≌△PHB（ASA），∴P A＝PH．（2）结论：OG＝PG，OG⊥PG，理由：如图2，延长PG到R，使GR＝PG，连接PO，OR，BR，在△PQG和△BRG中，，∴△PQG≌△BRG（SAS），∴PQ＝BR，∠5＝∠GBR，∴PQ∥BR，∵AP⊥PQ，延长AP交BR于S，交OB于T，则AP⊥BR，∵∠AOB＝∠ASB＝90°，∠ATR＝∠BTS，∴∠α＝∠β，∵P A＝PQ，PQ＝BR，∴P A＝BR，在△P AO和△RBO中，，∴△P AO≌△RBO（SAS），∴PO＝OR，∠1＝∠2，∵∠1+∠POB＝90°，∴∠POB+∠2＝90°，∴△POR为等腰直角三角形，∵PG＝GR，∴OG⊥PG，OG＝PG．28．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠ACB，∴△BAD∽△DCE．（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∵△CDE∽△ABD，∴△ABD∽△CBA，∴＝，即＝，解得，BD＝，∵DE∥AB，∴＝，即＝，解得，AE＝；（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由如下：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝8，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝6，∴tan B＝＝，∵∠ADE＝∠B，∴tan∠ADE＝＝，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴═＝，即＝，解得，AN＝，∴MH＝AN＝，∴CH＝CM﹣MH＝，∵FD＝FC，FH⊥CD，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝9．。

2021年九年级中考数学一轮复习专题《找规律：图形变化类》高频考点训练（一）1．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中黑色三角形的个数为．2．如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两顶点）有n（n＞1）个点，每个图形总点数S＝（用含n的代数式表示）．3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，照此规律摆下去，摆成第50个图案需要个等边三角形．4．如图所示，用火柴棍拼成由菱形组成的图形，如果图形中含有n个菱形，需要的火柴棍的根数是．5．如图所示，以一根火柴棍为一边，拼成一排由正方形组成的图形，如果图形中含有50个正方形，则需要根火柴棍．6．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第1个图形中有8个“●”和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第3个图形中有24个“●”和9个“★”，…，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍．7．当n 等于1，2，3时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，按此规律进行下去，则当n ＝10时，图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为 ．8．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：第（6）个图案中有白色地砖 块，那么第（n ）个图案中有白色地砖 块． 9．如图，已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1的各边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2；以此进行下去…则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为 ；正方形A n B n ∁n D n 的面积为 ．10．某数为S ，观察图形的规律：请按上面规律判断S 与n 的关系是 ．11．如图，将若干个□、△、○图形按一定的规律从左向右排列：□△△○○○□△△○○○…①第一百图形是；（填□或△或○）②前100个图形中○一共有个．12．观察如图图形规律：当n＝时，图形中“•”的个数是“△”的个数的一半．13．用火柴棒按如图的方式搭五边形组成的图形（1）填写表：五边形个数 1 2 3 4 5火柴棒根数 5 9 13 17（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的五边形需要根火柴棒．14．如图（1）、（2）、（3）所示，每个图形分别有、、个三角形；若在BC上有n个点，则应有个三角形．15．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，能连续搭建正六边形的个数为个．16．观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形中有190个五角星．17．搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，请思考：串4顶这样的帐篷需要钢管根．18．观察下列图形的排列规律：依据此规律，第8个图形共有个▲．19．用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星个．20．观察下列图形：他们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形中共有个五角星，第n个图形中共有个五角星（n为正整数）．参考答案1．解：观察图形的变化可知：第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有1+2＝3个黑色三角形，第③个图案中有1+2+3＝6个黑色三角形，…，则第⑥个图案中黑色三角形的个数为：1+2+3+4+5+6＝21（个）．故答案为：21．2．解：观察图形可知：当n＝2时，图形总点数是S＝3×2﹣3＝3，当n＝3时，图形总点数是S＝3×3﹣3＝6，当n＝4时，图形总点数是S＝3×4﹣3＝9，…，所以当每条“边”有n个点时，图形总点数是S＝3n﹣3．故答案为：3n﹣3．3．解：观察图形变化可知：摆成第1个图案需要的等边三角形个数为3×1+1＝4个；摆成第2个图案需要的等边三角形个数为3×2+1＝7个；摆成第3个图案需要的等边三角形个数为3×3+1＝10个；…，所以摆成第n个图案需要的等边三角形个数为（3n+1）个；所以摆成第50个图案需要的等边三角形个数为3×50+1＝151个；故答案为：151．4．解：∵第一个菱形需要3+1＝4根火柴棍，每增加一个菱形就增加3根火柴棒，∴有n个菱形，则需要（3n+1）根火柴棍；故答案为：（3n+1）．5．解：1个正方形中一共有4根火柴棍，2个正方形中一共有3+4＝7根火柴棍，3个正方形中一共有3+3+4＝10根火柴棍，…n 个正方形中火柴棍的个数是4+3（n ﹣1）＝3n +1，图形中含有50个正方形，可得：3×50+1＝151， 故答案为：151．6．解：第1个图形中有1×8＝8个“●”和12＝1个“★”， 第2个图形中有2×8＝16个“●”和22＝4个“★”， 第3个图形中有3×8＝24个“●“和32＝9个“★”， …，第n 个图形中有8n 个“●“和n 2个“★”， 当2×8n ＝n 2时，解得：n ＝16或n ＝0（舍去）则第16个图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍． 故答案为：16．7．解：观察图形的变化可知：第1个图形中，白色小正方形1个，黑色小正方形1×4＝4（个）， 第2个图形中，白色小正方形22＝4个，黑色小正方形2×4＝8（个），第3个图形中，白色小正方形32＝9个，黑色小正方形3×4＝12（个）， …，所以第10个图形中，白色小正方形102＝100个，黑色小正方形10×4＝40（个）， 所以第10个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为100+40＝140（个）． 故答案为：140个．8．解：设第（n ）个图形中有白色地砖a n 块，观察，发现规律：a 1＝6＝4×1+2，a 2＝10＝4×2+2，a 3＝14＝4×3+2，…， ∴a n ＝4n +2．当n ＝6时，a 6＝4×6+2＝26． 故答案为：26；4n +2．9．解：∵正方形A 1B 1C 1D 1边长的平方为：（1+1）2+12＝5， 故 正方形A 1B 1C 1D 1面积的平方为：5 又∵正方形A 2B 2C 2D 2边长的平方为：（﹣2）2+（）2＝25，∴正方形A 2B 2C 2D 2面积为：25＝52以此类推，正方形A 3 B 3 C 3 D 3的边长的平方为：（2×5）2+52＝125 ∴正方形A 3 B 3 C 3 D 3的面积为：125＝53 …∴正方形A n B n ∁n D n 的面积为 5n 故答案为：625；5n 10．解：观察可得，n ＝2时，S ＝6；n ＝3时，S ＝6+（3﹣2）×6＝12； n ＝4时，S ＝6+（4﹣2）×6＝18；…所以，S 与n 的关系是：S ＝6+（n ﹣2）×6＝6n ﹣6． 故答案为：6n ﹣6．11．解：（1）由图可得，每6个图形出现一次循环，由100÷6＝16余4，可得第100个图即为一个循环中的第4个图○； （2）前100个图形中○一共有：16×3+1＝49个． 故答案为：○，49．12．解：∵n ＝1时，“•”的个数是3＝3×1；n ＝2时，“•”的个数是6＝3×2； n ＝3时，“•”的个数是9＝3×3； n ＝4时，“•”的个数是12＝3×4；∴第n 个图形中“•”的个数是3n ； 又∵n ＝1时，“△”的个数是1＝； n ＝2时，“△”的个数是3＝； n ＝3时，“△”的个数是6＝； n ＝4时，“△”的个数是10＝；∴第n 个“△”的个数是；由3n＝，解得n＝11或n＝0（舍去），故答案为：1113．解：搭一个五边形需5根火柴，搭2个五边形中间少用1根，需要9根火柴棒，搭3个五边形中间少用2根，需要13根火柴棒，搭4个五边形中间少用3根，需要17根火柴棒，搭5个五边形中间少用4根，需要21根火柴棒，…搭n个五边形中间少用（n﹣1）根，需要[5n﹣（n﹣1）]＝（4n+1）根火柴棒；故答案为：21，（4n+1）．14．解：当BC上的点的个数分别是1时，三角形的个数为：2+1＝3（个）；当BC上的点的个数分别是2时，三角形的个数为：3+2+1＝6（个）；当BC上的点的个数分别是3时，三角形的个数为：4+3+2+1＝10（个）…当BC上的点的个数分别是n时，三角形的个数随点数为：（n+1）+n+…+3+2+1＝（n+1）（n+2）．故答案为：3；6；9；（n+1）（n+2）15．解：设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y个，由题意得，解得：．故答案为：286．16．解：通过观察，得到星的个数分别是，1，3，6，10，15，…，第一个图形为：1×（1+1）÷2＝1，第二个图形为：2×（2+1）÷2＝3，第三个图形为：3×（3+1）÷2＝6，第四个图形为：4×（4+1）÷2＝10，…，所以第n个图形为：n（n+1）÷2个星，设第m个图形共有190个星，则m（m+1）÷2＝190，解得：m＝19．故答案为：19．17．解：结合图形，发现：串n顶这样的帐篷需要钢管17+11（n﹣1）＝11n+6（根）．当n＝4时，11n+6＝11×4+6＝50．故答案为：50．18．解：分析数据可得：∵第1个图案中基础图形的个数为1；第2个图案中基础图形的个数为4×1+1＝5；第3个图案中基础图形的个数为4×2+1＝9；∴第8个图案有4×7+1＝29个三角形．故答案为：29．19．解：当n为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有个，故共有3（）个；当n为偶数时，中间一行有个，故共有+1个．所以当n＝99时，共有3×＝150个．故答案为150．20．解：观察发现，第1个图形五角星的个数是，1+3＝4，第2个图形五角星的个数是，1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是，1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是，1+3×4＝13，…依此类推，第n个图形五角星的个数是，1+3×n＝3n+1，∴当n＝8时，3×8+1＝25．故答案为：25，1+3n．。

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律之图形变化类》（四）1．一张方形桌子可坐4人，按下图方式将桌子拼在一起．（1）两张桌子拼在一起可坐人；三张桌子拼在一起可以坐人；n张桌子拼在一起可坐人．（2）一家酒楼有60张桌子，按照上图方式每4张拼成一个大桌子，则60张桌子可拼成15张大桌子，共可坐人．（3）有问题（2）中，若4张桌子拼成一个大的正方形桌子，则可坐人．2．如图所示，有25个点，横竖都以相等的间隔排列．请你想出尽可能多的方法，将点连成面积不同的正方形．图中一共给出8个备用栏，但不一定有8个答案，请在一个备用栏里画出一个图形．3．在表格中分别填写下列图形的周长，当梯形的个数是n 时，用代数式表示图形的周长．梯形个数 1 2 3 4 5 6 … n周长 5 8 11 14 …4．观察图中正六边形“蜘蛛网”的变化规律：（1）表： 边上的小数点 1 2 3 4 5 小数点的总数（2）如果用n 表示六边形边上的小点数，m 表示这个正多边形中小点的总数，那么m 和n 的关系是什么？5．如图，每一个图形都是由小三角形“△”拼成的：观察发现，第10个图形中需要个小三角形，第n个图形需要个小三角形．6．观察下列三角形图案，填下表．每边上圆点数 2 3 4 …n图形中圆点总数…7．花卉市场为了扩大花卉的销售量，举行了花卉展销活动，将每盆花摆成如图所示的形式，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面：（每种图案的盆花一次性出售，最后一种图案的每盆花单价不低于2.1元）（1）按上表规律：第八种图案的盆花总数为盆，总价为元；（2）设第n种图案的盆花总数为S盆，则S与n的关系式是，n的取值范围是；（3）设第n种图案的盆花的单价为m，则m与n的关系式是；（4）这个花卉市场将盆花摆成第n种图案时，其销售总价y与n的关系式是．8．探索规律：用火柴棒按下面的方式搭图形，填写下表：照这样的规律搭下去：（1）第n个图形的大三角形周长的火柴棒是几根？（2）第n个图形的小三角形个数有几个？第200个图形的小三角形个数有几个？（3）第n个图形需要多少根火柴棒？9．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答有关问题：（1）在第5个图中共有块白瓷砖；（2）在第n个图中共有块白瓷砖，块黑瓷砖；10．观察图①至⑤中，小黑点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中的小黑点个数为y．解答下列问题：（1）填表n 1 2 3 4 5 …y 1 3 …（2）写出求y的公式（用含n的代数式表示）（3）当n＝50时，小黑点的个数y是多少？参考答案1．解：（1）4+2＝6，6+2＝8，4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）（2×4+2）×（60÷4）＝150；（3）2×4×（60÷4）＝120．答：（1）两张桌子拼在一起可坐6人；三张桌子拼在一起可以坐8人；n张桌子拼在一起可坐（2n+2）人．（2）一家酒楼有60张桌子，按照上图方式每4张拼成一个大桌子，则60张桌子可拼成15张大桌子，共可坐150人．（3）有问题（2）中，若4张桌子拼成一个大的正方形桌子，则可坐120人．2．解：如图，面积共有七种可能（所连点可以不同）．3．解：周长是在5的基础上依次多3．第n个图形的周长：5+3（n﹣1）＝3n+2．4．解：（1）根据图表，查找点数可得表中第2行依次为：7，19，37，61，91．（2）根据数据可得：7＝3×（1+1）2﹣3×（1+1）+1；19＝3×（2+1）2﹣3×（2+1）+1…故m和n的关系是m＝3（n+1）2﹣3（n+1）+1．5．解：观察图形可知，第一个图形有1＝12个小三角形“△”拼成．第二个图形有1+3＝4＝22个小三角形“△”拼成．第三个图形有1+3+5＝9＝32个小三角形“△”拼成．第四个图形有1+3+5+7＝16＝42个小三角形“△”拼成．以此类推，可知第10个图形中需要102＝100个小三角形．第n个图形中需要n2个小三角形．6．解：．每边上圆点数 2 3 4 …n图形中圆点总数 3 6 9 … 3n﹣37．解：（1）由图中会发现，花盆的个数分别为1，4，7，10，13…，由这一系列数字可知他们之间的规律是个数＝1+3（n﹣1），所以把8代入计算即可得：1+3（8﹣1）＝22，由题中价格表可发现：总价的规律递减0.2，所以单价＝5﹣0.2（n﹣1），所以第八种图案的盆花单价为5﹣0.2（8﹣1）＝3.6，总价为3.6×22＝79.2元；（2）由题（1）可知S＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，正整数；（3）由题（1）可知m＝5﹣0.2（n﹣1）＝5.2﹣0.2n；（4）由题（1）可知y＝（3n﹣2）（5.2﹣0.2n）．8．解：（1）3n根．（2）n2个，第200个图形的小三角形个数有2002个即40000个．（3）．9．解：（1）第1个图形中有1×2＝2块白瓷砖；第2个图形中有2×3＝6块白瓷砖；第3个图形中有3×4＝12块白瓷砖；…第5个图形中有5×6＝30块白瓷砖；故答案为30；（2）第n个图形中有n（n+1）块白瓷砖，（n+2）（n+3）﹣n（n+1）＝（4n+6）块黑瓷砖，故答案为n（n+1）；（4n+6）．10．解：（1）n 1 2 3 4 5 …y 1 3 7 13 21（2）当n＝3时，y＝3×2+1＝7；当n＝4时，y＝4×3+1＝13；…∴y＝n（n﹣1）+1＝n2﹣n+1（3）当n＝50 时，y＝502﹣50+1＝2451．。

2021年九年级中考数学一轮复习提分专练—图形变化类：找规律（一）1．如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，请根据图中的信息完成下列的问题：（1）填写下表：图形编号①②③④…图中石子的总数 5 12 …（2）第20个图形需要颗石子；（3）如果继续摆放下去，那么第N个图案要用颗石子；（4）该同学准备用200颗石子来摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，第n个图案能否刚好用完这200颗石子？如果可以，说出n的值？如果不行，说出n的最大值以及至少还剩余几颗石子？2．如图所示，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推（1）填写下表：层次 1 2 3 4 5 6该层对应的点数所有层的总点数（2）写出第n层（n≥2）所对应的点数；（3）写出六边形的点阵共有n层（n≥2）时的总点数；（4）如果六边形的点阵共有n层（n≥2）时的总点数为397，你知道共有多少层吗？3．用棋子摆出下列一组图形：（1）填写下表：图形编号 1 2 3 4 5 6 图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形棋子的枚数；（用含n的代数式表示）（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？4．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图3中的圆圈共有13层．（1）我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，…，求最底层最右边圆圈内的数是；（3）求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程）5．观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图①图②图③三个角上三个数的积1×（﹣1）×2＝﹣2（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60三个角上三个数的和1+（﹣1）+2＝2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12积与和的商（﹣2）÷2＝﹣1（2）请用你发现的规律求出图④中的数x和图⑤中的数y．6．如图所示：图①是一个正方形，分别连接这个正方形各边的中点得到图②，再分别连接图②中间小正方形各边的中点，得到图③．（1）填写下表：图形标号①②③正方形个数三角形个数（2）按上面的方法继续分下去，第n个图形中有多少个正方形？有多少个三角形？（3）当三角形个数为100时，是第几个图形？7．如图，搭第一个图形需要3根火柴棒．（1）搭一搭，填一填：1 2 3 4 5 …三角形个数…火柴棒根数（2）搭10个这样的三角形需要根火柴棒．（3）搭40个这样的三角形需要根火柴棒．（3）搭n个这样的三角形需要根火柴棒．8．如图：（1）试验观察：如果每过两点可以画一条直线，那么：第①组最多可以画条直线；第②组最多可以画条直线；第③组最多可以画条直线．（2）探索归纳：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画条直线．（用含n的代数式表示）（3）解决问题：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次手．9．如图，搭第一个图形需要4根火柴棒，搭第二个图形需要10根火柴棒．（1）搭一搭，填一填：第几个图形 1 2 3 4 …火柴棒根数…（2）搭15个图形需要根火柴棒．（3）搭30个图形需要根火柴棒．（4）搭n个图形需要根火柴棒．10．（1）按题图方式，围4个正六边形，需要根小棒．（2）围20个正六边形，需要根小棒．（3）如用m来表示正六边形的个数，那么围m个正六边形需要根小棒．参考答案1．解：（1）第三个是3×（3+4）＝21，第四个是4×（4+4）＝32，（2）第20个图形是20×（20+4）＝480个；（3）第n个图形是n（n+4）；故答案为：21，32；480；n（n+4）；（4）当n＝12时，有12×（12+4）＝192，当n＝13时，有13×（13+4）＝221＞200，故不能刚好用完这200颗石子，n最大值为12，至少还剩8颗石子．2．解：第一层上的点数为1；第二层上的点数为6＝1×6；第三层上的点数为6+6＝2×6；第四层上的点数为6+6+6＝3×6；…第n层上的点数为（n﹣1）×6．所以n层六边形点阵的总点数为1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6＝1+6[1+2+3+4+…+（n﹣1）]＝1+6[（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1+n﹣2+…+3+2+1）]÷2＝1+6×＝1+3n（n﹣1）（1）填表如下：层次 1 2 3 4 5 6该层对应的点数 1 6 12 18 24 30所有层的总点数 1 7 19 37 61 91（2）根据分析可得第n层的点数之和为6（n﹣1）（n≥2）3）根据分析可得共有n层时的点数之和为1+3n（n﹣1）；（4）根据题意得：1+3n（n﹣1）＝397．n（n﹣1）＝132；（n﹣12）（n+11）＝0n＝12或﹣11．故n＝12，答：共有12层．3．解：（1）如图所示：图形编号 1 2 3 4 5 6 图形中的棋6 9 12 15 18 21子（2）依题意可得当摆到第n个图形时棋子的枚数应为：6+3（n﹣1）＝6+3n﹣3＝3n+3；（3）由上题可知此时3n+3＝99，∴n＝32．答：第32个图形共有99枚棋子．4．解：（1）当有13层时，图3中到第12层共有：1+2+3+…+11+12＝78个圆圈，最底层最左边这个圆圈中的数是：78+1＝79；（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13＝＝91个数，最底层最右边圆圈内的数是﹣23+91﹣1＝67；（3）图4中共有91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，所以图4中所有圆圈中各数的和为：﹣23﹣22﹣…﹣1+0+1+2+…+67＝﹣（1+2+3+...+23）+（1+2+3+ (67)＝﹣276+2278＝2002．故答案为：（1）79；（2）67．5．解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）＝5，图③：（﹣2）×（﹣5）×17＝170，（﹣2）+（﹣5）+17＝10，170÷10＝17．图①图②图③三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2＝﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60（﹣2）×（﹣5）×17＝170三个角上三个数的和1+（﹣1）+2＝2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17＝10积与和的商﹣2÷2＝﹣1，（﹣60）÷（﹣12）＝5，170÷10＝17 （2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）＝360，5+（﹣8）+（﹣9）＝﹣12，x＝360÷（﹣12）×2＝﹣60，图⑤：1×3×（﹣6）＝﹣18，1+3+（﹣6）＝﹣2，y＝﹣18÷（﹣2）×2＝18．6．解：填写下表：图形标号①②③正方形个数 1 2 3三角形个数0 4 8 （2）第n个图形中有n个正方形，有三角形4（n﹣1）＝4n﹣4个；（3）4n﹣4＝100，解得：n＝267．解：第1个图形有3根火柴，第2个图形有5根火柴，第3个图形有7根火柴，第4个图形有9根火柴，…，依此类推，第n个图形有2n+1根火柴；（1）搭一搭，填一填：三角形1 2 3 4 5 …个数3 5 7 9 11 …火柴棒根数（2）搭10个这样的三角形需要3+2×9＝21根火柴棒．（3）搭40个这样的三角形需要3+2×39＝81根火柴棒．（3）搭n个这样的三角形需要3+2（n﹣1）＝2n+1根火柴棒．故答案为：3，5，7，9，11；21；81；2n+1．8．解：（1）根据图形得：如图：（1）试验观察如果每过两点可以画一条直线，那么：第①组最多可以画3条直线；第②组最多可以画6条直线；第③组最多可以画10条直线．（2）探索归纳：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1+2+3+…+n﹣1＝条直线．（用含n的代数式表示）（3）解决问题：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握990次手．9．解：（1）搭一搭，填一填：第几个图形 1 2 3 4 …火柴棒根数 4 10 18 28 …（2）搭15个图形需要4+6+8+10+…+30+32＝2（2+3+4+…+16）＝16（16﹣1）﹣2＝238根火柴棒．（3）搭30个图形需要4+6+8+10+…+60+62＝2（2+3+4+…+31）＝31（31﹣1）﹣2＝928根火柴棒．（4）搭n个图形需要2（2+3+4+…+n+1）＝n（n+1）﹣2＝n2+n﹣2根火柴棒．10．解：根据题意分析可得：搭第1个图形需6根火柴；此后，每个图形都比前一个图形多用5根；（1）按题图方式，围4个正六边形，需要6+3×5＝21根小棒．（2）围20个正六边形，需要6+19×5＝101根小棒．（3）如用m来表示正六边形的个数，那么围m个正六边形需要6+5（m﹣1）＝5m+1根小棒．故答案为：21，101，5m+1．11/ 11。

类型二图形规律1．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就能得到雪花曲线．问题：（1）从图形的对称性观察，图4是 图形（轴对称或中心对称图形） （2）图2的周长为 ；（3）试猜想第n 次分形后所得图形的周长为 ． 【答案】中心对称图形又是轴对称图形，4，3×（34）n． 【点拨】（1）根据图形变化规律，图4仍然关于原三角形的对称轴成轴对称，关于对称中心成中心对称；（2）分形后，三角形的边长增加31，变为原来的34，再乘以3就是周长； （3）每一次分形后，边长都变为原来的34，第n 次分形后边长就变为原来的（34）n倍，再乘以3就是周长． 【解析】解：（1）图4是中心对称图形又是轴对称图形． （2）根据题意，边长为31×4=34， 周长为34×3=4； （3）n 次分形，边长变为原来的（34）n倍， 周长为3×（34）n ×1=3×（34）n．故答案为：中心对称图形又是轴对称图形，4，3×（34）n． 2．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2012次闪烁呈现出来的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【点拨】从所给四个图形中可以得出每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置的规律即可算出2012次之后的图形． 【解析】解：易得每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵2012÷4=503，即第2012次与第4次的图案相同． 故选B ．3.将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n 个图形中“”的个数是78，则n 的值是( )第1题图A ．11B ．12C ．13D ．14 【答案】B【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第n 个图形中，小圆的个数为n （n ＋1）2，由此可得方程n （n ＋1）2＝78，解得n ＝12，故选B.4. 如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…，按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( )A. (12)n ·75°B. (12)n －1·65°C. (12)n －1·75°D. (12)n·85°【答案】C【解析】在△CBA 1中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，∴∠BA 1C ＝180°－∠B 2＝75°，∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角，∴∠DA 2A 1＝12∠BA 1C ＝12×75°；同理可得，∠EA 3A 2＝(12)2×75°，∠FA 4A 3＝(12)3×75°，∴第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是(12)n －1×75. 下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为( )A. 116B. 144C. 145D. 150 【答案】 B【解析】将图中下半部分组成的梯形放到矩形上方，第n 个组合图形可看作是由下半部分为n 行n 列方阵和上半部分的梯形成，第n 个图中方阵中的为(n ＋1)2，梯形中为2＋n 2·(n－1)＝n 2＋n －22，∴第n 个图中的的个数为(n ＋1)2＋n 2＋n －22＝3n 22＋5n 2，令n ＝9，解得第9个中个数为144个．6.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2017秒时，点P 的坐标是( )A. (2014，0)B. (2015，－1)C. (2017，1)D. (2016，0)【答案】C【解析】由图象可知，半圆的周长为π，∴运动一秒后的坐标为(1，1)，两秒后的坐标为(2，0)，三秒后的坐标为(3，－1)，四秒后的坐标为(4，0)，…，其中纵坐标以1，0，－1，0循环变化，∵2017÷4＝504……1，∴第2017秒时，点P的坐标为(2017，1)．7. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“”的个数为a1，第2幅图形中“”的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，…，以此类推，则1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a19的值为( )A.2021B.6184C.589840D.431760【答案】C【解析】由所给图形可知，a1＝3＝22－1＝(1＋1)2－1，a2＝8＝32－1＝(2＋1)2－1，a3＝15＝42－1＝(3＋1)2－1，a4＝24＝52－1＝(4＋1)2－1，由此猜想a n＝(n＋1)2－1＝n(n＋2)，∴1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a19＝13＋18＋115＋…＋119×21＝12×(1－13＋12－14＋13－15＋…＋118－120＋119－121)＝12×(1＋12－120－121)＝589840.8.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( )A. 2017πB. 2034πC. 3024πD. 3026π【答案】D【解析】∵AB ＝4，AD ＝3，∴AC ＝BD ＝5，转动一次A 的路线长是90·π·4180＝2π，转动第二次A 的路线长是90·π·5180＝52π，转动第三次A 的路线长是90·π·3180＝32π，转动第四次A 的路线长是0，以此类推，每四次一个循环，且顶点A 转动一个循环的路线长为：52π＋32π＋2π＝6π，∵2017÷4＝504……1，∴顶点A 转动2017次经过的路线长为：6π×504＋2π＝3026π.9. 如图，已知菱形OABC 的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，2)【答案】B【解析】∵菱形OABC 的顶点O(0，0)，点B 的坐标是(2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB 的中点，∴点D 的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D 关于原点O 成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为(－1，－1)．10. 某广场用同一种如下图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图①所示的图案，第二次拼成形如图②所示的图案，第三次拼成形如图③所示的图案，第四次拼成形如图④所示的图案…按照这样的规律进行下去，第n 次拼成的图案共用地砖________块．【答案】2n 2＋2n【解析】①4，②4＋2×4，③4＋2×4＋2×6，…，故第n 个图形共有4＋2×4＋2×6＋…＋2×2n ＝4＋4×2＋4×3＋…＋4n ＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝4×n （n ＋1）2＝2n 2＋2n.11.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，第5个图形的周长为________．【答案】40【解析】第一个图形周长1×2＋1×2；第二个图形周长(2＋1)×2＋2×2；第三个图形周长(3＋2＋1)×2＋2×3；第四个图形周长(4＋3＋2＋1)×2＋2×4；第五个图形周长(5＋4＋3＋2＋1)×2＋2×5＝40.12. 如图，在△ABC 中，BC ＝1，点P 1、M 1分别是AB 、AC 边的中点，点P 2、M 2分别是AP 1、AM 1的中点，点P 3、M 3分别是AP 2、AM 2的中点，按这样的规律下去，P n M n 的长为________(n 为正整数)．【答案】12n【解析】在△ABC 中，BC ＝1，P 1、M 1分别是AB 、ACnnnn 的中点，∴P 1M 1＝12BC ＝12，按照题设给定的规律，列表如下：图形序号P n M nP n M n 的长度① P 1M 1 12 ② P 2M 2 14＝122 ③ P 3M3 18＝123 … … … nP n M n12n13. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是________．【答案】(2n－1－1，2n－1)【解析】∵点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，∴A1的坐标是(0，1)，即OA1＝1，∵四边形A1B1C1O为正方形，∴OC1＝1，即点A2的横坐标为1，∴A2的坐标是(1，2)，A2C1＝2，∵四边形A2B2C2C1为正方形，∴C1C2＝2，∴OC2＝1＋2＝3，即点A3的横坐标为3，∴A3的坐标是(3，4)，…，观察可以发现：A1的横坐标是：0＝20－1，A1的纵坐标是：1＝20；A2的横坐标是：1＝21－1，A2的纵坐标是：2＝21；A3的横坐标是：3＝22－1，A3的纵坐标是：4＝22；…据此可以得到A n的横坐标是：2n－1－1，纵坐标是：2n－1.所以点A n的坐标是(2n－1－1，2n－1)．14. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2017的坐标为________．【答案】(21008，21009)【解析】观察，发现规律：A1(1，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－2)n)，A2n＋2(－2)n＋1，2(－2)n，(n为自然数)，∵2017＝1008×2＋1，∴A2017的坐标为((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)．15.如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．【答案】3n －13【解析】由题可知，∠MON ＝60°，不妨设B n 到ON 的距离为h n ，∵正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，则A 1B 1＝1，易知△A 1OF 1为等边三角形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴OB 1＝2，则h 1＝2×32＝3，又OA 2＝A 2F 2＝A 2B 2＝3，∴OB 2＝6，则h 2＝6×32＝33，同理可求：OB 3＝18，则h 3＝18×32＝93，…，依此可求：OB n ＝2×3n －1，则h n ＝2×3n －1×32＝3n －13，∴B n 到ON 的距离h n ＝3n －13.16. 如图，Rt △OA 0A 1在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1＝90°，∠A 0OA 1＝30°，以OA 1为直角边向外作Rt △OA 1A 2，使∠OA 1A 2＝90，∠A 1OA 2＝30°，以OA 2为直角边向外作Rt △OA 2A 3，使∠OA 2A 3＝90°，∠A 2OA 3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt △OA 3A 4，Rt △OA 4A 5，…，Rt △OA 2016A 2017，若点A 0(1，0)，则点A 2017的横坐标为________．【答案】(43)1008【解析】由题意可知，经过12次变换后，点A 13落在射线OA 1上，∵2017÷12＝168……1，∴点A 2017落在射线OA 1上，其横坐标与点A 2016相同，∵OA 0＝1，经过12次变换后，OA 12＝(233)12，再经过12次变换后，OA 24＝(233)24，综上可猜想，OA 2016＝(233)2016＝(43)1008，∴点A 2017的横坐标为(43)1008.17. 如图，直线y ＝33x 上有点A 1，A 2，A 3，…，A n ＋1，且OA 1＝1，A 1A 2＝2，A 2A 3＝4，…，A n A n ＋1＝2n，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ＋1作直线y ＝33x 的垂线，交y 轴于点B 1，B 2，B 3，…，B n ＋1，依次连接A 1B 2，A 2B 3，A 3B 4，…，A n B n ＋1，得到△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…，△A n B n B n＋1，则△A n B n B n ＋1的面积为________(用含正整数n 的式子表示)．【答案】32×22n －32×2n【解析】如解图，作A 1C 1⊥x 轴于C 1，A 2C 2⊥x 轴于C 2，A n C n ⊥x 轴于C n ，∵点A n 在直线上y ＝33x ，∴A 1C 1OC 1＝A 2C 2OC 2＝A n C n OC n ＝33，∴∠A n OC n ＝30°，∴OC n ＝32OA n ＝32(1＋2＋22＋…＋2n －1)，∠A n OB n ＝60°，∵B n A n ⊥OA n ，∴OB n ＝2OA n ，∴ B n B n ＋1＝2OA n ＋1－2OA n ＝2A n A n ＋1＝2×2n＝2n ＋1.S △AnBnBn ＋1＝12B n B n ＋1×OC n ＝12×2n ＋1·32(1＋2＋22＋…＋2n －1)，设S ＝1＋2＋4＋…＋2n －1，则2S ＝2＋4＋…＋2n ＋1＋2n ，∴S ＝2S －S ＝(2＋4＋…＋2n －1＋2n )－(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝2n－1 ，综上可知S △AnBnBn ＋1＝12×2n ＋1×32(2n －1)＝32×22n －32×2n.18. 如图，∠AOB ＝60°，点O 1是∠AOB 平分线上一点，OO 1＝2，作O 1A 1⊥OA ，O 1B 1⊥OB ，垂足分别为A 1，B 1，以A 1B 1为边作等边三角形A 1B 1O 2；作O 2A 2⊥OA ，O 2B 2⊥OB ，垂足分别为A 2，B 2，以A 2B 2为边作等边三角形A 2B 2O 3；作O 3A 3⊥OA ，O 3B 3⊥OB ，垂足分别为A 3，B 3，以A 3B 3为边作等边三角形A 3B 3O 4；…，按这样的方法继续下去，则△A n B n O n 的面积为________(用含正整数n 的代数式表示)．【答案】32n －24n3【解析】∵∠AOB ＝60°，OO n 平分∠AOB ，∴∠AOO n ＝30°，∵A 1O 1⊥AO ，OO 1＝2，∴A 1O 1＝1，OA 1＝ 3.∵O 1A 1⊥OA ，O 1B 1⊥OB ，∴O 1A 1＝O 1B 1，∵O 1O ＝O 1O ，∴Rt △O 1A 1O ≌Rt △O 1B 1O(HL)，∴OA 1＝OB 1，∵∠A 1OB 1＝60°，∴△A 1OB 1是等边三角形，∴A 1B 1＝OA 1＝3，∵△A 1O 2B 1是等边三角形，∴A 1O 2＝A 1B 1＝3，在Rt △A 1O 2A 2中，∠O 2A 1A 2＝60°，A 1O 2＝3，∴A 2O 2＝32A 1O 2＝32O 1A 1，同理A 3O 3＝32A 2O 3＝(32)2A 1O 1，∴A n O n ＝(32)n －1A 1O 1. 又 S △O 1A 1B 1＝2S △O 1A 1O －S △A 1B 1O ＝2×12×1×3－34·(3)2＝34 .易得∠A n O n B n ＝∠A 1O 1B 1＝120°，A n O n ＝B n O n ，∴A n O n A 1O 1＝B n O n B 1O 1，∴△A 1O 1B 1∽△A n O n B n ，∴S△A n B n O nS△A 1B 1O1＝(A n O n A 1O 1)2＝(32)2n －2.∴S △A n B n O n ＝32n －24n3.。

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（六）1．将图1所示的正六边形进行分割得到图2，再将图2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图3，再将图3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第2014个图形中，共有（ ）个正六边形．A ．4027B ．6040C ．10066D ．以上都不对2．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第6个图形有（ ）个小圆．A ．42B ．44C ．46D ．483．在图1、图2、图3…中，菱形A 1B 1C 1D 1、菱形A 2B 2C 2D 2、菱形A 3B 3C 3D 3…都是由全等的小三角形拼成，菱形A n B n ∁n D n 中有200个全等的小三角形，则n 的值为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．254．下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有4个黑点，第②个图形中一共有9个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，…，则第⑩个图形中黑点的个数是（ ）A．44 B．48 C．49 D．545．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第10个图形中花盆的个数为（）A．110 B．120 C．132 D．1406．下列图形都是由边长为“1”的小正方形按一定规律组成，其中第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有14个边长为1的小正方形…则第10个图形中边长为1的小正方形的个数为（）A．72 B．64 C．54 D．507．如图，把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间一个小三角形，仅剩下的三个小三角形再重复以上做法…一直到第六次挖去后剩下的三角形有（）个．A．35B．35+1 C．36D．36+18．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第13个“口”字需用棋子颗数为（）A．52 B．50 C．48 D．469．下列各图形都是由同样大小的菱形按一定规律组成的，其中第（1）个图形中菱形的个数是1，第（2）个图形中菱形的个数是5，第（3）个图形中菱形的个数是14，第（4）个图形中菱形的个数是30，…，则第（8）个图形中菱形的个数是（）A．196 B．204 C．214 D．22810．如图所示图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中一共有2个圆；第（2）个图形中一共有7个圆；第（3）个图形中一共有16个圆；第（4）个图形中一共有29个圆，…，则第（20）个图形中圆的个数为（）A．781 B．784 C．787 D．67811．观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小的三角形的个数有（）个．A．4n B．3n﹣2 C．n4D．4n﹣112．用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1枚棋子，第二个图形有5枚棋子，第三个图形有12枚棋子，…依此规律，第7个图形比第6个图形多（）枚棋子．A．20 B．19 C．18 D．1713．下列图形是按一定规律排列的，依照此规律，第15个图形中共有★（）A．30个B．46个C．53个D．37个14．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图的形状．已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色．图中共有黑色积木多少块？（）A．15块B．16块C．17块D．18块15．用同样大小的黑色五角星按如图的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是（）A．15 B．16 C．17 D．1816．四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色按逆时针方向改变一次，则开灯32分钟四盏灯的颜色排列为（）A．B．C．D．17．如图，以O为端点画五条射线后OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第1314个点在（）A．射线OC B．射线OD C．射线OE D．射线OF18．如图，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形，则第6个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于（）A．60 B．58 C．45 D．4019．如图，下列图案是相同的小正方形按一定的规律拼搭而成：第一个图案有2个小正方形，第2个图案有4个小正方形，…，依次规律，第10个图案有小正方形的个数是（）A．54个B．55个C．56个D．57个20．如图案是由边长为单位长度的小正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中小正方形的个数是（）A．25 B．33 C．41 D．61。

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（五）1．用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，其中，第①幅图中黑、白色瓷砖共5块；第②幅图中黑、白色瓷砖共12块：第③幅图中黑、白色瓷砖共21块．则第6幅图案中黑、白色瓷砖共（）块．A．45 B．49 C．60 D．642．如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成，图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，…，那么组成第8个黑色形的正方形个数为（）A．31 B．20 C．37 D．333．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有（）个“o”A．28 B．30 C．31 D．344．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第10个图形中花盆的个数为（）A．110 B．120 C．132 D．1405．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的右上角D．第505个正方形的左上角6．用棋子按下面的规律摆图形，则摆第2018个图形需要围棋子（）枚．A．6053 B．6054 C．6056 D．60607．用火柴棍搭建如图小木屋，公共边只用一根火柴，如果搭建n间相同的小木屋（n为正数），需要火柴棍的根数为（）A．6n B．6n﹣1 C．5n﹣1 D．5n+18．如图图形都是由同样大小的菱形按一定规律组成的，其中，第1个图形中一共有4个菱形，第2个图形中共有10个菱形，第3个图形中共有16个菱形，…，按照此规律第10个图形中菱形的个数为（）A．50 B．52 C．60 D．589．用棋子按如图的方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第（n﹣1）个图形多的棋子的枚数是（）A．3n+1 B．3n+2 C．3n﹣1 D．3n﹣210．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，那么2013个图形的黑色棋子有（）A．6041个B．6042个C．6142个D．6143个11．如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究并观察，在第n个图中，共有瓷砖（）块．A．n2+n+6 B．n2+4n+6 C．n2+5n+6 D．n2+5n+512．如图，M、N是正五边形ABCDE各边上的两个动点，若它们分别从顶点A、D出发，同时沿正五方形的边移动，M点以顺时针方向移动，N点以逆时针方向移动，假设点M的速度是点N的速度的5倍，则它们2012次相遇在（）边上．A．AE B．ED C．CD D．BC13．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20 B．27 C．35 D．4014．下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是（）A．22 B．24 C．26 D．2815．把边长为1的正方形按如图所示的方式排列，则第n个图形的周长用含n（n为正整数）的式子表示为（）A．4n B．2n﹣2 C．2n+2 D．4n﹣416．如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑨个图形中平行四边形的个数是（）A．54 B．110 C．89 D．10917．如图，在平面内，两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，…．观察下列一组图形中交点个数的规律，判断十条直线相交最多有交点的个数是（）A．36 B．45 C．55 D．6618．下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成，其中第（1）个图形中正方形的个数是1，第（2）个图形中正方形的个数是5，第（3）个图形中正方形的个数是14，第（4）个图形中正方形的个数是30，…，则第（7）个图形中正方形的个数是（）A．136 B．140 C．148 D．15619．如图，图①由3张同样大小的正方形纸片组成，图②由6张同样大小的小正方形纸片组成，图③由10张同样大小的小正方形纸片组成，…，以此规律组成第⑧图需要的同样大小的小正方形纸片张数为（）A．28 B．36 C．45 D．6620．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cm2，…，第（10）个图形的面积为（）A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D．256 cm2。

2021年九年级数学中考复习《图形的变化》能力提升专项训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，连接AD，BE⊥AD于点E，连接CE，∠DEC＝∠BAC，若，则tan∠BAE的值为．2．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．3．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC的面积等于15，那么△FEC的面积等于．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O 上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为．6．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为．7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为．8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝22021，AC＝22020，点D1，D3，D5，…D2n﹣1在AB边上，点D2，D4，D6，…D2n在AC边上，若∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，则D2020D2021＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为．10．如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且FE∥MD∥BC，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝．11．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．12．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为．13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为．14．如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为（4，3），PQ⊥x轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则QN+MN的最小值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝20，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC ＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为．17．如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC ＝10．则BE的长等于．18．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB ＝2CF时，则NM的长为．19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为．20．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是．22．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC于点D，点E、F分别是BC、DC上的动点，沿EF所在直线折叠△CEF，使点C落在BD上的点C′处，若△BEC′是直角三角形，则BC′的值为．23．如图，花丛中有一路灯AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3m，沿BD方向行走至G点，DG＝4m，此时大华的影长GH＝4.5m，如果大华的身高为1.5m，则路灯AB 的高度为m．24．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E在线段AD上（点E与点A，D不重合），点F在直线CD上，若∠BEF＝120°，AE＝1，则DF值为．25．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且满足AM＝2DM，点N为AB边上任意一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则线段A′C长度的最小值是．参考答案1．解：在AD上截取AM＝CE，连接BM，如图：∵∠DEC＝∠CAE+∠ECA，∠BAC＝∠CAE+∠MAB，又∵∠DEC＝∠BAC，∴∠MAB＝∠ECA，在△MAB和△ECA中，，∴△MAB≌△ECA（SAS），∴BM＝AE，∵，∴设CE＝4a，则BM＝AE＝7a，∴AM＝CE＝4a，∴ME＝AE﹣AM＝3a，∵BE⊥AD，∴△BEM为直角三角形，由勾股定理得：BE＝＝＝2a，∴tan∠BAE＝＝＝．故答案为：．2．解：由折叠得：CE⊥BD，CG＝EG，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DFG，∵∠CDF＝∠BCD＝90°，∴△CDF∽△BCD，∴，∵AB＝4，DF＝1，∴，∴CD＝2，由勾股定理得：CF＝＝，BD＝＝2，同理得：△CDG∽△BDC，∴＝，∴＝，∴CG＝，∴CE＝2CG＝，∴EF＝CE﹣CF＝﹣＝，∵＝，＝＝，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴，即，∴AE＝．故答案为：．3．解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．4．解：连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N，如图所示：∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝2，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′，∵直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（8，0），E（0，﹣6），∴OD＝8，OE＝6，∴DM＝OD﹣OM＝8﹣2＝6，DE＝＝＝10，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE＝90°，∴△DNM∽△DOE，∴＝，即＝，∴MN＝，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×10×（﹣2）＝8，故答案为8．5．解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，连接CM，∵将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，∴AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，∴∠CPM＝90°，∵点M为AD的中点，∴AM＝DM＝AD＝2，∴PM＝AM＝DM＝2，在Rt△CPM与Rt△CDM中，，∴Rt△CPM与Rt△CDM（HL），∴CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，∴∠NMC＝∠NMP+∠CMP＝90°，∴CM＝＝＝，∵∠CMN＝∠CPM＝90°，∠MCP＝∠MCP，∴△CMP∽△CNM，∴＝，∴＝，∴CN＝，故答案为：．6．解：∵∠ABC＝∠CAD，∠ABC＝∠D，∴∠D＝∠CAD，∴CA＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CA2+CD2＝AD2，∵AD＝3，CA＝CD，∴2CA2＝18，解得：CA＝3．∵∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，∴△ACB∽△ECA，∴BC：AC＝AC：CE，∴CE•BC＝AC•AC＝9．故答案为：9．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，故答案为：8米．8．解：∵∠A＝90°，∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，∴＝＝＝＝＝＝…＝，∴AD1＝AC＝22019，AD2＝AD1＝22018，AD3＝AD2＝22017，AD4＝AD3＝22016，……AD2020＝AD2019＝20＝1，AD2021＝AD2020＝2﹣1＝，在Rt△AD2020D2021中，AD2020D2021＝＝，故答案为：．9．解：①如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝4，∵∠AFB'＝∠BFD＝90°，∠ACB＝90°，∴∠DFB＝∠ACB，又∵∠DBF＝∠ABC，∴△BDF∽△BAC，∴，即，解得：BF＝，设BE＝B'E＝x，则EF＝﹣x，∵∠B＝∠FB'E，∴sin∠B＝sin∠FB'E，∴，∴，解得x＝2．∴BE＝2．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，连接AD，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝6，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴∠B＝∠DB'E，∵AB'⊥DB'，EH⊥AH，∴DB'∥EH，∴∠DB'E＝∠B'EH，∴∠B＝∠B'EH，∴sin∠B＝sin∠B'EH，设BE＝x，则B'H＝x，EH＝x，在Rt△AEH中，AH2+EH2＝AE2，∴，解得x＝，∴BE＝．则BE的长为2或．故答案为：2或．10．解：∵EF∥DM∥BC，AE＝DE＝CD，∴，在△EFD与△CND中，，∴△EFD≌△CND（AAS），∴EF＝CN，∵CN：BC＝1：3，∴CN：BN＝1：4，∴，故答案为．11．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．12．解：取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大，∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2，∵E为BC′的中点，∴EM＝AC′＝1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CM＝AB＝，∴CE＝CM+EM＝+1，故答案为：．13．解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD＝，，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，∴△AA1B∽△DAO，∴，∵AD＝AB＝，∴A1B＝，∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（+）2＝5•（）2；同理可得，A2C2＝（+）2第2个正方形的面积为：S2＝5•（）4…∴第2020个正方形的面积为：S2020＝5•（）4038．故答案为：5•（）4038．14．解：作Q关于OP的对称点P′，连接P′Q交OP于E，则QE⊥OP，过P′作P′M⊥OQ于M交OP于N，则此时，QN+MN的值最小，且QN+MN的最小值＝P′M的长度，∵PQ⊥x轴于Q，点P的坐标为（4，3），∴OQ＝4，PQ＝3，∴OP＝＝5，∴QP′＝2EQ＝2＝2×＝，∵∠P′MQ＝∠P′MO＝∠P′EN＝90°，∠P′NE＝∠MNO，∴∠P′＝∠POQ，∴△MP′Q∽△QOP，∴＝，∴＝，∴P′M＝，∴QN+MN的最小值为，故答案为：．15．解：∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝20，AD⊥BC于点D，∴AD＝8，∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点即为P的，如图，连接PB，此时P A＝PB，PB+PD＝P A+PD＝AD，AD＝PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为8，故答案为：8．16．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，∴AC＝＝＝4，∵D为AB的中点，∴AD＝AB＝4，∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，①若△ADE∽△ABC，则＝，即＝，解得AE＝2，②若△AED∽△ABC，则＝，即＝，解得AE＝，综上所述，AE的长为2或．故答案为：2或．17．解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，∴BD＝＝5，∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝6，故答案为6．18．解：∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，∴AN＝AB＝8，∠BAE＝∠NAE，∵正方形对边AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠NAE＝∠F，∴AM＝FM，设CM＝x，∵AB＝2CF＝8，∴CF＝4，∴DM＝8﹣x，AM＝FM＝4+x，在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM2＝AD2+DM2，即（4+x）2＝82+（8﹣x）2，解得x＝4，所以，AM＝4+4＝8，所以，NM＝AM﹣AN＝8﹣8＝．故答案为：19．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点N、M，∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AN，∠A″＝∠A″AM，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．故答案为：100°20．解：∵△AMN和△ABC相似，∴①如图1，△AMN∽△ABC，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，AB＝9，∴，MN＝4．②如图2，△AMN∽△ACB，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，∴，MN＝6，综上MN为4或6．故答案为：4或6．21．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．22．解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝30°，由折叠可得CE＝C'E，分两种情况：①若∠BEC'＝90°，如图所示：∵∠C'BE＝30°，∴BE＝C'E，BC'＝2C'E，又∵BE+CE＝BC＝6，∴CE+CE＝6，∴CE＝＝3﹣3＝C'E，∴BC'＝﹣6；②若∠BC'E＝90°，如图所示：∵∠C'BE＝30°，∴BE＝2C'E，BC'＝C'E，又∵BE+CE＝BC＝6，∴3CE＝6，∴CE＝2＝C'E，∴BC'＝，综上所述，BC′的长为﹣6或，故答案为：﹣6或．23．解：∵CD∥AB，∴△EAB∽△ECD，∴＝，即＝①，∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，∴＝，即＝②，由①②得＝，解得BD＝8，∴＝，解得：AB＝5.5．故答案为：5.5．24．解：∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝4﹣1＝3，∵∠A＝∠D＝120°，∴∠AEB+∠ABE＝180°﹣120°＝60°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB+∠DEF＝180°﹣120°＝60°，∴∠AEB+∠ABE＝∠AEB+∠DEF，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF，∴＝，即＝，∴DF＝，故答案为：．25．解：在菱形ABCD中，AD＝3，∠A＝60°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝120°，由折叠知，A'M＝AM，∵AM＝2DM，AD＝3，∴A'M＝AM＝2MD＝2，DM＝1，∴当点A'在CM上时，A'C的长度取得最小值，过点M作MH⊥CD于H，在Rt△MDH中，∠HDM＝60°，DM＝1，∴∠HMD＝30°，∴DH＝DM＝，∴MH＝DH＝，CH＝CD+DH＝3+＝，在Rt△CHM中，根据勾股定理，得CM＝＝＝＝，∴A'C＝CM﹣A'M＝﹣2．故答案为：﹣2．。

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（二）1．一电子青蛙落在数轴上的原点，第一步向左跳1个单位到点A1，第二步由点A1向右跳2个单位到点A2，第三步由点A2向左跳3个单位到点A3，第四步由点A3向右跳4个单位到点A4，…，按以上规律进行下去．（1）求跳了第五步后得到的点A5所表示的数？（2）求跳了第100步后得到的点A100所表示的数？（3）若电子青蛙的起点不是数轴上的原点，而是A点，跳跃方式不变，当跳了第100步后，落在数轴上的点A100所表示的数恰好是20.07，试求电子青蛙的起点A所表示的数．2．如图所示，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子．（2）第n个“上”字需用枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？3．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，完成下列题目：（1）填写下表：图案序号 1 2 3 4 …N〇个数 4 7 …（2）若按上面的规律继续摆放，是否存在第n个图形，其中恰好含有2020个〇？4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的规律拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．（1）在第5个图中用了块黑色正方形；（2）第n个图形要用块黑色正方形；（3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．5．【规律探索】如图所示的是由相同的小正方形组成的图形，每个图形的小正方形个数为S n ，n 是正整数．观察下列图形与等式之间的关系【规律归纳】（1）S 9﹣S 8＝ ；S n ﹣S n ﹣1＝ ； （2）S 9+S 8＝ ；S n +S n ﹣1＝ ； 【规律应用】 （3）计算的结果为 ．6．观察下列图形：如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：，问：它们之间（1）设第n个图形和第n﹣1个图形中所有三角形的个数分别为a n、a n﹣1有什么数量关系？请写出这个关系式．（2）请你用含n的代数式来表示a n，并证明你的结论．7．如图所示，将一张矩形纸片对折，可得到一条折痕（图中的虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续操作三次可以得到7条折痕，那么对折n次可得到折痕的条数是．…8．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推．（1）图1的阴影部分的面积是；（2）受此启发，得到++++的值是；（3）若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得+++…+的值为；（4）请你利用图2，再设计一个能求+++…+的值的几何图形．9．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100 从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有种不同的放置方法．10．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．第2层第1层…第n层（1）当图（1）中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是：；（2）图（2）中的小圆圈一共有个（用含n的代数式表示）（3）如果图（1）中的圆圈共有13层，图（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边第三个圆圈中的数是；（4）我们自上往下，在每个圆圈中都按图（4）的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，一共填写13层求图（4）中所有圆圈中各数的绝对值之和．参考答案1．解：（1）0﹣1+2﹣3+4﹣5＝﹣3，表示的数是﹣3；∴A5（2）0﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝﹣1×50+100＝﹣50+100＝50，表示的数是50；∴A100所表示的数是x，（3）设电子青蛙的起点A则x﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝20.07，即x+50＝20.07，解得x＝﹣29.93．所表示的数是﹣29.93．故电子青蛙的起点A2．解：（1）∵第一个“上”字需用棋子4×1+2＝6枚；第二个“上”字需用棋子4×2+2＝10枚；第三个“上”字需用棋子4×3+2＝14枚；∴第四个“上”字需用棋子4×4+2＝18枚，第五个“上”字需用棋子4×5+2＝22枚，故答案为：18，22；（2）由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子4n+2枚，故答案为：4n+2；（3）根据题意，得：4n+2＝102，解得：n＝25，答：第25个上字共有102枚棋子．3．解：（1）观察图形的变化，得第1个图形有1+3×1＝4个〇第2个图形有1+3×2＝7个〇第3个图形有1+3×3＝10个〇第4个图形有1+3×4＝13个〇…第n个图形有1+3×n＝（3n+1）个〇故答案为：10；13；3n+1．（2）∵3n+1＝2020，解得，n＝673，∴第673图恰好含有2020个〇，故存在第n个图形，其中恰好含有2020个〇．4．解：（1）观察如图可以发现，第1个图中，需要黑色正方形的块数为3×1+1＝4，第2个图中，需要黑色正方形的块数为3×2+1＝7；第3个图中，需要黑色正方形的块数为3×3+1＝10；…由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘以几，然后加1．所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用3n+1块黑色正方形；所以第5个图形中，要用：3×5+1＝16（块）黑色正方形；故答案是：16；（2）由（1）知，第n个图形要用3n+1块黑色正方形；故答案是：（3n+1）；（3）假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1＝90，解得：n＝．因为n不是整数，所以不能．5．解：（1）根据图形与等式之间的关系可知：S 2﹣S1＝2；S 3﹣S2＝3；S 4﹣S3＝4；…发现规律：S n ﹣S n ﹣1＝n ；∴S 9﹣S 8＝9； 故答案为9、n ； （2）S 2+S 1＝22；S 3+S 2＝32； S 4+S 3＝42；… 发现规律：S n +S n ﹣1＝n 2；∴S 9+S 8＝92＝81； 故答案为81、n 2；（3）结合（1）（2）可知：＝＝．故答案为．6．解：（1）按题中图形的排列规律可得：an ＝3a n ﹣1+2．（2）由（1）得：an ＝3a n ﹣1+2，a n ﹣1＝3a n ﹣2+2，两式相减得：an ﹣a n ﹣1＝3（a n ﹣1﹣a n ﹣2）①当n 分别取3、4、5、n 时，由①式可得下列（n ﹣2）个等式：a 3﹣a 2＝3（a 2﹣a 1），a 4﹣a 3＝3（a 3﹣a 2），a 5﹣a 4＝3（a 4﹣a 3）， an ﹣a n ﹣1＝3（a n ﹣1﹣a n ﹣2）．显然an ﹣a n ﹣1≠0，以上（n ﹣2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：an ﹣a n ﹣1＝3n ﹣2（a 2﹣a 1）②∵a 2﹣a 1＝17﹣5＝12，由（1）又可知a n ﹣1＝（a n ﹣2），将它们代入②式即得：a n ＝2×3n ﹣1． 7．解：根据题意可知， 第1次对折，折痕为1， 第2次对折，折痕为1+2，第3次对折，折痕为1+2+22，第n次对折，折痕为1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．8．解：（1）∵观察图形发现部分①的面积为：；部分②的面积为＝；…∴图1的阴影部分的面积是；故答案为：；（2）++++＝1﹣＝；故答案为：；（3）+++…+＝1﹣；故答案为：1﹣；（4）如图为+++…+的值的几何图形，9．解：探究1：当m＝5，n＝2时，由图可知有4种不同的选择方法，根据根据规律可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有（m﹣1）种不同的选择方法；故答案为：4、m﹣1．探究2：选择3个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；故从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有100﹣2＝98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有100﹣3＝97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100﹣7＝93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：98、97、93、100﹣n+1．【问题解决】由规律可知：从m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：（m﹣n+1）．【实际应用】（1）从连续7天选择连续2天，则m＝7，n＝2，总共有（7﹣2+1）＝6种选择；（2）3号到15号总共13张电影票，选择3连号，则m＝13，n＝3，总共有（13﹣3+1）＝11种不同的选择；故答案为：6、11．【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作，6选2，可得5种放置方法，故总共7×5＝35种放置方法．故答案为：35．10．解：（1）如图（1），当小圆圈有10层时，图中共有：1+2+3+…+10＝55个圆圈；故答案为：55；（2）当有n层时，一个正三角形共有：1+2+3+…+n＝个圆圈，∴图（2）中的小圆圈一共有：n（n+1）个，故答案为：n（n+1）；（3）图（1）中，当有12层时，图中共有：1+2+3+…+12＝78个圆圈；∴如果图（1）中的圆圈共有13层，最底层最左边第一个圆圈中的数是79，则第三个圆圈中的数是：78+3＝81，故答案为：81；（4）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13＝＝91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为：|﹣23|+|﹣22|+...+|﹣1|+0+1+2+ (67)＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67），＝276+2278，＝2554．。

2021年九年级中考数学一轮复习专题《找规律：图形变化类》高频考点训练（四）1．根据图中箭头的指向规律，从2017到2018再到2019，箭头的方向是（）A．B．C．D．2．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（8）个图案中阴影小三角形的个数是（）A．30 B．31 C．32 D．333．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形有（）个太阳．A．2n B．n+2n﹣1C．n+2n D．2n4．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第7个图案中▲的个数为（）A．28 B．25 C．22 D．215．如下图所示：用火柴棍摆“金鱼”按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n6．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；按这样的规律下去，则第⑥幅图中含有正方形的个数为（）A．55 B．78 C．91 D．1407．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为（）A．B．C．D．8．如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第10个图案中黑色瓷砖的个数是（）A．28 B．29 C．30 D．319．如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究在第n个图中，黑、白瓷砖分别各有多少块（）A．4n+6，n（n+1）B．4n+6，n（n+2）C．n（n+1），4n+6 D．n（n+2），4n+610．下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，…，按此规律排列，则第12个图形中小圆的个数为（）A．45 B．48 C．49 D．5011．下列图形都是由同样大小〇的按一定的规律组成的，其中第1个图形一共有4个〇，第2个图形一共有9个〇，第3个图形一共有15个〇，…则第70个图形中〇的个数为（）A．280 B．349 C．2485 D．269512．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第7个图形中有（）朵玫瑰花．A．16 B．22 C．28 D．3413．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2019个图案有多少个三角形（）A．6068 B．6058 C．6048 D．705814．将一根绳子对折1次后从中间剪一刀，绳子变成3段；将一根绳子对折2次后从中间剪一刀，绳子变成5段；…将一根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成的段数是（）A．n+2 B．2n+1 C．n2+1 D．2n+115．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020应在（）A．A位B．B位C．C位D．D位16．如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规律组成，其中第1个图形有4个“△”，第2个图形有7个“△”，第3个图形有11个“△”，…，则第8个图形中“△”的个数为（）A．46 B．48 C．50 D．5217．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，…，按此规律，第⑧个图形中矩形的个数为（）A．38 B．41 C．44 D．4818．如图，是一组按照某种规律摆放而成的图案，其中图1有1个三角形，图2有4个三角形，图3有8个三角形，……，照此规律，则图10中三角形的个数是（）A．32 B．34 C．36 D．3819．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角20．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A．12 B．14 C．16 D．18参考答案1．解：观察图形的变化可知：箭头的指向规律是每4次一循环，所以2019÷4＝504…3，故选：D．2．第（1）个图案中阴影小三角形的个数是2＝1×4﹣2第（2）个图案中阴影小三角形的个数是6＝2×4﹣2第（3）个图案中阴影小三角形的个数是10＝3×4﹣2…第（n）个图案中阴影小三角形的个数是4n﹣2第（8）个图案中阴影小三角形的个数是4×8﹣2＝30故选：A．3．解：第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5+16＝21个太阳，所以第n个图形共有（n+2n﹣1）个太阳．故选：B．4．解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1＝4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1＝7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1＝10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1＝3n+1个三角形；则第7个图案中▲的个数为3×7+1＝22．故选：C．5．解：由图形可知：第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6＝8；第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6＝14；第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6＝20；…；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6＝2+6n．故选：A．6．解：观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4＝5个正方形，第三个有1+4+9＝14个正方形，…第n个有：1+4+9+…+n2＝n（n+1）（2n+1）个正方形，第6个有1+4+9+16+25+36＝91个正方形，故选：C．7．解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n（n+2）；∴＝+++…+＝++…++++…+＝（1﹣）+（﹣）＝，故选：A．8．解：第个图案中有黑色纸片3×1+1＝4张第2个图案中有黑色纸片3×2+1＝7张，第3图案中有黑色纸片3×3+1＝10张，…第n个图案中有黑色纸片＝3n+1张．当n＝10时，3n+1＝3×10+1＝31故选：D．9．解：通过观察图形可知，当n＝1时，用白瓷砖2块，黑瓷砖10块；当n＝2时，用白瓷砖6块，黑瓷砖14块；当n＝3时，用白瓷砖12块，黑瓷砖18块；可以发现，需要白瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即白瓷砖块数等于图形数的平方加上图形数；需要黑瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即黑瓷砖块数等于图形数的4倍加上图形数．所以，在第n个图形中，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1）；白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4n+6．故选：A．10．解：观察图形，可知第①个图形有5个小圆，即5＝1×4+1第②个图形有9个小圆，即9＝2×4+1第③个图形有13个小圆，即13＝3×4+1…第n个图形有（4n+1）个小圆，所以第12个图形有12×4+1＝49个小圆．故选：C．11．解：∵第①个图形中基本图形的个数4＝3×1+，第②个图形中基本图形的个数8＝3×2+，第③个图形中基本图形的个数11＝3×3+，…∴第n个图形中基本图形的个数为3n+当n＝70时，3×70+＝2695，故选：D．12．解：观察图形可知：第1个图形中有（4＝1×4 ）朵玫瑰花；第2个图形中有（8＝2×4 ）朵玫瑰花；第3个图形中有（12＝3×4 ）朵玫瑰花…发现规律：第7个图形中有（4×7＝28）朵玫瑰花．故选：C．13．解：第①个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第②个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第③个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…第n个图案三角形个数为3n+1，所以第2019个图案有三角形的个数为3×2019+1＝6058故选：B．14．解：∵对折1次从中间剪断，有21+1＝3；对折2次，从中间剪断，有22+1＝5．∴对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成2n+1段．故选：D．15．解：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位．2020÷4＝505，所以2020排在C位．故选：C．16．解：∵第1个图形中“△”个数为3+1+0＝4，第2个图形中“△”个数为5+1+1＝7，第3个图形中“△”个数为7+1+1+2＝11，第4个图形中“△”个数为9+1+1+2+3＝16，∴第8个图形中“△”个数为2×8+1+1+1+2+3+4+5+6+7＝46，故选：A．17．解：∵图①有矩形有6个＝5×1+1，图②矩形有11个＝5×2+1，图③矩形有16＝5×3+1，∴第n个图形矩形的个数是5n+1当n＝8时，5×8+1＝41个．故选：B．18．解：第一个图案有三角形1个，第二图案有三角形1+3＝4个，第三个图案有三角形1+3+4＝8个，第四个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个，第10个图中三角形的个数是4×（10﹣1）＝36．故选：C．19．解：设第n个正方形中标记的最大的数为a n．观察给定正方形，可得出：每个正方形有4个数，即a n＝4n．∵2019＝504×4+3，∴数2019应标在第505个正方形左上角．故选：C．20．解：∵第①个图案中三角形个数4＝2+2×1，第②个图案中三角形个数6＝2+2×2，第③个图案中三角形个数8＝2+2×3，……∴第⑦个图案中三角形的个数为2+2×7＝16，故选：C．。

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（三）1．小明同学对平面图形进行了自主探究：图形的顶点数V，被分成的区域数F，线段数E 三者之间是否存在确定的数量关系．如图是他在探究时画出的5个图形：（1）根据上图完成下表：平面图形V F E平面图形（1） 3 6平面图形（2） 5 8平面图形（4）10 6（2）猜想：一个平面图形中顶点数V，区域数F，线段数E之间的数量关系是；（3）计算：已知一个平面图形有24条线段，被分成9个区域，则这个平面图形的顶点有个．2．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放．根据图中小正方形的排列规律解答下列问题：（1）第5个图中有个小正方形，第6个图中有个小正方形；（2）写出你猜想的第n个图中小正方形的个数是（用含n的式子表示）．3．观察如图，填空：4．将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，则图4中共有10个正方形，照这个规律剪下去：（1）根据图中的规律补全表：图形标号 1 2 3 4 5 6 正方形个数 1 4 7 10（2）第n个图形中有多少个正方形？（3）当n＝673时，图形中有多少个正方形？5．用火柴棒按照如图示的方式摆图形．（1）请根据图填写下表：图形编号 1 2 3 4 5 …7 …火柴棒根数（2）第n个图形需要多少根火柴棒（用含n的代数式表示）6．某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）对于方式一，4张桌子拼在一起可坐多少人？n张桌子呢？对于方式二呢？（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？按方式二呢？（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，则共可坐多少人？（4）一天中午，该餐厅来了98为顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？7．如图，一圆桌周围有20个箱子，依顺时针方向编号1～20．小甬在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球：（1）若前一个箱子丢红球，经过的箱子就丢绿球．（2）若前一个箱子丢绿球，经过的箱子就丢白球．（3）若前一个箱子丢白球，经过的箱子就丢红球．已知他沿着圆桌走了100圈，求4号箱内有几颗红球．8．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．（1）图②有个三角形；图③有个三角形；（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形（用含n的代数式表示）．（3）是否存在正整数n，使得第n个图形中存在2018个三角形？如果存在，请求出n 的值；如果不存在，请说明理由．9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图8、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…，所以容易求出图8、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第6个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于331吗？请求出是第几个点阵．10．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．参考答案1．解：（1）通过观察图形的变化可知：平面图形（1）中顶点数V＝4，区域数F＝3，线段数E＝6，平面图形（2）中顶点数V＝5，区域数F＝4，线段数E＝8，平面图形（3）中顶点数V＝10，区域数F＝6，线段数E＝15．故答案为4、4、15．（2）根据（1）中所得结果可知：平面图形中顶点数V，区域数F，线段数E之间的数量关系为V+F＝E+1或V+F﹣E＝1．故答案为V+F＝E+1或V+F﹣E＝1．（3）根据题意，得E＝24，F＝9，∵V+F＝E+1，∴V＝24+1﹣9＝16．故答案为16．2．解：（1）∵第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；∴第5个图形共有小正方形的个数为6×6+5＝41，第6个图形共有小正方形的个数为7×7+6＝55，故答案为：41、55；（2）由（1）知第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n＝n2+3n+1，故答案为：n2+3n+1．3．解：观察图形变化可知：第1个图形中黑心圈的个数为8＝1×6+2，五角星的个数为1＝12，两种图形的总和为8+1＝9；第2个图形中黑心圈的个数为14＝2×6+2，五角星的个数为4＝22，两种图形的总和为14+4＝18；第3个图形中黑心圈的个数为20＝3×6+2，五角星的个数为9＝32，两种图形的总和为20+9＝29；…第n个图形中黑心圈的个数为（6n+2），五角星的个数为n2，两种图形的总和为n2+6n+2（n是正整数）；故答案为：6n+2，n2，n2+6n+2（n是正整数）4．解：（1）按图示规律填写下表：图形标号 1 2 3 4 5 6 正方形个数 1 4 7 10 13 16 故答案为13，16；（2）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个．（3）第673个图中共有正方形的个数为3×673﹣2＝2017．5．解：（1）7+5＝12，12+5＝17，17+5＝22，22+5＝27；（2）7+5（n﹣1）＝5n+2．6．解：（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．4张桌子可以坐18人，有n张桌子时是6+4（n﹣1）＝4n+2．第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，四桌子可以坐12人，n张桌子可以坐6+2（n﹣1）＝2n+4．（2）方式一：40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+16]＝176人，方式二：40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+8]＝112人；（3）方式二：40张桌子拼成5张大桌子可以坐5×[6+14]＝100人；（4）第一种，因为，当n＝25时，4×25+2＝102＞98，当n＝25时，2×25+4＝54＜98．所以，选用第一种摆放方式．7．解：由题意可得，第一圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，第二圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内，第三圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内，第四圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，…，由上可得每3全一个循环，100÷3＝33…1，∴他沿着圆桌走了100圈，4号箱内有33+1＝34颗红球，即他沿着圆桌走了100圈，4号箱内有34颗红球．8．解：（1）图②中有5个三角形，图③中有9个三角形．故答案为：5，9；（2）依题意得：n＝1时，有1个三角形；n＝2时，有5个三角形；n＝3时，有9个三角形；…∴当n＝n时，有（4n﹣3）个三角形．故答案为：4n﹣3；（3）假设存在正整数n，使得第n个图形中有2018个三角形，根据题意得：4n﹣3＝2018，解得：n＝，不是整数，故不存在正整数n，使得第n个图形中有2018个三角形．9．解：图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个； …，所以图8、图n 中黑点的个数分别是48，6n ； 故答案为：48，6n ；（1）观察点阵可知： 第1个点阵中有1个圆圈；第2个点阵中有7个圆圈；7＝2×3×1+1； 第3个点阵中有19个圆圈；19＝3×3×2+1； 第4个点阵中有37个圆圈；37＝4×3×3+1； 第6个点阵中有圆圈个数为：6×3×5+1＝91（个）； 发现规律：第n 个点阵中有圆圈个数为：n ×3（n ﹣1）+1＝3n 2﹣3n +1． 故答案为：91；n ×3（n ﹣1）+1＝3n 2﹣3n +1． （2）会；第11个点阵． 3n 2﹣3n +1＝331 整理得，n 2﹣n ﹣110＝0解得n 1＝11，n 2＝﹣10（负值舍去），答：小圆圈的个数会等于331，是第11个点阵．10．解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9＝3； （2）由题意得﹣2+1+9+x ＝3， 解得：x ＝﹣5，则第5个台阶上的数x 是﹣5；应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环， ∵31÷4＝7…3，∴7×3+1﹣2﹣5＝15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．。

2021中考数学一轮复习：图形的变化一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)2. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是()A．4 cm B．3 cmC．2 3 cm D．(4－3)cm3. 在平面直角坐标系中，点P(－3，m2＋1)关于原点的对称点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为()A．40°B．45°C．55°D．70°5. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC=，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC'B'，则B 点的对应点B'的坐标是()A.(，-1)B.(1，-)C.(2，0)D.(，0)6. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为()A．(3，1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(0，2)7. 如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.P是半圆AC的中点，连接BP交AC于点D.若半圆所在圆的圆心为O，点D，E关于圆心O对称，则图两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是()A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1＝S2D．不确定8. 2020·河北模拟如图所示，A1(1，3)，A2(32，32)，A3(2，3)，A4(3，0)．作折线OA1A2A3A4关于点A4中心对称的图形，得折线A8A7A6A5A4，再作折线A8A7A6A5A4关于点A8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．当t＝2020时，点P的坐标为()A．(1010，3) B．(2020，3 2)C．(2016，0) D．(1010，3 2)二、填空题9. 如图D7-12，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A'B'C，则点B转过的路径长为.10. 如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 2.将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．11. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确结论是(填序号).12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________ cm.13. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).14. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.15. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．16. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段PQ的中点．如图3，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A 对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是(1，1)，则点P2020的坐标为________．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，DE垂直平分AB交AB于点D.求证:BE+DE=AC.19. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．20. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长．21. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD. 求证：BD2＝AB2＋BC2.2021中考数学一轮复习：图形的变化-答案一、选择题1. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.2. 【答案】B[解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1 cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．3. 【答案】D4. 【答案】C[解析] ∵AC＝CB，∠C＝40°，∴∠BAC＝∠B＝12(180°－40°)＝70°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－70°)＝55°.∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.5. 【答案】A[解析]如图，在Rt△OCB中，∵∠BOC=30°，∴BC=OC==1，∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC'B'，∴OC'在x轴上，OC'=OC=，B'C'=BC=1，∠B'C'O=∠BCO=90°，∴点B'的坐标为(，-1).故选A.6. 【答案】A[解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.∵点A的坐标为(1，3)，∴AE＝1，OE＝3，∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝12OA′＝1，OF＝3，∴A′(3，1)．故选 A.7. 【答案】C[解析] ∵P是半圆AC的中点，∴半圆关于直线OP对称，且点D，E关于圆心O对称，因而S1，S2在直径AC上面的部分面积相等．∵OD＝OE，∴CD＝AE.∵△CDB的底边CD与△AEB的底边AE相等，高相同，∴它们的面积相等，∴S1＝S2.8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】π[解析]在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴cos∠ABC==，∴BC=2×=，∵△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A'B'C，∴∠BCB'=60°，∴弧BB'的长==π.故答案为π.10. 【答案】2＋6[解析] 如图，连接CE′，∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 2，∴AB＝BC＝2 2，BD＝BE＝2.∵将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△C BE′(SAS)，∴∠D′＝∠CE′B＝45°.过点B作BH⊥CE′于点H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝22BE′＝2，在Rt△BCH中，CH＝BC2－BH2＝6，∴CE′＝2＋ 6.故答案为2＋ 6.11. 【答案】①②③[解析]设BE，DG交于O，∵四边形ABCD和四边形EFGC都为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴BE=DG，∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOD=90°，∴BE⊥DG.故①②正确.连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，则BG2+DE2=BO2+OG2+OE2+OD2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确.12. 【答案】(10－2 6)[解析] 如图，过点A作AG⊥DE于点G.由旋转知，AD ＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，∴∠AFD＝∠AED＋∠CAE＝60°.在Rt △ADG 中，AG ＝DG ＝AD2＝3 2(cm)． 在Rt △AFG 中，GF ＝AG3＝6(cm)，AF ＝2FG ＝2 6(cm)， ∴CF ＝AC －AF ＝(10－2 6)cm.13. 【答案】③14. 【答案】解:作线段AB 的垂直平分线EF ，作∠BAC 的平分线AM ，EF 与AM相交于点P ，则点P 处即为这座中心医院的位置.15. 【答案】9＋33 [解析] 将y ＝1代入y ＝－33x ，解得x ＝－ 3.∴AB ＝3，OA ＝2，且直线y ＝－33x 与x 轴所夹的锐角是30°.由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO 2＝O 2O 4＝O 4O 6＝O 6O 8＝O 8O 10＝O 10O 12＝2＋3＋1＝3＋ 3. ∴OO 12＝6×(3＋3)＝18＋6 3. ∴点O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋3 3.16. 【答案】(1，－3)[解析] 由题意可得点P 2(1，－1)，P 3(－1，3)，P 4(1，－3)，P 5(1，3)，P 6(－1，－1)，P 7(1，1)，可知6个点一个循环，2020÷6＝336……4，故点P 2020的坐标与点P 4的坐标相同，为(1，－3)． 三、解答题17. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC. ∵△BEG 的周长为16， ∴EB+GB+GE=16. ∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16.∴AC+2GE=16.∵GE=3，∴AC=10.18. 【答案】证明:∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC.又∵DE⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE=DE.∵DE垂直平分AB，∴AE=BE.∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC.19. 【答案】解：(1)①当A，D，M三点在同一直线上时，AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD －DM＝20.②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∵AM>0，∴AM＝20 2.当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∵AM>0，∴AM＝10 10.综上所述，满足条件的AM的长为20 2或10 10.(2)如图，连接CD1，由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 2.∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，∴CD 1＝（30 2）2＋602＝30 6.∵∠BAC ＝∠D 1AD 2＝90°，∴∠BAC －∠CAD 2＝∠D 1AD 2－∠CAD 2，∴∠BAD 2＝∠CAD 1.又∵AB ＝AC ，AD 2＝AD 1，∴△BAD 2≌△CAD 1(SAS)，∴BD 2＝CD 1＝30 6.20. 【答案】解：如图，将△BCE 绕点C 逆时针旋转90°，得到△ACF ，连接DF.由旋转的性质，得CE ＝CF ，AF ＝BE ＝2，∠ACF ＝∠BCE ，∠CAF ＝∠B ＝45°.∵∠ACB ＝90°，∠DCE ＝45°，∴∠DCF ＝∠ACD ＋∠ACF ＝∠ACD ＋∠BCE ＝∠ACB －∠DCE ＝90°－45°＝45°，∴∠DCE ＝∠DCF.在△CDE 和△CDF 中，⎩⎨⎧CE ＝CF ，∠DCE ＝∠DCF ，CD ＝CD ，∴△CDE ≌△CDF(SAS)，∴DE ＝DF.∵∠DAF ＝∠BAC ＋∠CAF ＝45°＋45°＝90°，∴△ADF 是直角三角形，∴DF 2＝AD 2＋AF 2，∴DE 2＝AD 2＋BE 2＝32＋22＝13， ∴DE ＝13.21. 【答案】证明：如图，将△ADB 绕点D 顺时针旋转60°，得到△CDE ，连接BE ，则∠ADB ＝∠CDE ，∠A ＝∠DCE ，AB ＝CE ，BD ＝DE.又∵∠ADC＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴BD＝BE.又∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°，∴△ECB是直角三角形，∴BE2＝CE2＋BC2，即BD2＝AB2＋BC2.。