关于二项式展开式系数最大值的讨论

二项展开式中系数最大项的问题例5 已知(x ＋12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．[解析] ①由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)．②设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.即⎩⎪⎨⎪⎧ 18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r .解得r ＝2或r ＝3.所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 72 .名师点拨 ☞求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． 〔变式训练4〕已知(x 23 ＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25(x 23 )3·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2·(3x 2)3＝270x 223 .(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5(x 23 )5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x 10+4r 3 ， 故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23 ·(3x 2)4＝405x 263 .。

例析二项式中的最值问题作者：刘海山来源：《中学生数理化·学研版》2015年第07期二项式定理中的最值问题主要指最大项、最小项问题，都是满足一定条件的指定项或特殊项，通常都可以利用通项来解决。

在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同。

下面举例说明。

1。

二项式系数最大项问题例1已知12+2xn的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项。

分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件，先确定n的值，再根据二项式系数的性质求解。

解：12+2xn的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数分别为C4n，C5n，C6n。

由题意得C4n+C6n=2C5n，即n2-21n+98=0。

所以n=7或n=14。

当n=7时，展开式中二项式系数最大的项为T4和T5，所以T4=C37124（2x）3=352x3，T5=C47123（2x）4=70x4。

当n=14时，展开式中二项式系数最大的项为T8，所以T8=C714127（2x）7=3432x7。

评注：求二项式（a+b）n系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大。

2。

二项展开式中系数最大项问题例2已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项。

解：末三项的二项式系数分别为Cn-2n，Cn-1n，Cnn，由题设，得Cn-2n+Cn-1n+Cnn=121，即C2n+C1n+1=121。

所以n2+n-240=0，所以n=15（n=-16舍去）。

因为Tr+1=Cr15（3x）r=Cr15·3rxr，设Tr项，Tr+1项和Tr+2的系数分别为tr，tr+1，和tr+2，则tr=Cr-115·3r-1，tr+1=Cr15·3r，tr+2=Cr+115·3r+1。

浅谈二项展开式中的系数最大项作者：史保军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第04期一、问题的起源二项展开式中系数最大项肯定是存在的.求其系数最大项的问题，在现行的高中数学教材中没有涉及.但是在高中数学辅导书中类似的题目经常出现，每一本参考书给出的解法都是相同的.例求(3x+2x)10展开式中系数最大项.解：设系数最大项为T r+1=C r10(3x)10-r(2x)r=2rC r10x20-5r6.则22C r10≥2r-1C r-1102rC r10≥2r+1C r-110解得193≤r≤223.又r∈N*,∴r=7∴展开式中系数最大项是第8项.T8=27C710x-52.我一直用以上的方法讲述类似的问题，谁也没有提出任何疑问.今年我教的这个班级学生基础较好.在讲类似的题目时，我就让同学们体会一下这个方法.一会儿，同学们就向我发问：1.这个方法一定能求出系数的最大项吗？因为二项展开式中，系数最大项肯定存在.如果系数最大项是第一项或最后一项时，这个方法是不是就失效了呢？2.系数最大项会是第一或最后一项吗？3.这个解法会不会求出不相邻的多个r呢？带着这些问题，我进行了深入的思考.二、思考过程1.从求解方法入手.把求二项展开式系数最大项的方法叫“夹逼法”.这个方法如果正确的话，展开式的系数应该具有单调性，即(ax+by)n(a>0,b>0,a≠b,n∈N+)的展开式系数应该具有单调性.2．类比联想.二项展开式中，二项式系数具有单调性，那么系数具有单调性吗？三、探究过程在(ax+by)n(a>0,b>0,n∈N*,n≥2)的展开式中，各项系数f(r)=C rna n-r b r，r∈{0,1,2…n}．∵f(r)=C rna n-r b r,∴f(r+1)=C r+1na n-r-1b r+1,r∈{0,1,2…n-1}．∴f(r+1)f(r)=C r+1na n-r-1b r+1C rna n-r b r=(n-r)b(r+1)a.令f(r+1)f(r)≥1,即(n-r)b(r+1)a≥1．得r≤nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．同理令f(r+1)f(r)≤1,即(n-r)b(r+1)a≤1．得r≥nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．当nb-aa+b∈Z时，有nb-aa+b∈N.f(r)=C rna n-r b r．在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b,nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有两项的系数最大，即f(r),f(r+1)最大，若r=0,即ab=n时，第一、第二项系数最大，若r=n-1，即ba=n时，最后两项的系数最大.当nb-aa+b∈Z时，nb-aa+b+1∈{0,1,2，…，n-1}.f(r)=C rna n-r b r在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有一项的系数最大，即f(r).若r=0,即n若r=n，即n四、反思1.回答了同学们的提问.因为(ax+by)n(a>0,b>0,a≠,n∈N*,n≥2)展开式中，系数具有单调性，所以“夹逼法”一定能准确地求出系数的最大项.展开式中系数的最大项完全有可能是第一或最后一项.并且最大项要么是相邻的两项，要么是一项.2.通过思考，我有信心上好这节课.更重要的是我充分理解了“夹逼法”求展开式系数最大项的本质.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

二项式定理中系数最大项的理论
二项式定理是一个非常重要而又常见的数学定理，它经常用来计算排列和组合。

它可以用来求出一个多项式a(x+b)n的某项系数来。

二项式定理告诉我们，当一个多项式中出现n个相同项时，它的系数最大值是n！（阶乘）。

另外，它还告诉我们，当n是偶数时，系数最大值为n!/2。

因此，当系数最大时，多项式的变量coefficient 值会有以下形式：
n!/(b*x^n+a*b^n)
这就是当系数最大时，多项式a(x+b)n的系数取值。

简单来说，当多项式中包含n个相同项时，它的系数最大值是n！。

二项式定理的运用非常广泛，它常用于计算对数函数求值，概率论等领域。

它还可以用于解决组合问题，帮助我们快速计算多项式中某项系数。

总之，二项式定理是一个非常重要而又常见的定理，它通过提供一个快速计算多项式中某项系数的方法，在许多领域都有着广泛的应用。

二项式最大系数1. 什么是二项式？在代数学中，二项式是指两个数的和的幂，如(a+b)²、(a+b)³等。

其中，a和b是任意实数或复数。

2. 什么是二项式系数？在一个二项式展开式中，每一项的系数称为二项式系数。

例如，在(a+b)³的展开式中，第一项系数为1，第二项系数为3，第三项系数为3，第四项系数为1。

3. 什么是二项式定理？二项式定理又称为牛顿-莱布尼茨公式或牛顿公式。

它表达了一个任意实数或复数的幂可以通过展开成一组二次多项式来表示。

具体地说，它表达了以下恒等关系：(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿb⁰ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ + ... + C(n,n-1)a¹bⁿ⁻¹ +C(n,n)a⁰bⁿ其中C(n,k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数量。

4. 如何计算二项式系数？计算二项式系数有多种方法，其中最常用的方法之一是使用杨辉三角形（也称帕斯卡三角形）。

杨辉三角形由数字排列成三角形状，其中每个数字等于上方两数之和。

第n行的数字表示C(n,k)。

例如，下面是一个五行的杨辉三角形：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1通过查找杨辉三角形中的相应数字，可以计算出任何二项式系数。

5. 如何确定二项式系数的最大值？二项式系数的最大值通常发生在中间项（即k=n/2）处。

这是因为当k<n/2时，C(n,k)与C(n,n-k)相等，而当k>n/2时，C(n,k)逐渐减小。

具体地说，当n为偶数时，中间两个系数相等且最大；当n为奇数时，中间一项系数最大。

6. 最大二项式系数的应用最大二项式系数在组合数学、概率论、统计学和计算机科学等领域都有广泛的应用。

例如，在概率论中，它可以用于计算二项分布函数；在计算机科学中，它可以用于优化算法性能。

方法集锦与二项式系数有关的问题主要有三种类型，即求指定项的系数、求二项式系数的和以及求展开式中系数的最值.这三类问题主要考查二项式定理以及二项式的通项公式.本文将围绕这三方面展开讨论，分别介绍这三类与二项式系数有关的问题的题型和解法.一、求指定项的系数求指定项的系数问题比较常见.二项展开式中的每一项都有其对应的系数，求指定项的系数需首先根据二项式的通项公式T n +1=C r n a n -r b r ()0≤r ≤n ,r ∈Z 找出对应的项，然后根据题意列出与r 有关的方程，在得到r 的值后，将其代入通项公式即可得到指定项的系数.例1.æèçöø÷1+x +1x 202012的展开式中x 2的系数是____.解：æèçöø÷1+x +1x 202012展开式的通项为T r +1=C r 12æèçöø÷x +1x 2020r，则æèçöø÷x +1x 2020r展开式的通项为T m +1=C m r x r -m æèçöø÷1x 2020s，令r -2021m =2，解得r =2021m +2，∵r 、m ∈N ∗，0≤r ≤12，0≤m ≤r ，∴r =2，m =0，∴æèçöø÷1+x +1x 202012的展开式中x 2的系数为C 212C 1010=66.该式为三项式，我们需首先将其看作二项式，即将含有x 的两项看作一项，两次运用二项式的通项公式求得三项式的通项，再令其通项的系数为2，求得r 、m 的值，便可得到指定项的系数.二、求二项式系数的和在与二项式系数相关的问题中，求二项式系数的和屡见不鲜.解答这类问题的关键在于运用赋值法.一般地，可以选特殊值1，-1,0等.若求形如(ax +b )n ，(ax 2+bx +c )m (a ，b ，c ∈R)的展开式中各项系数之和，常令x =1；求形如(ax +by )n (a ,b ∈R)的展开式中各项系数之和，只需令x =y =1即可.例2.()x +1æèçax -6()a >0的展开式中常数项为60，则()x +1æèçax -6()a >0展开式中各项系数之和为____.解：æèçöø÷ax -1x 6通项公式为T r +1=C r 6()ax 6-r æèçöø÷-1x r=()-1ra 6-rC r 6x6-32r，令6-32r =0，解得r =4，令6-32r =-1，解得r =143，不符合题意，而()x +1æèçöø÷ax -1x 6()a ＞0的展开式中常数项为()-14a 2C 46=60，解得a =2.令x =1，则有()x +1æèçöø÷2x -1x 6=2，所以()x +1æèçax -6()a ＞0展开式中各项系数之和为2.我们在求得a 的值后，直接令x =1，便将变量x 转化为常数1，进而直接求得二项式系数的和.三、求二项式系数的最值二次项系数的性质：若()a +b n中n 是偶数，则二项式系数中C n 2n最大；若()a +b n中n 是奇数，则二项式系数中C n -12n 和C n +12n 相等且最大.在求展开式中系数的最大值时，我们要注意区分(a+b)n 中n 的奇偶性，利用二次项系数的性质来求解.例3.æèöøx 3-1x 6的展开式中二项式系数最大的项为_____.解：由二项式系数的性质可得，æèöøx 3-1x 6展开式中第4项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项T 4=C 36()x 33æèöø-1x 3=-20x 2.若遇到二项展开式中系数最大项问题，只需解不等式{T k +1≥T k ，T k +1≥T k +2，求得k 值，便可确定第k +1项的系数最大.通过上述分析，同学们就能熟练地掌握与二项式系数有关的问题，在今后的解题中无论遇到哪一类题型，我们都要抓住解题的关键：灵活运用二项式定理以及二项式的通项公式.(作者单位:广东省吴川市第一中学)44。

关于二项展开式系数最大项的探究目录摘要 (15)ABSTRACT (16)引言 (17)第一章特殊二项式和两个特殊的方程 (18)1.1二项式简介 (18)1.2求解二项展开式中系数最大项 (18)1.3两个特殊的方程 (21)第二章一般二项式和两个特殊的方程 (22)2.1求解一般二项展开式中系数最大的项 (22)2.2与两个特殊方程对应的二项式命题 (24)第三章规范二项式与标准二项式 (25)3.1求与两个特殊方程对应的二项式命题 (25)3.2和两个特殊方程对应的二项式 (26)3.3规范二项式与标准二项式的区别与联系 (27)结束语 (28)致谢 (29)参考文献 (30)引言二项式知识点本身较为简单，但在数列、排列、组合的研究中有重要作用。

特别是二项式定理，更是二项式的精华，更巧合的是二项展开式的二项式系数竟然与杨辉三角如出一辙，英国科学家牛顿，德国数学家高斯对二项式体系的形成具有重要贡献。

二项式定理的应用较为广泛，求二项展开式中系数最大的项就是其中之一。

本文所研究的内容也源于对二项式的研究，主要研究二项展开式与方程之间的联系。

到目前为止，对二项式的研究已经形成了一个理论体系，特别是在数列，排列组合，分布的研究方面，二项式起到了重要的作用。

而本文的发现（方程的标准二项式，规范二项式）则使得二项式的理论体系更加的完备。

本论文主要采用猜想和理论论证的方法对问题进行研究，预期成果是希望发现的理论为公众所认可，甚至写入教科书。

国内外对二项式的研究主要集中在理论方面的研究，早在13世纪阿拉伯人已经知道两项和的N次方的展开结果，1713年,B ERNOULLI证明了二项式定理,1665年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。

但是牛顿未能给出证明。

直到1811年，高斯对此进行了严格的证明。

至此，二项式理论体系已近于完备，后来的理论研究大多都围绕二项式定理，二项分布而展开。

在实际应用方面，有关二项式应用的研究则相对较少，其中二项式期权定价模型就是二项式最重要的应用之一，随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋于正态分布，其优点是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已经成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。