求展开式系数的类型及最大最小项

（1）知识点的梳理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr n T C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nnn n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n nn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221r n n nn n n C C C C +++++=-。

1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共（n+1）项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr n T C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。

②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。

二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，·1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．知识内容赋值求某些项系数的和与差③注意二项式系数（rn C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看rn C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n mn n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】 若1()nx x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例3】 (82x 展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152典例分析【例4】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例6】 在二项式412nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例9】 设(5nx -的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例10】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例11】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例15】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例16】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例17】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例18】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例19】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例20】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例21】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例22】 若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例23】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例24】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例25】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin 22sin cos x x x =． ⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk kn k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】 证明：220C (1)2nk n n k k n n -==+∑．【例29】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例30】 求证：121C 2C C 2nn n n n n n -+++=⋅【例31】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例32】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ． 1+B ．1C ．1+D ．1【例33】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例34】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+是一次多项式或零次多项式．【例35】 若0()C ni in i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12C ．1D ．3。

二项式定理【学习目标】1 •理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法.2 •会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【要点梳理】要点一：二项式定理1. 定义一般地，对于任意正整数n,都有：(a b)n C^a0C；a n 1b C；a n r b r C；b n( n N*),这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。

式中的C；a n r b r做二项展开式的通项，用T r+i表示，即通项为展开式的第r+1项：T r 1 C；a n r b r,其中的系数C n (r=0 , 1, 2，…，n)叫做二项式系数，2 •二项式(a+b) n的展开式的特点：(1) 项数：共有n+1项，比二项式的次数大1;(2) 二项式系数：第r+1项的二项式系数为C0，最大二项式系数项居中；(3) 次数：各项的次数都等于二项式的幕指数n.字母a降幕排列，次数由n到0;字母b升幕排列，次数从0到n,每一项中，a, b次数和均为n;3.两个常用的二项展开式：①(a b)n C：a n C：a n1b L ( 1)r C；a n r b r L ( 1)n C；b n(n N*)②(1 x)n 1 C：x C'x2 L C：x r L x n要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项: _____________________T r 1 C：a n-r b r( r 0,1,2, ,n)公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是c n ；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n。

要点诠释：(1)二项式(a+b) n的二项展开式的第r+1项C n r a n r b r和(b+a) n的二项展开式的第r+1项C；b n r a r是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的.(2 )通项是针对在(a+b) n这个标准形式下而言的，如(a —b)n的二项展开式的通项是T r 1 ( 1)r c；a n r b r(只需把—b看成b代入二项式定理)。

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nnn n n n nn nna b C a C a b C a b C b n --*+=++++ÎN这个公式表示的定理叫做二项式定理．这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nTC a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()na b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）代入二项式定理）这与这与1r n r rr nT C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r nn n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T+=r n rrnC ab-()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r Ta b n r +五个元素，五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx +的近似值．的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 事实上，这一性质可直接由公式mn mn n C C -=得到．得到． ②增减性与最大值②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；由于展开式各项的二项式系数顺次是由于展开式各项的二项式系数顺次是()01211,,112n n n n n n C C C -===×， ()()312123n n n n C --=××，．．．，，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=××××-，()()()()()12...21123...1k n n n n n k n k C k k ---+-+=×××-，．．．，，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nn C ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r rn nn nn n n n n C C C C C ++++++=．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 0241351 (2)n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x y+展开式中，系数为有理数的项共有 项．典例分析【例2】1003(23)+的展开式中共有_____项是有理项．【例3】 610341(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x æö++-ç÷èø的展开式中的常数项为_________．【例5】 二项式42x +x æöç÷èø的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【例6】 若123a x x æö+ç÷èø的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【例7】 在二项式52a x x æö-ç÷èø的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【例8】 在621x x æö+ç÷èø的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】 如果1nx x æö+ç÷èø展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】 若31(2)nx x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例13】 在2()nx x +的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =．【例15】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n Î*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例16】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】 已知2()nix x -的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例18】 已知10()n n ÎN ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1D ．0【例19】 610341(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 51(2)2x x ++的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】已知312nx x æö+ç÷èø的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．10【例23】 在2()n x x +的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =．【例25】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】 已知2()nix x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知10()n n ÎN ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1D ．0【例28】 1231x æö-ç÷展开式中的常数项为（）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【例29】 求612x x æö++ç÷èø展开式中的常数项．【例30】 6122x x æö-ç÷èø的展开式的常数项是 （用数字作答）【例31】 在2nx x æö+ç÷èø的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例32】 1nx x æö-ç÷èø的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【例33】 若nx x ÷÷øöççèæ+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．14【例34】 在261(2)x x-的展开式中常数项是 ，中间项是________．【例35】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n Î*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例36】 若31(2)nx x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例37】 已知21n x x æö-ç÷èø的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【例38】 若21nx x æö+ç÷èø展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】若921ax x æö-ç÷èø的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【例40】若1nx x æö+ç÷èø展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．120有理项【例41】 求二项式1532xx æö-ç÷èø的展开式中： ⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】 1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例43】 二项式1532()xx-的展开式中：⑴求常数项； ⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【例44】 已知在412nx x æö+ç÷èø的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【例45】 二项展开式1531x x æö+ç÷èø中，有理项的项数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6【例46】 在()11332x x×-×的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1pxdx =òA ．1B ．67C ．76D ．1113【例47】123()x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项【例48】 若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80系数最大的项【例49】 已知1()2n x x+的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】 20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例51】已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例52】 在132nx x -æö-ç÷èø的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【例53】 已知lg 8(2)xx x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【例54】 求10312x x æö-ç÷èø的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例55】 已知3241nx x æö+ç÷ç÷èø展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【例56】 设m n +ÎN ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19． ⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【例57】 已知：223(3)n nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【例58】 20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x ；③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005． 其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 在312nx x æöç÷èø+的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例61】 设()()21*174n n ++ÎN 的整数部分和小数部分分别为nM与n m ，则()n n n m M m +的值为 ．【例62】12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=¹，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab 的取值范围．【例63】二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例64】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例65】 在二项式()1nx +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ÎN 的最小值为 ．1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。

二项式定理系数最大项二级结论二项式定理是数学中的一个重要定理，它给出了两个数之和的幂的展开式。

根据二项式定理，我们可以得到展开式中的各项系数。

而在展开式中，最大项的系数具有一些独特的性质。

本文将探讨二项式定理系数最大项的二级结论。

让我们回顾一下二项式定理的表达式。

对于任意实数a和b以及正整数n，二项式定理可以表示为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。

组合数可以使用以下公式计算：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)接下来，我们来研究二项式定理中最大项的系数。

根据二项式定理的展开式，最大项出现在(a+b)^n的中间位置，即当k = n/2时。

此时，最大项的系数可以使用组合数C(n,n/2)来表示。

这是因为当k = n/2时，组合数C(n,k)取得最大值。

我们可以进一步研究最大项系数的性质。

首先，我们注意到当n为偶数时，n/2为整数，因此最大项的系数为整数。

而当n为奇数时，n/2为小数，最大项的系数为分数。

这是一个有趣的现象，说明二项式定理在展开式最大项的系数上存在奇偶性的区别。

我们可以观察到当n增大时，最大项的系数也随之增大。

这是因为随着n的增大，组合数C(n,n/2)的值也越来越大。

这意味着在展开式中，最大项的系数越来越接近于展开式的中心项。

除了最大项的系数，我们还可以研究展开式中其他项的系数。

根据二项式定理，除了最大项外，其他项的系数随着k的增大而逐渐减小。

这是因为当k增大时，组合数C(n,k)的值逐渐减小。

因此，展开式中的各项系数呈现出一种先增后减的趋势。

我们可以将二项式定理系数最大项的二级结论应用到实际问题中。

例如，在概率论中，二项分布描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。