山东省高三数学一轮复习 专题突破训练 定积分与正态分布 理

正态分布一、选择题1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝ ( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585解析 通过正态分布对称性及已知条件得P(X ＞4)＝1－2＝1－0.68262＝0.1587，故选B .答案 B2. 设随机变量ξ服从正态分布 ),1(2σN ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为( ) A.41 B. 31 C.21 D.32 解析 函数2()2f x x x ξ=++不存在零点,则440,1,ξξ∆=-<> 因为2~(1,)N ξσ，所以1,μ=()11.2P ξ>=答案 C3．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )．A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎪⎫1－μσ D ．2Φ(μ＋σ)解析 由题意得，P (|ξ－μ|＜σ)＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|ξ－μσ|＜1＝Φ(1)－Φ(－1)．答案 B4．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝σ2＝4， ∴D (η)＝1. 答案 B5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为 ( )．A ．0.998 7B ．0.997 4C ．0.944D ．0.841 3 解析 标准正态分布N (0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率P ＝0.997 4.答案 B6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －x －μi 22σ2i(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D7．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )． A ．0.097 B ．0.046 C ．0.03 D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D 二、填空题8. 随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，已知P (ξ＜0)＝0.3，则P (ξ＜2)＝________.答案 0.79．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．解析 由题意知，P (ξ＞110)＝1－2Pξ2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10. 答案 1010．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．解析∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.∴X在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案0.811．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③12．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题13．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解析由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0. 271 8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.14．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是φμ，σ(x)＝162πe－x－272，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)209－6～209＋6；(2)209－18～209＋18.解析由于X的概率密度函数为φμ，σ(x)＝162πe－x－272，x∈(－∞，＋∞)，∴μ＝209，σ＝6.∴μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6. μ－3σ＝209－6×3＝209－18， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.因此光通量X 的取值在区间(209－6,209＋6)， (209－18,209＋18)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.(1)于是光通量X 在209－6 ～209＋6范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.682 6＝6 826.(2)光通量在209－18～209＋18范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.997 4＝9 974.15．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解析 (1)由ξ～N (100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P (80＜ξ≤120)＝P (100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954 4， 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4. (2)P (90＜ξ≤110)＝P (100－10＜ξ≤100＋10) ＝0.682 6，∴P (ξ＞110)＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，∴P (ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．16．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解析 设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60,100)． 则μ＝60，σ＝10.(1)P (30＜X ≤90)＝P (60－3×10＜X ≤60＋3×10)＝0.997 4. ∴P (X ＞90)＝12[1－P (30＜X ≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x .则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．。

（山东专用）高考数学一轮复习专题16定积分与微积分基本定理（含解析）一、【知识精讲】1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义f (x ) ⎠⎛abf (x )d x 的几何意义f (x )≥0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ]上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积2.(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba)＝F (b )－F (a ). [微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、【典例精练】 考点一 定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2) （2012【答案】 (1)π 【解析】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2) 【解法小结】 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 考点二 定积分的几何意义角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2) （2013请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：．【答案】 (1)π4＋1 【解析】 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛11－x 2d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)从而得到如下等式：答案角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 （2014 ）A ．2 D ．4 【答案】D【解法小结】 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系). 考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).【答案】 (1)C (2)342【解析】(1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).【解法小结】 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【思维升华】1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛ab f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图象可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )d x表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛a b |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛ab f (x )d x的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. 【易错注意点】1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负. 三、【名校新题】1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1【答案】C【解析】 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.2.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m【答案】A【解析】 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m). 3.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－3y d y【答案】A【解析】 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝⎛⎭⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .4.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【解析】 由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .5.(2019届江西九江高三第一次十校联考)M=dx,T=sin 2xdx,则T 的值为( )A. B.- C.-1 D.1【答案】 A【解析】先求出M=6.(2019届山东日照一中第二次质量达标检测)在函数y=cos x,x∈的图象上有一点P(t,cos t),若该函数的图象与x轴、直线x=t,围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图象大致是( )【答案】 B【解析】因为g（t）==，所以图像是B.7.(2019届吉林长春实验中学上学期期中,6)设f(x)=则f(x)dx等于( )A. B. C. D.0【答案】 A【解析】原式=8.(2018山东菏泽第一次模拟)若(n∈N*)的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则dx=( )A.36πB.C.D.25π【答案】 C【解析】可求出a=5,由定积分的几何意义知：所求定积分为半径为5的半圆的面积，为.9.（荆州市2019届高三联考）已知函数234567()1234567x x x x x xf x x=+-+-+-+，若函数()(3)h x f x=-的零点都在区间(,)(,,)a b a b a b Z <∈内，当b a -取最小值时，(21)bax dx -⎰等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】：B 【解析】234562326326()1(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=-+--++=--++，可知当1x ≤时，()0f x '>成立，又2345624232()11(1)(1)1(1)(1)f x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=--++-+=+--+，可知当1x >时，()0f x '>成立，所以对任意R x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 只有一个零点，(0)10f =>，111111(1)0234567f -=------<，所以()f x 的零点位于区间(1,0)-，所以函数 ()(3)h x f x =-的零点位于区间(2,3)，即2,3a b ==，所以32(21)(21)bax dx x dx -=-⎰⎰322()624x x =-=-=10.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________.【答案】-3【解析】 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.11.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 【答案】49【解析】封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.12.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.【答案】π2＋43。

山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编30：定积分 一、选择题 ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）若,则的大小关系为B．C．D． 【答案】B ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）若实数则函数的图象的一条对称轴方程为B．C．D． 【答案】B ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知,若,则=（ ） A．1B．-2C．-2或4D．4 【答案】D ．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）若,,则的大小关系为 . . . . 【答案】B ．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）曲线与围成的封闭区域的面积是1B．C．D． 【答案】C ．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为（ ） A．B．C．D． 【答案】D． ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为B．C．D．【答案】D二、填空题 ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）若在R上可导,,则____________. 【答案】-18 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）=_________________. ( ) 【答案】 ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）_________.【答案】7 ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题） ____________. 【答案】 ．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设(其中e为自然对数的底数),则的值为_________. 【答案】 ．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）设 ,若,则_______. 【答案】1因为,=,所以,. ．（山东省广饶一中二校区2014届高三上学期10月月考数学（理）试题）__________. 【答案】1 ．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）若函数f(a)=(2+sin x)dx,则f等于_________ 【答案】(+1 ．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）若,则的值是___★___. 【答案】2 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）由曲线y和直线x=1,以及y=0所围成的图形面积是__________________; 【答案】1/3 ．（山东省潍坊市诸城一中2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）曲线所围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）由直线所围成的封闭图形的面积为__________. 【答案】 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线与直线围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数与的图像所围成的阴影部分的面积为,则__________. 【答案】3 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）由曲线、直线以及所围成的图形面积是________. 【答案】。

第7节二项分布与正态分布【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( B )(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.45%)(A)4.56% (B)13.59%(C)27.18% (D)31.74%解析:P(-3<ξ<3)=68.27%,P(-6<ξ<6)=95.45%,则P(3<ξ<6)=×(95.45%-68.27%)=13.59%.2.一台机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件A时,停机的概率为,加工零件B时,停机的概率是,则这台机床停机的概率为( A )(A) (B) (C) (D)解析:加工零件A 停机的概率是×=,加工零件B 停机的概率是(1-)×=,所以这台机床停机的概率是+=.故选A.3.(2017·梅州市一模)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖,现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是( B ) (A) (B) (C)(D)解析:从6个球中摸出2个,共有=15种结果,两个球的号码之积是4的倍数,有(1,4),(2,4),(3,4),(2,6)(4,5),(4,6),共6种结果, 所以摸一次中奖的概率是=,所以有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是×()3×=.故选B.4.(2017·岳阳市质检)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),甲队在每局比赛获胜的概率都相等为,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是( C ) (A) (B) (C) (D)解析:因为排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),甲队在每局比赛获胜的概率都相等为,前2局中乙队以2∶0领先,则只有甲后三局均胜乙才输,所以最后乙队获胜的概率P=1-()3=.故选C.5.若某人每次射击击中目标的概率均为,此人连续射击三次,至少有两次击中目标的概率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:至少有两次击中目标包含仅有两次击中,其概率为()2(1-);或三次都击中,其概率为()3,根据互斥事件的概率公式可得,所求概率为P=()2(1-)+()3=.故选A.6.(2017·合肥市质检)某校组织由5名学生参加演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为( A )(A) (B) (C) (D)解析:记“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”为事件M,记“学生C第一个出场”为事件N.则P(M)=,P(MN)=.那么“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为P(N|M)===.故选A.7.设随机变量X～B(2,p),随机变量Y～B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y ≥1)= .解析:因为X～B(2,p),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=.又Y～B(3,p),所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.答案:8.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是.解析:设“甲、乙二人相邻”为事件A,“甲、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),由于P(B|A)=,而P(A)==,AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”,故P(AB)==,于是P(B|A)==.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2017·湛江市二模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( A )(A) (B) (C)5 (D)3解析:因为随机变量ξ服从正态分布N(3,4),且P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以2a-3与a+2关于x=3对称,所以2a-3+a+2=6,所以3a=7,所以a=.故选A.10.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球.则从2号箱取出红球的概率是( A )(A) (B) (C) (D)解析:法一记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球,则根据古典概型和对立事件的概率和为1,可知:P(B)==,P()=1-=;由条件概率公式知P(A|B)==,P(A|)= =.从而P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)·P(B)+P(A|)·P()=.故选A.法二根据题意,分两种情况讨论:①从1号箱中取出白球,其概率为=,此时2号箱中有6个白球和3个红球,从2号箱中取出红球的概率为,则此种情况下的概率为×=.②从1号箱中取出红球,其概率为=.此时2号箱中有5个白球和4个红球,从2号箱取出红球的概率为,则这种情况下的概率为×=.则从2号箱取出红球的概率是+=.故选A.11.(2017·黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨,是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨,每年来自世界各地的游客络绎不绝.假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2 000,10 000)的随机变量.则每天到西江苗寨的游客人数超过 2 100的概率为.解析:因为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量ξ在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率为0.682 7,所以每天到西江苗寨的游客人数超过2 100的概率为×(1-0.682 7)=0.158 65.答案:0.158 6512.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入A袋中的概率为.解析:记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件B,则事件A的对立事件为B,若小球落入B袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下,故P(B)=()3+()3=,从而P(A)=1-P(B)=1-=.答案:13.(2017·泸州市二诊)从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分布直方图.(1)求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这批学生的数学总分Z服从正态分布N(μ, σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(81<Z<119);②记X表示2 400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数,利用①的结果,求E(X)(用样本的分布估计总体的分布).附:≈19,≈18,若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)= 0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5.解:(1)由题意, =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100,样本方差s2=(60-100)2×0.02+(70-100)2×0.08+(80-100)2×0.14+(90-100)2×0.15+(100-100)2×0.24+(110-100)2×0.15+(120-100)2×0.1+ (130-100)2×0.08+(140-100)2×0.04=366.(2)①Z～N(100,192),P(81<Z<119)=P(100-19<Z<100+19)=0.682 7;②数学总分位于区间(81,119)的概率为0.682 7,X～B(2 400,0.682 7),E(X)=2 400×0.682 7=1 638.24.14.(2016·广东深圳二调)某市在对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级,其中不小于80分为“优秀”,小于60分为“不合格”,其他为“合格”.(1)某校高一年级有男生500人,女生400人,为了解性别对该综合素质评价结果的影响,采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果,其各个等级的频数统计如下表:根据表中统计的数据填写下面2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”?(2)以(1)中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率,且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高一学生中随机抽取3人.①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率;②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数,求X的数学期望.参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.临界值表:解:(1)设从高一年级男生中抽出m人,则=,m=25.所以x=25-20=5,y=20-18=2,而K2===1.125<2.706,所以没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”.(2)①由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为=,所以从该市高一学生中随机抽取1名学生,该生为“优秀”的概率为.记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价′优秀′学生”为事件A,则事件A发生的概率为P(A)=×()2×(1-)=;②由题意知,随机变量X～B(3,),所以随机变量X的数学期望E(X)=3×=2.15.(2017·重庆市适应性测试)某火锅店为了解气温对营业额的影响,随机记录了该店1月份中5天的日营业额y(单位:千元)与该地当日最低气温x(单位:℃)的数据,如下表:(1)求y关于x的回归方程=x+;(2)判定y与x之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为6 ℃,用所求回归方程预测该店当日的营业额;(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2,求P(3.8<X<13.4).附:①回归方程=x+中, =,=-.②≈3.2,≈1.8.若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 5.解:(1)列表计算如下:这里n=5, =x i==7, =y i==9,又l xx=-n=295-5×72=50,l xy=x i y i-n=287-5×7×9=-28,从而, ==-=-0.56,=-=9-(-0.56)×7=12.92,故所求回归方程为=-0.56x+12.92.(2)由=-0.56<0知y与x之间是负相关,将x=6代入回归方程可预测该店当日的营业额为=-0.56×6+12.92=9.56(千元).(3)由(1)知μ==7,又由σ2=s2= [(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)2]=10知σ=3.2,从而P(3.8<X<13.4)=P(μ-σ<X<μ+2σ)=P(μ-σ<X<μ)+P(μ<X<μ+2σ)= P(μ-σ<X<μ+σ)+ P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.818 6.。

第十节 二项分布、超几何分布、正态分布题号 1 2 3 4 5 6 答案1．(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B(n ，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n 与p 的值为 ( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，14解析：由ξ～B(n ，p)，有E(ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np(1－p)＝454，所以p ＝14，n ＝60.答案：B2．(2013·许昌模拟)设随机变量X ～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a －2＝2，所以a ＝4，选A. 答案：A3．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235 B.1235 C.335 D.235解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0，1，2，相应的概率为P(X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.故选B.答案：B4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 52⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 52C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123.故选B 答案：B5．一个袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于（n －m ）A m2A n3的是( ) A ．P(ξ＝3) B ．P(ξ≥2) C．P(ξ≤3) D．P(ξ＝2) 解析：P(ξ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝（n －m ）A 2mA 3n . 故选D. 答案：D6．正态总体的概率密度函数为f ()x ＝18πe －x28()x∈R ，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2 答案：C7．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．解析：由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝ C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫124－k ，得k ＝2. 答案：28．已知ξ～N(4，σ2)，且P(2＜ξ≤6)＝0.682 6，则P(ξ≤10)＝________． 解析：∵P(4－2＜ξ≤4＋2)＝0.682 6， ∴σ＝2，P(－2＜ξ≤10)＝P(4－2×3＜ξ≤4＋2×3)＝0.997 4， P (ξ≤10)＝P(－2＜ξ≤10)＋12[1－P(－2＜ξ≤10)]＝0.997 4＋12(1－0.997 4)＝0.998 7.答案：0.998 79．(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_____________．解析：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)，得：两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p ＝12，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：p 1＝1－(1－p)2＝34.答案：3410．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93× 0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号)．解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．故选①③.答案：①③11．甲、乙两人参加知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲先抽一题，乙再抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是多少？ (3)甲抽到选择题的条件下，乙抽到选择题的概率是多少？解析：(1)记A ＝“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，则P(A)＝6×410×9＝415；∴所求的概率是415.(2)记B ＝“甲、乙没有谁抽到选择题”，则B 为所求事件， ∴P(B)＝1－P(B)＝1－4×310×9＝1315；∴甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是1315.(3)记C ＝“甲抽到选择题”，D ＝“乙抽到选择题”， 则P(C)＝610＝35，P(CD)＝6×510×9＝13，∴P(D|C)＝P （CD ）P （C ）＝59.因此，所求的概率是59.12．设在一次数学考试中，某班学生的分数服从ξ～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共有54人，求这个班的这次数学考试中及格(不小于90分)的人和130分以上的人数．解析：∵ξ～N(110，202)， ∴μ＝110，σ＝20，∴P(90＜ξ≤130)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ＝0.682 6)， P (ξ＞130)＝12[1－P(90＜ξ≤130)]＝0.158 7，∴P (ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3， 因此，及格的人数为54×0.841 3≈45(人)， 130分以上的人数54×0.158 7≈9(人)．13．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解析：(1)设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P(A)＝23×23×23＝827，P(B)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P(C)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0，1，2，3， 则P(X ＝0)＝P(A)＋P(B)＝1627，P(X ＝1)＝P(C)＝427，P(X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝19，所以X 的分布列为P1627 427 427 19所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.14.近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．(1)求至少有1天需要人工降雨的概率； (2)求不需要人工降雨的天数X 的分布列和期望． 解析：(1)5天全不需要人工降雨的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝225， 故至少有1天需要人工降雨的概率是1－P 1＝2325.(2)X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，5. P(X ＝5)＝225，P(X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝725， P(X ＝3)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝73200， P(X ＝2)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝43200， P(X ＝1)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＝11200， P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝1200. 所以不需要人工降雨的天数X 的分布列是X 0 1 2 3 4 5 P1200112004320073200725225E(X)＝0×1200＋1×11200＋2×43200＋3×73200＋4×725＋5×225＝3.1.15．某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.视觉听觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常听觉记忆能力偏低 0 7 5 1中等 1 8 3 B偏高 2 a 0 1超常 0 2 1 1且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；(3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．解析：(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10＋a 人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P(A)＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a)＝40－38＝2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人． 方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P(B)＝1－P(B)＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以P ()B ＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. (3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k24C 3－k16， 所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P （ξ＝k ）＝C k24C 3－k16C 340，k ＝0，1，2，3.ξ的可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P (ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P (ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P (ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P14247722475521 2352531 235所以E(ξ)＝0×14247＋1×72247＋2×5521 235＋3×2531 235＝2 2231 235＝95. 16．(2013·揭阳二模)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．(1)在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；(2)在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次(每次一件)，恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，故P(A)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×35＝36125.(2)ξ可能的取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 24C 23C 25C 25＝18100＝950，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 25C 25＋C 24C 13C 12C 25C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 13·C 12C 25C 25＋C 24C 22C 25C 25＝1550＝310，P (ξ＝3)＝C 14C 22C 25C 25＝125.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P95012251550125数学期望为E(ξ)＝1×1225＋2×1550＋3×125＝1.2.17．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.(2)设A i 表示所选3人中有i 个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A ， 则P(A)＝P(A 2)＋P(A 3)＝C 24C 112C 316＋C 34C 316＝19140.(3)X 的可能取值为0，1，2，3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P(X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，X 的分布为X 0 1 2 3 P27642764964164故X 的数学期望E(X)＝3×4＝4.。

概率与统计 专题三： 正态分布一、知识储备1、若随机变量X 的概率分布密度函数为对任意的x R ∈,()0f x >,它的图象在x 轴的上方.可以证明x 轴和曲线之间的区域的面积为 1.我们称()f x 为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X 的概率分布密度函数为()f x ,则称随机变量X 服从正态分布(normal dis-tribution ),记为2(,)XN μσ.特别地,当0,1μσ==时,称随机变量X 服从标准正态分布，即(0,1)X N .由X 的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： （1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交。

（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称. （3）曲线在x μ=处达到峰值(最高点)（4）当||X 无限增大时，曲线无限接近x 轴. （5）X 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 . 2、正态分布的3σ原则22()2(),,x f x x R μσ--=∈()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈ (33)0.9973P X μσμσ-≤≤+≈二、例题讲解1．（2022·湖南高三其他模拟）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用样本平均数近似代替，2σ可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．2．（2022·全国高三其他模拟）中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数X 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数X ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()47.279.9P X <<；（ii ）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=10.9≈，60.95440.76≈，50.97720.89≈，60.97720.87≈.三、实战练习1．（2022·全国高三专题练习（理））在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分z 服从正态分布(,210)N μ，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求(3679.5)P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: (ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； (ⅰ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:现有市民甲要参加此次问卷调查，记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望.14.5，若2~(,)X N μσ， 则①()0.6827P X μσμσ-<≤≤=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③3309().973P X μσμσ-<≤+=.2．（2022·沙坪坝·重庆八中高三月考）消费扶贫是社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增收脱贫的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径.某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况，该地民政部门从本地的贫困户中随机抽取2000户时2021年的收入进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（1）将调查的2000户贫困户按照收入从低到高依次编号为1，2，3，……，2000，从这些贫困户中用系统抽样方法等距抽取50户贫困户进行深度帮扶，已知8号被抽到；（i ）收入在[)12,14和[]16,18的贫困户卬被抽到进行深度帮扶的户数分别为多少？（ii ）收入在[)12,14和[]16,18的贫困户中被抽到进行深度帮扶的凡中随机选取2户，记选取的2户中来自[)12,14的户数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为该地贫困户的收入X 近似服从正态分布()211,2.6N .现从该地的所有贫困户中随机抽取10户，记收入在(]8.4,16.2之外的户数为Y ，求()2P Y ≥(精确到0.001).参考数据1：当()2~,t N μσ时，()0.6827P t μσμσ-<≤+=，()220.9545P t μσμσ-<≤+=，()330.9973P t μσμσ-<≤+=.参考数据2：100.81860.135≈，90.81860.165≈.3．（2022·湖北高三开学考试）从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.（1）求m ，n ，a 的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，其中已计算得252.6σ=.如果产品的质量指标值位于区间()10.50,39.50，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间()10.50,39.50之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X 为抽取的20件产品所获得的总利润，求()E X .7.25，()0.6826P x μσμσ-<<+=，()220.9544P x μσμσ-<<+=.4．（2022·四川高三其他模拟（理））在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198Z N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求()74.588.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．14≈．若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤.5．（2022·辽宁）《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人オ为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列．质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（1）写出频率分布直方图（甲）中a 的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为2212,S S ，试比较2212,S S 的大小（只需给出答案）；（2）若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标进行判断，是否有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异？22()().()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++)20k（3）由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ．其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差22S ，设X 表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的架数，求X 的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得211.9S ；②若()2,Z N μσ~，则(P Z μσ-<<0.6826,(22)0.9544P Z μσμσμσ+=-<<+=．6．（2022·山西高三三模（理））2022年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2022年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2022年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，经计算2192.44s =.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？13.9≈，()0.6827P X μσμσ-<+=，()220.9545P X μσμσ-<+=，()330.9974P X μσμσ-<+=.7．（2022·全国高三其他模拟）从2021年开始，部分高校实行强基计划，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，越来越多的学生通过参加数学竞赛来证明自己的数学实力.某省举行的数学联赛初赛有10000名学生参加，成绩数据服从正态分布N （80，100），现随机抽取了某市50名参赛学生的初赛成绩进行分析，发现他们的成绩全部位于区间[50，110]内.将成绩分成6组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如图所示的频率分布直方图，该50名学生成绩的平均分是77分.（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，则分数线应定为多少？（ii）若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书，现从本市这50名同学里面能成功进入决赛的同学中任意抽取3人，记这3人中得到初赛一等奖的数为X，求X的分布列和数学期望.附：若X~N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.8．（2022·河南郑州·（理））已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）N．服从正态分布(280,25)（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为14．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y 的分布列与数学期望．参考数据：若~(,2)Z N μσ，则()0.6827P p Z σμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈．9．（2022·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升．下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：（1）根据上表数据可知，y 与t 之间存在线性相关关系，用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程； （2）据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X 服从正态分布(,16)N μ，其中μ为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分．（i ）若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金．一等奖学金分数线应该设定为多少分？请说明理由．（ii ）若A 同学2022年高考考了562分，他很想报考这所大学的数学专业，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给该同学一个合理的建议．（第一志愿录取可能性低于60%，则建议谨慎报考）参考公式：()()()1122211ˆnnii i i i i nniii i tty y t y ntybtttnt ====---==--∑∑∑∑，x ˆˆay bt =-． 参考数据：()0.683P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.954P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.997P X μσμσ-<≤+≈10．（2022·合肥一六八中学高三其他模拟（理））2021年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg ，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg ）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg ．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg ）的平方和为117．（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数z 和方差2s ； （2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X 服从正态分布()2,N μδ，用z 作为μ的估计值，用2s作为2δ的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在[]1.21,3.21的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼的质量在[]1,21,3.21的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望．附：（1）数据1t ，2t ，…n t 的方差()22221111nn i i i i s t tt nt n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑， （2）若随机变量X 服从正态分布()2,N μδ，则()0.6827P X μδμδ-≤≤+=；()22P X μδμδ-≤≤+0.9545=；()330.9973P X μδμδ-≤≤+=．13．（2022·湖南师大附中高三其他模拟）某工厂引进新的生产设备M ，为对其进行评估，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值.（1）为评估设备M 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y 和原料中的该材料含量x 之间的相关关系，现取了8对观测值，求y 与x 的线性回归方程. 附：①对于一组数据()()()()112233,,,,,,,,n n x y x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-=-∑∑，ˆˆˆay bx =-；②参考数据：8152i i x ==∑，81228i i y ==∑，821478i i x ==∑，811849i ii x y==∑.（2）为评判设备M 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)；①()0.6826P X μσμσ-<+；②(22)0,9544P X μσμσ-<+； ③(33)0.9974P X μσμσ-<+.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（3）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y 的数学期望E (Y ).。

11.8正态分布【考纲要求】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【基础知识】1、总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间),(b a 内取值的概率等于总体密度曲线，直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积．2、正态曲线 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．3、正态分布一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .正态分布),(2σμN ）是由均值u 和标准差σ唯一决定的分布4、正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线u x =对称（3）当u x =时，曲线位于最高点（4）当u x <时，曲线上升（增函数）；当u x >时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）u 一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。

5．标准正态曲线:当1,0==σu 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞），其相应的曲线称为标准正态曲线。

正态分布一、选择题（本大题共12小题,共60分）1。

已知随机变量，且，，则A. B. C。

D.（正确答案)B解：随机变量，正态曲线的对称轴是,，,,，．故选：B．根据随机变量服从正态分布,可知正态曲线的对称轴，利用对称性,即可求得．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．2. 某班有50名学生，一次考试的成绩服从正态分布已知，估计该班数学成绩在110分以上的人数为A。

10 B。

20 C. 30 D. 40（正确答案）A解：考试的成绩服从正态分布考试的成绩关于对称，，，，该班数学成绩在110分以上的人数为故选A．根据考试的成绩服从正态分布得到考试的成绩关于对称，根据，得到，从而得到,根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．3. 已知随机变量X服从正态分布，且，则A。

B. C。

D.（正确答案)A【分析】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题根据对称性，由的概率可求出，即可求出．【解答】解:,．，．故选A．4。

设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为A。

B。

C. , D.(正确答案)C解:随机变量服从正态分布，,,．故选:C．根据随机变量服从正态分布，，由正态曲线的对称性得结论．本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：正态曲线关于直线对称；在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1，本题是一个基础题．5。

已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为附：若，则；;．A. 6038B. 6587 C。

7028 D。

7539（正确答案)B解:由题意，则落入阴影部分点的个数的估计值为．故选：B．求出，即可得出结论．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用,考查曲线的对称性，属于基础题．6。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编36：正态分布一、选择题1 ．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ,且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,()0.6826P X μσμσ-<≤+=,若4μ=,1σ=, 则(56)P X <<= （ ）A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 【答案】 B ．2 ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,且(4)0.9P ξ<=,则(02)P ξ<<=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】C3 ．设两个正态分布N(211,σμ)(01>σ)和N(221,σμ)(02>σ)曲线如图所示,则有（ ）A ．2121,σσμμ><B ．2121,σσμμ<<C ．2121,σσμμ>>D ．2121,σσμμ<> 【答案】A ．4 ．设随机变量ξ~2(,)N μσ,对非负数常数k ,则()P k ξμσ-≤的值是.A 只与k 有关 .B 只与μ有关.C 只与σ有关 .D 只与μ和σ有关【答案】A ．5 ．(2011年高考(湖北理))已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ,且()8.04=<ξP ,则()=<<20ξP （ ） A ．6.0 B ．4.0 C ．3.0 D ．2.0 【答案】 解析:如图,正态分布的密度函数示意图所示,函数关于直线2=x 对称,所以()5.02=<P ,并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P 3.05.08.0=-=所以选C ．6 ．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,6),(5)0.89,,N P ξ≤=则(3)P ξ≤= （ ）A ．0.89B ．0.78C ．0.22D ．0.11 【答案】 D ． 7 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则P(2<X<4)=( A)12p + ( B)l —pC ．l-2pD ．12p - 【答案】C 因为(4)(2)P X P X p >=<=,所以P(2<X<4)= 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-,选xyO 4 2C ．8 ．(2011广州二模试题答案(数学理))设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ,若()()232P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为（ ）A ．73B ．53C ．5D ．3【答案】A ．9 ．（2010年高考（山东理））已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,若(2)0.023p ξ>=,则(22)p ξ-≤≤= （ ）A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】答案C解析:因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,所以正态曲线关于直线0x =对称,又(2)0.023p ξ>=,所以(2)0.023p ξ<-=,所以(22)1(2)(2)0.954p p p ξξξ-≤≤=->-<-=,故选C 命题意图:本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.10．(湖北高三年级元月试题)已知随机变量2~(2,)N ξσ-且(4)0.8p ξ>-=,则(20)p ξ-<<=（ ） A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2【答案】 C 依题可知2x =-是对称轴,由对称性可知(20)(42)p p ξξ-<<=-<<-(2)(4)p p ξξ=<--<-0.5(10.8)0.3=--=.11．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）下列命题中正确的有①设有一个回归方程$y =2—3x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加3个单位;②命题P:“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P:“,102x R x -x-∀∈≤”;③设随机变量X 服从正态分布N(0,1),若P(X>1)=p,则P(-1<X<0)=12-p; ④在一个2×2列联表中,由计算得k 2=6.679,则有99%的把握确认这两个变量间有关系. （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 P(K 2≥k)0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828【答案】C【解析】①变量x 增加一个单位时,y 平均减少3个单位,所以错误.②正确.③12(1)121(10)222P X p P X p ->--<<===-,正确.④正确,所以选C ．12．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）如果椭机变量()()21,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且,则()1P ζ≥等于（ ）A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1【答案】D 因为()()31110.4P P ζζ-≤≤-=-≤≤=,所以()()()1311110.40.410.122P P P ζζζ--≤≤---≤≤--≥===,选 D ．13．(广西名校2012届高三毕业班联考试题)己知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ,84.0)4(=≤ξP ,则=≤)0(ξP（ ） A ．16.0 B ．32.0 C ．68.0 D ．84.0【答案】A ．14．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ,若(6)0.3P ξ>=,则(0)P ξ<= （ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】A ． 二、填空题15．(成都市双流中学高2012级(理科)数学高三下学期2月月考试题)随机变量()~1,4N ξ,则()2D ξ=_________.【答案】 1616．(2012年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷一(广东.理))若),1(~2σξN ,且(01)0.3P ξ≤≤=,则(2)P ξ≥= ________. 【答案】 0.2;17．已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4),且,84.0)3(=<ξP 则(11)P ξ-<<=________.【答案】0.3418．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））随机变量ξ服从正态分布N (40,2σ),若P (ξ<30)=0.2,则P (30<ξ<50)= _______. 【答案】0.6【解析】2.0)50()30(=>=<ξξP P , 所以6.0)50()30(1)5030(=>-<-=<<ξξξP P P 19．(安徽寿县一中2012年高三第五次月考试卷)给出下列命题:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边的中点的横坐标之和; ②随机误差e 是衡量预报精确度的一个量,它满足()0E e =; ③某随机变量X 服从正态分布,其密度函数是22()2()x x μσϕ--=(x R ∈),σ越小,则X 集中在μ周围的概率越大;④,a b 是两条异面直线,P 为空间一点,过P 总可以作一个平面与,a b 之一垂直,与另一条平行; ⑤如果三棱锥S ABC -的各条棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于12. 其中真命题的是____________.(写出所有正确命题的编号)【答案】②③⑤ 三棱锥S ABC -沿一组对棱的公垂线投影到一个平面时,它的射影的面积取得最大值12当正四面体的一条棱在平面α上,正四面体的唯一一条与平面α上的那条不共面的棱与平面α平行时,投影面积最大,是一个1222⨯=的正方形 简单解说,当投影为三角形,其底和高小于等于棱长,和侧棱,当投影为四边形,其面积不大于两条对角线乘积之半,即异面棱投影之积的二分之一,小于等于棱长平方的二分之一面积不大于1220．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）下列命题:` (1)221211134dx x x =-=⎰; (2)不等式|1||3|x x a ++-≥恒成立,则4a ≤;(3)随机变量X 服从正态分布N(1,2),则(0)(2);P X P X <=>(4)已知,,21,a b R a b +∈+=则218a b+≥.其中正确命题的序号为____________. 【答案】(2)(3) (1)22111ln ln 2dx x x==⎰,所以(1)错误.(2)不等式|1||3|x x ++-的最小值为4,所以要使不等式|1||3|x x a ++-≥成立,则4a ≤,所以(2)正确.(3)正确.(4)212122()(2)4159b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=,所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).21．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）给出下列四个命题:①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”; ②若lg a lg b lg(a b )+=+,则a b +的最大值为4;③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则6f ()的值为0;④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则3019P().ζ≤-=;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”;所以①正确.②若lg a lg b lg(a b )+=+,则lg ab lg(a b )=+,即,0,0ab a b a b =+>>.所以2()2a b ab a b +=+≤,即2()4()a b a b +≥+,解得4a b +≥,则a b +的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则(4)()f x f x +=,且(0)0f =,即函数的周期是4.所以(6)(2)(0)0f f f ==-=;所以③正确. ④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则(5)1(5)10.810.19P P ζζ>=-≤=-=,所以35019P()P().ζζ≤-=>=;所以④正确,所以真命题的序号是①③④. 22．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）给出以下命题:① 双曲线2212y x -=的渐近线方程为y =;② 命题:p “+R x ∀∈,1sin 2sin x x+≥”是真命题; ③ 已知线性回归方程为ˆ32yx =+,当变量x 增加2个单位,其预报值平均增加4个单位; ④ 设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,若(1)0.2P ξ>=,则(10)0.6P ξ-<<=; ⑤ 已知2622464+=--,5325434+=--,7127414+=--,102210424-+=---,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为824(8)4n nn n -+=---,(4n ≠) 则正确命题的序号为_________________(写出所有正确命题的序号). 【答案】①③⑤ ①正确.②当32x π=时,1sin 2sin x x+=-,所以②错误.③正确.④因为(1)(1)0.2P P ξξ>=<-=,所以1(1)(1)0.20.6(10)0.322P P P ξξξ->-<-=-<<===,所以④错误.⑤正确.23．某校在一次月考中约有1000人参加考试,数学考试的成绩),90(~2a N ξ(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的53,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有__________人. 【答案】200 三、解答题24．(2013湖北高考数学(理))假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . (I)求p 的值;(参考数据:若()2,X N μσ:,有()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=.)(II)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A .B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆?【答案】解:(I)010.50.95440.97722p =+⨯= (II)设配备A 型车x 辆,B 型车y 辆,运营成本为z 元,由已知条件得 2136609007,x y x y y x x y N +≤⎧⎪+≥⎪⎨-≤⎪⎪∈⎩,而16002400z x y =+ 作出可行域,得到最优解5,12x y ==.所以配备A 型车5辆,B 型车12辆可使运营成本最小.。

实用文档2021年高三数学一轮复习 专题突破训练 定积分与正态分布 理一、定积分1、（xx 年山东高考）执行右边的程序框图，输出的的值为 .2、（xx 年山东高考）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ） （B ）（C ）2 （D ）4 3、（德州市xx 届高三二模）展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线和圆轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为A. B. C. D.4、（淄博市xx 届高三三模），函数()()2221f x x x a g x x x a =++=-++与有相同的最小值，则___________．5、（德州市xx 届高三上期末）如图所示，由函数 与函数 在区间 上的图象所围成的封闭图形的面积为 A ． B ． C ． D ．6、（济宁市xx 届高三上期末）已知函数πϕϕπ⎰230f(x)=sin(x-)(其中0<<),且f(x)dx =0，则函数f （x ）图象的一条对称轴是A 、B 、C 、D 、7、（莱州市xx 届高三上期末）抛物线处的切线与抛物线以及轴所围成的曲边图形的面积为 8、（青岛市xx 届高三上期末）两曲线所围成的图形的面积是________ 9、（泰安市xx 届高三上期末）若，则= ▲10、（淄博市六中xx 届高三上期末）若函数f(a)＝，则_______11、（桓台第二中学xx 届高三）抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______12、（滕州市第二中学xx 届高三）由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为A ．B ．4C ．D ．613、（滕州市第三中学xx 届高三）如图，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分）．随是否开n=1，T=1n<3n=n+1输出T 结束实用文档机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是A ．B ．C ．D ．二、正态分布 1、（xx 年山东高考）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为 （附：若随机变量服从正态分布，则, .）(A) (B) (C) (D) 2、（德州市xx 届高三二模）某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人.3、（青岛市xx 届高三二模）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N （110，102），已知P （100≤X≤110）=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 8 人． 4、（淄博市六中xx 届高三）在某项测量中，测量结果服从正态分布 ＞，若在（0，2）内取值的概率为0.7，则在内取值的概率为_______5、设随机变量服从正态分布，若，则的值为6、已知随机变量服从正态分布，且， ，若，, 则A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 7.假设某市今年高考考生成绩服从正态分布，现有2500名考生，据往年录取率可推测今年约有1000名高考考生考上一类大学，估计今年一类大学的录取分数线为 分．（其中）8、设两个正态分布和曲线如图所示,则有 （ ） A ．B ．C ．xy实用文档D ．9、随机变量服从正态分布，若，则 .10、某中学组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )=(x ∈R )，则下列命题不正确．．．的是 （ ） A.这次考试的数学平均成绩为80分 B.这次考试的数学成绩标准差为10 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同参考答案 一、定积分 1、解析：.2、答案：D 解析： ，第一象限3、A4、5、D6、A7、8、9、－10、 11、23 12、C 13、B二、正态分布1、解析：1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，答案选(B) 2、13、【解析】： 解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N （110，102）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称， ∵P （100≤ξ≤110）=0.34，∴P （ξ≥120）=P （ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16， ∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8． 故答案为：8．4、0.355、6、B7、5258、A 【解析】显然，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小。

第九讲正态分布（理）A组基础巩固一、选择题1．（2021·江苏扬州调研）已知随机变量X～N（1，σ2）,P（X≥0)＝0.8，则P（X>2)＝（A)A．0。

2B．0。

4C．0.6D．0。

8[解析］由X～N（1,σ2）,正态曲线关于X＝1对称,∴P（X>2)＝P（X〈0)＝1－P （X≥0）＝0。

2；故选A．2．（2021·九江一模)已知随机变量X服从正态分布N（5，4），且P（X>k）＝P（X 〈k－4）,则k的值为（B)A．6B．7C．8D．9［解析]∵错误!＝5，∴k＝7，故选B.3．（2020·河北唐山一模）随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ〈2）＝0。

2，P（2〈ξ<6）＝0.6，则μ＝（C）A．6B．5C．4D．3[解析]由题意可知P（ξ≥6）＝1－P（ξ〈2）－P（2<ξ〈6）＝0.2，∴P(ξ≥6）＝P（ξ〈2），∴μ＝错误!＝4。

选C．4．（2021·湖南益阳调研)已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P(ξ〈4)＝0。

9,则P（－2〈ξ〈4）＝（D）A．0.2B．0.4C．0。

6D．0.8[解析］由正态曲线的对称性知P(－2〈ξ<4)＝2P（1〈ξ〈4）＝2错误!＝2错误!＝0。

8.故选D。

5．(2021·重庆模拟）若随机变量X服从正态分布N（μ,σ2）（σ〉0）,则P(|X－μ｜≤σ)≈0.682 6,P （|X －μ｜≤2σ）≈0。

954 4，P (|X －μ|≤3σ）≈0.997 4。

已知某校1 000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N （110，100）,据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（ C )A ．159B ．46C ．23D ．13 ［解析］ 由题意,μ＝110,σ＝10，故P (X >130)＝P （X 〉μ＋2σ） ＝错误!＝0。

基础巩固题组(建议用时:40分钟）一、选择题1.(2016·西安调研）定积分错误!（2x＋e x)d x的值为（)A.e＋2B.e＋1 C。

e D。

e－1解析错误!（2x＋e x）d x＝（x2＋e x)错误!）＝1＋e1－1＝e。

故选C.答案 C2。

直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（)A.2错误!B。

4错误!C。

2 D.4解析如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2,8）,图中阴影部分即为所求图形面积。

＝8－错误!×24＝4，故选D.S阴＝错误!（4x－x3)d x＝错误!2答案 D3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数），则电视塔高为（)A.错误!gB.gC.错误!gD.2g2＝错误!g。

解析电视塔高h＝错误!gt d t＝错误!1答案 C4。

(2016·河北五校联考)若f(x)＝错误!f（f(1）)＝1，则a的值为（）A.1B.2 C。

－1 D。

－2a解析因为f(1）＝lg 1＝0，f(0）＝错误!＝a 3,由f （f (1））＝1,得a 3＝1,a ＝1. 答案 A5.若S 1＝错误!x 2d x ,S 2＝错误!错误!d x ，S 3＝错误!e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为（ ) A.S 1〈S 2〈S 3 B 。

S 2<S 1<S 3 C 。

S 2〈S 3〈S 1D.S 3<S 2<S 1解析 S 1＝错误!错误!1＝错误!，S 2＝错误!错误!d x ＝ln 2，S 3＝错误!e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞错误!＞ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3。

答案 B 二、填空题6。

(2016·历城二中模拟）设a 〉0，若曲线y ＝错误!与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2,则a ＝________. 解析 封闭图形如图所示，则错误!错误!d x ＝32023|a x ＝错误!a 错误!－0＝a 2，解得a ＝错误!.答案 497。

兰山高考补习学校2008-2009学年高三复习专题训练正态分布、统计、推理与证明、算法、复数班级 姓名 完成时间 自我评价 参考公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--=====∑∑∑∑∑x b y a x x n y x y x n b ni i n i i n i i n i i ni i i 2112111（*） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．(15)，B ．(13)， C． D．2、设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.43、按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（ ）4、右面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知 （ ） A ．甲运动员的成绩好于乙运动员B ．乙运动员的成绩好于甲运动员C ．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D ．甲运动员的最低得分为0分5、为了了解初一学生的身体发育情况,打算在初一年级10个班的某两个班按男女生比例抽取样本,正确的抽样方法是……………………………………（ ） A.随机抽样 B.分层抽样C.先用抽签法,再分层抽样D.先用分层抽样,再用随机数表法甲 0 1 2 3 4 5 乙 8 247199 36 2 50 32 944 16、下面程序运行后，输出的值是（ ）(A)42 (B)43 (C)44 (D)457、从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率（ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为100225D ．都相等且为1408、上面左图是某县参加2009 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各 条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10 （如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内 的学生人数）.右图是统计左图中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）A.i<6B. i<7C. i<8D.i<9 9、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：（ A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁10、某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x ex f x ∈⋅=-π，则下列命题不正确的是 （ ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10.11、已知一组抛物线1212++=bx ax y ，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是（ ）A .121B .607C .256D .255i=0 DO i=i+1 LOOP UNTIL i*i>=2000 i=i -1 PRINT i END频率12、12. 连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1，1)的夹角90>θ 的概率是（ ） A ．125 B ．127 C ．31 D ．21 二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，满分20分．13、（1）统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 ；优秀率为 。

山东省2019届理科数学一轮复习试题选编36：正态分布一、选择题1 ．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ,且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,()0.6826P X μσμσ-<≤+=,若4μ=,1σ=, 则(56)P X <<=（ ）A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718【答案】B ．2 ．（山东省文登市2019届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,且(4)0.9P ξ<=,则(02)P ξ<<=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】C3 ．设两个正态分布N(211,σμ)(01>σ)和N(221,σμ)(02>σ)曲线如图所示,则有（ ）A ．2121,σσμμ><B ．2121,σσμμ<<C ．2121,σσμμ>>D ．2121,σσμμ<> 【答案】A ．4 ．设随机变量ξ~2(,)N μσ,对非负数常数k ,则()P k ξμσ-≤的值是.A 只与k 有关 .B 只与μ有关.C 只与σ有关 .D 只与μ和σ有关【答案】A ．5 ．(2019年高考(湖北理))已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ,且()8.04=<ξP ,则()=<<20ξP （ ） A ．6.0 B ．4.0 C ．3.0 D ．2.0 【答案】 解析:如图,正态分布的密度函数示意图所示,函数关于直线对称,所以5.,并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P 3.05.08.0=-=所以选C ．6 ．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,6),(5)0.89,,N P ξ≤=则(3)P ξ≤= （ ）A ．0.89B ．0.78C ．0.22D ．0.11 【答案】 D ． 7 ．（山东省潍坊市2019届高三第一次模拟考试理科数学）设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则P(2<X<4)=( A)12p + ( B)l —pC ．l-2pD ．12p - 【答案】C 因为(4)(2)P X P X p >=<=,所以P(2<X<4)= 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-,选C ．8 ．(2018广州二模试题答案(数学理))设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ,若()()232P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为（ ）A ．73B ．53C ．5D ．3【答案】A ．9 ．（2019年高考（山东理））已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,若(2)0.023p ξ>=,则(22)p ξ-≤≤=（ ） A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】答案C解析:因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,所以正态曲线关于直线0x =对称,又(2)0.023p ξ>=,所以(2)0.023p ξ<-=,所以(22)1(2)(2)0.954p p p ξξξ-≤≤=->-<-=,故选C10．(湖北高三年级元月试题)已知随机变量2~(2,)N ξσ-且(4)0.8p ξ>-=,则(20)p ξ-<<= （ ） A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2【答案】 C 依题可知2x =-是对称轴,由对称性可知(20)(42)p p ξξ-<<=-<<-(2)(4)p p ξξ=<--<-0.5(10.8)0.3=--=.11．（山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试理科数学 ）下列①设有一个回归方程y =2—3x,变量x 增加一个单位时,y 平均增加3个单位; ②③设随机变量X 服从正态分布N(0,1),若P(X>1)=p,则P(-1<X<0)=12-p; ④在一个2×2列联表中,由计算得k 2=6.679,则有99%的把握确认这两个变量间有关系. （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】①变量x 增加一个单位时,y 平均减少3个单位,所以错误.②正确.③12(1)121(10)222P X p P X p ->--<<===-,正确.④正确,所以选C ．12．（山东省泰安市2019届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）如果椭机变量()()21,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且,则()1P ζ≥等于（ ）A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1【答案】D 因为()()31110P P ζζ-≤≤-=-≤≤=,所以()()()1311110.40.10.122P P P ζζζ--≤≤---≤≤--≥===,选 D ．13．(广西名校2019届高三毕业班联考试题)己知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ,84.0)4(=≤ξP ,则=≤)0(ξP （ ）A ．16.0B ．32.0C ．68.0D ．84.0【答案】A ．14．（山东威海市2019年5月高三模拟考试数学（理科））已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ,若(6)0.3P ξ>=,则(0)P ξ<= （ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】A ． 二、填空题15．(成都市双流中学高2019级(理科)数学高三下学期2月月考试题)随机变量()~1,4N ξ,则()2D ξ=_________.【答案】 1616．(2019年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷一(广东.理))若),1(~2σξN ,且(01)0.3P ξ≤≤=,则(2)P ξ≥= ________. 【答案】 0.2;17．已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4),且,84.0)3(=<ξP 则(11)P ξ-<<=________.【答案】0.3418．（山东省济南市2019届高三3月高考模拟题理科数学（2018济南二模））随机变量ξ服从正态分布N(40,2σ),若P(ξ<30)=0.2,则P(30<ξ<50)= _______. 【答案】0.6【解析】2.0)50()30(=>=<ξξP P ,所以6.0)50()30(1)5030(=>-<-=<<ξξξP P P 19．(安徽寿县一中2019年高三第五次月考试卷)给出下列①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边的中点的横坐标之和; ②随机误差e 是衡量预报精确度的一个量,它满足()0E e =; ③某随机变量X 服从正态分布,其密度函数是22()2()x x μσϕ--=(x R ∈),σ越小,则X 集中在μ周围的概率越大;④,a b 是两条异面直线,P 为空间一点,过P 总可以作一个平面与,a b 之一垂直,与另一条平行; ⑤如果三棱锥S ABC -的各条棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于12. 其中真【答案】②③⑤ 三棱锥S ABC -沿一组对棱的公垂线投影到一个平面时,它的射影的面积取得最大值12当正四面体的一条棱在平面α上,正四面体的唯一一条与平面α上的那条不共面的棱与平面α平行时,投影面积最大,12=的正方形简单解说,当投影为三角形,其底和高小于等于棱长,和侧棱,当投影为四边形,其面积不大于两条对角线乘积之半,即异面棱投影之积的二分之一,小于等于棱长平方的二分之一面积不大于1220．（山东省德州市2019届高三3月模拟检测理科数学）下列` (1)221211134dx x x =-=⎰; (2)不等式|1||3|x x a ++-≥恒成立,则4a ≤;(3)随机变量X 服从正态分布N(1,2),则(0)(2);P X P X <=>(4)已知,,21,a b R a b +∈+=则218a b+≥.其中正确 【答案】(2)(3) (1)22111ln ln 2dx x x==⎰,所以(1)错误.(2)不等式|1||3|x x ++-的最小值为4,所以要使不等式|1||3|x x a ++-≥成立,则4a ≤,所以(2)正确.(3)正确.(4)212122()(2)4159b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=,所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).21．（2019年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）给出下列四个 ①②若lg a lg b lg(a b )+=+,则a b +的最大值为4;③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则6f ()的值为0;④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则3019P().ζ≤-=;其中真 【答案】①③④ ①②若lg a lg b lg(a b )+=+,则lg ab lg(a b )=+,即,0,0ab a b a b =+>>.所以2()2a b ab a b +=+≤,即2()4()a b a b +≥+,解得4a b +≥,则a b +的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则(4)()f x f x +=,且(0)0f =,即函数的周期是4.所以(6)(2)(0)0f f f ==-=;所以③正确. ④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则(5)1(5)10.810.19P P ζζ>=-≤=-=,所以35019P()P().ζζ≤-=>=;所以④正确,所以真22．（山东省青岛市2019届高三第一次模拟考试理科数学）给出以下① 双曲线2212y x -=的渐近线方程为y =;②③ 已知线性回归方程为ˆ32yx =+,当变量x 增加2个单位,其预报值平均增加4个单位; ④ 设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,若(1)0.2P ξ>=,则(10)0.6P ξ-<<=; ⑤ 已知2622464+=--,5325434+=--,7127414+=--,102210424-+=---,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为824(8)4n nn n -+=---,(4n ≠) 则正确【答案】①③⑤ ①正确.②当32x π=时,1sin 2sin x x+=-,所以②错误.③正确.④因为(1)(1)0.2P P ξξ>=<-=,所以1(1)(1)0.20.6(10)0.322P P P ξξξ->-<-=-<<===,所以④错误.⑤正确.23．某校在一次月考中约有1000人参加考试,数学考试的成绩),90(~2a N ξ(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的53,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有__________人.【答案】200 三、解答题24．(2018湖北高考数学(理))假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . (I)求p 的值;(参考数据:若()2,XN μσ,有()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=.)(II)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A .B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆?【答案】解:(I)010.50.95440.97722p =+⨯= (II)设配备A 型车x 辆,B 型车y 辆,运营成本为z 元,由已知条件得 2136609007,x y x y y x x y N +≤⎧⎪+≥⎪⎨-≤⎪⎪∈⎩,而16002400z x y =+ 作出可行域,得到最优解5,12x y ==.所以配备A 型车5辆,B 型车12辆可使运营成本最小.。