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1.1 命题[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( )A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是( )A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是( )A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ， 因为PO ⊥π，a π，所以PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面PAO ，PO ∩b ＝P ，所以a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，所以a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列． 原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1， 得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4. 所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论：①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________．解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确；由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确；由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确． 综上可知真命题的序号是①③.答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2. 因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2.即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立．所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0.由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ，所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1. 当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1，即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时， 2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q， S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q， 所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．。
第2讲常用逻辑用语模块1 必要条件与充分条件一、知识梳理1.命题可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一般用小写英文字母表示一个命题，如p,q,r,···一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫做作假命题．2.充分条件与必要条件一般地，当命题“若 p，则 q”是真命题时，我们就说由 p 可以推出 q，记作 p ⇒q，读作“p 推出 q”．此时称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．3.充要条件当命题“如果 p ⇒ q且 q ⇒ p，则称 p 是 q 的充分且必要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作 p ⇔ q．p 是 q 的充要条件，又常说成“p成立当且仅当q成立”或“ p与q ”等价．p 是 q 的充要条件时，q也是p的充要条件.4. p 与 q 之间的四种关系与相应结论二、精讲讲练考点 1：充分性与必要性的判断例 1★★★用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空．①在同一平面内，同位角相等是两直线平行的条件．②设a∈R，则 a > 1 是a2> 1的条件．③设a，b ∈R，则a+b > 4 是 a > 2 且b > 2 的条件．④x > 1是1x< 1的条件．⑤若A，B 是两个集合，则A∩B ≠∅是A ⊆B 的条件．⑥已知x，y∈R，则（x−1）2 +（y−2）2= 0是(x−1) (y−2) = 0 的条件．例 2 ★★★已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例 3 ★★★设a，b ∈R ，则“a+b > 4”是“a > 2 且b > 2”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件考点 5：充分条件和必要条件逆向求参问题例 4★★★若“条件α：2 ⩽ x ⩽4”是“条件β：3m−1 ⩽ x ⩽−m”的充分条件，则实数 m 的取值范围是．例 5★★★设α：−1 ⩽ x ⩽ 3，β：x ∈[m−1,2m+5]，若α是β的充分条件，则m∈．模块2 全称量词与存在量词一、知识梳理1.全称量词与全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“任意”“所有”“每一个”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”.2.存在量词与存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中，诸如“存在”、“有一个”、“至少有一个”“有些”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“对任意的”量词的命题，称为存在量词命题.3.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）命题的否定一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非 p”或“p 的否定”．若 p 是真命题，则¬p 必是假命题；若 p 是假命题，则¬p 必是真命题．（2）全称量词命题与存在量词命题的否定对于全称量词命题p：∀x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∃x∈M，不具有性质p(x)对于存在量词命题p：∃x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∀x∈M，不具有性质p(x)二、精讲讲练考点 1：含量词的命题真假判断例 1 ★★下列命题中为存在量词命题的是 ( )A. ∀x∈R, x2 > 0B. ∃x∈R, x2⩽ 0C. 所有平行四边形的对边平行D. 矩形的任一组对边相等例 2 ★★下列四个命题中为全称量词命题的是 ( )A. 有些实数是无理数B. 至少有一个整数不能被3 整除C. 任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称D. 存在一个三角形不是直角三角形例 3 ★★用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：（1）实数的平方大于等于0；（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3 > 0 成立．例 4 ★★下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A. ∀x∈R，x2 +2x+1 > 0B. 有一个素数不是奇数C. 所有菱形的四条边都相等D. π是无理数考点 2：含量词的命题否定例 5 ★★已知命题p : ∃x，y∈Z，x2 + y2 = 2015，则¬p 为()A. ∀x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015B. ∃x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015C. ∀x, y∈Z, x2 + y2 = 2015D. 不存在x, y∈Z, x2 + y2 = 2015例 6 ★★命题“∀x∈R，|x|+ x2⩾0”的否定是()A. ∀x∈R，|x|+ x2 < 0B. ∀x∈R，|x|+ x2⩽ 0C. ∃x∈R，|x|+ x2 < 0D. ∃x∈R，|x|+ x2⩽ 0考点 3：命题与量词的逆向求参问题例7 ★★★已知命题“∀x∈R, a x2+4x+1 > 0”是真命题，则实数a 的取值范围是()A. (4, +∞)B. (0, 4]C. (−∞, 4]D. [0, 4)例8 ★★★若命题“∃x∈R，x2+ (a−1)x+1 < 0”是真命题，则实数a 的取值范围是() A. [−1, 3] B. (−1, 3)C. (−∞, −1]∪[3, +∞)D. (−∞, −1)∪(3, +∞)例9 ★★★命题“∀x∈R，x2+mx+m > 0 恒成立”为真命题，则实数m 的取值范围为() A. [0, 4] B. (0, 4) C. [−4, 0] D. (−4, 0)。
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１。
1 命题（1)一、选择题１.下列语句不是命题的是( ）Ａ. 3是15的约数B． 1５能被5整除吗?C。
３小于2 ﻩD。
1不是质数解析：因为B选项中为疑问句,故不是命题.答案:B2．“红豆生南国，春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,在这四句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国ﻩB．春来发几枝C.愿君多采撷D．此物最相思解析:“红豆生南国”是陈述句,意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题,且是真命题;“春来发几枝＂是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句,故都不是命题．答案：A3.下列语句中假命题的个数是( )①3是１5的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形｝是{ｘ|x是平行四边形}的子集吗?④３小于2；⑤9的平方根是３或-３；⑥2不是质数;⑦２既是自然数,也是偶数.A．2 B.3Ｃ.4ﻩD．5解析:④⑥是假命题,②③不是命题,①⑤⑦是真命题.答案:Ａ4．ｌ１,l２,l３是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（)A．l１⊥ｌ2,ｌ2⊥l3⇒l1∥l3B．l１⊥ｌ2,ｌ2∥l３⇒ｌ1⊥l３C．l1∥l２∥l3⇒l1，l2，l３共面D.l1,l２,l３共点⇒ｌ１，l2，l3共面解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错;两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线，B正确;相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错;共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案:B二、填空题5．下列命题:①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形;③平行四边形是梯形；④若ac２>ｂc2,则a〉b。
第1章常用逻辑用语1.四种命题及其关系(1)四种命题若p,则ｑ若q,则p(2(3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．２.充分条件与必要条件(1）如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,q是ｐ的必要条件．(2)分类:①充要条件:p⇒q且q⇒p,记作p⇔q;②充分不必要条件：ｐ⇒ｑ,q_p;③必要不充分条件：q⇒p,p_q;④既不充分也不必要条件:p_ｑ且q_ｐ.3.简单的逻辑联结词与复合命题及其真假的判断(１)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”.ﻬ(2)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q,可得复合命题:p且ｑ,p或q，p.（3）命题ｐ且q中p、q有一假为假,p或ｑ有一真为真，p与p必定是一真一假.4.量词与含有一个量词的命题否定(1)短语“所有”“任意”“每一个"等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词.（２）短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词．（3）含有全称量词的命题叫作全称命题，含有存在量词的命题叫作特称命题.(４)对全称(特称)命题进行否定的两步操作①改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词.②否定结论:对原命题的结论进行否定.提醒：若命题p是真命题,则ｐ是假命题;若命题ｐ是假命题,则p是真命题.四种命题及其真假①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若ｌg x2=０,则x＝-1"的逆命题；③若“x≠y或x≠-y，则|ｘ|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是(）A．0B．1C．2 ﻩ D.3B [对于①,否命题是“不全等三角形的面积不相等”,它是假命题；对于②，逆命题是“若x=-1,则ｌg x2=0"，它是真命题;对于③，逆否命题是“若|x|=|y|，则x＝y且x=-y”，它是假命题，故选Ｂ。
课时规范练2 常用逻辑用语基础巩固组1.命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为()A.∀n∈Z,n∉QB.∀n∈Q,n∈ZC.∃n∈Z,n∈QD.∃n∈Z,n∉Q答案:D解析:改变量词,否定结论,得命题的否定为“∃n∈Z,n∉Q”.2.(2022·天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由题意,若x为整数,则2x+1为整数,故充分性成立;当x=12时,2x+1为整数,但x不为整数,故必要性不成立.所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.3.(2023·河南新乡模拟)已知命题p:∃x∈R,sin x=32;命题q:∀x∈R,2cos x≥12.则下列关于命题真假的说法正确的是()A.p真q假B.p假q真C.p,q均假D.p,q均真答案:B解析:因为-1≤s in x≤1,所以命题p为假命题;又因为cos x≥-1,所以2cos x≥12,所以命题q为真命题.4.(2022·山东聊城二模)已知a,b∈R,则“3a>3b”是“a2>b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件答案:C解析:当a=1,b=-2时,满足3a>3b,而a2=1<b2=4,所以3a>3b成立时,a2>b2不一定成立.当a=-2,b=1时,满足a2>b2,而3a=19<3b=3,所以a2>b2成立时,3a>3b不一定成立.所以“3a>3b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.5.(2023·湖北八市联考)设α,β为两个不同的平面,则α∥β的一个充要条件可以是()A.α内有无数条直线与β平行B.α,β垂直于同一个平面C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一条直线答案:D解析:对于A,α内有无数条直线与β平行不能得出α∥β,α内的所有直线与β平行才能得出α∥β,故A错误;对于B,C,α,β垂直于同一平面或α,β平行于同一条直线,不能确定α,β的位置关系,故B,C错;对于D,α,β垂直于同一条直线可以得出α∥β,反之,当α∥β时,若α垂直于某条直线,则β也垂直于该条直线,故D正确.6.(2023·广东茂名模拟)若不等式|x-1|<a的一个充分条件为0<x<1,则实数a的取值范围是()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:D解析:由不等式|x-1|<a,可得-a+1<x<a+1,当a<0时,不合题意.要使0<x<1是-a+1<x<a+1的一个充分条件,则需{-a+1≤0,a+1≥1,解得a≥1.7.(多选)(2023·河北石家庄模拟)命题“∀x∈R,2kx2+kx-38<0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.k∈(-3,0)B.k∈(-3,0]C.k∈(-3,-1)D.k∈(-3,+∞)答案:AC解析:因为∀x∈R,2kx2+kx-38<0为真命题,所以k=0,或{k<0,k2+3k<0,所以-3<k≤0,即k∈(-3,0].要求使“k∈(-3,0]”为真命题的充分不必要条件,即寻找(-3,0]的真子集,显然A,C正确.综合提升组8.(2023·江苏南京模拟)若命题“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,则实数m的取值范围是()A.[16,+∞)B.[1,+∞)C.(16,+∞)D.(-∞,1)答案:B解析:因为“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,所以其否定“∃x∈[1,4],x2≤m”为真命题,则当x∈[1,4]时,m≥(x2)min,而当x=1时,x2取得最小值1,所以m≥1.9.(2022·山东潍坊二模)十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n没有正整数解”,经历三百多年,数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为()A.对任意正整数n,关于x,y,z的方程x n+y n=z n都没有正整数解B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解C.存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解答案:D解析:命题的否定要先改变量词,再否定结论,故只有D满足题意.10.(2023·湖北荆门模拟)若命题“∃x∈π6,π3,tan x>m”是假命题,则实数m的取值范围是. 答案:[√3,+∞)解析:由题意得“∀x∈π6,π3,tan x≤m”为真命题,故m≥(tan x)max=tanπ3=√3.创新应用组11.写出一个使命题“∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件(用m的值或范围作答).答案:m=1(答案不唯一)解析:当x∈(2,3)时,易知x2-x=x-122-14∈(2,6),因为∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0,所以∃x∈(2,3),m>3x2-x.令f(x)=3x2-x ,则f(x)在(2,3)上单调递减,所以12<f(x)<32,所以m>12.显然m=1⇒m>12,m>12m=1,故“m=1”是使命题“∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件.。
1.1 命题学习目标1. 理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2. 理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的概念思考 1给出下列语句：①若直线 a∥ b，则直线 a 和直线 b 无公共点；②3＋ 6＝ 7；③偶函数的图像关于 y 轴对称；④5能被 4 整除 .请你找出上述语句的特点.答案上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.梳理(1) 定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类①真命题：判断为真的语句叫作真命题；②假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二命题的形式思考 1你能把“内错角相等”写成“若, ，则 , ”的形式吗？答案若两个角为内错角，则这两个角相等.思考 2“内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题的形式：“若p，则 q”，其中命题的条件是p，结论是 q.由 p 能推出 q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当 x＝2时， x2－3x＋2＝0；(2)若 x2－3x＋2＝0，则 x＝2；(3)若 x≠2，则 x2－3x＋2≠0；(4)若 x2－3x＋2≠0，则 x≠2.你能说出命题(1) 与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题 (1) 的条件和结论与命题(2) 的条件和结论恰好互换了. 命题 (1) 的条件与结论恰好是命题 (3) 条件的否定和结论的否定. 命题 (1) 的条件和结论恰好是命题(4) 结论的否定和条件1的否定 .梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题的关系及其真假判断思考 1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否 .思考 2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题 .梳理(1) 四种命题的相互关系(2) 在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(3) 两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.类型一命题的概念例 1下列语句：(1)2是无限循环小数； (2) x2－ 3x＋ 2＝ 0；(3) 当x＝ 4 时， 2x>0； (4) 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5) 一个数不是合数就是素数；(6) 作△ABC≌△A′B′C′；(7) 二次函数的图像太美了！(8)4 是集合 {1 ，2， 3} 中的元素 .其中是命题的是 ________.( 填序号 )答案(1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假 .(1) 是命题，能判断真假； (2) 不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量 x 赋值前，我们无法判断语句的真假； (3) 是命题； (4) 不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断； (5) 是命题； (6) 不是命题； (7) 不是命题； (8) 是命题 . 故答案为 (1)(3)(5)(8).反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.2其流程图如图：跟踪训练1下列语句中，是命题的为________.①红豆生南国；②作射线 AB；③中国领土不可侵犯！④当 x≤1时， x2－3x＋2≤0.答案①④解析②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例 2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1) 若· <0，则方程2－＋＝ 0 有实数根；m n mx x n(2) 弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3) 若 m≤0或 n≤0，则 m＋ n≤0；(4) 在△ ABC中，若 a>b，则∠ A>∠B.解(1) 逆命题：若方程mx2－ x＋ n＝0有实数根，则m· n<0，假命题.2否命题：若 m·n≥0，则方程 mx－ x＋ n＝0没有实数根，假命题.2m· n≥0，真命题.逆否命题：若方程 mx－ x＋ n＝0没有实数根，则(2) 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题 .否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题 .逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题 .(3)逆命题：若 m＋ n≤0，则 m≤0或 n≤0，真命题.否命题：若m>0且 n>0，则 m＋ n>0，真命题.逆否命题：若m＋ n>0，则 m>0且 n>0，假命题.(4)逆命题：在△ ABC中，若∠ A>∠ B，则 a>b，真命题.否命题：在△ ABC中，若 a≤ b，则∠ A≤∠ B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠ A≤∠ B，则 a≤b，真命题.反思与感悟四种命题的转换方法(1) 交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.3(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题 .跟踪训练 2 命题“若函数 f ( x ) ＝log a x ( a >0，a ≠1) 在其定义域内是减函数， 则 log a 2<0”的逆否命题是 ()A. 若 log a 2<0，则函数 f ( x ) ＝ log a x ( a >0， a ≠1) 在其定义域内不是减函数B. 若 log a 2≥0，则函数f ( x ) ＝ log a ( >0， ≠1) 在其定义域内不是减函数x a aC. 若 log a 2<0，则函数f ( x )＝log a x ( a >0， a ≠1)在其定义域内是减函数D. 若 log a 2≥0，则函数f ( x )＝log a x ( a >0， a ≠1)在其定义域内是减函数答案B解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减 函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数. 命题角度 2四种命题的相互关系例 3若命题 p ：“若 x ＋ y ＝ 0，则 x ， y 互为相反数”的否命题为q ，命题 q 的逆命题为r ， 则 r 与 p 的逆命题的关系是() A. 互为逆命题 B. 互为否命题 C. 互为逆否命题 D. 同一命题 答案 B解析 已知命题 p ：若 ＋ ＝ 0，则 x ， y 互为相反数 .x y命题 p 的否命题 q 为：若 x ＋ y ≠0，则 x ，y 不互为相反数， 命题 q 的逆命题 r 为：若 x ， y 不互为相反数，则x ＋ y ≠0， ∴ r 是 p 的逆否命题，∴ r 是 p 的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟(1) 判断四种命题之间四种关系的两种方法 ①利用四种命题的定义判断；②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是 互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系. (2) 要判断四种命题的真假：首先， 要熟悉四种命题的相互关系， 注意它们之间的相互性； 其 次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握. 跟踪训练 3有下列四个命题：①“若 x ＋ y ＝0，则 x ，y 互为相反数”的否命题； ②一个实数不是正数就是负数；③“若 x ≤－3，则 x 2－ x －6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题.4其中真命题的个数是________.答案1解析①“若 x＋ y≠0，则 x， y 不是相反数”，是真命题.②实数 0 既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.③“若 x>－3，则 x2－ x－6≤0”，解不等式 x2－ x－6≤0可得－2≤ x≤3，而 x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题 .④“相等的角是同位角”，是假命题.类型三等价命题的应用例 4判断命题“已知a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0的解集非空，则 a≥1”的逆否命题的真假.解方法一原命题的逆否命题：已知a， x 为实数，若a<1，则关于x 的不等式 x2＋(2 a＋1)x＋ a2＋2≤0的解集为?，判断如下：抛物线 y＝ x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2的开口向上，令 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2＝0，则＝ (2 a＋ 1) 2－ 4( a2＋ 2) ＝4a－ 7.因为 a<1，所以4a－7<0，即关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题.方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0的解集非空，所以 (2 a＋ 1) 2－4( a2＋2) ≥0，即 4 －7≥0，解得≥7≥1，a a 4所以原命题为真，故其逆否命题为真.引申探究2 2 7判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x ＋(2 a＋ 1) x＋a＋2>0的解集为 R，则a<4”的逆否命题的真假 .解先判断原命题的真假如下：因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线 y＝ x2＋(2 a ＋ 1) x＋a2＋ 2 的开口向上，所以＝ (2 a＋1) 2－ 4( a2＋ 2) ＝ 4a－ 7<0，7所以 a<4.5所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.证明“若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则 a2－4b2－2a ＋ 1＝0”.∵ a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2 b＋1)2－4b2－2(2 b＋1)＋1＝4b2＋1＋ 4b－4b2－ 4b－ 2＋ 1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.1. 下列语句是命题的是()A.2 014 是一个大数B.若两条直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗D.a≤15答案B解析A、D 不能判断真假，不是命题； B 能够判断真假而且是陈述句，是命题；C 是疑问句，不是命题 .2. 命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线答案 D解析只要分清命题中的条件和结论即可.3. 命题“若f ( x)是奇函数，则 f (－ x)是奇函数”的否命题是()A. 若f ( x) 是偶函数，则f (－ x)是偶函数6B. 若f ( x ) 不是奇函数，则f (－ x )不是奇函数C. 若f ( －x ) 是奇函数，则f ( x )是奇函数D. 若f ( －x ) 不是奇函数，则f ( x )不是奇函数 答案B解析否命题是既否定条件又否定结论.因此否命题应为“若f ( x )不是奇函数，则 f (－ x )不是奇函数”.4. 命题“若 a >b ，则 ac 2>bc 2( a ， b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的 个数为() A.0B.2 C.3D.4 答案B解析命题“若 a >b ，则 ac 2>bc 2( a ， b ， c ∈R)”是假命题， 则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则 a >b ( a ， b ， c ∈R)”是真命题，则其否命题是真命题. 故 选 B.5. 给出以下命题：①“若 x 2＋ y 2≠0，则 x 、 y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若 >0，则 x2＋ － ＝ 0 有实根”的逆否命题 .m x m其中为真命题的是 ________. 答案 ①③解析 ①否命题是“若 x 2＋ y 2＝ 0，则 x ， y 全为零”，真命题 .②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题 .③∵ ＝ 1＋ 4m ，当 m >0 时， >0，∴ x 2＋ x － m ＝ 0 有实根，即原命题为真 . ∴逆否命题为真 .1. 可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可 .2. 任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则 q ”的形式.含有大前提的命题写 成“若 p ，则 q ”的形式时，大前提应保持不变.3. 写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1) 找出命题的条件 p 和结论 q ；(2) 写出条件 p 的否定和结论 q 的否定； (3) 按照四种命题的结构写出所有命题.4. 判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.740 分钟课时作业一、选择题1. 下列语句中，不能成为命题的是() A.5>12 B. x >0C. 已知 a 、 b 是平面向量，若 a ⊥ b ，则 a · b ＝0D. 三角形的三条中线交于一点 答案B解析 A 是假命题， C 、D 是真命题， B 中含变量x ，未指定x 的取值范围，无法判断真假，故不是命题 .2. 下列说法正确的是 ()A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B. 语句“最高气温 30℃时我就开空调”不是命题C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D. 语句“当 a >4时，方程 x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D解析 对于 A ，改写成“若，则 ”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；pqB 所给语句是命题；C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为3，腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明 .故选 D.3. 已知命题“若ab ≤0，则 ≤0或 ≤0”，则下列结论正确的是 ()a b A. 真命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 或 b >0”B. 真命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 且 b >0”C. 假命题，否命题：“若>0，则 >0 或 b >0”ab aD. 假命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 且 b >0”答案 B解析 “若 a >0 且 >0，则 >0”是真命题，又“若 >0 且 b >0，则>0”是“若≤0，babaab ab 则 a ≤0 或 b ≤0”的逆否命题，故原命题为真命题. 已知命题的否命题是“若ab >0，则 a >0且 b >0”.4. 下列命题中为真命题的是 ()A. 命题“若x >2 016，则 x >0”的逆命题B. 命题“若xy ＝0，则 x ＝0或 y ＝0”的逆否命题C. 命题“若x 2＋x －2＝0，则 x ＝1”D. 命题“若x 2≥1，则 x ≥1”的逆否命题8答案B解析A 选项，“若x >2 016，则x >0”的逆命题为“若x >0，则 x >2 016”是假命题；B 选项， “若 xy ＝0，则 x ＝0或 y ＝0”的逆否命题为“若 x ≠0且 y ≠0，则 xy ≠0”是真命题；C 选 项，由 x 2＋x －2＝0，得 x ＝1或 x ＝－2，故C 是假命题；D 选项，“若 x 2≥1，则 x ≥1”是 假命题，故其逆否命题是假命题.5. 若命题p 的否命题为q ，命题 p 的逆否命题为 r ，则 q 与 r 的关系是() A. 互逆命题B. 互否命题C. 互为逆否命题D. 以上都不正确 答案A6. 已知命题“若 a ， b ， c 成等比数列，则 b 2＝ac ”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是 ( ) A.0B.1C.2D.3 答案B解析命题“若 a ， b ， c 成等比数列，则 b 2＝ac ”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若b 2＝ ac ，则 a ，b ，c 成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题， 故选 B.7. 下列命题： (1) 若“a 2<b 2，则a <b ”的逆命题； (2) “全等三角形面积相等”的否命题；(3) “若 a ≥0，则 2－ 2 ax ＋ ＋ 3>0 的解集为 R ”的逆否命题； (4) “若 3 ( x ≠0) 为有理数，axax则 x 为无理数” . 其中正确的命题是 ( ) A.(3)(4) B.(1)(3) C.(1)(2) D.(2)(4)答案 A解析 对于 (1) ，逆命题是“若 a <b ，则 a 2<b 2”，易知是假命题；对于 (2) ，否命题是“若两个三角形不全等， 则这两个三角形的面积不相等”， 易知是假命题； 对于 (3) ，结论成立的条件是a ＝ 0 或 a >0，2 2－4a ＋ 3aa故 a ≥0，原命题与其逆否命题真假性相同，所以 (3) 正确；对于 (4) ，若 x 为有理数，则3 x 必为无理数，因为3 为有理数，故 x 为无理数，则 (4) 正x确，故选A. 二、填空题8. 已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 若把上述命题改为 “若 p ，则 q ”的形式，则p 是________________________________________________，9q 是 ________________________________________________________________________.答案 一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段的两个端点的距离相等9. 已知命题 p 的逆命题是“若实数 a ，b 满足 a ＝1且 b ＝2，则 a ＋ b <4”，则命题 p 的否命题 是 __________________________________.答案 若实数 ， b 满足 a ＋ ≥4，则 a ≠1或 b ≠2a b解析由命题 p 的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.10. 在命题“若抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的开口向下，则{ x | ax 2＋ bx ＋ c <0}≠?”的逆命题、否 命题、逆否命题中结论成立的个数是________. 答案1解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也 是假命题，故答案为1. 11. 给定下列命题：①若 k >0，则方程 x 2－2x － k ＝0有实数根； ②若 x ＋ y ≠8，则 x ≠2或 y ≠6； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若 xy ＝0，则 x ， y 中至少有一个为零”的否命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ①②④解析①∵＝4－ 4( － k ) ＝ 4＋ 4k >0， ∴①是真命题.②其逆否命题为真，故②是真命题.③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题：“若xy ≠0，则 x ， y 都不为零”是真命题. 三、解答题12. 判断命题：“若b ≤－ 1，则关于x 的方程x 2－ 2bx ＋b 2＋b ＝ 0 有实根”的逆否命题的真假. 解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致， 所以只需判断原命题的真假即可. 方程判别式为＝ 4b 2－ 4( b 2＋ b ) ＝－ 4b ，因为 b ≤－ 1，所以≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真 .方法二( 利用逆否命题 ) 原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x 2－ 2bx ＋ b 2＋ b ＝ 0 无实根，则 b >－1”.方程判别式为＝ 4 2－4(b 2＋ )＝－4 ，b b b因为方程无实根，所以 <0，即－ 4b <0，所以 b >0，10高中数学第一章常用逻辑用语11命题北师大版1-1!所以 b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知奇函数 f ( x)是定义域为R的增函数， a， b∈R，若 f ( a)＋ f ( b)≥0，求证： a＋ b≥0.证明假设 a＋b<0，则 a<－ b.∵ f ( x)在R上是增函数，∴f ( a)< f (－ b)，又∵ f ( x)为奇函数，∴f (－b)＝－ f ( b)，∴ f ( a)<－ f ( b).即 f ( a)＋ f ( b)<0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.11。
