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必修2第四章《圆与方程》单元测试题一、选择题（每小题5分，12个小题共60分）1．经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x ─y ─3=0上的圆的方程为 ( ).A (x-4)2+(y-5)2=10 .B (x+4)2+(y-5)2=10 .C (x-4)2+(y+5)2=10 .D (x+4)2+(y+5)2=102.以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB 外接圆的方程为( ).A x 2+y 2+2x+4y=0 .B x 2+y 2-2x-4y=0 .C x 2+y 2+2x-4y=0 .D x 2+y 2-2x+4y=02+y 2-2(m+3)x+2(1─4m 2)y+16m 4+9=0表示一个圆，则实数m 的取值范围为( ).A )71,1(- .B )1,71(- .C ),1()71,(+∞⋃--∞ .D ),71()1,(+∞⋃--∞4.过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆方程为( ).A (x+13/5)2+(y+6/5)2=4/5 .B (x-13/5)2+(y-6/5)2=4/5.C (x-13/5)2+(y+6/5)2=4/5 .D (x+13/5)2+(y-6/5)2=4/55. 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.30x y ++= B 250x y --= C 390x y --= D 4370x y -+=6. 方程0)4(0)4(222222=-++=-+y x x y x x 与表示的曲线是（ ）.A 都表示一条直线和一个圆 .B 都表示两个点.C 前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 .D 前者是两个点，后者是一直线和一个圆7.圆03sin 4cos 4222=+--+a ay ax y x θθ（a ≠0，θ为参数）的圆心的轨迹方程是（ ）.A 2224a y x =- .B 2224a y x =+ .C 2224a y x =+ .D 2224a y x =+8.同心圆：2522=+y x 与922=+y x ，从外圆上一点作内圆的两条切线，则两条切线的夹 角的正切值为（ ）.A 43 .B 147- .C 43- .D 1479．方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ） .A )125,0( .B ]43,31[ .C ),125(+∞ .D ]43,125(10．一辆卡车宽，要经过一个半径为的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 ( ).A .B 3米 .C.D 4米二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________2+y 2+2x+4y-3=0上到直线4x-3y=2的距离为 2的点数共有 .13．与圆1)2(22=+-y x 外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是_ .14.设集合m={(x,y)|x 2+y 2≤25},N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角的弧度数为 .16.求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．17.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C 外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N. ∠MAN 是否为定值？若为定值，求出∠MAN 的弧度数；若不为定值，说明理由.2+y 2=4 和(x-4)2+y 2=1的外公切线的方程及外公切线段的长度.l :y=k (x+22)与圆O:4y x 22=+相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S.（1）试将S 表示成的函数S （k ），并求出它的定义域； （2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.20．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径长30 km 的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？21．已知圆M ：2x 2+2y 2－8x －8y －1＝0和直线l ：x+y －9＝0 . 过直线l 上一点A 作△ABC ，使 ∠BAC=45°，AB 过圆心M ，且B ，C 在圆M 上. ⑴当A 的横坐标为4时，求直线AC 的方程； ⑵求点A 的横坐标的取值范围.必修2第四章《圆与方程》单元测试题命题人：柏任俊 审题人：徐敏一、选择题 1A 2B 3B 4D 5C 6C 7B 8D 9D 10 C二、填空题 11. 30x y -+= 12.4个. 13．x y 82= ≤a ≤2 15. 3π16. 【解】：2)2()1(22=++-y x17. 【解】设圆D 的方程为),0()(222>=-+r r b y x 那么).,0(),,0(r b N r b M -+因为圆D 与圆C 外切, 所以.124162222-=-⇒+=+r r b b r 又直线NA MA ,的斜率分别为 .32,32r b k r b k MB MA -=+=.334341234323213232tan 22π=∠⇒==-+=-++--+=∠∴MAN r r r b r r b r b rb rb MAN 为定值18.【解】：圆x 2+y 2=4 和(x-4)2+y 2=1的圆心分别为O(0,0),C(4,0), 设两圆的连心线与外公切线交于点P(x 0,0),)0,8(,8214)2(0,2120P x PC OP CPOP ∴=--+=∴-=⇒=. 由此可设两圆的外公切线方程为),8(-=x k y 即,08=--k y kx 圆O 的圆心到这切线的距离.1512182±=⇒=+k kk ∴两圆的外公切线方程为)8(151-±=x y ,即0815=--y x ,和0815=-+y x 外公切线段的长15)12(422=--=19.【解】：:如图,(1)直线l 议程 ),0(022≠=+-k k y kx 原点O 到l 的距离为2122kk oc +=弦长222218422KK OC OA AB +-=-= △ABO 面积2221)1(2421K K K OC AB S +-==),0(11,0≠<<-∴>K K AB )011(1)1(24)(222≠<<-+-=∴K k kk k k S 且(2) 令.81)43(224132241)1(24)(22222+--=-+-=+-=∴t t t k k k k S∴当t=43时, 33,31,431122±===+k k k时, 2max =S又解:△ABO 面积S=AOB OB OA ∠sin 21AOB ∠=sin 2290可取最大值时当S AOB =∠∴此时222==OA OC ,121,112<<=+t t k即3321222±=∴=+k K K 20. 解：我们以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 22230x y +=① 轮船航线所在直线l 的方程为17040x y +=，即472800x y +-=②如果圆O 与直线l 有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O 与直线l 无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向． 由于圆心O （0，0）到直线l 的距离22|4070280|280306747d ⨯+⨯-==>+，所以直线l 与圆O 无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．22．【解】：⑴依题意M （2，2），A （4，5），23=AMk ，设直线AC 的斜率为k ，则123123=+-k k ,解得5-=k 或51=k ，故所求直线AC 的方程为5x +y －25＝0或x －5y +21＝0； ⑵圆的方程可化为(x －2)2+(y －2)2＝234()2，设A 点的横坐标为a 。
第四章 单元质量测评对应学生用书P99 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12答案 A解析 由(－1)2＋12－4m ＞0，解得m ＜12．2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －3＝0，动点P 在圆C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0上，则△PC 1C 2面积的最大值为( )A ．2 5B ．4 5C ．8 5D ．20 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＝3，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝11，圆心为(－2，2)， C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0，即(x －2)2＋y 2＝16，圆心为(2，0)，半径为4， ∴|C 1C 2|＝16＋4＝25， △PC 1C 2面积最大时，有PC 2⊥C 1C 2，∴△PC 1C 2的面积的最大值为12×25×4＝45，故选B ．3．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a ＜0，b ＞0．直线x ＋ay ＋b ＝0等价于y ＝－1a x －b a ，因为k ＝－1a ＞0，－ba＞0，所以直线不经过第四象限．4．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( ) A ．|AB|>|CD| B ．|AB|<|CD| C ．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD| 答案 D解析 |AB|＝22＋12＋m －32＝5＋m －32，|CD|＝22＋02＋－12＝5．因为(m －3)2≥0，所以|AB|≥|CD|．5．从M(0，2，1)出发的光线，经平面xOy 反射后到达点N(2，0，2)，则光线所行走的路程为( )A ．3B ．4C ．17D ．3 2 答案 C解析 点M(0，2，1)关于平面xOy 对称的点为M′(0，2，－1)，光线所行走的路程为 |M′N|＝2－02＋0－22＋2＋12＝17．6．直线x ＋3y ＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心 答案 A解析 直线x ＋3y ＝0的斜率为－33，倾斜角为150°，绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线的倾斜角为120°，斜率为－3，所以直线方程为3x ＋y ＝0．圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心(2，0)到直线3x ＋y ＝0的距离d ＝233＋1＝3＝r ，所以直线与圆相切． 7．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定 答案 C解析 ∵圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，∴x－y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m2＋3＝0，解得m ＝6． 8．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 答案 B解析 设圆C 2的圆心为(a ，b)，则依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，对称圆的半径长不变，所以圆C 2的半径长为1，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，选B ．9．以(a ，1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0和2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5 答案 A解析 因为两条直线2x －y ＋4＝0和2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|5＝25，所以所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a ，1)到直线2x －y ＋4＝0的距离为|2a －1＋4|5＝|2a ＋3|5＝5，即a ＝1或a ＝－4，又因为圆心(a ，1)到直线2x －y －6＝0的距离也为5，所以a ＝1．所以所求的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，故选A ．10．过直线y ＝2x 上一点P 作圆M ：(x －3)2＋(y －2)2＝45的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，则∠APB 等于( )A ．30° B．45° C．60° D．90°答案 C解析 过圆M 的圆心(3，2)向直线y ＝2x 作垂线，设垂足为N ，易知当点P 与点N 重合时，l 1与l 2关于y ＝2x 对称，此时，|MP|＝|2×3－2|5＝45，又圆M 的半径长为25，故sin∠MPA＝12，则∠MPA＝30°，故∠APB＝60°． 11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB|＝2m ．因为∠APB＝90°，连接OP ，易知|OP|＝12|AB|＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max ＝|OC|＋r ＝6，即m 的最大值为6．12．设点M(x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN＝45°，则x 0的取值X 围是( )A ．[－1，1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2，2] D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 答案 A解析 解法一：过M 作圆O 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，若在圆O 上存在点N ，使∠OMN＝45°，则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x 0≤1，故选A ．解法二：过O 作OP⊥MN 于P ，则|OP|＝|OM|sin45°≤1， ∴|OM|≤2， 即x 20＋1≤2，∴x 20≤1，即－1≤x 0≤1，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋y 2＝2解析 设圆心坐标为(a ，0)(a ＜0)，则圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|a ＋0|12＋12＝2，解得a ＝－2．故圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．14．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是________________．答案 x －2y －1＝0(x≠1)解析 圆心坐标为(2m ＋1，m)，半径长r ＝|m|(m≠0)．令x ＝2m ＋1，y ＝m(m≠0)，可得x －2y －1＝0(x≠1)，即为圆心的轨迹方程．15．若直线x ＋y ＋m ＝0上存在点P ，过点P 可作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且∠APB＝60°，则实数m 的取值X 围为________．答案 [－22，2 2 ]解析 若∠APB＝60°，则|OP|＝2，直线x ＋y ＋m ＝0上存在点P ，过点P 可作圆O ：x2＋y 2＝1的两条切线PA ，PB ，等价于直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝4有公共点，由点到直线的距离公式可得|m|2≤2，解得m∈[－22，2 2 ]．16．当且仅当a<r<b 时，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)上有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离是2，则以(a ，b)为圆心，且和直线4x －3y ＋1＝0相切的圆的方程为______________．答案 (x －1)2＋(y －5)2＝4解析 因为圆心(0，0)到直线3x ＋4y －15＝0的距离d ＝|－15|32＋42＝3，结合图形可知，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)上有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离为2，等价于|r －3|<2，即1<r<5，所以a ＝1，b ＝5．又点(1，5)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为|4×1＋5×－3＋1|42＋－32＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －5)2＝4． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且|AB|＝32，求直线l 的方程．解 (1)将圆C 的方程化为标准方程为x 2＋(y －1)2＝5，所以圆C 的圆心为C(0，1)，半径r ＝5，圆心C(0，1)到直线l ：mx －y ＋1－m ＝0的距离d ＝|0－1＋1－m|m 2＋1＝|m|m 2＋1＜1＜5，因此直线l 与圆C 相交．(2)设圆心C 到直线l 的距离为d ， 则d ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝22． 又d ＝|m|m 2＋1，则|m|m 2＋1＝22，解得m ＝±1，所以所求直线方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．18．(本小题满分12分)在空间直角坐标系Oxyz 中．(1)在z 轴上求一点P ，使得它到点A(4，5，6)与到点B(－7，3，11)的距离相等； (2)已知点M 到坐标原点的距离等于23，且它的横、纵、竖坐标相等，求该点的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(0，0，c)， 因为|PA|＝|PB|， 所以16＋25＋c －62＝49＋9＋c －112，所以c ＝515，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，515．(2)设点M 的坐标为(a ，a ，a)， 所以a 2＋a 2＋a 2＝23， 所以a 2＝4，所以a ＝±2．所以点M 的坐标为M(2，2，2)或M(－2，－2，－2)．19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，圆心在第二象限，半径为2．(1)求圆C 的方程；(2)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－E2－1＝0，D 2＋E 2－4×32＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2(舍去)．∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0． (2)圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设切线l ：x ＋y ＝m(m≠0)，∴圆心C(－1，2)到切线的距离等于半径2， 即|－1＋2－m|2＝2，∴m＝－1或m ＝3． ∴所求切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．20．(本小题满分12分)已知点P 1(－2，3)，P 2 (0，1)，圆C 是以P 1P 2的中点为圆心，12|P 1P 2|为半径的圆．(1)若圆C 的一条切线在x 轴和y 轴上截距相等，求此切线方程；(2)若P(x ，y)是圆C 外一点，从P 向圆C 引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．解 (1)设圆心坐标为C(a ，b)，半径为r ，依题意得 a ＝－2＋02＝－1，b ＝3＋12＝2，r ＝12×4＋4＝2．∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①若截距均为0，即圆C 的切线过原点，则可设该切线为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则有|－k －2|k 2＋1＝2，解得k ＝2±6．此时切线方程为(2＋6)x －y ＝0或(2－6)x －y ＝0． ②若截距不为0，可设切线为x ＋y ＝a 即x ＋y －a ＝0， 依题意得|－1＋2－a|2＝2，解得a ＝－1或a ＝3．此时切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上，所求切线方程为(2±6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． (2)∵|PM|＝|PO|，∴|PM|2＝|PO|2，即(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2，整理得y ＝2x ＋34，而|PM|＝|PO|＝x 2＋y 2＝1420x 2＋12x ＋9，当x ＝－122×20＝－310时，|PM|取得最小值．此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35．21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0． (1)求证：对任意的m∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．解 (1)证明：因为直线l ：mx －y ＋1＝0恒过定点N(0，1)，且点N(0，1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5的内部，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)由题知C(0，2)，设动点M(x ，y)， 当x ＝0时，M(0，1)；当x≠0时，由垂径定理，知MN⊥MC， 所以y －2x ·y －1x＝－1，整理得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，又(0，1)满足此方程，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程是x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14．22．(本小题满分12分)有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A 地是B 地的2倍，若A ，B 两地相距10千米，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品？解 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－5，0)，则B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x ，y)，设从A 地运货到P 地的运费为2a 元/千米，则从B 地运货到P 地的运费为a 元/千米．若P 地居民选择在A 地购买此商品， 则2ax ＋52＋y 2＜ax －52＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2032．即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部．也就是说，圆C 内的居民应在A 地购买，圆C 外的居民应在B 地购买，圆C 上的居民可随意选择A ，B 两地之一购买．。
高中数学必修二第四章《圆与方程》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ） A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0 D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵圆的标准方程为22111x y -+-=（）（），∴圆心坐标为1,1（），半径为1， ∵直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切， ∴圆心1,1（）到直线340x y b +-=的距离等于圆的半径，715b -==，解得：2b =或12b =．故选C ．2．【答案】A【解析】设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z2＝－3，∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10． ∴A ′(－3,4，－10)．故选A ． 3．【答案】A【解析】根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP＝－11－42＋2＝43．∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)．即4x －3y ＋20＝0． 又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0． 故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．故选A ．4．【答案】A【解析】设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4， x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4． ∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．故选A ． 5．【答案】B【解析】由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，故选B ． 6．【答案】B【解析】圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，故选B ．7．【答案】B【解析】由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ． 8．【答案】A【解析】由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2， ∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．故选A ． 9．【答案】C【解析】配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为 30－105．故选C ． 10．【答案】C【解析】由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．故选C ． 11．【答案】D【解析】l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．故选D ． 12．【答案】D【解析】如图，由数形结合知，故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】(－1，－2，3) 14．【答案】－2【解析】两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2． 15．【答案】x ＋y －3＝0，x －y －3＝0【解析】点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．16．【答案】(x ＋2)2＋y 2＝2【解析】设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2，故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】如图，⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94．【解析】l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)． 线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝()()2221113--+-+=＝3．所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．【答案】E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 【解析】如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2,z )， ∴|EC |()()()22201201z -+-+-()215z -+故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19．【答案】x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝⎛⎭⎫－72，152，12130．【解析】∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)， C (－3,1)，∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得()2222221440222200330D E F D E F E F ⎧++++=⎪⎪-+-++=⎨⎪+++=⎪⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．【答案】（1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27． 【解析】（1）证明：直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |()()222334-+-＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52．最小值为()2232-27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27． 21．【答案】（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．【解析】（1）∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为 y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)， ∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |()()222002-++22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．【答案】（1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝⎛⎭⎫－310，35． 【解析】（1）将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6． ∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． （2）∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35． 单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ）A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ） A ． 2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ） A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝012．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是（ ） A ．[－22，22] B ．(－22，22) C ．[－2,2]D ．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知点A (1,2,3)，B (2，－1,4)，点P 在y 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标是__________________.14．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】将圆方程化为标准方程得()221(2)5x y ++-=，∴圆心坐标为()1,2-． 故选B ． 2．【答案】B【解析】圆O 1(1,0)，r 1＝1，圆O 2(0,2)，r 2＝2，|O 1O 2|()()221002-+-5＜1＋2，且5＞2－1，故两圆相交．故选B ． 3．【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，则到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求．由于圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵切线的方程是y ＝－(x －a )，即x ＋y －a ＝0，∴|a |2＝2，a ＝±2．故选B ． 5．【答案】D【解析】由空间两点间的距离公式得()()()22221324x -+-+-＝26，解得x ＝6或x ＝－2，故选D ． 6．【答案】C【解析】由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， 所以直线恒过定点(－1,2)，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，故选C ． 7．【答案】B【解析】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝1×cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2，故选B ． 8．【答案】A【解析】方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝2312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝12，∴1k 2＋1＝12，解得k ＝±3． 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠PAO ＝60°，∴k ＝3，即直线PA 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－3，故选A ．9．【答案】B【解析】|PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4，故选B ． 10．【答案】B【解析】△ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线x ＝1上，设圆心 D (1，b )，由DA ＝DB 得|b |＝()213b +-⇒b ＝223，所以圆心到原点的距离d ＝222213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝213，故选B ．11．【答案】A【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2， 故选A ． 12．【答案】C【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为32，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2，故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】(0，－76，0) 【解析】设点P (0，b,0)， ()()()22210230b -+-+-()()()22220140b -+--+-，解得b ＝－76．14．【答案】x ＋y －3＝0【解析】AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 1.又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0． 15．【答案】22【解析】点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l 垂直于过点A (1，2)和圆心M (2,0)的直线．∴k ＝－1k AM ＝－2－10－2＝22．16．【答案】(x －1)2＋y 2＝2. 【解析】由题意得：半径等于|m ＋1|m 2＋1＝()2211m m ++＝2211mm ++≤2， 所以所求圆为(x －1)2－y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】x 2＋(y －1)2＝10．【解析】∵AB 的中点是(1,3)，k AB ＝4－2－1－3＝－12，∴AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0，得y ＝1，即圆心C (0,1)．∴所求圆的半径为|AC |＝()22141+-＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10． 18．【答案】64a ． 【解析】以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )， 因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |222324242a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝64a .19．【答案】（1）见解析；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． 【解析】（1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3， 故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．（2）解：当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0， 因为|PQ |＝23，所以|CM |＝4－3＝1，则由|CM |＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43， 所以直线l ：4x －3y ＋4＝0，故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． 20．【答案】见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时． 21．【答案】（1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1．【解析】（1）由题意可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1，则圆C 的圆心为(3,1) 3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.（2）由()()220319x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0， 此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－a x 1x 2＝a 2－2a ＋12①，由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0 ②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.22．【答案】（1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．【解析】（1）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.（2）因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125，所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．。
必修2第四章圆与方程测试卷（100分钟，150分）一 选择题（每题5分，共60分）1．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x 2圆()3122=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周所得的几何体的体积为（ ）A. π36B. π12 C ．π34 D. π43，从直线y ＝3上的点向定圆x y x 222=+作切线，则切线长的最小值为 （ ）（A ）22 （B ）7 （C ）3 （D ）104．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为A ．30….B ．45C ．60D ．905．若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ）A ．1-或3B ．1或3C ．2-或6D ．0或46．直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是( ) A ．），（2222- B ．），（22-C ．），（4242-D ．），（8181- 7．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ） A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k8． 方程1x -= ）A ．一个圆B ．两个半圆C ．两个圆D ．半圆9. 已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1（C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=110．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．5D ．111．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭12．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为,AB CD ，则四边形ACBD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．二 填空题（每题5分，共20分）13．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。
必修2第四章圆与方程单元测试题必修2第四章圆与方程单元测试题必修2第四章[圆与方程]单元测试题必修课程2第四章《圆与方程》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.方程x2+y2+2ax-by+c=0则表示圆心为c（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值依次为（a）2、4、4；（b）-2、4、4；（c）2、-4、4；（d）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9沙尔霍罗德区的弦长为（）(a)22(b)4(c)42(d)23.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的值域范围就是（）(a)-11(d)a=±14.自点a(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线，则切线短为（）(a)(b)3(c)(d)55.已知m(-2,0),n(2,0),则以mn为斜边的直角三角形直角顶点p的轨迹方程是()(a)x2+y2=2(b)x2+y2=4(c)x2+y2=2(x≠±2)(d)x2+y2=4(x≠±2)6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0切线，则a的值a、1，-1b、2，-2c、1d、-1227.若方程x2+y2+dx+ey+f=0(d+e-4f>0)所则表示的曲线关于直线y=x等距，必存有（）a．e=fb．d=fc．d=ed．d,e,f两两不相等8.未知点a(1,-2,11),b(4,2,3),c(6,-1,4)则三角形abc的形状就是（）(a)直角三角形（b）锐角三角形（c）钝角三角形（d）斜三角形9．直线3x+y-23=0截圆x2+y2=4得的劣弧面元的圆心角就是ππππb、c、d、6432222210．两圆x+y－4x+6y=0和x+y－6x=0的连心线方程为a、a．x+y+3=0（）b．2x－y－5=0d．4x－3y+7=0c．3x－y－9=0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分后，共20分后）11.以点a(1,4)、b(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为12.设a为圆(x-2)2+(y-2)2=1上一动点，则a到直线x-y-5=0的最大距离为_____.p(-1,6)且与圆(x+3)2+(y-2)2=4切线的直线方程就是第1页________________.14.至a(1,0,1),b(2,3,-1)距离成正比的点的座标(x,y,z)满足用户的关系15、求与圆x2+y2-2x+4y+1=0同心，且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程。
A . 3x — y — 5=B . 3x + y — 7= 0D . x — 3y + 1= 03.若直线(1 + a)x + y + 1= 0与圆x 2 + y 2— 2x = 0相切，则a 的值为()B . 2,— 2C . 15.点M （3,— 3,1）关于xOz 平面的对称点是（ ）5 B . (^，+m)5 3D .(石，4】二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）9.圆x 2 + y 2= 1上的点到直线3x + 4y — 25= 0的距离最小值为 10 .已知圆C1： x 2 + y 2— 3x — 3y + 3 = 0,圆C2： x 2+ y 2— 2x — 2y = 0,两圆的公共弦所在的直 线方程 _________________ .必修二第四章单元测试题（时间：90分钟总分：100分） 、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1 .已知两圆的方程是 x 2 + y 2= 1和x 2 + y 2— 6x — 8y + 9= 0,那么这两个圆的位置关系是 A •相离 B •相交 C .外切 D .内切 2 .过点（2,1）的直线中，被圆 x 2+ y 2— 2x + 4y = 0截得的最长弦所在的直线方程为 （C . x + 3y — 5 = 0 A . 1,— 1 4.经过圆x 2 + y 2= 10上一点 M （2 , 6）的切线方程是（）A . x + , 6y — 10= 0 C . x —+ 10= 0 B. . 6x — 2y + 10= 0D . 2x + , 6y — 10= 0A . (— 3,3, — 1) （一 3，一 3，一 1）C . (3，一3,— 1)(3,3,1)6.若点A 是点B （1,2,3）关于x 轴对称的点, 点C 是点D （2, — 2,5）关于y 轴对称的点, 贝 U |AC|7. C . 当占 ■=1B. . 13D.10P 在圆x 2 + y 2= 1上变动时，它与定点Q （3,0）的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是10C . 曲线 (x + 3)2 + y 2= 4 (2x — 3)2 + 4y 2= 1y = 1 + . 4 — x 2与直线B . (x — 3)2+ y 2= 1 D . (2x + 3)2 + 4y 2= 1y = k （x — 2） + 4有两个交点，则实数 k 的取值范围是（）C .(0,为11. ___________________________________________________________________________ 方程x2+ y2+ 2ax—2ay= 0表示的圆，①关于直线y= x对称；②关于直线x+ y= 0对称; ③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是______________________ 12. ___________________________________________________________________ 直线x+2y= 0被曲线x2+ y2—6x —2y—15= 0所截得的弦长等于_______________________ .三、解答题(本大题共3小题，每题22分，共36分)13. (10分)自A(4,0)引圆x2+ y2= 4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.14. (12 分)已知O C: (x—3)2+ (y—4)2= 1,点A( —1,0), B(1,0)，点P 是圆上动点，求d= |PA p + |PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标.15. (12 分)已知曲线C: x2+ y2+ 2kx+ (4k + 10)y+ 10k + 20= 0，其中k^—1.(1) 求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上;(2) 证明曲线C过定点；⑶若曲线C与x轴相切，求k的值.12 5，必修二第四章测试卷答案、选择1.C2.A3..D4.D5.D6.B7.C8.D 二、 填空9.410.. x + y — 3 = 0, 11.②12.4 .-'5三、 解答题13. 解：解法1:连接OP 贝U OPL BC 设P(x , y)，当X M 0时，心・k AP =— 1, 即x ・即 x 2 + y 2— 4x = 0①当x = 0时，P 点坐标为（0,0）是方程①的解，••• BC 中点P 的轨迹方程为x 2+ y 2— 4x = 0（在已知圆内）.1解法 2:由解法 1 知 OPLAP,取 0A 中点 M,则 M （2,0） , | PM = 2〔 °A = 2,由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M （2,0）为圆心，2为半径的圆.14. 解：设点P 的坐标为（X o , y °），贝Ud =（X 0+ 1） + y 。
第四章圆与方程测验题（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是122=+y x 和098622=+--+y x y x ，那么这两个圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切2．过点)1,2(的直线中，被圆04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．053=--y xB ．073=-+y xC ．053=-+y xD ．013=+-y x3．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1D ．－14．经过圆1022=+y x 上一点)6,2(M 的切线方程是( )A ．0106=-+y x B. 01026=+-y x C ．0106=--y x D ．01062=-+y x5．垂直于直线1+=x y 且与圆122=+y x 相切于第一象限的直线方程是( )A ．02=-+y xB ．01=++y xC ．01=-+y xD ．02=++y x6．关于空间直角坐标系xyz O -中的一点)3,2,1(P 有下列说法：①点P 到坐标原点的距离为13；②OP 的中点坐标为)23,1,21(； ③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为)3,2,1(---； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为)3,2,1(-；⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为)3,2,1(-，其中正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知点),(b a M 在圆O ：122=+y x 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定8．与圆1O ：074422=+-++y x y x 和圆2O ：01310422=+--+y x y x 都相切的直线条数是( )A ．4B ．3C ．2D ．19．直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且与直线02=+y x 垂直，则直线l 的方程是( )A ．02=-y xB ．022=--y xC ．032=-+y xD ．032=+-y x10．圆01442)24(222=+++-+-+m m my x m y x 的圆心在直线04=-+y x 上，那么圆的面积为( )A ．π9B ．πC ．π2D ．由m 的值而定11．当点P 在圆122=+y x 上变动时，它与定点)0,3(Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是( )A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y x D ．14)32(22=++y x12．曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．)125,0( B ．),125(+∞C ．]43,31( D ．]43,125(二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离最小值为____________．14．圆心为)1,1(且与直线4=+y x 相切的圆的方程是________．15．方程02222=-++ay ax y x 表示的圆，①关于直线x y =对称；②关于直线0=+y x 对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．16．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 相交于A ，B 两点，则AOB ∆(O 为坐标原点)的面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自)0,4(A 引圆422=+y x 的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．18．(12分)已知圆M ：0142222=-++-+m y mx y x 与圆N ：022222=-+++y x y x 相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．19．(12分)点M 在圆心为1C 的方程012622=+-++y x y x 上，点N 在圆心为2C 的方程014222=++++y x y x 上，求||MN 的最大值．20．(12分)已知圆C ：034222=+-++y x y x ，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有||||PO PM =，求||PM 的最小值．21．(12分)已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点)3,2(-Q ，(1)若点)1,(+m m P 在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求||MQ 的最大值、最小值； (3)若),(b a N 满足关系：0451422=+--+b a b a ，求出23+-=a b t 的最大值．22．(12分)已知曲线C ：02010)104(222=++++++k y k kx y x ，其中1-≠k .(1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．第四章圆与方程测验题答案（一）一、选择题1． 解析 将圆098622=+--+y x y x ，化为标准方程得16)4()3(22=-+-y x ， ∴两圆的圆心距5)40()30(22=-+-，又521=+r r ，∴两圆外切，答案 C 2．解析 依题意知所求直线通过圆心)2,1(-，由直线的两点式方程，得121212--=++x y ， 即053=--y x ，答案 A3．解析 圆0222=-+x y x 的圆心)0,1(C ，半径为1，依题意得11)1(|101|2=+++++a a ，即1)1(|2|2++=+a a ，平方整理得1-=a ，答案 D4．解析 ∵点)6,2(M 在圆1022=+y x 上，26=OM k ，∴过点M 的切线的斜率为36-=k . 故切线方程为)2(366--=-x y ，即01062=-+y x ，答案 D5．解析 由题意可设所求的直线方程为k x y +-=，则由12||=k ，得2±=k ，由切点在第一象限知，2=k ，故所求的直线方程2+-=x y ，即02=-+y x ，答案 A6．解析 点P 到坐标原点的距离为14321222=++，故①错；②正确；点P 关于x 轴对称的点的坐标为)3,2,1(--，故③错；点P 关于坐标原点对称的点的坐标为)3,2,1(---，故④错；⑤正确．答案 A7． 解析 ∵点),(b a M 在圆122=+y x 外，122>+∴b a ，又圆心）（0,0到直线1=+by ax 的距离r ba d =<+=1122，∴直线与圆相交．答案 B8．解析 两圆的方程配方得，1O ：1)2()2(22=-++y x ，2O ：16)5()2(22=-+-y x ，圆心)2,2(1-O ，)5,2(2O O 2，半径11=r ，42=r ，5)25()22(||2221=-++=∴O O ，，521=+r r ，5||2121=+=∴r r O O ，∴两圆外切，故有3条公切线，答案 B9．解析 依题意知直线l 过圆心）（2,1，斜率2=k ， ∴l 的方程为)1(22-=-x y ，即02=-y x ，答案 A10． 解析 01442)24(222=+++-+-+m m my x m y x ，222)()12(m m y m x =-+--∴，∴圆心）（m m ,12+，半径||m r =. 依题意知0412=-++m m ，1=∴m ，∴圆的面积ππ=⨯=21S ，答案 B11．解析 设),(11y x P ，)0,3(Q ，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )，则231+=x x ，21y y =，321-=∴x x ，y y 21=，又点),(11y x P 在圆122=+y x 上， 14)32(22=+-∴y x ，故线段PQ 中点的轨迹方程为14)32(22=+-y x ，答案 C12．解析 如图所示，曲线241x y -+=，变形为)1(4)1(22≥=-+y y x ， 直线4)2(+-=x k y 过定点)4,2(， 当直线l 与半圆相切时，有21|142|2=+-+-k k ，解得125=k ，当直线l 过点)1,2(- 时，43=k ，因此，k 的取值范围是43125≤<k ，答案 D二、填空题13． 解析 圆心)0,0(到直线02543=-+y x 的距离为5，∴所求的最小值为4，答案 414． 解析22|411|=-+=r ，所以圆的方程为2)1()1(22=-+-y x .答案 2)1()1(22=-+-y x15． 解析 已知方程配方，得)0(2)()(222≠=-++a a a y a x ，圆心坐标为),(a a -，它在直线0=+y x 上，∴已知圆关于直线0=+y x 对称．故②正确．答案 ②16． 解析 圆心坐标)3,2(-，半径r ＝3，圆心到直线032=--y x 的距离5=d ，弦长42||22=-=d r AB ，又原点)0,0(到AB 所在直线的距离53=h ，所以AOB ∆的面积为55653421=⨯⨯=S ，答案 556三、解答题17．(10分)自)0,4(A 引圆422=+y x 的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解 解法1：连接OP ，则BC OP ⊥，设),(y x P ，当0≠x 时，1-=AP OP k k ， 即14-=-⋅x yx y ，即0422=-+x y x ①， 当0=x 时，P 点坐标为)0,0(是方程①的解，BC ∴中点P 的轨迹方程为0422=-+x y x (在已知圆内)．解法2：由解法1知AP OP ⊥，取OA 中点M ，则)0,2(M ，2||21|PM |==OA ，由圆的定义，知P 点轨迹方程是以)0,2(M 为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为4)2(22=+-y x (在已知圆内)．18．(12分)已知圆M ：0142222=-++-+m y mx y x 与圆N ：022222=-+++y x y x 相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．解 由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为)2,(-m M ，)1,1(--N ．两圆的方程相减得直线AB 的方程为012)1(22=---+m y x m ，A ，B 两点平分圆N 的圆周，AB ∴为圆N 的直径，AB ∴过点)1,1(--N ，01)1(2)1()1(22=---⨯--⨯+∴m m ，解得1-=m ，故圆M 的圆心)2,1(--M ．19．(12分) 点M 在圆心为1C 的方程012622=+-++y x y x 上，点N 在圆心为2C 的方程014222=++++y x y x 上，求||MN 的最大值．解 把圆的方程都化成标准形式，得9)1()3(22=-++y x ，4)2()1(22=+++y x ， 如图所示，1C 的坐标是)1,3(-，半径长是3；2C 的坐标是)2,1(--，半径长是2. 所以，13)21()13(||2221=+++-=C C ，因此，||MN 的最大值是513+.20．(12分) 已知圆C ：034222=+-++y x y x ，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有||||PO PM =，求||PM 的最小值．解 如图PM ∴为圆C 的切线， 则PM CM ⊥，PMC ∆∴为直角三角形，222|||PC |||MC PM -=∴设),(y x P ，)2,1(-C ，2||=NC ，||||PO PM = ，2)2()1(2222--++=+∴y x y x ，化简得点P 的轨迹方程为0342=+-y x .求||PM 的最小值，即求||PO 的最小值，即求原点O 到直线0342=+-y x 的距离，代入点到直线的距离公式可求得||PM 最小值为1053.21．(12分) 已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点)3,2(-Q ，(1)若点)1,(+m m P 在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求||MQ 的最大值、最小值； (3)若),(b a N 满足关系：0451422=+--+b a b a ，求出23+-=a b t 的最大值． 解 圆C ：04514422=+--+y x y x 可化为8)7()2(22=-+-y x .(1)点)1,(+m m P 在圆C 上，所以045)1(144)1(22=++--++m m m m ，解得4=m ， 故点)5,4(P ，所以PQ 的斜率312435=+-=PQ k(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，)3,2(-Q 在圆外，所以||MQ 的最大值、最小值分别是r QC +||，r QC -||， 易求24||=QC ，22=r ，所以26||max =MQ ，22||min =MQ .(3)点N 在圆C ：04514422=+--+y x y x 上，23+-=a b t 表示的是定点)3,2(-Q 与圆上的动点N 连线l 的斜率．设l 的方程为)2(3+=-x k y ，即032=++-k y kx ，当直线和圆相切时，d ＝r ， 即221|3272|2=+++-k k k ，解得32±=k ，所以23+-=a b t 的最大值为32+.22．(12分) 已知曲线C ：02010)104(222=++++++k y k kx y x ，其中1-≠k .(1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为222)1(5)52()(+=++++k k y k x .1-≠k ，2)1(5+∴k ，故方程表示圆心为)52,(---k k ，半径为|1|5+k 的圆．设圆心的坐标为),(y x ，则⎩⎨⎧--=-=52k y kx ，消去k ，得052=--y x .1111∴这些圆的圆心都在直线052=--y x 上．(2)证明：将原方程变形为0)2010()1042(22=++++++y y x k y x ，∵上式对于任意1-≠k 恒成立，⎩⎨⎧=+++=++∴020100104222y y x y x ， 解得⎩⎨⎧-==31y x ，∴曲线C 过定点)3,1(-．(3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心)52,(---k k 到x 轴的距离等于半径． 即|1|5|52|+=--k k ，两边平方，得22)1(5)52(+=+k k ， 535±=∴k .必修2第四章《圆与方程 》测试题（二）一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1．方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是 （ ） A ．322>-<a a 或 B ．232<<-a C ． 02<<-a D ． 223a -<<2．以）（6,5和），（43-为直径端点的圆的方程是 （ ）A ．072422=+-++y x y x B ．064822=-+++y x y x C ．052422=-+-+y x y xD ．092822=---+y x y x12123．过两圆：04622=+++y x y x 及042422=-+++y x y x 的交点的直线的方程 （ ） A ．02=++y x B ．02=-+y x C ．0235=-+y x D ．不存在4．若曲线04)1(2222=--+++y a x a y x 关于直线0=-x y 的对称曲线仍是其本身，则实数=a （ ）A ．21±B ．22±C ．21或22-D ．21-或225.若直线0234=--y x 与圆01242222=-++-+a y ax y x 总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A. 73<<-aB. 46<<-aC. 37<<-aD. 1921<<-a6.已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为||a 、||b 、c 的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在7．两圆1.C ：044422=+-++y x y x ，2.C ：01310422=+--+y x y x 的公切线有（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．以上都不对8．经过点)2,5(A ，)2,3(B ，圆心在直线032=--y x 上的圆的方程为 ( ).A 10)5()4(22=-+-y x .B 10)5()4(22=-++y x .C 10)5()4(22=++-y x .D 10)5()4(22=+++y x9．若0433222=-+c b a ，则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为 （ ）1313A.32B.１C.21D.4310．设),(y x P 是曲线.C ：03422=+++x y x 上任意一点，则xy的取值范围是 （ ） A ．]3,3[- B ．),3[)3,(+∞--∞C ．]3333[-D ．),33[)33,(+∞--∞11．已知点),(b a M （0≠ab ）是圆C ：222r y x =+内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的 直线，直线l '的方程是2r by ax =+，那么 （ ） A ．l ∥l '且l '与圆C 相离 B ．l ⊥l '且l '与圆C 相离 C ．l ∥l '且l '与圆C 相切 B ．l ⊥l '且l '与圆C 相切12．直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是 （ ） A ．2||=b B ．11≤<-b 或2-=b C ．21≤≤-b D ．以上都错二．填空题（每小题5分，共20分）13．已知)1,2,1(-A ,），，（222B ，轴上在点Z P ，||||PB PA =且，的坐标为则点P14．已知BC 是圆2522=+y x 的动弦，且6||=BC ，则BC 的中点的轨迹方程是 ____15．过)2,1(P 的直线l 把圆05422=--+x y x 分成两个弓形当其中劣孤最短时直线l 的方程为 _____16．圆034222=-+++y x y x 上到直线234=-y x 的距离为2的点数共有1414三．解答题（共6小题，共70分）17．（12分）求经过点)7,1(- 与圆2522=+y x 相切的切线方程．18．（12分） 直线l 经过点)5,5(P 且和圆C ：2522=+y x 相交，截得弦长为54，求l 的方程．19．（12分）求圆心在直线x y 4-=上，并且与直线l ：01=-+y x 相切于点)2,3(-P 的圆的方程． 20．（12分）有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距km 10，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.151521．（12分）已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使以L 被圆C截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．22．（14分）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2=y ；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l ：02=-y x 的距离为55的圆的方程．必修2第四章测试题答案与提示（二）一．选择题1－4. DDAB 5－8. BBAA 9－12．BCAB 提示：1．因为方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，所以222(2)4(21)0a a a a +-+->，解得223a -<<． 2．因为以（5，6）和（3，－4）为直径端点，所以圆心为（4，1）3．提示一：由圆的方程，解出交点的坐标，由直线方程的两点式，得出直线方程． 提示二：两圆的方程相减，得出直线方程．4．因为曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，所以直线y –x =0过圆心．16165．提示一：将直线方程代入圆的方程，根的判别式大于0． 提示二：圆心到直线的距离小于圆的半径．6．因为直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，整理得222a b c +=．7．两圆圆心分别为（-2，2），（2，5），所以圆心距为5，两圆半径为2，4，所以两圆位置关系为：相交．其公切线为两条．8．提示一：设圆心为(,)a b ，半径为r ，则230a b --=，222(5)(2)a a r -+-=，222(3)(2)a a r -+-=解出，即可．提示二：设为圆的一般方程，代入解出．9．圆心到直线的距离为1，由勾股定理，得弦长为1． 10．x y 可看成圆上的点与原点的斜率，画图可知，x y取值范围是 ]33,33[-． 11．因点),(b a M （0≠ab ）是圆C ：222r y x =+内一点，故222a b r +<．直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为()ay b x a b-=--，其与直线l '平行圆心到直线l '的距离2d r =>，l '与圆C 相离．12．曲线x221x y +=的y 轴右侧部分，直线y = x + b 与曲线x =21y -有且仅有一个公共点，则或者相交一个交点，此时b 大于-1小于等于1；或者两者相切此时b = 二．填空题13．（0，0，3）； 14．1622=+y x ； 15．032=+-y x ； 16．4个． 提示：13．设的坐标P 为（0，0,Z ）则222222)-222-121Z Z （）（++=++，解得Z=3． 14．弦BC 的中点到圆心的距离不变为4，故其轨迹为1622=+y x ．15．过P （1，2）的直线l 把圆05422=--+x y x 分成两个弓形当其中劣孤最短时，P 为直线截圆所成弦的中点，由斜率公式得出直线l 的斜率，l 的方程为032=+-y x ．16．直线4x-3y=2过圆的圆心，圆的半径为因此，圆上有4个点到直线4x-3y=2． 三．解答题171717．解法1： 设切线的斜率为k ，由点斜式有：y +7 = k(x- 1)，即y = k(x- 1) –7 ①将①式代入圆方程2225x y += 得：()221725x k x +--=⎡⎤⎣⎦，整理得：()()2222121414240kx k k x k k +-++++=()()()22222144114240k k k k k ∆=+-+++=，解得34=k 或 43-=k ∴切线方程为：4x-3y-25 = 0或3x + 4y + 25 = 0 ．解法2 ： 设所求切线斜率为k ，∴所求直线方程为：y+7= k(x- 1) 整理成一般式为：kx – y – k - 7 = 0，∴517002=+---kk ，化简为2127120k k --= 0，∴34=k 或43-=k 切线方程为：4x - 3y - 25 = 0或3x + 4y + 25 = 0．18．解法1：设直线l 的方程为y-5 = k(x-5),且与圆C 相交于()11,A x y 、()22,B x y ,则有⎩⎨⎧-+-=-25)5(522y x x k y ，消去y 得()()()2211012520k x k k x k k ++-+-= ∴()()()22101412520k k k k k ∆=--+->⎡⎤⎣⎦，解得：k>0.()1221011k k x x k -+=-+，()1222521k k x x k -=+ 由斜率公式，得：()1212y y k x x -=-∴()()()()22221212121AB x x y y k x x =-+-=+-]4)[(1(21212x x x x k -++=1)2(254)1()1(100)[1(22222+-⋅-+-+=k k k k k k k 45= 两边平方，整理得：22520k k -+=，解得：21=k 或K=2合题意． ∴直线 的方程为：x - 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0．解法2：如图所示，OM 是圆心到直线l 的距离，OA 是圆的半径，AH 是弦长AB 的一半，在Rt AHO ∆中，5OA =，52542121=⨯==AB AH ，1818∴225OH OAAM=-=，51)1(52=+-k k 解得21=k 或k=2． ∴直线 的方程为：x-2y +5 = 0或2x-y-5=0．19．解法1： 设所求圆方程为 ()()222x a y b r -+-=，则依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--+--=-+rr b a a b b a 21222)2()3(4，解方程组得a=1,b=-4,22r =， 所求圆的方程为 ()()22148x y -++=．解法2： 由于圆心在直线 4y x =-上，又在过切点(3，－2)与切线x+y-1=0垂直的直线y+2=(x-3)，即x-y-5=0上，解方程组⎩⎨⎧-==--xy y x 405可得圆心(1，－4)，于是()()22134222r =-+-+=所求圆的方程为()()22148x y -++=．20．解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，则A （－5，0），B （5，0）.设某地P 的坐标为（x ，y ），且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低，并设A 地的运费为3a 元/km ，则B 地运费为a 元/km. 由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费 ，即22)5(3y x a ++22)5(y x a +-≤，整理得222)415()425(≤++y x . 所以，以点C )0,425(-为圆心，415为半径的圆就是两地居民购货的分界线. 圆内的居民从A 地购货费用较低，圆外的居民从B 地购货费用较低，圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，因此可以随意从A 、B 两地之一购货．21．解：圆C 化成标准方程为:2223)2()1(=++-y x假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ） 由于CM ⊥L ，∴k CMk L =－1 ∴k CM =112-=-+a b ， 即a+b+1=0，得b= －a －1 ①直线L 的方程为y －b=x －a ，即x －y+b －a=0 ∴ CM=2|3|+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OMMB MA ==19192)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM +=∴2222)3(9b a a b +=+-- ② 把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线L 的方程为：x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线L 的方程为：x－y+1=0故这样的直线L 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y+1=0． 22．解：设圆的方程为：当时，, ∵ ∴, ∴,, ∴①当时，∵∴∴②由①、②得：又∵到的距离为∴∴∴或∴或∴或∴或．2020。
圆与方程姓名: 班级： .一、选择题(共8小题；共40分）1. 圆x2+y2−4x+6y=0的圆心坐标是 ( )A. (2,3)B。
(−2,3) C. (−2,−3)D。
(2,−3)2. ⊙O的直径是3，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d,则d应满足 ( ）A. d>3B。
1.5<d<3C。
0≤d<1.5 D. d<03. 圆(x−2)2+(y−1)2=4与圆(x+1)2+(y−2)2=9的公切线有 ( )条A. 1B. 2C. 3D。
44。
从原点向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( ）A. πB。
2π C. 4π D. 6π5. 过点(1,1)的直线与圆(x−2)2+(y−3)2=9相交于A，B两点，则∣AB∣的最小值为 ( ）A。
2√3B。
4C。
2√5D。
56. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为( )A. x2+y2−2x−3=0B. x2+y2+4x=0C。
x2+y2+2x−3=0D。
x2+y2−4x=07. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）A。
6B。
5 C. 4D。
38. 已知圆：C1:(x−2)2+(y−3)3=1,圆：C2:(x−3)2+(y−4)2=9，M、N分别是圆C1、C2上的动点,P为x轴上的动点,则∣PM∣+∣PN∣的最小值为 ( )A. 5√2−4B。
√17−1C。
6−2√2 D. √17二、填空题(共7小题;共35分）9. 过点A(3,−4)与圆x2+y2=25相切的直线方程是．10。
如果单位圆x2+y2=1与圆C:(x−a)2+(y−a)2=4相交,则实数a的取值范围为．11。
在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1,−3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标是．12。
