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第四章4.1 数列的概念第1课时 数列的概念与简单表示A 级必备知识基础练1.[探究点三]数列{a n }中,若a n =√16-2n,则a 4=( ) A.12B.√2C.2√2D.82.[探究点三]已知数列-1,14,-19,…,(-1)n 1n2,…,它的第5项的值为( ) A.15B.-15C.125D.-1253.[探究点三]已知数列的通项公式a n ={3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,则a 2a 3等于( ) A.70B.28C.20D.84.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n 项为( ) A.6n-1B.-6n+1C.6n+2D.-6n-25.[探究点二·陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为( )A.a n =(-1)n+12nB.a n =(-1)n 2nC.a n =(-1)n+12nD.a n =(-1)n 2n6.[探究点二、三](多选题)已知数列√2,2,√6,2√2,…,则下列说法正确的是( )A.此数列的通项公式是√2nB.8是它的第32项C.此数列的通项公式是√n +1D.8是它的第4项7.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1,12,13,14,…,1n,…B.sin π7,sin 2π7,sin 3π7,…,sin nπ7,…C.-1,-12,-14,-18,…,-12n -1,…D.1,√2,√3,…,√n ,…8.[探究点四(角度2)]已知数列{a n }的通项公式为a n =2 021-3n,则使a n >0成立的正整数n 的最大值为 .9.[探究点三]已知数列{a n }的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象: (1)a n =2;(2)b n ={n ,n 为奇数,-2n,n 为偶数.10.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式. (1)1,-12,14,-18,….(2)10,9,8,7,6,…. (3)2,5,10,17,26,…. (4)12,16,112,120,130,….(5)3,33,333,3 333,….11.[探究点三]已知数列{a n},a n=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?B级关键能力提升练12.设a n=1n +1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2(n∈N*),则a2等于( )A.14B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+1513.若数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2+25n,则数列{a n }的各项中最大项是( ) A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项14.(多选题)已知数列{a n }的前4项依次为2,0,2,0,则数列{a n }的通项公式可以是( ) A.a n ={2,n 为奇数,0,n 为偶数B.a n =1+(-1)n+1C.a n =2|sinnπ2| D.a n =21-(-1)n215.[湖南长沙月考]数列{a n }的通项公式a n ={(7-t )n +4,n ≤4,t n -2,n >4,若{a n }是递增数列,则实数t 的取值范围是( ) A.[4,7)B.(325,7)C.[325,7)D.(1,7)16.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n+k 2n,若数列{a n }为递减数列,则实数k的取值范围为 .17.函数f(x)=x 2-2x+n(n ∈N *)的最小值记为a n ,设b n =f(a n ),则数列{a n },{b n }的通项公式分别是a n = ,b n = . 18.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n 2(n ∈N *).(1)0和1是不是数列{a n}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{a n}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?C级学科素养创新练19.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为( )A.14.8B.19.2C.19.6D.20.420.若数列{a n }的通项公式为a n =n n 2+(n ∈N *),则这个数列中的最大项是( ) A.第43项 B.第44项 C.第45项D.第46项21.在数列{a n }中,a n =n 2n 2+1.(1)求数列的第7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内. (3)区间(13,23)内有没有数列中的项?若有,有几项?第1课时 数列的概念与简单表示1.B 由a n =√16-2n可知16-2n>0,即n<8,所以a 4=√16-8=√2.2.D 第5项为(-1)5×152=-125.3.C 由a n ={3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,得a 2a 3=2×10=20.4.B 由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为a n =(-1)n-1(3n-1),所以第2n 项为a 2n =(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.5.B 数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故a n =(-1)n 2n.故选B.6.AB 数列√2,2,√6,2√2,…,即√2,√4,√6,√8,…,则此数列的通项公式为√2n ,故A 正确,C 错误;令√2n =8,解得n=32,故8是它的第32项,故B 正确,D 错误.故选AB.7.CD 选项C,D 既是无穷数列又是递增数列. 8.673 由a n =-3n>0,得n<3=67323,又因为n ∈N *,所以正整数n 的最大值为673. 9.解列表法给出这两个数列的前5项:它们的图象分别为10.解(1)a n =(-1)n+112n -1;(2)a n =11-n; (3)a n =n 2+1; (4)a n =1n (n+1);(5)a n =13(10n -1). 11.解(1)由已知,得{1-p +q =0,4-2p +q =-4,解得{p =7,q =6,所以a n =n 2-7n+6,所以a 5=52-7×5+6=-4.(2)令a n =n 2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.12.C ∵a n =1n+1n+1+1n+2+1n+3+ (1)2(n ∈N *),∴a 2=12+13+14.13.C 因为a n =-2n 2+25n=-2·(n-254)2+6258,且n ∈N *,所以当n=6时,a n 的值最大,即最大项是第6项. 14.ABC ∵a n ={2,n 为奇数,0,n 为偶数,∴a 1=2,a 2=0,a 3=2,a 4=0,故A 正确;∵a n =1+(-1)n+1,∴a 1=1+(-1)2=2,a 2=1+(-1)3=0,a 3=1+(-1)4=2,a 4=1+(-1)5=0,故B 正确; ∵a n =2|innπ2|s,∴a 1=2|sin π2|=2,a 2=2|sin2π2|=0,a 3=2|sin3π2|=2,a 4=2|sin4π2|=0,故C 正确; ∵a n =21-(-1)n2,∴a 1=21-(-1)12=2,a 2=21-(-1)22=1,a 3=21-(-1)32=2,a 4=21-(-1)42=1,故D 错误.故选ABC.15.A 因为数列{a n }的通项公式a n ={(7-t )n +4,n ≤4,t n -2,n >4,若{a n }是递增数列,则{7-t >0,t >1,4(7-t )+4≤t 2,解得4≤t<7. 故选A.16.(0,+∞) 由数列{a n }为递减数列可知a n+1<a n 对n ∈N *恒成立,即3(n+1)+k 2n+1<3n+k 2n,因此3(n+1)+k 2n+1−3n+k 2n=3(n+1)+k -6n -2k2n+1=3-k -3n 2n+1<0,即k>3-3n,因为n ∈N *,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n 的最大值为0,所以k>0.17.n-1 n 2-3n+3 当in =f(1)=1-2+n=n-1,即a n =n-1;将x=n-1代入f(x)得,b n =f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n 2-3n+3.18.解(1)令a n =0,得n 2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{a n }中的第21项.令a n =1,得n 2-21n 2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ,a n+1,则有a n =a n+1,即n 2-21n 2=(n+1)2-21(n+1)2.解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.19.C 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8项是192.新数列0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…的规律是原数列的每一项加4,再除以10,计算即可.20.C 设f(x)=xx 2+(x>0),则f(x)=1x+x ,又由x+x≥2√,当且仅当x=√时,等号成立,则当x=√时,x+x取得最小值,此时f(x)取得最大值,而44<√<45,a 44=44442+<a 45=45452+,则数列中的最大项是第45项. 21.(1)解a 7=7272+1=4950. (2)证明∵a n =n 2n 2+1=1-1n 2+1,∴0<a n <1,故数列的各项都在区间(0,1)内.(3)解令13<n 2n 2+1<23,则12<n 2<2,n ∈N *,故n=1,即在区间(13,23)内有且只有1项a 1.。
人教A 版必修2第4章测试题一、选择题（共10小题；共40分） I.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A. (x-l)2 + (y-l)2 = 1 C. (x + I)2 + (y + 1尸=22.将圆x 2 + y 2 - 2x - 4y + 1 = 0平分的直线是（）A ・x + y ・-1 = 0 B ・ x + y + 3 = =0 C. x - y + 1 = 0D. x - y + 3 = 03.圆(x + 2)2 + y2 =4 与圆(x — 2)2 + (y — I)2 =9的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.相离4.圆 x 2 + y 2■-2x : = 0^Mx 2+y 2-4x--2y+l=0的位置关系为（）A.相交B.相离C.外切D.内切5. 已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点（3,5）的最长弦和扱短弦分别为AC 和BD , 贝侧边形ABCD 的面积为（） A. IO A /6B. 20V6C. 30A /6D. 40^66. 一条光纤从点（-2,-3）射出，经y 轴反射后与圆（x+ 3尸+ （y-2）2 = l 相切，则反射光线所在 直线的斜率为（） A. -| 或-1 c. Y 或 Y7.过点M （l,2）的直线1与圆C ： （x - 2）2 + y 2 = 9交于A 、B 两点，C 为闘心，当点C 到直线1的 距离垠大时，直线1的方程为（） A. x = 18 •过三点 A(l,3), B(4,2), C(l,—7)的圆交 y 轴于 M, N 两点，则 |MN| =()A. 2V6B. 8C. 4V6D. 109.在空间直角坐标系中，--定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（） A •乎B.V3C.存D 乎10. 在如图所示的空间直角坐标系0 - xyz 屮，一个四而体的顶点坐标分别是（0,0,2）, （2,2,0）,（1,2,1）,（2,2,2）.给出编号为①②®④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为 _______B. (x+ 1尸 + (y+ 1)2 = 1 D. (x- l)2 + (y - l)2 = 2B. -三或一223D. 一兰或一三B. y = 1 D. x - 2y + 3 = 0D.④和②二、填空题(共5小题；共20分)11.____ 已知A(l,-2,5), B(—1,0,1), C⑶一A.①和②B.③和①C.④和③4,5),则△ ABC 的边BC 上的中线长为____________________________________________________________________ .12.与直线x + y-2 = 0和曲线x2+y2-12x-12y + 54 = 0都相切的半径最小的圆的标准方程是________•13.|员I心在直线x = 2卜-的阿与y轴交于两点A(0, -4), B(0, -2),则该圆的标准方程为__________14.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y = x—l被圆C所截得的弦长为2V2,则过圆心且与直线1垂直的直线的方程为_______ .15.与圆C:x2 + y2 - 2x + 4y = 0外切丁源点，且半径为2V5的I员I的标准方程为_______ ・三、解答题(共6小题；共60分)16.过点(1.V2)的百线1将圆(x 一2尸+ y2 = 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，求百线1的斜率.17.已知圆x2 +y2 = m与圆x2 + y2 + 6x - 8y - 11 = 0相交，求实数m的取值范围.18.已知AABC中，ZACB = 90°, SA丄平而ABC, AC = 3, BC = 4, SB = 13,建立适当的空间盲角坐标系，写出B, C, S的坐标.19.已知A（（H,O）, C（2,l,l）,在xOz 平面上是否存在一点P 使得PA 丄AB, PA 丄AC ?若存在，求岀P点坐标.20.判断圆Ctix2 +y2 - 2x = 0与圆C2：x2 +y2 - 4y = 0的位置关系，若相交，求其公共弦长.21.如图，船行前方的河道上有一座圆拱桥，在止常水位吋，拱圈最高点距水面为9 m,拱圈内水面宽22 m.船顶部宽4 m,船只在水面以上部分高6.5 m时通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m，船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载，降低船身.试问船身必须降低多少米，才能顺利地通过桥洞？（精确到0.01m,参考数据V9877 « 99.383）答案第一部分1. D2. C3. B4. A5. B6. D7. D8. C9. A 10. D第二部分11.212.(x-2)2 + (y-2)2 = 213.(x - 2)2 + (y + 3)2 = 514.x 4- y - 3 = 015.(x+2)2 + (y-4)2 = 20第三部分16.⑴由题，当劣弧所对的圆心角最小时，弦长也最小，此时圆心到直线1的距离最大，此时直线1和関心与定点的连线垂直，因此直线1的斜率为f.17.(1)由题意知m>0 ,圆x2 4- y2 = m 的圆心为01(0,0),半径r x = Vm ,圆x2 4- y2 + 6x - 8x - 11 = 0 的圆心为。
4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一 直线与圆的位置关系及判断思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.(2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.反思与感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解 方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0. Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ＞0， 即－36a 2＋90 000＞0，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0， 即a ＜－50或a ＞50. 方法二 (几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5， ①当直线和圆相交时，d ＜r ， 即|a |5＜10，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d ＞r ， 即|a |5＞10，a ＜－50或a ＞50. 题型二 圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.反思与感悟 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，有关圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程.解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， 所以2r ＝|15－(－5)|22＋12＝4 5.所以r ＝2 5.所以|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b －1a －2＝12.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 题型三 圆的弦长问题例3 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长.解 方法一 直线x －3yy ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x －3y ＋23＝0，x 2＋y 2＝4的解. 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. 所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2. 方法二 如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)， 所以|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝ 3.所以|AB |＝2|AM |＝2OA 2－OM 2 ＝222－(3)2＝2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.数形结合思想例4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2B.－1＜b≤1或b＝－2C.－1≤b＜1D.非以上答案分析曲线x＝1－y2变形为x2＋y2＝1(x≥0)，表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆，直线y＝x＋b表示一系列斜率为1的直线，利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题，首先要借助图形进行思考；其次要注意作图的完整准确，使得图形能够反映问题的全部；最后在求解中还要细心缜密，保证计算无误.1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上.方法二 直线kx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B解析 ∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴a 2＋b 2＞1. ∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 答案 D解析 依题意可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |22＋12＝5，解得c ＝±5.故所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)， 则|AB |＝2.5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上.于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.一、选择题1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C解析 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在， ∴l 与圆一定相交，故选C.2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1).又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )A.10－27B.5－7C.10－3 3D.5－322答案 A解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27.6.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 答案 A解析 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1. ∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. 由二次函数的图象可得 －34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 圆心到直线的距离d ＝|a －2＋3|a 2＋1＝22－(3)2＝1，解得a ＝0. 9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 答案2555解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.11.若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案 [1，2)解析 如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2). 三、解答题12.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1).第11页 共11页 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m,2－n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1,2).又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5.。
高中数学必修2圆与方程 知识点总结+习题〔含答案〕4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：〔1〕2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 〔2〕2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 〔3〕2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：〔1〕当r d >时，直线l 与圆C 相离；〔2〕当r d =时，直线l 与圆C 相切； 〔3〕当r d <时，直线l 与圆C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：〔1〕当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；〔2〕当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； 〔3〕当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；〔4〕当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；〔5〕当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译〞成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为() A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0 B.6x－2y＋10＝0C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝05．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是()A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝()A．5 B.13C．10 D.107．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A.3B.2C.3或－3D.2和－ 28．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．19．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是() A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝010．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A.9π B .πC ．2π D ．由m 的值而定11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，512) B ．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________． 14．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．15．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 18．(12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程与弦长．20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．21．(12分)已知⊙C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值与对应的P 点坐标．22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．1解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16. ∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5， 又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切．答案：C2解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.答案：A3解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案：D4解析：∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63， 故切线方程为y －6＝－63(x －2)， 即2x ＋6y －10＝0.答案：D5解析：点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)．答案：D 6解析：依题意得点A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)． ∴|AC |＝(－2－1)2＋(－2＋2)2＋(－5＋3)2＝13.答案：B 7解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离为12，∴11＋k2＝12，∴k ＝±3.答案：C 8解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1， O 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心O 1(－2,2)，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5.∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B 9解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2， ∴l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：A 10解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0， ∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m )2＝m 2. ∴圆心(2m ＋1，m )，半径r ＝|m |. 依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1. ∴圆的面积S ＝π×12＝π.答案：B11解析：设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C 12解析：如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512.当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34.因此，k 的取值范围是512<k ≤34.答案：D13解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4.14解析：r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.15解析：已知方程配方得，(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．16解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0， 得(x －3)2＋(y －1)2＝25.圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝ 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝4 5.17解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内)．18解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)． 两圆的方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1)， ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0， 解得m ＝－1.故圆M 的圆心M (－1，－2)．19解：设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0x 2＋y 2－2x －2y ＝0的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0， ∵A 、B 两点的坐标都满足该方程， ∴x ＋y －3＝0为所求． 将圆C 2的方程化为标准形式， (x －1)2＋(y －1)2＝2， ∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝ 2.圆心C 2到直线AB 的距离d ＝|1＋1－3|2＝12，|AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 即两圆的公共弦长为 6.20解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2，化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2.欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如图所示．则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1)2＝16. 此时，x 13＝y 14＝45，∴x 1＝125，y 1＝165.∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫125，165. 同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245. 22解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2 ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5，消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径， 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2， ∴k ＝5±3 5.。
新教材人教A版高中数学必修第二册答案第一章基本概念1.1 实数的分类•实数的分类：有理数和无理数。
•有理数：整数和分数。
•无理数：无法表示为两个整数的比的数。
1.2 实数的运算•实数的四则运算：加法、减法、乘法和除法。
•加法的性质：交换律、结合律和分配律。
•减法的性质：减法与加法的相反操作。
•乘法的性质：交换律、结合律和分配律。
•除法的性质：除法与乘法的相反操作。
1.3 实数的比较与绝对值•实数的比较：小于、大于、小于等于、大于等于。
•实数的绝对值：一个实数的绝对值是它到0的距离。
第二章二次函数与图像的性质2.1 二次函数的基本形式•二次函数：y=yy2+yy+y，其中y、y、y为常数，且y yy0。
•二次函数的图像是抛物线。
2.2 二次函数的图像与性质•二次函数图像的顶点坐标为$(-\\frac{b}{2a}, -\\frac{D}{4a})$，其中y为判别式。
•当y>0时，抛物线开口向上；当y<0时，抛物线开口向下。
•判别式y=y2−4yy判断二次函数的图像与y轴的关系。
•若y>0，则函数图像与y轴有两个交点；若y=0，则函数图像与y轴有一个交点；若y<0，则函数图像与y轴无交点。
•函数图像的对称轴方程为$x=-\\frac{b}{2a}$。
2.3 二次函数的最大值与最小值•当y>0时，二次函数的最小值为$-\\frac{D}{4a}$。
•当y<0时，二次函数的最大值为$-\\frac{D}{4a}$。
第三章指数与对数函数3.1 指数与指数函数•指数：$a^n = a\\times a\\times a\\times\\cdots\\times a$，其中y为底数，y为指数。
•指数函数：y=y y，其中y>0且y yy1。
3.2 对数与对数函数•对数：$\\log_a{b}$表示以y为底，y的对数，即y y=y。
•对数函数：$y=\\log_a{x}$，其中y>0且y yy1。
第四章 数列4.1 数列的概念 .................................................................................................................... - 1 -第1课时 数列的概念及简单表示法 .......................................................................... - 1 - 第2课时 数列的递推公式与a n 和S n 的关系 .......................................................... - 10 - 4.2 等差数列 ...................................................................................................................... - 21 -4.2.1 等差数列的概念................................................................................................ - 21 - 4.2.2 等差数列的前n 项和公式................................................................................ - 38 - 4.3 等比数列 ...................................................................................................................... - 57 -4.3.1 等比数列的概念................................................................................................ - 57 - 4.3.2 等比数列的前n 项和公式................................................................................ - 72 - 4.4* 数学归纳法 ................................................................................................................ - 89 - 章末复习 ............................................................................................................................... - 98 -4.1 数列的概念第1课时 数列的概念及简单表示法学习 目 标核 心 素 养1.理解数列的概念．(重点)2.掌握数列的通项公式及应用．(重点)3.理解数列是一种特殊的函数．理解数列与函数的关系．(易混点、难点)4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点)1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养.2.借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.3.借助数列与函数关系的理解，提升学生的数学建模和直观想象素养.1．一尺之棰，日取其半，万世不竭．1，12，14，18，116，… 2．三角形数3．正方形数思考：这些数有什么规律？与它所表示图形的序号有什么关系？1．数列的概念及一般形式思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？[提示](1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．2．数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列如果数列{a n}的第n项a n与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式数列的通项公式值域自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法a n f n y f x[提示]如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列2，4，6，8，…2n是无穷数列．( )(2)通项公式为a n＝n＋1的数列是递增数列．( )(3)数列4，0，－2，－4，－6的首项是4．( )(4)30是数列a n＝2n－1中的某一项．( )[提示](1)×无穷数列的末尾带有….(2)√a n＝n＋1对应的函数y＝x＋1是增函数，所以a n＝n＋1是递增数列．(3)√第一个位置的项是首项．(4)× 当2n－1＝30时，n 值不是正整数． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32 B [将n ＝2代入通项公式，得a 2＝32－1＝3.]3．下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝－1n＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－1n －1＋32C [代入验证可知C 正确．]4．数列1，2， 7，10，13，…中的第26项为________． 219 [因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2，所以a 26＝3×26－2＝76＝219.]5．(一题两空)填空：2，3，____，5，2，____，2，9，2，11，…2 7 [观察发现规律a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数.]数列的概念与分类A ．1，12，13，14，…B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21 (2)(一题多空)已知下列数列：①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020； ②1，12，14，…，12n －1，…；③1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…；④1，0，－1，…，sinn π2，…；⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．(1)C [ABC 为无穷数列，其中A 是递减数列，B 是摆动数列，C 是递增数列，故选C.] (2)①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．2．数列{a n }的单调性：若满足a n ＜a n ＋1，则{a n }是递增数列；若满足a n ＞a n ＋1，则{a n }是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则{a n }是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定，则{a n }是摆动数列．[跟进训练]1．(一题多空)给出下列数列：①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个3构成数列3， 3， 3， 3，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]由数列的前几项求通项公式(1)1，3，7，15，31，…； (2)4，44，444，4 444，…；(3)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(4)2，－45，12，－411，27，－417，…；(5)1，2，1，2，1，2，….[思路探究] 观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．[解] (1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为a n ＝2n－1.(2)各项乘94，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n ，故原数列的通项公式为a n ＝49(10n－1)．(3)所给数列有这样几个特点： ①符号正、负相间； ②整数部分构成奇数列；③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方； ④分数部分的分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为a n ＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1＋n n ＋12，所以a n ＝(－1)n2n 3＋3n 2＋n －1n ＋12.(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为42，－45，48，－411，…，再把各分母分别加上1，数列又变为43，－46，49，－412，…，所以a n ＝4×－1n ＋13n －1.(5)法一：可写成分段函数形式：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ∈N *，2，n 为偶数，n ∈N *.法二：a n ＝1＋2＋－1n ＋11－22＝3＋－1n ＋1－12即a n ＝32＋－1n2.1．常见数列的通项公式归纳(1)数列1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝n ； (2)数列1，3，5，7，…的一个通项公式为a n ＝2n －1；(3)数列2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝2n ； (4)数列1，2，4，8，…的一个通项公式为a n ＝2n －1；(5)数列1，4，9，16，…的一个通项公式为a n ＝n 2； (6)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝(－1)n； (7)数列1，12，13，14，…的一个通项公式为a n ＝1n .2．复杂数列的通项公式的归纳方法①考察各项的结构；②观察各项中的“变”与“不变”；③观察“变”的规律是什么；④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式．[跟进训练]2．写出下面各数列的一个通项公式： (1)9，99，999，9 999，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)3，5，9，17，33，….[解] (1)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1.(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n －1，考虑到(－1)n ＋1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：12，42，92，162，252，….所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为a n ＝2n＋1.通项公式的应用1．根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几项？[提示] 根据a n ，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n ＝5，求a 5.判断某项是否是数列中的项，就是解方程．令a n 等于该项，解得n ∈N *即是，否则不是．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋2n ＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{a n }的图象是分布在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．【例3】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ [思路探究] (1)将n ＝4，n ＝6分别代入a n 求出数值即可；(2)令3n 2－28n ＝－49和3n 2－28n ＝68，求得n 是否为正整数并判断． [解] (1)a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2) 令3n 2－28n ＝－49，解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项；令3n 2－28n ＝68，解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．1．(变结论)若本例中的条件不变， (1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？ [解] (1)因为a n ＝3n 2－28n ，所以a 3＝3×32－28×3＝－57，a 8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)，所以20是该数列的第10项．2．(变条件，变结论)若将例题中的“a n ＝3n 2－28n ”变为“a n ＝n 2＋2n －5”，试判断数列{a n }的单调性．[解] ∵a n ＝n 2＋2n －5，∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋2(n ＋1)－5－(n 2＋2n －5)＝n 2＋2n ＋1＋2n ＋2－5－n 2－2n ＋5＝2n ＋3. ∵n ∈N *，∴2n ＋3>0，∴a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })这一约束条件．1．数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N *(或它的一个子集{1，2，3，…，n })．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成a n ＝(－1)n，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.3．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．4．数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．1．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x ＝5＋8＝13.] 2．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，则35是它的( ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项D ．第28项B [令2n －1＝35，解得n ＝23.所以35是它的第23项，故应选B.]3．数列{a n }：－3，3，－33，9，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝(－1)n3n (n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)B [该数列的前几项可以写成－3，32，－33，34，…，故可以归纳为a n ＝(－1)n3n.故选B.]4．(一题两空)已知数列{a n }的通项公式a n ＝4n －1，则它的第7项是________，a 2 020－a 2019＝________.27 4 [a 7＝4×7－1＝27，a 2 020－a 2 019＝(4×2 020－1)－(4×2 019－1)＝4(2 020－2 019)＝4.]5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋2(n ∈N *)，则 (1)计算a 3＋a 4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． [解] (1)∵a n ＝1nn ＋2， ∴a 3＝13×5＝115，a 4＝14×6＝124，∴a 3＋a 4＝115＋124＝13120.(2)是．若1120为数列{a n }中的项，则1n n ＋2＝1120，∴n (n ＋2)＝120，∴n 2＋2n －120＝0， ∴n ＝10或n ＝－12(舍)，即1120是数列{a n }的第10项．第2课时 数列的递推公式与a n 和S n 的关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解递推公式的含义(重点).1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通2.掌握递推公式的应用(难点).3.会用a n与S n的关系求通项公式. 项，培养学生的逻辑推理素养.2.借助利用a n与S n的关系确定a n的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.看下面例子：(1)1，2，4，8，16，…(2)1，cos 1，cos(cos 1)，cos[cos(cos 1)]，…(3)0，1，4，7，10，13.请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项的关系怎样？1．数列的递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第2项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：所有数列都有递推公式吗？[提示]不一定．例如2精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n与它的前一项a n－1(或前几项)之间的关系表示a n与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式n n n－1[提示]不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．3．数列{a n}的前n项和(1)数列{a n}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{a n}的前n项和，记作S n，即S n ＝a1＋a2＋…＋a n.(2)如果数列{a n}的前n项和S n与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式．(3)数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项． ( ) (2)有些数列可能不存在最大项． ( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法． ( ) (4)所有的数列都有递推公式．( )[提示] 并不是所有的数列都有递推公式，如3的精确值就没有递推公式． [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( )A ．1B ．12C ．34D ．58C [∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12×1＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝12×1＋14＝34.故选C.]3．数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n，且a 1＝2，则a 2 020的值为( )A ．12B ．－1C ．2D ．1 C [由a n ＋1＝1－1a n 及a 1＝2，得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，至此可发现数列{a n }是周期为3的周期数列：2，12，－1，2，12，－1，….而2 020＝673×3＋1， 故a 2 020＝a 1＝2.]4．已知数列{a n }的前n 项和公式S n ＝n 2－2n ＋1，则其通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n －3，n ≥2[当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n ＋1－(n －1)2＋2(n －1)－1＝2n －3，而当n ＝1时，a 1＝12－2×1＋1＝0≠2×1－3，所以通式公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －3，n ≥2.]由递推公式求数列中的项a n a 1a 2a n a n －1a n －2n (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项． [解] (1)∵a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， 且a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8. (2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故{b n }的前4项依次为b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.由递推公式写出数列的项的方法1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n＝2a n ＋1＋1.3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.[跟进训练]1．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解] ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.数列的单调性【例2】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n(n ∈N *)，试问数列{a n }是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．[思路探究] 判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设a n 是数列的最大项，解不等式．[解] 法一：作差比较a n ＋1与a n 的大小，判断{a n }的单调性．a n ＋1－a n ＝(n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1－(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫78n×5－n8. 当n ＜5时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝5时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞5时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 故a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＝a 6＞a 7＞a 8＞…，所以数列{a n }有最大项，且最大项为a 5或a 6，且a 5＝a 6＝7685.法二：作商比较a n ＋1与a n 的大小，判断{a n }的单调性．a n ＋1a n＝n ＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1n ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n＝7n ＋38n ＋2. 又a n ＞0， 令a n ＋1a n ＞1，解得n ＜5；令a n ＋1a n ＝1，解得n ＝5；令a n ＋1a n＜1，解得n ＞5. 故a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＝a 6＞a 7＞…，所以数列{a n }有最大项，且最大项为a 5或a 6，且a 5＝a 6＝7685.法三：假设{a n }中有最大项，且最大项为第n 项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n≥n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n≥n ＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，即5≤n ≤6.故数列{a n }有最大项a 5或a 6，且a 5＝a 6＝7685.求数列{a n }的最大小项的方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1，对任意的k ∈N *且k ≥2都成立，解不等式组即可.[跟进训练]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－7n －8. (1)数列中有多少项为负数？(2)数列{a n }是否有最小项？若有，求出其最小项．[解] (1)令a n ＜0，即n 2－7n －8＜0，得－1＜n ＜8.又n ∈N *，所以n ＝1，2，3，…，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项．(2)函数y ＝x 2－7x －8图象的对称轴为直线x ＝72，所以当1≤x ≤3时，函数单调递减；当x ≥4时，函数单调递增，所以数列{a n }有最小项，又a 3＝a 4＝－20，所以数列{a n }的最小项为a 3或a 4.利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项n n (1)S n ＝2n 2－n ＋1； (2)S n ＝2·3n －2.[思路探究] 先写出n ≥2时，a n ＝S n －S n －1表达式，再求出n ＝1时a 1＝S 1，验证是否适合n ≥2时表达式．如果适合则a n ＝S n －S n －1(n ∈N *)，否则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[解] (1)由S n ＝2n 2－n ＋1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－n ＋1)－[2(n －1)2－(n －1)＋1] ＝4n －3.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2≠4×1－3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，4n －3，n ≥2.(2)由S n ＝2·3n－2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n－2－(2·3n －1－2)＝4·3n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×31－2＝4＝4·31－1，∴a n ＝4·3n －1(n ∈N *)．用a n 与S n 的关系求a n 的步骤1先确定n ≥2时a n ＝S n －S n －1的表达式； 2再利用S n 求出a 1a 1＝S 1；3验证a 1的值是否适合a n ＝S n －S n －1的表达式； 4写出数列的通项公式. [跟进训练]3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足n ＝log 2(S n －1)，求其通项公式a n . [解] 根据条件可得S n ＝2n＋1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋1－2n －1－1＝2n －1(2－1)＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3≠21－1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.根据递推公式求通项1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{a n }，满足a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？[提示] 由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22，a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N *，n ≤30)．2．对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，你能求出它的通项a n 吗？[提示] 等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 成立，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋＝1＋2(n －1)＝2n －1.3．若数列{a n }中的各项均不为0，等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1a n＝2，则它的通项a n 是什么？ [提示] 等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立． 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2. 则a n a 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N *)．【例4】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，n ∈N *，求通项公式a n ； (2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .[思路探究] (1)先将a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1变形为a n ＋1－a n ＝1nn ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．(2)先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)变形为a n a n －1＝n －1n，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1， ∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； …a n －a n －1＝1n －1n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n，∴a n ＝－1n(n ≥2)．又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴a n ＝－1n(n ∈N *)．(2)∵a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n ，a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n.又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n(n ∈N *)．1．(变条件)将例题(1)中的条件“a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，n ∈N *”变为“a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2)”，求数列{a n }的通项公式．[解] ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1(n ≥2)．又∵n ＝1时，a 1＝12，符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 2．(变条件)将例题(2)中的条件“a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)”变为“a 1＝2，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)”写出数列的前5项，猜想a n 并加以证明．[解] 由a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，得：a 2＝3a 1＝3×2，a 3＝3a 2＝3×3×2＝32×2， a 4＝3a 3＝3×32×2＝33×2， a 5＝3a 4＝3×33×2＝34×2，…，猜想：a n ＝2×3n －1，证明如下：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n＝3. 因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a na n －1＝3. 将上面的n －1个式子相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝3n －1. 即a na 1＝3n －1，所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f n 或a n ＋1＝g n ·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：1累加法：当a n ＝a n －1＋fn 时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式；2累乘法：a n a n －1当＝g n 时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式.1．数列的四种表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法． 2．通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列a n 与n 之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .3．数列通项公式的求法(1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳； (2)累加法．适合类型为a n ＋1＝a n ＋f (n )； (3)累乘法．适合类型为a n ＋1＝a n f (n )；(4)利用a n 与S n 关系，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)C [A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．] 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则数列的通项公式a n ＝( ) A ．3n ＋1 B ．3n C ．3n －2 D ．3(n －1)C [根据条件可以写出前5项为：1，4，7，10，13，可以归纳出a n ＝3n －2.故选C.] 3．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.12[先求出数列的周期，再进一步求解首项． ∵a n ＋1＝11－a n ，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.] 4．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求a n .[解] 由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n， ∴a n －a n －1＝lnnn －1(n ≥2)，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…，a 2－a 1＝ln 21.∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＝ln n ，∴a n＝2＋ln n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念第1课时 等差数列的概念及简单表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解等差数列的概念(难点).2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点).3.掌握等差数列的判定方法(重点).1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养. 2.借助等差数列的判断与证明，培养学生的逻辑推理素养.某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，….思考：第30排有多少个座位？1．等差数列的概念 文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示符号语言a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是a ＋b ＝2A .思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2，4；(2)－1，5；(3)a ，b ；(4)0，0. [提示] 插入的数分别为3，2，a ＋b2，0.3．等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？[提示] 还可以用累加法，过程如下： ∵a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ， a 4－a 3＝d ，…a n －a n －1＝d (n ≥2)，将上述(n －1)个式子相加得a n －a 1＝(n －1)d (n ≥2)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，符合上式， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *)． 4．从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f (n )＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d .思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求a n ，需要哪几个条件？[提示] 只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( ) (3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )[提示] (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．在等差数列{a n }中，a 3＝2，d ＝6.5，则a 7＝( ) A ．22 B ．24 C ．26 D ．28 D [a 7＝a 3＋4d ＝2＋4×6.5＝28，故选D.]3．如果三个数2a ，3，a －6成等差数列，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．4D [由条件知2a ＋(a －6)＝3×2，解得a ＝4.故应选D.]4．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于________． 60° [因为三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.]5．已知数列{a n }的首项a 1＝13，且满足1a n ＋1＝1a n＋5(n ∈N *)，则a 6＝________.128 [由条件知，1a n ＋1－1a n ＝5，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且1a 1＝3，∴1a 6＝3＋5×5＝28，即a 6＝128.]等差数列的通项公式n 156075[解] 法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.法二：∵a 60＝a 15＋(60－15)d ，∴d ＝20－860－15＝415，∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.法三：已知数列{a n }是等差数列，可设a n ＝kn ＋b .由a 15＝8，a 60＝20得⎩⎪⎨⎪⎧15k ＋b ＝8，60k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝415，b ＝4.∴a 75＝75×415＋4＝24.等差数列通项公式的妙用1等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋n －1d 中含有四个量，即a n ，a 1，n ，d ，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.2从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋n －1d可得a n ＝dn ＋a 1－d ，当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数.3由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.[跟进训练]1．在等差数列{a n }中， (1)已知a 1＝6，d ＝3，求a 8； (2)已知a 4＝10，a 10＝4，求a 7和d ； (3)已知a 2＝12，a n ＝－20，d ＝－2，求n ： (4)已知a 7＝12，d ＝－2，求a 1.[解] (1)∵a 1＝6，d ＝3， ∴a n ＝6＋3(n －1)＝3n ＋3. ∴a 8＝3×8＋3＝27. (2)∵a 4＝10，a 10＝4，∴d ＝a 10－a 410－4＝－66＝－1，∴a n ＝a 4＋(n －4)×(－1)＝－n ＋14， ∴a 7＝－7＋14＝7.(3)∵a 2＝12，d ＝－2，∴a 1＝a 2－d ＝12－(－2)＝14，∴a n ＝14－2(n －1)＝16－2n ＝－20，∴n ＝18. (4)∵a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12＝12，∴a 1＝252.等差中项的应用【例2】 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________．(2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc也是等差数列．[思路探究] (1)列方程组―→求解m ，n ―→ 求m ，n 的等差中项 (2)(1)6 [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝8×2＝16，2m ＋n ＝10×2＝20，∴3(m ＋n )＝20＋16＝36，∴m ＋n ＝12，∴m ＋n2＝6.](2)[证明] ∵1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )．∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c b ＋c ＋a a ＋b ac ＝a 2＋c 2＋b a ＋c ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2a ＋c 2b a ＋c＝2a ＋cb，∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c成等差数列．等差中项应用策略1求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y2.2证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列.[跟进训练]2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． [解] ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项， ∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.等差数列的判定与证明1．在数列{a n }中，若a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等差数列吗？为什么？ [提示] 由等差数列的定义可知满足a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)是等差数列．2．在数列{a n }中，若有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)成立，则{a n }是等差数列吗？为什么？[提示] 是，由等差中项的定义可知．3．若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？ [提示] ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d . ∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列． 【例3】 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求a n .[解] (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由(1)可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，∴a n ＝2n.1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2”换为“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2”． (1)试证明数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎪⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2a n －2－1a n －2＝a n －22a n －2＝12.又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2， ∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2.2．(变条件)将本例中条件“a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2”换成“a 1＝15，n ≥2时有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n(n ＞1，n ∈N *)”，结论如何？[解] (1)证法一：a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n(n ＞1，n ∈N *) ∴a n －1(1－2a n )＝a n (2a n －1＋1)(n ＞1，n ∈N *)， 即a n －1＝a n (4a n －1＋1)(n ＞1，n ∈N *)， ∴a n ＝a n －14a n －1＋1(n ＞1，n ∈N *)，∴1a n ＝4a n －1＋1a n －1＝4＋1a n －1(n ＞1，n ∈N *)，∴1a n －1a n －1＝4(n ＞1，n ∈N *)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且公差为4，首项为5.证法二：当n ＞1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4，且1a 1＝5.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为4，首项为5. (2)由(1)及等差数列的通项公式得 1a n＝5＋(n －1)×4＝4n ＋1，∴a n ＝14n ＋1.等差数列的三种判定方法 1定义法：a n ＋1－a n ＝d 常数n ∈N *⇔{a n }为等差数列；2等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2n ∈N*⇔{a n }为等差数列；3通项公式法：a n ＝an ＋b a ，b 是常数，n ∈N*⇔{a n }为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.1．在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．等差数列的单调性d ＞0⇔等差数列是递增数列． d ＜0⇔等差数列是递减数列． d ＝0⇔等差数列是常数列．1．数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则此数列( )A ．是公差为－3的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列A [等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以化成a n ＝dn ＋(a 1－d )．对比a n ＝－3n ＋5.故公差为－3.故选A.]2．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 C [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8，解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C.]3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为______．3 [a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.]4．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1a 1＋d ＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .第2课时 等差数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点).1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养.2.借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.。
1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一 求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ， 得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法三 设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )， 则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.题型四 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52，解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五 数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下：由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴点A 的坐标为(－2，－1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴点B 的坐标为(1，－1).∴线段AB 的中点坐标为(－12，－1).又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝12，设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.∵|MA ||MB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－4k |k 2＋1≤2.解得－33≤k ≤33.即k min ＝－33. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x ＋2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 22. ①y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22)2 ＝(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12)2. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0， 解得m ＝3±132.故当m ＝3±132时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。
第四章圆与方程§4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系一、基础过关1．点P(5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是() A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．x轴上2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为() A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面3．已知空间直角坐标系中有一点M(x，y，z)满足x>y>z，且x＋y＋z＝0，则M点的位置是() A．一定在xOy平面上B．一定在yOz平面上C．一定在xOz平面上D．可能在xOz平面上4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为() A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)5．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为________．6．点P(－3,2,1)关于Q(1,2，－3)的对称点M的坐标是________．7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标．8. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心为坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其它7个顶点的坐标．二、能力提升9．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是() A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23C.⎝⎛⎭⎫13，23，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，13 11．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为_________． 12. 如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标． 三、探究与拓展13. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．答案1．C 2．A 3．D 4．A 5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. 8．解 长方体的对称中心为坐标原点O ，因为顶点坐标A (－2，－3，－1)，所以A 关于原点的对称点C 1的坐标为(2,3,1)．又因为C 与C 1关于坐标平面xOy 对称， 所以C (2,3，－1)．而A 1与C 关于原点对称，所以A 1(－2，－3,1)．又因为C 与D 关于坐标平面xOz 对称，所以D (2，－3，－1)． 因为B 与C 关于坐标平面yOz 对称，所以B (－2,3，－1)． B 1与B 关于坐标平面xOy 对称，所以B 1(－2,3,1)． 同理D 1(2，－3,1)．综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C 1(2,3,1)，C (2,3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B (－2,3，－1)，B 1(－2,3,1)，D (2，－3，－1)，D 1(2，－3,1)． 9．C 10．D11.⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 2212．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、C (－32，0,0)、D (0，－32，8)、E (0,0,8)、F (0,32，0)．13．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)， E (1，32，0)．4.3.2 空间两点间的距离公式一、基础过关1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A.61B ．25C ．5 D.57 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4，0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B.29C ．5D ．2 63．已知点A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于 ( )A.534B.532C.532D.1324．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足 ( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝45．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为____________． 6．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 7．在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．8. 如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12，0)，点D 在平面yOz上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．二、能力提升9．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形 B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形 C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形10．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87 C.87 D.191411．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B的距离相等，则M 的坐标是________．12. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．三、探究与拓展13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．答案1．C 2.B 3.B 4．B 5．x 2＋z 2－y 2＝0 6.0或－47．解 设P (0，y ，z )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧|P A |＝|PC ||PB |＝|PC |所以⎩⎨⎧(0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2(0－4)2＋(y ＋2)2＋(z ＋2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y －z －6＝07y ＋3z －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1z ＝－2， 所以点P 的坐标是(0,1，－2)． 8．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1.∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴|AD | ＝(32)2＋(12＋1)2＋(－3)2＝ 6. 9．A 10．C 11．(0，－1,0)12．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)， D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN | ＝⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.13．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)．∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51≥51， 当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝51.。
综合检测一、选择题1.点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2内，则直线x 0x ＋y 0y ＝r 2和已知圆的公共点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案 A 解析 ∵点P在圆内，∴x 20＋y 20＜r 2.又∵圆心O (0,0)到直线x 0x ＋y 0y ＝r 2的距离d ＝|r 2|x 20＋y 2＞r ，∴直线与圆无交点.2.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2) 答案 B解析 因为直线l 1与直线l 2关于点(2,1)对称，且直线l 1恒过定点(4,0)，所以直线l 2必过点(4,0)关于点(2,1)对称的点(0,2).3.已知在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使其绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A.32π B.52π C.72π D.92π 答案 A解析 所得几何体是大圆锥挖去同底的一个小圆锥，所以所形成几何体的体积V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13πr 2(1＋1.5－1)＝13π(3)2×1.5＝32π.4.若点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2x －2y －2≤0，则点P 到直线3x ＋4y －22＝0的最大距离是( ) A.5 B.1 C.2－11 D.2＋1 答案 A解析 由题意知，点P 在以(1,1)为圆心，2为半径的圆上或其内部，因为圆心到直线的距离d ＝|3＋4－22|32＋42＝3，所以点P 到直线的最大距离为d ＋r ＝5.5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于( )A. 2B.2－ 2C.2－1D.2＋1 答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|a －2＋3|22＋(3)2＝4(a ＞0)，解得a ＝2－1.6.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，若SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O的表面积为()A.4πB.3πC.2πD.π答案A解析由已知得球O的直径是以S，A，B，C为4个顶点的长方体的体对角线，即2R＝12＋(2)2＋12＝2，∴R＝1，∴球O的表面积为4πR2＝4π.①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.A.0个B.1个C.2个D.3个答案B解析①中可能有a∥b，a与b相交，a与b异面；②中可能有a∥M或a⊂M；③中a与b 可能平行、相交或异面；④正确，故选B.8.设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2答案B解析由题意可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝4a2＋a2＋a2，解得R＝62a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.9.已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，则该三棱锥的表面积为()A.339B.339＋ 3C.339＋3 3D.39＋33答案C解析由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC ＝AC＝2 3.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC.有VD＝VB2－BD2＝42－(3)2＝13，则S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝3 3.所以三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).10.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析 方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，|OA |＝1， 则sin α＝12，所以α＝π6，∠BP A ＝π3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3].二、填空题11.已知A (2,5，－6)，点P 在y 轴上，P A ＝7，则点P 的坐标为________. 答案 (0,8,0)或(0,2,0)解析 设点P (0，y,0)，则P A ＝22＋(5－y )2＋(－6)2＝7，解得y ＝2或y ＝8.故点P 的坐标为(0,8,0)或(0,2,0).12.直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 答案 2解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点， 则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1， 满足题意， 所以a 2＋b 2＝2.13.过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.答案 22解析 借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长.设A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2，当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦. |CA |＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2. ∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2.14.已知△ABC 中，A ∈α，BC ∥α，BC ＝6，∠BAC ＝90°，AB ，AC 与平面α分别成30°，45°的角，则BC 到平面α的距离为________. 答案6解析 如图，分别过点B ，C 作BF ⊥α于点F ，CE ⊥α于点E .连接AF ，AE .设BC 到平面α的距离为h .∵∠BAF ＝30°，∠CAE ＝45°，∴BA ＝2h ，AC ＝2h .在Rt △ABC 中，BC 2＝BA 2＋AC 2，即(2h )2＋(2h )2＝36，解得h ＝ 6.三、解答题15.已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解 (1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)， 所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，m 2＝8m≠－n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.16.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点. (1)证明：DE ∥平面ABC ；(2)设二面角A －BC －D 为60°，求BD 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦值.(1)证明 设BC 的中点为F ，连接AF ，EF ，则EF ∥BB 1，且EF ＝12BB 1.又∵AD ∥BB 1，且AD ＝12BB 1，∴EF ∥AD ，且EF ＝AD ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴DE ∥AF .又∵DE ⊄平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)解 连接DF ，BE .∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC .∵AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC . 又∵AA 1∩AF ＝A ，∴BC ⊥平面ADF ，∵BC ⊥DF ，∴∠AFD 为二面角A －BC －D 的平面角，即∠AFD ＝60°.∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC .AF ⊂平面ABC ，AF ⊥BC ，∴AF ⊥平面BCC 1B 1.∵DE ∥AF ，∴DE ⊥平面BCC 1B 1，∴∠DBE 为BD 与平面BCC 1B 1所成的角. 设AF ＝a ，则DE ＝a ，AD ＝3a ，AB ＝2a ，∴BD ＝5a ，∴sin ∠DBE ＝a 5a ＝55. 17.已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上. (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 的面积的最小值.解 (1)设圆M 的标准方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0).根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |，又因为|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，由点到直线的距离公式得|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，18.已知圆C 过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0).(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，设点P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标.(1)证明 由题意知，圆C 的标准方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或x ＝2t ，则A (2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或y ＝4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t . ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·|4t|＝4，为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，∴原点O 在MN 的中垂线上.设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，且直线OC 的斜率与直线MN 的斜率的乘积为－1，即直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2，∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5.当圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时直线与圆相离，故舍去.故圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 易求得点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点B ′(－4，－2)， 则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |， 又∵B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝25，∴|PB |＋|PQ |的最小值为25，又直线B ′C 的方程为y ＝12x x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－23，故|PB |＋|PQ |取得最小值时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，－23，最小值为2 5.。
