点、线、面的投影(工程图学)

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点线面的投影工程图学

措施二 b" ab : cd不等于a'b': c'd‘
d b
举例：试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF 能否作？有几条？
e ’
(m ’)
(a’) b’
d
’
分析
作图环节
X
f ’
c n’ ’
ac f
（1）过m’作直线 O m’n’平行e’f’
, 且与c’d’交于 (2) n’由n’求得n
复杂－－展为平面
1. 展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
2. 投影规律
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
H Y
a ●
X ax
a●
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
从投影展开图能够看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
返回
§2.3 直线旳投影（续）
四、两直线旳相对位置
1. 两直线平行
b' d'
b
V
d
a
B
c
A
C
D
a' c'
a
c
c b
a
dH
d b
投影特征:

工程图学《点线面-直线的投影》课件

第二节直线的投影在图学中一般用线段表示直线，图学中讲的直线主要是指中学定义的线段，较少指直线，很少指射线，一般混称为直线。

具体指那种，要具体问题具体分析。

ABabCDc (d)如何求出直线的投影？直线的投影一般仍为直线；当直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，称其在该投影面上具有积聚性。

H同面投影——不同的几何元素在同一投影面上的投影一、直线对投影面的各种相对位置1. 一般位置直线——倾斜于三个投影面的直线2. 投影面平行线——仅平行于一个投影面的直线3. 投影面垂直线——垂直于一个投影面的直线后两类统称为特殊位置直线直线与H、V和W三个投影面的夹角称为直线对投影面的倾角αβγ分别用、、表示Xa'abY HWb''Ob'a''ZY b''YZa''bb'BA Va a'XO HW αβγ1.一般位置直线的投影（1）线段在各投影面上的投影长度小于线段的实长。

（2）直线的各投影均倾斜于投影轴αcos AB ab =βcos AB b a =''γcos AB b a =''''细实线粗度：0.2~0.3mm 粗实线粗度：0.5~0.7mm2. 投影面的平行线定义：仅平行于一个投影面的直线，称为投影面平行线。

平行于H面的直线称为水平线平行于V面的直线称为正平线平行于W面的直线称为侧平线aB b'V HAbb''a''YW Oa'XHab'bY Wb''a''ZY Oa'Xγβ（1）水平线1、ab=AB2、反映β、γ实角3、a ’b’//OX 轴a’’b’’//OY W 轴保真的投影与轴的夹角反映空间直线对相应面的倾角。

另外两个投影平行于相应的投影轴。

H XWH VYββb''YZa''bb'B AH Va a'XOWγY WY HZa''bb'aa'Oαb''（2）正平线1、a’b’=AB2、反映α、γ实角3、ab//OX 轴a’’b’’//OZ 轴γY WY HZa''bb'aa'Oαb''正平线Hab'bY Wb''a''ZY Oa'X γβ水平线典型特征及对比（3）侧平线b''YZb’AHVa a'XOW B a''b Wb''Y YHZa''bb'a a'XOαβ1、a’’b’’=AB2、反映α、β实角3、a ’b’//OZ 轴ab//OY H 轴投影面平行线投影性质：投影面平行线在其所平行的投影面上的投影反映线段的实长；与投影轴的夹角反映直线对相应投影面的倾角；线段的另两个投影平行于相应的投影轴，且小于实长。

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。

主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。

2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。

二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。

2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。

形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。

(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。

1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。

投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。

光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。

2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。

平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。

(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。

(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。

用正投影法得到的投影叫正投影。

三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。

透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。

图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。

线面投影及位置(工程图学)

g c d
3、平面上的投影面平行线
平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行线。有三类 : 面上水平线、正平线、侧平线。
V
B
a’ A
图示水平线AB
b a PH
a’
e’
b’ d’
c’ a e
b d
c
分析水平线、正平线且在平面上
例3: 已知点E 在ABC平面上，且点E距离V 面10，距离H面15，试求点E的投影。本三
EK正面投影可见
e
k
1
a c
a’ f’
作图步骤 1. 利用积聚性求出K点水平投影k 2. 利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k ’ 3. 判别可见性 c’
b’
1’(2’)
k’ e’
b
f
2
y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，
EK正面投影可见
e
k
1
a c
1、利用积聚性求交点和交线
（1）一般位置直线与特殊位置平面相交
a′
Zab
x a
ΔZab
α
b′
b
重作
a
YH
3 . 一般位置平面
对三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。
投影特性 1 、 △ abc、△abc、△abc 均为 ABC的类似形。 2 、不反映、、的真实角度。
二、平面上的点和直线
1、平面上的点
在给定平面上取点，可直接取自该平面上的已知直线
e d
据此特性可以解决以下问题:
(1) 作直线垂直平面或平面垂直直线
(2) 判断线面是否垂直
例1：试过定点S作一平面垂直于已知直线EF。
n’
f’

工程图学基础A教案-2点线面投影

【教学内容与过程设计】教学内容过程设计一、点在一个投影面上的投影图1 图2过空间点A向投影面H 引垂线，得到的垂足a即为空间点A在H面上的正投影，见图1。

在投影线任取一点B，，其在H面上的投影与A的投影重合。

结论：在一定的投影条件下，空间一点有其唯一确定的投影，投影a 有无数个空间与其对应。

二、点在两投影面体系中的投影引入：点在一个投影面上的投影能不能确定点的空间位置？（图2）如何解决？——增加投影面。

1、两投影面体系（图3）在图1的基础上再增加一个投影面，处于正面直立位置且与H面相互垂直，这样就建立两投影面体系。

水平投影面——H面；正面投影面——V面；OX投影轴。

图3 图4 ★黑板上画出空间示意图（由图1逐步演变为图3）。

点对一个投影面的投影（图1）点在两投影面体系中的投影（图3）点在三投影面体系中的投影（图5）2、空间点A在两个投影面上的投影（图3）过空间点A分别向H、V面引垂线，得到的垂足a、a'分别为空间点A在H-V两面投影体系中的投影。

A —空间点；a—点A的水平投影；a'—点A的正面投影；3、投影面的展开（图3）为了方便表达，需要将两个相互垂直的投影面展开到同一平面内。

规定：V面保持不动，H面向下旋转90°，使得H面和V面处于同一平面内，从而得到点的两面投影图。

注意：a、a'、a x三点共线，并且垂直OX轴。

4、点的两面投影规律①a'a⊥OX轴，点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴；②aa x =A a'，a'a x=A a，点的水平投影到X轴距离反映该点到V面距离，点的正面投影到X轴距离反映该点到H面距离。

注意：给了点的水平投影和正面投影就可确定该点的空间位置，同样给了一个空间点就有唯一一组水平投影和正面投影与其对应。

A （a，a'）三、点在三投影面体系中的投影引入：点的两面投影已经能确定该点的空间位置，但为更清楚地表达某些几何体的形状和结构，需采用三面投影图。

机械工程制图教程2-2点、线、面的投影

§2-2
点的投影
point
过空间点A作投射线与投影面P的交点，即为点A在P面上的投影。
P
●
A
a
●
P
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
B1
B2
B3
●
●
b
●
●
重影coincidence of projection
上海理工大学《机械制图》课件(C版)
一、点在三投影面体系中的投影
1、三投影面体系的建立
（1）水平面
V
a A b c B
a
b a
b
c
b
a
c
C b a
实形true shape
c
W
b a
H
c
c
投影特性： 1、ab c∥X轴，abc∥Y轴，均为积聚性投影； 2、水平投影abc反映ABC实形。
●
az
ax
X
A
O
ax
●
a
W
a
●
Y
ay
a● H
ay
Y
4.点的投影规律:
（1）点的正面投影与水平投影的连线a a⊥OX轴；（2）点的正面投影与侧面投影的连线a
a
长对正
⊥OZ轴；
高平齐
（3）点的水平投影到OX轴的距离与点的侧面投影到宽相等 OZ轴的距离相等，即aax= a aZ 。
为了作图方便，可过原点O作YOY的角平分线，则aaY与a aY的延长线必与这条辅助线交于一点，从而体现aaz=aax 的对应关系。
2．投影面垂直线 perpendicular line 垂直于一个投影面而平行于另两个投影面的直线。可分为：铅垂线----垂直于H面，平行于V、W面的直线；正垂线----垂直于V面，平行于H、W面的直线；侧垂线----垂直于W面，平行于V、H面的直线。

工程制图第二章

X
平面或H面）
◆侧面投影面（简称侧面或W面）
2）投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
工程制图第二章
Z
oW
H
Y
三个投影面互相垂直
第二章投影基础
二、视图
1. 视图的概念
利用正投影法得到的投影，即物体在V、H和W
面上的三个投影，通常称为物体的三视图。其中三
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
ax
az ●a
通过作45°线使aaz=aax
a●
解法二:
a●
用圆规直接量
取aaz=aax
ax
a●
工程制图第二章
az
a
●
第二章投影基础
3. 重影点及点的相对位置重影点：在同一条投射线上的两点，其在某投影面上的
投影重合，称这两点为该投影面的重影点。重影点的可见性
一般位置直线的三面投影均不反映实长及倾角的大小，通常用直角三角形法求其实长及倾角的真实大小。如例题2-3。
工程制图第二章
第二章投影基础
2. 特殊位置直线的投影特性
⑴ 投影面平行线
水平线
正平线
a
b
a b
实长 a b α γ
a b
a βγ b
实长
ba
侧平线
a b
a 实长 βα b
a
b
投影特性： ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
2.教学重点难点：
1).三视图的对应关系 2).点、线、面的投影及投影规律 3).直线上点的求法 4).平面上点、直线的求法
工程制图第二章

工程制图第三章投影法及点线面投影

即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投影后保持不变。
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为几类？
H
工程图学基础/机械设计制图
一般位置平面的投影
投影特性：三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
e f
a(b)
c
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。
工程图学基础/机械设计制图
3）一般位置直线
V
b B
a
β
b b
W X
Z
b a
a
O
γ
A
a H
a b a
Y
b
Y
投影特性
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。
解法二：（应用定比定理）
a
●
k b
●
●
b
b k● a
k● a

工程制图第3章点线面投影

14:10
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长； a”b”与OYW夹角反映α实际大小， a”b”与OZ夹角反映β实际大小。
投影面平行线的投影特性
名称水平线(‖H面，对V、W面倾斜) 正平线(‖V面，对H、W面倾斜) 侧平线(‖W面，对H、V 面倾斜)
投影图
投影特性
二、三视图的投影规律及方位对应关系
主、俯视图——共同反映物体的长度方向的尺寸，简称“长对正”；主、左视图——共同反映物体的高度方向的尺寸，简称“高平齐”；俯、左视图——共同反映物体的宽度方向的尺寸，简称“宽相等”。
14:10
3.2 点的投影
一、点的三面投影
空间点用大写拉丁字母如A、B、C…表示；水平投影用相应小写字母 a表示；正面投影用相应小写字母加一撇a’表示；
侧面投影用相应小写字母加二撇a”表示。
14:10
二、点的三面投影规律
aa’⊥OX，a’az=aayh=XA （A到W面的距离）
a’a”⊥OZ，a’ax=a”ayw=ZA （A到H面的距离）点的三投影展开 .swf 14:10
aax=a”az=YA （A到V面的距离）
点的投影
作图时，为了表示aax=a”az的关系，常
用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧
14:10
把点的H面与W面投影关系联系起来。
例3-1 已知点A的两面投影，求点A的第三面投影。
解题步骤：
(1) 过原点O作45°辅助线； (2) 过a作平行OX轴的直线与 45°辅助线相交一点；
(3) 过交点作⊥OYW的直线；
(4) 该直线与过a’且平行OX轴的直线相交于一点即为a” 。
1.侧面投影a”b”=AB； 2.水平投影ab‖ OYH，正面投影a’b’ ‖OZ，都不反映实长； 3.a”b”与OYW夹角反映α实际大小，a”b”与OZ夹角反映β实际大小。

第二章工程制图投影理论

1.平行
d′ V c′ a′ C X d′ A D O X a b c d (b)
图2-23 两直线的平行
b′
c′ B a′
b′
O
a
c H (a) d
b
[例2-3] 判断两直线是否平行？
e′ e′ e″ d′ f′ c′ O e c X e c c″ f″ d″
d′
f′ X
c′
o
YW
f
d
f d
YH
W
z
x
ax
x y
a
o
aY
W
YW
ay
Y
Y
YH
aY
H
4. 根据点的两投影求第三投影
Z a′
X ax
O
方法一：直接量取法
方法二：45º斜线法
YW
a
YH
z
az
z a″
X
a′
X ax
a′
ax
az
a″
YW
YW
a
YH
a
YH
5.点的投影与坐标之间的关系
Z
V
a'(XA,ZA) a'
A(XA,YA,ZA)
Z
az a" o a ay
正平线
实长
b b
水平线
a
侧平线
铅垂线
⑵垂直线正垂线
侧垂线
V
c′ C d′ c" W
V
V c′(b') B A b H a b" W a" E e′
f′
e′(f')
F
e H
W
D c(d)

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c
试判断C点是否在线段AB上？
c’
§2.2 直线的投影（续）
三、各种位置直线的投影 1.一般位置直线 a b a
b' V a' A a" W O b" a b Z
b
a b 投影特性:

X B

（1）ab = AB· ; a'b' = AB· ; a"b“ = AB· cos cos cos （2）ab、a'b'、a"b"均倾斜于投影轴（3）不反映、、实角
b’ （a’）
投影特性：1、a ’b’ 积聚成一点 2 、 a b OX ; a’’ b’’ OZ 3 、 a b = a’’ b’’ =AB
y
返回
侧垂线
（ b’’ ） a’’
投影特性：1、a’’ b’’ 积聚成一点 2 、 a b OY ; a’ b’ OZ 3 、 a b = a’ b’ =AB
a
d′
(c)
c
c
a
(d)
a
d (e)
举例侧平线AC为菱形的一条对角线，另一条对角线为BD。 z 已知B点在Z轴上，试完成菱形的三面投影。
a′ a’’
作图： ① 作出a′′c′′，过中点o′′作中垂线交OZ 于b′′
x
d’
k’
b’ c′ a b b’’ c’’
o Yw
② 由于B点在Z轴上，定出b、b′ ③ 根据对角线互相平分的特点，求出、 d′、d ④ 连线完成作图
W
Z a' b' X B b 判断方法: A a"
O
b" Y
b a YH
a
上下，左右－V面；前后－H面
举例2: 已知A点在B点右方8毫米，上方9毫米，前方5毫米，求A点的投影。 Z a'
9
a"
b' X
8
b"
O
Y
b
5
a
Y
（三、点在相对位置和重影点）
2. 重影点及其可见性
被挡住的投影加( )
定义: 若空间两点位于某投影面的同一条投射线上时 , 它们在该投影面上的投影便重合为一点 , 则称它们为对该投影面的重影点。 a' a' b' A B c (c')d' ( c' )d'
c d
YH
2. 两直线相交 V
a A a c
交点是两直线的共有点
b c d K D d k B a b
c k
C
k
d
b
H
a
c k
d b
判别方法: 如果空间两直线相交，则同名投影必然相交，且交点交点连线垂直于投影轴。同时点分线段的比例不变。
举例：过C点作水平线CD与AB相交。
b c● a k d
b'
C D
c
d a ( b) d
a(b)
§2.3 直线的投影
一、直线的投影直线的投影由线上两点的同名投影连线来确定
b'
b"
a'
a"
b a
分析一个投影对空间直线的确定程度
§2.3 直线的投影（续）
二、直线上点的投影规律投影规律 V b
c
a
C A
B
（1）空间点分线段的比例等于投影面上点分投影的比例 AC/CB = ac / cb = ac/cb
复杂－－展为平面
1. 展开不动
Z
Z
●
向右翻
V
a
●
az
O
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a H
●
ay
Y
X
ax
A O
●
a W
ay
Y
a 向下翻
●
ay
Y
H
2. 投影规律
Z V
a
●
az
●
a ●
●
Z
az O ay
●
a
X
ax
A
O
a
W
X
ax
ay
Y
a
●
ay
H
a
Y
●
Y
从投影展开图可以看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
(2) aax= aay aax= aaz 高平齐宽对正
总结2投影确定3坐标
例1
已知点的两个投影，求点的另外一个投影
a'
Z
a"
X
b'
c'
c
O c"
b"
YW
b
b"
a
YH
分析一个投影对空间点的确定程度
三、点的相对位置及重影点 1. 两点的相对位置
(左右，上下，前后）
Z a' b' X a" b" O Y
X
O
W
正面放置－正投影面；正平面；V面
H
Y
水平面放置－水平投影面；水平面；H面侧面放置－侧投影面；侧平面；W面投影轴：OX, OY, OZ
二、点在投影体系中的投影 Z V a ●
●
A O
●
X a●
a W
A点的水平投影 ——a A点的正面投影 ——a' A点的侧面投影 ——a"
H
Y
空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
返回
§2.3 直线的投影（续）
四、两直线的相对位置 1. 两直线平行 b
b'
d B c
d'
V
a
A a
a'
C c
D
c'
c
b 投影特性:
d
H
a
d b
当空间两条直线平行时，则其各同名投影必然平行，且对应长度成比例
举例试判断直线AB、CD是否平行
a' d' c" c'
X
a"
d"
方法一补画第三投影 , 判断是否平行方法二 b" ab : cd不等于a'b': c'd‘
H
Y
§2.3 直线的投影（续）
三、各种位置直线的投影（续） 2.投影面平行线平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线
水平线——平行于H面而倾斜Ｖ、Ｗ面的直线；
正平线——平行于Ｖ面而倾斜H、W面的直线；
侧平线——平行于W面而倾斜H、Ｙ面的直线。
水平线
投影特性：
1、a'b'//OX， a"b"//OY 2、ab=AB 3、反映、角的真实大小
b
a
c
H
（1）直线上的点，其各面投影必然落在该直线的相应投影上。若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点肯定不在此直线上。
已知线段AB的两个投影，试将AB分成AC:CB=2 : 1两段，求分点C的投影。
c’
1. 任作一直线并三等分
2. 作相似形定出C点的水平投影c
3. 求出C点的水正面投影c’
铅垂线——垂直于H面（而平行于Ｖ、Ｗ面）的直线；
正垂线——垂直于Ｖ面（而平行于H、W面）的直线；
侧垂线——垂直于W面（而平行于H、Ｙ面）的直线。
铅垂线
投影特性：1、a b 积聚成一点 2 、 a’ b’OX ; a’’ b’’ OY 3 、 a’ b’ = a’’ b’’ =AB
返回
正垂线
返回
正平线
投影特性： 1、ab//OX ， a"b"//OZ。 2、a'b'=AB。 3、反映、角的真实大小。
返回
侧平线
投影特性：1、a'b'//OZ ， ab//OY。 2、a"b"=AB。 3 、反映、角的真实大小。
返回
§2.3 直线的投影（续）
三、各种位置直线的投影（续） 3.投影面垂直线垂直于一个投影面（而平行于另外两个投影面）的直线
第2章点、线、面、体的投影
§2.1 形体投影的基本知识
一、常用术语
所谓投影是指一系列投射线与投影面交点的总和。
Байду номын сангаас
投影面（2）
投影物体（3）投射线（1）投射中心（1）
(1) 投射中心S和投射线
(2) 投影面：不通过S的平面
s
(3) 表达对象：空间几何形体
二、投影法的分类
1. 中心投影法: 投射线均通过投影中心 S
B
C
A
ABBC BC//P
b
a c
ab bc
P
直角投影定理: 当互相垂直的两条直线中的一条为投影面平行线时，其在该投影面上的投影必然垂直。
举例判断下列几组直线是否垂直：
b′ b′ a′ c′ b c b c a d
(b′
c′
)
a′
c′
a′
d′
a
c
b
(a)
a′
b′ b c′
(b)
a′ c′ b′ b
投射线汇交于投影中心
P
2 正投影法：投射线相互平行且投影方向垂直于投影面，所得到的投影称为正投影。
S
H
正投影法正投影法的特点：易于表达物体的真实形状和大小，并且作图方便。因此在工程中广泛采用。正投影简称投影。
§2.2 点的投影

点、线、面的投影(工程图学)

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