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概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布条件期望、条件方差和条件分布是概率论与数理统计中重要的概念和技巧。
它们能帮助我们更准确地描述和计算随机现象的特征和性质。
本文将对条件期望、条件方差和条件分布进行精炼的介绍和讨论。
一、条件期望条件期望是指在给定某些信息或条件下，对随机变量的期望进行计算的概念。
对于随机变量X和事件A，条件期望E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的平均取值。
条件期望的计算可以通过基本的期望定义进行推导。
对于离散型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∑x P(X=x|A) * x其中，P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∫xf(x|A) dx其中，f(x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的概率密度函数。
二、条件方差条件方差是在给定某些信息或条件下，对随机变量的方差进行计算的概念。
对于随机变量X和事件A，条件方差Var(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的离散程度。
条件方差的计算可以通过基本的方差定义进行推导。
对于随机变量X和事件A，条件方差的计算公式为：Var(X|A) = E[(X-E(X|A))^2|A]其中，E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的条件期望。
三、条件分布条件分布是指在给定某些信息或条件下，随机变量的分布情况。
对于随机变量X和事件A，条件分布P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
条件分布的计算可以通过基本的概率计算进行推导。
对于随机变量X和事件A，条件分布的计算公式为：P(X=x|A) = P(X=x, A) / P(A)其中，P(X=x, A)表示事件A发生且随机变量X取值为x的概率，P(A)表示事件A的概率。
四、应用与扩展条件期望、条件方差和条件分布在实际问题中有广泛的应用。
第二章 随机变量知识点一、随机变量的分布函数 (){}F x P X x =≤ 1、离散型随机变量X 分布律：设离散型随机变量X 所有可能的取值为(1,2,)k x k =，则X 的分布律为{},1,2,k k P X x p k ===也可以表示成分布律这里k p 满足：（1）01k p ≤≤，1,2,k=（2）11kk p∞==∑例：设离散型随机变量X 的分布律为求分布函数()F x 。
2、连续型随机变量XX 的概率密度是()f x()d =1f x x +∞-∞⎰，()()d x F x f t t -∞=⎰例：设随机变量X 的概率密度为23,01,()0,x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他求（1）X 的分布函数()F x ；（2）1{}2P X <。
二、六个重要分布 3个离散型：①X 服从参数p 的(01)-分布，X 的取值为0和1X 的分布律：X 3 14 12 14 P 21- X 0 1 1p - pPX1p P 2x 1xk p k x 2p② 二项分布：~(, )X b n p .（X 的取值为0,1,2,,n ）X 的分布律：{}k k n k n P X k C p q -==， 0,1,2,,k n = (1)q p =-典型例题： n 重伯努利试验（即n 次重复独立试验）：（ⅰ）n 次试验是相互独立的（ⅱ）一次试验只有两个可能结果A 和A（ⅲ）每次试验中出现A 的概率()P A p =都是相同的 若X 表示在n 次试验中事件A 发生的次数，则~(, )X b n p .③ 泊松分布：X 服从参数为λ的泊松分布，即~()X πλ.（X 的取值为0,1,2,）X 的分布律：{}!kP X k e k λλ-==， 0,1,2,k=3个连续型：① 均匀分布：~(,)X U a b ，X 的概率密度1,,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他② 指数分布：随机变量X 服从参数为λ的指数分布，X 的概率密度,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩③ 正态分布：2~(,)X N μσ，X的概率密度22()2()x f x μσ--=▲ ~(0,1)X N ，X的概率密度22()x x ϕ-=，其分布函数为()x Φ。
