因式分解-平方差公式

（1）
1 36
＝（ ±
1 6
)2 ;
（3）9m2 ＝ ( ± 3m )2;
(2) 0.81＝（± 0.9 )2; (4) 25a2b2=(± 5ab )2;
(5) 4(a-b)2=[ ± 2(a-b) ]2;
(6)
1 16
(x+y)2=[
±
1 4
(x+y) ]2。
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将下面的多项式分解因式
判断、下列多项式能否用平方差公式分
解因式？说说你的理由。
(2x)2
2x
+
（1）4x2+y2 y
不能用平方 差分解因式
(2) 4x2-(-y)2 √
(3) -4x2-y2 -(4x2+y2) (4) -4x2+y2 √
(5) a2-4 √
(6) a2+3 不能
知识探索
2、口答下列各题： (1) a2-1=( a )2-( 1 )2
(2) 公式右边: （是分解因式的结果）
★分解的结果是两个数的和乘以两个数 的差的形式。
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
△2- 2=（△+ ）（△- ）
首2-尾2=（首+尾）（首-尾）
1a 4b 25
1 4
a2
-
16 b2 25
=
1 2
a
+
4 5
b
1 2
a
-
4 5
b
拓展训练1：因式分解
1.-25x2y2+100 2.4(a-b)2-9(2a+3b)2 3.(2a-b)2-9a2 4.(x2+3x)2-(x+1)2
平方差公式因式分解的应用
例4、计算：
（1）992-1 解：992-1=992-12
=(99+1)(99-1) =100×98 =9800
拓展训练2：利用因式分解计算
不能分解为止.
课堂练习
把下列各式分解因式: (1)18a2-50 (2)-3ax2+3ay4
(3)(a+b)2-4a2
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)4解(：a + b)²- 25(a - c)=²2 x ( 2 y + 2 z) 3解)：41.a原³式-==4([x(a+xy++z)2+z()y(x+-zy))][(x+z)=-(4yx+z()y] + z ) 42解.)原(：x式=+[2y(a++b)z]²)-²[5-(a(-xc)]–² y – z )²
=(6+5x)(6-5x)
(2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)
例1.把下列各式分解因式
（1）16a²- 1
解：1）16a²-1=(4a)²- 1
( 2 ) 4x²- m²n²
=(4a+1)(4a-1)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4 解：2） 4x²- m²n²
因式分解
a²- b²= (a+b)(a-b)
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
a 2 ▲- b 2 = ( a ▲+ b )( a -▲ b )
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异 号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
53).原—12式==a([²=72(a4-a+a+22(bba)-²+5-1c5))((=a-3-4caa)+]([2a2b+(+a1+5)cb()a)--15()a-c)]
课堂小结
1.平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b)
2.用平方差公式因式分解步骤： 一变、 二分解
各项有“公”先提“公”， 首项有负先提负， 某项提出莫漏“1”， 括号里面分到底。
在横线内填上适当的式子，使等式成立：
（1）（x+5)(x-5)= x2-25
;
（2）（a+b)(a-b)= a2-b2
;
（3） x2-25 = (x+5)( x-5
);
（4） a2-b2 = (a+b)( a-b )。
知识探索
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2 整式乘法
a2-b2= (a+b)(a-b) 因式分解
= 132435
223344
= 15 =5
24 8
例5、说明993-99能被100整除 解：∵993-99 =99(992-1)
=99(99+1)(99-1) =99×100×98
∴993-99能被100整除
补充练习
1、设n为整数，你能说明(2n+1)2-25一定 能被4整除吗？
3、已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
1．(2x-1)2=4x2-4x+1 否
2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是
3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)
4.
a2 + a - 2 = a( a +1-
2
)
否
否
a
把下列各式进行因式分解
1. a3b3-a2b-ab ab(a2b2-a-1) 2. -9x2y+3xy2-6xy -3xy(3x-y+2)
(2) x4y2-4= ( x2y)2-( 2 )2
(3) 0.49x2-0.01y2=( 0.7x )2-( 0.1y )2
(4) 0.0001-121x2=( 0.01 )2-( 11x )2 3、能用平方差公式因式分解的多项式有 何特征？①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号；
铺路之石
填空：
=(5a+b)(a+5b)
★平方差公式中字母a、b不仅可以表 示数，而且也可以表示其它代数式.
例题精讲
3、把多项式x4-16分解因式.
解：x4-16 =(x2)2-42 =(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2)
★分解因式应分解到各因式 都不能再分解为止.
课堂练习
把下列各式分解因式:
1.10122-9882 2.73×1452-1052×73
3. 9×1222-4×1332
(2)1002-992+982-972+…+22-12
解： 1002-992+982-972+…+22-12
=(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)
=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)
(4) x2y2-z2
(2) 4x2-25(5) (x+2源自2-9(3) x2-4y2
(6) 9(x+a)2_(y-b)2
例题精讲
4、把多项式2x3-8x分解因式.
解：2x3-8x =2x (x2-4)
=2x (x2_22) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公因式,应先提取公 因式,然后再进一步分解因式,直到
利用公式分解因式的方法称为公 式法。
平方差公式：
整式乘法
(a + b)(a - b) = a2 - b2
两个数的和与两个数的差的乘 积，等于这两个数的平方差。
a2 - b2 = (a+ b)( a - b)
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
(1) a4–b4=(a2)2-(b2)2= (a2+b2)(a2-b2)
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) (m2-3)2–1= (m2-3-1)(m2-3+1)
=(m2-4)(m2-2)=(m+2)(m-2)(m2-2)
(3) 9(m+n)2-(m-n)2
课堂练习
把下列各式分解因式:
(1) m2-4
1) m²- 16
2) 4x²- 9y²
解：m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4)
a² - b²= ( a + b)( a - b )
4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
例题精讲
1、把下列各式分解因式:
(1) 36-25x2 (2) 16a2-9b2 解：(1) 36-25x2 =62-(5x)2
=(2x)²- (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
例题精讲
2、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2分解因式.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)]