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第3次作业：效用最大化和支出最小化
1. 消费者的效用函数为1212(,)u x x ax bx =+，预算约束为1122p x p x y +=，请求解两种商品的马歇尔需求函数。
2．已知效用函数为1212(,)ln ln u x x x x =+，商品价格分别为1p 和2p 。
请写出消费者的支出最小化问题并求解希克斯需求函数。
3．当消费者的效用函数为12(,)u x x =
11p =，24p =，8I = （1）求消费者的需求量和效用水平
（2）当对消费者征收2元的总额税时，消费者的需求量变为多少？效用水平为多少？
（3）如果对第一种商品征收从量税，每单位商品征收1元，消费者的需求量变为多少？效用水平为多少？
（4）征收从量税时，税收总额为多少？与（2）问相比较，看有什么结论。
4．消费者的效用函数为1212(,)min(,4)u x x x x =，商品价格分别为1p 和2p ，请求解两种商品的马歇尔需求函数。
复习第2讲，消费者最优化2.1预算2.2偏好2.3效用2.4选择消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。
2.1预算：买得到的组合——预算可行集——稀缺性预算线的斜率——机会成本。
2.2偏好：如何对可能消费的组合排序呢——偏好无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序2.3效用：更简便的排序是用效用函数效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。
但是并非满足相切条件的解是最优解。
偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解。
最优选择模型ch5买得到的组合：稀缺 排序：偏好无差异曲线ch3 效用函数 Ch4 边际替代率边际效用预算集 预算线预算约束Ch2 相切：选择ch5预算线斜率：商品1机会成本（边际成本）无差异曲线的斜率：商品1的主观价值（边际支付意愿。
保留价格）第3讲：效用最大化与支出最小化（补充）3.1效用最大化3.2支出最小化3.3效用最大化与支出最小化：对偶关系3.1效用最大化Max U＝U(x1, x2)S.t. P1 x1 + P2 x2 = ML=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)L’x1= ðU/ðx1 –ζP1=0 (1)L’x2 = ðU/ðx2 –ζP2=0 (2)L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0 (3)x1*=x1（p1，p2，M），x2*=x2（p1，p2，M）；这是马歇尔需求函数例子1：U(x1, x2)= x11/2 x21/2x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。
即马歇尔需求函数是零次齐次函数x1（tp1，tp2，tM）=t0x1（p1，p2，M）=x1（p1,p2,M）例子2：把马歇尔需求函数x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)代入U(x1, x2)= x11/2 x21/2得到最大的效用U*= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 mV= U*=V(p1,p2,m) =(1/2) p1-1/2 p2-1/2 m我们把V=V(p1,p2,m)称为间接效用函数，把U＝U(x1, x2)称为直接效用函数。
一、主要(zhǔyào)概念效用(xiàoyòng)--------是指商品满足(mǎnzú)人的欲望和需要的能力和程度。
（参见P51）基数(jīshù)效用是指按1、2、3等基数来衡量效用(xiàoyòng)的大小，这是一种按绝对数衡量效用的方法。
（参见教材P51）总效用（TU）是指消费者在一定时间内，消费一种或几种商品所获得的效用总和。
（参见P51）边际效用（MU）是指消费者在一定时间内增加单位商品所引起的总效用的增加量。
（参见P51）消费者剩余是指消费者购买商品时愿意支付的最高价格和实际支付价格之差，是消费者购买商品时所得好处的总和。
（参见教材P52）消费者均衡是研究消费者把有限的货币收入用于购买何种商品、购买多少能达到效用最大，即研究消费者的最佳购买行为问题。
（参见教材P52）序数效用是指按第一、第二和第三等序数来反映效用的序数或等级，这是一种按偏好程度进行排列顺序的方法。
（参见教材P55）无差异曲线是指用来表示给消费者带来相同效用水平或相同满足和谐的两种商品不同数量的组合。
（参见教材P55）商品的边际替代率（MRS）是指消费者为保持原有的效用水平或满足程度不变的前提下，增加一单位某种商品的消费时，而需放弃另一种商品消费数量。
（参见教材P57）预算线也称消费者可能线，是指在消费者收入和商品价格既定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的各种商品的数量组合。
（参见教材P59）收入——消费曲线是指由于收入变化所引起的最佳购买的均衡点的连线。
（参见教材P62）价格消费曲线是指由于商品价格变化所引起的最佳购买的均衡点的连线。
（参见教材P62）替代效应是指当消费者购买两种商品时，由于一种商品价格下降，一种商品价格不变，消费者会多购买价格便宜的商品，少买价格高的商品。
（参见教材P63）收入效应是指当消费者购买两种商品时，由于一种商品名义价格下降，可使现有货币收入购买力增强，可以购买更多的商品达到更高的效应水平。
复习第2讲，消费者最优化
2.1预算
2.2偏好
2.3效用
2.4选择
消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。
2.1预算：买得到的组合——预算可行集——稀缺性
预算线的斜率——机会成本。
2.2偏好：如何对可能消费的组合排序呢——偏好
无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序
2.3效用：更简便的排序是用效用函数
效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格
2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合
最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。
但是并非满足相切条件的解是最优解。
偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解。
最优选择模型ch5
买得到的组合：稀缺 排序：偏好
无差异曲线ch3 效用函数 Ch4 边际替代率
边际效用
预算集 预算线
预算约束Ch2 相切：选择ch5
预算线斜率：商品1机会成本（边际成本）
无差异曲线的斜率：商品1的主观价值（边际支付意愿。
保留价格）
第3讲：效用最大化与支出最小化（补充）
3.1效用最大化
3.2支出最小化
3.3效用最大化与支出最小化：对偶关系
3.1效用最大化
Max U＝U(x1, x2)
S.t. P1 x1 + P2 x2 = M
L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)
L’x1= ðU/ðx1 –ζP1=0 (1)
L’x2 = ðU/ðx2 –ζP2=0 (2)
L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0 (3)
x1*=x1（p1，p2，M），x2*=x2（p1，p2，M）；
这是马歇尔需求函数
例子1：
U(x1, x2)= x11/2 x21/2
x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)
如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。
即马歇尔需求函数是零次齐次函数
x1（tp1，tp2，tM）=t0x1（p1，p2，M）=x1（p1,p2,M）
例子2：
把马歇尔需求函数x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)
代入U(x1, x2)= x11/2 x21/2
得到最大的效用U*= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
V= U*=V(p1,p2,m) =(1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
我们把V=V(p1,p2,m)称为间接效用函数，把U＝U(x1, x2)称为直接效用函数。
间接效用函数相当于说，只要知道收入和价格，就知道相应的最大效用。
那么如果价格或收入发生变化，很容易得知导致效用的变化。
例子3：
U(x1, x2)= x11/2 x21/2——V= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
m=8，p1=1，p2=4，V=？，x1=？
m=8，p1+t=2，p2=4，V=？，x1=？税收tx1=？
m=8- tx1，p1 =1，p2=4，V=？x1=？
画图比较征收等额的商品税与所得税的影响p69
从量税：价格提高，（p1 +t）x1+p2 x2=m，政府税收t x1*
所得税：收入降低，p1x1+p2x2=m - t x1*，政府税收t x1*
对于单个消费者来说，征收相同税额，所得税优于从量税。
但是如果单个消费者不消费征税商品，那么他偏好从量税而不是所得
税。
例子4：
U(x1, x2)= x11/2 x21/2——V= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
-（ðV/ðp1）/（ðV/ðm）=?
补充：包络定理——值函数对参数的微分直接等于原函数对参数的微分。
V= U*=U[ x1*（p1，p2，M），x2*（p1，p2，M）]
=V (p1, p2, m)……值函数；
Max L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)……约束条件最大化的原函数；
ðV/ðp1= ðL/ðp1=-ζx1；
ðV/ðp1是说，如果价格变化1单位，效用会变化多少？如果在某一价格下，最优的商品购买量是x1，那么如果此时价格下降1单位，相当于每单位商品可以少花1单位，收入总共多出了x1单位；每单位货币的效用为ζ。
于是，很直观的是，价格下降1单位，收入增加x1单位，效用增加了-ζx1单位。
如果价格上涨则相反。
ðV/ðp1= ðL/ðp2=-ζx2
ðV/ðm= ðL/ðm=ζ
-（ðV/ðp1）/（ðV/ðm）=x1*=(1/2) (m/p1)，
-（ðV/ðp2）/（ðV/ðm）=x2*=(1/2) (m/p2)
我们把-（ðV/ðp i）/（ðV/ðm）=x i*（p1，p2，M）称为罗伊恒等式。
利用该等式，知道间接效用函数，可直接得到马歇尔需求函数。
3.2支出最小化
Min e= P1 x1 + P2 x2
S.t. U(x1, x2)＝U
L= P1 x1 + P2 x2–θ(U(x1, x2)-U)
L’x1 = P1–θðU/ðx1 =0 (1)
L’x2 = P2–θðU/ðx2 =0 (2)
L’θ= U(x1, x2)-U =0 (3)
x1*=x1h（p1，p2，U），x2*=x2h（p1，p2，U）；叫希克斯需求函数，区别于马歇尔需求函数
满足MU1/ P1=MU2/ P2＝1/θ或MU1/ MU2 = P1 / P2
画图，区别效用最大化模型与支出最小化模型
把x1h（p1，p2，U），x2h（p1，p2，U）代入最小支出：
e*= P1 x1h（p1，p2，U）+ P2x2h（p1，p2，U）
e*= e（p1，p2，U）被称为支出函数，它告诉在既定价格条件下为了实现某一效用所需要的最小支出。
例子5：
求U(x1, x2)= x11/2 x21/2的支出函数
根据支出最小化模型得到：
x1h= p1-1/2p21/2 U，x2h= p11/2p2-1/2U,
e= p1 p1-1/2p21/2 U + p2 p11/2p2-1/2U=2 p11/2p21/2U
如果U=2, p1=1,p2=4, e=?
征税U=2, p1+t=2,p2=4, e=?
必须至少补贴多少钱，消费者才不会反对征税？
画图表示
例子6：
ð e（p1，p2，U）/ðp1=？
ð e（p1，p2，U）/ðU=？
根据包络定理
ð e（p1，p2，U）/ðp1= ð L/ðp1= x1*=x1h（p1，p2，U），
ð e（p1，p2，U）/ðp2= ð L/ðp2= x1*=x2h（p1，p2，U），
这叫谢泼德引理。
ð e（p1，p2，U）/ðp1=x1h
ðe/ðp1是说，如果价格变化1单位，最小支出会变化多少？很直观的是，如果在某一价格下，达到某一效用支出最小的商品购买量是x1h，那么如果此时价格下降1单位，相当于每单位商品少花1单位货币，共节省x1h单位支出就可以达到原来的U。
如果价格上涨则相反。
ð e（p1，p2，U）/ðU= ð L/ðU= θ=1/ζ
3.3效用最大化与支出最小化：比较
例子：V=V(p 1, p 2, m)与e= e （p 1，p 2，U ）互为反函数 V=V （p 1, p 2, m ）= (1/2) p 1-1/2 p 2-1/2 m e= e （p 1，p 2，U ）=2 p 11/2p 21/2U 画图：
四个恒等式：
e= e （p 1，p 2，V （p 1，p 2，m ））=m V （p 1，p 2，e （p 1，p 2，U ））=U
x i （p 1，p 2，M ）=x i h （p 1，p 2，V （p 1， p 2， m ）） x i h （p 1，p 2，U ）=x i （p 1，p 2，e （p 1，p 2，U ））
希克斯需求不可观察，但是马歇尔需求是可以观察的
画图：
马歇尔需求函数，希克斯需求函数，边际替代率
Max U ＝U(x 1, x 2) S.t. P 1 x 1 + P 2 x 2 = M Min e= P 1 x 1 + P 2 x 2 S.t. U(x 1, x 2)＝U x 1=x 1*（p 1，p 2，M ） x 2=x 2*（p 1，p 2，M ） V=V(p 1, p 2,
m)
-（ðV/ðp i ）/（ðV/ðm ） =x i *（p 1，p 2，M ）
x 1*=x 1h （p 1，p 2，U ） x 2*=x 2h （p 1，p 2，U ）
e= e （p 1，p 2，U ）
ð e （p 1，p 2，U ）/ðp i =x i h （p 1，p 2，U ），
间接效用与
最小支出互为反函数。
