2002级华东地区农林水院校《高等数学》统考试卷

广州大学2002-2003学年第二学期考试卷课 程：高 等 数 学（下）（本科） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题：（每小题3分，共计15分）1．已知 ||1,||5,3a b a b ==⋅=，则 =⨯||b a。

2．xoy 平面上的双曲线 224936x y -= 绕 y 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是____________________________________________。

3．设 22(,)z f x y xy =+, 其中 f 具有一阶连续偏导数， 则zx∂=∂____________ 。

4．函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(4,2)-的方向的方向导数为______。

5．若级数1nn u∞=∑ 条件收敛, 则级数1||nn u∞=∑ 必定____________。

二．单项选择题：选出正确答案填入下表中（每小题3分，共计15分）1．直线L ：223314x y z -+-==-和平面 :3x y z π++= 的位置关系是 [ ](A) L 与π垂直；(B) L 在π上；(C) L 与π平行但不在π上。

2． 函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数x z 及y z 存在是(,)f x y 在该点可微分的 [ ]（A ） 必要条件； （B ） 充分条件； （C ） 充要条件。

3． 若22:2D xy y +≤, 则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰ 极坐标形式的二次积分为 [ ](A) 2sin 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； (B) 2sin 00(cos ,sin )d f r r dr πθθθθ⎰⎰；(C) 1(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰。

4．设L 为取正向的圆周 222x y a +=, 则曲线积分 2(22)(4)Lxy y dx xx dy -+-=⎰[ ](A) 0 ；(B) 22a π； (C) 22a π-。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟． （1）圆1)1(22=+-y x的圆心到直线3y x =的距离是（A ）21 （B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是 （A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ（D ）)23,45(),4(ππππ（5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k kx x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53-（8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+kyx 的一个焦点是)2,0(，那么=k（15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xxx f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++na a a aADE参考答案 一、选择题二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα 0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α∴6πα=∴33=αtg（18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ） 21)22( 2+-=a MN所以，当22=a 时，22=MN即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故 112222=--mymx将x y 2±=代入112222=--mymx ，并解得222251)1(mm m x--=，因012>-m所以0512>-m解得55||0<<m即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则 301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b x b b n n n ++⨯=+⨯=-+所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=nx x 94.0)06.030(06.0⨯-+=当006.030≥-x，即8.1≤x 时3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x ，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x ，即6.3≤x 万辆综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤．（ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k ka a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a ank k nk k nk k。

广州大学2002-2003学年第二学期考试卷课 程：高 等 数 学（下）（本科） 考 试 形 式： 闭卷 考试参 考 答 案 及 评 分 标 准一．填空题：（每小题3分，共计15分）1．已知 ||1,||5,3a b a b ==⋅=，则 =⨯||b a4。

2．xoy 平面上的双曲线 224936x y -= 绕 y 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是 22244936x z y +-=。

3．设 22(,)z f x y xy =+, 其中 f 具有一阶连续偏导数， 则zx∂=∂122xf yf ''+ 。

4．函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(4,2)-的方向的方向导数为2-。

5．若级数1nn u∞=∑ 条件收敛, 则级数1||nn u∞=∑ 必定发散。

二．单项选择题：选出正确答案填入下表中（每小题3分，共计15分）1．直线L ：223314x y z -+-==-和平面 :3x y z π++= 的位置关系是 [ ](A) L 与π垂直；(B) L 在π上；(C) L 与π平行但不在π上。

2． 函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数x z 及y z 存在是(,)f x y 在该点可微分的 [ ]（A ） 必要条件； （B ） 充分条件； （C ） 充要条件。

3． 若22:2D xy y +≤, 则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰ 极坐标形式的二次积分为 [ ](A) 2sin 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； (B) 2sin 00(cos ,sin )d f r r dr πθθθθ⎰⎰；(C) 1(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰。

4．设L 为取正向的圆周 222x y a +=, 则曲线积分 2(22)(4)Lxy y dx xx dy -+-=⎰[ ](A) 0 ；(B) 22a π； (C) 22a π-。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________. (2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim =∞→nn u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e x y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,). 记dy xy f y yx dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关. (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x = 1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有 (A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim不存在 (D)极限n n n c b ∞→lim 不存在 (3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关 (D)当s r >时,向量组I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ (6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ- (C)~(,1)Y F n (D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y x L L x dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰. (2)sin sin 2e e 2.y x L x dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.。

2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 A ．1,1-B ．2.2-C ．1D ．1-2．复数3)2321(i +的值是A ．i -B ．iC ．1-D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x xD ．1|{<x x 且}1-≠x4．函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ A ．21 B ．2 C ．4 D ．415．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是 A ．)45,()2,4(ππππB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k kx x N ∈+==，则 A ．N M = B ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．∅=N M7．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=kA ．1-B ．1C ．5D ．5-8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A ．43 B ．54 C ．53 D ．53-9．10<<<<a y x ，则有A ．0)(log <xy aB ．1)(log 0<<xy aC ．2)(log 1<<xy aD ．2)(log >xy a10．函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是A ．0≥bB ．0≤bC ．0>bD ．0<b11．设)4,0(πθ∈，则二次曲线122=-θθtg y ctg x 的离心率取值范围A ．)21,0(B ．)22,21( C ．)2,22(D ．),2(+∞12．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间．我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年2000年的五年间增长最快． 14．函数xx y +=12（),1(+∞-∈x ）图象与其反函数图象的交点为15．72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是16．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为)1,2(． 能使这抛物线方程为x y 102=的条件是第 （要求填写合适条件的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式； 18．甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动．甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米．（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？19．四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，⊥PB 平面ABCD ．（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为︒60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面PAD与面PCD所成的二面角恒大于︒9020．设函数1x∈xxf，R=x(2+||2+)-（1）讨论)f的奇偶性；(x（2）求)f的最小值．(x21．已知点P到两定点)0,1N距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，M、)0,1((-求直线PN的方程．22．（本小题满分12分，附加题满分4分）（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．参考答案一、选择题二、填空题（13）1995 （14）)1,1(),0,0( （15）1008 （16）②⑤ 三、解答题 （17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃（2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期 ∴614221-=⋅ωπ，解得8πω=由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ）（18）解：（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ，整理得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍）第1次相遇是在开始后7分钟．（2）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ，整理得0420132=-+n n ，解得15=n ，28-=n （舍）第2次相遇是在开始后15分钟．（19）解（1）∵⊥PB 平面ABCD ，∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影，∴DA PA ⊥ ∴PAB ∠是面PAD 与面A B C D 所成二面角的平面角，︒=∠60PAB而PB 是四棱锥ABCD P -的高，a tg AB PA 360=︒⋅=∴3233331a aa V ABCD P =⋅⋅=-（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作DP AE ⊥，垂足为E ，连结EC ，则CDE ADE ∆≅∆．∴EC AE =，︒=∠90CED ，故CFA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则AC EO ⊥．a AD AE OA a =<<=22在△AEC 中，0)2)(2(2)2(cos 2222<-+=⋅⋅-+=∠AEOA AE OA AE ECAE OA ECAEAEC所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒90（20）解：（I ）3)2(=f ,7)2(=-f ，由于)2()2(f f ≠-，)2()2(f f -≠- 故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43（21）解：设P 的坐标为),(y x ，由题意有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x yx +-⋅=++，整理得01622=+-+x y x因为点N 到PM 的距离为1，2||=MN所以︒=30PMN ，直线PM 的斜率为33±直线PM 的方程为)1(33+±=x y将)1(33+±=x y 代入01622=+-+x y x 整理得0142=+-x x解得32+=x ，32-=x 则点P 坐标为)31,32(++或)31,32(+-- )31,32(--+或)31,32(---直线PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y ．（22）解（I ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底． （II ）依上面剪拼方法，有锥柱V V >． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为43．现在计算它们的高：36)2332(12=⋅-=锥h ，633021=︒=tg h 柱．02422343)9663(43)31(>-=⋅-=⋅=-锥柱锥柱－h h V V所以锥柱V V >．（III ）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线33=y 的距离是 （A ）21 （B ）23 （C ）1 （D ）3 （2）复数3)2321(i +的值是（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ（5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b（10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中线． （13）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值。

2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）数学（理工农医）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．曲线()　为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是21)(A 22)(B 1)(C 2)(D 2．复数32321⎪⎪⎭⎫⎝⎛i ＋的值是 i A -)( i B )( 1)(-C 1)(D 3．已知n m ,为异面直线，α平面⊂m ，β平面⊂n ，l ＝βα ，则l 都相交与n m A ,)( 中至少一条相交与n m ,)B (都不相交与n m ,)C (中的一条相交至多与n m ,)D ( 4．不等式()()011>-+x x 的解集是（ ）{}10)(<≤x x A {}10)(-≠<x x x B 且 {}11)(<<-x x C {}11)(-≠<x x x D 且 5．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛45,2,4)(ππππ A ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4)(B⎪⎭⎫⎝⎛45,4)(ππC ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4)(ππππ D 6．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214则（ ） N M A =)( M B )(N NC )(M ∅=N M D )(7．正六棱柱111111F E D C B A ABDCEG -底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（ ）o A 90)( o B 60)( o C 45)( oD 30)( 8．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是（ ）0)(≥b A 0)(≤b B 0)(>b C 0)(<b D 9．已知10<<<<a y x ，则有（ ）()0l o g)(<xy A a ()1log 0)(<<xy B a ()2l o g1)(<<xy C a ()2log )(>xy D a 10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()3,1,1,3-B A ，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中有R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹方程为( )01123)(=-+y x A ()()521)(22=-+-y x B02)(=-y x C 052)(=-+y x D11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） 种8)(A 种12)(B 种16)(C 种20)(D12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”如果“十·五”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为( )11500)(A 亿元120000)(B 亿元 127000)(C 亿元 135000)(D 亿元 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．函数()()+∞-∈+=,112x xxy 图象与其反函数图象的交点坐标为▁▁▁▁▁ 14．椭圆5522=-ky x 的一个焦点是()2,0 ，那么=k ▁▁▁▁▁▁ 15．直线2,0,0===x y x 与曲线()22=y 所围成的图形绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于▁▁▁▁▁▁16．已知函数()221xx x f +=，那么()()()()=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++4143132121f f f f f f f ▁▁▁▁▁▁三．解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本题满分12分）已知22,534cos αππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值18．注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（甲）计分（甲）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为a 2（1）建立适当的坐标系，并写出点11,,,C A B A 的坐标； （2）求1AC 与侧面11A ABB 所成的角（乙）如图，正方形ABEF ABCD ,的边长都是1，而且平面ABEF ABCD ,互相垂直点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若(20<<==a a BN CM（1）求MN 的长； （2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小19．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 20．（本题满分12分）已知0>a ，函数()(+∞∈-=,0,1x x axx f 设ax 201<<，记曲线()x f y =在点()()11,x f x M 处的切线为l（1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴交点为(0,2x 证明：（ⅰ）a x 102≤<； （ⅱ）若a x 11<则ax x 21<< 21、（本题满分12分）已知两点()()0,1,0,1N M -，且点P 使∙，PM ∙，∙成公差小于零的等差数列（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为()00,y x ，记θ为PM 与PN 的夹角，求θtan22、（本题满分14分）已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足01=a ，32=a ，()(),5,4,3,22211=++=--+n a a a a n n n n(1)求3a ；(2)证明 ,5,4,3,22=+=-n a a n n ； (3)求{}n a 的通项公式及其前n 项和S2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）数学（文史类）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若直线()011＝+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 1,1)(-A 2,2)(-B 1)(C 1)(-D2.已知n m ,为异面直线，α平面⊂m ，β平面⊂n ，l ＝βα ，则l 都相交与n m A ,)( 中至少一条相交与n m ,)B (都不相交与n m ,)C (中的一条相交至多与n m ,)D ( 3.不等式()()011>-+x x 的解集是（ ）{}10)(<≤x x A {}10)(-≠<x x x B 且 {}11)(<<-x x C {}11)(-≠<x x x D 且 4.函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）21)(A 2)(B 4)(C 41)(D 5.在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛45,2,4)(ππππ A ⎪⎭⎫⎝⎛ππ,4)(B⎪⎭⎫⎝⎛45,4)(ππC ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4)(ππππ D6.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214则（ ）N M A =)( M B )(N NC )(M ∅=N M D )(7.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是()2,0，那么=k （ ）1)(-A 1)(B 5)(C 5)(-D8.正六棱柱111111F E D C B A ABDCEG -底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（ ）oA 90)( oB 60)( oC 45)( oD 30)( 9．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是（ ）0)(≥b A 0)(≤b B 0)(>b C 0)(<b D 10．已知10<<<<a y x ，则有（ ）()0l o g)(<xy A a ()1log 0)(<<xy B a ()2l o g1)(<<xy C a ()2log )(>xy D a 11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） 种8)(A 种12)(B 种16)(C 种20)(D12．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()3,1,1,3-B A ，若点C 满足βα+=，其中有R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹方程为( )01123)(=-+y x A ()()521)(22=-+-y x B02)(=-y x C 052)(=-+y x D 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积 如图所示，其中，从▁▁▁▁年到▁▁▁▁年 的五年间增长最快14．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛∈-=ππααα,2sin 2sin ， 则=αcot ▁▁▁▁▁▁15．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）:其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁▁▁▁（复查至此） 16．设函数()x f 在()+∞∞-,内有定义，下列函数()()x f y -=1；()()22x xf y = ；()()x f y --=3； ()()()x f x f y --=4中必为奇函数的有▁▁▁▁▁▁（要求填写正确答案的序号）三．解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本题满分12分）在等比数列{}n a 中，已知64,245356==-a a a a ，求{}n a 前8项的和S18．（本题满分12分）已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=-+2,0,12cos cos 2sin 2sin 2πααααα，求ααt a n s i n 与的值19．（本题满分12分）（注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以下（甲）计分）（甲）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为a 2（1）建立适当的坐标系，并写出点11,,,C A B A 的坐标；（2）求1AC 与侧面11A ABB 所成的角（乙）如图，正方形ABEF ABCD ,的边长都是1，而且平面ABEF ABCD ,互相垂直点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若(20<<==a a BN CM（1）求MN 的长； （2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小 20．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）， （1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？21．（本题满分12分）已知0>a ，函数()()+∞∈-=,0,3x a x x f ，设01>x ，记曲线()x f y =在点()()11,x f x 处的切线为l（1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴交点为(0,2x 证明：（ⅰ）312a x ≥； （ⅱ）若312a x >则231x x a <<22．（本题满分14分）已知两点()()0,1,0,1N M -，且点P 使∙，PM ∙，NP NM ∙成公差小于零的等差数列（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为()00,y x ，记θ为PM 与PN 的夹角，求θtan2002年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案（文理）参考答案一、1、D 2、（文）B ，（理）C 3、（文）D ，（理）B 4、（文）B ，（理）D 5、C 6、B 7、B 8、（文）B ，（理）A 9、（文）A ，（理）D 10、D 11、B 12、（文）D ，（理）C 二、填空题13、（文）1995，2000；（理）（0,0），（1,1）； 14、（文）33-，（理）－1； 15、（文）甲种，（理）2ln 3π； 16、（文）（2），（4），（理）27； 三、解答题17、（文）设数列{}n a 的公比为q ，依题意，()()()().8511,1,2,25511,1,2.2,31,)1(8,2,31)1(88,64)1..(.........., (241818181812312)231312315323146=--=-=-==--===±==-=-=-=--=±=∴===-=-q q a S a q q q a S a q q q q a q q q a q a q a a a q q a a a 当当得式代入到将舍去。

02届高等数学下册统考试卷及解答
2002高等数学下册统考试卷及解答一、单项选择题1、[3分]给定三点，则的余弦等于（）(A)；(B)；(C)；(D)以上都不
对；2、[3分]设，则在的值是（）(A)(B)(C)(D)以上都不对3、[3分]设为正方形，，，，则（）(A)(B)(C)(D)无法比较它们的大小4、
[3分]级数收敛的一个充分条件是（）(A)单调趋于零（B）单调趋于零
当(C)时收敛(D)以上都不对5、[3分]设为球面的外侧，则曲面积分的值
为（）(A)(B)1(C)(D)以上都不对二、填空题1、[3分]通过点及，且与
平面垂直的平面的方程为。

2、[3分]函数，则在点处的全微分为。

3、[3分]设幂级数在条件收敛，则级数的收敛半径为。

4、[3分]设是周期为的奇函数，当时，则它的傅立叶系数。

5、[3分]曲线对应于处的切线为。

三、解答下列各题1、[5分]当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。

2、[5分]设具有连续偏导数。

证明：方程所确定的函数满足
3、[5
分]将函数展开为的幂级数，并求出级数的收敛区间。

4、[5分]求微分方程的通解。

四、求下列重积分1、[7分]，其中是由直线和抛物线围成的有界闭区域。

2、[7分]，其中是由不等式所确定的闭区域。

五、[8分]在曲线弧上分布有质量，线密度，求它的质量。

六、[8分]求曲面积分，是曲面块。

七、[10分]设定义在，具有一阶连续导数，且对在右半平面内的任意闭曲线，曲线积分（1）求；（2）求函数，使它的全微分等于八、[10分]求曲线上距原点最近和最远的点。

附件十高等数学2002~2005学年历年期末考试题2002级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.1.21.2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）： 1．=--+∞→xx x e e xsin lim.2. =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x 321lim .3. ⎰=+dx x x 221 . 4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 处的切线斜率为 .5.()=+⎰-2243cos 2sinππdx x x .6. 已知向量()k j i b a3,1,3,2--=-=，则=⋅b a ,=⨯b a .7. 要使函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤->+=0,cos 70,1ln 2sin x x e x ax xx f x 在0=x 处连续，则=a .8. 设()()()32321+++=x x x y ，则()=6y.9. 设()x f 在),0[+∞上连续，且()()x x dt t f xcos 10+=⎰，则=⎪⎭⎫⎝⎛π2f .10. 由曲线22x y =和直线1,2,1-===y x x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转所得旋转体体积的定积分表达式是 .二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：1. 设3sin11ln2cos 1π+++=x xy x，求.dy 2. 求xx xx x 2sin sin lim -→. 3. 计算()()0,222>-⎰-b dx x b x b b.4. 求⎰-+dx x x 2)1()1ln(.5．设()x f 在0x x =处可导，求()000)(limx x x f x x xf x x --→.6．设()⎰-π=xdt t tx f 0sin ，求()⎰π0dx x f .三、（本题满分7分） 过点)0,1(-作曲线x y =的切线，求此切线与曲线x x y ,=轴所围成图形的面积.四、（本题满分7分） 求函数()()⎰-=2220x t dt e x f 在区间)3,0(内的极值，并判断曲线()x f y =在区间)3,0(内是否有拐点.五、（本题满分8分）一底为8 m 、高为6 m 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m ，试求它每面所受的压力. 六、（本题满分6分） 已知函数()x f 在区间)2,1(-内具有二阶导数，且()()01,0lim 0==→f xx f x ，试证在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得()0=ξ''f . 七、（本题满分6分） 证明方程2(121≥=++++-n x x x x n n的正整数）在区间)1,0(内必有唯一根n x ，并求数列{}n x 的极限n n x ∞→lim .2002级《高等数学》（I ）期末考试试卷(B)专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.1.21.2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：1. =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 221lim .2. =--+∞→xx x e e xcos lim.3. ()⎰=++dx x x x 222121 . 4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在4=t 处的切线斜率为 .5.()=+⎰-2245sin sinππdx x x .6. 已知向量()k j i b a--=-=3,2,3,1，则=⋅b a ,=⨯b a .7. 要使函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤->+=0,cos 70,1ln 3sin x x e x ax x x f x 在0=x 处连续，则=a8. 设()()4221++=x x x y ，则()=7y.9. 设()x f 在),0[+∞上连续，且()()x x dt t f x cos 210+=⎰，则=⎪⎭⎫⎝⎛π2f .10. 由曲线32x y =和直线2,3,1-===y x x 所围成的图形绕直线2-=y 旋转所得旋转体体积的定积分表达式是 .二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）： 1. 设3cos 11ln2sin 1π+++=x xy x，求.dy2. 求xx xx x 2sin sin lim -→. 3. 计算()()0,222>-⎰-a dx x a x a a.4. 求()⎰-dx x x21ln .5．设()x f 在0x x =处可导，求()000)(limx x x f x x xf x x --→.6．设()⎰-π=xdt t tx f 0sin ，求()⎰π0dx x f .三、（本题满分7分） 求函数()()⎰-=2210x t dt e x f 在区间)2,0(内的极值，并判断曲线()x f y =在区间)2,0(内是否有拐点.四、（本题满分8分）一底为8 m 、高为6 m 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m ，试求它每面所受的压力. 五、（本题满分7分） 过点)0,1(-作曲线x y =的切线，求此切线与曲线x x y ,=轴所围成图形的面积.六、（本题满分6分） 证明方程2(121≥=++++-n x x x x n n的正整数）在区间)1,0(内必有唯一根n x ，并求数列{}n x 的极限n n x ∞→lim .七、（本题满分6分）已知函数()x f 在区间)2,1(-内具有二阶导数，且()()01,0lim 0==→f xx f x ，试证在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得()0=ξ''f .2002级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)答案及评分标准一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）： 1．0； 2. 6-e ； 3. C x x +-arctan ； 4. 3； 5.43π； 6. =⋅b a 2，=⨯b a （10，7，1）； 7. =a 31；8. ()=6y6！； 9. =⎪⎭⎫⎝⎛π2f 1－2π； 10. ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=212212dx x V π. 二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）： 1. 设3sin11ln2cos 1π+++=x xy x，求.dy 011sin ln 1cos 122cos 1++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x x x xy x， （5分，前两项每项2分，后一项1分） dx x x x x x x x x dy x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22cos 11sin ln 1cos 11. （6分） 2． 3020sin lim sin sin limxxx x x x x x x -=-→→ （2分） 203cos 1limx xx -=→ （4分） 61321lim 220==→x xx . （6分） 3．()⎰⎰-=--bb bdx x b x dx x b x 0222222 （2分）⎰---=b x b d x b 02222)( （4分）()3023223232b x b b=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=. （6分） 4.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+x d x dx x x 11)1ln()1()1ln(2 （1分） ⎰+⋅--+-=dx xx x x 1111)1ln(11 （3分）⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---+=dx x x x x 1111211)1ln( （4分）C xxx x +-+--+=11ln 211)1ln( （6分）5．()()()()0000000000)(lim )(lim00x x x f x x f x x f x x xf x x x f x x xf x x x x --+-=--→→ （3分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→0000)()()(lim 0x x x f x f x x f x x （4分） )()(000x f x x f '-=. （6分） 6．()[]()⎰⎰'-=πππ)(dx x f x x xf dx x f （2分）⎰⎰-⋅--=πππππ00sin sin dx xxx dt t t （4分）dx x x x x x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--=ππππ0sin sin （5分） []2cos sin 00=-==⎰ππx dx x （6分）三、（本题满分7分） 过点)0,1(-作曲线x y =的切线，求此切线与曲线x x y ,=轴所围成图形的面积.解 设切点为()00,x x ，切线方程为：()00021x x x x y -=-， （2分） 因为过点)0,1(-，得()112121000000=⇒+=⇒--=-x x x x x x （4分） ⎰-⋅⋅=101221dx x A （6分）31321=-= （7分）四、（本题满分7分） 求函数()()⎰-=2220x t dt e x f 在区间)3,0(内的极值，并判断曲线()x f y =在区间)3,0(内是否有拐点.解 0)2(2)(4)2(令=-⋅='-x ex f x ，得2=x ， （2分）0])2(82[)(4)2(4>-+=''-x e x f x ， （4分）0)2(,02)2(=∴>=''f f 为极小值， （5分）又∴>'',0)(x f 曲线)(x f y =在)3,0(内无拐点. （7分）五、（本题满分8分）一底为8 m 、高为6 m 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m ，试求它每面所受的压力.解 建立坐标系为：取三角形的顶为坐标原点，铅直向下为x 轴，水平向右为y 轴.直线方程为 x y 32=， （2分） xdx x g ydx x g dP 34)3(2)3(+=+=ρρ （4分）⎰+=6034)3(xdx x g P ρ （6分）⎰+=602)3(34dx x x g ρ)(4.1646168233134623KN g x x g ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ρρ （8分）六、（本题满分6分）已知函数()x f 在区间)2,1(-内具有二阶导数，且()()01,0lim 0==→f xx f x ，试证在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得()0=ξ''f . 证 0)0(0)(lim=⇒=→f xx f x ， （1分）由条件)(x f 具有二阶导数，且0)1(=f ，则)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且()()10f f =，由Rolle 定理),1,0(1∈∃ξ使0)(1='ξf ， （3分）又0)(lim )0()(lim)0(00==-='→→xx f x f x f f x x ， （5分） 则)1()0(f f '='，对)(x f '在],0[1ξ上应用Rolle 定理，有)1,0(),0(1⊂∈∃ξξ，使0)(=''ξf . （6分）七、（本题满分6分） 证明方程2(121≥=++++-n x x x x n n的正整数）在区间)1,0(内必有唯一根n x ，并求数列{}n x 的极限n n x ∞→lim .证 设1)(21-++++=-x x xx x f n n ，则)(x f 在]1,0[上连续，又01)1(,01)0(>-=<-=n f f ，由零点定理，至少存在一点)1,0(∈n x ，使0)(=n x f ， （2分） 又)1,0(,012)1()(21∈>+++-+='--x x x n nxx f n n)(x f ∴在]1,0[上单调增加，故至多存在一点)1,0(∈n x ，使0)(=n x f ，综上所述，存在唯一一点)1,0(∈n x ，使0)(=n x f ， 即方程121=++++-x x xx n n在区间)1,0(内必有唯一根n x . （3分）101111211111121<<<⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+++++=+++++++-++++-n n n n n n nn n n n n n nn n x x x x x x x x x x x , 即 数列{}n x 单调有界，故必有极限，设a x n n =∞→lim . （5分）而 11)1(21=--=++++-nnn n n n n n nn x x x x x x x ，取极限，得 2111=⇒=-a a a ， 即21lim =∞→n n x . （6分）2002级《高等数学》（I ）期末考试试卷(B)答案及评分标准一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：1. 4-e ；2. 0；3. C x x ++-arctan 1； 4. 6； 5. π83； 6. =⋅b a 4；=⨯b a （5，6，8）； 7. =a 21； 8. ()=7y 7！；9. =⎪⎭⎫⎝⎛π2f π-1； 10. ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=312223dx x V π. 二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）： 1. 设3cos 11ln2sin 1π+++=x xy x，求.dy011cos ln 1sin 122sin 1++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x x x x x x x x y x ， （5分，前两项每项2分，后一项1分） dx x x x x x x x x dy x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22sin 11cos ln 1sin 11. （6分） 2．3020sin limsin sin limx xx x x x x x x -=-→→ （2分） 203cos 1limx xx -=→ （4分） 61321lim 220==→x xx . （6分）3．()⎰⎰-=--aa adx x a x dx x a x 0222222 （2分）⎰---=a x a d x a 02222)( （4分）()3023223232a x a a=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=. （6分） 4.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=-x xd dx x x 11ln )1(ln 2 （1分） ⎰⋅---=dx x x x x 1111ln （3分） ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=dx x x x x 1111ln （4分）C xxx x +---=1ln 1ln （6分） 5．()()()()0000000000)(lim )(lim00x x x f x x f x x f x x xf x x x f x x xf x x x x --+-=--→→ （3分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→0000)()()(lim 0x x x f x f x x f xx （4分）)()(000x f x x f '-=. （6分） 6．()[]()⎰⎰'-=πππ00)(dx x f x x xf dx x f （2分）⎰⎰-⋅--=πππππ00sin sin dx xxx dt t t （4分）dx x x x xx⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--=ππππ0sin sin （5分）[]2cos sin 00=-==⎰ππx dx x （6分）三、（本题满分7分） 求函数()()⎰-=2210x t dt e x f 在区间)2,0(内的极值，并判断曲线()x f y =在区间)2,0(内是否有拐点.解 0)1(2)(4)1(令=-⋅='-x ex f x ，得1=x ， （2分）0])1(82[)(4)1(4>-+=''-x e x f x ， （4分）0)1(,02)1(=∴>=''f f 为极小值， （5分）又∴>'',0)(x f 曲线)(x f y =在)2,0(内无拐点. （7分）四、（本题满分8分）一底为8 m 、高为6 m 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m ，试求它每面所受的压力.解 建立坐标系为：取三角形的顶为坐标原点，铅直向下为x 轴，水平向右为y 轴.直线方程为 x y 32=， （2分） xdx x g ydx x g dP 34)3(2)3(+=+=ρρ （4分）⎰+=6034)3(xdx x g P ρ （6分） ⎰+=602)3(34dx x x g ρ )(4.16461682331346023KN g x x g ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ρρ （8分）五、（本题满分7分）过点)0,1(-作曲线x y =的切线，求此切线与曲线x x y ,=轴所围成图形的面积. 解 设切点为()00,x x ， 切线方程为：()00021x x x x y -=-， （2分） 因为过点)0,1(-，得()112121000000=⇒+=⇒--=-x x x x x x （4分） ⎰-⋅⋅=101221dx x A （6分） 31321=-= （7分）六、（本题满分6分）证明方程2(121≥=++++-n x x xx n n 的正整数）在区间)1,0(内必有唯一根n x ，并求数列{}n x 的极限n n x ∞→lim . 证 设1)(21-++++=-x x x x x f n n ，则)(x f 在]1,0[上连续，又01)1(,01)0(>-=<-=n f f ，由零点定理， 至少存在一点)1,0(∈n x ，使0)(=n x f ， （2分） 又)1,0(,012)1()(21∈>+++-+='--x x x n nx x f n n)(x f ∴在]1,0[上单调增加，故至多存在一点)1,0(∈n x ，使0)(=n x f ，综上所述，存在唯一一点)1,0(∈n x ，使0)(=n x f ，即方程121=++++-x x x x n n 在区间)1,0(内必有唯一根n x . （3分）101111211111121<<<⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+++++=+++++++-++++-n n n n n n n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x x , 即 数列{}n x 单调有界，故必有极限，设a x n n =∞→lim . （5分）而 11)1(21=--=++++-n n n n n n n nn n x x x x x x x ， 取极限，得2111=⇒=-a a a ， 即 21lim =∞→n n x . （6分）七、（本题满分6分）已知函数()x f 在区间)2,1(-内具有二阶导数，且()()01,0lim0==→f x x f x ，试证在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得()0=ξ''f .证 0)0(0)(lim 0=⇒=→f x x f x ， （1分）由条件)(x f 具有二阶导数，且0)1(=f ，则)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且()()10f f =，由Rolle 定理 ),1,0(1∈∃ξ使0)(1='ξf ， （3分） 又0)(lim )0()(lim )0(00==-='→→xx f x f x f f x x ， （5分） 则)1()0(f f '='，对)(x f '在],0[1ξ上应用Rolle 定理，有)1,0(),0(1⊂∈∃ξξ，使0)(=''ξf . （6分）。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）试卷类型：A参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式)sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是A ．21 B ．23 C ．1 D ．32．复数3)2321(i +的值是A ．－iB ．iC ．－1D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．}10|{-≠<x x x 且C ．{11|<<-x x }D ．}11|{-≠<x x x 且S台侧=l c c )(21+'其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径4．在（π2,0）内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为A ．)45,()2,4(ππππB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ5．设集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则A ．M =NB ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．=N M ø6．点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为A ．0B ．1C ．2D ．27．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是A ．43 B ．54 C ．53D ．53-8．正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b>0D ．b<010．函数111--=x y 的图象是 ABC D11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为A ．115 000亿元B ．120 000亿元C ．127 000亿元D ．135 000亿元第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数a y =在[0，1]的最大值与最小值的和为3，则a = .14．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k = . 15．72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3项的系数是 .16．已知函数221)(xxx f +=那么=++++++)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知απαααααsin ).2,0(,12cos cos 2sin 2sin 2求∈=-+、αtg 的值.18．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=)20(<<a a .（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.19．（本小题满分12分） 设点P 到点M （－１，0）、N （1，0）距离之差为2m ， 到x 轴、y 轴距离之比为2.求m 的取值范围.20．（本小题满分12分） 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?21．（本小题满分12分） 设a 为实数，函数.,1||)(2R x a x x x f ∈+-+= （Ⅰ）讨论)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求)(x f 的最小值.22．（本小题满分14分） 设数列{a n }满足,,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n（Ⅰ）当21=a 时，求432,,a a a ,并由此猜想出n a 的一个通项公式； （Ⅱ）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有（i ）;2+≥n a n（ii ）.2111111121≤++++++na a a数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.A 卷选择题答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．214．1 15．1 008 16．27三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分. 解：由倍角公式，1cos 22cos ,cos sin 22sin 2-==ααααα ………………2分由原式得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1s i n s i n 2(c o s 222=-+⇔ααα,0)1)(s i n 1s i n 2(c o s 22=+-⇔ααα………………8分)2,0(πα∈ ，.21s i n ,01s i n 2,0c o s ,01s i n 2==-∴≠≠+∴αααα即,6πα=∴.33=∴αtg ……………12分18．本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.解：（Ⅰ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形，∴ MN=PQ. ……………3分由已知，CM=BN=a ，CB=AB=BE=1， ∴ AC=BF=2，21,21a BQ a CP == 即2a BQ CP ==2222)2()21()1(a a BQCP PQ MN +-=+-==∴)20(21)22(2<<+-=a a . ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），,21)22(2+-=a MN 所以，当.22,22==MN a 时即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为.22 (9)分（Ⅲ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ AM=AN ，BM=BN ，G 为MN 的中点 ∴ AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，∠AGB 即为二面角α的平面角， 又AG=BG=46，所以，由余弦定理有.31464621)46()46(c o s 22-=⋅⋅-+=α故所求二面角)31arccos(-=α.……………12分19．本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分.解法一：设点P 的坐标为（x ,y ），依题设得||||x y =2，即.0,2≠±=x x y①………2分因此，点P （x ,y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得,2||||||||=<-MN pN PM ,0||2||||||>=-m PN PM ,1||0<<∴m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故.112222=--mymx ②…………6分将①式代入②，并解得222251)1(mm m x --=，……………8分,0510122>-∴>-mm解得55||0<<m .即m 的取值范围为).55,0()0,55( -……………12分解法二：设点P 的坐标为（x ,y ），依题设得2||||=x y ，即0,2≠±=x x y . ①…………2分由|PM|－|PN|=2m ，得 ,2)1()1(2222m yx yx =+--++ ②…………4分由②式可得,2)1()1(42222m yx yx x =+-+++所以，0||,21||2||2||≠=<m y x m 且.……………6分由②式移项，两边平方整理得.)1(222m x y x m -=+- 将①式代入，整理得)1()51(2222m m x m -=-.③…………8分且,02>x③式右端大于0，0512>-∴m.综上，得m 满足.55||0<<m即m 的取值范围为).55,0()0,55( -……………12分20．本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设2001年末汽车保有量为b 1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则 .94.0,30121x b b b +⨯==………………2分对于n >1，有 ,)94.01(94.094.0211x b x b b n n n ++⨯=+⨯=-+x b x b b nnn nn 06.094.0194.0)94.094.01(94.01111-+⨯=++++⨯=∴-+.94.0)06.030(06.0nx x ⨯-+=………………6分当.30,8.1,006.03011=≤≤≤≤≥-+b b b x x n n 时即………………8分当,06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim ,8.1,006.0301x x x b x xn n n n =⨯-+=><--∞→∞→时即并且数列{b n }逐项增加，可以任意靠近06.0x . ……………10分因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即),3,2,1(60 =≤n b n .则6.3,6006.0≤≤x x 即（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分21．本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分. 解：（Ⅰ）当)(),(1||)()(,02x f x f x x x f a 此时函数时=+-+-=-=为偶函数.………………2分当,1||2)(,1)(,022++=-+=≠a a a f a a f a 时)()(),()(a f a f a f a f -≠-≠-.此时函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.………………4分（Ⅱ）（i ）当.43)21(1)(,22++-=++-=≤a x a x x x f a x 函数时若],()(,21a x f a -∞≤在则函数上单调递减，从而，函数],()(a x f -∞在上的最小值为.1)(2+=a a f若21>a ，则函数],()(a x f -∞在上的最小值为).()21(,43)21(a f f a f ≤+=且………7分（ii ）当a x ≥时，函数.43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若).()21(,43)21(),[)(,21a f f a f a x f a ≤--=-+∞-≤且上的最小值为在则函数若.1)(),[)(,,),[)(,212+=+∞+∞->aa f a x f a x f a 上的最小值为在函数从而上单调递增在则函数……………10分综上，当.43)(,21a x f a --≤的最小值是函数时当.1)(,21212+≤<-a x f a 的最小值是函数时当.43)(,21+>a x f a 的最小值是函数时……………12分22．本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.满分14分. 解：（Ⅰ）由,412,3,31,22223212121=+-===+-==a a a a a a a a 得由得由.513,432343=+-==a a a a 得由此猜想na 的一个通项公式：)1(1≥+=x n a n………4分（Ⅱ）（i ）用数学归纳法证明： ①当213,11+=≥=a n ，不等式成立.………………6分②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k也就是说，当.2)1(11++≥+=+k a k n k 时根据①和②，对于所有.2,1+≥≥n a n n 有……………10分（ii ）由及1)(1+-=+n a a a n n n （i ），对1)1(,211++-=≥--k a a a k k k k 有,121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a .1)1(2122211211-+=++++≥∴---a a a k k k k……………12分于是.2,21111111≥⋅+≤+-k a a k k∑∑∑===--=+≤+≤+=+++≤+nk nk nk k k ka a a a a121111111.2131212211121111111……14分。