中等职业教育教材5.3.2《等比数列的前n项和》

《等比数列的前n项和》一、教材分析1.本节在教材中的地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第四章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。

就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

2.从学生认知角度来看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

3. 学情分析教学对象是刚进入中职校的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。

4. 重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．公式推导所使用的“错位相减法”是中职数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

二、目标分析1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章 直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章 立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章 概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章 三角计算及其应用 （第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。

5.3.2 等比数列的前 n 项和知识点归纳知识点一、等比数列的前n 项和公式等比数列的前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 1－a n q1－qq ≠1知识点二、等比数列前n 项和的性质1．在等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 中，如果令A ＝a 1q －1，那么S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列．2．等比数列{a n }中，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q (S 奇≠0)；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q (S 偶≠0).3．涉及S n ，S 2n ，S 3n ，…的关系或S n 与S m 的关系考虑应用以下两个性质(1)等比数列前n 项和为S n (且S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n (q ≠－1)．(2)等比数列{a n }的公比为q ，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m . 4．错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， ② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，整理得S n ＝a 1（1－q n ）1－q(q ≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.典例分析一、等比数列前n 项和的基本计算 例1 在等比数列{a n }中，(1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5；(3)若a 3＝32，S 3＝92，求a 1和公比q .解析 (1)由S n ＝a 1(1－q n )1－q，a n ＝a 1q n －1以及已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧189＝a 1－2a n 1－2＝a 1－2×96－1，96＝a 1·2n －1，∴a 1＝3.又∵2n －1＝963＝32，∴n ＝6.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q 2)＝10，a 1q 3(1＋q 2)＝54.①②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得，q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝⎛⎭⎫123＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝8×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝312.(3)当q ＝1时，S 3＝3a 1，a 3＝a 1＝32.∴3×32＝S 3＝92，∴a 1＝32，q ＝1.当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝92，a 3＝a 1·q 2＝32，∴32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，∴q ＝－12，q ＝1(舍去)，∴a 1＝6. 综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，q ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1. 答案 见解析二、等比数列前n 项和的性质例2 (1)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8＝( )A ．－30B ．40C ．40或－30D ．40或－50 (2)等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，－a 4成等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 6S 3＝______.解析 (1)S 4，S 8－S 4，S 12－S 8构成等比数列，所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)， 因为S 4＝10，S 12＝130，∴(S 8－10)2＝10(130－S 8)．解得S 8＝40.故选B ．(2)因为等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，－a 4成等差数列，所以a 1q 2－a 1q 3＝2a 1q 4,2q 2＋q －1＝0，q ＝12或q ＝－1(舍去)，S 6S 3＝S 3＋q 3S 3S 3＝1＋(12)3＝98.答案 (1)B(2)98自我测试1．已知在等比数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析 由a n ＝a 1q n －1，得96＝3q n －1，∴q n －1＝32＝25.令n ＝6，q ＝2，这时S 6＝3(1－26)1－2＝189，符合题意，故选C ．答案 C2．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析 ∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝－13a n ，∴{a n }为等比数列，q ＝－13，又a 2＝a 1·q ＝－13a 1＝－43，∴a 1＝4，∴S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．故选C.答案 C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13 B ．－13 C ．19 D ．－19解析 由题知公比q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.答案 C4．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7 解析 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1.由⎩⎨⎧a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝316，得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝－12，∴a n ＝14×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1.由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512， 得m ＝8.故选A. 答案 A5．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N *)，则f (n )＝( )A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析 ∵f (n )可看作是以2为首项，23为公比的等比数列的前n ＋4项和，∴f (n )＝2[1－(23)n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)．故选D. 答案D6．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，则a 3a 5＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32解析 S 1＝1＋a ，∴a 1＝a ＋1，S 2＝2＋a ，a 2＝1，S 3＝4＋a ，a 3＝2， ∴a 22＝a 1a 3，即1＝2(a ＋1)，解得a ＝－12，∴S n ＝2n －1－12，∴a 4＝S 4－S 3＝4， ∴a 3a 5＝a 24＝16，故选C ． 答案 C7．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋a (a 为常数)，则数列{a n }是( ) A ．等比数列B ．仅当a ＝－1时，是等比数列C ．不是等比数列D ．仅当a ＝0时，是等比数列解析 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋a (n ＝1)，2×3n －1(n ≥2). 当a ＝－1时，a 1＝2适合通项a n ＝2×3n －1，故数列{a n }是等比数列． 当a ≠－1时，{a n }不是等比数列．故选B. 答案 B8．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2 解析 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1， 所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3， q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0，解得q ＝－1或±2， 当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.故选C. 答案 C9．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16解析 ∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，∴S n ·(S 3n －S 2n )＝(S 2n －S n )2， 即2×(14－S 2n )＝(S 2n －2)2，解得S 2n ＝6或S 2n ＝－4(舍去)． 同理，(6－2)(S 4n －14)＝(14－6)2，解得S 4n ＝30. 答案 B10．在等比数列{a n }中，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q ＝________. 解析 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3.∴q ＝a 4a 3＝3.答案 311．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝___________.解析 因为a 3＝32，S 3＝92，所以a 1＋a 2＋a 3＝92，则a 1＋a 2＝3，所以32q 2＋32q ＝3，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12.答案12．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝22n a -，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1， ∴a n ＝3＋(n －1)×1，即a n ＝n ＋2.(2)由(1)知b n ＝2n ，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝21＋22＋…＋210 ＝2(1－210)1－2＝2046.答案 (1)n ＋2 (2)204613．求和：12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n .解析 设S n ＝12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 则12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②，得12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12－12n －1×121－12－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n . 答案 3－2n ＋32n14．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋n －1}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)由已知得a n ＋1＋na n ＋n －1＝2，又a 1＋1－1＝1，所以数列{a n ＋n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)知：a n ＋n －1＝2n －1， a n ＝2n －1＋1－n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1＋2＋…＋2n －1)－(1＋2＋…＋n －1) S n ＝(2n－1)－12(n 2－n )＝2n－n 2－n ＋22.答案 (1)首项为1，公比为2的等比数列 (2)2n－n 2－n ＋22。

《等比数列的前n项和公式》说课稿休宁一职高吴水仙一、教材分析：1、地位和作用《等比数列前n项和公式》是高教版中等职业教育课程改革国家规划新教材《基础模块》下册高一年级第二学期第六章第三节内容。

教学对象为高一学生，教学课时为2课时，本节课为第一课时。

在此之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和打下基础。

本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。

2、重点和难点本节的教学重点是等比数列的前n项和的公式；教学难点是等比数列前n项和公式的推导。

3、教学目标知识目标：理解等比数列前n项和公式。

能力目标：通过学习等比数列前n项和公式,培养学生处理数据的能力。

情感目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。

4、教学方法本节课将采用类比推导法教学模式进行教学。

该模式能够将教学过程中的各要素进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。

5、教学手段教学中，利用多媒体等现代化教学手段来激发学生的学习兴趣，启发学生思维，增大课堂容量，提高课堂效率。

二、教学过程1、课题的引入首先给出以下实例（多媒体演示）：传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏。

国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子，并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒。

计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺。

等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。

S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。

问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。

第五篇 数列及其应用 专题5.3 等比数列及其前n 项和【考纲要求】1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系. 【命题趋势】1.利用公式求等比数列指定项、前n 项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列．2.利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n 项和. 【核心素养】本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q ，则S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点． 【素养清单•常用结论】设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 【真题体验】1.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）A ．16B ．8C ．4D ．22.【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若，则S 5=___________．3.【2018年高考浙江卷】已知成等比数列，且．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4.【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏5．【2017年高考全国III 卷理数】等差数列的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则前6项的和为（ ）A ．B ．C ．3D ．86.【2018年高考全国I 卷理数】记为数列的前项和，若，则___________．【考法拓展•题型解码】考法一 等比数列基本量的求解归纳总结：解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量a 1和q ，问题便可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，将q 分为q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．【例1】 (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 考法二 等比数列的性质及应用 归纳总结(1)等比数列性质的应用可以分为三类：通项公式的变形、等比中项的变形、前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【例2】 (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C. 12 D. 18(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A. 18 B ．－18 C. 578 D. 558(3)已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6C ．8D ．－9 考法三 等比数列的判定与证明 解题技巧:等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列． 【例3】 (2018·全国卷Ⅰ改编)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n . (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{b n }的前10项和S 10. 【易错警示】易错点 忽视等比数列的一些基本条件【典例】 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n ＝1,2,3，…)，求q 的取值范围．【错解】：因为a 1＝S 1＞0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q ＞0，1－q n ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＜0，1－q n ＜0，所以－1＜q ＜1或q ＞1，故所求q 的取值范围为(－1,1)∪(1，＋∞)．【错因分析】本题中出现两个基本错误：一是q ≠0这一隐含条件被忽视，二是对于前n 项和没有分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，故而解答出现错误．【正解】：因为数列{a n }为等比数列，S n ＞0，所以a 1＝S 1＞0，q ≠0.当q ＝1时，S n ＝na 1＞0；当q ≠1时，S n＝a 1(1－q n )1－q ＞0，即1－q n 1－q ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q ＞0，1－q n ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＜0，1－q n ＜0，所以－1＜q ＜1或q ＞1.综上，q 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．【误区防范】：等比数列中的三个易误点 (1)特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．【跟踪训练】 等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －1 【递进题组】1．在等比数列{a n }中，a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9＝( )A ．－2＋22 B ．－ 2 C. 2 D ．－2或 22．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A ．40 B ．60 C ．32 D ．503．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.4．(2019·西安一中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ＋n2(n ∈N *)． (1)若数列{a n ＋t }是等比数列，求t 的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 【考卷送检】 一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．242．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例．为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f3．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A ．－2 B ．－ 2 C ．±2 D. 24．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －15．(2019·潍坊重点高中联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B.73 C. 83 D ．36．(2019·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2·b 8·b 11＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 二、填空题7．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________. 8．(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 9．(2019·杭州期中)设数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的n ∈N *，满足a n ＋2－a n ≤2n ，a n ＋4－a n ≥5×2n ，则a 2 017＝________. 三、解答题10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.11．(2019·河南实验中学质检)数列{b n }满足b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .12．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．13．(2019·焦作一中月考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为________．。

1n 第五篇数列及其应用专题 5.3 等比数列及其前 n 项和【考试要求】1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.【知识梳理】1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：a n＝q (n ≥2，q 为非零常数).a n －1(2)如果三个数 a ，G ，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，其中 G＝± ab .2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为 a 1，公比是 q ，则其通项公式为 a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q ＝1 时，S ＝na ；当 q ≠1 时，Sa 1（1－q n ）a 1－a n q .3.等比数列的性质n 1n ＝1－q ＝ 1－q已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前 n 项和. (1)若 k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有 a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 q m .(3)当 q ≠－1，或 q ＝－1 且 n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为 q n .【微点提醒】1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2}. 2.由 a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证 a 1≠0.23.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q ＝1 与 q ≠1 分类讨论，防止因忽略 q ＝1 这一特殊情形而导致解题失误. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比 q 是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数 a ，b ，c 成等比数列的充要条件是 b 2＝ac .()(3)数列{a }的通项公式是 a ＝a n ，则其前 n 项和为 S ＝a (1－a n ).()nnn1－a(4)数列{a n }为等比数列，则 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8 成等比数列.()【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若 a ＝0，b ＝0，c ＝0 满足 b 2＝ac ，但 a ，b ，c 不成等比数列. (3)当 a ＝1 时，S n ＝na .(4)若 a 1＝1，q ＝－1，则 S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.【教材衍化】2.(必修 5P53A1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1，则公比 q 等于()4A.－1 2 【答案】 DB.－2C.2D.1 2 【解析】 由题意知 q 3＝a 5＝1，即 q ＝1.a 2 8 23.(必修 5P54A8 改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为.【答案】 27，81【解析】 设该数列的公比为 q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为 9×3＝27，27×3＝81.【真题体验】4.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7 的值为( )344 4 4A.2B.4C.9 2D.6【答案】 B【解析】 根据等比数列的性质得 a 3a 5＝a 2，∴a 2＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得 a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 2＝4，∴a 7＝4.5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为()f C. f f【答案】 D12 【解析】 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f ，公比为 2的等比数列，设此数列为{a n }，则 a 8＝f ，即第八个单音的频率为f .6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前 n 项和.若 S n ＝126，则 n ＝.【答案】 6【解析】 由 a＝2a ，知数列{a }是以 a ＝2 为首项，公比 q ＝2 的等比数列，由 S ＝2（1－2n ）＝126，解得 n ＝6.【考点聚焦】n ＋1nn1n1－2考点一 等比数列基本量的运算【例 1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足 a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则 a 4＝. (2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前 n 项和为 S n ，已知 S 3＝7，S 6＝63，则 a 8＝.4 4 【答案】 (1)－8 (2)32【解析】 (1)由{a n }为等比数列，设公比为 q .1＋a 2＝－1， 1－a 3＝－3， 1＋a 1q ＝－1，①1－a 1q 2＝－3，②5显然 q ≠1，a 1≠0，②得 1－q ＝3，即 q ＝－2，代入①式可得 a 1＝1， ①所以 a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为 a 1，公比为 q (q ≠1)，a 1（1－q 3） 7 3＝ ＝ ， 1－q 4 1＝1，a 1（1－q 6）63 4 6＝ ＝ ， 1－q 4 ＝2， 所以 a 8＝a 1q 7＝1×27＝32.4【规律方法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q ＝1 时，{a n }的前 n 项和 S n ＝na 1；当 q ≠1 时，{a n }的前 n 项和 Sa 1(1－q n ) n ＝ 1－q a 1－a n q＝ . 1－q【训练 1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前 n 项和，且满足 2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则 S 4＝()A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足 a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a2＝.b 2 【答案】 (1)D (2)1【解析】 (1)设数列{a n }的公比为 q (q >0)，S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ， 1q 3＝16，解得 q ＝2，a ＝2，所以 S 2（1－24）30.1 4＝＝ 1－2(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2＝2＝1.b 2 2 考点二 等比数列的判定与证明【例 2】 已知数列{a n }的前 n 项和 S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；67，即(2)若 S 5＝31，求λ.32 【答案】见解析【解析】(1)证明 由题意得 a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝ 1 ，a 1≠0.1－λ由 S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得 a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即 a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由 a 1≠0，λ≠0 得 a n ≠0，所以a n ＋1＝ λ. a n λ－1因此{a n }是首项为 1 ，公比为 λ的等比数列，1－λ －1于是 a n .λ－1(2)解 由(1)得 S n ＝1由 S 5＝31，得 132 ＝31 32 ＝ 1 .32解得λ＝－1.【规律方法】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n ＝1 的情形进行验证.【训练 2】 (2019·广东省级名校联考)已知 S n 是数列{a n }的前 n 项和，且满足 S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前 n 项和 T n .【答案】见解析【解析】(1)证明 因为 a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以 S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，则S n＝2S n－1－n＋4(n≥2)，所以S n－n＋2＝2[S n－1－(n－1)＋2](n≥2)，又由题意知a1－2a1＝－3，所以a1＝3，则S1－1＋2＝4，所以{S n－n＋2}是首项为4，公比为2 等比数列.(2)解由(1)知S n－n＋2＝2n＋1，所以S n＝2n＋1＋n－2，于是T n＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n 4（1－2n）n（n＋1）2n＋3＋n2－3n－8＝＋1－2－2n＝.2 2考点三等比数列的性质及应用【例3】(1)等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )A.12B.10C.8D.2＋log35(2)已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n 项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( )A.40B.60C.32D.50【答案】(1)B (2)B【解析】(1)由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2 (10)＝log3(a5a6)5＝10.(2)数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9 是首项为4，公比为2 的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.【规律方法】1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n ＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】(1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n}中，若a3，a7 是方程x2＋4x＋2＝0 的两根，则a5 的值是( )8A.－2B.－ 2C.± 2D. 29105 (2)(一题多解)设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若S 6＝3，则S9＝.S 3 S 6 【答案】 (1)B (2)73【解析】 (1)根据根与系数之间的关系得 a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由 a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以 a 3<0，a 7<0，即 a 5<0，由 a 3a 7＝a 2，得 a 5＝－ a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6 仍成等比数列，由已知得 S 6＝3S 3， S 6－S 3 S 9－S 6 S 9 7 ∴ ＝ ， 即 S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴ ＝ .S 3 S 6－S 3S 6 3 法二 因为{a n }为等比数列，由S6＝3，设 S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6 为等比数列，即 a ，S 32a ，S 9－S 6 成等比数列，所以 S 9－S 6＝4a ，解得 S 9＝7a ，所以S 9＝7a ＝7.【反思与感悟】S 6 3a 31.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分 q ＝1 和 q ≠1 两种情况讨论，判断单调性时对 a 1 与 q 分类讨论.【易错防范】1.特别注意 q ＝1 时，S n ＝na 1 这一特殊情况.2.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比 q ＝－1 且 n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当 q ≠－1 或 q ＝－1 时且 n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立.【核心素养提升】【数学运算】——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为： 理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算116能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学 命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想. 类型 1 等差数列两个性质的应用在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前 n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；(2)设{a n }的项数为 2n ，公差为 d ，则 S 偶－S 奇＝nd .【例 1】 (1)等差数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a － ＋a ＋ －a 2 ＝0，S － ＝38，则 m ＝.nnm 1m 1m2m 1(2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32∶27，则数列的公差 d＝.【答案】 (1)10 (2)5【解析】 (1)由 a － ＋a ＋ －a 2 ＝0 得 2a －a 2 ＝0，解得 a ＝0 或 2.m 1m 1mmmm又 S 2m （2m －1）（a 1＋a 2m －1） 1＝ ＝(2m －1)a m ＝38， 2 显然可得 a m ≠0，所以 a m ＝2.代入上式可得 2m －1＝19，解得 m ＝10.(2)设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S 奇，偶数项的和为 S 偶，等差数列的公差为 d .由已知条件，得奇＋S 偶＝354，偶＝192， 偶∶S 奇＝32∶27， 又 S －S ＝6d d ＝192－1625.奇＝162. 偶 奇＝类型 2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若 m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则 a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比 q ≠－1 时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例 2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前 8 项和等于()A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前 n 项和为 S n ，已知 S 3＝8，S 6＝7，则 a 7＋a 8＋a 9 等于()－121 A.1 8【答案】 (1)C (2)AB.－18C.57 8D.55 8【解析】 (1)数列{lg a n }的前 8 项和 S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝ lg(2×5)4＝4.(2)因为 a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6 也成等比数列，即 8，－1，S 9－S 6 成等比数列，所以 8(S 9 －S 6)＝1，即 S 9－S 6＝1，所以 a 7＋a 8＋a 9＝1.8 8 类型 3 等比数列前 n 项和 S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为 q .若共有 2n 项，则 S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例 3】 (1)已知等比数列{a n }共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q ＝.(2)已知{a n }是首项为 1 的等比数列，S n 是{a n }的前 n 项和，且 9S 3＝S 6 5 项和为.【答案】 (1)2 (2)3116【解析】 (1)由题意，得奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80， 奇＝－80，偶＝－160， 所以 q ＝S 偶－160 2.＝ ＝ S 奇 －80 (2)设等比数列{a n }的公比 q ，易知 S 3≠0.则 S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以 q 3＝8，q ＝2.1 311，公比为2的等比数列，其前 5 ＝ . 1－ 16 2【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40 分钟)一、选择题13C.2 2 61.公比不为 1 的等比数列{a n }满足 a 5a 6＋a 4a 7＝18，若 a 1a m ＝9，则 m 的值为( )A.8B.9C.10D.11【答案】 C【解析】 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10.2.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4 与 a 14 的等比中项为 2 2，则 2a 7＋a 11 的最小值为()A.16B.8 D.4【答案】 B【解析】 因为 a 4 与 a 14 的等比中项为2 2， 所以 a 4·a 14＝a 7·a 11＝(2 2)2＝8， 所以 2a 7＋a 11≥2 2a 7a 11＝2 2×8＝8， 所以 2a 7＋a 11 的最小值为 8.3.(2019·上海崇明区模拟)已知公比 q ≠1 的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则 S 5＝()A.1B.5C.3148 D.11 16【答案】 Da 1（1－q 3） 1a 1（1－q 5）11 【解析】 由题意得 1－q ＝3a 1q 2，解得 q ＝－ 或 q ＝1(舍)，所以 S 5＝ 2 1－q＝ 1 .14.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1 盏B.3 盏C.5 盏D.9 盏【答案】 B【解析】 设塔的顶层的灯数为 a 1 ，七层塔的总灯数为 S 7 ，公比为 q ，则依题意 S 7 ＝381，公比 q ＝ 2.∴a 1（1－27）381，解得 a 1＝3. 1－2＝25.(2019·深圳一模)已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－1＋b，则a＝()bA.－3B.－1C.1D.3【答案】A【解析】∵等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－1＋b，∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，∵等比数列{a n}中，a2＝a1a3，∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得a＝－3.b二、填空题6.等比数列{a }中，各项都是正数，且a ，1，2a a13＋a14＝.n【答案】2－11a322成等差数列，则a14＋a15【解析】设{a n}的公比为q.由题意得a1＋2a2＝a3，则a1(1＋2q)＝a1q2，q2－2q－1＝0，所以q＝1＋2(舍负).a13＋a14 1则＝＝2－1.a14＋a15 q7.已知数列{a n}的前n 项和为S n，且满足a n＋S n＝1(n∈N*)，则通项a n＝.【答案】12n【解析】∵a n＋S n＝1，①∴a1＝1，a n1＋S n1＝1(n≥2)，②2由①－②，得a n－a n1＋a n＝0，即a n＝1n≥2)，(a n－12∴数列{a n}是首项为1，公比为1的等比数列，则a12 2－11n＝＝2 2n8.(2018·南京模拟)已知数列{a }中，a ＝2，且a2＝4(a －a )(n∈N*)，则其前9 项的和S ＝.n＋1n 1a n－－.－14n＋1 n 91516【答案】 1 022【解析】 由a 2＋＝4(a －a )得，a 2－4a a ＋4a 2＝0，n 1n ＋1 na nn ＋1 n ＋1 n n∴(a －2a )2＝0，a n ＋1＝2，∴数列{a }是首项 a ＝2，公比为 2 的等比数列，∴S 2(1－29)＝1 022.n ＋1nn 1a n9＝1－2三、解答题9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记 S n 为{a n }的前 n 项和.若 S m ＝63，求 m . 【答案】见解析【解析】(1)设{a n }的公比为 q ，由题设得 a n ＝q n －1. 由已知得 q 4＝4q 2，解得 q ＝0(舍去)，q ＝－2 或 q ＝2. 故 a n ＝(－2)n －1 或 a n ＝2n －1.(2)若 a ＝(－2)n －1，则 S ＝1－（－2）n .nn3由 S m ＝63 得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若 a n ＝2n －1，则 S n ＝2n －1. 由 S m ＝63 得 2m ＝64，解得 m ＝6. 综上，m ＝6.10.已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线 y ＝x ＋2 上，且首项 a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前 n 项和为 S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前 n 项和为 T n ，请写出适合条件 T n ≤S n 的所有 n 的值. 【答案】见解析【解析】(1)根据已知 a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即 a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1.1718－ n 5 (2)数列{a n }的前 n 项和 S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以 q ＝3，b n ＝3n －1. 数列{b }的前 n 项和 T1－3n3n －1nn ＝＝ . 1－32 T n ≤S n即3n －1≤n 2，又 n ∈N *，所以 n ＝1 或 2. 2 【能力提升题组】(建议用时：20 分钟)11.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于 1，前 n 项积为 T n ，且 a 2a 4＝a 3，则使得 T 1>1 的 n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7【答案】 C【解析】 ∵{a }是各项均为正数的等比数列，且 a a ＝a ，∴a 2＝a ，∴a ＝1.又∵q >1，∴a <a <1，a >1(n >3)，n2 4333312n∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5 ＝a 5＝1，T ＝T ·a ＝a >1，故 n 的最小值为 6.36 5 6 612.数列{a }中，已知对任意 n ∈N *，a ＋a ＋a ＋…＋a ＝3n －1，则 a 2＋a 2＋a 2＋…＋a 2等于()nA.(3n －1)2123B.12 n(9n －1) 123nC.9n －1【答案】 BD.1 4(3n －1)【解析】 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2 时，a 1＋a 2＋…＋a n 1＝3n －1－1， ∴当 n ≥2 时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又 n ＝1 时，a 1＝2 适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2}是首项为 4，公比为 9 的等比数列.因此 a 2＋a 2＋…＋a 2 4(1－9n)＝1 n －1).1 2 n ＝(9 1－9 213.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 3a 11＝2a 2，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝ .8【答案】319n ＝【解析】∵{a }是等比数列，a a ＝2a2，n 3 11 5∴a2＝2a2，∴q4＝2，7∵S ＋S 5＝λS a1（1－q4）a1（1－q12）λa1（1－q8）4 128，∴＋1－q＝1－q，1－q∴1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，将q4＝2 代入计算可得λ8 . 314.已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n＋λ}是不是等比数列，并求a n；(2)当λ＝1 时，求数列{n(a n＋λ)}的前n 项和T n.【答案】见解析【解析】(1)因为a n＋1＝2a n＋λ，所以a n＋1＋λ＝2(a n＋λ).又a1＝1，所以当λ＝－1 时，a1＋λ＝0，数列{a n＋λ}不是等比数列，此时a n＋λ＝a n－1＝0，即a n＝1；当λ≠－1 时，a1＋λ≠0，所以a n＋λ≠0，所以数列{a n＋λ}是以1＋λ为首项，2 为公比的等比数列，此时a n＋λ＝(1＋λ)2n－1，即a n＝(1＋λ)2n－1－λ.(2)由(1)知a n＝2n－1，所以n(a n＋1)＝n×2n，T n＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 2T n＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得：－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2（1－2n）－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.1－2所以T n＝(n－1)2n＋1＋2.【新高考创新预测】15.(创新思维)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝e a1＋a2＋a3.若a1>1，则下列选项可能成立的是( )A.a1<a2<a3<a4B.a1＝a2＝a3＝a42021 a 1＋a ＋a 2＋a a C.a 1>a 2>a 3>a 4D.以上结论都有可能成立【答案】 A【解析】 构造函数 f (x )＝e x －x －1，f ′(x )＝e x －1＝0，x ＝0，得极小值 f (0)＝0，故 f (x )≥0，即 e x ≥x ＋1 恒成立(x ＝0 取等号).a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝e a 1＋a 2＋a 3>a 1＋a 2＋a 3＋1⇒a 4>1⇒q >0，且 a 2>1，a 3>1， 若公比 q ∈(0，1]，则 4a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝e 2 3>e 1>7e 1>7a 1＋7>4a 1，产生矛盾.所以公比 q >1，故 a 1<a 2<a 3<a 4.故选 A.。

等比数列的前n项和（一）教学基本流程等比数列的前n项和一、教学目标1、知识与技能目标：掌握等比数列的前n项和公式，能用公式解决一些简单问题。

2、过程与方法目标：通过公式的推导，提髙学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。

3、情感态度与价值观目标：通过经历对公式的探究，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练其思维品质。

二、教学重难点重点:使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式。

三、教学方法与手段采用教师引导、观察发现、类比、探究、启发式教学等多种教学方法，借助信息技术辅助教学等手段。

(2)VS3=7, S6=63,又•.pHl ^^^ = 7(1) .・.< 1-餐 血也=63⑵.1 一？.\q 3=8 /. q=2 小结：在等比数列的通项公式及前n 项公式中共有a h a n jLq,Sn 五个虽:，由于有a n =a iq .& =）$尸 鱼二^ 三个式子，所以上述五个咼中可以知三求二，求解时1一彳\-q教学 过程教学内容 师生互动设计意图=27q s又Vq<0 Aq=--1640~sF练刃：等比数列｛a n ｝中已知 3 9as= — , S3=—求 ai 与 q2 2 ((1-q 3) = (1-q) (1+q+q 2))注意解方程思想。

例3:某商杨今年销售计算机 5000台，如果平均每年的销售 量比上一年的销售量增加10%, 那么从今年起，大约几年可使总 销售量达到30000台。

（结果保留到个位lg0.6~0.20 lgl.1^0.041）分析：解决实际问题时，我们应 当先将实际问题转化为数学问 题，再用相应的知识求解。

解：根据题意，每年销售量比上 一年增加的百分率相同，所以， 从今年起，每年的销售量组成一 个等比数列{a n },其中 ai=5000,q=l + 10%=l 」 S n =30000.5000（1 — 1.1”） :, ---- ------- =30000 给学生充足时间，自己尝试 解决问题，然后教师板书， 规范过程。