江苏省无锡市江阴四校2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文)试题

2017-2018学年第二学期高二期中考试数学学科试题（文科）一、填空题（每小题5分，共70分。

请把答案直接填写在答题卷相应位置.） 1.已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a 等于 ▲ .2.若32z i =-，则2=-z i▲ . 3.已知命题1:0,2p x x x∀>+≥,那么命题p ⌝为 ▲ .4.函数()ln 3y x =-的定义域是 ▲ .5．已知2133311,,log 34a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 ▲ . 6.“1x >” 是 “11x<” 的 ▲ 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 7.设函数()133,1{1log ,1x x f x x x -≤=->，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是 ▲ .8.二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W = ▲ .9.已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .10.若函数)(x f 定义在R 上的奇函数，且在)0,(-∞上是增函数，又0)2(=f ，则不等式0)1(<+x xf 的解集为 ▲ .11.已知函数()()20{ 20x x f x f x x ≤=->，则()()()()1232017f f f f ++++=▲ .12.设函数()212exf x x =-+，则使()()24f x f x ≤-成立的x 的取值范围是 ▲ .13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，均有()()2f x f x +=，当[)0,1x ∈时， ()21x f x =-，则下列结论正确的是 ▲ .① ()f x 的图象关于1x =对称 ② ()f x 的最大值与最小值之和为2 ③方程()lg 0f x x -=有10个实数根 ④当[]2,3x ∈时， ()221x f x +=-14.已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=,1,)(,1|,1|)(2x a x x x a x f 函数)(2)(x f x g -=，若函数)()(x g x f y -=恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤).15.(本小题满分14分）已知:p 实数x ，满足0x a -<，:q 实数x ，满足2430x x -+≤. （1）若2a =时p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围16．(本小题满分14分）已知函数()()2lg 1f x x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦．（1）求函数()f x 的定义域．（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．17.(本小题满分14分）已知函数()xf x b a =⋅ (其中,a b 为常量且0a >且1a ≠）的图象经过点()1,8A , ()3,32B . (1)试求,a b 的值；(2)若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.18.(本小题满分16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足623-=a P ，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足241+=a Q ，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为)(x f （单位：万元）． （1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19.(本小题满分16分）已知函数()2,.f x x x a a R =-∈ ⑴若0a =，且() 1.f x =-，求x 的值；⑵当0a >时，若()f x 在[)2,+∞上是增函数，求a 的取值范围； ⑶若1=a ，求函数()f x 在区间[]()00m m >，上的最大值()g m .20．(本小题满分16分）已知函数54)(2-++=a x x x f ,724)(1+-⋅=-m m x g x .（1）若函数)(x f 在区间]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围； （2）当时，若对任意的]2,1[1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =成立，求实数m的取值范围；（3）若]2,[),(t x x f y ∈=的值域为区间D ，是否存在常数，使区间D 的长度为t 46-？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（注：区间],[q p 的长度为p q -）2017-2018学年第二学期高二期中考试数学学科答案（文科）一、填空题 1. －2 2.2155i + 3. 21,0<+>∃xx x 4. [)2,3 5. c b a << 6. 充分不必要 7. [)0,+∞ 8. 43r π 9.)0,22(-10. )1,0()1,3(⋃-- 11. 30252 12.44,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 13. ③ 14. （2，3]二、解答题15.（1）由0x a -<，得x a <.当2a =时，2x <，即p 为真命题时，2x <. ----------------------2分 由2430x x -+≤得13x ≤≤，所以q 为真时，13x ≤≤. ----------------------4分 若p q ∧为真，则12x ≤<所以实数x 的取值范围是[)1,2. ----------------------7分 （2）设(),A a =-∞，[]1,3B =， ----------------------8分q 是p 的充分不必要条件，所以B A ⊆， ----------------------10分 从而3a >.所以实数a 的取值范围是()3,+∞. ---------------------14分16.（1）因为()210x a x a +-->即()()10x x a +->， ----------------------1分当1a <-时，不等式的解为x a <或1x >-，所以函数()f x 的定义域为{|x x a <或1}x >-． ----------------------3分 当1a =-时，不等式的解为1x ≠-，所以函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠-． ----------------------5分 当1a >-时，不等式的解为1x <-或x a >，所以函数()f x 的定义域为{|1x x <-或}x a >． ----------------------7分 （2）如果()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称， ----------------------9分 由（1）知， 1a =， ----------------------11分 检验：当1a =时，定义域为{|1x x <-或1}x >关于原点对称，()()2lg 1f x x =-， ()()()()22lg 11f x x lg x f x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦，因此当1a =时， ()f x 是偶函数． ----------------------14分17.（1）由函数()xf x b a =⋅的图象经过点()1,8A , ()3,32B ，知38{ 32a b a b ⋅=⋅=-----2分1,≠>a o a ，4,2==∴b a --------------------6分（2）解：由（1）可得恒成立令，只需，易得在为单调减函数，-------------10分. --------------------14分18.（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元所以总收益=43.5（万元） ----------------------4分（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元所以 ----------------------8分依题意得，解得 ----------------------10分故令，则所以当t =，即72x =万元时， y 的最大值为44万元， ----------------------14分 所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元． ----------------------16分19.(1)由0a =知()f x x x =()1f x =-即1x x =- ∴1x =- ----------------------3分(2)----------------------4分,0>a)(x f ∴在),(a -∞上单调递增，在)2,(a a 上单调递减，在),2(+∞a 上单调递增-------6分()f x 在[)2,+∞ 上是增函数 22,1a a ∴≤≤即∴01a <≤ ---------------------8分(3)()f x 图象如图当01m <≤时， ----------------------10分当11m <≤时， ()()11g m f ==----------------------12分当1m >时，----------------------14分综 ----------------------16分20.(1)根据题意得： 的对称轴是，故在区间递增， --------1分 因为函数在区间上存在零点，故有，即，故所求实数的范围是； --------------------3分 （2）若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域是函数的值域的子集，时， 的值域是， ----------------------4分下面求， 的值域，令，则，，①时， 是常数，不合题意，舍去； ----------------------5分②时，的值域是，要使，只需，计算得出； ----------------------7分③时，的值域是，要使，只需，计算得出；综上，的范围是. ----------------------9分（3）根据题意得，计算得出，----------------------10分①时，在区间上，最大，最小，，计算得出：或（舍去）；---------------------12分②时，在区间上，最大，最小，，计算得出：；---------------------14分③时，在区间上，最大，最小，，计算得出：或，故此时不存在常数满足题意，综上，存在常数满足题意，或. ----------------------16分。

江苏省江阴高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数()12z i i =-⋅(i 为虚数单位)，则z =（ ）A ．5B ．2.C ．3D ．12．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（ ）A ．14B ．25C ．12 D ．353．水以匀速注入如右图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间的函数关系图象（ ）A ．B ．C ．D ．4．9(1)x -的展开式中，系数最大的项是（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第5或6项5．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ） A ．51个 B ．54个 C ．12个 D ．45个 6．已知函数ln ()xf x a x=-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(0,e)B ．(,e)-∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭7．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左， 四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中 任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（ ）A ．14B ．12C ．13D ．238．已知函数()x f x xe =，()2ln 2g x x x =，若12()()f x g x t ==，0t >，则12ln tx x 的最大值为（ ） A ．21e B ．24e C ．1eD ．2e二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得2分. 9．下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ） A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量1,0X ⎧=⎨⎩取出白球，取出红球 D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X10．若将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则下列结论正确的有（ ） A ．AD 与BC 所成的角为45° B ．AC 与BD 所成的角为90°C ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值为63D ．平面ABC 与平面BCD 所成角的正切值是2 11．6()(1)a x x -+的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（ ）A ．3a =B ．展开式中常数项为3C ．展开式中4x 的系数为30D ．展开式中x 的偶数次幂项的系数之和为64 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ， 且EF 22=a ，以下结论正确的有（ ） A ．AC ⊥BEB ．点A 到△BEF 的距离为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1体积的112D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．复数1z ，2z 满足121z z ==，123z z -=，则12z z +=______.14．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m ＞n ．则CDABm n +=______.15．若n 是正奇数，则112217777nn n n n n n C C C ---++++被9除的余数为______.16．在桌面上有一个正四面体D —ABC ．任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边， 以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作． 如图，现底面为ABC ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作 3次后，平面ABC 再度与桌面接触的概率为______；操作n 次后， 平面ABC 再度与桌面接触的概率为______. 四、解答题17．(本小题满分10分)已知复数：()()2221z m m m i =--+-（1）在①z 为实数，②z 为虚数，③z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 若________，求实数m 的取值或范围；（2）当z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围.18．(本小题满分12分)已知函数()cos 2xf x e x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19．(本小题满分12分)幼儿园组织“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让小朋友们去猜哪一个花轿里是自已的妈妈.假设各位小朋友都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的. （1）已知妮妮的妈妈在某个花轿里，如果给妮妮两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自 己妈妈的概率；（2）如果四位妈妈所对应的四位小朋友一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为X ，求X 的分布列. 20．(本小题满分12分)如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上,设BC x =，矩形ABCD 的面积为S .（1）写出矩形ABCD 的面积S 关于C x =的函数，问怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？求出最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积.21．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD =，AE PC ⊥于点E ，//EF CD ，交PD 于点F ．（1）证明：平面ADE ⊥平面PBC ； （2）求二面角D AE F --的余弦值．22．(本小题满分12分) 已知函数()1x f x kex -=-．（1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()()ln f x g x x x x=-+有三个极值点1x ，2x ，3x （123x x x <<），求()()()123g x g x g x ++的取值范围．2020-2021学年度江阴高级中学高二数学期中考试卷答案2021.04一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数()12z i i =-⋅(i 为虚数单位)，则z =（ ） A ．5 B ．2.C ．3D ．1【答案】A【详解】因为222z i i i =-=+，所以22215z =+=.故选：A.2．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（ ）A ．14B ．25C ．12D ．35【答案】C【详解】设事件A =“第1次抽到代数题”，事件B =“第2次抽到几何题”，()35P A =，()3265420P AB =⨯= ,则()()()23|61025P AB P B A P A ===， 所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为12.故选：C. 3．水以匀速注入如右图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间的函数关系图象（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此与图象越来越陡峭，原来越大，选B4．9(1)x -的展开式中，系数最大的项是（ ） A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第5或6项 【答案】C【详解】19(1)rrrr T C x +=-⋅⋅，要使其系数最大，则r 应为偶数，又在9r C (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)r =中，由二项式系数的性质可知，当4r =或5时，9rC 最大，故在9(1)x -的展开式中，当4r =，即第5项系数最大，故选：C.5．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）A ．51个B ．54个C ．12个D ．45个【答案】A【详解】由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有123322C A A (个).（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有123233C C A （个）.（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有33A （个）由分类加法计数原理得共有1212333323332251C A C C A A A +=+(个)．故选：A ． 6．已知函数ln ()xf x a x=-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(0,e)B ．(,e)-∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【详解】因为函数ln ()xf x a x =-有两个不同的零点，所以方程ln ()0x f x a x=-=有两个不同的实数根，因此函数ln ()x g x x =与函数y a =有两个交点.()()2ln 1ln x xg x g x x x -='=⇒,当x e >时，'()0,()g x g x <单调递减，当0x e <<时，'()0,()g x g x >单调递增， 因此当x e =时，函数()g x 有最大值，最大值为：ln 1()e g e e e ==， 显然当1x >时，()0>g x ，当01x <<时，()0<g x ，当1x =时，(1)0g =，因此函数ln ()xg x x =的图象如下图所示： 通过函数ln ()x g x x =的图象和上述分析的性质可知：当10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数ln ()x g x x=与函数y a =有两个交点. 故选：D7．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（ ）A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】B【详解】由题意可知，10个数中，1、3、5、7、9是阳数，2、4、6、8、10是阴数， 若任取3个数中有2个阳数，则2155310105512012C C PC ，若任取3个数中有3个阳数，则3531010112012C PC ，故这3个数中至少有2个阳数的概率51112122P =+=，故选：B. 8．已知函数()xf x xe =，()2ln 2g x x x =，若12()()f x g x t ==，0t >，则12ln tx x 的最大值为（ ） A ．21e B ．24e C ．1eD ．2e【答案】D【详解】由题意得，11xx e t =，222ln 2x x t =，即2ln22222ln 2ln 2x x x e x t =⋅=，令函数()xf x x e =⋅，则()(1')x f x x e =+，所以，1x <-时，'()0f x <，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，1x >-时，'()0f x >，()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又当(0)x ∈-∞，时，()0f x <，0()x ∈+∞，时，()0f x >， 作函数()x f x xe =的图象如图所示.由图可知，当0t >时，()f x t =有唯一解，故12ln 2x x =，且1>0x ， ∴1222ln 2ln 2ln 2ln 2t t t x x x x t ==.设2ln ()th t t=，0t >，则()221ln ()t h t t '-=，令()0h t '=解得t e =，所以()h t 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ∴()()2h t h e e≤=，即12ln t x x 的最大值为2e .故选：D .二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得2分.9．下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ） A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量1,0X ⎧=⎨⎩取出白球，取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 【答案】BCD【详解】两点分布又叫01-分布，所有的实验结果有两个，选项BCD 满足题意， A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布，故选：BCD.10．若将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则下列结论正确的有（ ） A ．AD 与BC 所成的角为45° B ．AC 与BD 所成的角为90°C ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值为63D ．平面ABC 与平面BCD 所成角的正切值是2 【答案】BCD【详解】取BD 中点O ，连接,AO CO .若将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则,,OA BD OC BD OA OC ⊥⊥⊥， ∴以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设1OC =，则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -，∴(0,1,1),(1,1,0)AD BC =-=，∴1cos ,2||||22AD BC AD BC AD BC ⋅〈〉===⨯，∴AD 与BC 所成的角为60°，故A 不正确； 易得(1,0,1),(0,2,0)AC BD =-=， ∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故B 正确；设平面ACD 的一个法向量为(,,)t x y z =，则0,0,t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩取1z =，则1x y ==，∴(1,1,1)t =，又(1,1,0)BC =，设BC 与平面ACD 所成的角为θ， ∴6sin |cos ,|3||||32BC t BC t BC t θ⋅=〈〉===⨯，故C 正确；易知平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，(0,1,1)BA =，(1,1,0)BC =， 设平面ABC 的一个法向量为(),,m x y z '''=，则0,0,m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=''''+=⎩取1x '=，则1y '=-，1z '=，∴(1,1,1)m =-， 设平面ABC 与平面BCD 所成的角为α，则||3cos |cos ,|3||||m n m n m n α⋅=〈〉==， ∴6sin tan 2αα∴平面ABC 与平面BCD 2故D 正确.故选：BCD. 11．6()(1)a x x -+的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（ ） A ．3a =B ．展开式中常数项为3C ．展开式中4x 的系数为30D ．展开式中x 的偶数次幂项的系数之和为64【答案】ABD【详解】设6270127()(1)a x x a a x a x a x -+=++++，令1x =，则012764( 1) a a a a a ++++=-，……① 令1x =-，则01270a a a a -+--=，……②由①-②得()1357264(1)a a a a a +++=-，所以26464(1)a ⨯=-，解得3a =， 即6270127(3)(1)x x a a x a x a x -+=++++，令0x =，可得03a =，即展开式中常数项为3，DA由①+②得()02462642a a a a +++=⨯，所以024664+++=a a a a ， 即展开式中x 的偶数次幂项的系数之和为64，又由6(3)(1)x x -+展开式中4x 的系数为43663125C C ⨯-⨯=.故选：ABD.12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ， 且EF 2，以下结论正确的有（ ） A ．AC ⊥BEB ．点A 到△BEF 的距离为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1体积的112D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值 【答案】ABC【详解】对于A ，根据题意AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，AC ⊥平面BDD 1B 1，则AC ⊥BE ，所以A 正确； 对于B ，A 到平面BDD 1B 1的距离是定值，所以点A 到△BEF 的距离为定值，则B 正确； 对于C ，三棱锥A ﹣BEF 的体积为V 三棱锥A ﹣BEF 13=•12EF •AB •BB 1•sin45°112322=⨯⨯a ×a 22⨯a 112=a 3， 三棱锥A ﹣BEF 的体积是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1体积的112，正确； 对于D ，如图所示异面直线AE ，BF 所成的角的平面角为AEM ∠不为定值，命题D 错误；故选：ABC ．三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．复数1z ，2z 满足121z z ==，123z z -=，则12z z +=______.【答案】114．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m ＞n ．则m n +=______.【答案】34【详解】由题知三个社团都能进入的概率为124，即1113248m n m n ⨯⨯=⇒⨯=，又因为至少进入一个社团的概率为34，即一个社团都没能进入的概率为31144-=，即()()213111348m n m n m n -⨯⨯-=⇒--+⨯=，整理得34m n +=. 故答案为：34.15．若n 是正奇数，则112217777nn n n n n n C C C ---++++被9除的余数为______.【答案】7【详解】由题可知：原式=01122177777nn n n n n n C C C C ---++++()00112221100717171717171n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C ----=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅-⋅(71)1n =+-81n =-(91)1n =--()0011222110919(1)9(1)9(1)9(1)1n n n n n n n n n n n n C C C C C ----⎡⎤=⋅-+⋅-+⋅-++⋅-+⋅--⎣⎦，因为n 为正奇数，所以上式可化简为：0112221199(1)9(1)9(1)2n n n n n n n n n C C C C ----+⋅-+⋅-++⋅-- 0112221199(1)9(1)9(1)97n n n n n n n n n C C C C ----=+⋅-+⋅-++⋅--+所以该式除以9，余数为：7.16．在桌面上有一个正四面体D —ABC ．任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作．如图，现底面为ABC ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面ABC 再度与桌面接触的概率为______；操作n 次后，平面ABC 再度与桌面接触的概率为______.【答案】;四、解答题17．(本小题满分10分)已知复数：()()2221z m m m i =--+-（1）在①z 为实数，②z 为虚数，③z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 若________，求实数m 的取值或范围；（2）当z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围.【答案】选择①，当z 为实数时，有210m -=，解得1m =-或1m =，………………4分 选择②，当z 为虚数时，有210m -≠，解得1m ≠-或1m ≠，………………4分选择③，当z 为纯虚数时，有222010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得211m m m ==-⎧⎨≠±⎩或，∴2m =；…4分（2）因为z 在复平面内对应的点位于第三象限， 所以222010m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得11m -<<，所以m 的取值范围为()1,1-.………………10分18．(本小题满分12分)已知函数()cos 2xf x e x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【详解】（1）因为()2xf x e cosx x =-，所以()()cos sin 2xf x ex x '=--，()01f '=-.………………2分又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x -=-， 即1y x =-+.………………4分 （2）设()()cos sin 2xh x ex x =--，则()()cos sin sin cos 2sin x x h x e x x x x e x '=---=-..………………6分当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.………………8分 所以对任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=， 即()0f x '<.所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.………………10分因此()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为2f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………12分 19．(本小题满分12分)幼儿园组织“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让小朋友们去猜哪一个花轿里是自已的妈妈.假设各位小朋友都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的.（2）已知妮妮的妈妈在某个花轿里，如果给妮妮两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自 己妈妈的概率；（2）如果四位妈妈所对应的四位小朋友一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为X ，求X 的分布列.【答案】（1）记“妮妮选到自己妈妈”为事件A ，则1311()4432P A =+⨯=；…………2分（2）由题意知X 的所有可能值为0､1､2､4，…………3分 则4411(4)24P X A ===， …………5分 24441(2)4C P X A ===，…………7分144421(1)3C P X A ⨯===，…………9分 4493(0)8P X A ===，…………11分∴随机变量X 的分布列：X 0 1 2 4P38 13 14 124…………12分20．(本小题满分12分)如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上,设BC x =，矩形ABCD 的面积为S .（1）写出矩形ABCD 的面积S 关于C x =的函数，问怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？求出最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积. 【详解】（1）连结OC .则22900AB x =-，其中030x <<.所以矩形ABCD 的面积S 关于C x =的函数： ()()2222229002900900900S x x x x x x =-=-≤+-=（030x <<）…………2分 ()()2222229002900900900S x x x xx x =-=-≤+-=.当且仅当22900x x =-，即152x =时，S 取最大值为2900cm .…………4分所以，取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm . …………6分（2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由229002AB x r π=-=，得2900x r π-=，所以()231900V r h x x ππ==-，其中030x <<.…………8分由()2190030V x π='-=，得103x =，因此()31900V x x π=-在()0,103上是增函数，在()103,30上是减函数.所以当103x =时，V 的最大值为60003π.…………10分取BC 为103cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为360003cm π.…………12分21．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD =，AE PC ⊥于点E ，//EF CD ，交PD 于点F ．（1）证明：平面ADE ⊥平面PBC ； （2）求二面角D AE F --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，平面ABCD∴PD AD ⊥，…………1分∵四边形ABCD 为正方形中，AD DC ⊥，,,∴AD ⊥平面PDC ，…………2分平面PDC ∴AD PC ⊥，…………3分∵AE PC ⊥，,,∴PC ⊥平面ADE ，…………4分 ∵平面PBC ∴平面ADE ⊥平面PBC ．…………5分（2）解：设AB 1=，则PD 3AD 3=，PC PA 2==．由（1）知PC ⊥平面ADE ，∴DE PC ⊥，1CE 2=，3PE 2=． 以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()D 0,0,0，()A 1,0,0，()C 0,1,0，()B 1,1,0，()P 0,0,3，33E 0,,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3F 0,0,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，…………7分 设1n ⊥平面AEF ，()1n x,y,z =，33AE 1,,44⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3AF 1,0,4⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 11n AE 0,{n AF 0,⋅=⋅=即330,44{x 330,4x y z x z -++==-+=,y 0=,z 4=, ∴()1n 3,0,4=，…………9分∵PC ⊥平面ADE ，()PC 0,1,3=-，…………10分 设二面角D AE F --的平面角为θ，11n PC 257cos θ19n PC⋅==-⋅，…………11分 又∵二面角D AE F --的平面角为锐角， ∴二面角D AE F --的余弦值为25719．…………12分 22．(本小题满分12分) 已知函数()1x f x kex -=-．（1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()()ln f x g x x x x=-+有三个极值点1x ，2x ，3x （123x x x <<），求()()()123g x g x g x ++的取值范围．【详解】（1）()11x f x ke -=-'，…………1分当0k ≤时，()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；…………2分 当0k >时，令()0f x '=，得1ln x k =-，当(),1ln x k ∈-∞-时，()0f x '<； 当()1ln ,x k ∈-+∞时，()0f x '>．故()f x '在(),1ln k -∞-上单调递减，在()1ln ,k -+∞上单调递增．…………4分（2）()()1ln ln 1x f x ke g x x x x x x x-=-+=-+-，()()()121x x ke x g x x---'=，因为()g x 有三个极值点1x ，2x，3x ，所以()0g x '=有三个根1x ，2x ，3x ，假设11x =，2x ，3x 是10x ke x --=的两个根，…………6分结合（1）可知，当0k >时，满足条件， 则()ln 1ln 1ln ln 0kf k kek k -=-+=<，解得01k <<，…………7分所以()110f k =-<，又，所以方程10x ke x --=的两个根中有一个小于1，一个大于1，又123x x x <<，所以21x =，1x ，3x 是10x ke x --=的两个根，…………9分 所以()2ln1112g x k k =-+-=-，()111ln g x x x =-，()333ln g x x x =-，所以()()()()()12313132ln g x g x g x k x x x x ++=-+-+42ln k ，…………11分 令()42ln h k k k =-+，01k <<，则()210h k k=+>'，所以()h k 在（0，1）上单调递增， 所以()3h k <-，所以()()()123g x g x g x ++的取值范围是(),3-∞-．…………12分。

江苏省无锡市江阴市二中、要塞中学等四校2019-2020学年高二下学期期中考试数学命题人：审核人：一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.复数的实部和虚部之和为A. 1B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的基本概念，属基础题化简已知复数是解决问题的关键．【解答】解：，复数z的实部与虚部之和为．故选B．2.若，则的值为A. 6B. 7C. 35D. 20【答案】C【解析】【分析】本题考查组合数的公式，属于基础题．根据公式计算出n，再利用阶乘的定义计算出结果．【解答】解：，，解得或舍去，，故选C．3.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：回归方程是，其中，则当时，y的预测值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．线性回归方程，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a 即可得到回归直线的方程，代入，可得y的预测值．【解答】解：由题意可知：，，由，，当，，的预测值为，故选C．4.已知函数，则曲线在处的切线斜率为A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义及导数的运算，属于基础题．对函数求导，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线斜率为，由此可解．【解答】所以，所以，即曲线在处的切线斜率为．故选B．5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A. 81种B. 72种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】本题为排列、组合的综合应用问题，题目基础．将四位老师分成三组，再分到三个班，列式，求解即可．【解答】解：由题意种，所以共有分配方案36种．故选D．6.函数在区间上的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数求最值，属于基础题．由已知函数，对其求导数，令导数等于0求出函数的极值点，将极值点代入原函数，求出函数的极值，与函数的端点值进行比较，即可得到答案．【解答】，由，得，或，，，，，函数在区间上的最小值是：．故选B．7.已知曲线，则过点的切线方程是A. 或B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，运用导数求曲线的切线方程，考查了学生的运用能力，属于中档题．先设切点为，再求出曲线的导数，表示出切线方程，再根据切线过点，建立方程，求出进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程即可．【解答】解：设切点为，即有，，易知，则在处切线的斜率为，则切线方程为，又切线过，，整理得：，，由联立得：，解得：或，切线的斜率或，切线方程为或，整理得过点的切线方程为：或，故选A．8.当复数z满足时，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的几何意义，两点间距离公式，属于中档题．解题关键在于对复数的几何意义的灵活运用．【解答】解：设，则，则，则点可看作以为圆心，1为半径的圆上的点，则求的最小值等价于求圆上点到点距离的最小值，故的最小值为．故选B．9.若对任意，有，就称A是具有“伙伴关系”的集合，集合0，，，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为A. 15B. 16C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用组合知识求子集个数问题，难度一般．先找出具有伙伴关系的元素组，再根据分类加法计数原理即可求解．【解答】解：具有“伙伴关系”的元素组有；，，3，共四组．它们中任一组、二组、三组、四组均可组成具有“伙伴关系”的集合，所以具有“伙伴关系”的集合的个数为．故选A．10.定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属中档题．令，从而求导，从而利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：令，则，故F是R上的单调增函数，而，故不等式其中e为自然对数的底数的解集为．故选：A．二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分.漏选得3分，错选得0分.）11.已知复数，则下列命题中正确的为A. B.C. z的虚部为iD. z在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD【解析】【分析】本题考查复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系，属于基础题．利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．【解答】解：复数，则，故A正确；又，故B正确；因为z的虚部为1，故C错误；因为z在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故D正确．故选ABD．12.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是A. B. C. 15 D. 90【答案】AD【解析】【分析】本题考查分步计数原理与组合问题的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，再从剩下的4本书中取出2本给乙，最后把剩下的2本书给丙，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理，可得结论；【解答】解：把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，有种取法，再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法，最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有种分法．故选AD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：则a等于______________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查随机变量的分布列，以及概率的性质的应用．根据分布列的性质，有，解之即可．【解答】解：由分布列的性质，有，解得．14.函数的单调减区间为_______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数求解函数的单调区间，属于基础题．求出导函数，由可以求出答案．【解答】解：函数，其定义域为，，由，得，函数的单调递减区间为．故答案为．15.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______．【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：，由此能求出结果．【解答】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：．故答案为．16.已知函数，若在区间上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查恒成立的问题，属于简单题．将函数进行求导，在区间上恒成立，之后再构造新函数最小值大于等于0即可．【解答】解：，因为函数在区间上是单调递增函数，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，记，，则，，，，故在递增，故，解得：，故实数a的范围是故答案为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题满分10分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．求复数的模；若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】解：设复数，则，于是，即，所以，解得，即．…………………………………………3分故．………………………………5分由得，……7分由于复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，……………………………………9分解得所以m的取值范围为．………………………………10分18.（本题满分10分）已知的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的．求n的值；求的展开式中系数．．最大的项．【答案】解：根据题意，设该项为第项，则有……2分即亦即………………………………………4分解得．………………………………………………………5分设第项系数最大，则有…………………6分即亦即………………………………8分解得，…………………………………………………9分，二项式展开式中系数最大的项为．……………10分19.（本题满分10分）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．Ⅰ求甲三次都取得白球的概率；Ⅱ求甲总得分的分布列和数学期望．【答案】解：Ⅰ记事件A表示甲一次取球时取得白球，则，所以甲三次都取得白球的概率．……………………………4分Ⅱ甲总得分情况有6分、7分、8分、9分4种可能，记为甲总得分．，，，．的分布列为6789………………………………………………………………8分甲总得分的数学期望．……10分【解析】本题考查古典概型的计算与应用、随机变量的概率分布和数学期望，考查考生应用意识、运算求解的能力及等价转化思想．Ⅰ利用古典概型、相互独立事件的概率公式求解；Ⅱ利用二项分布的概率公式建立分布列，再由数学期望公式求解数学期望．20.（本题满分12分）已知函数在与处取得极值．求实数a，b的值及函数的单调区间．若对，不等式恒成立，求c的取值范围．【答案】解：，由题意解得………………………………………………………2分，，令，解得；令，解得或，的减区间为；增区间为，………………5分由知，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．时，的最大值即为与中的较大者．；，当时，取得最大值．要使，只需，…………………………8分解得：或，的取值范围为．…………………………12分21.（本题满分14分）某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、xcm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求函数的定义域；当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？【答案】解：因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，所以铁皮箱的体积，…5分函数的定义域为；………………………………………………6分由得，，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数在处取得极大值，…………………………………12分这个极大值就是函数的最大值．……………………13分答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是…14分22.（本题满分14分）已知函数时，求函数的极值；时，讨论函数的单调区间：若对任意的，当，时恒有成立，求实数m的取值范围．【答案】解：时，，定义域为，，令得，……………………2分x，，的变化如下表：所以只有极大值，无极小值；……………………4分由，令得，，………………………………5分当时，，所以解得；解得或；此时的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时．恒成立，此时的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，，所以解得，解得或，此时的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，，所以解得；解得，此时的单调递增区间是，单调递减区间是．综上可知：时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，无单调递减区间；时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，单调递减区间是．……………9分由中的知，对任意的，在上单调递增，所以在区间上，，…………………………………………………………………11分所以，…………………12分所以，由于，所以，又当时，，所以．所以实数m的取值范围为．…………………………………14分。

高二下学期期中考试数学（文）试题总分：160分；考试时间：120分钟； 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。

）1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则U C A B =U （） ．2．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z=.3．命题“若a b >，则22ac bc >（,a b ∈R ）”否命题的真假性为 （从“真”、“假”中选填一个）．4．已知集合22{|230},{|0}A x x x B x x ax b =-->=++≤ , 若A B R =U ,{|34}A B x x =<≤I ,则a b +的值等于 .5．若22(4)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数m 的值是 6．“2:{|20}p x x x x ∈--≥”，“:{|}q x x x a ∈<”，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．7．函数12ln y x x =+的单调减区间为___________.8．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ．9．若命题“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是10．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x =+，若()3f a =， 则实数a 的值为11．已知函数()y f x =(x R ∈)的图象如图所示，则不等式'()0xf x <的解集为________．12．已知()f x 是定义在[2,2]-上的函数，且对任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()f x f x x x ->-，且()f x 的最大值为1，则不等式2(log )1f x <的解为13．求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x xf x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程623(2)2x x x x +=+++的解为 ．14．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分。

2016-2017学年第二学期高二期中考试数学（文科）一、填空题(每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上)． 1、 已知复数z 满足i z i +=-1)1(，则z 的模为____▲______．2、 已知集合{}|47M x x =-≤≤，{}3,5,8N =，则MN =____▲_____．3、 命题“R x ∀∈，220x +>”的否定是_ ▲ 命题．（填“真”或“假”之一）4、 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 ▲ ．5、 已知函数2()2f x x x =-在定义域[1,]n -上的值域为[1,3]-，则实数n 的取值范围 ▲ ．6、 已知数列{}n a 中，2,11≥=n a 时，,121-+=-n a a n n 猜想n a 的表达式是 ▲ ．7、 函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为_______▲__________．8、 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =+-(b 为常数)，则(1)f -的值为 ___▲____．9、 若f (x )为奇函数，且在(-∞，0)上是减函数，又f (-2) = 0，求不等式x ·f (x )＜0的解集为 ▲ ． 10、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是___▲___．11、已知实数a ≠0，函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a ) = f (1＋a )，则a 的值为_▲__．12、设函数f (x )是定义在(-1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f (a – 2) – f (4 – a 2)＜0， 实数a 的取值范围______▲________．13、已知f (x )是定义在R 上函数，且)(1)23(x f x f -=+当x ∈[0，3)时，f (x )=|212|2+-x x ．若函数y = f (x )– a 在区间[–3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围 是__▲___．14 、已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,)(2x ax x ax x x f ，若2121,,x x R x x ≠∈∃使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤).15、设关于x 的不等式x (x －a －1)<0(a ∈R )的解集为M ,不等式x 2－2x －3≤0的解集为N . (1)当a ＝1时，求集合M ； (2)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围．16、设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R ；命题q ：函数2()21f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减．（1）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题p 为真命题时，a 的取值集合为N ．当""N x ∈是""M x ∈的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围．17、己知二次函数f (x ) = ax 2+ bx (a 、b 为常数)满足条件f (x – 3) = f (5 – x )，且方程f (x )= x 有等根．（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ， n (m ＜n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[3m ，3n ]？如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．18、某隧道长2150m ，通过隧道的车辆速度不能超过20s m /．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为40s m /)，匀速通过该隧道，设车队的速度为s xm /，根据安全和车流量的需要，当100≤<x 时，相邻两车之间保持20m 的距离；当2010≤<x 时，相邻两车之间保持m x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31612的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为)(s y ．（1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73)．19、已知函数)(x f y =是定义在[]1,1-上的奇函数，且,1)1(=f 若[]2121,1,1,x x x x ≠-∈，0)()(2121>--x x x f x f .（1）判断函数)(x f 的单调性，并证明； （2）解不等式：)11()21(-<+x f x f ; （3）若12)(2+-≤am m x f 对所有[]1,1-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围.20、已知函数()21,f x x x a x =+-+∈R . （1）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由; （2）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间； （3）求函数()f x 的最小值)(a g .2016-2017学年第二学期高二期中考试数学答案1、12、{}5,33、假4、)1,31(- 5、[]3,1 6、2n a n = 7、)2,1( 8、-3 9、()),2(2,+∞⋃-∞- 10、 []1,0 11、43- 12、)5,2()2,3(⋃ 13、)21,0( 14、)4,(-∞15．解析 (1)当a ＝1时，由已知得x (x －2)<0，解得0<x <2. 所以M ＝{x |0<x <2}----4分(2)由已知得N ＝{x |－1≤x ≤3}． - ---------------------5分 ①当a <－1时，因为a ＋1<0，所以M ＝{x |a ＋1<x <0}因为M ⊆N ，所以－1≤a ＋1<0，所以－2≤a <－1. ． - ----------------------8分 ②当a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ，所以a ＝－1成立． ----------------------10分 ③当a >－1时，因为a ＋1>0，所以M ＝{x |0<x <a ＋1}．因为M ⊆N ，所以0<a ＋1≤3，所以－1<a ≤2. ----------------------13分 综上所述，a 的取值范围是[－2,2] ----------------------14分16、（1）若p 真：22,0<<-<∆a ----------------------2分若q 真：1-≥a ----------------------4分 命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假真假假，真p q q p ∴ ----------------------5分 当p 真q 假，12-<<-a当p 假q 真，2≥a综上： 12-<<-a 或2≥a ----------------------9分 （2）当""N x ∈是""M x ∈的充分不必要条件M N 是∴的真子集 ----------------------11分 ⎩⎨⎧≥-≤-∴225m m （等号不同时取） -------------------13分32≤≤∴m -------------------14分17、（1）由)5()3(x f x f -=-，得对称轴为1=x ，即12=-ab----------------3分 又f (x ) = x 有等根，1=b ， ---------------6分所以解析式为x x x f +-=221)(- --------------7分（2）213,2121)1(2121)(22≤≤+--=+-=n x x x x f --------------9分 61≤<∴n m --------------11分所以函数在[]n m ,上单调递增，n n f m m f ==∴)(,)(--------------13分0,4=-=∴n m --------------14分18、解：（1）当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×(55－1)x ＝3780x(s )； -------------3分当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋(16x 2＋13x )×(55－1)x ＝2700＋9x 2＋18xx--------------6分＝18＋9x ＋2700x(s )．所以y ＝⎩⎨⎧3780x，0＜x ≤10，18＋9x ＋2700x ，10＜x ≤20．------------7分（2）当x ∈(0，10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s )． ------------10分当x ∈(10，20]时，y ＝18＋9x ＋2700x≥18＋29x ⋅2700x＝18＋1803≈329.4(s )．当且仅当9x ＝2700x，即x ＝103≈17.3时取等号．因为17.3∈(10，20]，所以当x ＝17.3m /s 时，y min ＝329.4(s )． ------------14分 因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3m /s 时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4s ． ------------16分19、（1）单调递增 ------------4分（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23------------10分 （3）)(x f 为增函数，所以)(x f 的最大值为1)1(=f 022≥-∴am m 恒成立 令am m a h 2)(2-=⎩⎨⎧≥≥-∴0)1(0)1(h h ------------13分⎩⎨⎧-≤≥≤≥∴2002m m m m 或或 022=-≤≥∴m m m 或或 - -----------16分20、（1）当)(,0x f a =为偶函数 ------------2分 当)()(),()(,0x f x f x f x f a -≠-≠-≠，此时函数为非奇非偶函数--------4分（2）当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥++=++==0,43)21(0,43)21(1)(,0222x x x x x x x f a所以)(x f 的单调增区间是),0(+∞，单调减区间是)0,(-∞ ------------7分 (3)当21-≤a 时，a x ≥时，)(x f 的最小值为a f -=-43)21( a x <时，1)()(2+=>a a f x f而041)1()43(22≤---=+--a a a a 所以)(x f 的最小值为a a g -=43)( ------------10分当21≥a 时，a x ≥时，)(x f 的最小值为1)(2+=a a f a x <时，)(x f 的最小值为43)21(+=a f而041)43()1(22≥+-=+-+a a a a所以)(x f 的最小值为 a a g +=43)( ------------13分当2121<<-a 时， )(x f 的最小值为1)(2+=a a g ------------15分综上所述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-≤-=21,432121,121,43)(2a a a a a a a g ------------16分。

第一部分选择题（共40分)一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题意，共10小题，每小题2分，满分20分）1．下列各原子或离子的电子排布式错误的是（）A．Na+：1s22s22p6B．F:1s22s22p5C．O2—：1s22s22p4D．Ar:1s22s22p63s23p6【答案】C【解析】试题分析：A、钠离子的核外有10个电子，符合电子排布原理，正确；B、F原子核外有9个电子，符合电子排布原理，正确；C、氧负离子的核外有10个电子,所以2p轨道应排6个电子，错误；D、Ar的核外有18个电子，符合电子排布原理，正确,答案选C.考点：考查粒子的核外电子排布2．以下电子排布式不是基态原子的电子排布式的是( ）A．1s22s1B．1s22s12p1C．1s22s22p63s2D．1s22s22p63s1【答案】B【解析】A．基态原子的电子排布式为1s22s1，符合基态原子电子排布规律，A不选；B．基态原子的电子排布式应为1s22s2,发生电子跃迁为1s22s12p1，所以不是基态原子电子排布式，B选；C．基态原子的电子排布式为1s22s22p63s2,符合基态原子电子排布规律，C 不选；D．基态原子的电子排布式为1s22s22p63s1,符合基态原子电子排布规律，D不选；答案选B。

【点睛】本题考查核外电子排布，明确基态电子排布规律与能量跃迁的关系为解答关键，注意掌握能量最低原理、泡利不相容原理和洪特规则.3．下列关于乙烯(CH2=CH2）的说法不正确的（）A．乙烯分子中2个碳原子都是sp2杂化B．乙烯分子存在非极性键C．乙烯分子中4个H原子在同一平面上D．乙烯分子有6个σ键【答案】D【解析】A．乙烯分子中2个碳原子的价层电子对数为3，所以碳碳双键两端的碳原子采用sp2杂化，A正确；B．同种非金属元素之间存在非极性共价键，不同非金属元素之间存在极性共价键,所以分子存在非极性键，B正确；C．乙烯分子的空间结构为平面形,所以4个H原子在同一平面上，C正确；D．共价单键是σ 键，共价双键中一个是σ键一个是π键，所以乙烯中有5个σ 键，1个π 键，D错误；答案选D.4．下列分子中，既含有σ键又含有π键的是（）A．CH4B．HCl C．CH2=CH2D．F2【答案】C【解析】乙烯分子中含有碳碳双键，碳原子发生sp2杂化，其中碳碳原子之间和碳原子与氢原子之间分别“头对头”重叠形成σ键，由于每个碳原子上均有一个垂直于杂化平面的p轨道，两个p轨道间通过“肩并肩”的重叠方式形成π键，而CH4、HCl、F2中只含有σ键不含有π键，答案选C。

期中数学试卷（文科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=______．2.命题“∃x∈R，x2-2≤0”的否定是______．3.函数f（x）=的定义域为______．4.已知复数z=（1+i）（1+3i），其中i是虚数单位，则|z|的值是______．5.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则m=______．6.如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n（n≥2）行的第2个数为______．7.若复数z满足|z|=1（i为虚数单位），则|z-2i|的最小值是______．8.偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=______．9.若x∈{-1，m}是不等式2x2-x-3≤0成立的充分不必要条件，则实数m的范围是______．10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=3x-1（-3＜x≤0），f（x）=f（x+3），则f（2019）=______．11.已知函数为R上的单调减函数，则实数a的取值范围是______．12.若函数f（x）=|2x-4|-a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为______．13.设函数，若f（x）≥f（1）恒成立，则实数a的取值范围为______．14.函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有是对称函数，那么实数k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知命题A={x|x2-2x-8＜0}，B=．（1）若A∩B=（2，4），求m的值；（2）若B⊆A，求m的取值范围．16.已知命题p：指数函数f（x）=（2a-6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．17.已知函数是定义在[-1，1]的奇函数（其中e是自然对数的底数）．（1）求实数m的值；（2）若f（a-1）+f（2a2）≤0，求实数a的取值范围．18.如图，在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数y=ax2+bx+c（a≠0），x∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A（4，4）；观光带的后一部分为线段BC．（1）求函数为曲线段OABC的函数y=f（x），x∈[0，10]的解析式；（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？19.已知函数f（x）=log a（a＞0且a≠1）．（1）当a=2，x∈[10，15]时求f（x）的值域；（2）设g（x）=log a（x-3），若方程f（x）-1=g（x）有实根，求a的取值范围．20.已知函数．当时，函数恰有两个不同的零点，求实数a的值；当时，若对于任意，恒有，求a的取值范围；若，求函数在区间上的最大值．答案和解析1.【答案】{1，2，4，6}【解析】解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2.【答案】∀x∈R，x2-2＞0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2-2≤0”的否定是：∀x∈R，x2-2＞0．故答案为：∀x∈R，x2-2＞0．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.【答案】[-1，2）∪（2，+∞）【解析】解：函数f（x）=，∴，解得x≥-1或x≠2，∴f（x）的定义域为[-1，2）∪（2，+∞）．故答案为：[-1，2）∪（2，+∞）．根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．4.【答案】【解析】解：∵z=（1+i）（1+3i）=-2+4i，∴|z|=．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．5.【答案】1【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题.根据幂函数的图象与性质，求出m的值，再验证是否满足题意．【解答】解：幂函数在x∈（0，+∞）上是减函数，∴m2-9＜0，解得-3＜m＜3；当m=1时，y=x-8，满足题意；当m=2时，y=x-5，不满足题意；综上，m=1．故答案为1．6.【答案】n2+2【解析】解：由图看出a（1，2）=3，a（2，2）=6，a（3，2）=11，a（4，2）=18．由此看出a（2，2）-a（1，2）=3，a（3，2）-a（2，2）=5，a（4，2）-a（3，2）=7，…a（n，2）-a（n-1，2）=2n-1．以上n-1个式子相加得：a（n，2）-a（1，2）=3+5+7+…+（2n-1）==n2-1．所以a（n，2）=n2-1+3=n2+2．故答案为：n2+2由三角形数阵看出，从第二行开始起，每一行的第二个数与它前一行的第二个数的差构成以2为公差的等差数列，然后利用累加的办法求得第n行的第二个数本题考查了类比推理，考查了数列的函数特性，解答此题的关键是找出有效的规律，即从第二行开始起，每一行的第二个数与它前一行的第二个数的差构成以2为公差的等差数列，此题是中档题型7.【答案】1【解析】解：∵复数z满足|z|=1（i为虚数单位），设z=cosθ+i sinθ，θ∈[0，2π）．则|z-2i|=|cosθ+i（sinθ-2）|==≥1，当且仅当sinθ=1时取等号．故答案为：1．复数z满足|z|=1（i为虚数单位），设z=cosθ+i sinθ，θ∈[0，2π）．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】3【解析】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），则f（-1）=f（-1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（-1）=f（1）=3，故答案为：3．根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f （x）是解决本题的关键，比较基础．9.【答案】（-1，]【解析】解：由2x2-x-3≤0得（x+1）（2x-3）≤0，得-1≤x≤，若（-1，m）是不等式2x2-x-3≤0成立的充分不必要条件，则-1＜m≤，即实数m的取值范围是（-1，]，故答案为：（-1，]求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与不等式的关系进行转化是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解；根据题意，由f（x）=f（x+3），则函数f（x）是周期为3的周期函数，f（2019）=f（0+673×3）=f（0），又由f（0）=3-1=；故f（2019）=；故答案为：．根据题意，由函数的解析式可得f（x）是周期为3的周期函数，进而可得f（2019）=f （0），结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的周期性的应用，涉及函数的解析式，属于基础题．11.【答案】[）【解析】【分析】本题主要函数的单调性的性质，属于基础题．由题意利用函数的单调性，可得关于a的不等式组，由此求得a的取值范围．【解答】解：函数f（x）是R上的单调递减函数，∴，求得≤a＜2，则实数a的范围是[，2），故答案为：[）．12.【答案】（3，4）【解析】解：函数f（x）=|2x-4|-a存在两个零点，即为|2x-4|=a有两个不等实根，作出函数y=|2x-4|的图象，可得图象经过点（0，3），当x＜0时，图象趋向于直线y=4，由直线y=a，平移可得当3＜a＜4时，函数y=|2x-4|的图象与直线y=a有两个交点，一个交点的横坐标为正，另一个交点的横坐标为负的，故答案为：（3，4）．由题意可得|2x-4|=a有两个不等实根，作出函数y=|2x-4|的图象，观察图象特点，平移直线y=a，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想方法，以及图象变换能力，属于基础题．13.【答案】[1,2]【解析】【分析】求解f（1）=（1-a）2-1；由题意转化为（x-a）2-1≥（1-a）2-1在x≤1恒成立；ln x≥（1-a）2-1在x＞1恒成立；求解a的取值范围；本题考查不等式恒成立问题，考查二次函数在闭区间上的单调性和运用，考查分类讨论的思想方法．【解答】解：由题意；∵f（x）≥f（1）恒成立，∴（x-a）2-1≥（1-a）2-1在x≤1恒成立；可得（x+1-2a）（x-1）≥0在x≤1恒成立；当x=1时，a∈R，当x＜1时，2a≥(x+1)max，易知x+1<2,则2a≥2，则a≥1；ln x≥（1-a）2-1在x＞1恒成立；即0≥（1-a）2-1，解得：0≤a≤2，故a的取值范围[1，2]，故答案为：[1，2]．14.【答案】[4，）【解析】【分析】本题考查函数与方程的应用，涉及函数的单调性的性质以及应用，关键是分析得到a、b的是方程的两个根．根据题意，分析函数的定义域，又由在其定义域上为减函数，分析可得f（a）=-k=-a，f（b）=-k=-b，则a、b是方程-k=-x在（-∞，4]上的两个根，令t=，则x=4-t2，t≥0，则k=-t2+t+4=-（t-）2+，必有直线y=k与函数y=-t2+t+4，x∈[0，+∞）有两个不同的交点，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，的定义域为（-∞，4]，又由在其定义域上为减函数，故满足①，若f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，则f（a）=-k=-a，f（b）=-k=-b，则a、b是方程-k=-x在（-∞，4]上的两个根，令t=，则x=4-t2，t≥0，则k=-t2+t+4=-（t-）2+，必有直线y=k与函数y=-t2+t+4，x∈[0，+∞）有两个不同的交点，故k的取值范围为[4，）；故答案为[4，）．15.【答案】解：化简得A ={x|-2＜x＜4}，B={x|m-3＜x＜m}．（1）∵A∩B=（2，4），∴m-3=2且m≥4，则m=5．（2）∵B⊆A，即，解得1≤m≤4．∴m的取值范围是[1，4]．【解析】分别化简得A ={x|-2＜x＜4}，B={x|m-3＜x＜m}．（1）由A∩B=（2，4）可得m-3=2且m≥4，解出即可．（2）由B⊆A，即，解得即可．本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】解：若p真，则f（x）=（2a-6）x在R上单调递减，∴0＜2a-6＜1，且2a-6≠1∴3＜a＜且a≠．若q真，令f（x）=x2-3ax+2a2+1，则应满足∴∴a＞，又由题意应有p真q假或p假q真．①若p真q假，则，a无解．②若p假q真，则∴由2a-6＞0且2a-6≠1，可得a＞．【解析】根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为pq的真假，列出不等式解得．本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布．17.【答案】解：（1）根据题意，是定义在[-1，1]的奇函数，则f（0）=1-m=0，解可得m=1，当m=1时，，则有，f（x）为奇函数，符合题意；（2）根据题意，，又由，则f'（x）＞0，函数f（x）在[-1，1]单调递增，f（a-1）+f（2a2）≤0⇒f（2a2）≤-f（a-1）⇒f（2a2）≤f（1-a），则有，解可得：．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，解可得m的值，验证即可得答案；（2）根据题意，求出函数的导数，由函数导数与单调性的关系分析可得函数f（x）在[-1，1]单调递增，据此原不等式变形可得有，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，关键是求出m的值，属于基础题．18.【答案】解：（1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为A（4，4），所以，解得所以，当x∈[0，6]时，，因为后一部分为线段BC，B（6，3），C（10，0），当x∈[6，10]时，，综上，；（2）设OM=t（0＜t≤2），则，由，得，所以点，所以，绿化带的总长度y=MQ+QP+PN=，当t=1时，，所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长.【解析】本题考查函数解析式的确定，考查学生利益数学知识解决实际问题，属于中档题．（1）曲线段OAB过点O，且最高点为A（4，4），可得，求出a，b，c，可得x∈[0，6]时的解析式；后一部分为线段BC，B（6，3），C（10，0），可得x∈[6，10]时的解析式；（2）求出绿化带的总长度，可得二次函数，即可得出结论．19.【答案】解：（1）∵，∴-----------（4分）∴f（x）∈[-log23，-1]．-----------（6分）（2）方程在（5，+∞）上有解，-----------（9分）设，对称轴．①即，则h（5）＜0，无解-----------（12分）②即，则△≥0解得-----------（15分）综上-----------（16分）方法二、由方程f（x）-1=g（x）有实根可知在（5，+∞）上有解，分离参数，令F（x）==，令t=x-5则t＞0，F（t）=t，结合对勾函数的图象及性质可知，解可得0．【解析】（1）利用分离系数，结合对数函数的性质即可求解；（2）由方程在（5，+∞）上有解，可转化为在（5，+∞）上有交点，结合二次函数的性质进行分类求解方法二、由方程f（x）-1=g（x）有实根可知在（5，+∞）上有解，分离参数，转化函数图象有交点，结合对勾函数的图象及性质可求本主要考查了对数函数值域的求解，方程的根与函数图象交点的相互转化是求解本题的关键．20.【答案】解：（1）当b=-1时，f（x）=x|x-a|-x=x（|x-a|-1），由f（x）=0，解得x=0或|x-a|=1，由|x-a|=1，解得x=a+1或x=a-1．∵f（x）恰有两个不同的零点且a+1≠a-1，∴a+1=0或a-1=0，得a=±1；（2）当b=1时，f（x）=x|x-a|+x，①∵对于任意x∈[1，3]，恒有，即，即|x-a|，∵x∈[1，3]时，，∴，即恒有，令t=，当x∈[1，3]时，t∈[]，x=t2-1．∴，∴，综上，a的取值范围是[0，]；②=．当0＜a≤1时，，，这时y=f（x）在[0，2]上单调递增，此时g（a）=f（2）=6-2a；当1＜a＜2时，0＜＜a＜2，f=f（x）在[0，]上单调递增，在[，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，∴g（a）=max{f（），f（2）}，，f（2）=6-2a，而，当1＜a＜时，g（a）=f（2）=6-2a；当≤a＜2时，g（a）=f（）=；当2≤a＜3时，＜2≤a，这时y=f（x）在[0，]上单调递增，在[，2]上单调递减，此时g（a）=f（）=；当a≥3时，≥2，y=f（x）在[0，2]上单调递增，此时g（a）=f（2）=2a-2．综上所述，x∈[0，2]时，．【解析】本题考查函数零点的判定，考查恒成立问题的求解方法，体现了数学转化、分类讨论等数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是难题．（1）当b=-1时，f（x）=x|x-a|-x=x（|x-a|-1），求解x，结合函数f（x）恰有两个不同的零点，即可求实数a的值；（2）当b=1时，f（x）=x|x-a|+x，①对于任意x∈[1，3]，恒有，转化为|x-a|，可得，令t=换元，然后利用配方法求得a的取值范围；②=，然后对a分类讨论即可求得函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．。

江苏省无锡市江阴实验中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是( )A B C D参考答案：C2. 在等差数列中,,则的前5项和（）A、10B、7C、20D、25参考答案：A3. 已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为（）A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞}参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数的表达式，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：∵复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，∴===﹣i；∴，解得﹣6＜a＜，∴实数a的取值范围{a|﹣6＜a＜}．故选：B．4. 已知为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则A.B.C.D.参考答案：A略5. 已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是: （）A．B．C．D．参考答案：B6. 在一次试验中，测得的四组值分别是，则Y与X之间的回归直线方程为（）A． B． C．Ｄ．参考答案：A7. 用反证法证明“若，则中至少有一个小于1”时，应（）A、假设至少有一个大于1B、假设都大于1C、假设至少有两个大于1D、假设都不小于1参考答案：D8. “”是“直线和直线互相平行”的（）条件充分不必要必要不充分充分必要既不充分又不必要参考答案：C略9. 求由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积错误的为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据定积分知识，可确定正确；利用图形的对称性可将转变为；利用反函数的思想，结合定积分可确定所求面积为，错误，结合图形对称性可知正确.【详解】曲线，直线及轴所围成的图形如下图阴影部分所示：则阴影部分面积可表示为：，可知正确；根据对称性可知，阴影部分面积可表示为：，可知正确；由得：；由得：可画出图象如下图所示：则阴影部分面积可表示为：，可知错误；根据对称性可知：阴影部分面积可表示为：，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查利用定积分来求解曲边梯形面积的问题，关键是能够准确确定两函数的位置关系，同时结合图形的对称性将面积进行等量转化.10. 利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”参考答案：B【分析】由，结合临界值表，即可直接得出结果.【详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B 【点睛】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量观测值即可，属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定积分= 。

期中数学试卷（理科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.计算：的值为______．2.已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的实部为______．3.已知，则x=______．4.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是______．5.用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为______．6.用数学归纳法证明不等式“2n＞n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n0应取为______．7.甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲．乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有______种．8.233-1除以9的余数为______．9.若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为______．10.已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为______．11.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A-CD-B且与AB 相交于E，则得到的类比的结论是______．12.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.13.把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，则a2019=______．14.三角形的周长为31，三边a，b，c均为整数，且a≤b≤c，则满足条件的三元数组（a，b，c）的个数为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知复数z=（m∈，i是虚数单位）是纯虚数．（1）求m的值；（2）若复数w，满足|w-z|=1，求|w|的最大值．16.（1）设a≥b＞0，求证：2a3-b3≥2ab2-a2b；（2）已知非零实数a，b，c是公差不为零的等差数列，求证：≠．17.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒．18.已知展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992．（1）求n；（2）求展开式中的项；（3）求展开式系数最大项．19.已知等差数列{a n}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1-b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，试比较与S n+1的大小．并且用数学归纳法给出证明．20.已知．（1）设g（x）=f3（x）+f4（x）+…+f10（x），求g（x）中含x3项的系数；（2）化简：；（3）证明：．答案和解析1.【答案】15【解析】解：=C-5×4=-20=35-20=15，故答案为：15．根据排列和组合公式进行计算即可．本题主要考查排列和组合数公式的计算，利用公式是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】【解析】解：∵z==，∴复数z的实部为-．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】4或6【解析】【分析】本题主要考查组合数的计算，基础题根据组合数公式以及组合数性质进行求解即可．【解答】解：由得得2≤x≤9，则由，得x=2x-4或x+2x-4=14，即x=4或x=6，故答案为：4或6．4.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1-2+3i=-1+3i，∴|z|==．故答案为：．5.【答案】a，b都不能被5整除【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故答案为：a，b都不能被5整除．反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．6.【答案】5【解析】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12+1=2，2n＞n2+1不成立，n=2时，左=22=4，右=22+1=5，2n＞n2+1不成立，n=3时，左=23=8，右=32+1=10，2n＞n2+1不成立，n=4时，左=24=16，右=42+1=17，2n＞n2+1不成立，n=5时，左=25=32，右=52+1=26，2n＞n2+1成立，因为n＞5成立，所以2n＞n2+1恒成立．故答案为：5．根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1，2，3，4，5时，命题是否成立；可得答案．本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意n的取值范围．7.【答案】30【解析】解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：1．甲．乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．2．甲．乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法，②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．最后由分类计数原理，甲．乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故答案为30．“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同．合理按照分类及分部解决：1，甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门．2．甲．乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门．排列组合问题要注意分类与分步，做到不重复也不遗漏．8.【答案】7【解析】解：由于233-1=811-1=（9-1）11-1=+++…++-1，由于前11项都有因数9，故所给的式子故除以9的余数即为-1=-2 除以9的余数，故所给的式子除以9的余数为7，故答案为7．把所给的式子化为（9-1）11-1，按照二项式定理展开，可得它除以9的余数．本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子化为（9-1）11-1，是解题的关键，体现了转化的数学而思想，属于中档题．9.【答案】1【解析】解：（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4，令x=-1得=a0-a1+a2-a3+a4；两式相乘得（3-4）4=（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=1．故答案为：1．通过对x赋值1和-1，求出各项系数和与正负号交替出现的系数和，两式相乘得解．本题考查了利用赋值法求二项展开式系数和问题，是基础题．10.【答案】1+＜【解析】解：由已知三个不等式可以写成1+，1+，1+，照此规律得到第n个不等式为1+＜；故答案为：1+＜（n∈N+）．从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律．11.【答案】=【解析】解：在△ABC中作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED=EF，∴=根据面积类比体积，长度类比面积可得：=，即=．故答案为：=．三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面积，从而得到=．本题考查了类比推理，将平面中的性质类比到空间．12.【答案】420【解析】解：根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种；故答案为：420．根据题意，假设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】3974【解析】解：分析图乙，前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，若a2019位于第k行，则＜2019≤，又由=2016，=2080，则a2019出现在第65行从左起的第三个数，由以上可知a2019=632+1+2×2=3974，故答案为：3974．观察乙图，前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，然后以判断出则a2019出现在第65行从左起的第三个数，即可求出所求．本题考查归纳推理的运用，关键在于分析乙图，发现每一行的数递增规律与各行之间数字数目的变化规律，是中档题．14.【答案】24【解析】解：因为三边长分别为a≤b≤c，则a+b=31-c＞c≥，∴≤c＜，故c=11，12，13，14，15；分类讨论如下：①当c=11时，b=11，a=9或b=10，a=10；②当c=12时，b=12，a=7或b=11，a=8或b=10，a=9；③当c=13时，b=13，a=5或b=12，a=6或b=11，a=7或b=10，a=8或b=9，a=9；④当c=14时，b=14，a=3或b=13，a=4或b=12，a=5或b=11，a=6或b=10，a=7或b=9，a=8；⑤当c=15时，b=15，a=1或b=14，a=2或b=13，a=3或b=12，a=4或b=11，a=5或b=10，a=6或b=9，a=7或b=8，a=8；∴满足条件的三角形的个数为2+3+5+6+8=24．故答案为：24由三角形的三边关系可得≤c＜，故c=11，12，13，14，15，分别列举可得（满足a≤b≤c 和三角形的三边关系即可）本题涉及分类讨论的思想，解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握，属中档题．15.【答案】解：（1）∵复数z====（m2-1）+（m+1）i是纯虚数，∴，解得m=1．∴m的值是1，（2）由（1）可知：z=2i，设w=a+bi（a，b∈），∵|w-2i|=1，∴，∴a2+（b-2）2=1，（*）∴|w|===，由（*）可知：（b-2）2≤1，1≤b≤3，．∴|w|的最大值为3．【解析】本题考查复数的运算法则、纯虚数的定义、复数模的计算公式、圆的标准方程，属于中档题.（1）利用复数的运算法则把z化为（m2-1）+（m+1）i，再利用纯虚数的定义即可得出m．（2）利用复数模的计算公式即可得出a2+（b-2）2=1，进而由a2=1-（b-2）2≥0求出b的取值范围，即可得出|w|的最大值．16.【答案】证明：（1）由（2a3-b3）-（2ab2-a2b）=2a（a2-b2）+b（a2-b2）=（2a+b）（a+b）（a-b）……（4分）因为a≥b＞0所以2a+b＞0，a+b＞0，a-b≥0所以2a3-b3≥2ab2-a2b………………………（7分）（2）（反证法）假设=，则bc+ab=2ac．①而2b=a+c．②由①②，得（a+c）2=4ac，即（a-c）2=0，于是a=b=c，这与非零实数a，b，c成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即≠成立．…………………（14分）【解析】（1）利用作差法，转化证明即可．（2）利用反证法证明假设=，推出a=b=c，这与非零实数a，b，c成公差不为零的等差数列矛盾，即可．本题考查不等式的证明，作差法以及反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①，甲、乙两人必须入选且跑中间两棒，则甲乙的排法有A22=2种，②，在剩下的6人中任选2人，跑第一与第四棒，有A62=30种选法，则甲、乙两人必须入选且跑中间两棒的选法有2×30=60种；（2）根据题意，分2步进行分析：①，甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，需要从甲和乙两个人中选出一个有C21种结果，需要在第一和第四棒中选一棒，有C21种结果，②，在剩下的6个人要选三个在其他三个位置排列，有A63种选法，则有C21C21A63=480种不同的选法；（3）根据题意，分2步进行分析：①，将甲乙看成一个整体，跑相邻两棒，考虑甲乙两人之间的顺序，有3×A22=6种情况，②，在剩下的6个人中任选2人，安排在剩下的2个位置，有A62=30种选法，则有6×30=180种不同的安排方法；（4）根据题意，分2步进行分析：①，甲不在第一棒，在第一棒的安排方法有7种，②，在剩下的7个人要选三个在其他三个位置排列，有A73种选法，则有7×A73=1470种选法．【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：①分析甲、乙两人必须入选且跑中间两棒的安排方法，②在剩下的6人中任选2人，跑第一与第四棒，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①从甲和乙两个人中选出一个，安排在第一和第四棒，②在剩下的6个人中选三个安排在其他三个位置排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2步进行分析：①，将甲乙看成一个整体，跑相邻两棒，②，在剩下的6个人中任选2人，安排在剩下的2个位置，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，分2步进行分析：①，甲不在第一棒，在第一棒的安排方法有7种，②，在剩下的7个人中选三个安排在其他三个位置排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．18.【答案】解：（1）（+3x2）n展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992，∴4n-2n=992，解得2n=32，∴n=5；（2）（+3x2）5展开式的通项公式为：，令，解得r=2；展开式中x6的项为：；（3）设第r+1项的系数为t r+1，则，由，得，所以r=4；展开式系数最大项为：．【解析】本题考查了二项式定理的通项公式的应用问题，也考查了展开式的二项式系数和以及所有项系数和问题，是综合题．（1）根据二项式展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992，列方程求出n的值；（2）利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x6项；（3）利用展开式的通项公式求出展开式中系数最大的项．19.【答案】解：（1）由已知得a2+a5=12，a2a5=27，又∵{a n}的公差大于0，∴a5＞a2，∴a2=3，a5=9．∴d===2，a1=1，∴a n=1+（n-1）×2=2n-1．[（2分）]∵T n=1-b n，∴b1=，当n≥2时，T n-1=1-b n-1，∴b n=T n-T n-1=1-b n-（1-b n-1），化简，得b n=b n-1，[（4分）]∴{b n}是首项为，公比为的等比数列，即b n=，∴a n=2n-1，b n=．[（6分）]（2）∵S n=n=n2，∴S n+1=（n+1）2，=．以下比较与S n+1的大小：当n=1时，=，S2=4，∴＜S2，当n=2时，=，S3=9，∴＜S3，当n=3时，=，S4=16，∴＜S4，当n=4时，=，S5=25，∴＞S5．猜想：n≥4时，＞S n+1．[（9分）]数学归纳法给出证明：①当n=4时，=，S5=25，∴＞S5．②假设n=k时，结论成立，即＞S k+1．则n=k+1时，=＞3S k+1．∵3（k+1）2-（k+2）2=2k2+2k-1＞0，∴3S k+1＞S k+2，∴＞S k+2，由①②可知，n≥4时，＞S n+1．[（12分）]【解析】（1）求出首项与公差，公比，可得数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）先求和，再比较与S n+1的大小，最后用数学归纳法给出证明．本题主要考查数列递推式、数学归纳法，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第（2）问要注意数学归纳法的证明技巧．数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立，则P （n）对一切大于等于n0的自然数n都成立．20.【答案】解：（1）由g（x）=（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）10所以g（x）中含x3项的系数为：………………………（3分）（2）通项为………………………（5分）∴，两边求导可得：n（1+x）n-1=，令x=1得到，∴………………………（10分）（3）设h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+……+n（1+x）m+n-1．①则函数h（x）中含：x m项的系数为：+2+……+n．∵（1+x）h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+……+（1+x）m+n．②①-②可得：-xh（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+……+（1+x）m+n-1-n（1+x）m+n．即-xh（x）=-n（1+x）m+n．化为：h（x）=，函数h（x）中含x m的系数为：=-+==．∴．【解析】（1）由g（x）=（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）10，g（x）中含x3项的系数为：++……+，利用组合数的性质即可得出．（2）通项为，，两边求导可得：n（1+x）n-1=，令x=1即可得出．（3）设h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+……+n（1+x）m+n-1．函数h（x）中含：x m项的系数为：+2+……+n．由（1+x）h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+……+（1+x）m+n．可得：-xh（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+……+（1+x）m+n-1-n（1+x）m+n．利用求和公式化为：h（x）=，利用函数h（x）中含x m的系数即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式、组合数的性质、导数运算法则、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2015-2016学年第二学期高二期中考试数学学科（文科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．命题0)(),2,0(:<∈∀x f x p π，则p ⌝： ．2．已知复数i Z 43+= （i 为虚数单位），则Z = ． 3．设全集{}3,2,1,0,1{},42-=≤≤-∈=A x Z x U ，若A C B U ⊆，则集合B 的个数是 ．4．已知复数i Z i Z 34,221-=+= 在复平面内的对应点分别为点A 、B ，则A 、B 的中点所对应的复数是 ．5．已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 ． 6．已知ni i+=-112，其中i R n ,∈ 是虚数单位，则n = ． 7．函数)3lg(1)(2x x x f --=的定义域为 ．8． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,10,2)(2x x x x f x 的值域为 ． 9．若函数2+-=x b x y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为),2(+∞，则=+b a ． 10．若命题“存在04,2≤++∈a x ax R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．11. 已知函数⎩⎨⎧≥<+-=-1,21,3)21()(1x x a x a x f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 12. 记12x x -为区间],[21x x 的长度．已知函数)0](,2[,2≥-∈=a a x y x ，其值域为],[n m ，则区间],[n m 的长度的最小值是 ．13．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ．14．设][x 表示不超过x 的最大整数，如2]5.1[,1]5.1[-=-=．若函数xxa a x f +=1)( )1,0(≠>a a ，则]21)-([]21)([)(-+-=x f x f x g 的值域为 ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分） 已知}42{},71{},9{2<-=≤<-=≥=x x C x x B x x A ．（1）求A∩B 及A∪C；（2）若U=R ，求A∩∁U （B∩C）16．（本小题满分14分）已知复数Z 满足：Z i Z -+=31，求Zi i 2)43()1(2++的值．17．（本小题满分15分）设a 为实数，给出命题:p 关于x 的不等式a x ≥-1)21(的解集为φ，命题:q 函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题""q p ∨为真，""q p ∧为假，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当204≤<x 时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．（1）当200≤<x 时，求v 关于x 的函数表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．19．（本小题满分16分）若)(x f 为二次函数，1-和3是方程04)(=--x x f 的两根，1)0(=f（1）求)(x f 的解析式；（2）若在区间]1,1[-上，不等式m x x f +>2)(有解，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数0(2log )(>-+=a x m x x f a且)1≠a 的定义域为2{>x x 或}2-<x ． （1）求实数m 的值；（2）设函数)2()(xf xg =，对函数)(x g 定义域内任意的21,x x ，若021≠+x x ，求证：)1()()(212121x x x x g x g x g ++=+；（3）若函数)(x f 在区间),4(r a -上的值域为),1(+∞，求r a -的值．2015-2016学年第二学期高二期中考试数学试题（文科）参考答案一、填空题： 1. 0)(),2,0(≥∈∃x f x π2. 53. 44. i -35. xx x f +=1)( 6. 1 7. 5]30[-2，（），Y 8. ]1,(-∞9. 10- 10. ），（∞+2 11. )21,0[ 12. 3 13. )(),1(4)2(*22N n n n n ∈+=-+ 14. 1}-{0，二、解答题：15.解：（1）集合A 中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}；--2分 集合C 中的不等式解得：﹣2＜x ＜6，即C={x|﹣2＜x ＜6}，-------- -------------4分 ∴A∩B={x|3≤x≤7}，----------------------- ------------------------------6分 A∪C={x|x≤﹣3或x ＞﹣2}；-----------------------------------------------8分（2）∵B∩C={x|﹣1＜x ＜6}，-----------------------------------------------10分全集U=R ，∴∁U （B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，--------------------------------12分 则A∩∁U （B∩C）={x|x≥6或x≤﹣3}．--------------------------------------14分16.解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），---------------------------------------------2分 而|z|=1+3i ﹣z ，即，-------------------------------4分 则-----------------------------------------------------6分 解得，z=﹣4+3i ，--------------------------------------------------8分 ∴==1．-------------14分17.解：命题p ：|x ﹣1|≥0，∴，∴a＞1；---------------------4分命题q ：不等式的解集为R ，∴，解得；---------------------------------------------------------------8分若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；----------------------10分p真q 假时，，解得a≥8；----------------------------------12分p假q 真时，，解得；-----------------------------------14分∴实数a 的取值范围为：．----------------------------15分18.解（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2； ----------------------------------2分当4＜x≤20时，设v=ax+b，由已知得：，解得：，所以v=﹣x+，---------------------4分故函数v=；-------------------------------------------6分（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由（1）可得f（x）=-----------------------8分当0＜x≤4时，f（x ）为增函数，故f（x ）max=f（4）=4×2=8；-----------------10分当4＜x≤20时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，f（x）max=f（10）=12.5．--------------------------------------------------12分所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．-------------------------------14分即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．--------------------------------------------------------------------15分19. 解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由f（0）=1可得c=1，------------------------------------------------------2分故方程f（x）﹣x﹣4=0可化为ax2+（b﹣1）x﹣3=0，∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣，﹣1×3=，解得a=1，b=﹣1，故f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+1；----------------------------------------8分（2）∵在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，∴m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，--------------------------------------10分故只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，由二次函数可知当x=﹣1时，函数g（x）取最大值5，--------------------------14分∴实数m的取值范围为（﹣∞，5）------------------------------------------16分20.解：（1）m=2时，解得，x＞2，或x＜﹣2；∴m=2；-----------------1分（2）证明：，；------------2分∴g（x1）+g（x2）==；=；∴；------------------------------------6分（3）；∴①若a＞1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递减；∴；∴；∴；∴；-----------------------------12分②若0＜a＜1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递增；∴；∴；∴，或（舍去）；∴．-----------------16分。

期中数学试卷（文科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“”的否定是______．2.设集合A={1，2，3，5，8}，B={x|2≤x≤4}，则A∩B=______．3.已知复数（i是虚数单位），则|z|=______.4.函数的定义域为______．5.设幂函数f（x）=kxα的图象经过点（9，3），则k+α=______．6.若函数f（x+1）=x2-2x，则f（x）的解析式______．7.已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为____．8.“log2a＞log2b”是“2a＞2b”的______条件．（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）9.函数f（x）=ln的值域是______．10.函数是定义在（-2，2）上的奇函数，且．则b-2a=______．11.已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＞0的解集为______．12.已知不等式1-2x+1+a•4x＜0对一切x∈[1．+∞）恒成立，则实数a的取值范围是______．13.圆与椭圆有很多类似的性质，如圆的面积为πr2（r为圆的半径），椭圆的面积为πab（a，b分别为椭圆的长、短半轴的长）．某同学经研究发现：如图1，点T为x轴上一点，TA，TB为圆x2+y2＝r2的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT＝r2；如图2，点T为x轴上一点，TA，TB为椭圆切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT＝____．14.已知函数，若f（x）=1有3个零点，则a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知复数z=m2-m-6+（m2+5m+6）i，（m∈R，i为虚数单位）（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z对应的点在复平面内的第二象限，求实数m的取值范围．16.已知集合，B={x|x2-2x-a（a+2）＜0}（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．17.用合适的方法证明：（1）已知a，b都是正数，求证：a4+b4≥ab3+a3b；（2）已知x∈R，a=x2-x+1，b=4-x，c=x2-2x．试证明a，b，c至少有一个不小于1．18.已知函数是奇函数（a，b为实数）（1）求a与b的值；（2）当a，b＞0时，求解下列问题：①判断并证明函数f（x）的单调性；②求不等式的解集．19.已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km的直线型水路，一艘游轮以xkm/h的速度航行时（考虑到航线安全要求20≤x≤50），每小时使用的燃料费用为万元（k 为常数，且），其他费用为每小时万元．（1）若游轮以30km/h的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的所有费用不超过万元，求x的取值范围；（2）求该游轮单程航行所需总费用的最小值．20.设a∈R，函数f（x）=x|x-a|-a．（1）当a=2时，求函数的单调区间；（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a≥0时，讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．答案和解析1.【答案】【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“”的否定是：．故答案为：．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2.【答案】{2，3}【解析】【分析】本题主要考查集合交集运算，基础题型.【解答】解：∵A={1，2，3，5，8}，B={x|2≤x≤4}；∴A∩B={2，3}．故答案为：{2，3}．3.【答案】1【解析】【分析】本题考查复数模的求法，是基础题．直接利用商的模等于模的商求解．【解答】解：∵，∴|z|=||=．故答案为：1．4.【答案】{x|x≥-1，且x≠2}【解析】解：由，解得：x≥-1，且x≠2．∴函数的定义域为{x|x≥-1，且x≠2}．故答案为：{x|x≥-1，且x≠2}．由根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不等于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．5.【答案】【解析】解：幂函数f（x）=kxα的图象经过点（9，3），∴，解得k=1，α=，∴k+α=．故答案为：．根据幂函数的定义与性质，列方程求出k和α的值，再计算k+α的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．6.【答案】x2-4x+3【解析】解：由f（x+1）=x2-2x，得到f（x+1）=（x+1-1）2-2（x+1）+2故f（x）=（x-1）2-2x+2=（x-2）2-1=x2-4x+3故答案为：x2-4x+3．利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别．本题考查函数解析式的求解，考查学生的整体意识和换元法的思想．7.【答案】m≤0或m≥4【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=x2-（m+2）x+2为二次函数，其对称轴为x=，若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有≤1或≥3，解可得m≤0或m≥4，即m的取值范围为m≤0或m≥4；故答案为：m≤0或m≥4．【分析】根据题意，求出函数的对称轴，结合函数单调性的定义分析可得≤1或≥3，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查二次函数的单调性，注意分析函数的对称轴，属于基础题．8.【答案】充分不必要【解析】解：由2a＞2b得a＞b，由log2a＞log2b得a＞b＞0，即“log2a＞log2b”是“2a＞2b”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．9.【答案】（-∞，0]【解析】解：∵|x|≥0，∴|x|+1≥1，从而再根据对数函数的单调性，有．故所求值域为（-∞，0]．先确定解析式中真数位置的范围，再由对数函数的单调性计算值域．本题考查的是复合函数的值域问题，只需逐步计算范围即可．10.【答案】-2【解析】解：∵f（x）是定义在（-2，2）上的奇函数，∴f（0）=0，即f（0）==0，得b=0，∵．∴===，得a=1，则b-2a=0-2=-2，故答案为：-2．根据函数奇偶性的定义和性质，利用f（0）=0，以及条件建立方程进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，结合条件建立方程是解决本题的关键．11.【答案】（-∞，-3）∪（1，+∞）【解析】解：∵定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，∴f（x）在（-∞，0）上为减函数，且f（-2）=0，若f（x+1）＞0，则x+1＞2或x+1＜-2，解得x＞1或x＜-3，故答案为：（-∞，-3）∪（1，+∞）．由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合f（x）上在（0，+∞）为单调增函数，易判断f（x）在（-∞，0]上的单调性，根据单调性的定义即可求得本题考查的知识点是函数单调性的应用，其中利用偶函数在对称区间上单调性相反，判断f（x）在（-∞，0]上的单调性是解答本题的关键12.【答案】（-∞，0]【解析】解：1-2x+1+4x•a＜0可化为a＜=，令t=2-x，由x∈[1．+∞），得t∈（0，]，则a＜-t2+2t，-t2+2t=-（t-1）2+1在（0，]上递增，当t=时-t2+2t取得最大值为，t=0时，函数取得最小值为0，所以a≤0．实数a的取值范围是：（-∞，0]．故答案为：（-∞，0]．分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．13.【答案】4【解析】解：类别圆的性质：圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y=r2，得过椭圆上一点（x0，y0）的切线方程为，设A点坐标为（x0，y0），则椭圆的切线AT的方程为，令y=0，得T点的横坐标为，又因为P点的横坐标为x0，所以OP•OT==4．故填：4．圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y=r2，类似地，过椭圆上一点（x0，y0）的切线方程为，利用切线即可得到OP•OT的值．本题考查了类比推理，是一种发散思维，难度较大，属于难题．14.【答案】（1，2]∪（3，+∞）【解析】解：由方程f（x）=1恰有3个实数根，当x≤1时，由|x+1|=a-1≥0，解得x=a-2或x=-a，当x＞1，由（x-a）2=1，得x=a-1或x=a+1，所以a-2＞1或，得：1＜a≤2．或a＞3．故答案为：（1，2]∪（3，+∞）根据f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．15.【答案】解：（1）∵z为纯虚数，∴，解得m=3；（2）∵复数z对应的点在复平面内的第二象限，∴，解得-2＜m＜3．【解析】本题考查复数的分类、复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．（1）由实部等于0且虚部不为0求得m值；（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．16.【答案】解：（1）A=（1，7）；当a=4时，B={x|x2-2x-24＜0}=（-4，6）；∴A∩B=（1，6）；（2）∵A∪B=B；∴A⊆B，且B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}；①当-a=a+2，即a=-1时，B=∅，∴A⊆B不成立；②当a+2＞-a，即a＞-1时，B=（-a，a+2），则：，解得a≥5；③当a+2＜-a，即a＜-1时，B=（a+2，-a），，解得a≤-7；综上，实数a的取值范围是（-∞，-7]∪[5，+∞）．【解析】（1）可求出A=（1，7），a=4时，可求出集合B，然后进行交集的运算即可；（2）根据A∪B=B即可得出A⊆B，并且得出B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}，从而可讨论a+2和-a的关系，根据A⊆B即可得出a的取值范围．考查描述法、区间的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集、并集的定义及运算，以及子集的定义．17.【答案】证明：（1）（综合法）因为（a4+b4）-（ab3+a3b）=a3（a-b）+b3（b-a）=（a3-b3）（a-b）=（a-b）（a2+ab+b2）（a-b）=（a-b）2（a2+ab+b2）…………（6分）因为a，b都是正数，所以上式非负，所以（a4+b4）-（ab3+a3b）≥0，所以a4+b4≥ab3+a3b…………（7分）（2）假设a，b，c均小于1，…………（9分）即a＜1，b＜1，c＜1则有a+b+c＜3；…………（11分）而a+b+c=x2-x+1+4-x+x2-2x=2x2-4x+5=2（x-1）2+3≥3…………（13分）与假设矛盾，所以原命题不成立．a，b，c至少有一个不小于1．…………（14分）（其他证明方法相应给分）【解析】（1）利用综合法通过a4+b4-（ab3+a3b）转化求解证明即可．（2）利用反证法假设a，b，c均小于1，求出a+b+c的表达式，推出矛盾结果即可证明a，b，c至少有一个不小于1．本题考查不等式的证明，反证法以及综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．18.【答案】解：（1）根据题意，由函数f（x）是奇函数，得f（-x）=-f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（3a-b）•32x+（2ab-6）•3x+（3a-b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或；（2）①由（1）可知，易判断f（x）为R上的减函数，证明：任取x1，x2，且x1＜x2，则因为y=3x为R上的单调增函数，且x1＜x2，所以，（+3）（+3）＞0，则f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）为R上的减函数；②根据题意，f（x）=，则，不等式，等价为f（x）＜f（1），由f（x）在R上的减函数可得x∈（1，+∞）．【解析】（1）根据题意，由函数奇偶性的对于可得对定义域内任意实数x都成立，变形可得，解可得a、b的，即可得答案；（2）①，任取x1，x2，且x1＜x2，由作差法分析可得结论，②，根据题意，由函数的解析式分析可得，则原不等式等价为f（x）＜f（1），结合函数的单调性分析可得结论．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a、b的值，确定函数的解析式，属于基础题．19.【答案】解：（1）由题意x=30时，每小时使用的燃料费为-k=，解得k=；此时每小时的所有费用为-+≤，化简得x2-41x+40≤0，解得1≤x≤40；又20≤x≤50，∴20≤x≤40，∴x的取值范围是[20，40]；（2）设该游轮单程航行所需总费用为y万元，则y=•（-k+）=-+（20≤x≤50），令t=，则t∈[，]，即y=5t2-5kt+；由≤k≤，得对称轴t=∈[，]；①若＜，即≤k＜，则函数y=5t2-5kt+在[，]上单调递减，在[，]上单调递增；故当t=，即x=时，y取得最小值为y min=；②若≥，即≤k≤，则函数y=5t2-5kt+在[，]上单调递减，故当t=，即x=20时，y取得最小值为y min=；综上所述，当≤k＜时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元，当≤k≤时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元．【解析】（1）由题意求得k的值，再列不等式求出x的取值范围；（2）写出游轮单程航行所需总费用y关于x的解析式，再讨论k的取值范围，从而求得y的最小值．本题考查了函数模型的应用问题，也考查了分段函数求最值问题，是中档题．20.【答案】解：（1）当a=2时，，①当x≥2时，f（x）=x2-2x-2=（x-1）2-3，∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；②当x＜2时，f（x）=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（-∞，1）上单调递增；综上所述，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．（2）因为对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，所以f（x）min≥0．当a≤0时，对任意的x∈[2，3]，f（x）=x|x-a|-a≥0恒成立，所以a≤0当a＞0时，易得在上是单调增函数，在上是单调减函数，在[a，+∞）上是单调增函数，当0＜a＜2时，f（x）min=f（2）=2（2-a）-a≥0，解得，所以；当2≤a≤3时，f（x）min=f（a）=-a≥0，解得a≤0，所以a不存在；当a＞3时，f（x）min=min{f（2），f（3）}=min{2（a-2）-a，3（a-3）-a}≥0，解得，所以；综上得，或．（3）①当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x0=0；②当a＞0时，，故当x≥a时，，二次函数对称轴，∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；当x＜a时，，二次函数对称轴，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；∴，1°当，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，由x2-ax-a=0解之得函数y=f（x）的零点为或（舍去）；2°当，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x1=2和；3°当，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，由-x2+ax-a=0解得，，∴函数y=f（x ）的零点为和．综上可得，当a=0时，函数的零点为0；当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为；当a=4时，有两个零点2和；当a＞4时，函数有三个零点和．【解析】本题考查了二次函数的单调性、绝对值问题解答、一元二次方程由于不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）当a=2时，，对x分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．（2）由对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，可得f（x）min≥0．对a分类讨论，利用单调性即可得出．（3）对a分类讨论，利用二次函数单调性即可得出．第11页，共11页。

江苏省江阴高级中学2019-2020学年下学期期中试题（WORD ）高二数学一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1．已知集合()(){}370A x x x =+-≤，8,1B x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}0,1,3 B ．{}3,2,1,3,7-- C ．{}0,1,3,7D ．{}3,2,0,1,3,7--2．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（ ）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i3．设随机变量(),7X N μ:，若()()24P X P X <=>，则（ ）A ．3μ=，()7V X =B ．6μ=，()7V X =C ．3μ=，()7V X =D ．6μ=，()7V X =4．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ） A ．20B ．40C ．60D ．1205．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．74B ．121C ．74-D ．121-6．袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X =3)等于 ( )A ．528 B ．17 C ．1556 D ．277．如图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD == ，点E 是CD 的中点，若直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为24，则点B 到平面ACD 的距离为（ ）AB ．23CD ．438．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4二、多选题 (本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合()(){}370A x x x =+-≤,8,1B x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =( ） A. {}0,1,3 B. {}3,2,1,3,7-- C 。

{}0,1,3,7 D.{}3,2,0,1,3,7--【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ,利用交集的定义可得出集合A B 。

【详解】()(){}[]3703,7A x x x =+-≤=-，{}8,0,1,3,71B x x N N x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭，{}0,1,3,7A B ∴=。

故选：C 。

【点睛】本题考查交集的计算,涉及一元二次不等式的求解，考查计算能力,属于基础题。

2。

已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是(） A. ﹣1﹣2i B. ﹣1+2iC. 1﹣2iD. 1+2i【答案】D 【解析】 【分析】两边同乘—i ，化简即可得出答案．【详解】i •z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1—2i ，共轭复数为1+2i,选D. 【点睛】(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =- 3。

设随机变量(),7XN μ，若()()24P X P X <=>，则（ )A. 3μ=,()7=D XB 。

6μ=，()=D XC 。

3μ=,()=D X D 。

6μ=，()7=D X【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布及()()24P X P X <=>可知期望与方差。

【详解】因为随机变量(),7X N μ，且()()24P X P X <=>，所以由对称性知2432μ+==， 由正态分布(),7X N μ知方差()7=D X 。