全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)课件

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1．计算下列各式的值：
( 40、
3 2)0、( ) 2 、0.1－2 。 2
25 2． 的平方根为______；0的平方根为_____；－27的 16 8 立方根为______； 的立方根为______；16 的四次方根为 27 81
_____。
3．用计算器运算： （1）3212、(－2.05)10（用科学计数法表示，保留4位有
分式的运算
数的乘方和开方运算
数的基本知识
有理数 无理数 实数 数轴
倒数 相反数
整数和分数统称为有理数。 无限不循环小数叫做无理数。 有理数和无理数统称为实数。 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
乘积是1的两个数叫做互为倒数。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与 原点的距离，数a的绝对值记作|a|。
分析 分式的加、减法关键是求最小公分母，基本方法：① 先将各分母分解因式；②将所有因式全部取出，公因式应取次数 最高的；③将取出的因式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除 运算中，先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时约去分 子分母的公因式，再化简。
解 （1）原式 = （2）原式 （3）原式
=
a+ x a- x 2a + = 2 (a - x)(a + x) (a - x)(a + x) a - x 2
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例2 若a、b是两个已知数，且c=|a－b|－|b－a|，求c 。
解 若a>b，则a－b>0，b－a<0。 所以 c＝|a－b|－|b－a|＝(a－b)－(a－b)＝0
若a<b，则a－b<0，b－a>0。

2．真子集 如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属 于B，那么集合B称为集合A的真子集，记作B A（或 A B ）， 读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）． 易知，空集是任何非空集合的真子集．
当集合B是集合A的真 子集时，可用图1-1直观地 表示．两条封闭曲线的内 部分别表示集合A、B．
自然数集
正整数集 常
用 数
整数集
集
有理数集
实数集
所有自然数组成的集合称为自然数集，记作N； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 N ； 所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记 作a A ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A ．
一个集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素．我 们把含有有限个元素的集合称为有限集，如方程x2 9 0 的解 集；含有无限个元素的集合称为无限集，如N，N， Z，Q，R等．
特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作 ．例如， 方程 x2 1 0 在实数范围内的解集就是空集．
例1 下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）小于10的正奇数； （3）方程x2－9=0的所有解； （4）不等式x－7＞0的所有解．
所以这个集合可以表示为
x | x 3，且x 2k 1，k Z ．
（2）解不等式3x 1 0 得 x 1 ，所以该不等式的解
3
集为
x | x
．1
3
（3）平面直角坐标系中的点可表示为(x ，y) ，因此直线 y 2x 1上的点组成的集合为
(x ，y) | y 2x 1．

(8)如果a>b>0,则 a 2 ____b 2

高考链接
D (2013 )若a b(ab 0),则下列关系式中正确的 是（） 1 1 2 2 A. a b ; B.ac bc ; C. ; D.c a c b a b
不等式及其基本性质
1. 作差比较法
作差
变形
◆你有200元钱呢？
答：当然够，
还会有剩余
理由：200 > 150 ，即 200 – 150 > 0
不等式及其基本性质
1：思考不等式常用的符号有哪些呢？
(, , , , )（至少，至多，不小于，不大于等。）
2：怎样判断两个实数的大小关系呢？
100 < 150 ，即 100 – 150 < 0 150 = 150 ，即 150 – 150 = 0 200 > 150 ，即 200 – 150 > 0
5 m

5ห้องสมุดไป่ตู้
解：
1 m 1 4m 5 5m 5 m 5 m 5 5(5 m) 5(5 m) 5(5 m)
>0
1 m 1 所以： 5 m 5
作差比较法
作差
变形
断号
结论
练习
1： 2 x 2
2： x 2
1与
5和 4 x
x 1 的大小
2
的大小
游戏猜猜猜
作业
1：基础作业
P26
2,3,4
2：探讨作业
陈老师每月的工资原来高于周老师,但低于他 的两倍.今年开始后,他们的工资同时加薪 10﹪,问现在陈老师的工资仍高于周老师但低 于两倍吗?

解法一（配方法）
32 1 2 x 3 x ( ) 0 原方程配方，得 2 4 3 2 1 (x ) 整理得 2 4 3 1 解得 x 2 ， x 1 所以 x 1 2 2 2
解法二（因式分解法） 原方程可化为 ( x 1 )( x 2 ) 0 2 ， x 1 所以 x 1 2 解法三（公式法）
1 b abb + a = = = 2 2 2 ( ab + ) ( ab + ) ( ab + ) ( ab + )
2 b ( a b )( a b ) b 2 b ( a b ) a ( a b ) a ( a b )
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1．当x＝______时，分式 2 x 3 没有意义。 1 3x 2．当x＝______时，分式 2 x 3 的值为0。 1 3x
1 72 2 c ( 7 a b c ) a b c （2）原式 a 4 4
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例2 把下列各式分解因式 32 23 2 （1） 1 5 a b 2 0 a b 5 a b 2 2 y 2 y 1 （2） x 5 （3） x2 2x1
解 2 2 5 a b ( 3 ab 4 b 1 ) （1）原式
2 2．计算 ( 3 a b 7 )(4 a 6 a b 7 )
3．分解因式：
2 2 2 （1）3 6 a b c 4 8 a b c 2 4 a b c 1 2 a b c ( )
2 （2）a ac ab bc
2 6 x 8 （3） x
2 （4） 2 x -3 x -5 =
分式的运算
分式 A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的 B A 形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式，其中 A B 叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以（或 除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个 性质叫做分式的基本性质，即

uuur uuu uuu r r − AD = DA = CB
如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向量 例r3 uuur uuu 共线的非零向量。 AB AD 解
uuu uuur r DC 与向量 AB 共线的向量有 BA 、 r uuur uuu uuu r 与向量 AD共线的向量有 DA 、BC
例题解析
例1 计算下列各式： （1）4(a＋b)－2(a－b)－2a （2）2(a＋2b＋c)－(3a＋2b－c) 解（1）4(a＋b)－2(a－b)－2a ＝4a＋4b－2a＋2b－2a＝6b （2）2(a＋2b＋c)－(3a＋2b－c) 2 2(a 2b c) (3a 2b c) ＝2a＋4b＋2c－3a－2b＋c ＝－a＋2b＋3c
的平行四边形的对角线AC表示的向量。这种求作不共线 的两个向量和的方法叫做平行四边形法则 平行四边形法则。 平行四边形法则
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向量加法满足下列运算律： 1． a＋b＝b＋a ＝ 2． a＋0＝0＋a＝a 3． (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量的减法运算 一般地，我们规定： a－b＝a＋(－b) 即，向量a减b规定为向量a加上b的负向量。
例题解析
如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向 例r1 uuur uuu AD 量 AB 、 相等的向量。 解
uuu uuur r AB = DC uuur uuu r AD = BC
例 uuur 2 AD 的负向量。 uuu uuu uuu r r r 解 − AB = BA = CD
uuu r 如图所示，在平行四边形ABCD中，找出向量 AB 、
一般地，任意实数λ与向量a的乘积λa是一个向量， 它的模 |λa| 等于 |λ||a|。当λ＞0时，它的方向与a的方向相 同；当λ＜0时，它的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0。 例如，向量－4a的长度是4|a|，方向与向量a相反。 由此可知，λa与a是共线向量。 对任意向量a、b，设λ、µ为实数，则有 1．λ(µa)＝（λµ）a 2．(λ＋µ)a＝λa＋µa 3．λ(a＋b)＝λa＋λb

An

存在N
，使对一切
x
n
一个集合A，这样得到许多集合，它们的总体称为集合族，
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族
{A若对}任意 ,
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
集合与元素的关系：属于或不属于.
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属 于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。
集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；
例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：
A {x | x具有性质P}
其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
如果E是一个事先给定了的集合，则E[x; p(x)]便表示E中所有使 条件p(x)满足的x所构成的集合，即{x; x E, p(x)}.

3) 若B1，B2 , Bn ,中的每一个都属于 F (A) F ,
则对于任意的 - 域F ,都有Bi F ,于是


Bi F ,由于 是任意的，从而 Bi F (A) F .
i1
i1

可见F(A)确实是一个 域。

称Cn Ak是集合序列{Ak}kn的交.
k n
显然，{Bn }n1单减，{Cn }n1单增.
3.上极限和下极限
我们把{Bn }的交集称为{ An }的上极限，


记为lim n
An

lim sup An
n

Bn
n1


n1 k n

数学归纳法应用
数学归纳法在数列求和、不等式证明、组合数学等领域 有广泛应用。例如，可以利用数学归纳法证明等差数列 和等比数列的求和公式。
04
平面解析几何初步
直线方程求解技巧
熟练掌握直线方程的基本 形式：一般式、点斜式、 斜截式等，理解各参数的 含义。
掌握直线方程的求解方法： 如两点式、截距式等，能 根据已知条件选择合适的 求解方法。
根据数据分析结果，对实际问题作出解释和判断，为决策提供依据。
THANKS
感谢观看
多面体的性质
了解多面体的性质，如欧拉公式等，能够运用性质解决相关问题。
空间向量基本概念运算
空间向量的定义与表示 理解空间向量的定义和表示方法，能够正确表示空间向量。
空间向量的线性运算 掌握空间向量的加法、减法、数乘等线性运算规则，能够 运用规则进行运算。
空间向量的坐标运算 理解空间向量的坐标概念，能够运用坐标进行向量的运算。
应的弧长为单位。两者之间可以通过公式进行相互转换。
角度制与弧度制下的三角函数值
02
在不同的角度制或弧度制下，三角函数的值也会有所不同，需
要注意转换。
实际应用中的转换问题
03
在实际应用中，如物理、工程等领域，经常需要进行角度制与
弧度制的转换，需要熟练掌握转换方法。
三角函数基本概念及性质
1 2
三角函数定义及符号 正弦、余弦、正切等三角函数的定义及符号，以 及各象限内三角函数的正负性。
数列。
求和公式推导
利用错位相减法或无穷递缩等比 数列法，可推导出等比数列的求
和公式。
求和公式应用
利用求和公式，可以快速求解等 比数列的前n项和。
数学归纳法原理及应用
数学归纳法原理

解 原式
ax
ax
2 a
(ax)(ax)(ax)(ax)a 2x2
原式
1 b ab b a (ab ) (ab )2 (ab )2 (ab )2
原式 a(ab 2b)2(ab (b a) (ab ). b)a(abb)
13
课堂练习：
2x 3
1．当x＝______时，分式1 3 x 没有意义。
a a
，求x。
.
6
整式的运算
幂的运算法则（a、b≠0，m、n是整数）
an•amanm
(am)n am•n
(ab)n anbn
常用乘法公式
(ab)(ab)a2b2
a2b2a22abb2
a 2 b 2 a 2 . 2 a b b 2
7
因式分解
多项式的因式分解就是把一个多项式化为几 个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是 相反方向的变换
分式的基本性质 ： 分式的分子和分母都乘以（或除 以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个 性质叫做分式的基本性质，即
A A M B BM
A AM B BM
，（M为不等于零的整式） 分式的运算 ： 分式的加减运算是使用通分进行的；
分式的乘除运算是使用约分进行的。
.
12
例题解析
例 计算：
(1) （2） （3） 1 1 ax ax
（3） x2 2x15
解 原式= 5a2b(3ab4b21) 原式= x 2 (y 2 2 y 1 ) x 2 (y 1 )2 原式= (x3)(x5)
=(xy1)(xy1)
.
10
课堂练习：
1．计算
( x 2 x 2 5 ) ( 3 4 x 2 6 x )

2．下列各角中哪些角与80°的角终边相同？ 440°、－280°、280°、400°。
弧度
我们规定，长度等于半径的圆弧对应的圆心角为1 弧度。弧度的单位符号是rad。
根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧 对应的圆心角α的大小是 l，即
r
l rad
r
例如，圆周的长度是2πr，它对应的圆心角的大小是
第3章 三角函数
3.1 角的概念推广 3.2 任意角的三角函数 3.3 三角函数的图像和性质
3.1 角的概念推广
完成“将这扇门打开60°”的动作有两种选择。你能否找 出一种简明的方法区分出开门的方向？
假设目前的准确时间是8:45，左图里挂钟显示的时间 （10:15）快了一个半小时．要校准此钟，必须将分针（长针） 往回拨一圈半。分针被拨动一圈的时候，它被拨动的角度是 多少？再拨半圈，分针又转过多少度？从开始拨动到完成校 准，分针被拨动的角度一共是多少？
β＝30°＋k·360°，k∈Z
由此推广，与α角终边相同的角（含α角在内）的一 般表达式是：
β＝α＋k·360° ，k∈Z
由此推广，轴线角的一般表达式如下
终边位置 x轴的正半轴 x轴的负半轴
x轴( k∈Z) β＝180°＋k·360°( k∈Z) β＝k·180°( k∈Z) β＝90°＋k·360°( k∈Z) β＝270°＋k·360°( k∈Z) β＝90°＋k·180°( k∈Z)
而390°、320°角与40°角终边不相同（390°、320°与 40°的差值不是360°的整数倍）。
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1．下列各角是第几象限角？（如果是轴线角也请说明） 30°、 120°、 180°、 260°、300°、360°、390°、450°、－ 30°、－90°、 －120°、－180°、－230°、－330°。

③ 在求分段函数的函数值时，需要注意的是， 对给定的自变量，首先要确定它所在范围， 再根据该范围的对应法则（即函数表达 式），计算函数值。
课堂练习题
◆ 知识巩固3 P69 2、已知一半径为r厘米的圆，若该圆的半径 增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写 出y关于x的函数关系式。 3、设 x0 x 1
教学要求
◆ 学会用函数的概念观察、认识、分析客观 世界中变量之间的关系，理解函数是变量 之间关系的数学模型。 ◆ 学会用恰当的方法（解析法、列表法、图 像法）表示函数，会解读用列表法与图像 法表示的函数关系的实际含义。 ◆ 会求一些简单函数的定义域。 ◆ 理解函数值的概念，并学会用观察与分析 的方法得到一些简单函数的值域。
得 x 2, x 3 所以这个函数的定义域为 2,3 3,
③ 函数的定义域不等式组
x 1 0 2 x 0
得 1 x 2 所以这个函数的定义域为 1, 2
课堂练习题
◆ 知识巩固1 P62 1、写出反比例函数和一次函数的一般形式， 并确定它们的定义域和值域。 2、用一段长为40米的篱笆围一块矩形绿地， 矩形一边长为x米，面积为y平方米，请写 出y关于x的函数关系式，并求它的定义域。 3、求下列函数的定义域： ① y 3x 1 ② y x 1
f x 1 0 x2 x 1 x2
① 试确定函数f(x)的定义域； ② 求f(-2),f(0),f(1.5),f(3)的值。
x
函数的表示方法
表示两个变量之间的函数关系的方法有解析 法、列表法和图像法。 正比例函数 y kx(k 0) ，反比例函数 k y (k 0) ，一次函数 y kx b(k 0) ，二次 x 2 函数 y ax bx c(a 0) 都是用解析式来表 示两个变量之间函数的关系。 这种用解析式来表示函数的方法称为解析法。

2 a
(ax)(ax)(ax)(ax)a 2x2
原式 (a1 b )(a b b )2a (a b b )2 b(a a b )2
原式 a(ab 2b)2(ab (b a) (ab ). b)a(abb)
13
课堂练习：
1．当x＝______时，分式12 x
3
3 x
没有意义。
代数定义：
a
(a 0)
|
a
|
0
(a 0)
. a ( a 0 )
4
例题解析 例1 求下列数的绝对值：
（1）3.4 解
（1）因为3.4>0，所以|3.4|＝3.4。
.
5
课堂练习：
1．__在__－_2_、__34 _、，94 分、数2有、_2 _5 __这__些__数__中__，_整__数__有， 有
2．当x＝______时，分式12 x
3
3 x
的值为0。
3．计算：
（1）
31 1 a2b ab a3b3
（2）
3x (x2 5 )
2x4
x2
.
14
数的乘方和开方运算
正整数指数幂 a 14 a4 a4a2 4 4 a 43 an （n是正整数） n个 a
零指数幂 a0 1(a0) 负整数指数幂 ana1n(a0,n是 正 整 数 ) 平方根 若x2＝a (a≥0)，则称x为a的平方根
a1ba2
1 2abb2
b2
abb2
a32a2bab2 a2b2
分
析：分式的加、减法关键是求最小公分母，基本
方法：①先将各分母分解因式；②将所有因式全
部取出，公因式应取次数最高的；③将取出的因