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第二章 平面问题的基本理论

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2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)

2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)

当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。


由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；

弹性力学-2-平面问题的基本理论

弹性力学-2-平面问题的基本理论

2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。

平面问题的基本理论

平面问题的基本理论

y
y
dy
说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx
—— 超静定问题，需找补充方程才能求解。
（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；
（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关 （钢、石料、混凝土等）；
（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
1) 2
时，τN为最大、最小值：
max 1 2
min
2
x A
N sN
由 l 1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 2
小结：
（1）斜面上的应力
px l x m yx py m y l xy
（2-3） （2-4）
N l 2 x m2 y 2lm xy （2-5） N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy（2-6）
可近似为平面应变问题的例子：
—— 仅为 x y 的函数。
煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，
求： x , y , xy x , y , xy u, v
第二章 平面问题的基本理论
要点 —— 1）两类平面问题
2）建立平面问题的基本方程 3）一点应力状态的分析 包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等
弹性力学是已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性 （E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。

弹性力学 第二章平面问题的基本理论

弹性力学 第二章平面问题的基本理论

体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4

弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)

弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
基本方程是二维的。
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论
应力边界条件：
在应力约束 面上： 设 面法线与x轴正向夹角
的余玄为l，与y轴正向夹角
的余玄为m。
混合条件：
位移约束与应力约束的组合。
边界条件举例
x
y q
x
y
p
圣维南原理及其应用
圣 维 南 （ Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant ， 1797～1886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力， 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同 一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变， 但是远处所受的影响可以忽略不计。
— 边界条件
按位移求解平面应力问题(5)
— 小结
按位移求解平面问题需要：
1. 位移分量满足微分方程：
2.边界条件：
按位移求解平面问题(5)
— 举例
x
ρg
y=h y
按位移求解平面问题(6)
— 举例
x
ρg
y=h y
按应力求解平面应力问题(1)
— 用位移表达应变（几何方程）
形变协调方程或相容方程 连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足 相容方程，才能保证真实的位移分量存在。
因此，由 中第一式：
最后得到：
由 中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
应力调和方程 代入
得到：
简写为：
常体力情况下的平面问题
常体力情况下的平面问题需要满足：
1.艾里应力函数表示的相容方程：
2.边界条件
3.位移单值条件
弹性力学第二章平面问题的基本理论

第2章 平面问题的基本理论

第2章 平面问题的基本理论
u = u ( x, y ) ,v = v ( x, y )
例2（习题 ） （习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
ε x = ε x ( x, y ) ,ε y = ε y ( x, y ) ,γ xy = γ xy ( x, y )
思考题 设有厚度很大(即 向很长)的基础梁放置在地基上 的基础梁放置在地基上,如果 设有厚度很大 即 z 向很长 的基础梁放置在地基上 如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑 问应如何考虑? 想把它近似地简化为平面问题处理 问应如何考虑
2、平面应变问题 (1) 几何特征： 几何特征： 常截面的柱体，长度>>截面的长 截面的长、 常截面的柱体，长度>>截面的长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿厚度不变； 受力特征： xy面 沿厚度不变； 体力f 作用于体内； 体力fx、fy作用于体内； 面力f 作用于柱面； 面力fx、fy作用于柱面； 约束u 作用于柱面。 约束u、v 作用于柱面。
一、斜截面上的应力 求解： 边长 求解： AB=ds, PB=lds, PA=mds. AB=ds, PB=lds, PA= l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (1) 求（px,py）
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力 l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (2) 求（ σn , τn ）
ω
─ 表示物体绕原点的刚体转动。 表示物体绕原点的刚体转动。
v = f 2 ( x ) = v0 + ω x
结论： 形变确定， 结论： 形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看， 、 确定 物体还可作刚体位移。 确定， 从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论

圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论

02《弹性力学》教案：第二章：平面问题的基本理论

02《弹性力学》教案：第二章：平面问题的基本理论

二、弹性力学平面问题
弹性力学平面问题的特点有两个： （ 1） 、从几何尺寸的角度看，物体一个方向的尺寸，较之其它两个方向的尺 寸要大得多，或小得多。 （ 2） 、从受力分析的角度看，物体所受的体力分量和面力分量，以及由此产 生的应力分量、应变分量和位移分量，都与某一个坐标轴（例如 z 轴）无关。 有 两 种 典 型 情 况 ， 分 别 是 平 面 应 力 问 题 （ pla ne s tre ss pr obl e m ） 和 平 面 应 变 问 题 （ pla ne stra i n pr obl e m ） 。分别讨论。 1、 平 面 应 力 问 题 几 何 尺 寸 ： 物 体 是 很 薄 的 等 厚 度 平 板 ， 沿 z 方 向 的 厚 度 为 t； 沿 x 方 向 和 y 方 向的尺寸，远大于厚度 t。 坐 标 系 ： 以 薄 板 的 中 面 为 xoy 面 ， z 轴 垂 直 于 xoy 面 。 受力特点：体力作用于板内，平行于板面且不沿厚度变化， （ X、Y） ，沿厚 度均匀分布。 面力作用于板边，平行于板面且不沿厚度变化， （ X 、Y ） ，沿厚 度均匀分布。
σ x = σ x ( x, y ) ， 则 在 c d 面 上 ， 由 于 长 度 增 加 了 dx ， 则 c d 面 上 的 正 应 力 分 量 应 随
之 变 化 。应 力 分 量 的 这 种 变 化 可 用 泰 勒 级 数 展 开 求 得 。实 际 上 ，在 c d 面 上 ，我 们 有
σ x ( x + dx, y ) = σ x ( x, y ) +
１１
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弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论
应力边界条件对于确定物体在受力作用下的变形和位移非常 重要，特别是在解决工程实际问题时，这些条件对于预测结 构的响应和稳定性至关重要。
位移边界条件
位移边界条件描述了物体边界上的位 移情况，即位移函数。这些条件规定 了物体在某些特定方向上的位移限制 ，例如固定、自由或受限制的位移。
位移边界条件对于确定物体的变形和 应力分布具有重要意义，特别是在解 决结构分析问题时，这些条件有助于 确定结构的刚度和稳定性。
平衡方程的数学表达式为
div F = 0，其中 F 是应力向量，div 是散度算子。
几何方程
它由两个部分组成
一部分是位移引起的形变，另一部分是应力引起的形变。
几何方程的数学表达式为
grad u = 0，其中 u 是位移向量，grad 是梯度算子。
物理方程
它由两个部分组成
一部分是线性弹性关系，另一部分是材料常数。
物理方程的数学表达式为
sigma = D*epsilon，其中 sigma 是应力矩阵，D 是弹性矩阵，epsilon 是应变矩阵。
03
平面问题的边界条件
应力边界条件
应力边界条件描述了物体边界上的应力分布情况，即应力函 数。在弹性力学中，应力边界条件通常由应力分量来表示， 这些分量与物体表面的外力有关。
近似法
近似法是通过近似的方式来 求解弹性力学平面问题的一
种方法。
1
它通常适用于无法通过解析 法和数于弹性力学的基本 方程和边界条件，通过物理 模型、经验公式等方式进行 近似求解。
近似法的优点是简便易行， 能够快速得到近似解，但缺 点是精度难以保证，可能存 在误差较大的情况。
地震工程
在地震工程中，弹性力学用于研究地震波在结构 中的传播和响应，为抗震设计和减震措施提供依 据。

弹性力学2第二章_平面问题的基本理论

弹性力学2第二章_平面问题的基本理论

（2-4）
( ) τ n = lm σ y − σ x + (l 2 − m 2 )τ xy （2-5）
（4） τ n = 0 ， 主应力和主应力方向；
（5）最大与最小切应力；
北京工业大学本科生课程---《弹性力学》
2.3 平面问题中一点的应力状态
o
τ
τ
xy
yx
σx τn
σy x
px σn
y
py p n
dy
y
方向上的位移为：
v
+
∂v ∂y
dy
切应变： γ = α + β
线段PA线应变：
εx
=
M1A1 − MA MA
=
u
+
∂u dx ∂x
dx
−u
=
∂u ∂x
北京工业大学本科生课程---《弹性力学》
2.4 几何方程(应变-位移) 刚体位移
u
P
v d y P1
dx
v
+
∂v
B dy
∂y
β
B1
u + ∂u dy ∂y
=
sin α 2 cosα 2
=
m2 l2
=
τ xy σ2 −σ y
tan α 1 ⋅ tan α 2 = −1
北京工业大学本科生课程---《弹性力学》
2.3 平面问题中一点的应力状态
（5）最大与最小切应力；
由（2-5）可以得到
τ n = lm(σ 2 − σ1)
l2 + m2 =1
τn = ±l
1− l 2 (σ 2 − σ1) = ±
北京工业大学本科生课程---《弹性力学》

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

弹性力学2-两平面问题、平衡微分方程

弹性力学2-两平面问题、平衡微分方程
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
平面应变问题
x 0, y 0, xy yx 0 z 0, xz zx 0, yz zy 0
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
第二章 平面问题的基本理论
2.2 平衡微分方程
弹性力学分析问题严格遵循静力学、几何学、物理学三个方面 的条件，建立三套方程。
静力平衡的条件：是关于弹性体内一点（微分体）的应力 分量与体力分量直接平衡关系的平衡微分方程。
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
O
x
yx y
xy
x
y
C
fx
x
x x
平面应变问题：在坝体横截面上，取平面微元体为研究对象
由于z方向的伸缩被阻止，所以 z 0 应该存在z向的第三个
方程，但是知道了x、y向应力后一般由广义胡克定理计算，平衡 微分方程的建立不受影响，不牵扯到z向的应力及体力。
由广义虎克定律得到 z x y
第二章 平面问题的基本理论
2.1 平面应力与平面应变问题
例1.1 如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？
平面应力问题
薄板弯曲问题
平面应变问题
空间问题
空间问题
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
dx
fy
xy
xy x
dx
yx

第二章平面问题的基本理论

第二章平面问题的基本理论

第二章平面问题的基本理论两类平面问题平面问题的基本方程平面问题的边界条件圣维南原理两种求解途径1． 两类平面问题的基本概念一般情况下，弹性力学问题都是空间问题，但是，当弹性体具有某种特殊形状，受有某种特殊的外力时，空间问题可以简化为平面问题，即弹性体的几何参数和所受的外力只是二维坐标（例如x ，y ）的函数（与z 无关）；只需要确定oxy 平面内的应力、应变和位移分量（且只是x 、y 的函数），其它分量或不存在、或可用oxy 平面内的分量表示出来；所得基本方程也都是二维的。

平面问题分两种情况，平面应力问题和平面应变问题。

这两类平面问题的基本特征见表2-1。

图2-1图2-2综上所述，无论是平面应力问题，还是平面应变问题，它们所具有的独立未知量是相同的，3个应力分量（xy t x τσσ,,）、3个应变分量（xy y x γεε,,）、2个位移分量（v u ,），并且都是x ，y 的函数，与z 无关。

2. 平面问题的基本方程解答弹性力学问题必须从静力学、几何学和物理学三个方面考虑，建立其基本方程。

（1）平衡微分方程 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性体内一点的应力分量与体力分量之间的关系。

得到平衡微分方程。

,0=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂Y yxX y x y xy yxx σστσ. (2-1)（2）几何方程三个应变分量与两个位移分量之间的关系。

x v y u yv xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε,,. (2-2)注意：① 从几何方程（2-2）可以看到，三个应变分量由两个位移分量表示，这说明三个应变分量之间要满足一定的协调关系，不能任意选取。

这个协调关系称为相容方程：.22222y x x y xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε (2-3)② 对按应力求解弹性力学问题来说，由于两个平衡微分方程中含有三个应力分量，所以相容方程（2-3）是必须满足的基本方程之一。

否则，就不能由所给出的应力求出连续的位移。

第2章 平面问题的基本理论

第2章 平面问题的基本理论

(l 2σ x + m 2σ y + 2l mτ xy ) 2
13
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称 为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向(即主 应力的方向)称为P点的一个应力主向。
t x = lσ lσ x + mτ xy = lσ t y = mσ mσ y + lτ xy = mσ
，
9
∫ ∫ ∫
h/2
−h / 2 h/2
σx τ xy
x =l
dy = P dy = Q dy = M
−h / 2 h/2
x =l
−h / 2
yσ x
x =l
10
§2 — 7 按位移求解平面问题 平衡方程：
E ∂ 2u 1 − υ ∂ 2u 1 + υ ∂ 2 v ( 2 + + ) + fx = 0 2 2 2 ∂y 2 ∂x∂y 1 − υ ∂x E ∂ 2 v 1 − υ ∂ 2 v 1 + υ ∂ 2u ( 2 + + ) + fx = 0 ， 2 2 2 ∂x 2 ∂x∂y 1 − υ ∂y
弹性力学：微分体平 衡 思考题： 思考题：
微分体上的应力按线性分布，试推导平衡方程 不取规则的微分体，而取任意形状脱离体 能否建立相同的平衡方程 在边界上取微分体，力矩平衡会导致什么结果
5
§2 — 3 几何方程 刚体位移
εx =
εy =
，
∂u ∂x
∂v ∂y
， ，
，
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
平面应力问题和平面应变问题都适用 适用条件：连续性，小变形

第2章 平面问题的基本理论汇总

第2章 平面问题的基本理论汇总
一、单元体的受力图
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。

平面问题的基本理论

平面问题的基本理论

弹性力学网上辅导 3平面问题的基本理论一、两类平面问题1.平面应力问题。

这类问题的条件是：弹性体是多厚度的薄板, 体力、面力和约束都只有xy 平面内的量，都不沿Z向变化；并且面力和约束只作用于板边，在板面上没有任何面力和约束的作用。

平面应力问题特征是：⑴由于板面上无面力和约束作用，以及薄板很薄，可以得出（（7 z , T ZX 和T xy）=0 （在平面域A内）。

因此，只有7x，7 y，T xy三个平面内的应力分量。

⑵由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化，因此应力分量只是X，y两变量的函数。

以后还可从物理方程得出，应变分量也只是X，y的函数；而从几何方程积分求位移可见，位移与Z 有关。

归纳起来讲，所谓平面应力问题，就是只有平面应力分量（7 X，7 y和T xy）存在，且仅为X，y的函数的弹性力学问题。

例如，厚度较薄的浅梁和深梁，受上部荷载及自重的墙，以及有分缝的重力坝等，都属于平面应力问题，凡是符合上述这两点的问题，均属于平面应力问题。

2.平面应变问题这类问题的条件是：弹性体为常截面的很长柱体，体力、面力和约束条件与平面应力问题相似，只有xy平面内的体力、面力和约束的作用，且都不沿z向变化。

这个问题可以简化为平面应变问题。

平面应变问题特征是：⑴假想柱体为无限长时，则任一截面（z面）都是对称面，于是CD =0,只有平面位移分量u 和v 存在，因此，此问题可称为平面位移问题；同样由于对称性，c z =0和丫zx，丫zy=0 （相应的T zx，和T zy=0），只有平面应变分量£ x ，£y, T xy 存在，所以此问题又称为平面应变问题。

⑵由于截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，因此，它们只是X，y 的函数。

由此可见，所谓平面应变问题，就是只有平面应变分量（£ z , £ y和Txy ,）存在，且仅为x，y的函数的弹性力学问题。

进而可认为，凡是符合这两点的问题，也都属于平面应变问题。

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第二章 平面问题的基本理论
本章要点：建立平面问题的基本方程 主要包括以下主要内容：
1. 平衡微分方程； 2. 几何方程； 3. 物理方程； 4. 变形协调方程； 5. 边界条件的描述； 6. 方程的求解方法等
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
yB
斜面外法线 N 关于坐标轴的方向余弦为：
cos(N, x) l
dx ds m
dy

dx ds
YN
yx
A XN
s
N
cos(N, y) m
dy ds l
由微元体平衡知： Fx 0,
则有： xdy 1 yxdx 1 X N ds 1 0 xds l 1 yxds m1 X N ds 1 0
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
2.平面应变问题 (1) 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大
得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化， 近似认为无限长。
(2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，
且沿长度 z 方向不变化。约束沿长度 z 方向 不变化。
(3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，
x
dx
Y
C
xy

xy
x
dx
y 0yy dy
两边同时除以dx,dy整理得： x yx X 0
由
Fy 0
x y
则有
(
y

y
y
dy)dx 1
ydx 1
( xy

xy
x
dy)dx 1
xydy 1 Ydx dy 1 0
45°夹角
第二章 平面问题的基本理论
O
u
dx
x u u dx x
§2-4 几何方程，刚体位移 v
(1) 几何方程
dy
A

v v dx x
平面问题中应变与位移的关系
B
A
—— 几何方程。 一点的变形包括： 线段的伸长与缩短和
y
v v dy y
B
u u dy y
线段间的相对转动
求解得： m x
m yx
l
yx
l y

2

(
x

y
)

(
x
y

2 xy
)

0
1 x y
2
2


x

2
y
2


2 xy
该式即为平面应
(2-7) 力1 状 态2主应力x 的 y
计算公式
第二章 平面问题的基本理论
§2-3 平面问题中一点的应力状态
(4) 应力主向
主应力 所在的平面 —— 称为主平面；
m yx l y
主应力 所在平面的法线方向
m x
—— 称为应力主向；
l
yx
设 1与 x 轴的夹角为 1， 1与坐标轴正向的方向余弦
为 l1, m1 ，则
tan1
zx xz 0; zy yz 0
结论：平面应力问题只有3个应力分量，
y
且仅与X，Y有关：
yx

x
x (x,
y)
y y (x, y)
xy yx xy (x, y)
x x
xy
xy
y yx
第二章 平面问题的基本理论
任一纵线为 z 轴。设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，xy的函数。
水坝 滚柱
厚壁圆筒
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
(4) 应力应变特征
因为任一横截面均可视为对称面，则有
w 0所有各点的位移矢量都平行于 x y
水坝
平面。即为平面位移问题。则有：

yx
y
dy
注：体力为：X,Y；且计算时使 用了小变形假定，以变形前的尺 寸代替变形后尺寸。
第二章 平面问题的基本理论
x
(
xy
§2-2 平衡微分方程
O
由微元体PACB平衡，得
MD 0
y
则有
yx

xy
x
dx)dy 1
dx 2
xydy 1
dx 2
x
yx
两边同时除以dx,dy整理得：
y
y

xy
x
Y

0
第二章 平面问题的基本理论 O
x
§2-2 平衡微分方程
由上述可得平面问题的 平衡微分方程：
x yx X 0
x y
(2-1)
xy y Y 0 (2-2)
x y
y
yx
x
yx
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x (x, y)
y y (x, y)
平面应变问题
xy yx xy (x, y)
注： (1)平面应变问题中 z 0，但是 z 0 z ( x y )
x
P
dy
yx
dx A
ds XN
如图斜面上的应力状态投影得：
N lX N mYN
y
N lYN mX N
xy N
B YN
N sN
将式(2-3)、(2-4)代入，并整理得：
N l 2 x m2 y 2lm xy (2-5) —任意斜截面上
N lm( y x ) (l2 m2 ) xy (2-6) 应力计算公式
y
y
P D
xy
B
dy

yxA
X

x

x
x
dx
Y
C
xy

xy
x
dx
y

y
y
dy
说明：(1) 两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx
为超静定问题，需找补充方程才能求解。
(2) 对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；
O
y
x
§2-3 平面问题中一点的应力状态
(3) 主应力
x
P
dy
yx
dx A
ds XN
若某一斜面上 N=0，则该斜面上的
正应力称为 N 该点一个主应力 ； y
当 N=0时，有 N s
xy N
B YN
N sN
则 YXNNml
l x m yx l X N l x m yx m y l xy m YN m y l xy
(3) 平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关；
(4) 平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
第二章 平面问题的基本理论
O
y
x
§2-3 平面问题中一点的应力状态
P
(1) 斜面上应力在坐标方向上的分量 x
设P点应力为： x , y , xy yx
已知斜面上的应力矢量为：S
xy
N
B
则变形为
l
2
2

(
2

1
)
x
A
N sN
显然当
则：
1 l 2 0(l 2
1) 2
时，
N
有最大最小值。
max 1 2 由l
min
2
1知 2
max 、 min 的
方向与1 ( 2)成
第二章 平面问题的基本理论 O
x
§2-2 平衡微分方程
由
Fx 0
则有
( x
x
x
dx)dy 1
xdy
1
(
yx

yx
y
dy)dx 1 yxdx 1
y x

yx

yx
y
Xdx
y
P D
xy
B
dy

dy 1
yxA
X

x

x

1 2!
2 x
x2
(dx)2

y

x
yxA x
C xy
y

y
y
dy
x dx
x
xy dx
x
xyxxxydxxx
dx
1 2!
2
x
xy 2
(dx)2
xy
xy
x
dx
BC面：

y

y
y
dy
yx
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
第二章 平面问题的基本理论
§2-2 平衡微分方程

O
P
在P点附近取微元体PACB,
PA dx PB dy
x xy B
Z方向取单位长度，设Ｐ点应力
为： x , y , xy yx
yx

y yx
y
dy
则AC面：

x

x
x
dx
N的方向规定：将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针 的，则该 N 为正；反之为负。