数学(理)卷·2018届湖南师大附中高二下学期期中考试(2017.04)

2017-2018学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x＜3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x≤3}2．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积是（）A．B．C．12 D．3．（4分）把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）4．（4分）函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（4分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值是（）A．0 B．C．﹣2 D．6．（4分）以下函数既是奇函数又在区间（0，1）上是增函数的是（）A．y=x B．y=C．y=|x|﹣1 D．y=cos7．（4分）若平面向量=（1，x）和=（2x+3，﹣x）互相平行，其中x∈R，则|﹣|=（）A．B． C．﹣2或0 D．2或108．（4分）设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（，），则f（θ）=（）A．2 B．C．1 D．9．（4分）函数y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．1610．（4分）王先生订了一份《潇湘晨报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，王先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，AB=2，BC=3，B=60°，则AC=．12．（4分）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=．13．（4分）已知圆M与直线3x﹣4y=0及3x﹣4y+10=0都相切，圆心在直线y=﹣x﹣4上，则圆M的标准方程为．14．（4分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则a的取值范围是．15．（4分）已知下列四个结论：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1=0被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2；④将y=sin图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=sin的图象．其中正确的结论是．三、解答题：（本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（6分）已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当n为何值时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值．17．（8分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间x∈[0，]上的最大值和最小值．（3）求函数f（x）在区间x∈[0，π]上的单调区间．19．（8分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，点E，F分别为PA，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥PA；（Ⅱ）求异面直线DE与AF的夹角的余弦值．20．（10分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1﹣3x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[2，8]时，不等式f（log22x）+f（5﹣alog2x）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．一、选择题：（本大题共2个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）21．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A． B．C．D．222．（5分）定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＜0时，f（x）＜﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（共一个小题，每题5分，将答案填在答题纸上）23．（5分）已知（x2+x+1）（x﹣）7=b5（）5+…+b1（）1+b0+a1x1+…+a9x9，其中b i，a j（i=0，1，…，5；j=1，2，…，9）均为常数，则b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9=．三、解答题：（共3个小题，总分35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）24．（11分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N 是M关于原点O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．26．（12分）已知f（x）=lnx﹣ax+a，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围．2017-2018学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x＜3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x≤3}【解答】解：根据题意，B={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，又由集合A={x|﹣1＜x＜3}，则A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}；故选：B．2．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积是（）A．B．C．12 D．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为正方形边长为2，正视图是正三角形，所以几何体是正四棱锥，侧视图与正视图图形相同，侧视图是边长为2的正三角形，所以侧面积为4×（×2×2）=8．底面积为2×2=4，故该几何体的表面积是8+4=12，故选：C．3．（4分）把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）化为十进制数为26+24+23+20=89（10）【解答】解：先将“二进制”数1011001（2）然后将十进制的89化为五进制：89÷5=17余4，17÷5=3余2，3÷5=0余3所以，结果是324（5）故选：C．4．（4分）函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x3+2x﹣3=0，因为x≤0，所以x3≤0，2x≤0，即x3+2x﹣3≤﹣3，所以此时方程x3+2x﹣3=0，无解．当x＞0时，由f（x）=0得﹣2+ln（x+1）=0，即ln（x+1）=2，解得x=e2﹣1．所以函数f（x）的零点个数为1个．故选：B．5．（4分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值是（）A．0 B．C．﹣2 D．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由得：A（0，1）；故当直线z=x﹣2y过A（0，1）时，Z取得最小值，故z=0﹣2=﹣2，故选：C．6．（4分）以下函数既是奇函数又在区间（0，1）上是增函数的是（）A．y=x B．y=C．y=|x|﹣1 D．y=cos【解答】解：对于A，y=x，定义域为[0，+∞）不关于原点对称，不为奇函数；对于B，y=为奇函数，在（0，1）为减函数；对于C，y=|x|﹣1为偶函数，在（0，1）为增函数；对于D，y=cos（﹣x）=sinx为奇函数，在（0，1）为增函数，符合题意．故选：D．7．（4分）若平面向量=（1，x）和=（2x+3，﹣x）互相平行，其中x∈R，则|﹣|=（）A．B． C．﹣2或0 D．2或10【解答】解：因为平面向量和互相平行，所以1×（﹣x）﹣x×（2x+3）=0⇒x=0，或x=﹣2，即或，则所以．故选：B．8．（4分）设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（，），则f（θ）=（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（，），可得sinθ=，cosθ=，函数f（θ）=sinθ+cosθ==2．故选：A．9．（4分）函数y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，当x+3=1时，即x=﹣2时，y=﹣1，∴A点的坐标为（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m，n均大于0，∴=+=2+++2≥4+2=8，当且仅当m=，n=时取等号，故的最小值为8，故选：C．10．（4分）王先生订了一份《潇湘晨报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，王先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设送报人到达的时间为X，王先生离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件A，则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6.5≤X≤7.5，7≤Y≤8}一个正方形区域，面积为SΩ=1，事件A所构成的区域为A={（X，Y）|6.5≤X≤7.5，7≤Y≤8，X＜Y}即图中的阴影部分，面积为S A=．这是一个几何概型，所以P（A）==．∴小王离家前能看到报纸的概率是．故选：D．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，AB=2，BC=3，B=60°，则AC=．【解答】解：在△ABC中，AB=2，BC=3，B=60°，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=4+9﹣2×2×3×=7，解得AC=，故答案为：．12．（4分）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=﹣7．【解答】解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8===﹣7故答案为：﹣7．13．（4分）已知圆M与直线3x﹣4y=0及3x﹣4y+10=0都相切，圆心在直线y=﹣x﹣4上，则圆M的标准方程为（x+3）2+（y+1）2=1．【解答】解：∵圆心在直线y=﹣x﹣4上，∴设圆心坐标为（a，﹣a﹣4），∵圆M与直线3x﹣4y=0相切∴圆心（a，﹣a﹣4）到两直线3x﹣4y=0的距离为：=r，即=r ①同理圆心（a，﹣a﹣4）到两直线3x﹣4y+10=0的距离为：=r，即=r ②联立①②得，a=﹣3，r2=1．∴圆M的方程为：（x+3）2+（y+1）2=1．故答案为：（x+3）2+（y+1）2=1．14．（4分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则a的取值范围是[，3）．【解答】解：∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴f（x）在（﹣∞，1）上递增，在[1，+∞）上也递增，则有，即，解得，故答案为：[，3）．15．（4分）已知下列四个结论：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1=0被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2；④将y=sin图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=sin的图象．其中正确的结论是①③．【解答】解：①设正方体的外接球的半径为r，则2r=2，r=，则球的体积为4π，故①正确；②设一组数据为x1，x2，…，x n，它的平均数为a，方差为b，则另一组数据x1+c，x2+c，…，x n+c（c≠0），运用公式即可得，其平均数为a+c，方差为b，故②错；③圆（x﹣1）2+y2=4的圆心为（1，0），半径为2，直线x﹣y+1=0到圆的距离为d=1，则直线被圆截得的弦长为2，故③正确．④将y=sin图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=sin（2x+）的图象．故④不正确．故答案为：①③．三、解答题：（本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（6分）已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当n为何值时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=25，a4=16．∴25+3d=16，解得d=﹣3．∴a n=25﹣3（n﹣1）=28﹣3n．（Ⅱ）令a n=28﹣3n≥0，解得n≤．∴当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值．17．（8分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．18．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间x∈[0，]上的最大值和最小值．（3）求函数f（x）在区间x∈[0，π]上的单调区间．【解答】解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可知A=2，•=﹣，∴ω=2．结合五点法作图可得2×+φ=，∴φ=﹣，∴函数f（x）=2sin（2x﹣）．（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣1；当2x﹣=时，f（x）取得最大值为2．（3）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合x∈[0，π]，可得增区间为[0，]、[，π]；减区间为[，]．19．（8分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，点E，F分别为PA，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥PA；（Ⅱ）求异面直线DE与AF的夹角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）作PO⊥底面ABCD，垂足为O取AB的中点M，连结PM，则AB⊥PM，连结OM，则AB⊥平面POM，∴AB⊥OM，∴∠PMO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，∵二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，∴cos∠PMO=，设正方形ABCD的边长为2，∵△PAB为等边三角形，则PM=，在Rt△POMk，OM=PMcos∠PMO=1，∴PO=，且点O为正方形ABCD的中心，∴OD=，在RtPOD中，PD==2，∴PD=AD，∵点E是PA的中点，∴DE⊥PA．解：（Ⅱ）连结EF，则EF，取CD中点N，则DN，∴EF DN，连结NF，则四边形EFND是平行四边形，∴NF DE，∴∠AFN是异面直线DE与AF 夹角，∵△PAD和△PAB都是边长为2的正三角形，则DE=AF=，∴NF=，∵AN==，在△ANF中，由余弦定理得：cos∠AFN==，∴异面直线DE与AF的夹角的余弦值为．20．（10分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1﹣3x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[2，8]时，不等式f（log22x）+f（5﹣alog2x）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=1﹣3﹣x，又f（x）是奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）=﹣1+3﹣x…（3分）当x=0时，f（0）=0故，（2）f（log22x）+f（5﹣alog2x）≥0得f（log22x）≥﹣f（5﹣alog2x）．∵f（x）是奇函数，∴得f（log22x）≥f（alog2x﹣5）．又f（x）是减函数，所以log22x﹣alog2x+5≤0．x∈[2，8]恒成立．令t=log2x，x∈[2，8]，则t∈[1，3]，得t2﹣at+5≤0对∀t∈[1，3]恒成立．解法一：令g（t）=t2﹣at+5，t∈[1，3]，g max（t）=max{g（1），g（3）}≤0∴，解得a≥6，解法二：t2﹣at+5≤0⇒a≥t+，t∈[1，3]恒成立，∴g（t）=t+在[1，]单调递减，在[，3]单调递增，∴g（x）max=g（1）=6，∴a≥6．一、选择题：（本大题共2个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）21．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A． B．C．D．2【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选：C．22．（5分）定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＜0时，f（x）＜﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因为当x＜0时，[xf（x）]′=f（x）+xf′（x）＜0，所以xf（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又函数f（x）为奇函数，所以函数xf（x）为偶函数，结合f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，作出函数y=xf（x）与y=﹣lg|（x+1）|的大致图象，如图所示：由图象知，函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点有3个，故选：C．二、填空题：（共一个小题，每题5分，将答案填在答题纸上）23．（5分）已知（x2+x+1）（x﹣）7=b5（）5+…+b1（）1+b0+a1x1+…+a9x9，其中b i，a j（i=0，1，…，5；j=1，2，…，9）均为常数，则b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9=﹣35．【解答】解：在（x2+x+1）（x﹣）7=b5（）5+…+b1（）1+b0+a1x1+…+a9x9，中，令x=1，可得b0+b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9=0，∴b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9=﹣b0 ．=•（﹣1）r•x7﹣2r，由于7﹣2r为奇数，又（x﹣）7的展开式通项公式为T r+1令7﹣2r=﹣1，求得r=4，可得b0=35，故b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9=﹣b0=﹣35，故答案为：﹣35．三、解答题：（共3个小题，总分35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）24．（11分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人…（1分）其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：…（3分）因为…（5分）所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…（6分）（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，从而需抽取男生4人，女生2人．故X的所有可能取值为0，1，2…（7分），X的分布列为：P…（10分）…（12分）25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N 是M关于原点O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．【解答】解：（Ⅰ）离心率为e==，可设a=2t，c=t，b==t，t＞0，则椭圆方程为x2+2y2=4t2，令y=1可得x=±，即有2=2，解得t=，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）设A，B的横坐标为x1，x2，则A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），D（，（x1+x2）+m），联立y=kx+m和椭圆x2+2y2=8，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∴x1+x2=﹣，∴D（﹣，），∵M（0，m），则N（0，﹣m），∴⊙N的半径为|m|，|DN|==，设∠EDF=α，∴sin====，令y=，则y′=•，当k=0时，sin取得最小值，最小值为．∴∠EDF的最小值是60°．26．（12分）已知f（x）=lnx﹣ax+a，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知f（x）的定乂域为（0，+∞），又，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立；当a＞0时，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数．（2）由题意，则，当a≤1时，∵，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，不符合题意．当a＞1时，，令φ（x）=x2﹣（1+a）x+1，则△=（1+a）2﹣4=（a+3）（a﹣1）＞0．令φ（x）=0的两根分别为x1，x2且x1＜x2，则∵x1+x2=1+a＞0，x1•x2=1＞0，∴0＜x1＜1＜x2，当x∈（0，x1）时，φ（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（0，x1）上为增函数；当x∈（x1，x2）时，φ（x）＜0，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（x1，x2）上为减函数；当x∈（x2，+∞）时，φ（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（x2，+∞）上为增函数．∵g（1）=0，∴g（x）在（x1，x2）上只有一个零点1，且g（x1）＞0，g（x2）＜0．∴==．∵，又当x∈[x1，1）时，g（x）＞0．∴∴g（x）在（0，x1）上必有一个零点．∴．∵2a+2＞1，又当x∈（1，x2]时，g（x）＜0，∴2a+2＞x2．∴g（x）在（x2，+∞）上必有一个零点．综上所述，故a的取值范围为（1，+∞）．。

湖南省长沙市2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题1、已知复数z满足z= ，那么z的虚部为（）A、﹣1B、﹣IC、1D、i2、定积分（2x+e x）dx的值为（）A、e+2B、e+1C、eD、e﹣13、观察下列各式：，，，…．若则n﹣m=（）A、43B、57C、73D、914、按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（）A、12种B、6种C、10种D、9种5、曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是（）A、4B、C、3D、26、的展开式中常数项是（）A、﹣160B、﹣20C、20D、1607、用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A、2k+1B、2k+3C、2（2k+1）D、2（2k+3）8、某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q=8300﹣170P﹣P2，则最大毛利润为（毛利润=销售收入﹣进货支出）（）A、30元B、60元C、28000元D、23000元9、若f（x）=2xf'（1）+x2，则f'（0）等于（）A、﹣2B、4C、2D、﹣410、用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A、12B、24C、30D、3611、若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A、（﹣∞，0）B、（0，+∞）C、（﹣∞，4]D、[4，+∞）12、f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A、①③B、②③C、②④D、①④二、填空题13、已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，则a=________，b=________．14、设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________．15、在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为________．16、已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，以下命题正确的序号是________．①如果函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），其中a i∈M（i=1，2，3，…，7），那么f′（0）的最大值为127．②数列{a n}满足首项a1=2，a k+12﹣a k2=2，k∈N*，当n∈M且n最大时，数列{a n}有2048个．③数列{a n}（n=1，2，3，…，8）满足a1=5，a8=7，|a k+1﹣a k|=2，k∈N*，如果数列{a n}中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列{a n}一共有33个．④已知直线a m x+a n y+a k=0，其中a m， a n， a k∈M，而且a m＜a n＜a k，则一共可以得到不同的直线196条．三、解答题17、已知复数(1)m取什么值时，z是实数？(2)m 取什么值时，z是纯虚数？18、（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求(1)a1+a2+a3+a4．(2)（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2．19、6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？20、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？21、设f（n）=（1+ ）n﹣n，其中n为正整数．(1)求f（1），f（2），f（3）的值；(2)猜想满足不等式f（n）＜0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．22、已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．(1)若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．(2)若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；(3)若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．湖南省长沙市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：z= = =1+i，∴z的虚部为1．故选：C．【分析】利用复数的乘法运算法则得出．2、【答案】C【考点】定积分【解析】【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）| =（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．【分析】根据微积分基本定理计算即可．3、【答案】C【考点】归纳推理【解析】【解答】解：∵，，…．∴，=，…∵，∴m=9，n=m2+1=82，∴n﹣m=82﹣9=73，故选：C．【分析】通过找规律可知：等式左边的第n项为：根号外的数字n和根号里的分子相同是n，分母是n2+1，等号右边根号中减号前是n减号后的分数与等号前的分数一样，问题得以解决．4、【答案】D【考点】计数原理的应用【解析】【解答】解：由题意，他的父母的血液类型都是A、B、O三种之一，故每人的血液类型有三种可能则其父母血型的所有可能情况有3×3=9种故选D．【分析】由血液遗传原理知它的血型为O型，则其父母都血型中都有O型基因，都不是AB型，由此每人的血液类型有三种选择，由公式求解即可．5、【答案】C【考点】余弦函数的图象【解析】【解答】解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是3 =3sinx =3，故选：C．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是3 =3sinx ，计算求的结果．6、【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．7、【答案】C【考点】数学归纳法，数学归纳法【解析】【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．8、【答案】A【考点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即 L（p）=pQ﹣20Q=Q（p﹣20）=（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）=﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）=﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）=0，解得p=30或p﹣﹣130（舍去）．此时，L（30）=23000．因为在p=30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故选：A．【分析】毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．9、【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=2xf'（1）+x2，则其导数f′（x）=2f'（1）+2x，令x=1可得：f′（1）=2f'（1）+2，解可得f′（1）=﹣2，则f′（x）=2×（﹣2）+2x=2x﹣4，则f'（0）=﹣4；故选：D．【分析】根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=2f'（1）+2x，令x=1可得：f′（1）=2f'（1）+2，解可得f′（1）的值，即可得f′（x）的解析式，将x=0代入可得f'（0）的值，即可得答案．10、【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类，第一类，前三个圆用3种颜色，三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种．故选：C．【分析】先涂前三个圆，再涂后三个圆．若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种数．若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所求．11、【答案】C【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】解：∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤x+2lnx+ ，x＞0，令y=x+2lnx+ ，则= ，由y′=0，得x1=﹣3，x2=1，x∈（0，1）时，y′＜0；x∈（1，+∞）时，y′＞0．∴x=1时，y min=1+0+3=4．∴a≤4．∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：C．【分析】由已知条件推导出a≤x+2lnx+ ，x＞0，令y=x+2lnx+ ，利用导数性质求出x=1时，y取最小值4，由此能求出实数a的取值范围．12、【答案】C【考点】命题的真假判断与应用，函数的值域【解析】【解答】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；对于②，y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，∴②正确；对于③，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则x3+2x2+x=kx有二不等负实数根，即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，∴，解得0＜k＜1，∴③错误；对于④，y= （a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2，∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，∴方程的两根之差x1﹣x2= = == ≤ ，即n﹣m的最大值为，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故选：C．【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．二、<b >填空题</b>13、【答案】-3；-9【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，∴f′（﹣1）=0且f′（3）=0，即，解得a=﹣3，b=﹣9，故答案为：﹣3，﹣9【分析】求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可得到结论．14、【答案】-2【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：= = + ，∵复数为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【分析】由已知得= + ，从而得到，由此求出a=﹣2．15、【答案】﹣e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：y=lnx的导数为y′= ，即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k= ，由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则a• =﹣1，解得a=﹣e，故答案为：﹣e．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．16、【答案】②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，令g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a n），则f′（x）=g（x）+x•g′（x），∵f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），∴f′（0）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）…（﹣a7）＜（﹣1）7=﹣1．命题①错误；对于②，n=12，令，则b k+1﹣b k=2，b1=4．对于每一个a i（i＞1）都有两种取值，共211=2048个．命题②正确；对于③，这个问题相当于走楼梯问题，一共六级楼梯，可以进一步也可以退一步，现在在第三级，求走7步后到第四级楼梯的走法．事实上，必定要向前走四步和向后走三步，共种走法，但先走四步和先退三步这两种都是不行的．∴共33种走法，即符合条件的不同数列{a n}一共有33个．命题③正确；对于④，考虑满足a m＜a n＜a k（a m， a n， a k）数组的数量，共个．而数组（1，2，3），（2，4，6），（3，6，9），（4，8，12），（1，2，4），（2，4，8），（3，6，12），（1，2，5），（2，4，10），（1，2，6），（2，4，12），（1，3，4），（2，6，8），（3，9，12），（1，3，5），（2，6，10），（1，3，6），（2，6，12），（1，4，5），（2，8，10），（1，4，6），（2，8，12），（1，5，6），（2，10，12），（2，3，4），（4，6，8），（6，9，12），（2，3，5），（4，6，10），（2，3，6），（4，6，12），（2，4，5），（4，8，10），（2，4，6），（4，8，12），（2，5，6），（4，10，12），（3，4，5），（6，8，10），（3，4，6），（6，8，12），（3，5，6），（6，10，12），（4，5，6），（8，10，12）中共重复25个数组，∴一共可以得到不同的直线195条．命题④错误．故答案为：②③．【分析】对于①，由积函数导数的运算法则求得f′（0）的最大值为﹣1，说明命题①错误；对于②，由分步计数原理可得命题正确；对于③，把问题转化为走楼梯问题，由排列组合知识解决；对于④，由组合数知识求解，然后枚举重复的数组，即可说明命题错误．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：由z是实数得，即，即m=﹣2，∴当m=﹣2时，z为实数（2）解：由z是纯虚数得，即，解得m=3；∴当m=3时，z为纯虚数【考点】复数的基本概念【解析】【分析】根据复数的概念，建立方程或不等式关系即可．18、【答案】（1）解：由（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0得（0﹣3）4=a0，所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4﹣a0=（2﹣3）4﹣81=﹣80（2）解：在（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4．①令x=﹣1得（﹣2﹣3）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4．②所以由①②有（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）（a0+a1+a2+a3+a4）=（﹣2﹣3）4（2﹣3）4=（2+3）4（2﹣3）4=625【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0得（0﹣3）4=a0，即可求出答案，（2）令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4．①，令x=﹣1得（﹣2﹣3）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4．②而（a0+a2+a4）2﹣（a+a3）2，代值计算即可．（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）（a0+a1+a2+a3+a4）119、【答案】（1）解：6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C74=35种插法，故空位不相邻的坐法有A66C74=25200种（2）解：将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72=30240种．（3）解：4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有C74种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C71C62种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C72种坐法．综合上述，应有A66（C74+C71C62+C72）=115920种坐法【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【分析】（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在6个人隔开的7个间隔中，有C74种插法，得到空位不相邻的坐法有几种．（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个间隔里插有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72种．（3）4个空位至少有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻②4个空位2个相邻，另有2个不相邻③4个空位分两组，每组都有2个相邻．根据分类计数原理得到结果．20、【答案】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．21、【答案】（1）解：∵f（n）=（1+ ）n﹣n，∴f（1）=1，f（2）= ﹣2= ，f（3）=﹣3= ﹣3=﹣（2）解：猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，证明：①当n=3时，f（3）=﹣＜0成立，②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即f（k）= ﹣k＜0，∴＜k，则当n=k+1时，由于f（k+1）= = （1+ ）＜（1+ ）＜k（1+ ）=k+ ＜k+1，∴＜k+1，即f（k+1）= ﹣（k+1）＜0成立，由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+ ）n﹣n＜0成立【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（1）由f（n）=（1+ ）n﹣n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，再利用数学归纳法证明即可：①当n=3时，f（3）=﹣＜0成立；②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即﹣k＜0，去证明当n=k+1（n≥3，n∈N+）时，f（k+1）=﹣（k+1）＜0也成立即可．22、【答案】（1）解：当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′（x）= ，从而f′（1）=1．又f （1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0（2）解：证明：当k=5时，f（x）=lnx+ ﹣4．因为f′（x）= ，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=10时，f（x）有极小值．因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）=4+ ﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点（3）解：方法一：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立，即k＜对x ∈（2，+∞）恒成立．令h（x）= ，则h′（x）= ．设v（x）=x﹣2lnx﹣4，则v′（x）= ．当x∈（2，+∞）时，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．因为v（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x=x0时，h（x）的最小值h（x0）= ．因为lnx0= ，所以h（x0）= ∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立．f（x）=1+lnx﹣，f′（x）= ．①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0对x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．而f（2）=1+ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．从而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k﹣k＞0．令g（k）=2+ln2k﹣k，则g′（k）= ＜0，从而g（k）在（1，+∞）为减函数．因为g（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整数k=4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出导数和切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出k=5时f（x）的解析式和导数，求得单调区间和极小值，再由函数的零点存在定理可得（1，10）之间有一个零点，在（10，e4）之间有一个零点，即可得证；（3）方法一、运用参数分离，运用导数，判断单调性，求出右边函数的最小值即可；方法二、通过对k讨论，运用导数求出单调区间，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值为4．。

2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期中考试理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)题 答 要 不 内 线 封 密号位座____________ 号场考____________ 号 学____________ 名 姓____________级 班____________ 级 年(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期中考试数学(理科)命题：朱海棠 贺祝华 王丹 欧阳普审题：高二数学备课组时量：120分钟 满分：150分得分：______________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y 2＝－12x 的准线方程是A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．y ＝3D ．y ＝－32．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33. 一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第6个红色球的编号为49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A .23B ．02C ．09D ．173．对于函数f(x)＝1－2x ，下列结论正确的是A . f(x)是增函数，其值域是[0，＋∞)B . f(x)是增函数，其值域是[0，1)C . f(x)是减函数，其值域是[0，＋∞)D . f(x)是减函数，其值域是[0，1)4．如图，在三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF →与AB →、CD→的关系是A .EF →＝12AB →＋12CD → B . EF →＝－12AB →＋12CD →C .EF →＝12AB →－12CD → D . EF →＝－12AB →－12CD → 5．已知命题p ：x 0＞0，x 0＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是A . (－∞，1)B . (－∞，1]C . (1，＋∞)D . [1，＋∞)6．设条件p ：函数f(x)＝(2－a)x 在R 上单调递增；条件q ：方程x 2a＋y 2＝1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则p 是q 的什么条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分且必要D ．既不充分也不必要7．若正整数N 除以正整数m 后的余数为r ，则记为N ＝r (mod m )，例如10＝2(mod 4)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i 等于A ．4B ．8C ．16D ．328．在区间[0，1]内随机取两个数m 、n ，则关于x 的方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为A.18B.17C.16D.159．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0<φ<π2)，已知f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值．将函数f (x )的图象向左平移π2个单位得函数g (x )的图象，则下列结论正确的是A ．g (x )是奇函数，且在[0，3π]内单调递增B ．g (x )是奇函数，且在[0，3π]内单调递减C ．g (x )是偶函数，且在[0，3π]内单调递增D ．g (x )是偶函数，且在[0，3π]内单调递减10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 25＝1有相同的焦点F 1、F 2，点P 为双曲线与椭圆的一个交点，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的渐近线方程是A. y ＝±2xB. y ＝±3xC. y ＝±xD. y ＝±33x11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋3y ≤4y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ A. 2 B. 12 C. －2 D. －1212．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是A.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ B. [1，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[2，＋∞) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13．师大附中高二年级开展“我的未来不是梦”演讲比赛，七位评委为某参赛选手给出的分数(满分：100分)如下茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，则余下5个分数的方差是__________.茎叶 75 8 4 46 4 79 314.________．15．已知函数f (x )＝(m ＋3)(x ＋m ＋1)(x ＋m )，g (x )＝2x －2，若对任意x ∈R ，有f (x )＞0或g (x )＞0成立，则实数m 的取值范围是__________．16．设点A (1，0)，B (－1，0)，M 为动点，已知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值m (m ≠0)，若点M 的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A 、B )，则m 的值为________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，已知4S ＝a 2＋c 2－b 2.(Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)设m ＝(3－1)a ＋2c ，若b ＝2，求m 的取值范围．18.(本小题满分12分)某中学有初中学生1 800人，高中学生1 200人．为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查．将样本中的“初中学生”和“高中学生”，按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，得其频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40)小时内的总人数约是多少；(Ⅱ)从全校课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率．19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N 分别是A1B、B1C1的中点．(Ⅰ)求证：MN⊥平面A1BC；(Ⅱ)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．20.(本小题满分12分)设数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知4S n＝a2n＋1－4n－1(n∈N*)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若对任意给定的正整数m，集合{n|a n＋t≥2m}中的最小元素为m＋2，求实数t的取值范围．21．(本小题满分12分)如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B为椭圆长轴的两个端点，F为椭圆的右焦点．已知椭圆的离心率为22，且|AF|·|BF|＝2.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设M是椭圆上位于x轴上方的一个动点，直线AM，BM分别与直线x＝3相交于点D，E，求|DE|的最小值．22.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，已知对任意x∈R，都有f(x)≥1－2x，且f(x)＝f(2－x)成立．令g(x)＝f(x)－|λx－1|，其中λ为常数．(Ⅰ)当λ＝1时，求函数g(x)的所有零点；(Ⅱ)当λ＞0时，求函数g(x)的最小值．湖南师大附中高二第一学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期中考试数学(理科)参考答案一、选择题1．A 【解析】因为抛物线开口向左，且p ＝6，则准线方程为x ＝p 2＝3，选A. 2.B 【解析】从数字35开始，从左向右读数，选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，所以选出的第6个红色球的编号为02，选B.3．D 【解析】由1－2x ≥0，得2x ≤1，即x ≤0，所以f (x )的定义域是(－∞，0]． 因为y ＝2x 是增函数，则f (x )＝1－2x 是减函数．又0<2x ≤1，则0≤f (x )＜1，选D.4．C 【解析】取AC 的中点M ，连结EM ，FM .因为E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则ME →＝12CD →，MF →＝12AB →. 所以EF →＝MF →－ME →＝12AB →－12CD →，选C. 5．D 【解析】因为p 为假命题，则綈q 为真命题，即x ＞0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，所以1－a ≤0，即a ≥1，选D.6．B 【解析】f (x )＝(2－a )x 在R 上单调递增2－a ＞1，即a ＜1.方程x 2a＋y 2＝1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆0<a <1. 所以p q ，选B.7．C 【解析】第一次执行循环体，得i ＝2，N ＝13，此时13≠2(mod 3)．第二次执行循环体，得i ＝4，N ＝17，此时17＝2(mod 3)，但17≠1(mod 5)．第三次执行循环体，得i ＝8，N ＝25，此时25≠2(mod 3)．第四次执行循环体，得i ＝16，N ＝41，此时41＝2(mod 3)，且41＝1(mod 5)，退出循环. 所以输出i 的值为16，选C.8．A 【解析】方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根Δ＝n －4m ≥0.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n －4m ≥00≤m ≤10≤n ≤1表示的平面区域与正方形⎩⎪⎨⎪⎧0≤m ≤10≤n ≤1的面积之比即为所求的概率，即P ＝S 阴影S 正方形＝12×14×11×1＝18，选A. 9．D 【解析】因为T ＝6π，则2πω＝6π，即ω＝13.因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，又0<φ<π2，则φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3.由题设，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π2＝2cos x 3，则g (x )为偶函数，当x ∈[0，3π]时，x 3∈[0，π]，则g (x )单调递减，选D.10．B 【解析】据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝6，又|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. 据双曲线定义，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2，则a ＝1. 由椭圆方程知，c ＝2，从而b ＝ 3. 所以双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，选B.11．A 【解析】作可行域，如图. 据题意，当直线l ：y ＝－ax ＋z 经过△AOB 区域时，l 在y 轴上的最大截距为4，则点A (2，0)为最优解．因为x ＝2，y ＝0，z ＝4，则2a ＝4，即a ＝2，选A.12．C 【解析】因为焦点F (0，1)，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ＞0)，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k .因为M 为线段AB 的中点，则x 0＝x 1＋x 22＝2k . 因为点M 在直线l 上，则y 0＝kx 0＋1＝2k 2＋1.所以k OM ＝y 0x 0＝2k 2＋12k ＝k ＋12k ≥2k ·12k ＝2，当且仅当k ＝22时取等号，选C. 二、填空题13．1.6 【解析】因为x －＝85，则方差s 2＝3×（85－84）2＋（85－86）2＋（85－87）25＝85＝1.6. 14．8π 【解析】由三视图可知，该空间几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的组合体．其中圆柱和圆锥的底半径为2，高为3.所以V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13×π×22×3＝8π. 15．(－3，－2) 【解析】由g (x )＞0，得2x >2，即x ＞1，则当x ≤1时，f (x )＞0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0－m －1>1，即－3＜m ＜－2. 16．3 【解析】设点M (x ，y )，则y x －1·y x ＋1＝m ， 即y 2＝m (x 2－1)，即x 2－y 2m＝1(x ≠±1)． 因为点M 的轨迹是离心率为2的双曲线，则m >0，且a 2＝1，b 2＝m ，从而c 2＝1＋m .由1＋m ＝2，得m ＝3.三、解答题17．【解析】(Ⅰ)因为S ＝12ac sin B ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，(2分) 则2ac sin B ＝2ac cos B ，即sin B ＝cos B ，即tan B ＝1.又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (4分) (Ⅱ)因为b ＝2，B ＝π4，则a sin A ＝c sin C ＝2sin 45°＝2， 得a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，且A ＋C ＝3π4.(6分) 所以m ＝2(3－1)sin A ＋22sin C＝2(3－1)sin A ＋22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2(3－1)sin A ＋22⎝⎛⎭⎫22cos A ＋22sin A ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.(8分) 因为A ，B ，C 都为锐角，则0<A <π2，且0<C ＝3π4－A <π2， 所以π4<A <π2.(9分) 从而5π12<A ＋π6<2π3，则32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 所以m ∈(23，4]．(10分)18．【解析】(Ⅰ)由直方图可知，初中生中课外阅读时间在[30，40)小时内的学生人数的频率为1－(0.005×2＋0.03＋0.04)×10＝0.2，则学生人数为1 800×0.2＝360.(2分)高中生中课外阅读时间在[30，40)小时内的学生人数的频率为1－(0.005×2＋0.025＋0.035)×10＝0.3，则学生人数为1 200×0.3＝360.(4分) 估计全校学生中课外阅读时间在[30，40)小时内的总人数约是720人. (5分)(Ⅱ)因为抽样比例为1001 800＋1 200＝130，则初中生应抽取60人，高中生应抽取40人．(6分)所以在课外阅读时间不足10小时的样本学生中，初中生有0.005×10×60＝3人，记为a 1，a 2，a 3；高中生有0.005×10×40＝2人，记为b 1，b 2.(8分)从这5人中任取3人的所有可能结果为：{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，b 1}，{a 1，a 2，b 2}，{a 1，a 3，b 1}，{a 1，a 3，b 2}，{a 1，b 1，b 2}，{a 2，a 3，b 1}，{a 2，a 3，b 2}，{a 2，b 1，b 2}，{a 3，b 1，b 2}，共10个. (10分)其中至少有2个初中生的结果有：{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，b 1}，{a 1，a 2，b 2}，{a 1，a 3，b 1}，{a 1，a 3，b 2}，{a 2，a 3，b 1}，{a 2，a 3，b 2}，共7个．(11分)所以至少有2个初中生的概率P ＝710.(12分)19．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.连结AC 1，则BC ⊥AC 1.(2分)由已知，侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1.(3分)又BC ∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC .(4分)因为侧面ABB 1A 1是矩形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点． 又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN ∥AC 1.故MN ⊥平面A 1BC .(6分)(Ⅱ)因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ，则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成角．(9分)设AC ＝BC ＝CC 1＝2，则C 1D ＝2，BC 1＝2 2.(10分)在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12，则∠C 1BD ＝30°. 所以直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°.(12分) 解法二：(Ⅰ)据题意CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．(1分)设AC ＝BC ＝CC 1＝2，则点B (0，2，0)，B 1(0，2，2)，A (2，0，0)，C (0，0，0)，C 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)．(3分)因为M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点，则点M (1，1，1)，N (0，1，2)．(4分)所以BA 1→＝(2，－2，2)，CA 1→＝(2，0，2)，MN →＝(－1，0，1)．(5分)于是MN →·BA 1→＝0，MN →·CA 1→＝0，则MN ⊥BA 1，MN ⊥CA 1.(6分)又BA 1∩CA 1＝A 1，所以MN ⊥平面A 1BC .(7分)(Ⅱ)因为MN ⊥平面A 1BC ，则MN →为平面A 1BC 的法向量，又BC 1→＝(0，－2，2)，(9分)则cos BC 1→，MN →＝BC 1→·MN →|BC 1→||MN →|＝222×2＝12， 所以BC 1→，MN →＝60°.(11分)故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°.(12分)20．【解析】(Ⅰ)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，则4S n －1＝a 2n －4n ＋3(n ≥2)，两式相减，得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4，即a 2n ＋1＝(a n ＋2)2.(3分)因为a n ＞0，则a n ＋1＝a n ＋2，所以{a n }是公差为2的等差数列．(4分)又4S 1＝a 22－5，则4a 1＝(a 1＋2)2－5，即a 21＝1.因为a 1＞0，则a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(6分)(Ⅱ)由a n ＋t ≥2m ，得2n －1＋t ≥2m ，即n ≥m ＋1－t 2.(8分) 据题意，区间⎣⎡⎭⎫m ＋1－t 2，＋∞内的最小正整数为m ＋2，则m ＋1<m ＋1－t 2≤m ＋2.(10分)即1<1－t 2≤2，所以－3≤t ＜－1. 故实数t 的取值范围是[－3，－1)．(12分)21．【解析】(Ⅰ)设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c .因为e ＝22，则c a ＝22，即a ＝2c ， 所以a 2＝2c 2＝2(a 2－b 2)，得a 2＝2b 2.(2分)因为|AF |·|BF |＝2，则(a ＋c )(a －c )＝2，即a 2－c 2＝2，即b 2＝2.(4分)所以椭圆的标准方程是x 24＋y 22＝1.(5分) (Ⅱ)法一：由题设，点A (－2，0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)．联立x ＝3，得点D (3，5k )．(6分)将y ＝k (x ＋2)代入x 24＋y 22＝1，得x 2＋2k 2(x ＋2)2＝4，即 (2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(7分)设点M (x 0，y 0)，则x 0和－2是方程的两根，所以－2x 0＝8k 2－42k 2＋1，即x 0＝2－4k 22k 2＋1， 从而y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋2＝4k 2k 2＋1， 所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.(9分)又点B (2，0)，则直线BM 的方程为y －04k 2k 2＋1－0＝x －22－4k 22k 2＋1－2， 即y ＝－12k (x －2)． 联立x ＝3，得点E ⎝⎛⎭⎫3，－12k .(10分) 所以|DE |＝5k ＋12k ≥25k ·12k＝10， 当且仅当5k ＝12k >0，即k ＝1010时取等号． 所以|DE |的最小值为10.(12分)法二：由题设，点A (－2，0)，点B (2，0)，设点M (x 0，y 0)，则x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4. 所以(x 0－2)(x 0＋2)＝－2y 20，即y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－12， 所以k AM ·k BM ＝－12.(8分) 设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)，则直线BM 的方程为y ＝－12k (x －2)． 分别联立x ＝3，得点D (3，5k )，点E (3，－12k)．(10分) 所以|DE |＝5k ＋12k ≥25k ·12k ＝10，当且仅当5k ＝12k>0， 即k ＝1010时取等号． 所以|DE |的最小值为10. (12分)22．【解析】(Ⅰ)因为f (x )≥1－2x 恒成立，则ax 2＋(b ＋2)x ≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝（b ＋2）2≤0， 即a ＞0，b ＝－2.(1分)因为f (x )＝f (2－x )，即 f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以－b 2a＝1， 即a ＝－b 2＝1，所以f (x )＝x 2－2x ＋1.(3分) 当λ＝1时，g (x )＝x 2－2x ＋1－|x －1|＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≥1x 2－x ，x <1. 由x 2－3x ＋2＝0(x ≥1)，得x ＝1或x ＝2；由x 2－x ＝0(x <1)，得x ＝0.所以g (x )的所有零点为x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0.(5分)(Ⅱ)因为λ＞0，由λx －1≥0，得x ≥1λ， 所以g (x )＝⎩⎨⎧x 2－（λ＋2）x ＋2，x ≥1λx 2＋（λ－2）x ，x <1λ. (6分)因为2－λ2－1λ＝2λ－λ2－22λ＝－λ2－2λ＋22λ＝－（λ－1）2＋12λ<0， 则2－λ2<1λ.(7分) ①若λ＋22≤1λ，即0<λ≤3－1，则g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2－λ2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2－λ2，＋∞上单调递增，所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫2－λ2＝⎝⎛⎭⎫2－λ22＋(λ－2)·2－λ2＝－⎝⎛⎭⎫2－λ22.(8分)②若λ＋22>1λ，即λ>3－1，则在⎝⎛⎭⎫－∞，2－λ2和⎝⎛⎭⎫1λ，λ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，1λ和⎝⎛⎭⎫λ＋22，＋∞上单调递增． 当x <1λ时，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫2－λ2＝－⎝⎛⎭⎫2－λ22；当x ≥1λ时，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫λ＋22＝⎝⎛⎭⎫λ＋222－(λ＋2)·λ＋22＋2 ＝2－⎝⎛⎭⎫λ＋222.(10分)因为2－⎝⎛⎭⎫λ＋222＋⎝⎛⎭⎫2－λ22＝2－2λ＝2(1－λ)，则 当3－1<λ≤1时，2－⎝⎛⎭⎫λ＋222≥－⎝⎛⎭⎫2－λ22，所以g (x )min ＝－⎝⎛⎭⎫2－λ22；当λ＞1时，2－⎝⎛⎭⎫λ＋222<－⎝⎛⎭⎫2－λ22，所以g (x )min ＝2－⎝⎛⎭⎫λ＋222.综合①②知，当0＜λ≤1时，g (x )min ＝－⎝⎛⎭⎫2－λ22；当λ＞1时，g (x )min ＝2－⎝⎛⎭⎫λ＋222.(12分)。

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学 第页(共8页)(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．24．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B＝A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π3 5．如图的程序运行后输出的结果为 x ＝5 y ＝－20IF x<0 THEN x ＝y －3 ELSE y ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A.15B.13C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，πC.⎣⎡⎭⎫π3，πD.⎣⎡⎦⎤π6，π11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x （x>0），2x （x ≤0），则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19的值为________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．已知函数f(x)＝a·2x －12x ＋1的图象经过点⎝⎛⎭⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域； (3)证明：函数f(x)是奇函数．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面AEC ； (2)求证：CD ⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan x 的值；(2)设函数f(x)＝(a ·b )·cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求f(x)的值域．20．(本小题满分10分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n·a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)对于(2)中的T n ，设c n ＝T n －2a 2n ＋1，求数列{}c n 中的最大项．第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．21．给出下列四个命题①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”； ②命题“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“x ∈R ，x 2＋x －1>0”； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题； ④“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A 1，A 2，其虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是A.5－1B.3＋52C.5＋12D.3＋123．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i (i ＝1，2，…，n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A ．96B ．144C ．192D ．240 答题卡题号 21 22 23 得分 答案二、填空题24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||AF ＋||BF 的值为________．25．若存在实数a ，b(0<a<b)满足a b ＝b a ，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．(本小题满分12分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A作与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且||QF 1＝||F 1F 2.(1)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．27．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln ()x ＋1，g(x)＝12ax 2＋bx.(1)若a ＝0，f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立，求b 的取值范围；(2)设数列c n ＝nn ＋1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22； (3)当a ≠0时，设函数f(x －1)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M ，N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)参考答案 第Ⅰ卷 (满分100分)二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π. 三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内． 设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x ≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分) 17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分)(2)由(1)知，f(x)＝2x －12x ＋1，∵2x >0，2x ＋1>1，∴f(x)的定义域为R .∵f(x)＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x ∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE.因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线， 所以OE ∥PB.又PB 平面AEC ，OE平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA.又AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1. 又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分)19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0，解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x ＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ①∴2a n －1＝2＋S n －1(n ≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n .(3分) (2)b n ＝n·a n ＝n·2n ，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分)(3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ， 由⎩⎨⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n ≤3(n ∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题 21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b·2c ＝12a·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0， 由e ＝ca，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)， 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a<b ，对等式a b＝b a的两边取自然对数，得bln a ＝aln b ，即ln a a ＝ln b b .构造函数f(x)＝ln xx (x>0)，则f′(x)＝1－ln x x 2，令f′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x ∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx (x>0)的图象与直线y＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)， 知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝⎛⎭⎫12a ，0，Q ⎝⎛⎭⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切， 所以⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a a ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)， 由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即：k 2⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0，由已知条件知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m<14， 故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ， 设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h′(x)＝11＋x－b. 若b ≤0，显然不满足题意；若b ≥1，则x ∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x －b ≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立； 若0<b<1，则h′(x)＝11＋x－b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时h′(x)≥0， 所以h(x)在⎣⎡⎭⎫0，1b －1上单调递增． ∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意． 综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分)(2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有 ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1， 则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)， ∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))，即S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22.(8分) (3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2，则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22. C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2.即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1) ＝⎝⎛⎭⎫a 2x 22＋bx 2－⎝⎛⎭⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分) 设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ① 令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u，u>1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2. 因为u>1，所以r′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增．故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1. 这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)(这是边文，请据需要手工删加)。

2017-2018学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共50.0分）1.设全集，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，，则，又由集合，则；故选：B．根据题意，由补集的意义可得集合，又由集合A，结合交集的定义计算可得，即可得答案．本题考查集合的交并补的混合运算，关键是掌握集合交集、补集的几何意义．2.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积是A. B. C. 12 D.【答案】C【解析】解：三视图复原的几何体是底面为正方形边长为2，正视图是正三角形，所以几何体是正四棱锥，侧视图与正视图图形相同，侧视图是边长为2的正三角形，所以侧面积为．底面积为，故该几何体的表面积是，故选：C．三视图复原的几何体是正四棱锥，利用三视图的数据，求出侧面积和底面积，相加即可得到答案．本题考查简单几何体的三视图，三角形的面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．3.把“二进制”数化为“五进制”数是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：先将“二进制”数化为十进制数为然后将十进制的89化为五进制：余4，余2，余3所以，结果是故选：C．先将“二进制”数化为十进制数，然后将十进制的89化为五进制，即可得到结论．本题考查的知识点是二进制、十进制与五进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．4.函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：当时，由得，因为，所以，，即，所以此时方程，无解．当时，由得，即，解得．所以函数的零点个数为1个．故选：B．可以利用零点的定义分别求出零点，或者利用图象法观察函数与x轴交点的个数．本题考查函数零点的个数，可以直接使用定义求解方程根的个数即可．5.若实数x，y满足，则的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由得：；故当直线过时，Z取得最小值，故，故选：C．根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6.以下函数既是奇函数又在区间上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：对于A，，定义域为不关于原点对称，不为奇函数；对于B，为奇函数，在为减函数；对于C，为偶函数，在为增函数；对于D，为奇函数，在为增函数，符合题意．故选：D．运用常见函数的奇偶性和单调性，即可判断符合题意的函数．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用基本函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础题．7.若平面向量和互相平行，其中，则A. B. 或 C. 或0 D. 2或10【答案】B【解析】解：因为平面向量和互相平行，所以，或，即或，则或所以或．故选：B．由于平面向量和互相平行，利用两向量平行式的坐标形式的等价条件可以求出x的值，再有向量的减法求出的坐标，利用模长公式即可求得．此题考查了两向量平行的坐标表示法及方程思想求解未知量x的值，还考查了已知向量的坐标求向量的模．8.设函数，其中角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】解：角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，可得，，函数．故选：A．直接利用三角函数的定义，化简求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数的化简求值，考查计算能力．9.函数，且的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】解：，且的图象恒过定点A，当时，即时，，点的坐标为，点A在直线上，，即，，n均大于0，，当且仅当，时取等号，故的最小值为8，故选：C．现根据对数函数图象和性质求出点A的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到，再根据基本不等式，即可求出结果本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题10.王先生订了一份《潇湘晨报》，送报人在早上6：～：30之间把报纸送到他家，王先生离开家去上班的时间在早上7：～：00之间，则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图，设送报人到达的时间为X，王先生离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件A，则可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为，一个正方形区域，面积为，事件A所构成的区域为，，即图中的阴影部分，面积为．这是一个几何概型，所以．小王离家前能看到报纸的概率是．故选：D．根据题意，设送报人到达的时间为X，王先生离家去工作的时间为Y；则可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A 所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若，则的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设直线AB的倾斜角为及，，点A到准线l：的距离为3的面积为故选：C．设直线AB的倾斜角为，利用，可得点A到准线l：的距离为3，从而，进而可求，，由此可求AOB的面积．本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．12.定义在R上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：因为当时，，所以在上单调递减，又函数为奇函数，所以函数为偶函数，结合，作出函数与的大致图象，如图所示：由图象知，函数的零点有3个，故选：C．时，，所以在上单调递减，再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数，结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案．本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目．二、填空题（本大题共6小题，共25.0分）13.在中，，，，则______．【答案】【解析】解：在中，，，，由余弦定理可得，解得，故答案为：．运用三角形的余弦定理，代入计算可得所求值．本题考查三角形的余弦定理的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题．14.若为等比数列的前n项的和，，则______．【答案】【解析】解：由，得到故答案为：．根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可求出结果．此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题．15.已知圆M与直线及都相切，圆心在直线上，则圆M的标准方程为______．【答案】【解析】解：圆心在直线上，设圆心坐标为，圆M与直线相切圆心到两直线的距离为：，即同理圆心到两直线的距离为：，即联立得，，．圆M的方程为：．故答案为：．首先根据题意设圆心坐标为，再由直线与圆相切利用圆心到直线的距离为半径，求出a和半径r，即可得到圆的方程．本题考查了圆的标准方程，直线与圆相切以及点到直线的距离公式，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．16.已知是上的增函数，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：是上的增函数，在上递增，在上也递增，则有，即，解得，故答案为：．由是上的增函数可知，从左向右看函数的图象一直上升，由此可得关于a的不等式组，解出即可．本题考查函数的单调性及其应用，准确理解函数单调性的定义是解决问题的关键．17.已知下列四个结论：棱长为2的正方体外接球的体积为；如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；直线被圆截得的弦长为；将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象其中正确的结论是______．【答案】【解析】解：设正方体的外接球的半径为r，则，，则球的体积为，故正确；设一组数据为，，，，它的平均数为a，方差为b，则另一组数据，，，，运用公式即可得，其平均数为，方差为b，故错；圆的圆心为，半径为2，直线到圆的距离为，则直线被圆截得的弦长为，故正确．将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象故不正确．故答案为：．根据正方体与外接球的关系：正方体的对角线长即为球的直径，再由球的体积公式即可判断；根据平均数和方差的公式即可判断；根据直线与圆相交的弦长公式，先求出圆心到直线的距离d，应用公式即可判断根据图象平移规则判定．本题以命题的真假为载体，考查正方体与外接球的关系，平均数与方差的运算，以及直线与圆相交的弦长公式，是一道基础题．18.已知，其中，1，，5；，2，，均为常数，则______．【答案】【解析】解：在，中，令，可得5，．又的展开式通项公式为，由于为奇数，令，求得，可得，故，故答案为：．在所给的等式中，令，可得又的展开式通项公式中，x的幂指数为奇数，x的幂指数为，求得r的值，可得的值，从而求得要求式子的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）19.已知是等差数列，其中，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ当n为何值时，数列的前n项和取得最大值．【答案】解：设等差数列的公差为d，，．，解得．．Ⅱ令，解得．当时，数列的前n项和取得最大值．【解析】设等差数列的公差为d，由，可得，解得d，即可得出．Ⅱ令，解得n范围即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．求直方图中x的值；求月平均用电量的众数和中位数；在月平均用电量为，，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】解：由直方图的性质可得，解方程可得，直方图中x的值为；月平均用电量的众数是，，月平均用电量的中位数在内，设中位数为a，由可得，月平均用电量的中位数为224；月平均用电量为的用户有，月平均用电量为的用户有，月平均用电量为的用户有，月平均用电量为的用户有，抽取比例为，月平均用电量在的用户中应抽取户．【解析】由直方图的性质可得，解方程可得；由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在内，设中位数为a，解方程可得；可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．21.已知函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；求函数在区间上的最大值和最小值．求函数在区间上的单调区间．【答案】解：由函数的部分图象，可知，，．结合五点法作图可得，，函数，，故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为2．令，求得，可得函数的增区间为，；令，求得，可得函数的增区间为，．结合，可得增区间为、；减区间为【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．根据函数的解析式，正弦函数的定义域和值域，求得函数在区间上的最大值和最小值．根据函数的解析式，正弦函数的单调性，求得函数在区间上的单调区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于基础题．22.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，二面角的平面角的余弦值为，点E，F分别为PA，PB的中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求异面直线DE与AF的夹角的余弦值．【答案】证明：Ⅰ作底面ABCD，垂足为O取AB的中点M，连结PM，则，连结OM，则平面POM，，为二面角的平面角，二面角的平面角的余弦值为，，设正方形ABCD的边长为2，为等边三角形，则，在，，，且点O为正方形ABCD的中心，，在RtPOD中，，，点E是PA的中点，．解：Ⅱ连结EF，则，取CD中点N，则，，连结NF，则四边形EFND是平行四边形，，是异面直线DE与AF夹角，和都是边长为2的正三角形，则，，，在中，由余弦定理得：，异面直线DE与AF的夹角的余弦值为．【解析】Ⅰ作底面ABCD，垂足为O，取AB的中点M，连结PM，则，连结OM，则平面POM，从而，进而为二面角的平面角，，由此推导出，由点E是PA的中点，由此能证明．Ⅱ连结EF，推导出四边形EFND是平行四边形，则，从而是异面直线DE与AF夹角，由此能求出异面直线DE与AF的夹角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知是定义在R上的奇函数，且当时，．求函数的解析式；当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，，又是奇函数，，故分当时，故，得．是奇函数，得．又是减函数，所以恒成立．令，，则，得对恒成立．解法一：令，，，解得，解法二：，恒成立，在单调递减，在单调递增，，．【解析】根据奇函数的性质即可求出；根据函数的单调性和奇函数的性质可得不等式恒成立，，问题转化为得对恒成立，根据二次函数的性质即可求出．本题考查函数的奇偶性，涉及函数恒成立和二次函数区间的最值，属中档题．24.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．请将上述列联表补充完整：并判断是否有的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中【答案】解：因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人分其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：因为分所以有的把握认为喜欢游泳与性别有关分喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，从而需抽取男生4人，女生2人．故X的所有可能取值为0，1，分；；，X分【解析】根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；利用公式求得，与临界值比较，即可得到结论；喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，从而需抽取男生4人，女生2人故X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．本题考查独立性检验知识，考查X的分布列和数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．25.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，椭圆C截直线所得线段的长度为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ动直线l：交椭圆C于A，B两点，交y轴于点点N是M关于原点O的对称点，的半径为设D为AB的中点，DE，DF与分别相切于点E，F，求的最小值．【答案】解：Ⅰ离心率为，可设，，，，则椭圆方程为，令可得，即有，解得，可得椭圆方程为；Ⅱ设A，B的横坐标为，，则，，，联立和椭圆，可得，，，，则，的半径为，，设，，令，则，当时，取得最小值，最小值为．的最小值是．【解析】Ⅰ运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系和弦长，解得a，b，进而得到椭圆方程；Ⅱ设A，B的横坐标为，，则，，，联立和椭圆，运用韦达定理和中点坐标公式，运用圆的定义和两点的距离公式，化简整理，结合导数即可得到所求最小值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，是一道综合题．26.已知，．讨论的单调性；若有三个不同的零点，求a的取值范围．【答案】解：由已知的定乂域为，又，当时，0'/>恒成立；当时，令0'/>得；令得．综上所述，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数．由题意，则，当时，，在上为增函数，不符合题意．当时，，令，则．令的两根分别为，且，则，，，当时，，0'/>，在上为增函数；当时，，，在上为减函数；当时，，0'/>，在上为增函数．，在上只有一个零点 1，且，．．，又当时，在上必有一个零点．．，又当时，，．在上必有一个零点．综上所述，故a的取值范围为．【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，结合函数的零点的个数确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查函数的单调性、函数的零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．24．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B ＝A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π3 5．如图的程序运行后输出的结果为 x ＝5 y ＝－20IF x<0 THEN x ＝y －3 ELSE y ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 8．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，48 9．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A.15B.13C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x>0），2x （x≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．已知函数f(x)＝a·2x－12x ＋1的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域； (3)证明：函数f(x)是奇函数．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)求证：PB∥平面AEC ； (2)求证：CD⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan x 的值；(2)设函数f(x)＝(a ·b )·cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f(x)的值域．20．(本小题满分10分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝n·a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)对于(2)中的T n ，设c n ＝T n －2a 2n ＋1，求数列{}c n 中的最大项．第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．21．给出下列四个命题①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x≠1”；②命题“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“x ∈R ，x 2＋x －1>0”； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A 1，A 2，其虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是A.5－1B.3＋52C.5＋12D.3＋123．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i (i ＝1，2，…，n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A ．96B ．144C ．192D ．240 答题卡24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||AF ＋||BF 的值为________．25．若存在实数a ，b(0<a<b)满足a b ＝b a，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．(本小题满分12分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 作与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且||QF 1＝||F 1F 2.(1)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．27．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln ()x ＋1，g(x)＝12ax 2＋bx.(1)若a ＝0，f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立，求b 的取值范围；(2)设数列c n ＝n n ＋1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n <n －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22；(3)当a≠0时，设函数f(x －1)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M ，N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)参考答案 第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k∈Z ) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内． 设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分)17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分)(2)由(1)知，f(x)＝2x－12x ＋1，∵2x >0，2x＋1>1，∴f(x)的定义域为R .∵f(x)＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE. 因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线， 所以OE∥PB.又PB 平面AEC ，OE 平面AEC ， 所以PB∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD⊥AD. 因为PA⊥底面ABCD ，所以CD⊥PA.又AD∩PA＝A ，所以CD⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1.又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分)19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0， 解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ① ∴2a n －1＝2＋S n －1(n≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n.(3分)(2)b n ＝n·a n ＝n·2n，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分)(3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ，由⎩⎪⎨⎪⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n≤3(n∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b·2c＝12a ·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0， 由e ＝c a，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a<b ，对等式a b＝b a的两边取自然对数，得bln a ＝aln b ，即ln a a ＝ln b b .构造函数f(x)＝ln x x (x>0)，则f′(x)＝1－ln x x2，令f′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx (x>0)的图象与直线y ＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)，知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a －32＝aa ＝2.∴c＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)， 由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0， 即：k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0， 由已知条件知k≠0且k∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m<14， 故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ，设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h′(x)＝11＋x－b. 若b≤0，显然不满足题意；若b≥1，则x∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x－b≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立；若0<b<1，则h′(x)＝11＋x －b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1时h′(x)≥0， 所以h(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1上单调递增． ∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意． 综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分)(2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有 ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1， 则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)， ∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))，即S n <n －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22.(8分) (3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2，则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22. C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝ ⎪⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2.即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 22＋bx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分) 设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ① 令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u ，u>1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2. 因为u>1，所以r′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增．故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1. 这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)。

湖南省湖南师范大学附属高二下学期期中考试数学（理）试卷满分：100分(必考试卷Ⅰ) 50分(必考试卷Ⅱ)时量：120分钟得分：______________必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2x >1，N ＝{y |y ＝x 2＋1}，则M ∩N ＝A ．[1，2)B ．(1，2)C ．(2，＋∞)D ．∅2．函数f (x )＝log 12（x －3）的定义域为A ．(3，4)B ．(3，4]C ．(－∞，4]D ．[4，＋∞)3．若定义在R 上的函数f (x )＝6x 2＋1＋x 2，则它能取到的最大值为A ．2B ．4C ．2 6D ．26－14．已知随机变量ξ～N (1，σ2)，且P (ξ<2)＝0.8，则P (0<ξ<1)＝ A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.25．函数f (x )＝x 2－ax ＋2在(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为 A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4] D ．(－∞，－4]6k ＝124（43×33－27×21）270×54×≈6.201.给出下列命题：①至少有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关． ②最多有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关．③在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别有关系． ④在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别无关． 其中的真命题是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知函数f (x )在[0，＋∞)上有定义，对给定的实数K ，我们定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K ，若f (x )＝2－x －x 2，对任意x ∈[0，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则 A ．K 的最大值为94 B ．K 的最小值为94C ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2选择题答题卡号后的横线上．8．已知集合A ＝{x |ax －1＝0，x ∈R }，B ＝{1，2}，A ∪B ＝B ，则a ＝________．9．某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，则最多1名同学遇到红灯的概率是____________．10．已知函数f (x )＝log 2(2x 2＋mx －1)在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围为______________．11．某商场根据连续5周的市场调研，对某商品的销售量x (千克)与价格y (元∕千克)统计数据(如表所示)表明：二者负相关，其回归方程为y ^＝－2x ＋80，则统计表格中的实数a ＝____________.12.已知R 上的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，f (x ＋2)＝1f （x ），且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫2 0152＝________．13．对任意实数组x 1，x 2，…，x n ，记它们中最小的数为f (x 1，x 2，…，x n )，给出下述结论：①函数y ＝f (4x ，2－3x )的图象为一条直线； ②函数y ＝f (x ，2－x )的最大值等于1；③函数y ＝f (x 2＋2x ，x 2－2x )一定为偶函数； ④对a >0，b >0，f ⎝⎛⎭⎫a ，b ，1a 2＋b 2的最大值为312.其中，正确命题的序号有______________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)已知A 盒中有2个红球和2个黑球；B 盒中有2个红球和3个黑球，现从A 盒与B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中．(1)求A 盒中有2个红球的概率；(2)求A 盒中红球数ξ的分布列及数学期望． 15.(本小题满分12分)已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪21＋2x －3<1，B ＝{}y |y 2－（m 2＋m －1）y ＋m 3－m 2<0.(1)试用区间集表示集合B ；(2)若B ⊆∁R A ，试求实数m 的取值范围． 16.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln a ＋x1－x为奇函数，其中a 为实常数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并给出证明．必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．随机变量ξ其中a ，b ，c A.16 B.13 C.12 D.56二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．2．若函数y ＝||ln （x －1）的图象与函数y ＝ax －3a 的图象有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 3．(本小题满分13分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋m ＋2(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝f (x )－ax ＋1，a 为实常数，求g (x )在区间[－1，1]上的最小值． 4.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x 2＋ax在(0，＋∞)上单调递增．(1)求实数a 的取值范围；(2)讨论方程f (x )＝x 的根的个数． 5.(本小题满分14分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x <0，3x ，x ≥0.(1)若存在实数x 0，使得f (x 0)≤m ，求m 的取值范围； (2)若x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2<0.一、选择题1．A 【解析】M ＝(0，2)，N ＝[1，＋∞)，∴M ∩N ＝[1，2)．选A.2．B 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0log 12（x －3）≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0x －3≤1⇒3<x ≤4.选B.3．D 【解析】f (x )＝6x 2＋1＋x 2＝6x 2＋1＋x 2＋1－1≥26x 2＋1·（x 2＋1）－1＝26－1，当且仅当x 2＋1＝6时取等号，故选D.4．C 【解析】P (0<ξ<1)＝12P (0<ξ<2)＝12[1－2P (ξ>2)]＝12(1－2×0.2)＝0.3.选C.5．C 【解析】需对称轴在(2，＋∞)的左端，即a2≤2，故选C.6．A 【解析】∵k ＝6.201≥5.024，∴①③正确．选A.7．D 【解析】由于当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2－x －x 2的值域为(－∞，2]，则知当K ≥2时，恒有f K (x )＝f (x )．二、填空题8．0，12，1 【解析】∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B当a ＝0时，A ＝∅，符合题意；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由A ⊆B 得1a ＝1或1a ＝2，∴a ＝1或12.综上，a ＝0，1，12.9.1627 【解析】P ＝⎝⎛⎭⎫234＋C 41·⎝⎛⎭⎫13·⎝⎛⎭⎫233＝1627.10.[)－1，＋∞ 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧（2x 2＋mx －1）|x ＝1≥0－m 4≤1⇒m ≥－1.11．44 【解析】由表格数据知x －＝20，将其代入回归方程可示得y －＝40，于是a ＝44. 12.32 【解析】由已知f (x ＋4)＝1f （x ＋2）＝f (x )，即函数的周期为4，结合已知条件可得f ⎝⎛⎭⎫2 0152＝f ⎝⎛⎭⎫1 008－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32. 13．②③④ 【解析】画图即知①是错误的；对②、③分别作出相应函数的图象即知命题正确；对④，f ⎝⎛⎭⎫a ，b ，1a 2＋b 2≤3ab 1a 2＋b 2≤3ab 12ab ＝312，当且仅当a ＝b ＝1a 2＋b 2，即a ＝b ＝312时取等号，故④也正确．三、解答题 14．【解析】(1)A 盒与B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，A 盒中还有2个红球湖南师大附中2015届高二第二学期期中考试试题数学(理科)参考答案－湖南师大附中2015届高二第二学期期中考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ有下面两种情况：①互换的是红球，将该事件记为A 1，则：P (A 1)＝C 21·C 21C 41·C 51＝15；②互换的是黑球，将该事件记为A 2，则：P (A 2)＝C 21·C 31C 41·C 51＝310；故A 盒中有2个红球的概率为P ＝P (A 1)＋P (A 2)＝15＋310＝12；(2)A 盒中红球数ξ的所有可能取值为1，2，3.而P (ξ＝1)＝C 21·C 31C 41·C 51＝310；P (ξ＝2)＝12；P (ξ＝3)＝C 21·C 21C 41·C 51＝15因而ξ的分布列为：∴E ξ＝310×1＋12×2＋15×3＝1910.15．【解析】(1)将y 2－(m 2＋m －1)y ＋m 3－m 2<0变形得 ()y －m 2()y －m ＋1<0，而对任意实数m ，有m 2>m －1，故集合B ＝()m －1，m 2；(2)由21＋2x －3<1可得x －1x －3<0，解得1<x <3，故A ＝(1，3)，则∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)，于是B ⊆∁R A 即可化为m 2≤1或m －1≥3， 即m ∈[]－1，1∪[)4，＋∞.16．【解析】(1)由f (x )＝ln a ＋x 1－x 知a ＋x1－x>0，故(x ＋a )(x －1)<0因为f (x )为奇函数，定义域关于原点对称， 所以a ＝1，此时x ∈(－1，1)，f (－x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－ln 1＋x1－x＝－f (x )，故a ＝1符合题意．(2)f (x )在(－1，1)上单调递增． 证明：设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x 1)－f (x 2)＝ln 1＋x 11－x 1－ln 1＋x 21－x 2＝ln （1＋x 1）（1－x 2）（1－x 1）（1＋x 2）＝ln 1－x 1x 2＋x 1－x 21－x 1x 2＋x 2－x 1因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以(1＋x 1)(1－x 2)>0，(1－x 1)(1＋x 2)>0，x 1－x 2<0所以0<1－x 1x 2＋x 1－x 21－x 1x 2＋x 2－x 1<1，故ln1－x 1x 2＋x 1－x 21－x 1x 2＋x 2－x 1<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x )在(－1，1)上单调递增．必考试卷Ⅱ一、选择题1．B 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c a ＋b ＋c ＝1⇒b ＝13由f (x )有且只有一个零点得Δ＝0，即4－4ξ＝0，∴ξ＝1，∴P (ξ＝1)＝13.二、填空题2．(－∞，0) 【解析】作出两函数图象即知需a <0. 三、解答题 3．【解析】(1)因为幂函数f (x )＝x －m 2＋m ＋2在(0，＋∞)上单调递增， 所以－m 2＋m ＋2>0， 故－1<m <2， 又因为m ∈Z ， 故m ＝0或1， 所以f (x )＝x 2.(2)由(1)知g (x )＝x 2－ax ＋1，①若a2≤－1，即a ≤－2时，g (x )在[－1，1]上单调递增，所以g (x )min ＝g (－1)＝a ＋2；②若－1<a2≤1，即－2<a ≤2时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－1，a 2上单调递减，⎣⎡⎦⎤a2，1上单调递增， 所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a24； ③若a2>1，即a >2时，g (x )在[－1，1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝2－a .综上：a ≤－2时，g (x )在区间[－1，1]上的最小值为a ＋2；－2<a ≤2时，g (x )在区间[－1，1]上的最小值为1－a 24；a >2时，g (x )在区间[－1，1]上的最小值为2－a . 4．【解析】(1)①若a ＝0，则f (x )＝x 2，满足f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②若a ＜0，因为x 2在(0，＋∞)上单调递增，ax在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③若a ＞0，x 在(0，＋∞)上趋近于0时，f (x )趋近﹢∞，而f (1)＝1＋a ，与f (x )在(0，＋∞)上单调递增矛盾．综上知：a 的取值范围为(－∞，0]．(2)方程f (x )＝x 即x 3－x 2＋ax＝0，由(1)知a ≤0，当a ＝0时，方程有唯一实数根x ＝1；当a ＜0时，x 3－x 2＋ax＝0等价于a ＝－x 3＋x 2，(x ≠0)当x <0时，－x 3＋x 2>0，故a ＝－x 3＋x 2无解；当0<x ≤1时，－x 3＋x 2＝－x 2(x －1)≥0，故a ＝－x 3＋x 2无解； 当x ＞1时，令g (x )＝－x 3＋x 2，设1＜x 1＜x 2， g (x 1)－g (x 2)＝－x 13＋x 12＋x 23－x 22＝－(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22)＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2) ＝－(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22－x 1－x 2)因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2<0，x 12－x 1>0，x 22－x 2>0， 故－(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22－x 1－x 2)>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，x 趋近＋∞时，g (x )趋近－∞， 故a ＝－x 3＋x 2在x ＞1时，有唯一解； 综上，方程f (x )＝x 有唯一实数根．5．【解析】(1)因为⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，0)上单调递减，故x <0时，f (x )∈(1，＋∞)；因为3x 在[0，＋∞)上单调递增，故x ≥0时，f (x )∈[1，＋∞)， 故f (x )的值域为[1，＋∞)，因为存在实数x 0，使得f (x 0)≤m ， 故m ≥1，所以m 的取值范围是[1，＋∞)； (2)证法一：因为x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)而f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故不妨设x 1<0<x 2，则－x 1>0， 设g (x )＝f (－x )，故x >0时，f (x )－g (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫12－x＝3x －2x >0所以f (x 2)＝f (x 1)＝g (－x 1)<f (－x 1)，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以x 2<－x 1， 即x 1＋x 2<0.证法二：因为x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)而f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故不妨设x 1<0<x 2，设f (x 1)＝f (x 2)＝a ，由(1)知，a ＞1， 故x 1＝log 12a ，x 2＝log 3a ，所以1x 1＋1x 2＝log a 12＋log a 3＝log a 32>0即x 1＋x 2x 1x 2>0，又x 1x 2<0， 所以x 1＋x 2<0.。

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。

湖南师大附中－学年度高二第二学期期中考试数学(理科)时量：分钟满分：分得分：第Ⅰ卷(满分分)一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．已知全集＝，＝，则∁＝．{，，} ．{，} ．{－，，}．设＝＋－，用二分法求方程＋－＝在∈内近似解的过程中得<，>，<，则方程的根落在区间．(，) ．(，) ．(，) ．不能确定．如果直线＋＋＝与直线＋－＝互相平行，那么的值等于．－．－．－．．△的内角，，所对的边分别为，，，若＝，＝，＝，则＝或．如图的程序运行后输出的结果为＝＝－<＝－＝＋－．－．．．．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是．异面．相交．平行．平行或重合．在△中，已知＝，＝，则的值为或．－．要从已编号(～)的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是．，，，，，．，，，，，．，，，，，．，，，，，．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率是．不确定．已知＝≠，且关于的方程＋＋·＝有实根，则与的夹角的取值范围是．已知＞，＞，且＋＝，则的最大值是．．已知函数()＝则的值为．．等差数列中，＝，＝，则数列的公差为．．函数＝－)的定义域是．．如图，正四棱锥－底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，如果－＝，则球的表面积是．三、解答题：本大题共个小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．(本小题满分分)某校从参加环保知识竞赛的名学生中，随机抽取名，将其成绩(均为整数)分成六段[，)，[，)，…，[，]后画出如图的频率分布直方图．()估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；()若这次竞赛成绩不低于分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的名学生中可以获得礼物的人数．已知函数()＝的图象经过点.()求的值；()求函数()的定义域和值域；()证明：函数()是奇函数．如图所示，四棱锥－的底面是边长为的正方形，⊥底面，为的中点．()求证：∥平面；()求证：⊥平面；()若三棱锥－的体积为，求四棱锥－的侧面积．已知向量＝(，－)，＝，\(\)(\\(＋(π)))))，∈.()若⊥，求的值；()设函数()＝(·)·，∈，求()的值域．．(本小题满分分)已知数列的前项和为，且，，成等差数列．()求数列的通项公式；()若＝·，求数列的前项和；()对于()中的，设＝，求数列中的最大项．第Ⅱ卷(满分分)一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．．给出下列四个命题①命题“若＝，则＝”的否命题为：“若＝，则≠”；②命题“＋－<”的否定是“＋－>”；③命题“若＝，则＝”的逆否命题为真命题；④“＝－”是“－－＝”的必要不充分条件．其中真命题的个数是．个．个．个．个．双曲线－＝(>，>)的两顶点为，，其虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是－＋．设，，…，是，，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为(＝，，…，)的顺序数，如在排列，，，，，中，的顺序数为，的顺序数为，则在至这个数的排列中，的顺序数为，的顺序数为，的顺序数为的不同排列的种数为．．．．答题卡．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线的极坐标方程为ρθ＝θ(ρ≥)，直线的参数方程为(为参数)．设直线与抛物线的两个交点为、，点为抛物线的焦点，则＋的值为．．若存在实数，(<<)满足＝，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．(本小题满分分)如图，设椭圆：＋＝(>>)的左，右焦点分别为，，上顶点为，过点作与垂直的直线交轴负半轴于点，且＝.()若过，，三点的圆恰好与直线：－－＝相切，求椭圆的方程；()在()的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点(，)使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由．．(本小题满分分)已知函数()＝，()＝＋.()若＝，()<()在上恒成立，求的取值范围；()设数列＝，为数列{}的前项和，求证：<－；()当≠时，设函数(－)的图象与函数()的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中－学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中－学年度高二第二学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷(满分分)二、填空题．. (∈)．π【解析】正四棱锥－底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，⊥底面，＝，＝，－＝，所以··＝，解得＝，则球的表面积是π.三、解答题．【解析】()由图可知，本次竞赛成绩的众数是.因为前三个小组的频率之和为，所以中位数落在第四个小组内．设中位数为，则有(－)×＝－，解得≈.所以中位数约为.(分)()因为不低于分的频率＝(＋)×＝，所以名学生中可以获得礼物的人数约为×＝.(分) ．【解析】()由已知，()＝＝，解得＝.(分)()由()知，()＝，∵>，＋>，∴()的定义域为.∵()＝＝－，又∵∈(，＋∞)，∴∈(，)，∴()的值域为(－，)．(分)()∵()的定义域为，且(－)＝＝＝－()，∴()是奇函数．(分)．【解析】()连结，交于点.连结.因为四边形是正方形，所以为的中点，又为的中点，所以为△的中位线，所以∥.又平面平面，所以∥平面.(分)()因为四边形是正方形，所以⊥.因为⊥底面，所以⊥.又∩＝，所以⊥平面.(分)()因为－＝－＝··△＝，又因为底面是边长为的正方形，所以△＝，所以＝. 又因为是的中点，所以＝＝.所以＝＝.所以四棱锥－的侧面积＝△＋△＝＝＋.(分)．【解析】()因为⊥，所以·＝－＝－＝，解得＝.(分)()()＝－() ))＝－＝－·)＝－，当∈时，－∈，∈，所以()的值域为.(分)．【解析】()∵＝＋，①∴－＝＋－(≥)．②①－②得＝－(≥)，又＝＋，＝，∴＝.(分)()＝·＝·，用错位相减法得：＝＋·＋·＋…＋·，①＝＋·＋·＋…＋·＋，②①－②，得＝(－)·＋＋.(分)()＝＝＝，由得解得≤≤(∈*)．∴＝或＝时，最大，即＝＝为中的最大项．(分)第Ⅱ卷(满分分)一、选择题．【解析】①为假命题，“若＝，则＝”的否命题应为“若≠，则≠”；②为假命题，“∈，＋－<”的否定应为“∈，＋－≥”；③正确；④为假命题，“＝－”是“－－＝”的充分不必要条件．选.．【解析】解：由题意可得(－，)，(，)，(，)，(，－)，(－，)，(，)，且＋＝，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，，，.由面积相等，可得··＝·，即为＝(＋)，即有＋－＝，由＝，可得－＋＝，解得＝，可得＝，或＝(舍去)．故选.．【解析】的顺序数为，则必是排第三位的顺序数为，则必是第位，那么还得考虑和，有两种，()在的前面．那么只能排在第位，可以是第或第位，其它四个任排，有＝种．()在前面，在第位，有＝种．所以满足题意的排列总数为＋＝种．故选.二、填空题【解析】抛物线的直角坐标方程为＝，直线的方程为＝(－)，设(，)、(，)，则由解得＋＝，又直线过抛物线的焦点(，)，所以＋＝＋＋＋＝＋＝.．(，) 【解析】因为<<，对等式＝的两边取自然对数，得＝，即)＝).构造函数()＝)(>)，则′()＝)，令′()＝得＝.易知()在区间(，)内单调递增，在区间(，＋∞)内单调递减，所以()＝()＝.因为()＝，所以当∈(，)时()<；当>时()>.如图所示，，可以看成是函数()＝)(>)的图象与直线＝(>)的两个交点的横坐标．因为<<，所以的取值范围是(，)．三、解答题．【解析】()设(，)，由(，)，(，)，知＝(－，)，＝(，－)，∵⊥，∴－－＝，＝－.由于＝，故－＋＝－，∴＝＝－，即＝，于是，.又因为△的外接圆圆心为，半径＝.该圆与直线－－＝相切，所以＝＝.∴＝，＝.∴所求椭圆方程为＋＝.(分)()由()知(，)，设：＝(－)，由消掉，得(＋)－＋－＝.(分)设(，)，(，)，则＋＝，＋＝(＋－)，(分)＋＝(－，)＋(－，)＝(＋－，＋)，由于菱形的对角线垂直，故(＋)·＝，(分)故(＋)＋＋－＝，即(＋－)＋＋－＝，即：＋－＝，由已知条件知≠且∈，∴＝＝，∴<<，故存在满足的点(，)且的取值范围是.(分)．【解析】()＝时，()<()(＋)<，设()＝(＋)－，则′()＝－.若≤，显然不满足题意；若≥，则∈时，′()＝－≤恒成立，∴()在上为减函数，有(＋)－<()＝在上恒成立；若<<，则′()＝－＝时，＝－，∈时′()≥，所以()在上单调递增．∵()＝，∴∈时，()>，不满足题意．综上，≥时()<()在上恒成立．(分)()由()得(＋)<在上恒成立．令＝有<，－<－，则＝－<－(＋)＋(＋)，∴<＋ ))＋(－＋ )＋…＋(－(＋)＋(＋))，即<－.(分)()(－)＝，设点，的坐标是(, )，(, )，且<<，则点，的横坐标为＝.在点处的切线斜率为＝＝.在点处的切线斜率为＝＝＋.假设在点处的切线与在点处的切线平行，则＝.即＝＋.所以＝－）)＋(－)＝＋))－＋))＝－＝－＝ .所以＝＝.(分)设＝>，则＝，>. ①令()＝－，>，则′()＝－＝.因为>，所以′()>，所以()在[，＋∞)上单调递增．故()>()＝，则 >.这与①矛盾，假设不成立．故不存在点，使在点处的切线与在点处的切线平行．(分)。

2017-2018学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x＜3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x≤3} 2．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积是（）A．B．C．12D．3．（4分）把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）4．（4分）函数f（x）＝的零点个数为（）A．0B．1C．2D．35．（4分）若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值是（）A．0B．C．﹣2D．6．（4分）以下函数既是奇函数又在区间（0，1）上是增函数的是（）A．y＝x B．y＝C．y＝|x|﹣1D．y＝cos7．（4分）若平面向量＝（1，x）和＝（2x+3，﹣x）互相平行，其中x∈R，则|﹣|＝（）A．B．C．﹣2或0D．2或10 8．（4分）设函数f（θ）＝sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（，），则f（θ）＝（）A．2B．C．1D．9．（4分）函数y＝log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1＝0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．1610．（4分）王先生订了一份《潇湘晨报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，王先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，B＝60°，则AC＝．12．（4分）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5＝0，则＝．13．（4分）已知圆M与直线3x﹣4y＝0及3x﹣4y+10＝0都相切，圆心在直线y ＝﹣x﹣4上，则圆M的标准方程为．14．（4分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则a的取值范围是．15．（4分）已知下列四个结论：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1＝0被圆（x﹣1）2+y2＝4截得的弦长为2；④将y＝sin图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象．其中正确的结论是．三、解答题：（本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（6分）已知{a n}是等差数列，其中a1＝25，a4＝16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当n为何值时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值．17．（8分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18．（8分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间x∈[0，]上的最大值和最小值．（3）求函数f（x）在区间x∈[0，π]上的单调区间．19．（8分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△P AB为等边三角形，二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，点E，F分别为P A，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥P A；（Ⅱ）求异面直线DE与AF的夹角的余弦值．20．（10分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝1﹣3x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[2，8]时，不等式f（log22x）+f（5﹣a log2x）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．一、选择题：（本大题共2个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）21．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．222．（5分）定义在R上的奇函数y＝f（x）满足f（3）＝0，且当x＜0时，f（x）＜﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）＝xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（共一个小题，每题5分，将答案填在答题纸上）23．（5分）已知（x2+x+1）（x﹣）7＝b5（）5+…+b1（）1+b0+a1x1+…+a9x9，其中b i，a j（i＝0，1，…，5；j＝1，2，…，9）均为常数，则b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9＝．三、解答题：（共3个小题，总分35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）24．（11分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N 是M关于原点O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．26．（12分）已知f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围．2017-2018学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x＜3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x≤3}【解答】解：根据题意，B＝{x|x＜1}，则∁U B＝{x|x≥1}，又由集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩（∁U B）＝{x|1≤x＜3}；故选：B．2．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积是（）A．B．C．12D．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为正方形边长为2，正视图是正三角形，所以几何体是正四棱锥，侧视图与正视图图形相同，侧视图是边长为2的正三角形，所以侧面积为4×（×2×2）＝8．底面积为2×2＝4，故该几何体的表面积是8+4＝12，故选：C．3．（4分）把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）【解答】解：先将“二进制”数1011001化为十进制数为26+24+23+20＝89（10）（2）然后将十进制的89化为五进制：89÷5＝17余4，17÷5＝3余2，3÷5＝0余3所以，结果是324（5）故选：C．4．（4分）函数f（x）＝的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝0得x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，函数的零点是x＝﹣3，当x＞0时，由f（x）＝0得﹣2+ln（x+1）＝0，即ln（x+1）＝2，解得x＝e2﹣1．所以函数f（x）的零点个数为2个．故选：B．5．（4分）若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值是（）A．0B．C．﹣2D．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由得：A（0，1）；故当直线z＝x﹣2y过A（0，1）时，Z取得最小值，故z＝0﹣2＝﹣2，故选：C．6．（4分）以下函数既是奇函数又在区间（0，1）上是增函数的是（）A．y＝x B．y＝C．y＝|x|﹣1D．y＝cos【解答】解：对于A，y＝x，定义域为[0，+∞）不关于原点对称，不为奇函数；对于B，y＝为奇函数，在（0，1）为减函数；对于C，y＝|x|﹣1为偶函数，在（0，1）为增函数；对于D，y＝cos（﹣x）＝sin x为奇函数，在（0，1）为增函数，符合题意．故选：D．7．（4分）若平面向量＝（1，x）和＝（2x+3，﹣x）互相平行，其中x∈R，则|﹣|＝（）A．B．C．﹣2或0D．2或10【解答】解：因为平面向量和互相平行，所以1×（﹣x）﹣x×（2x+3）＝0⇒x＝0，或x＝﹣2，即或，则所以．故选：B．8．（4分）设函数f（θ）＝sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（，），则f（θ）＝（）A．2B．C．1D．【解答】解：角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（，），可得sinθ＝，cosθ＝，函数f（θ）＝sinθ+cosθ＝＝2．故选：A．9．（4分）函数y＝log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1＝0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：∵y＝log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，当x+3＝1时，即x＝﹣2时，y＝﹣1，∴A点的坐标为（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，∵m，n均大于0，∴＝+＝2+++2≥4+2＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号，故的最小值为8，故选：C．10．（4分）王先生订了一份《潇湘晨报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，王先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设送报人到达的时间为X，王先生离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件A，则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（X，Y）|6.5≤X≤7.5，7≤Y≤8}一个正方形区域，面积为SΩ＝1，事件A所构成的区域为A＝{（X，Y）|6.5≤X≤7.5，7≤Y≤8，X＜Y}即图中的阴影部分，面积为S A＝．这是一个几何概型，所以P（A）＝＝．∴小王离家前能看到报纸的概率是．故选：D．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，B＝60°，则AC＝．【解答】解：在△ABC中，AB＝2，BC＝3，B＝60°，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B＝4+9﹣2×2×3×＝7，解得AC＝，故答案为：．12．（4分）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5＝0，则＝﹣7．【解答】解：由8a2+a5＝0，得到＝q3＝﹣8＝＝＝﹣7故答案为：﹣7．13．（4分）已知圆M与直线3x﹣4y＝0及3x﹣4y+10＝0都相切，圆心在直线y ＝﹣x﹣4上，则圆M的标准方程为（x+3）2+（y+1）2＝1．【解答】解：∵圆心在直线y＝﹣x﹣4上，∴设圆心坐标为（a，﹣a﹣4），∵圆M与直线3x﹣4y＝0相切∴圆心（a，﹣a﹣4）到两直线3x﹣4y＝0的距离为：＝r，即＝r①同理圆心（a，﹣a﹣4）到两直线3x﹣4y+10＝0的距离为：＝r，即＝r②联立①②得，a＝﹣3，r2＝1．∴圆M的方程为：（x+3）2+（y+1）2＝1．故答案为：（x+3）2+（y+1）2＝1．14．（4分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则a的取值范围是[，3）．【解答】解：∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴f（x）在（﹣∞，1）上递增，在[1，+∞）上也递增，则有，即，解得，故答案为：[，3）．15．（4分）已知下列四个结论：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1＝0被圆（x﹣1）2+y2＝4截得的弦长为2；④将y＝sin图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象．其中正确的结论是①③．【解答】解：①设正方体的外接球的半径为r，则2r＝2，r＝，则球的体积为4π，故①正确；②设一组数据为x1，x2，…，x n，它的平均数为a，方差为b，则另一组数据x1+c，x2+c，…，x n+c（c≠0），运用公式即可得，其平均数为a+c，方差为b，故②错；③圆（x﹣1）2+y2＝4的圆心为（1，0），半径为2，直线x﹣y+1＝0到圆的距离为d＝1，则直线被圆截得的弦长为2，故③正确．④将y＝sin图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝sin（2x+）的图象．故④不正确．故答案为：①③．三、解答题：（本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（6分）已知{a n}是等差数列，其中a1＝25，a4＝16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当n为何值时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝25，a4＝16．∴25+3d＝16，解得d＝﹣3．∴a n＝25﹣3（n﹣1）＝28﹣3n．（Ⅱ）令a n＝28﹣3n≥0，解得n≤．∴当n＝9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值．17．（8分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是＝230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得a＝224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100＝5，∴抽取比例为＝，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×＝5户．18．（8分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间x∈[0，]上的最大值和最小值．（3）求函数f（x）在区间x∈[0，π]上的单调区间．【解答】解：（1）由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可知A＝2，•＝﹣，∴ω＝2．结合五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝﹣，∴函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝﹣时，f（x）取得最小值为﹣1；当2x﹣＝时，f（x）取得最大值为2．（3）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合x∈[0，π]，可得增区间为[0，]、[，π]；减区间为[，]．19．（8分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△P AB为等边三角形，二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，点E，F分别为P A，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥P A；（Ⅱ）求异面直线DE与AF的夹角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）作PO⊥底面ABCD，垂足为O取AB的中点M，连结PM，则AB⊥PM，连结OM，则AB⊥平面POM，∴AB⊥OM，∴∠PMO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，∵二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，∴cos∠PMO＝，设正方形ABCD的边长为2，∵△P AB为等边三角形，则PM＝，在Rt△POMk，OM＝PM cos∠PMO＝1，∴PO＝，且点O为正方形ABCD的中心，∴OD＝，在RtPOD中，PD＝＝2，∴PD＝AD，∵点E是P A的中点，∴DE⊥P A．解：（Ⅱ）连结EF，则EF，取CD中点N，则DN，∴EF DN，连结NF，则四边形EFND是平行四边形，∴NF DE，∴∠AFN是异面直线DE与AF夹角，∵△P AD和△P AB都是边长为2的正三角形，则DE＝AF＝，∴NF＝，∵AN＝＝，在△ANF中，由余弦定理得：cos∠AFN＝＝，∴异面直线DE与AF的夹角的余弦值为．20．（10分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝1﹣3x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[2，8]时，不等式f（log22x）+f（5﹣a log2x）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝1﹣3﹣x，又f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）＝﹣1+3﹣x…（3分）当x＝0时，f（0）＝0故，（2）f（log22x）+f（5﹣a log2x）≥0得f（log22x）≥﹣f（5﹣a log2x）．∵f（x）是奇函数，∴得f（log22x）≥f（a log2x﹣5）．又f（x）是减函数，所以log22x﹣a log2x+5≤0．x∈[2，8]恒成立．令t＝log2x，x∈[2，8]，则t∈[1，3]，得t2﹣at+5≤0对∀t∈[1，3]恒成立．解法一：令g（t）＝t2﹣at+5，t∈[1，3]，g max（t）＝max{g（1），g（3）}≤0∴，解得a≥6，解法二：t2﹣at+5≤0⇒a≥t+，t∈[1，3]恒成立，∴g（t）＝t+在[1，]单调递减，在[，3]单调递增，∴g（x）max＝g（1）＝6，∴a≥6．一、选择题：（本大题共2个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）21．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|＝m，∵|AF|＝3，∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3∴2+3cosθ＝3∴cosθ＝∵m＝2+m cos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S＝＝故选：C．22．（5分）定义在R上的奇函数y＝f（x）满足f（3）＝0，且当x＜0时，f（x）＜﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）＝xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为当x＜0时，[xf（x）]′＝f（x）+xf′（x）＜0，所以xf（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又函数f（x）为奇函数，所以函数xf（x）为偶函数，结合f（0）＝f（3）＝f（﹣3）＝0，作出函数y＝xf（x）与y＝﹣lg|（x+1）|的大致图象，如图所示：由图象知，函数g（x）＝xf（x）+lg|x+1|的零点有3个，故选：C．二、填空题：（共一个小题，每题5分，将答案填在答题纸上）23．（5分）已知（x2+x+1）（x﹣）7＝b5（）5+…+b1（）1+b0+a1x1+…+a9x9，其中b i，a j（i＝0，1，…，5；j＝1，2，…，9）均为常数，则b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9＝﹣35．【解答】解：在（x2+x+1）（x﹣）7＝b5（）5+…+b1（）1+b0+a1x1+…+a9x9，中，令x＝1，可得b0+b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9＝0，∴b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9＝﹣b0 ．又（x﹣）7的展开式通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x7﹣2r，由于7﹣2r为奇数，令7﹣2r＝﹣1，求得r＝4，可得b0＝35，故b1+b2+…+b5+a1+a2+…+a9＝﹣b0＝﹣35，故答案为：﹣35．三、解答题：（共3个小题，总分35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）24．（11分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人…（1分）其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：…（3分）因为…（5分）所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…（6分）（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，从而需抽取男生4人，女生2人．故X的所有可能取值为0，1，2…（7分），X的分布列为：…（10分）…（12分）25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N 是M关于原点O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．【解答】解：（Ⅰ）离心率为e＝＝，可设a＝2t，c＝t，b＝＝t，t＞0，则椭圆方程为x2+2y2＝4t2，令y＝1可得x＝±，即有2＝2，解得t＝，可得椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）设A，B的横坐标为x1，x2，则A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），D（，（x1+x2）+m），联立y＝kx+m和椭圆x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，∴x1+x2＝﹣，∴D（﹣，），∵M（0，m），则N（0，﹣m），∴⊙N的半径为|m|，|DN|＝＝，设∠EDF＝α，∴sin＝＝＝＝，令y＝，则y′＝•，当k＝0时，sin取得最小值，最小值为．∴∠EDF的最小值是60°．26．（12分）已知f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知f（x）的定乂域为（0，+∞），又，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立；当a＞0时，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数．（2）由题意，则，当a≤1时，∵，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，不符合题意．当a＞1时，，令φ（x）＝x2﹣（1+a）x+1，则△＝（1+a）2﹣4＝（a+3）（a﹣1）＞0．令φ（x）＝0的两根分别为x1，x2且x1＜x2，则∵x1+x2＝1+a＞0，x1•x2＝1＞0，∴0＜x1＜1＜x2，当x∈（0，x1）时，φ（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（0，x1）上为增函数；当x∈（x1，x2）时，φ（x）＜0，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（x1，x2）上为减函数；当x∈（x2，+∞）时，φ（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（x2，+∞）上为增函数．∵g（1）＝0，∴g（x）在（x1，x2）上只有一个零点1，且g（x1）＞0，g（x2）＜0．∴＝＝．∵，又当x∈[x1，1）时，g（x）＞0．∴∴g（x）在（0，x1）上必有一个零点．∴．∵2a+2＞1，又当x∈（1，x2]时，g（x）＜0，∴2a+2＞x2．∴g（x）在（x2，+∞）上必有一个零点．综上所述，故a的取值范围为（1，+∞）．。