2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题(解析版)

2019—2020学年度第一学期高二年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） （一）单选题1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2.如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r表示NM u u u u r，则NM u u u u r等于（ ）A. 1()2a b c -++r r rB. 1()2a b c +-r r rC. 1()2a b c -+r r rD. 1()2a b c --+r r r【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本运算求解即可.【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r11()22OA OC OB OA =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-u u ur u u u r u u u r r r r . 故选：B .【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型. 3.设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a b +…B. 4a …C. 2a …且2b … D. 4b <-【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D .【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型.4.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.在101)的展开式中，x 项的系数为（ ） A. 45- B. 90-C. 45D. 90【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理公式分析求解即可.【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k kkkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k =, 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C .【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ）A. 8080-B. 4040-C. 8080D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=,故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7.袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.考点：条件概率8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A. 4B. 12C. 16D. 24.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可.【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种； 第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B .【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.（二）多选项择题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 甲类水果的平均质量10.4kg μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的图像意义判定即可.【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC .【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10.设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C. 存在点P ，使12PF PF ⊥D. 1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可.【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为00y b <=…,则12PF F ∆B 项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型. 11.下列命题中为真命题的是（ ） A. (0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+>B. 2000,2x R x x ∃∈+=-C. 220001,sincos 333x x x R ∃∈+= D. 13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=,又1sin 1x -剟,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真； B 项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭…,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sincos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D 项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；①曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ） A. 直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B. 直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =C. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线.当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；B 项,1y x'=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-. 令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -…, 即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误； C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =,.由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处切线方程_________________.【答案】20x y -= 【解析】 【分析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________ 【答案】12【解析】 【分析】的根据数学期望的求法列式求解即可.【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为7的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=,则2,BF c BP =,所以tan PAB ∠=由27a c =+,解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16.已知ABC ∆是边长为D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________（2）球O 的体积为_____________.【答案】 (1).32 (2). 6【解析】【分析】 (1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可.【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=.因为DB DC ==则BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD .因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD .取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得112sin 60DE ︒=⨯=.在Rt OED ∆中,OD ==,所以34326V π⎛=⋅= ⎝⎭球.故答案为：(1). 32 (2). 6【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin 10A =；1c = 【解析】【分析】 (1)根据面积公式与余弦定理求解即可.(2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可.【详解】（1）因为in 12s S ab C =, 所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--, 即222sin cos 2c a b C C ab--==-,所以tan 1=-C , 又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=. （2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因1sin 2ABC S ab C ∆=,且s in sin 2ABC S A B ∆=,所以1sin sin 2ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型.18.已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈L ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】【分析】 (1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可.【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=,又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=,又因为13a =,所以21n a n =+.（2）因为）11222n n n b b b na -+++=L ,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n …时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭L , 则211111137(45)(41)22222n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 两式相减,得211111134(41)22222n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 11147341(41)7222n n n n n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19.如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN 平面CDE ；（2）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE .【答案】（1）证明见解析（2）2PF =【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN 即可.(2)分别取线段,AB DE 的中点,G H ,再根据题意分析PG ⊥平面CDE 时的点P ,根据三角形的全等与相似的关系求得PF 的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE ,AB 在平面DEF 外,则//AB 平面DEF .因为平面PAB ⋂平面DEF MN =,则//AB MN ,从而//DE MN .因为MN 在平面CDE 外,所以//MN 平面CDE .（2）解法一：分别取线段,AB DE 的中点,G H ,则//GH CP ,所以,,,P C G H 四点共面.因为Rt PCA Rt PCB ∆≅∆,则PA PB =,所以PG AB ⊥.因为//AB DE ,则PG DE ⊥.若PG CH ⊥,则PG ⊥平面CDE ,从而平面PAB ⊥平面CDE .此时,CPG HCG ∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC ∆是边长为2的正三角形,则2sin 60CG ︒==又1GH =,则23CG PC GH==, 从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点,直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系由已知,2,1,AB OH OC ===则点(1,0,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,(1,0,0)CH HE OB ===u u u ru u u ru u u r设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =u r ,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得111(010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则m =u r设CP t =则点)P t ,从而)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =r ,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ,得222010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,n t =r .因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=u r r ,得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE . 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20.在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）23（2）详见解析 【解析】【分析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为： 123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ,则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21.如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r .（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）【解析】【分析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +u u u r u u u r,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可. 【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩, 得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk +=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r因为(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离d === 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅= 解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==设点21,(222P t t t ⎛⎫---<<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =此时点(2,2)P --. 故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22.已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a ee ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩… 【解析】【分析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()x x x f x e++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()x x x a f x e----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f ex -'-=„, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+„时,(1)(1)f f -…,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --„,即2a …时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。

湖南省长沙市大学附属中学2019-2020学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆，圆分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为参考答案：A略2. 若，则下列结论不正确的是：（）A． B． C．D．参考答案：D略3. 若，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a+b＞ab；③；④中．正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】不等关系与不等式．【分析】由已知：，可得b＜a＜0．进而得到|b|＞|a|，a+b＜0＜ab， =2，（a﹣b）2＞0，化为．即可判断出．【解答】解：∵，∴b＜a＜0．∴|b|＞|a|，a+b＜0＜ab， =2，（a﹣b）2＞0，化为．故正确的不等式为③④两个．故选B．4. “”的否定是（）A．B．C．D．参考答案：D“，”的否定是，,故选D.5. 若集合，，则A∩B=（）A.(0,4)B. (－4,2]C. (0,2]D.(－4,4)参考答案：C【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.6. 圆锥曲线）椭圆的离心率等于（）A． B ． C ．D ．2参考答案：C略7. 若是两个非零向量，且，则与的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°参考答案：A【分析】画出图像：根据计算夹角为，再通过夹角公式计算与的夹角.【详解】形成一个等边三角形，如图形成一个菱形.与的夹角为30°故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减和夹角，通过图形可以简化运算.8. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个参考答案：A9. 如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）A B D参考答案：D10. 设命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．?n∈N，n2≤2n B．?n∈N，n2＜2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＜2n参考答案：A【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全程命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全程命题，所以，命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p 为：?n∈N，n2≤2n．故选：A．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全程命题的否定关系，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}的前n项和，则_______.参考答案：7【分析】利用求解.【详解】由题得.故答案为：7【点睛】本题主要考查数列项和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12. （1）若函数，且当且时，猜想的表达式．参考答案：（1）；略13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是参考答案：14. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为．参考答案：依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后得，它的图象与函数的图象重合，所以（），解得（）.因为，所以.15. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为．参考答案：0＜a≤1或a≥【考点】简单线性规划．【分析】画出前三个不等式构成的不等式组表示的平面区域，求出A，B的坐标，得到当直线x+y=a过A，B时的a值，再由题意可得a的取值范围．【解答】解：如图，联立，解得A（）．当x+y=a过B（1，0）时，a=1；当x+y=a过A（）时，a=．∴若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则0＜a≤1或a≥．故答案为：0＜a≤1或a≥．16. 等差数列中，，则= ．参考答案：17. 若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，2]∪[3，6）【考点】复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】通过p∨q为真命题，p∧q为假命题，判断两个命题的真假关系，分别求出命题是真命题时a的范围，即可求解结果．【解答】解：当p为真命题时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得2＜a＜6．当q为真命题时，4﹣a＞1，即a＜3．由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．当p真q假时，3≤a＜6．当p假q真时，a≤2．因此实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．故答案为：（﹣∞，2]∪[3，6）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南省长沙市师大附中高新实验中学2019-2020学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设正数满足，则的最大值是( )A．2 B．10 C．4D．40参考答案：A略2. 平面向量与夹角为，，则（）A．7 B． C．D．3参考答案：C3. 已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（A）4（B）3（C）2 (D)参考答案：A4. 840和1764的最大公约数是（）A．84 B．12 C．168D．252参考答案：A5. 设命题是的充要条件；命题，则（ )A. 为真B. 为真C.真假D. 均为假参考答案：A略6. 函数y=sin2x的图象向右平移（>0）个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则的最小值为( )A. B. C. D.以上都不对参考答案：A7. 如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（）A． B．C． D．参考答案：A8. 在中，，则此三角形中最大角的度数是A． B． C．D．参考答案：B9. 已知直线与直线平行，则的值为参考答案：D略10. 下列命题中的真命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.参考答案：a或2a略12. 如图，已知球的面上有四点，平面,,,则球的表面积为．参考答案：13. 设，则＝★★★★★★．参考答案：略14. 命题“”的否定是．参考答案：15. 双曲线的渐近线为.参考答案：略16. 观察下列等式：（1+x+x2）1=1+x+x2，（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，…由以上等式推测：对于n∈N*，若（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n则a2= ．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a2的等式．【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式中a2为：1+2+3+4+…+n=故答案为：．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．17. 已知为互相垂直的单位向量，若向量与的夹角等于60，则实数= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一以后你会有很大的收获：高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z＝(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a的值为A．2 B．－2(1) C.2(1) D．－22．如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是A．概念与分类是从属关系B．等差数列与等比数列是从属关系C．数列与等差数列是从属关系D．数列与等比数列是从属关系，但数列与分类不是从属关系3．下列说法中错误的是A．对于命题p：?x0R，sin x01，则綈p：?xR，sin x1；B．命题若01，则函数F(X)＝AX在R上是增函数的逆命题为假命题；C．若pq为真命题，则p，q均为真命题；D．命题若x2－x－2＝0，则x＝2的逆否命题是若x2，则x2－x－2．4．7是方程K－2(X2)＋K－6(Y2)＝1表示双曲线的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是A.^(y)＝0.7x＋0.35B.^(y)＝0.7x＋1C.^(y)＝0.7x＋2.05D.^(y)＝0.7x＋0.456．三角形的面积为S＝2(1)(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为A．V＝3(1)abcB．V＝3(1)ShC．V＝3(1)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝3(1)(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)7．函数f(x)＝5(1)x5－x4－4x3＋7的极值点的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知椭圆25(x2)＋9(y2)＝1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|(O 为原点)的长为A．1 B．2 C．3 D．4选择题答题卡题号12345678得分答案二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．9．已知复数z＝1＋1＋i(1－i)，则|－(z)|＝____________．10．读下面的程序框图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中的白色地面砖有______________块．12．曲线f(x)＝xsin x在点2()处的切线方程是______________．13．已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a，b0)的顶点到渐近线的距离等于2(a)，则双曲线的离心率e是________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．(本小题满分11分)在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：分数段[29～40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 午休考生人数23473021143114不午休考生人数1751671530173参考公式及数据：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(n （ad－bc）2)P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879(1)根据上述表格完成列联表：及格人数不及格人数总计午休不午休总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系？对今后的复习有什么指导意义？15．(本小题满分12分)已知：a，b，c0.求证：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)6abc.通过阅读高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一这篇文章，小编相信大家对高中数学的学习又有了更进一步的了解，希望大家学习轻松愉快!。

湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学卷一、单选题 1．21ii-（i 为虚数单位）的值等于（ ） A ．1BCD ．22．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ）A ．56B ．65C ．23D ．324．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2B ．4C ．bD ．2b7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值48．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．239．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b+=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于()2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,52⎡⎢⎣⎭11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f ef <B ．()()12eff <C ．()()303ef f > D ．()()514e f f -<12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞ D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题 13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值.19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈.20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值．21．已知抛物线()2:20E ypx p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()Fx f x g x =-的两个极值点分别为12,x x，且12x x <.已知0λ>，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数.解析湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学卷一、单选题 1．21ii-（i 为虚数单位）的值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】()()()22212221111i i i i i i i i i++==-+-- 由21i =-，所以222112i i i i -==--所以211ii i=-==-故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确由23201x x x -+>⇒<或2x >，故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数”D 正确命题p ：所有有理数都是实数，是真命题 命题q ：正数的对数都是负数，比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题 则()()p q ⌝∨⌝是真命题.故选：C 【点睛】本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题. 3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】C【解析】根据4268a a a a =⋅⋅，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 在等比数列{}n a 中，4268a a a a =⋅⋅由28466,5a a a a ⋅=+=所以464656a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，又1n n a a +>，所以462,3a a ==所以4623a a = 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.4．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是∵ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∵sinA ＞0． ∵cb＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∵sin （A+B ）＜sinBcosA, ∵sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∵sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∵cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ． 【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2 B ．4 C ．b D ．2b【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】 由题可知： 函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称 又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+， 所以()()()(),,,a f a c f c 关于(),2b 对称所以()()224f a f c +=⨯=故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设AD =故()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=()222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题. 8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有66A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1444C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有66A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1545C A所以所求概率为15456623C A A = 故选：D 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.9．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A．0x ±= B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得1212126,4,2.2PF PF aPF a PF a PF PF a⎧+=⎪∴==⎨-=⎪⎩12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-⨯⨯⨯∴-+=2222222230,3,3,2.ce e c a a b a b a a∴-+=∴=∴=∴=∴+=∴=ba∴=0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b+=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT )a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,52⎡⎢⎣⎭【答案】B【解析】根据PT =2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然后min)c PTa ≥-，结合c e a =，计算，可得结果. 【详解】由题可知：PT =由2PF 最小值为a c -，则minPT =又PT 的最小值不小于)a c -即min))PTc a a c ≥≥-⇒-则)c a ≥- 化简可得：()22()14c a c b -≥-，则()2a c b c -≥-所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2222a a c c +⎛⎫≤ ⎪⎝+⎭化简可得：223250a ac c --≥，所以23250c c a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，由c e a =所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥则1e ≤-或35e ≥，又()0,1e ∈，所以3,15e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又b c >，所以22222b c a c c >⇒->，所以212c a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则0e <<综上所述：3,52e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，PT =熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f ef <B ．()()12eff <C ．()()303ef f > D ．()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e -= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222x f x f x e --=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称， 则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误. 故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞ D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果. 【详解】 由题可知：()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解由()3231f x ax x =-+，则()'236f x ax x =-又()()gx xf x '=，所以()3236g x ax x =-所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解即3132a x x ≤+在[]1,2有解， 令()313h x x x=+，()'4233h x x x =--所以[]1,2x ∈，则()'0h x <故()313h x x x=+在[]1,2单调递减 所以()()max14h x h ==所以242a a ≤⇒≤ 故选：C 【点睛】本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.二、填空题13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 【答案】c b a >>【解析】利用诱导公式，可得sin5a π=，根据sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，以及中间值1比较，可得结果.【详解】由题可知：24sinsin 5sin 555a ππππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 由sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增， 所以20sinsin155a b ππ<=<=< 又tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增所以2tantan 154c ππ=>= 所以c b a >>故答案为：c b a >>【点睛】本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题. 14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】()(),42,-∞-+∞U 【解析】利用等价转化法，可得()2min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得()min 2x y +，简单计算，最后可得结果. 【详解】由题可知：若222x y m m <++有解 则()2min 22mm x y >++因为211x y+=，且0,0x y >> 所以()2122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭42448x y x y y x +=++≥+= 当且仅当4x y y x=，即2x y =时，取等号 所以228m m +>， 则()()2280420mm m m ->⇒+->+所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-⋃+∞故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题. 15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】 因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =， 所以可得()()22122f m f m m -->-+-又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m ≤<.【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U【解析】令()tf x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果 【详解】 令()tf x =，方程()()0f f x =有且只有一个实数解即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点当0a =时，()0,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩则0000t t ≤⎧⇒≤⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩如图若1t=时，有1个交点当0t ≤时，有无数个交点， 所以0a =，不符合题意 当0a >时，则00t t t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t=时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点则011ae a <⇒<，所以01a << 当0a <时，则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩如图当1t=时，(),y t y f x ==图象只有一个交点所以0a < 综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）【答案】（1）127；（2（3）2125【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2A s ，然后可得A s（3）先计算抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数1155C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】（1）A 型续航里程的平均数：120+125+122+124+124=1235A x =B 型续航里程的平均数：118+123+127+120+488=55B a a x +=又BA x x =，所以127a =（2）由()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：()()()()()2222223211115A s ---⎡⎤=+-+-+⎣+⎦则23.2A s =（km 2）所以标准差为As =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数115525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11224C C = 所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：42112525P =-= 【点睛】本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值. 【答案】（1）710；（2）52【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得22tan 1tan 1x x ++，然后简单计算，可得结果.（2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2A π=，然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】（1）由a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，又2cos ,12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rcos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r所以2cossin 3cos 3cos sin 022x x x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭又cos 0x ≠，所以tan 3x =22222cos 2sin cos 2tan 1cos sin 2cos sin tan 1x x x x x x x x x +++==++ 所以222317cossin 23110x x ⨯++==+（2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭r r所以()2cos+sin 2cos 13cos 222x x xf x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 则()24cos 2sin cos 13cos 222x x xf x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++-所以()sin cos 334f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由()4f A =344A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以442A A πππ-=⇒=所以可知三角形ABC ∆为直角三角形则2222a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）又a =5bc ≤所以1522Sbc =? 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题 19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2nn b =，()32n n n S +=，122n nT+=-；（2）证明见详解【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得()()1211133926a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等比数列{}n b 的公比为q则由题可知：()()112322317111339926a d a a a a a a a d a a d +=⎧++=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以121a d =⎧⎨=⎩或130a d =⎧⎨=⎩（舍）所以()111na a n d n =+-=+由11232,4b a b a ====，则212b q b == 所以2n n b =， ()()1+322n n a a n n n S +==， ()111221nn n b q T q +-==--（2）由（1）可知：()12n n nn a b =+⋅ 所以()23223242...12n nn K =⋅+⋅+⋅+++⋅∵ 则()2341223242...122n n n K +=⋅+⋅+⋅+++⋅∵所以∵-∵可得：()()2231222...212n n n n K +=++++-+⋅-所以()()1211412212212n n n n n n K -++-=+-+⋅=-⋅-- 所以12n n K n +=⋅ ()()()()111322222321n n n n n n n n n S T c K n n n ++++-+-=⋅== ()()()()121142122321n n n n n n c n n c ++++-=-+--+ 则1122202n n n n n c c +++++-=> 所以()*1n n c c n N +>∈【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ； （2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值.【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，E Q 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BOG =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=，13AG CD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形， 1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -， 设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a、(10,C a、(C 、()0,0,0E、3,0,44D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ， 1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r，得a =(11AC AC ==-u u u u r u u u r Q，34ED ⎛=- ⎝⎭u u u r，1,2EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，由304402n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v，得y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，可得y =，z =DEF的一个法向量为(n =r，111111cos ,A C n A C n A C n ⋅===⋅u u u u r r u u u u r r u u u u r r因此，直线11A C 与平面DEF 【点睛】 本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）20x y +-=【解析】（1）代值计算，可得结果.（2）假设直线AB 方程()42x t y =-+（且B 在直线2x =左边），然后抛物线方程结合韦达定理，可得B ，同理得C ，然后利用准线与圆的位置关系得t ，最后简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：2444px p =⇒=所以抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-（2）由题可知：设直线AB 方程()42x t y =-+ 设直线AC 方程()42x t y =--+且B 在直线2x =左边，则0t> 另设()()1122,,,B x y C x y()22428321608x t y y ty t y x⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩ 则114321684y t y t =-⇒=-所以()21142882x t y t t =-+=-+ 故()2882,84B t t t -+-同理()2882,84C t t t ++--所以线段BC 的中点()282,4t +-由线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，则22822t =++所以2168t =+， 化简可得：2210t -+=，所以t =由0t >，所以2t =所以()()64,64B C -+-则直线BC的斜率为441BC k --==- 所以直线BC 方程为()(164y x ⎡⎤=-⨯-+-⎣⎦即20x y +-=【点睛】本题考查抛物线与直线的几何关系应用，直线与圆锥曲线的应用常常联立方程，结合韦达定理，考验计算能力以及分析能力，属难题.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值； （2）函数()()()Fx f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围； （3）记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为12,x x，且12x x <.已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数. 【答案】（1）e ；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1λ≥ 【解析】（1）计算()'f x ，判断()'f x 在[],1e e +的符号，可得()f x 的单调性，可得结果. （2）计算()'F x ，采用等价转化思想，()'0F x =有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与a 比较大小，可得结果. （3）通过两边取对数以及1122ln ,ln ax x ax x ==，1212ln ln x x a x x -=-化简式子， 可得()()112212ln 1x x x x x x λλ<++-，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果【详解】（1）由题可知：()'ln 1f x x =+当[],1x e e ∈+，()'0f x >所以()f x 在区间[],1e e +单调递增，所以()()min f x f e e ==，（2）()2ln 2aF x x x x x a =--+，定义域为()0,∞+则()'ln F x x ax =-，由()F x 在其定义域内有两个不同的极值点则()'0F x =在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于ln xa x =在()0,∞+有两个不同的实数根等价于函数()ln ,xy a h x x ==图象在()0,∞+有两个交点则()'21ln xh x x -=令()'0h x >，则0x e <<令()'0h x <，则x e >所以()h x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减则()h x 有极大值为()1h e e =，当(),x e ∈+∞时，ln y x =递增，且ln 1x >所以当(),x e ∈+∞时，()0h x > 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）由（2）可知：()'ln F x x ax =-由()F x 两个极值点分别为12,x x所以1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-= 所以1122ln ,ln ax x ax x == 则12121212ln ln ln ln x x ax ax x x a x x --=-⇒=- 由1212e x x λ+<⋅，所以两边取对数可知：121ln ln x x λλ+<+，所以121ax a x λλ+<+则121a x x λλ+>+，所以121212ln ln 1x x x x x x λλ->-++ 由12x x <所以()()112212ln 1x x x x x x λλ<++- 令()12,0,1x t t x =∈ 所以()()11ln t t t λλ+-<+，则()()ln 011t t t λλ+--<+ 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立等价于()()ln 011t t t λλ+--<+，()0,1t ∈恒成立 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈则()()()()()()222'2111h t t t t t t t λλλλ--+=-=++ 当21λ≥，即1λ≥，可得()'0h t >所以()h t 在()0,1单调递增，又()10h =所以当()0,1t ∈时，()0h t <恒成立当21λ<，即01λ<<时， 若()20,t λ∈，()'0h t >若()2,1t λ∈，()'0h t <所以()h t 在()20,λ递增，在()2,1λ递减 又()10h =，所以当()0,1t ∈时，()0h t <不恒成立综上所述：1λ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构造函数以及换元法的使用，考验分析能力，观察能力以及极强的逻辑推理能力，属难题.。

2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题一、单选题1．21i i-（i 为虚数单位）的值等于（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】()()()22212221111i i i i i i i i i ++==-+-- 由21i =-，所以222112i i i i -==--所以211ii i=-==-故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确由23201x x x -+>⇒<或2x >，故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是 “若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数” D 正确命题p ：所有有理数都是实数，是真命题 命题q ：正数的对数都是负数，比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题 则()()p q ⌝∨⌝是真命题. 故选：C 【点睛】本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题. 3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】C【解析】根据4268a a a a =⋅⋅，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】在等比数列{}n a 中，4268a a a a =⋅⋅ 由28466,5a a a a ⋅=+=所以464656a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，又1n n a a +>，所以462,3a a ==所以4623a a = 故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.4．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是△ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∴sinA ＞0． ∵cb＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∴sin （A+B ）＜sinBcosA, ∴sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∴sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∴cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ． 【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2 B ．4C ．bD ．2b【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】 由题可知： 函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称 又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+， 所以()()()(),,,a f a c f c 关于(),2b 对称 所以()()224f a f c +=⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v ，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r ，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设AD 是等腰三角形的高，长度为312-=.故()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=()()2222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有66A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1444C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有66A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1545C A所以所求概率为15456623C A A = 故选：D 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.9．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A．0x ±= B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得1212126,4,2.2PF PF aPF a PF a PF PF a⎧+=⎪∴==⎨-=⎪⎩ 12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-⨯⨯⨯∴-+=2222222230,3,3,2.ce e c a a b a b a a∴-+=∴=∴==∴+=∴=ba∴=0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b +=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的)a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．1,52⎡⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据PT =，计算2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然后min()2c PTa ≥-，结合c e a =，计算，可得结果.【详解】由题可知：PT =由2PF 最小值为a c -， 则minPT=又PT )a c -即min))PTc a a c ≥≥-⇒-)c a ≥- 化简可得：()22()14c a c b -≥-，则()2a c b c -≥- 所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2222a a c c +⎛⎫≤ ⎪⎝+⎭化简可得：223250a ac c --≥，所以23250c c a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，由c e a =所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥ 则1e ≤-或35e ≥，又()0,1e ∈，所以3,15e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又b c >，所以22222b c a c c >⇒->，所以212c a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则0e <<综上所述：3,52e ⎡∈⎢⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，PT =，熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（） A ．()()10f ef < B ．()()12ef f < C ．()()303e f f >D ．()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果.【详解】 由题可知：()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x = 等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解 由()3231f x ax x =-+，则()'236fx ax x =-又()()g x xf x '=，所以()3236g x ax x =- 所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解即3132a x x ≤+在[]1,2有解， 令()313h x x x=+，()'4233h x x x =--所以[]1,2x ∈，则()'0h x <故()313h x x x=+在[]1,2单调递减 所以()()max 14h x h == 所以242a a ≤⇒≤ 故选：C 【点睛】本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.二、填空题 13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 【答案】c b a >>【解析】利用诱导公式，可得sin5a π=，根据sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，以及中间值1比较，可得结果. 【详解】由题可知：24sinsin 5sin 555a ππππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 由sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增， 所以20sinsin155a b ππ<=<=< 又tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增 所以2tantan 154c ππ=>= 所以c b a >> 故答案为：c b a >> 【点睛】本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题.14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】()(),42,-∞-+∞U【解析】利用等价转化法，可得()2min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得()min 2x y +，简单计算，最后可得结果.【详解】由题可知：若222x y m m <++有解则()2min 22m m x y >++因为211x y+=，且0,0x y >> 所以()2122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭42448x y x y y x +=++≥+=当且仅当4x yy x=，即2x y =时，取等号所以228m m +>，则()()2280420m m m m ->⇒+->+所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-⋃+∞ 故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题.15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m <. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U【解析】令()t f x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果 【详解】令()t f x =，方程()()0ff x =有且只有一个实数解即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点当0a =时，()0,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩ 则0000t t ≤⎧⇒≤⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图若1t =时，有1个交点 当0t ≤时，有无数个交点， 所以0a =，不符合题意 当0a >时，则00t t t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点 则011ae a <⇒<，所以01a << 当0a <时， 则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，(),y t y f x ==图象只有一个交点 所以0a <综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U 【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）【答案】（1）127；（2（3）2125【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2A s ，然后可得A s （3）先计算抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数1155C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】（1）A 型续航里程的平均数：120+125+122+124+124=1235A x =B 型续航里程的平均数：118+123+127+120+488=55B a a x +=又B A x x =，所以127a = （2）由()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：()()()()()2222223211115A s ---⎡⎤=+-+-+⎣+⎦则23.2A s =（km 2）所以标准差为A s =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数115525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11224C C =所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：42112525P =-=【点睛】本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==ABC ∆的面积S 的最大值.【答案】（1）710；（2）52【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得22tan 1tan 1x x ++，然后简单计算，可得结果. （2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2A π=，然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】（1）由a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，又2cos ,12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rcos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r所以2cossin 3cos 3cos sin 022x x x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭又cos 0x ≠，所以tan 3x =22222cos 2sin cos 2tan 1cos sin 2cos sin tan 1x x x x x x x x x +++==++ 所以222317cos sin 23110x x ⨯++==+（2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭r r 所以()2cos +sin 2cos 13cos 222x x xf x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 则()24cos2sin cos 13cos 222x x xf x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++- 所以()sin cos 334f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由()4f A =344A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以442A A πππ-=⇒=所以可知三角形ABC ∆为直角三角形则2222a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）又a =，所以5bc ≤ 所以1522S bc =? 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ； （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2nn b =，()32n n n S +=，122n nT+=-；（2）证明见详解【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得()()1211133926a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 等比数列{}n b 的公比为q 则由题可知：()()112322317111339926a d a a a a a a a d a a d +=⎧++=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以121a d =⎧⎨=⎩或130a d =⎧⎨=⎩（舍）所以()111n a a n d n =+-=+ 由11232,4b a b a ====，则212b q b == 所以2nn b =，()()1+322n n a a n n n S +==，()111221nn n b q T q+-==--（2）由（1）可知：()12n nn n a b =+⋅所以()23223242...12nn n K =⋅+⋅+⋅+++⋅①则()2341223242 (12)2n n n K +=⋅+⋅+⋅+++⋅②所以①-②可得：()()2231222...212n n n n K +=++++-+⋅-所以()()1211412212212n n n nn n K -++-=+-+⋅=-⋅--所以12n n K n +=⋅()()()()111322222321n n n n n n n nn S T c K n nn ++++-+-=⋅==()()()()121142122321n n n n n n c n n c ++++-=-+--+则1122202n n n n n c c +++++-=> 所以()*1n n c c n N +>∈【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（26【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值. 【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，E Q 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BOG =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=， 13AGCD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形，1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a、(10,C a、(C 、()0,0,0E、3,0,44D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r，得a =(11AC AC ==-u u u u r u u u r Q，34ED ⎛=- ⎝⎭u u u r，EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，由30402n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v，得y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，可得y，z =DEF的一个法向量为(n =r，111111cos ,A C n A C n A C n ⋅===⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，因此，直线11A C 与平面DEF【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）20x y +-=【解析】（1）代值计算，可得结果.（2）假设直线AB 方程()42x t y =-+（且B 在直线2x =左边），然后抛物线方程结合韦达定理，可得B ，同理得C ，然后利用准线与圆的位置关系得t ，最后简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：2444px p =⇒=所以抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-（2）由题可知：设直线AB 方程()42x t y =-+设直线AC 方程()42x t y =--+且B 在直线2x =左边，则0t >另设()()1122,,,B x y C x y ()22428321608x t y y ty t y x⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩ 则114321684y t y t =-⇒=-所以()21142882x t y t t =-+=-+ 故()2882,84B t t t -+-同理()2882,84C t t t ++--所以线段BC 的中点()282,4t +-由线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，则22822t =++2168t =+，化简可得：2210t -+=，所以2t =由0t >，所以2t =所以()()64,64B C -+- 则直线BC的斜率为441BC k --==- 所以直线BC 方程为()(164y x ⎡⎤=-⨯-+-⎣⎦即20x y +-=【点睛】本题考查抛物线与直线的几何关系应用，直线与圆锥曲线的应用常常联立方程，结合韦达定理，考验计算能力以及分析能力，属难题.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为12,x x ，且12x x <.已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数.【答案】（1）e ；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1λ≥ 【解析】（1）计算()'fx ，判断()'f x 在[],1e e +的符号，可得()f x 的单调性，可得结果. （2）计算()'F x ，采用等价转化思想，()'0F x =有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与a 比较大小，可得结果. （3）通过两边取对数以及1122ln ,ln ax x ax x ==，1212ln ln x x a x x -=-化简式子， 可得()()112212ln1x x x x x x λλ<++-，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果 【详解】（1）由题可知：()'ln 1fx x =+ 当[],1x e e ∈+，()'0f x > 所以()f x 在区间[],1e e +单调递增，所以()()min f x f e e ==，（2）()2ln 2a F x x x x x a =--+，定义域为()0,∞+ 则()'ln F x x ax =-，由()F x 在其定义域内有两个不同的极值点则()'0F x =在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于ln x a x=在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于函数()ln ,x y a h x x==图象在()0,∞+有两个交点 则()'21ln x h x x -= 令()'0h x >，则0x e << 令()'0h x <，则x e > 所以()h x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减则()h x 有极大值为()1h e e=， 当(),x e ∈+∞时，ln y x =递增，且ln 1x >所以当(),x e ∈+∞时，()0h x > 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）由（2）可知：()'ln F x x ax =- 由()F x 两个极值点分别为12,x x所以1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=所以1122ln ,ln ax x ax x == 则12121212ln ln ln ln x x ax ax x x a x x --=-⇒=-由1212e x x λ+<⋅，所以两边取对数可知：121ln ln x x λλ+<+，所以121ax a x λλ+<+ 则121a x x λλ+>+，所以121212ln ln 1x x x x x x λλ->-++ 由12x x < 所以()()112212ln 1x x x x x x λλ<++- 令()12,0,1x t t x =∈ 所以()()11ln t t t λλ+-<+，则()()ln 011t t t λλ+--<+ 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立等价于()()ln 011t t t λλ+--<+，()0,1t ∈恒成立 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈ 则()()()()()()222'2111h t t t t t t t λλλλ--+=-=++ 当21λ≥，即1λ≥，可得()'0h t > 所以()h t 在()0,1单调递增，又()10h =所以当()0,1t ∈时，()0h t <恒成立当21λ<，即01λ<<时，若()20,t λ∈，()'0h t > 若()2,1t λ∈，()'0h t <所以()h t 在()20,λ递增，在()2,1λ递减 又()10h =，所以当()0,1t ∈时，()0h t <不恒成立综上所述：1λ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构造函数以及换元法的使用，考验分析能力，观察能力以及极强的逻辑推理能力，属难题.。

2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc >C ．a c b c ->-D ．22ac bc >【答案】C【解析】根据不等式性质，结合特殊值即可比较大小. 【详解】对于A ，当1,2a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，所以A 错误； 对于B ，当,0a b c >≤时，不满足ac bc >，所以B 错误；对于C ，由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式符号不变”，所以由a b >可得a c b c ->-，因而C 正确；对于D ，当,0a b c >=时，不满足22ac bc >，所以D 错误. 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式大小比较，不等式性质及特殊值的简单应用，属于基础题. 2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】由众数就是出现次数最多的数，可确定x ，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出y ． 【详解】由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是61092y++=，得到2y =，因此3x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【考点】三视图与表面积．4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m nB ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥I ，，，则n β⊥D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D【解析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D . 【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.5．已知1,6,()2a b a b a ==⋅-=r r r r r ，则向量a r 与向量b r的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】试题分析：根据已知可得：2.2.3a b a a b -=⇒=rrr rr ，所以.1cos ,2.a b a b a b 〈〉==r r r rr r ，所以夹角为3π，故选择C【考点】向量的运算6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ． B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】试题分析：，最短的弦长为，选C.【考点】直线与圆位置关系7．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤ B ．2a ≥ C ．52a ≥D ．52a ≤【答案】D【解析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩V 或或或或 当022a ∆<⇒-<< 综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．8．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a Bb A=，则ABC V 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由a b cosB cosA =，利用正弦定理可得sinA sinBcosB cosA=，进而可得sin2A=sin2B ，由此可得结论． 【详解】∵a b cosB cosA=， ∴由正弦定理可得sinA sinBcosB cosA= ∴sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A +2B=π ∴A=B 或A +B=2π ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 故选D ． 【点睛】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.9．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，()()1618n n n S n T +=+．若nna Zb ∈，则n 的取值集合为（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,5} D ．{1,2,3,6}【答案】D【解析】首先根据()()1618n n n S n T +=+即可得出n nS T ，再根据前n 项的公式计算出nn b a 即可。

2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高一上学期第二次大练习数学试题一、单选题1．下列六个关系式：①{}{},,a b b a ⊆，②{}0=∅，③{}00∈，④{}0∅∈，⑤{}0∅⊆，其中正确的个数为（ ） A ．2 B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】根据集合与集合之间、元素与集合之间的关系逐项判断. 【详解】①正确，任何集合是其自身的子集.②错误，{}0是单元素集合，而∅不包含任何元素.③正确，考查了元素与集合的关系.④集合与集合的关系是包含关系，错误.⑤正确，∅是任何非空集合的子集. 故选：D . 【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系，属于基础题. 2．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，(){}|1,B y y x x A ==-∈，则集合()()U UA B ⋂=痧（ ）A ．{}0,2,4,5B ．{}0,4,5C ．{}2,4,5D ．{}1,3,5【答案】D【解析】计算对数求出集合B ，按补集的概念求出U A ð、U B ð，再进行集合的交集运算即可. 【详解】由已知得{}0,1,3,5U A =ð，{}0,2B =，{}1,3,4,5U B =ð，故()(){}1,3,5U UA B =I痧.故选：D 【点睛】本题考查集合的混合运算，属于基础题.3．已知扇形的周长是4cm ，扇形面积为21cm ，扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．3【答案】A【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据题意有24112r l rl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得r ，l 代入公式求解. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则24112r l rl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1r =，2l =，所以2lrα==. 故选：A 【点睛】本题主要考查弧度制公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知点()P y 为角β的终边上的一点，且sin β=y 的值为（ ） A ．12B ．12±C ．2D ．2±【答案】A【解析】根据点()P y 为角β的终边上的一点，由三角函数的定义，有sin β=求解. 【详解】由题意可得：OP =，所以sin β=， 所以0y >， 解得12y =. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x 为奇函数 C ．()()xf x xg x -为偶函数 D ．()()fx xg x +为奇函数【答案】B【解析】取()1f x =，()g x x =，可证明A ，C ，D 中函数均不是偶函数，由题意知()()f x f x =-,()()g x g x -=-，可得()()()()f x g x f x g x --=-，结合定义域可知()()f x g x 是奇函数. 【详解】不妨取()1f x =，()g x x =，则()()1f x g x x +=+，不是偶函数；()()2xf x xg x x x -=-，不是偶函数；()()21f x xg x x +=+，不是奇函数，故A ，C ，D 均错.B 选项，∵()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，∴()()f x f x =-,()()g x g x -=-. ∵()()()()f x g x f x g x --=-，()()f x g x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， ∴()()f x g x 是奇函数，B 正确. 故选：B 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定，属于基础题.6．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是A ．1-B ．2-C ．2D ．0【答案】B【解析】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以由正弦函数的图象可知，函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是- B.【考点定位】本小题主要考查三角函数的值域的求解，考查三角函数的图象，考查分析问题以及解决问题的能力.7．已知432a =，255b =，1325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】根据函数23y x =及4xy =的单调性即可判断大小关系. 【详解】因为423324a ==，1233255c ==，函数23y x =在()0,∞+上单调递增，所以223345<，即a c <，又因为4235225>>，即b a <，所以b a c <<. 故选：A . 【点睛】本题考查利用对数函数、幂函数的单调性比较数的大小关系，属于基础题. 8．已知函数()y f x =的图象如图所示，则该函数可能是（ ）A ．sin xy x=B ．cos xy x=C ．cos xy x=D ．sin x y x=【答案】B【解析】由图象关于原点对称知函数为奇函数，A 、C 中函数为偶函数排除，B 、D 选项中函数为奇函数，再根据函数的单调性确定可能的函数. 【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数. A 选项，()()()sin sin x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞U ， ∴该函数为偶函数，不符合题意，A 错误. B 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--==-=--，且定义域为()(),00,-∞+∞U ，∴该函数为奇函数.易知当π02x <<时，()0f x >； 当π3π22x <<时，()0f x <； 当3π2π2x <<时，()0f x >，符合题意，B 正确. C 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞U ， ∴该函数为偶函数，不符合题意，C 错误. D 选项，()()()sin sin x x f x f x xx--==-=--，且定义域()(),00,-∞+∞U ，∴该函数为奇函数.易知当0x >时，()0f x ≥；当0x <时，()0f x ≤，不符合题意，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中档题.9．设()()1,21,1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()()1f a f a =+，则a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】C【解析】分类讨论，代入相应的解析式列出关系式求解即可. 【详解】当()0,1a ∈时，()()11,2a +∈，()f a =，()()12112f a a a +=+-=.∵()()1f a f a =+，2a =，解得14a =. 当[)1,a ∈+∞时，()()21f a a =-，()()12112f a a a +=+-=. ∵()()1f a f a =+，∴()212a a -=，显然无解.综上，14a =. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的概念与性质，属于基础题.10．已知函数2()22f x ax x =-+,若对一切1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,()0f x >都成立,则实数a 的取值范围为( )A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[4,)-+∞D ．(4,)-+∞【答案】B【解析】原不等式等价于222x a x ->对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，配方后利用二次函数的性质可求222x y x-=的最大值，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】由题意得，对一切1,2,()02x f x ⎡⎤∈>⎢⎥⎣⎦都成立，即222222211112,,2222x a x x x x x -⎛⎫⎡⎤>=-+=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦恒成立.∵211112222x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭，当2x =时，等号成立，∴实数a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，注意区分是R 上恒成立还是给定范围（其他范围）上的恒成立，前者可利用判别式来求参数的取值范围，后者可转化为函数的最值来求参数的取值范围，后者还可以利用参变分离来求参数的取值范围. 11．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）图象如图所示，则下列关于函数 f （x ）的说法中正确的是（ ）A ．对称轴方程是x=π6+kπ（k ∈Z ） B ．对称中心坐标是（π3+kπ，0）（k ∈Z ）C ．在区间（﹣π2， π2）上单调递增D ．在区间（﹣π，﹣2π3）上单调递减 【答案】D【解析】由图可知151,266A T ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则222,2T T πππωπ===，故1ω=， Q 图象过,06π⎛⎫-⎪⎝⎭点，()26k k Z πϕπ∴-+=∈，故2,,626k πππϕπϕϕ=+<∴=Q ，故得函数()6f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的对称轴，可得()62x k k Z πππ+=+∈，解得(),3x k k Z A ππ=+∈∴不对，根据正弦函数的对称中心，由()6x k k Z ππ+=∈，解得6x k ππ=-， ∴对称中心坐标是(),0,6k k Z B ππ⎛⎫-∈∴ ⎪⎝⎭不对，根据正弦函数的性质，当262x πππ-≤+≤，即233x ππ-≤≤时，函数单调递增， C ∴不对，当3262x πππ-≤+≤-，即5233x ππ-≤≤-时，函数在区间2,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， D ∴对，故选D.12．函数()()1tan 12f x x x π=+-落在区间()1,3-的所有零点之和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据点()1,0P 既是函数11y x=-的对称中心，也是函数tan 2y x π=的对称中心，且函数tan 2y x π=的周期是2T =，得到交点的个数，再利用对称性求解. 【详解】因为点()1,0P 既是函数11y x=-的对称中心，也是函数tan 2y x π=的对称中心，又因为函数tan2y x π=的周期是2T =， 所以两函数有两个交点，有1212x x +=， 即122x x +=，所以零点之和为2. 故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程问题，考查了正切函数的周期与对称性，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.二、填空题 13．化简()71log 230.1257--的结果是____________.【答案】0【解析】由指数幂的运算性质及对数运算性质化简即可. 【详解】 原式133(2)20--=-=.故答案为：0 【点睛】本题考查指数幂的运算性质及对数运算性质，属于基础题. 14．已知3cos 35α⎛⎫ ⎪⎝⎭π+=-，且2,33α⎛⎫ ⎪⎝ππ⎭∈，则2sin 3α⎛⎫⎝π-⎪⎭=__________.【答案】45【解析】根据3cos 35α⎛⎫⎪⎝⎭π+=-，且2,33α⎛⎫⎪⎝ππ⎭∈，由平方关系得4sin 35α⎛⎫ ⎪⎝⎭π+==，再由诱导公式求解.【详解】因为3cos 35α⎛⎫ ⎪⎝⎭π+=-，且2,33α⎛⎫⎪⎝ππ⎭∈所以4sin 35α⎛⎫ ⎪⎝⎭π+==，所以224sin sin sin 3335ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫πππ-=π-+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝⎭.故答案为：45【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．下列命题中，①若sin 0θ<，则角θ为第三、四象限角；sin1cos1=-；③函数()πcos 22f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是周期为π的奇函数；④π,04⎛⎫-⎪⎝⎭是πtan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心.其中正确的命题序号有________.【答案】②③④【解析】角θ的终边可能落在y 轴负半轴上，故①错误；由同角三角函数的平方关系代入化简可知②正确；()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由sin 2y x =的奇偶性与周期性可判断③正确；由()tan()04f ππ-=-=可知④正确.【详解】①若sin 0θ<，则角θ为第三、四象限角或终边在y 轴负半轴；sin1cos1sin1cos1==-=-，正确； ③函数()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 2y x =是R 上的奇函数且周期为π，正确；④因为()tan()04f ππ-=-=，所以π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭是πtan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心，正确.故答案为：②③④ 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数诱导公式，属于基础题.16．对于函数()f x ，若在其定义域内存在两个实数a ，b （a <b ），使当[],x a b ∈时，()f x 的值域也是[],a b ，则称函数()f x 为“攀登函数”.若函数()f x k =+“攀登函数”，则实数k 的取值范围是________. 【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】由题意可得()(),,f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即a k b k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以a ，b为方程x k =+的两个实数根，从而方程k x =有两个不等实根，数形结合即可求得k 的取值范围.【详解】 因为()2f x k x =++是增函数，若()2f x k x =++是“攀登函数”，则存在实数a ，()2b a b -≤<，使()(),,f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即22a k ab k b ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，所以a ，b 为方程2x k x =++的两个实数根，从而方程2k x x =-+有两个不等实根. 令2x t +=，则()220k t t t =--≥.函数()220y t t t =--≥在1[0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，1119(0)2,()22424f f =-=--=-，数形结合可知，当924k -<≤-时，直线y k =与曲线()220y t t t =--≥有两个不同交点，即方程()220k t t t =--≥有两个不等实根，故实数k 的取值范围是9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故答案为：9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，将原问题转化为方程的解进而转化为函数图象的交点问题是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．已知()()()()2sin πcos πππ1tan 3πcos sin 22f θθθθθθ-+=--+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若7π1sin 25θ⎛⎫-=⎪⎝⎭，且θ是第三象限角. （1）求tan θ的值； （2）化简()fθ，并求()f θ的值.【答案】（1）tan θ=2）()sin cos fθθθ=+，()15f θ=- 【解析】（1）利用诱导公式由7π1sin 25θ⎛⎫-=⎪⎝⎭求出cos θ及sin θ，即可求得tan θ；（2）利用三角函数诱导公式及同角三角函数之间的关系化简解析式得()sin cos f θθθ=+，代入（1）中的相应值即可得解.【详解】 （1）因为7π1sin 25θ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以1cos 5θ=-，因为θ是第三象限角，所以sin θ==，故sin tan cos θθθ==（2）原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos 1tan sin cos sin cos 1cos θθθθθθθθθθθθθθθθθ-=+=+==+-----， 故()15f θ=--=. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式，同角三角函数的关系，属于基础题.18．已知函数()122xx b f x a +-=+是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a ，b 的值及函数()f x 的值域； （2）若不等式()11ln ln 22f t f f t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立，求t 的取值范围. 【答案】（1）2a =，1b =.值域为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.（2）( 【解析】（1）由奇函数可取特殊值()00f =、()()11f f =--，列出等式求解即可；函数解析式分离常数得()1121122221x x xf x +-==-+++，由10121x <<+可逐步求得()f x 的值域；（2）由2x y =的单调性推出函数()f x 在R 上是减函数，利用奇函数的性质将不等式化简为()1ln 2f t f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则1ln 2t <，即可求得t 的范围. 【详解】（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，即102b a -=+， 解得1b =，故()1122xx f x a +-=+. 又由()()11f f =--，所以1112241a a --=-++，解得2a =，所以2a =，1b =.经检验2a =，1b =时，()11222xx f x +-=+是奇函数 由()1121122221x x xf x +-==-+++， 因为10121x <<+，所以111122212x-<-+<+，故函数()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）由（1）知()1121122221x x xf x +-==-+++，则()f x 在R 上是减函数， 又因为()f x 是奇函数，所以()11ln ln 22f t f f t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于()()1ln ln 22f t f t f ⎛⎫--> ⎪⎝⎭即()1ln 2f t f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由()f x 在R 上为减函数，所以1ln 2t <，解得120e t <<=t的取值范围是(.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，利用函数的单调性解不等式，属于中档题. 19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，π2ϕ<）的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别是5π,312⎛⎫⎪⎝⎭和11π,312⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递减区间；（2）先将()f x 的图象上每点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，再将其向右平移π3个单位得到函数()g x 的图像，已知()32g x =-，()π,πx ∈-，求x 的值.【答案】（1）()π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.单调递减区间是5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）2π3x =-或2π3. 【解析】（1）由最值确定A ，相邻两对称轴之间的距离为半个周期推出周期从而可得ω，特殊点5π,312⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式可求出ϕ，根据正弦型函数的单调性令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+即可求得单调递减区间； （2）根据三角函数图象变换规则求出()g x 的解析式，由()32g x =-列出等式得11cos 22x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1π2π23x k =+或1π2π23x k =-+，k Z ∈即可求得x . 【详解】（1）依题意可知：3A =，11π5ππ212122T =-=，∴πT =，∴2π2πω==， 又由点5π,312⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上，∴5π33sin 212ϕ⎛⎫=⨯+⇒ ⎪⎝⎭5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴5ππ2π62k ϕ+=+，解得π2π3k ϕ=-+，k Z ∈， ∵π2ϕ<，∴π3ϕ=-，所以函数()f x 的解析式是()π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，k Z ∈， 解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递减区间是5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上每点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数13sin()23π=-y x ，再将其向右平移π3个单位得到函数()1π13sin[()]3cos 2332g x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，由()32g x =-，得133cos 22x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴11cos 22x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴1π2π23x k =+或1π2π23x k =-+，k Z ∈ ∴2π4π3x k =+或2π4π3k -+，k Z ∈，因为()π,πx ∈-，所以2π3x =-或2π3. 【点睛】本题考查根据()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象求解析式，正弦型函数的单调性，三角函数图象变换规则，属于中档题.20．已知()ln f x x =，()2241g x x ax a =-+-，其中a 为实常数.（1）若函数()f g x ⎡⎤⎣⎦在区间[2，3]上为单调递增函数，求a 的取值范围；（2）高函数()g f x ⎡⎤⎣⎦在区间31,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为()h a ，试讨论函数()()F a h a m =-，m R ∈的零点的情况.【答案】（1）(],2-∞（2）见解析【解析】（1）根据复合函数的单调性可知()g x 在[]2,3上为单调递增函数且()0g x >，由二次函数的图象与性质列出不等式求解即可；（2）换元法将函数解析式转化为一元二次函数，根据二次函数的图象与性质分类讨论求出函数在31,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值()h a ，数形结合分析()()F a h a m =-的零点. 【详解】（1）因为()ln f x x =为增函数，且函数()f g x ⎡⎤⎣⎦在区间[]2,3上为单调递增函数时， 所以()g x 在[]2,3上为单调递增函数，且()0gx >，则()2,230,a g ≤⎧⎨=>⎩解得2a ≤综上，a 的取值范围是(],2-∞.（2）由已知()2ln 2ln 41g f x x a x a ⎡⎤=-+-⎣⎦，令ln t x = ，()()22224141h t t at a t a a a =-+-=--+-，当31,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，[]0,3t ∈.①若0a <，则()h t 在[]0,3上为增函数，()()min 041h t h a ==-. ②若03a ≤≤，则()()2min 41h t h a a a ==-+-.③若3a >，则()h t 在[]0,3上为减函数，()()min 382h t h a ==-.所以241,(0)()41,(03)82,(3)a a h a a a a a a -<⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，画出函数()y h a =的图象如下图所示：由数形结合可知：当3m >时，函数()()F a h a m =-，m R ∈无零点； 当3m =时，函数()()F a h a m =-，m R ∈有1个零点； 当3m <时，函数()()F a h a m =-，m R ∈有2个零点. 【点睛】本题考查一元二次函数的图象与性质，复合函数的单调性，数形结合分析函数零点，属于中档题.21．随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一座半径为90米的扇形小山，P 是弧TS 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC 和CD 上的长方形停车场PQCR .（1）设PAB θ∠=，试写出停车场PQCR 的面积S 与θ的函数关系式；（2）求长方形停车场PQCR 面积的最大值和最小值（数据精确到个位）. （注：当π02θ≤≤时，sin cos 1,2θθ⎡⎤+∈⎣⎦） 【答案】（1）()π100009000sin cos 8100sin cos 02S θθθθθ⎛⎫=-++⋅≤≤ ⎪⎝⎭（2）最大值是1322平方米，最小值是950平方米.【解析】（1）延长RP 交AB 于M ，求出AM 、MP 即可求得PQ 、PR ，代入面积公式S PQ PR =⋅化简即可得解；（2）令()sin cos 12t t θθ=+≤≤将面积公式化简为关于t 的一元二次函数，根据一元二次函数的图象与性质即可求得最值. 【详解】（1）∵PAB θ∠=，延长RP 交AB 于M ， 则90cos AM θ=，90sin MP θ=， ∴10090cos PQ AB AM MB θ=-==-.10090sin PR MR MP θ=-=-.故矩形PQCR 的面积为：()()10090cos 10090sin S PQ PR θθ=⋅=--.()π100009000sin cos 8100sin cos 02S θθθθθ⎛⎫=-++⋅≤≤ ⎪⎝⎭.（2）令(sin cos 12t t θθ=+≤≤，则21sin cos 2t θθ-⋅=.∴2218100101000090008100950229t S t t -⎛⎫=-+⨯=-+ ⎪⎝⎭.故当2t =时，()2max 14050900021322mS =-≈，当109t =时，()2min 950m S =. 所以长方形停车场PQCR 面积的最大值是1322平方米，最小值是950平方米. 【点睛】本题考查三角函数的应用，换元法求函数的最值，涉及一元二次函数的图象与性质，属于中档题.22．对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数c ，使得对任意[]1,x a b ∈，都有()1f x c =，且对任意2x D ∈，当[]2,x a b ∉时，()2f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“平底型”函数.（1）判断函数()12g x x x =-+-是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由； （2）设()g x 是（1）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式()t k t k k g x -++≥⋅对一切t R ∈恒成立，求实数x 的取值范围；（3）若函数()h x mx =+[)2,-+∞上的“平底型”函数，求m 和n的值.【答案】（1）()g x 是“平底型”函数.见解析（2）15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）1m =，1n =【解析】（1）写出函数()g x 的分段函数形式，因为当[]1,2x ∈时，()1g x =，当1x <或2x >时，()1g x >恒成立推出()g x 是“平底型”函数；（2）由绝对值三角不等式可得()min2t k t k k -++=，代入不等式可得()2g x ≤恒成立，分类讨论解绝对值不等式即可；（3）根据题意可得存在区间[][),2,a b ⊆-+∞和常数c，使得mx c =恒成立，即()222x x n mx c ++=-，列出方程组即可求得m 、c 、n 的值，代入函数验证是否满足题意. 【详解】（1）对于函数()32,1,121,12,23,2x x g x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩当[]1,2x ∈时，()1g x =，当1x <或2x >时，()1g x >恒成立， 故()g x 是“平底型”函数.（2）若()t k t k k g x -++≥⋅对一切t R ∈恒成立， 则()()mint k t kk g x -++≥⋅.因为()min2t k t kk -++=，所以()2k k g x ≥⋅.又0k ≠，则()2g x ≤.因为()12g x x x =-+-，则122x x -+-≤，1322x x <⎧⎨-≤⎩或2232x x >⎧⎨-≤⎩或12x ≤≤，解得1522x ≤≤. 故实数x 的范围是15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）因为函数()h x mx =[)2,-+∞上的“平底型”函数，则存在区间[][),2,a b ⊆-+∞和常数c，使得mx c =恒成立.所以()2222222x x n mx c m x mcx c ++=-=-+恒成立，即221,22,.m mc c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩当1,1,1m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩时，()1h x x x =++. 当[]2,1x ∈--时，()1h x =-，当()1,x ∈-+∞时，()211h x x =+>-恒成立. 此时，()h x 是区间[)2,-+∞上的“平底型”函数.当1,1,1m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，()1h x x x =-++. 当[]2,1x ∈--时，()211h x x =--≥，当()1,x ∈-+∞时，()1h x =. 此时，()h x 不是区间[)2,-+∞上的“平底型”函数 综上分析，1m =，1n =为所求. 【点睛】本题考查函数的概念与性质，含绝对值的不等式的求法，涉及绝对值三角不等式，属于中档题.。