高一数学人教b版必修4作业设计：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 含解析

向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标：1、 能推导并掌握向量数量积的坐标运算与度量公式2、 能灵活运用有关公式解决有关夹角、线段长度等问题，学习重点难点：公式的灵活运用一、课前准备（一）知识链接：向量的数量积（内积）的定义： 。

向量长度的定义： 。

两个向量垂直的条件： 。

4、两点之间的距离公式： 。

（二）问题导引3、 已知()1212(,),,a a a b b b ==，你能否用坐标表示？a b ⋅= 。

a b ⊥= 。

二、 a = 。

由向量的数量积公式你能否得到向量的夹角公式？学习探究自学导引阅读自学课本P112—P113回答下面问题：！、向量数量积的坐标运算已知()()1212,,,a a a b b b ==，则a b =即两个向量的数量积等于2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设()()1212,,,a a a b b b ==则a b ⊥⇔当0b b ≠时，条件11220a b a b +=，可写成1221a a kb b ==- 3、向量的长度、距离和夹角公式已知()12,a a a =，则a =即向量的长度等于如果1122(,),(,)A x y B x y ，则向量AB =设()()1212,,,a a a b b b ==，则三、 cos ,a b =典例探究：1. 已知(3,1),(1,2)a b =-=-，求,,,,a b a b a b ，2. 已知点A （1，2），B （2，3），C （-2，5）求证AB AC ⊥3. 已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0）求∠BAC的正弦值。

例4 已知点A （a,b ）与点1(,)A b a ，求证直线y=x 是线段1AA 的垂直平分线y y=xAM1A四、 x变式拓展i.已知：2,1,()0,a b a b b ==-=则a 与b 的夹角是（ ） ii. ()30()45()60()90A B C D ︒︒︒︒已知三点(2,1),(3,2),(1,4)A B D -a) 求证AB AD ⊥b) 若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标，并求该矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式【选题明细表】1.向量a=(2,-4),与b=(-1,2)的夹角的大小为( D )(A)零角(B)直角(C)钝角(D)平角解析:a·b=2×(-1)+(-4)×故<a,b>=180°.故选D.2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a·b=1,则x等于( D )(D)1解析:因为a·b=2-x=1,所以x=1.故选D.3.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(B) (D)10解析:因为a⊥b,所以有x-2=0,解得x=2,所以a=(2,1),所以故选B.4.设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与m ⊥n等价的个数是( D )①m·n=0,②x1x2=-y1y2,③|m+n|=|m-n|,④|m+n|=(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由两非零向量垂直的条件可知①②正确,由模的计算公式与向量垂直的条件可知,③④正确,故选D.5.已知向量a=(1,3),b=(sin α,cos α),a⊥b,则tan α的值为( B )(A)3解析:因为a⊥b,所以sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α,所以tan α=-3.选B.6.已知a=(1,-1),b=(-2,1),c=λa+b,d=a-λb,且c⊥d,则实数λ= .解析:因为c=λa+b=λ(1,-1)+(-2,1)=(λ-2,-λ+1),d=a-λb=(1,-1)-λ(-2,1)=(1+2λ,-1-λ)又因为c⊥d,所以c·d=0,即(λ-2)(1+2λ)+(λ-1)(λ+1)=0,所以λ2-λ-1=0,解得λ.答案7.在四边形ABCD中则该四边形的面积为( C )(B)2 (C)5 (D)10解析:·(-4,2)=1×(-4)+2×2=0,所以且|=所以S四边形ABCD||故选C.8.(2017·长春外国语学校月考)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于( B )(B) (D)10解析:因为a⊥c,所以a·c=2x-4=0,所以x=2,又b∥c,所以2y=-4,所以y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以选B.9.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则向量b-3a与向量a夹角的余弦值为.解析:由a=(1,0),b=(1,1),得b-3a=(-2,1).设向量b-3a与向量a的夹角为θ,则cos θ答案10.(2017·诸城一中高一下期中)已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若且c∥a,求c的坐标;(2)若且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由得,即x2+y2=20,因为c∥a,a=(1,2),所以2x-y=0,所以y=2x,由所以或所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,所以(a+2b)·(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0,(*)将|a|2=5,|b|2=(2(*)中,所以2×5+3a·b-2所以a·因为|a|=所以cos θ因为θ∈[0,π],所以θ=π.11.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可以用v=f(u) 表示.(1)证明对于任意a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.解:(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),所以f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)f(a)=f[(1,1)]=(1,2×1-1)=(1,1), f(b)=f[(1,0)]=(0,2×0-1)=(0,-1). (3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),所以y=p,2y-x=q,所以x=2p-q,故向量c=(2p-q,p).。

2．3．3 向量数量积的坐标运算与度量公式课时目标1．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝_______________________________________． 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔______________． 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝_____________________________________． (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝__________________________． 4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝____ _______＝__________________________．一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1B ．2C ．2D ．42．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A ．3B ．23C ．4D ．12 3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－735．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A ．5B ．10C ．5D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17B ．17C ．－16D ．16二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝_______________________________． 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________． 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影为______．10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10． (1)求a 的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C ．⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D ．(1，3) 14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________．1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 2.x 1x 2＋y 1y 2＝0 3.(1)x 21＋y 21(2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)24.a ·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0，∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3.∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16.又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)．9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的射影为|a |cos θ＝13×55＝655.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)解析 由题意cos α＝a ·b |a||b |＝－2λ－15·λ2＋1， ∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0， ∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a ·b ＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b ·c ＝1×2－2×1＝0，a ·b ＝10， ∴a (b ·c )＝0a ＝0，(a ·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )， 则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝25，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零， 故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)．] 14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)， MB →＝(－3，－2)． ∴MA →·MB →＝－2.。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式一、基础过关1． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．122． 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17B.17C ．－16D.163． 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3B ．2 3C ．4D ．124． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5． 若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π46． 已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.7． 若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 8． 已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 二、能力提升9． 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A. 5B.10C ．5D ．2510．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影为______．11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋m b，若c与d夹角为45°，求实数m 的值．三、探究与拓展13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．答案1．D 2.A 3.B 4.D 5.C 6．1 7.(－4,8) 8.(1)2525 (2)529 9．C 10.65511．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.12．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3) ＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3) ＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m ) ＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d|c ||d |＝2－3m(1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.13．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， 所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、教学目标1.掌握向量数量积的定义，并能够利用坐标运算求解向量数量积。

2.掌握向量数量积的度量公式，并能够灵活应用。

3.能够在实际问题中运用向量数量积解决几何问题。

二、教学重点和难点1.教学重点：向量数量积的坐标运算和度量公式的应用。

2.教学难点：向量数量积的概念和度量公式的证明。

三、教学方法与手段1.探究式教学：通过让学生自己发现向量数量积的性质和应用方法，激发其学习兴趣和求知欲。

2.讲授式教学：通过教师讲解向量数量积的定义、性质和应用，使学生全面理解该知识点。

3.互动式教学：通过师生互动，让学生积极参与讨论，提高教学效果。

4.录屏演示：通过PPT和教学软件，演示向量数量积的坐标运算和度量公式的应用，加深学生对知识点的理解。

四、教学内容和步骤第一步：向量数量积的概念和坐标运算公式1.讲解向量数量积的定义和性质，并给出两个向量的数量积的向量形式和标量形式。

2.教师以矢量坐标运算符 $ \cdot $ 为例，讲解向量数量积的坐标运算公式和求解方法。

3.设计数学实例，让学生自己动手计算两个向量的数量积，加深其对该知识点的理解。

第二步：向量数量积的度量公式1.讲解向量数量积的度量公式和应用方法，包括向量夹角余弦公式和向量模长公式。

2.教师以例题和练习题为例，演示应用向量数量积的度量公式解决几何问题的过程。

3.让学生自己设计一个实际问题，通过向量数量积的度量公式解决问题，提高其应用能力。

第三步：练习和巩固1.给学生准备一些模拟测试题目，让他们在课后进行复习和练习，巩固所学知识。

2.班内进行一次小测验，检验学生对该知识点的掌握程度，及时纠正学生存在的问题。

五、教学评价与反思在教学过程中，教师应该注意引导学生积极参与课堂活动，并及时纠正学生存在的问题，以达到高效的教学效果。

并在教学评价中，关注学生对向量数量积知识点的掌握情况，及时评价和反馈学生的学习成果，以便教师更好的指导学生。

向量数量积的坐标运算与度量公式一．教学目标：1知识与技能：（1）掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算（2）会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角2过程与方法：经历数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题﹑解决问题的能力。

3情感﹑态度﹑与价值观：（1）通过用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明世间事物可以相互联系与转化。

（2）用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地。

通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律。

二．教学重点﹑难点重点：掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算难点：会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角三．学情分析：本章学生首先学习了向量的线性运算几何法及坐标法，以及平面向量数量积，学生以这些知识为基础，学习向量数量积的坐标运算与度量公式，相对来说比较轻松。

在授课过程中，可以充分以学生为主体，通过平面向量数量积及前面向量线性运算的坐标法，启发学生自己推导出向量数量积的坐标公式及度量公式。

四课型分析：新授课五．教学方法:本节内容教学中设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究，使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。

六．教学过程及时间分配：（一）导入新课：（5分钟）复习向量数量积公式，垂直的条件以及求模和夹角公式。

结合前面向量的线性运算中几何法和坐标法引出本节课向量数量积的坐标运算及度量公式。

（二）讲授新课：（10分钟）解决课前案中的引导问题，大屏幕展示平面向量数量积坐标公式的推导过程，得出向量数量积的坐标公式，由学生说出向量有关应用的公式。

（三）例题讲解：（10分钟）学生讲解例题，变式1，变式2，引导学生总结判断三角形形状的方法：（1）数量积的方法，（2）求模的方法，（3）求夹角的方法。

（四）体验发现：（18分钟）探究部分：学生小组合作探究一变式3，探究二变式1,2,3，到黑板展示，点评，质疑，总结。

一、选择题1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b ＝( )A ．23B ．57C ．63D ．83【解析】 |a |2＝a 2＝a ·a ＝(－4)2＋32＝25，a ·b ＝(－4,3)·(5,6)＝－20＋18＝－2.∴3|a |2－4a ·b ＝3×25－4×(－2)＝83.【答案】 D2．(2019·宿州高一检测)若a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的射影为( )A ．25B ．2 C.5 D ．10【解析】 |a |cos θ＝|a |a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝2×3＋1×45＝2. 【答案】 B3．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)且(k a ＋b )⊥(a －2b )，则k ＝( )A.43B ．－43 C.34 D ．－34【解析】 由题意知(k a ＋b )·(a －2b )＝0，而k a ＋b ＝(2－k,3k －1)，a －2b ＝(－5,5)，故－5(2－k )＋5(3k －1)＝0，解得k ＝34.【答案】 C4．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2,6)D ．(－2,6)【解析】 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎨⎧ －2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6.∴点C 的坐标为(－2,6)．【答案】 D5．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确 【解析】AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．∵AC →·AB →＝－3＋3＝0，∴AC ⊥AB .又∵|AC →|＝10，|AB →|＝10，∴AC ＝AB .∴∴ABC 为等腰直角三角形．【答案】 C二、填空题6．(2019·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0.又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0.∴t ＝5.【答案】 57．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.【解析】 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．【答案】 (－4,8)8．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．【解析】 a·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，∴t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，此时，不满足题意．∴λ∈(－12，2)∪(2，＋∞)．【答案】 (－12，2)∪(2，＋∞)三、解答题9．(2019·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值．【解】 (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB →－AC → |＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，|AB →|＝2，|AC →|＝26，cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．【解】 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.11．已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求点D 的坐标与|AD →|.【解】 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－3(x －3)＋6(y －2)＝0.即x －2y ＋1＝0.又AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y －3＝0.联立方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴点D 的坐标为(1,1)，|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝ 5.。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算.(重点)2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.(难点)[基础·初探]教材整理1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 阅读教材P 112“思考与讨论”以上内容，完成下列问题. 1.向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝( ) A.5 B.4 C.－2D.－1【解析】 a·b ＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1. 【答案】 D教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式 阅读教材P 112～P 113内容，完成下列问题. 1.向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22. 2.两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3.两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则cos 〈a ，b 〉 ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0度.( )(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.( ) 【解析】 (1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确.(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]平面向量数量积的坐标运算(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，且a·b＝－1，则x 的值等于( )A.12 B.－12C.32D.－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.【自主解答】 (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )， 所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1， 解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.【答案】 (1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 1.进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2；(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充. [再练一题]1.设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3,4)，向量c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A.(－15,12) B.0 C.－3D.－11【解析】 依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.【答案】 C向量的模的问题(1)(2016·莱州期末)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a∥b ，则|2a －b|等于( )A.4B.5C.3 5D.4 5(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则|a ＋b|＝________，|a －b|＝________. 【精彩点拨】 (1)两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标表示：x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)已知a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 【自主解答】 (1)由y ＋4＝0知y ＝－4，b ＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4,8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D. (2)由题意知，a ＋b ＝(－2,4)，a －b ＝(4,0)， 因此|a ＋b |＝25，|a －b |＝4. 【答案】 (1)D (2)2 5 4 向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2. [再练一题]2.已知向量a ＝(2x ＋3,2－x )，b ＝(－3－x,2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________.【解析】 ∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)， ∴|a ＋b|＝x 2＋x ＋22＝2x 2＋4x ＋4＝2x ＋12＋2≥2，∴|a ＋b|∈[2，＋∞). 【答案】 [2，＋∞)[探究共研型]向量的夹角与垂直问题探究1 设a 1122b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？【提示】 cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 探究2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？【提示】 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1. ∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎨⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).(1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A.(－2，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.(－∞，－2)D.(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？【精彩点拨】 (1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔⎩⎪⎨⎪⎧a·b>0a ≠λb 求解.(2)可利用两非零向量a⊥b ⇔a·b ＝0来求m .【自主解答】 (1)当a·b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向.由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.【答案】 B(2)a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋m b )⊥(a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求夹角余弦值. (4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决. [再练一题]3.已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角.【导学号：】【解】 设a 与b 的夹角为θ， 则a ·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a ·b <0且a 与b 不反向. 由a ·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向， 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a ·b >0且a ，b 不同向.由a ·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2，所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞).1.已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x ＝( ) A.－1 B.－12C.12D.1【解析】 由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1. 【答案】 D2.已知a ＝(－2,1)，b ＝(x ，－2)，且a⊥b ，则x 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 由题意，a·b ＝(－2,1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.故选A. 【答案】 A3.(2016·邢台期末)在平行四边形ABCD 中，AB →＝(1,0)，AC →＝(2,2)，则AD →·BD →等于( )A.－4B.－2C.2D.4【解析】 AD →·BD →＝(AC →－AB →)·(AC →－2AB →) ＝AC 2→＋2AB 2→－3AC →·AB →＝8＋2－3×2＝4.故选D. 【答案】 D4.已知a ＝(3，－4)，则|a|＝________. 【解析】 因为a ＝(3，－4)， 所以|a|＝32＋－42＝5.【答案】 55.已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b ).【导学号：】【解】 (1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a ＋b )2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a －b ＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， (a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十二) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·开封质检)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a⊥(b －c )，则实数x 的值为( )A.43 B.34 C.－34D.－43【解析】 b －c ＝(x ，－4)，由a⊥(b －c )知3x －4＝0， ∴x ＝43.故选A.【答案】 A2.(2016·马鞍山质检)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,4)，且a∥b ，则|a －b|＝( ) A.5 3 B.3 5 C.2 5D.2 2【解析】 ∵a∥b ，∴4＋2x ＝0，∴x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)， ∴|a －b|＝3 5.故选B. 【答案】 B3.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2,23)，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b |a||b|＝1，3·－2，232×4＝12，解得θ＝π3.故选C.【答案】 C4.若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( ) A.655 B.65 C.135D.13【解析】 a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝a ·b |b |＝2，3·－4，7－42＋72＝2×－4＋3×765＝655. 【答案】 A5.已知正方形OABC 两边AB ，BC 的中点分别为D 和E ，则∠DOE 的余弦值为( ) A.12 B.32C.35D.45【解析】 以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设边长为1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，于是cos ∠DOE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝45. 【答案】 D 二、填空题6.已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →，则点C 的坐标是________. 【解析】 设C (x ，y )，则A C →＝(x ＋2，y －1)， B C →＝(x ，y －2)，A B →＝(2,1). 由A C →∥O B →，B C →⊥A B →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6). 【答案】 (－2,6)7.(2016·德州高一检测)若向量a ＝(－2,2)与b ＝(1，y )的夹角为钝角，则y 的取值范围为________.【解析】 若a 与b 夹角为180°，则有b ＝λa (λ<0) 即⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2λ，y ＝2λ，λ<0，解得y ＝－1且λ＝－12，所以b ≠λa (λ<0)时y ≠－1；①若a 与b 夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，则只要a·b<0且b ≠λa (λ<0).当a·b <0有－2＋2y <0解得y <1.② 由①②得y <－1或－1<y <1. 【答案】 (－∞，－1)∪(－1,1) 三、解答题8.已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1). (1)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC →与CD →的夹角的余弦值.【导学号：】【解】 (1)因为AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，由题意知A ，C ，D 三点共线， 所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，即k ＝4.(2)因为CD →＝(2,1)，设向量BC →与CD →的夹角为θ，则cos θ＝BC →·CD →|BC →||CD →|＝1242×5＝31010. 9.已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 【解】 ∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)， a ＋b ＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1).(1)∵k a －b 与a ＋b 共线， ∴k ＋2－(－k )＝0，∴k ＝－1. 即当k ＝－1时，k a －b 与a ＋b 共线. (2)∵|k a －b |＝k 2＋k ＋22，|a ＋b |＝12＋－12＝2，(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1) ＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∴cos 120°＝k a －b ·a ＋b|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22·k 2＋k ＋22，化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解之得k ＝－1± 3. 即当k ＝－1±3时，k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.[能力提升]1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73【解析】 设c ＝(x ，y )， 又因为a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)， 所以c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又因为(c ＋a )∥b ，所以有(x ＋1)·(－3)－2·(y ＋2)＝0， 即－3x －2y －7＝0，①文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 又a ＋b ＝(3，－1)，由c⊥(a ＋b )得：3x －y ＝0，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－79，y ＝－73，因此有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73. 【答案】 D2.(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值. 【解】 (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5).(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB →－AC →|＝－22＋－42＝2 5.(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，|AB →|＝2，|AC →|＝26，cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313.。

向量数量积的坐标运算与度量公式.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算.(重点) .能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.(难点)[基础·初探]教材整理两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示阅读教材“思考与讨论”以上内容，完成下列问题..向量内积的坐标运算：已知＝(，)，＝(，)，则·＝＋..用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设＝(，)，＝(，)，则⊥⇔＋＝.已知＝(，－)，＝()，则·＝( ).－.－【解析】·＝(，－)·()＝×＋(－)×＝－.【答案】教材整理向量的长度、距离和夹角公式阅读教材～内容，完成下列问题..向量的长度：已知＝(，)，则＝..两点间的距离：如果(，)，(，)，则＝..两向量的夹角：设＝(，)，＝(，)，则〈，〉＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两个非零向量＝(，)，＝(，)，满足－＝，则向量，的夹角为度.( ) ()两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( )()若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.( )【解析】()×.因为当－＝时，向量，的夹角也可能为°.()√.由向量数量积定义可知正确.()×.因为两向量的夹角有可能为°.【答案】()×()√()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()(·安溪高一检测)已知向量＝()，＝(，)，且·＝－，则的值等于( ).－.－()已知向量＝(－)，＝()，则·＝，·(－)＝.。

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式一、学习要点：向量数量积的坐标运算与度量公式及其简单运用二、学习过程：一.复习回顾：平面向量数量积的性质及运算律.二.新课学习：1.平面向量数量积的坐标表示:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a =1,1()x y , b=2,2()x y则a ⋅ b = .根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算.2.向量模的坐标表示:若a =1,1()x y , 则如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为1,1()x y ,2,2()x y , 那么3.两向量垂直和平行的坐标表示:设a =1,1()x y , b=2,2()x y ,则(1)(2)4.两向量夹角的坐标表示:设a 、b 都是非零向量, a =1,1()x y , b=2,2()x y , θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得：三．例题：例1 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断∆ABC 的形状，并给出证明.例2 设a =(5,-7), b=(-6,-4),求a ·b 及a 与b 的夹角θ.例3已知|a |=3, b =(2,3) ,试分别解答下面两个问题:(1) 若a ⊥b ,求a ;(2) 若a ∥b 求a .例4已知向量(2,3),(3,)a b k ==-，且,a b <>是钝角。

求k 的取值范围四.课堂练习:1. 教材114P 练习题;五.课堂小结:１.理解各公式的正向及逆向运用；２.数量积的运算转化为向量的坐标运算；３.掌握平行、垂直、夹角的坐标表示，形成转化技能.六.作业:见作业（22）。

示范教案整体设计教学分析这一节，主要是把数量积运算完全坐标化．向量的数量积，教材将其分为三部分．在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分中专门探究了数量积满足的运算律，在第三部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法，本节是向量数量积的第三部分．前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示．一方面在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题．另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来．利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示．教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础．三维目标1．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法．2．掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．3．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示．教学难点：向量数量积的坐标表示的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．推进新课新知探究提出问题(1)平面向量的数量积能否用坐标表示？(2)已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？(3)怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？(4)你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究．前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示．两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师与学生一起探究如下：(1)向量内积的坐标运算建立正交基底{e1，e2}．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2＋a2b1e2·e1＋a2b2e2·e2.因为e1·e1＝e2·e2＝1，e1·e2＝e2·e1＝0，所以我们得到数量积的坐标表达式a·b＝a1b1＋a2b2.实际上，a1b1＋a2b2表示两个向量的数量积，只与长度和角度有关，与坐标系的选择无关，它是解析几何中一个重要的不变量．在度量几何中有着重要应用．这样，遇到几何中的度量问题，就可通过建立坐标系，用代数方法来处理．教学时引导学生自己推导数量积的坐标表达式．(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件如果a⊥b，则a·b＝0；反之，如果a·b＝0，则a⊥b.上述两个向量垂直的条件，换用两向量的数量积坐标表示，即为：如果a⊥b，则a1b1＋a2b2＝0；如果a 1b 1＋a 2b 2＝0，则a ⊥b.因此a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＝0.有了这个条件，就可以通过计算数量积处理相关的垂直问题．引导学生写出向量(a 1，a 2)垂直的向量坐标形式，即：当b 1b 2≠0时，条件a 1b 1＋a 2b 2＝0，可以写成a 1－b 2＝a 2b 1＝k. 这就是说，如果a ⊥b ，则向量(a 1，a 2)与(－b 2，b 1)平行，上式中的k 是比例系数．于是得到：对任意实数k ，向量k(－b 2，b 1)与向量(b 1，b 2)垂直．(3)向量的长度、距离和夹角公式引导学生自己推导公式．如图1，已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |2＝a·a ＝(a 1，a 2)·(a 1，a 2)＝a 21＋a 22.图1因此|a |＝a 21＋a 22.①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．如果A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，从而|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.②AB →的长就是A ，B 两点之间的距离，因此②式也就是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．由向量数量积的坐标表达式和向量长度计算公式，以及向量数量积的定义，就可以直接推得求两个向量夹角余弦的坐标表达式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. 讨论结果：略．应用示例思路1例 1 已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求a·b ，|a|，|b|，〈a ，b 〉．活动：本例直接应用公式运算，可由学生自己完成．解：a·b ＝(3，－1)·(1，－2)＝3＋2＝5；|a |＝a·a ＝(3，－1)·(3，－1)＝10；|b |＝b·b ＝(1，－2)·(1，－2)＝5；因为cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝510×5＝22， 所以〈a ，b 〉＝π4. 例 2已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明．活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．解：在平面直角坐标系中标出A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)三点，我们发现△ABC 是直角三角形．下面给出证明．∵AB →＝(2－1,3－2)＝(1,1)，AC →＝(－2－1,5－2)＝(－3,3)，∴AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0.∴AB →⊥AC →.例 3(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC 的余弦值；(2)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，求a 与b 的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)的数量积a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2和模|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15.又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝(－1)2＋62＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532·37＝57474. (2)a·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b |＝5 2.例 4已知点A(a ，b)与点A ′(b ，a)，求证：直线y ＝x 是线段AA ′垂直平分线(图2)．图2活动：向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，两向量垂直是a·b ＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练．证明：设线段AA ′的中点为M(x ，y)，则依据中点公式，有x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋a 2. 由此得x ＝y ，点M 在直线y ＝x 上．在直线y ＝x 上，任取一点P ，则可设P(x ，y)，于是OP →＝(x ，x)．又因为AA′→＝(b －a ，a －b)，所以OP →·AA′→＝x(b －a)＋x(a －b)＝0.所以OP →⊥AA′→.因此，直线y ＝x 是线段AA ′的垂直平分线．点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.课堂小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，如类比，分类讨论等，使自己的认识在这一大节知识方法的整合中得以提升．作业课本本节习题2.4A组8、9、10.设计感想由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径．通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解，同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决实际问题的意识与能力．备课资料一、|a ·b |≤|a ||b |的应用若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则平面向量的数量积的性质|a ·b |≤|a ||b |的坐标表示为x 1x 2＋y 1y 2≤x 21＋y 21x 22＋y 22(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)．不等式(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )．例 1(1)已知实数x ，y 满足x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值是________；(2)已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝1，则2x －y 的最大值是________．解析：(1)令m ＝(x ，y)，n ＝(1,1)．∵|m ·n |≤|m ||n |，∴|x ＋y|≤x 2＋y 2·2，即2(x 2＋y 2)≥(x ＋y)2＝16.∴x 2＋y 2≥8，故x 2＋y 2的最小值是8.(2)令m ＝(x ＋2，y)，n ＝(2，－1)，2x －y ＝t.由|m ·n |≤|m ||n |，得|2(x ＋2)－y|≤(x ＋2)2＋y 2·5＝5，即|t ＋4|≤ 5.解得－4－5≤t ≤5－4.故所求的最大值是5－4.答案：(1)8 (2)5－4例 2已知a ，b ∈R ，θ∈(0，π2)，试比较a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ与(a ＋b)2的大小． 解：构造向量m ＝(a cosθ，b sinθ)，n ＝(cosθ，sinθ)，由|m ·n |≤|m ||n |得 (a cosθcosθ＋b sinθsinθ)2≤(a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)， ∴(a ＋b)2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 同类变式：已知a ，b ∈R ，m ，n ∈R ，且mn ≠0，m 2n 2>a 2m 2＋b 2n 2，令M ＝m 2＋n 2，N ＝a ＋b ，比较M 、N 的大小．解：构造向量p ＝(a n ，b m)，q ＝(n ，m)，由|p ·q |≤|p ||q |得 (a n ×n ＋b m ×m)2≤(a 2n 2＋b 2m 2)(m 2＋n 2)＝a 2m 2＋b 2n 2n 2m 2(m 2＋n 2)<m 2＋n 2， ∴M>N.例 3设a ，b ∈R ，A ＝{(x ，y)|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z }，B ＝{(x ，y)|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m ∈Z }，C ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集，讨论是否存在a 和b ，使得A ∩B ＝与(a ，b)∈C 能同时成立．解：此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题，它满足⎩⎪⎨⎪⎧na ＋b ＝3n 2＋15， ①a 2＋b 2≤144. ② 设存在a 和b 满足①②两式，构造向量m ＝(a ，b)，n ＝(n,1)．由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na ＋b)2≤(n 2＋1)(a 2＋b 2)，∴(3n 2＋15)2≤144(n 2＋1)n 4－6n 2＋9≤0.解得n ＝±3，这与n ∈Z 矛盾，故不存在a 和b 满足条件．二、备用习题1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x)，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3 B.13 C ．－13D ．－3 2．设a ＝(1,2)，b ＝(1，m)，若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是( )A ．m>12B ．m<12C ．m>－12D ．m<－123．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 5．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________．6．已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．7．已知△ABC 的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC 的面积．参考答案：1．C 2.D 3.B 4.B 5.－86．解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b ) ⇔ (a ＋3b )·(7a －5b )＝0⇔7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① 又(a －4b )⊥(7a －2b ) ⇔ (a －4b )·(7a －2b )＝0⇔7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，②①－②得46a ·b ＝23b 2，即a ·b ＝b 22＝|b |22.③ 将③代入①，可得7|a |2＋8|b |2－15|b |2＝0，即|a |2＝|b |2，有|a |＝|b |，∴若记a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a ·b |a ||b |＝|b |22|b ||b |＝12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.7．分析：S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ，而|AB →|，|AC →|易求，要求sin ∠BAC 可先求出cos ∠BAC.解：∵AB →＝(2,0)，AC →＝(3,4)，|AB →|＝2，|AC →|＝5，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2×3＋0×42×5＝35.∴sin ∠BAC ＝45. ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝12×2×5×45＝4.三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．。

课堂导学三点剖析一、向量数量积的坐标运算若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =a 1b 1+a 2b 2.【例1】 已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且·=5,2=10.(1)求D 点的坐标;(2)用、表示.思路分析:求D 点坐标要先设出D 点的坐标,然后用待定系数法求之.解：(1)设D(x,y),则AB =(1,2),AD =(x+1,y), 所以·=x+1+2y=5,①2=(x+1)2+y 2=10.②联立①②,解之,得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=.1,23,2y x y x 或 所以D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)当D 点的坐标为(-2,3)时,AB =(1,2),=(-1,3),=(-2,1),设=m +n ,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),所以⎩⎨⎧+=-=-.321,2n m n m 所以m=-1,n=1. 所以AC =-AB +AD .当D 点的坐标为(2,1)时,设AC =p AB +q AD ,则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),所以⎩⎨⎧+=+=-.21,32q p q p 所以p=1,q=-1. 所以=-.综上,当D 点的坐标为(-2,3)时,AC =-AB +AD .当D 点的坐标为(2,1)时,AC =AB -AD .各个击破类题演练 1设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值.思路分析:运用(a +t b )·b =|a +t b ||b |cos45°列出等式,解方程.解:a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),(a +t b )·b =(4+2t,-3+t)·(2,1)=5t+5,|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=+-++t t t .由(a +t b )·b =|a +t b ||b |cos45°,得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0.∴t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去，∴t=1.温馨提示本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.变式提升 1已知向量a 与b 同向,b=(1,2),a·b =10.(1)求向量a 的坐标;(2)若c =(2,-1),求(b ·c )a .思路分析:因为a 与b 同向,所以在设出a 的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件. 解:(1)∵a 与b 同向,∴可设a =(k,2k)(k>0).又a·b =10,∴(k,2k)·(1,2)=10⇒k=2.∴a =(2,4).(2)(b ·c )a =［(1,2)·(2,-1)］(2,4)=0(2,4)=0.二、两向量垂直条件的坐标表示设a 与b 为两个非零向量,且a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2=0.【例2】 在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 为直角三角形,求k 的值.思路分析:题目中只给出了△ABC 为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论. 解：若∠A=90°,由已知得·=0,∴2×1+3k=0,解得k=32-. 若∠B=90°,则AB ·BC =0, ∵BC =AC -AB =(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), ∴·=2×(-1)+3(k-3)=0,解得k=311. 若∠C=90°,则·=0.∴1×(-1)+k(k-3)=0,即k 2-3k-1=0,解得k=2133±. 综上可得k=32-或k=311或k=2133±. 类题演练 2已知a =(1,0),b =(1,1),当λ为何值时,(a +λb )⊥a ?思路分析:先求出a +λb 的坐标,然后由垂直的条件列出方程求解.解:∵a =(1,0),b =(1,1),∴a +λb =(1+λ,λ).又∵a +λb 与a 垂直,∴1+λ+0=0.∴λ=-1.∴当λ=-1时,a +λb 与a 垂直.变式提升 2平面上三点A 、B 、C 共线,OA =(-2,m),OB =(n,1),OC =(5,-1)且OA ⊥OB .求m 、n 的值. 思路分析:解答本题要注意A 、B 、C 三点共线这个条件的运用,即AB 与AC 共线. 解:由题意得向量与共线,即(n+2,1-m)与(7,-1-m)共线.∴⎩⎨⎧=+-=----+.02,0)1(7)1)(2(m n m m n 解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==.23,33,6n m n m 或三、向量的模、距离和夹角公式1.设a =(a 1,a 2)，则|a |=2221a a +.2.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 则=(x 2-x 1,y 2-y 1)，∴||=212212)()(y y x x -+-. 3.设a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),则cos 〈a ,b 〉=222122212211b b a a b a b a +∙++.【例3】 已知a =(-2,-1),b=(λ,1),若a 与b 的夹角α为钝角,求λ的取值范围.思路分析：由于两个非零向量a 、b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=||||b a b a ∙去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.解:由题意cosα=1512||||2+∙--=∙λλb a b a , ∵90°<α<180°,∴-1<cosα<0.∴-1<15122+∙--λλ<0. ∴⎪⎩⎪⎨⎧+->--<--.5512,0122λλλ 即⎪⎩⎪⎨⎧+<+->.55)12(,2122λλλ即⎪⎩⎪⎨⎧≠->.2,21λλ∴λ的取值范围是(-21,2)∪(2,+∞). 类题演练 3已知a 、b 是两个非零向量,同时满足|a |=|b |=|a -b |,求a 与a +b 的夹角.思路分析:设出a 与b 的坐标,运用公式.解:设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).∵|a |=|b |,∴x 12+y 12=x 22+y 22.由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2·21(x 12+y 12)=3(x 12+y 12),得|a +b |=)(32121y x +. 设a 与a +b 的夹角为θ,则cosθ=233)(21)(||||)(2121212121212121=+∙∙++++=++∙y x y x y x y x b a a b a a . ∴θ=30°.变式提升 3如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上一点，PFCE 是矩形，试用向量法证明⊥.证明:以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系.设正方形的边长为1，|DP |=λ，则A （0，1），P （22λ，22λ），E （1，22λ），F （22λ，0）. 于是PA =（22-λ，1-22λ），=(22λ-1,22-λ).∵·=(22-λ)·(22λ-1)+(1-22λ)(22-λ)=0, ∴PA ⊥EF .。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的长度(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示. 探究点一 平面向量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2. 又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0， ∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________.答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面向量长度的坐标形式及两点间的距离公式 思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ，∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的长度？答 如图，∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.解 设点D 坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2). ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1).反思与感悟 在几何里利用垂直及长度来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及长度列出方程组进行求解.跟踪训练2 以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求点B 和AB →的坐标. 解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2，∵B (x ，y )，A (5,2)，∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又∵|AB →|＝|OB →|，∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2.可得10x ＋4y ＝29，①又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0，②由①②解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B ⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 探究点三 平面向量夹角的坐标表示思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？答 cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 例3 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角. 解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向. 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向. 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向.由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞). 反思与感悟 由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a·b|a||b |来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角.跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为. ∴a 与b 的夹角为π4.2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________. 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4.已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ， ∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.一、基础过关1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A.2 3B. 3C.0D.－3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17B.17C.－16D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3.平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B.23 C.4 D.12 答案 B解析 ∵a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4·a ·b ＋4b 2＝2 3.4.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵α∈，∴α＝π4.6.设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________. 解 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7.已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2). (1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、能力提升8.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1答案 B解析 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2). 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1). 因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正射影的数量为( ) A.322B.3152C. －322D.－3152答案 A解析 ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)， ∴AB →在CD →方向上的正射影的数量为 AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.10.平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3).若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.12.设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值.解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2， ∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 三、探究与拓展13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4).(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值.(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。