2.2.4无穷大与无穷小

1 ∴ 函数 是当 x → ∞ 时的无穷小 . x
注意: (1)一个函数是否为无穷小与自变量的趋限过程 注意: 一个函数是否为无穷小与自变量的趋限过程
有关. 有关 (2) 无穷小是变量 不能与绝对值很小的数混淆 无穷小是变量, 不能与绝对值很小的数混淆. (3) 零是可以作为无穷小的唯一的常数 为什么？) 零是可以作为无穷小的唯一的常数.(为什么 为什么？
x→
f ( x) →
x0
− x0
+ x0
∞
−∞ +∞
x>X
0<| x−x0 |<δ 0 < x0 − x < δ 0<x−x0 <δ
| x |> X x < − X
A
| f ( x) − A |< ε
x→ 0 x
limf(x)=A
| f ( x) |> M
∞
x→ 0 x
limf(x)=∞
−∞
f ( x) < − M
2.2.4 无穷小与无穷大 A.无穷小 无穷小
定义 如果 lim f ( x ) = 0, 则称 f ( x )是当 x → x0时的无穷小 ( 量 ).
x → x0
无穷小的分析定义
∀ ε > 0, ∃ δ > 0,
当 0 <| x − x0 |< δ 时 , 有 : | f ( x ) |< ε 成立 ,
>M
证明： 证明： ∀ M > 0 , 取 δ = min{ 1,
1 }， M +1 x+1 |> M 成立, 当 0 <| x |< δ 时, 有 | x
x+1 ∴ lim = ∞. x→0 x
类似单侧极限, 也定义: 类似单侧极限 也定义
x→x0
lim− f ( x) = ∞,
和 lim+ f ( x) = ∞.
Qα ( x ) = f ( x ) − A, ∴ 有 | f ( x ) − A |< ε ,
∴ lim f ( x ) = A.
x → x0
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小 无穷小); 意义: 意义: (1) 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小
（2 给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表达 ） 式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).
则称 f ( x )当 x → x0时的无穷小 .
自变量 x的变化趋势是其它情形的无穷小分析定义同学可以 的变化趋势是其它情形的无穷小分析定义同学可以 模仿写出。 模仿写出。
例如, 例如
Q lim sin x = 0, ∴ 函数 sin x是当 x → 0时的无穷小 .
x→0
1 Q lim = 0, x→∞ x
性质1 的某趋限过程中, 是无穷大, 性质 在x的某趋限过程中 若函数 的某趋限过程中 若函数f(x)是无穷大 是无穷大 函数g(x)是有界量 则f(x)+g(x)是无穷大。 是有界量, 是无穷大。 函数 是有界量 是无穷大 性质2 的某趋限过程中, 是无穷大, 性质 在x的某趋限过程中 若函数 的某趋限过程中 若函数f(x)是无穷大 是无穷大 函数g(x)满足 |g(x)|≥M(M是一正常数 是一正常数), 函数 满足 ≥ 是一正常数 是无穷大。 则f(x)g(x) 是无穷大。 的某趋限过程中, 都是无穷大, 推论 在x的某趋限过程中 若函数 的某趋限过程中 若函数f(x)和g(x)都是无穷大 和 都是无穷大 是无穷大。 则f(x)g(x)是无穷大。
f ( x) > M
+∞
x→ 0 x
limf(x)=+∞
x→x0
并有下面的结论: 并有下面的结论
x → x0
lim f ( x ) = ∞ ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = ∞.
x → x0 x → x0
定理9. 定理 在x的某趋限过程中 的某趋限过程中
1 f , . 若函数 ( x)是无穷大 则 是无穷小 f ( x) 1 f , . 若函数 ( x)是无穷小 且f ( x) ≠ 0, 则 是无穷大 f ( x)
x → x0
lim f ( x ) = +∞ , (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0
注意: 注意 (1) 无穷大是变量 不能与绝对值很大的数混淆 无穷大是变量, 不能与绝对值很大的数混淆.
( 2)如果有 lim f ( x ) = ∞ 表明当 x → x0时 ,
x → x0
| f ( x ) | 越来越大 , 趋于无穷大 , 是属于极限
记作 lim f ( x ) = ∞ ,
x → x0
或 f ( x ) → ∞ , (当x → x0 )
改为f(x)>M (或f(x)<− <−M), 定义中将 |f(x)|>M 改为 或 <− 则称f(x)是x→x0时的正无穷大 (或负无穷大 记作 是 → 或负无穷大), 则称 或负无穷大 记作:
无穷小与函数极限的关系: 无穷小与函数极限的关系
定理8 定理 8
x→x0
lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α( x),
小. 其中α(x)是当x → x0时的无 小 穷
证: 必要性
设 lim f ( x ) = A,
x → x0
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <| x − x0 |< δ 时, 有 : | f ( x ) − A |< ε , 令 α ( x) = f ( x) − A,
不是无穷大． 不是无穷大．
证明： 例. 证明：
x+1 x+1 当 x → 0时为无穷大 , 即 lim = ∞. x→0 x x
分析: 分析
∀M > 0,
当|X|<1时， 时
x + 1 | x + 1| 1− | x | 1 |= 要使 | ≥ = −1 x |x| |x| |x| 1 , 只要 | x |< M +1
上述定理被称为极限基本定理。 上述定理被称为极限基本定理。 极限基本定理
B. 无穷大 量) 无穷大(量 在自变量x某趋限过程中 无限增大, 在自变量 某趋限过程中, 若|f(x)|无限增大 某趋限过程中 无限增大 为此变化过程中的无穷大 就称 f(x)为此变化过程中的无穷大。 为此变化过程中的无穷大。 设函数f(x)在点 0的某去心领域内有定义 在点x 定义 设函数 在点 的某去心领域内有定义, 如果对任意的正数M, 总存在正数δ, 当0<|x−x0|<δ时, 总存在正数δ 如果对任意的正数 − δ 成立, 必有 |f(x)|>M 成立 则称函数f(x)是 → 时的无穷大(量 则称函数f(x)是x→x0时的无穷大(量), 函数
为有限常数, 若x0为有限常数 且有 lim f ( x ) = ∞,
x → x0
或有 lim − f ( x ) = ∞ , 或有 lim f ( x) = ∞,
x → x0
x→ x0 +
则称直线 为曲线y=f(x)的铅直渐近线 的铅直渐近线. 则称直线x=x0为曲线 直线 的铅直渐近线 注意: 注意 (1)有界量与无穷大的乘积不一定是无穷大 有界量与无穷大的乘积不一定是无穷大. 有界量与无穷大的乘积不一定是无穷大 (2)无穷大与无穷大之和不一定是无穷大 无穷大与无穷大之和不一定是无穷大. 无穷大与无穷大之和不一定是无穷大 例如, →∞时 是无穷大 是无穷大, 是有界量, 例如 当x→∞时, x是无穷大 sinx是有界量 →∞ 是有界量 不是无穷大, →∞ →∞). 但 xsinx不是无穷大 (x→∞ 不是无穷大 无穷大与无穷大之和不是无穷大的举例学生完成. 无穷大与无穷大之和不是无穷大的举例学生完成
π
2
( k = 0,1,2,3,L)
π y( x k ) = 2kπ + , 当k充分大时 , y( xk ) > M . 无界, 无界, 2
1 ( 2) 取 xk ′ = 2k ′π ( k ′ = 0,1,2,3,L)
当 k ′ 充分大时 , 0 < x k ′ < δ , 但 y( xk ′ ) = 2k ′π sin 2k ′π = 0 < M .
x → x0
则有 | α ( x) |< ε ,
故 lim α ( x ) = 0, 且有 : f ( x ) = A + α ( x ).
充分性
设 f ( x ) = A + α ( x ), 其中 α ( x )是当x → x0时的无穷小 ,
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <| x − x0 |< δ 时, 有 : | α ( x ) |< ε ,
不存在的情形 .
(3) 无穷大是一种特殊的无界变量 无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大. 但是无界变量未必是无穷大
1 1 例如 , 当 x → 0时 , y = sin x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 .
(1) 取 xk = 1 2 kπ +
1 1 y = sin x x