10椭圆基础(学)

高二椭圆基础知识点手写椭圆是平面上一个固定点F（焦点）和到该点的距离之和等于常数2a（长轴）的动点P的轨迹。

椭圆有许多基础知识点，下面将逐一介绍。

1. 椭圆的定义椭圆是由平面上的一系列点P构成的，其到两个焦点的距离之和等于一个常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

其中，焦距为c，椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距与长轴、短轴之间的关系为c^2 = a^2 - b^2。

2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆中心的坐标。

3. 椭圆的离心率椭圆的离心率e是一个反映椭圆形状的重要参数，其定义为离心率e=c/a，取值范围为0<e<1。

当e=0时，椭圆退化为圆形；当e=1时，椭圆退化为抛物线。

4. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点F1和F2，焦点与中心之间的距离为c。

椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且焦点与中心的连线与椭圆的法线垂直。

5. 椭圆的准线椭圆的准线是与焦点所在直线垂直且经过椭圆中心的直线。

6. 椭圆的直径椭圆的直径是通过椭圆中心的两点，同时也是椭圆的两个顶点。

7. 椭圆的短轴椭圆的短轴是椭圆上两个与中心相对的顶点之间的距离。

8. 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是从焦点到椭圆上一点的线段，它与到该点的法线构成直角三角形。

9. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ为参数，0≤θ≤2π。

10. 椭圆的离心角椭圆上一点与焦点的连线与到该点的切线之间的夹角称为该点的离心角。

总结：椭圆是平面上一点到两个焦点的距离之和等于常数2a的轨迹。

椭圆有许多基础知识点，包括椭圆的定义、标准方程、离心率、焦点、准线、直径、短轴、焦半径、参数方程和离心角等。

掌握这些基础知识点对于高二学生来说是非常重要的，它们是解决椭圆相关问题的基础。

通过理解和掌握这些知识点，我们可以更好地应用于实际问题中，提高解题的准确性和效率。

选修1-1 2.1 椭圆一、基础知识：1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数( 大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的．☆思考：平面内动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当2a<|F1F2|时呢？|x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a曲线关于X轴、y轴对称曲线关于X轴、y轴对称长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b,0)(0，±c)x2 a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞（一）求椭圆的标准方程：1、一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．2、求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．注意：当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B ). 3、用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 例一、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．变式训练1 根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)和B (12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．(二)利用圆的定义求椭圆的方程思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可例二、已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．（三）椭圆定义的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．例三、已知P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积S .（四）椭圆的简单几何性质求解1、已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a 与b ，求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，有－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．3．求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a 、b 的关系：e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2⇒b a＝1－e 2.例四、求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率（五）利用几何性质求标准方程思路关键：1、确定为x 还是y 型椭圆 2、求出a 、b 、c 3、得出标准方程 例五、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.（六）椭圆的离心率常见思路：一是先求a ，c ，再计算e ；二是依据条件中的关系，结合有关知识和a 、b 、c 的关系，构造关于e 的方程，再求解．注意e 的范围：0<e <1.例六、过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( )A.22B.33C.12D.13☆ 补充：1、椭圆的定义中若|F 1F 2|＝2a 时动点的轨迹是线段F 1F 2， |F 1F 2|>2a 时动点的轨迹是不存在的．2、椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2(如下图)，它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2＝a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2＝θ，则cos θ＝ca ＝e .3、椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0<e <1.离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆．★课后练习1.圆6x 2+ y 2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0)､(1,0)B.(-6,0)､(6,0)C.(-6,0)､(6,0)D.(0,-6)､(0,6)2.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是A.1422=+y xB.1422=+y x 或1422=+y x C.14122=+y x D.1422=+y x 或116422=+yx3.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长､短轴4．(教材习题改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．125．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12， 离心率为13，则椭圆方程为 ( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝16.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为A.5B.6C.4D.107．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该 椭圆的离心率是 ( )A.45B.35C.25D.158.已知F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是A.13422=+y xB.131622=+y xC.1121622=+y xD.141622=+y x9.已知F 1､F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱F 2B ︳的值是A.16B.12C.14D.810．(教材习题改编)已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为________．11．(教材习题改编)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为________．12.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .13、到两定点F 1(0，－1)，F 2(0,1)的距离的和等于4 的动点M 的轨迹方程是_______________.14、已知P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．15、求椭圆4x 2＋y 2＝1的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．16、已知椭圆的两个焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝60°，求该椭圆的离心率．17、 已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64内切，而和定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4外切．求动圆圆心M 的轨迹方程．。

椭圆基础练习题一、选择题1. 椭圆的长轴和短轴长度分别为2a和2b，其中a和b的关系是（）。

A. a > bB. a < bC. a = bD. 无法确定2. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于（）。

A. 2aB. 2bC. a + bD. a - b3. 如果椭圆的方程是 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中a和b是常数，那么a和b的单位是什么？A. 米B. 秒C. 无单位D. 角度4. 椭圆的离心率e的取值范围是（）。

A. 0 ≤ e < 1B. 0 ≤ e ≤ 1C. 0 < e < 1D. 1 < e ≤ 25. 椭圆的面积公式是（）。

A. πabB. π(a + b)C. π(a - b)D. π(a^2 + b^2)二、填空题6. 椭圆的中心点坐标是（____,____）。

7. 椭圆的离心率e定义为____，其中c是焦点到中心的距离。

8. 如果一个椭圆的长轴是10，短轴是6，那么它的面积是____。

9. 椭圆的焦点坐标可以表示为（____,0）和（____,0）。

10. 椭圆的方程 \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \) 中，a 和b的值分别是____和____。

三、简答题11. 描述椭圆的基本性质，并给出一个实际生活中椭圆的应用例子。

12. 解释为什么椭圆的离心率总是小于1。

13. 如果一个椭圆的长轴是20，短轴是10，求出它的焦点坐标。

四、计算题14. 给定一个椭圆的方程 \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \)，求出它的离心率e。

15. 已知一个椭圆的长轴是26，短轴是15，求出它的面积和离心率。

五、证明题16. 证明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数。

17. 证明椭圆的中心点到长轴和短轴的距离相等。

圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。

其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。

叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。

★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。

其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。

三、标准方程。

椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。

注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。

如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。

∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。

四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。

①、范围。

以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。

关于X 、Y 轴成轴对称。

关于原点成中心对称。

③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。

长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。

构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。

椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。

椭圆基础知识点椭圆是几何学中的一个重要概念，它在数学和实际应用中都有广泛的应用。

椭圆具有一些独特的性质和特点，让我们一步步来了解椭圆的基础知识点。

1.椭圆的定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，它的形状类似于拉长的圆。

椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离之比为常数的点P（到焦点的距离之和等于常数）构成。

这个常数称为离心率，通常用字母e表示。

当离心率小于1时，椭圆是个封闭的曲线；当离心率等于1时，椭圆变成一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆变成一条双曲线。

2.椭圆的主要特点椭圆具有一些独特的特点，让我们来逐个了解：•长半轴和短半轴：椭圆由两个相互垂直的轴构成，其中较长的轴称为长半轴（通常用字母a表示），较短的轴称为短半轴（通常用字母b表示）。

•焦点和准线：椭圆的两个焦点和一条过焦点的垂线称为准线。

准线是椭圆上所有点的几何平均线，即任意一点到两个焦点的距离之和等于准线的长度。

•主轴和次轴：椭圆的长半轴是主轴，短半轴是次轴。

主轴的长度是椭圆的最长直径，次轴的长度是椭圆的最短直径。

主轴和次轴互相垂直，且交于椭圆的中心点。

•离心率：椭圆的离心率e是一个常数，它表示焦点到准线的距离与准线长度的比值。

离心率越接近0，椭圆越接近圆形；离心率越大，椭圆越扁平。

•离心角：椭圆上任意一点P的离心角是焦点到P的线段与准线的夹角。

离心角的大小与离心率和点P的位置有关。

3.椭圆的方程椭圆的方程是用来描述椭圆的数学表达式。

一般来说，椭圆的标准方程有两种形式：•椭圆的中心在坐标原点的情况下，其方程为x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a 和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。

•椭圆的中心不在坐标原点的情况下，其方程为[(x-h)^2]/a^2 + [(y-k)^2]/b^2 = 1，其中(h,k)表示椭圆的中心坐标。

4.椭圆的应用椭圆在数学和实际应用中都有广泛的应用。

以下是一些椭圆的应用领域：•天文学：行星和卫星的轨道通常是椭圆形的，椭圆的研究对于天体运动的理解和预测非常重要。

《椭圆基础专题》一、椭圆的定义在平面内到两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆，即()212122F F a a PF PF >=+，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫椭圆的焦距（c 2）即c F F 221=.二、椭圆的标准方程（1）在x 轴上的方程：()012222>>=+b a by a x （2）在y 轴上的方程：()012222>>=+b a bx a y 三、椭圆的几何性质（1）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比（2）c b a ,,的关系：222c b a +=四、椭圆的离心率（1）离心率公式：ace =（2）离心率的范围：()1,0∈e （3）离心率对椭圆的影响：①e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，椭圆就越扁；②e 越接近0，c 就越接近0，从而b 就越大，椭圆就越圆（4）b a e ,与的关系：222221ab a b a ac e -=-==（5）求椭圆的离心率（或其取值范围）a.若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定22,b a 求出c a ,的值，利用公式ac e =直接求解.b.若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立e c b a ,,,满足的关系式，化为c a ,的齐次方程，得出c a ,的关系或化为e 的方程求解，此时要注意()1,0∈e .五、椭圆的通径及准线（1）通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为ab 22.（2）准线：当动点P 到定点F（焦点）和定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线，准线方程：ca x 2±=六、有关椭圆的几个重要结论（1）弦长公式：设直线与椭圆交于()()2211,,,y x B y x A 两点，则()()()()()2122122212212212221241111411y y y y k y y k x x x x k x x k AB -+⋅+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+⋅+=-+=（2）焦点三角形：焦点三角形的面积公式：()αα=∠=212PF F ,2tan21PF F b S △（3）椭圆的切线：椭圆()012222>>=+b a b y a x 上一点()00,y x P 处的切线方程为12020=+b y y a x x （4）焦半径焦半径：椭圆的左右焦点分别是21,F F ，椭圆上任意一点()00,y x P 到焦点距离为焦半径.公式：,,0201ex a PF a ex PF -=+=七、直线与椭圆位置关系的判定由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y 消去y ，得()022********=-+++b a m a kmx a x k a b ，当0>△时，直线与椭圆相交；当0=△时，直线与椭圆相切；当0<△，直线与椭圆相离.【习题练习】1.椭圆123222=+y x 的焦点坐标为.2.已知椭圆C 上任意一点()y x P ,都满足关系式()()4112222=++++-y x y x ，则椭圆C 的标准方程为.3.已知()()0,1,0,11F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于A,B 两点，且,3=AB 则椭圆C 的方程为.4.已知P 是椭圆13610022=+y x 上一点，点21F F ，分别是椭圆的左右焦点，直线1PF 交椭圆与另一点A，则△PAF 2的周长为.5.若椭圆192522=+y x 的焦点分别为21,F F ,点P 为椭圆上一点，且∠21PF F =90°，则△21F PF 的面积为.6.已知椭圆12922=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若41=PF ,则∠21PF F =.7.已知一动圆与圆()13221=++y x O ：外切，与圆()813:222=+-y x O 内切，则动圆圆心的轨迹方程为.8.若椭圆1422=+my x 上一点到两焦点的距离之和为3-m ，则此椭圆的离心率为.9.已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，A,B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且BF AB ⊥，则椭圆的离心率为.10.设21,F F 是椭圆E ：()012222>>=+b a by a x 的左右焦点，P 为直线23a x =上一点，△21PF F 是低角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为.11.椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ,以21F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为.12.已知椭圆E 的方程为()012222>>=+b a by a x ，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a,0），点B 的坐标为()b ,0，若点M 在线段AB 上，且满足,2MA BM =其中直线OM 的斜率为105.求E 的离心率e .13.若椭圆()012222>>=+b a by a x 上存在一点M，使得︒=∠9021MF F （21,F F 为椭圆的两个焦点）求椭圆的离心率e 的取值范围.14.设椭圆上存在一点P ，它与椭圆中心O 的连线和它与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围为.15.已知O 为坐标原点，F 是椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：的左焦点，A,B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且x PF ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为.16.直线l 经过椭圆的顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为.17.设21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于B A ,两点，且22,,BF AB AF 成等差数列.求E 的离心率.18.已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l .求：椭圆上的点到l 的距离的最小值及此时椭圆上点的坐标.19.已知：13422=+y x ，1F 是其左焦点，A 为右顶点，过1F 的直线l 与椭圆交于异于A 的Q P ,两点，求AQ AP ⋅的取值范围.20.已知：椭圆的方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=+21,1,1422A y x 过原点O 的直线交椭圆与B ，C ，求ABC △S 最大值.。

椭圆基础知识总结
椭圆在数学中是一种重要的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。

以下是
椭圆的基础知识总结。

1. 定义：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

两个给
定点称为焦点，它们通常标记为F1和F2。

常数称为焦距，通常标记为2a。

2. 参数方程：椭圆的参数方程由以下公式给出：x = a * cos(θ)，y = b * sin(θ)。

其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴，θ是参数。

3. 方程：椭圆的方程是(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。

该方程描述了椭圆上各个点
的位置。

当a=b时，椭圆变为圆。

4. 焦点性质：椭圆上的每个点到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。

这个性质被称为焦点性质，它使得椭圆在通信、导航和天体力学等领域有广泛应用。

5. 长轴、短轴和离心率：椭圆的长轴是沿着椭圆的最长直径，短轴是沿着椭圆
的最短直径。

离心率定义为e = c/a，其中c是焦点到圆心的距离。

6. 焦点到顶点的距离：椭圆上任意一点到其近焦点的距离等于到其远焦点的距
离减去2a。

这是椭圆的重要性质之一。

7. 离心角与焦半径：椭圆上任意一点的离心角是该点处切线和法线之间的角度。

焦半径是从焦点到椭圆上某点的线段。

椭圆具有许多应用，包括通信技术中的椭圆曲线加密算法、地球轨道和卫星运
动的描述、天文学中行星轨道等。

理解椭圆的基础知识有助于我们更好地理解和应用这个几何形状。

数学椭圆知识点总结数学椭圆知识点总结椭圆基础知识梳理知识点一椭圆的定义平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合，，且都为常数。

当即时，集合P为椭圆。

当即时，集合P为线段。

当即时，集合P为空集。

知识点二椭圆的标准方程(1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。

(2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。

知识点三椭圆方程的一般式这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：(其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。

方程可变形为。

当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。

一般式，通常也设为，应特别注意均大于0，标准方程为。

知识点四椭圆标准方程的求法1.定义法椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。

例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(-1,0)C(1,0)，求满足，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。

变式练习1.在△ABC中，点B(-6,0)、C(0,8)，且成等差数列。

(1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。

(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

2.待定系数法首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式，求得的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。

例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。

变式练习2.求适合下列条件的椭圆的方程;(1)两个焦点分别是(-3,0)，(3,0)且经过点(5,0).(2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。

高考椭圆基本知识点总结椭圆是数学中一种重要的图形，对于高中数学的学生来说，掌握椭圆的基本知识点是非常重要的。

本文将对椭圆的一些基本知识进行总结，并通过实例加深理解。

一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和恒定于常数2a的动点P 的轨迹。

其中，F1和F2称为椭圆的焦点，a称为长半轴。

椭圆的性质包括：1. 椭圆的离心率e小于1，且离心率越小，椭圆越扁平。

2. 椭圆的对称轴是y轴和x轴。

3. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2a。

4. 椭圆的面积为πab，其中a为长半轴长度，b为短半轴长度。

二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h,k)为椭圆中心的坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。

以椭圆（x-3）²/4 + (y-2)²/9 = 1为例，该椭圆的中心坐标为(3,2)，长半轴长度为4，短半轴长度为9。

三、椭圆的图形特点1. 对于标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1：- 当a>b时，椭圆的长半轴在x轴上，短半轴在y轴上；- 当a<b时，椭圆的长半轴在y轴上，短半轴在x轴上；- 当a=b时，椭圆即为圆。

2. 椭圆的扁率表达：椭圆的扁率可以通过离心率e来衡量，e的计算公式为：e = sqrt(1 - b²/a²)通过e的大小可以判断椭圆的形状：- 当e=0时，椭圆变成一个点，即焦点和中心重合；- 当e的值在0和1之间时，椭圆越扁平；- 当e=1时，椭圆退化为一个线段，即焦点与中心的连线；- 当e>1时，曲线为双曲线。

四、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的轨迹可以用来描述天体的运动，比如地球绕太阳的运动轨迹。

2. 电子轨道原子的电子在原子核周围的运动轨迹可以近似看作椭圆轨道。

椭圆的知识点椭圆是数学中一个非常重要的图形，在几何和代数领域都有着广泛的应用。

下面咱们就来详细聊聊椭圆的知识点。

首先，椭圆的定义。

平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

那椭圆的标准方程是啥样的呢？当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程是：x²/a²＋ y²/b²＝ 1 （a ＞ b ＞ 0）；当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程是：y²/a²＋ x²/b²＝ 1 （a ＞ b ＞ 0）。

在这两个方程中，a 表示椭圆长半轴的长度，b 表示椭圆短半轴的长度，c 表示半焦距，并且满足 c²＝ a² b²。

椭圆的性质也有不少。

比如说椭圆的对称性，它关于 x 轴、y 轴都是对称的，同时也关于原点对称。

椭圆的顶点，当焦点在 x 轴上时，顶点坐标是（±a，0），（0，±b）；当焦点在 y 轴上时，顶点坐标是（0，±a），（±b，0）。

再来说说椭圆的离心率。

椭圆的离心率 e ＝ c/a ，它反映了椭圆的扁平程度。

当 0 ＜ e ＜ 1 时，e 越接近 0，椭圆就越接近圆形；e 越接近 1，椭圆就越扁。

接下来咱们看看椭圆的参数方程。

当焦点在 x 轴上时，椭圆的参数方程是 x ＝a cosθ，y ＝b sinθ （θ 为参数）；当焦点在 y 轴上时，椭圆的参数方程是 x ＝b cosθ，y ＝a sinθ （θ 为参数）。

椭圆的焦半径公式也很重要。

对于焦点在 x 轴上的椭圆，若点 P（x，y）在椭圆上，那么左焦半径 PF1 ＝ a ＋ ex，右焦半径 PF2 ＝ a ex ；对于焦点在 y 轴上的椭圆，若点 P（x，y）在椭圆上，那么上焦半径PF1 ＝ a ＋ ey，下焦半径 PF2 ＝ a ey 。

椭圆基本性质
椭圆是由椭圆方程式所定义的曲线，且它是一种特殊的抛物线。

它以具有常见特征的椭圆形状采用二维平面上的形状。

从几何学的角度来看，椭圆是一种有两条轴线的椭圆曲线，这两条轴线的形状是一样的，中间的主要特征是椭圆的形状，这也是椭圆与抛物线的区别。

首先，椭圆的特征是它的两个矩形轴，它的长轴称为椭圆的长轴，而短轴则称为椭圆的短轴。

其次，椭圆的中心可以是任意位置的点，如果这两个轴的垂直位置是不同的。

椭圆的形状可能是压扁的或扁立方体的形状，而且这也是椭圆和抛物线的不同之处。

此外，还有另外一些有趣的椭圆特征，比如椭圆所描绘的方向，以及椭圆形状的“聚焦点”。

这两点表示任何光线从一聚焦点穿过以一定速度，会经过另一聚焦点，同时这两个点连接椭圆的两个端点。

总之，椭圆的基本性质是它的两个轴，中心，形状，以及它的聚焦点。

它与抛物线的形状也有很大的不同。

椭圆是一种极其重要的曲线，几何学中有很多应用，它是圆柱体，球面，和光线运动等方面的基础。

椭圆及其标准方程（基础）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，平面内满足124PF PF +=的动点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．不存在2．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,23．已知椭圆22:1169x y C +=的左右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点则2ABF ∆的周长为（ ）A ．B ．16-C ．8D ．164．椭圆2218x y +=上的点P 到一个焦点的距离为P 到另一个焦点的距离为（ ）A ．4B ．CD ．25．设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．106．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．22143x y +=B ．22143y x +=C ．2211615x y +=D ．2211615y x +=7．已知()1F 、)2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.若2ABF ∆周长是( )A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2211210x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆222:1(0)25x y C m m +=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且12PF F ∆的周长为16，则m 的值是A ．2B ．3C ．D ．49．与椭圆221259x y +=有相同的焦点，且经过点()5,3的椭圆的标准方程是（ ）A ．2212440x y +=B ．2214024x y +=C ．2213620x y +=D ．2214026x y +=10．椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,短轴长为2,则椭圆方程是( )A ．22143x y +=B ．2214x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=11．已知a ，b R ∈，则“0a b >>”是“221x ya b-=表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1210=的化简结果为（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=13．方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（ ）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠14．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭15．如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,)+∞16．椭圆221123x y +=的左焦点为1F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A ．4±B ．2±C ．2±D ．34±二、填空题17．一个椭圆中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，(P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____．18．点P 为椭圆2212516x y +=上一点，M 、N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的动点，则PM PN +的取值范围是_______．19．焦点坐标为()5,0-和()5,0，且点()0,12B 在椭圆上，那么这个椭圆的标准方程___________.20．能够说明“方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”的一个m 的值是______.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，焦距为则椭圆的方程为____.22．设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.三、解答题23．已知椭圆()22(3)0x m y m m ++=>的离心率2e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．24．动点P (x ，y )8=.试确定点P 的轨迹．25．如图所示，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．26．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．27．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点()0,2A 和12B ⎛ ⎝，求椭圆C 的标准方程.28．已知点()3,4P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，若12PF PF ⊥，试求： （1）椭圆的方程； （2）12PF F △的面积．参考答案1．B2．A3．D4．C5．D6．A7．A8．D9．B10．B11．B12．D13．D14．B15．A16．A17．221 86x y+18．[]7,1319．221 169144x y+=20．32（答案不唯一，只要在m的取值范围内的任何一个值都可以）21．221 4xy+=22．线段12F F或椭圆23．见解析24．点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆25．221 252144x y+=26．221 4015x y+=27．2214yx+=28．（1）2214520x y+=；（2）20。

椭圆基础知识点椭圆是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等领域。

本文将介绍椭圆的基础知识点，包括定义、性质、参数方程、焦点与准线等内容。

一、椭圆的定义椭圆是平面上一条封闭曲线，其上各点到两个定点的距离之和恒定。

这两个定点称为焦点，连接两焦点的线段称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心，主轴长度的一半称为半长轴，垂直于主轴的线段称为次轴，次轴长度的一半称为半短轴。

二、椭圆的性质1. 弦长定理：椭圆上任意两点连线的长度之和等于两焦点之间的距离。

2. 焦点定理：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个焦点之间的距离。

3. 反射定理：从椭圆上一点出发的光线经过反射后，会经过另一个焦点。

4. 离心率：椭圆的离心率e是一个0到1之间的实数，定义为焦距与半长轴之间的比值。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用参数θ表示，如下所示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

四、椭圆的焦点与准线1. 焦点：椭圆上的焦点是满足椭圆定义的两个定点，记为F1和F2。

焦点与椭圆的离心率e有关，可以通过公式e = c / a计算，其中c为焦距，a为半长轴。

2. 准线：椭圆上到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的两条直线称为准线，记为L1和L2。

五、应用领域1. 天体运动：行星、卫星等天体围绕太阳、行星等轨道呈椭圆形。

2. 光学：椭圆抛物面反射镜和透镜用于天文望远镜、摄影镜头等光学仪器中。

3. 电子学：椭圆偏振器在液晶显示器等领域有广泛应用。

4. 地理测量：在地球上，纬线和经线的组合形成椭圆，用来表示地球的形状。

六、总结椭圆作为一种几何形状，具有丰富的性质和广泛的应用。

本文介绍了椭圆的定义、性质、参数方程以及焦点与准线等内容。

椭圆在数学、物理、工程等领域中都有重要的应用，对于理解和解决相关问题具有重要意义。

希望本文能够帮助读者对椭圆有更深入的了解。

椭圆基础知识一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数(122a F F >)的点的轨迹叫做椭圆，即点集；1212M={P| |PF |+|PF |=2a},2a>||=2c F F这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（122a F F =时为线段12F F ，122a F F <无轨迹）。

第二定义：椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

2．椭圆方程： 标准方程：222c a b =-①焦点在x 轴上：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：22221x y b a+=（a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；一般方程：221x y m n += 或者221mx ny +=其中0,0,m n m n >>≠二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标- a x a -≤≤,纵坐标b y b -≤≤（2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标a x a -≤≤，纵坐标b y b -≤≤2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率（1）c e a= 范围：10<<e 22222221()c a b b e a a a -===-e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁； 小结一：基本元素（1） 基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量），特征三角形 可以根据a 、b 、c 中任意两个的比值求其它两个的比值（2）通径：过焦点垂直于长轴的弦，长度为22b a5．点与椭圆的位置关系 （1）点00(,)P x y 在椭圆),0(12222>>=+b a b y a x 的内部. 2200221x y a b ⇔+<（2）点00(,)P x y 在椭圆),0(12222>>=+b a by a x 的外部2200221x y a b ⇔+>题型：一求椭圆方程：1.定义法求轨迹方程：注意数形结合，分析图形平面特征2.待定系数法求方程不知焦点所在轴时，设一般式221mx ny +=与椭圆),0(12222>>=+b a b y a x 同焦点的椭圆方程为222221()x y b a b λλλ+=>-++ 与椭圆),0(12222>>=+b a b y a x 离心率相同的椭圆方程为22122x a y k b +=（10k >焦点在x轴上）或22222x ay k b +=（20k >焦点在y 轴上）二、焦点三角形问题：性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。

椭圆的基本定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述椭圆是几何学中一个重要的图形，具有许多独特的性质和应用。

它在数学、物理学、工程学等领域都扮演着重要的角色。

本文将深入探讨椭圆的基本定义、几何特征、数学表达及其在现实生活中的应用。

在几何学中，椭圆是一个闭合曲线，具有两个焦点和一个长轴短轴的特点。

椭圆可以用简单的数学表达式描述，如(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆的长短轴。

椭圆不仅在数学中被广泛研究，同时也被广泛应用于现实生活中。

例如，椭圆的形状在太阳系中的行星轨道、卫星轨道以及电子轨道中都有所体现。

此外，椭圆也被应用于卫星通信、椭圆锥曲面的建模等领域。

通过深入了解椭圆的定义与性质，我们可以更好地理解其在数学和科学领域的重要性，同时也可以展望椭圆在未来的进一步发展与应用。

在接下来的章节中，我们将对椭圆的几何定义、数学表达以及实际应用进行详细介绍，以深入探讨椭圆这一重要的几何图形。

1.2 文章结构文章结构包括引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要是对椭圆的基本概念做简要介绍，引导读者对文章的内容有一个整体的了解。

文章结构部分则是对整篇文章的框架进行概括和说明，让读者了解文章的组成部分和内容安排。

目的部分则是说明本文写作的目的和意义。

正文部分是文章的主体部分，包括椭圆的几何定义、数学表达和在现实生活中的应用等方面的内容，通过这些内容来详细介绍椭圆的基本定义和特性。

结论部分则对整篇文章进行总结，概括椭圆的基本定义，强调椭圆在数学和科学中的重要性，并展望椭圆的未来发展方向。

通过上述结构，读者可以清晰地了解文章的内容安排和逻辑脉络，帮助他们更好地理解和消化文章的内容。

1.3 目的本文旨在介绍椭圆的基本定义，深入探讨椭圆的几何特性和数学表达，以及探讨椭圆在现实生活中的应用。

通过对椭圆的深入研究，我们可以更好地理解椭圆的特点和性质，进一步探讨其在数学和科学领域中的重要性。

通过本文的阐述，读者可以更全面地了解椭圆这一重要的几何形状，深化对其在现实生活中广泛应用的认识，同时也可以为未来对椭圆相关问题的研究提供一定的参考和启发。

高中椭圆知识点高中椭圆知识点椭圆是一种常见的几何图形，它在高中数学中占据着重要的地位。

椭圆的性质和公式是我们学习椭圆的基础。

下面我们来详细了解一下高中椭圆的知识点。

1. 概念和性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，而常数称为离心率，离心率的范围是0到1之间。

椭圆的中点称为中心，中点到焦点的距离称为焦距，中点到椭圆上任意一点的距离称为半径。

椭圆有一些重要性质，如：- 椭圆的长轴是通过两个焦点和中心的连线，并且长度是两个焦点之间的距离的两倍。

- 椭圆的短轴是通过中心并且垂直于长轴的直线，并且长度是两焦点之间的距离的两倍。

- 椭圆的离心率小于1，离心率等于0时椭圆退化为一个圆。

2. 方程和参数表示椭圆可以通过方程和参数两种方式进行表示。

椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长短轴半径。

椭圆的参数方程为x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中θ是取值范围在0到2π之间的变量。

3. 单位圆和三角函数椭圆可以与单位圆进行联系，单位圆的方程为x^2 + y^2 = 1。

通过变换可以将椭圆的方程转化为单位圆的方程，并将椭圆上的点转化为单位圆上的点。

这样，椭圆上的点的坐标可以用三角函数的值来表示。

4. 轨迹问题椭圆的轨迹问题是椭圆的一个重要应用，可以解决一些实际问题。

例如，一个点在线段上移动，当这个线段的两个端点是椭圆上的两点时，这个点的轨迹就是椭圆。

利用这个性质，可以解决一些航天、工程等领域中的问题。

5. 椭圆和焦点直线的性质椭圆上的点到两个焦点所在直线的距离之和等于常数。

利用这个性质可以证明椭圆的对称性及其他性质。

以上就是高中椭圆的一些基本知识点。

掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解椭圆的性质和应用。

在解题过程中，可以根据已知条件，利用这些知识点进行推导和求解，从而得到满意的答案。