椭圆的定义及性质

椭圆的基本性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些特定的性质。

在本文中，我们将介绍椭圆的基本概念以及与它相关的一些重要性质。

1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆的形状可以用离心率来描述，当离心率小于1时，椭圆更加接近于一个圆形；当离心率等于1时，椭圆退化为一个特殊的圆；当离心率大于1时，椭圆的形状变得更加扁平。

2. 椭圆的中心与轴椭圆的中心是指位于椭圆的中心点，它同时也是椭圆的两个轴（主轴和次轴）的交点。

主轴是通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点重合的直线段；次轴是与主轴垂直，并通过椭圆的中心的直线段。

主轴的长度称为椭圆的长轴，次轴的长度称为椭圆的短轴。

3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是椭圆上到两个固定点的距离之和等于常数的点，它们位于椭圆的主轴上，并且与椭圆的中心对称。

准线是与主轴平行，并且通过椭圆的焦点的直线段。

4. 椭圆的半长轴与半短轴椭圆的半长轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条主轴上的一个顶点的距离，长度记为a。

半短轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条次轴上的一个顶点的距离，长度记为b。

椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b之间存在着如下关系：e = √(1 - b^2/a^2)。

5. 椭圆的周长与面积椭圆的周长可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：C =4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，是一个与椭圆离心率有关的特殊函数。

椭圆的面积可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：S = πab。

6. 椭圆的离心率与轨道的形状离心率可以帮助我们描述椭圆的形状，离心率越小，椭圆越接近于完美的圆形；离心率越大，椭圆越扁平。

在天文学中，行星的轨道通常是椭圆，其中太阳位于椭圆的一个焦点上。

例如，地球的轨道就是一个离心率接近于0.017的椭圆。

通过以上对椭圆的基本性质的介绍，我们对椭圆有了更深入的了解。

椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

椭圆的定义与性质椭圆是在平面上的一个几何图形，它的形状类似于一个椭圆形的椭圆。

椭圆由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。

椭圆的定义可以通过以下方式来描述：给定两个不重合的点F1和F2，以及一个正常数a，椭圆是平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于2a的所有点P的集合。

椭圆有许多有趣的性质。

首先，椭圆是一个闭合图形，它的形状在两个焦点F1和F2之间变化。

其次，椭圆的中点O是焦点F1和F2之间的中点，并且椭圆的长轴是连接这两个焦点的线段。

长轴的长度为2a，其中a为椭圆的半长径。

椭圆的短轴是与长轴垂直且通过中点O的线段，其长度为2b，其中b为椭圆的半短径。

椭圆的长轴和短轴之间的关系可以通过以下公式表示：长轴的长度的平方等于短轴的长度的平方加上焦距的长度的平方。

椭圆的形状也可以由离心率来描述。

离心率是一个衡量椭圆形状的参数，表示焦点之间的距离与半长径之间的比值。

离心率小于1的椭圆形状更加圆形，而离心率等于1的椭圆是一个特殊的圆，离心率大于1的椭圆形状更加扁平。

除了这些基本的定义和性质之外，椭圆还有许多其他的性质。

例如，椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这被称为椭圆的焦点性质。

椭圆还具有对称性，即关于长轴和短轴都有对称性。

椭圆还可以通过旋转的方式来得到新的椭圆，这被称为椭圆的旋转性质。

总结起来，椭圆是平面上的一个几何图形，由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。

椭圆具有闭合性、中点、长轴和短轴、离心率等基本性质。

此外，椭圆还有焦点性质、对称性和旋转性质等其他有趣的性质。

通过研究椭圆的定义和性质，我们可以更深入地理解和应用椭圆在数学和物理等领域中的重要性。

椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。

这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。

椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。

其中，a为椭圆的半长轴。

二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。

这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。

2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。

当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。

3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。

通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。

4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。

这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。

三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。

2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。

3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。

总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。

通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。

高二选修一椭圆的知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，作为高二学生选修的数学课程之一，椭圆的知识点对于学生的数学素养和理解力有着重要的影响。

本文将介绍高二选修一中涉及的椭圆的知识点。

一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个给定定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定定点分别称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆具有如下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且等于0时为圆。

2. 椭圆的中心即为焦点所连直线的垂直平分线的交点。

3. 椭圆的长半轴和短半轴分别是焦点所连直线的垂直平分线与椭圆的交点到焦点的距离。

4. 椭圆的顶点是和焦点在同一直线上的两个点。

二、椭圆的方程表达椭圆的方程表达有两种形式：标准方程和一般方程。

1. 标准方程椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F均为常数。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是将椭圆的坐标表示为参数θ的函数形式。

椭圆的参数方程为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数。

四、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是指离心率所决定的椭圆上两个特殊的点，位于椭圆的长轴上。

椭圆的直径是从椭圆上一点到椭圆的另一点的最长线段。

五、椭圆与切线椭圆上的任意一点处都存在切线。

椭圆的切线与椭圆的法线垂直。

六、椭圆的重要参数椭圆的重要参数包括离心率、焦距、短半轴、长半轴、准线等，这些参数可以通过椭圆的方程表达或者几何性质求解。

七、椭圆的应用椭圆在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。

例如，椭圆的形状可以模拟行星的轨道，从而研究天体运动；椭圆的形状也可以用来设计汽车、船舶和建筑物等工程项目。

椭圆的相关知识点第一篇：椭圆的基本概念和性质1.椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长（长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。

2.椭圆的方程椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为长半轴和短半轴的长度。

椭圆的一般方程为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为常数。

3.椭圆的对称性椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分别为横向和纵向）。

椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于圆心对称。

4.椭圆的几何性质椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=\piab$。

其中，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。

椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中点。

椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。

5.椭圆的应用椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中有广泛的应用。

例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的椭球形等等。

第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程1.椭圆的参数方程对于椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示为参数方程：$$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$\theta$ 为参数，表示$\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。

2.椭圆的焦点坐标椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短轴的长度。

椭圆定义及性质的应用一、椭圆的定义椭圆第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.★过点1F 作12PF F ∆的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222x y a +=.推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ，由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1F M 中点，212OQ F M ==()1212PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题）椭圆第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中2PF 称作焦半径，左、右准线公式2a x c=±..椭圆的焦半径公式为：1020,PF a ex PF a ex =+=-.推导过程：2200aPF ed e x a exc⎛⎫==-=-⎪⎝⎭；同理得10PF a ex=+.简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=＞＞的离心率为3，过右焦点F且斜率为(0)k k>的直线与C相交于,A B两点．若3AF FB=u u u r u u u r，则k=（）A.1 D.2B【解析】解法一：1122(,),(,)A x yB x y，∵3AF FB=u u u r u u u r，∴123y y=-，∵2e=，设2,a t c==，b t=，∴222440x y b+-=，直线AB方程为x my=.代入消去x，∴222(4)0m y b++-=，∴2121222,44by y y ym m+=-=-++，则2222222,344by ym m-=--=-++，解得212m=，则k= 0k>.解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11,AA BB垂直于l，11,A B为垂足，过B作BH垂直于1AA与H，设BF m=，由第二定义得，11,AF BFAA BBe e==，由3AF FB=u u u r u u u r，得13mAAe=,2mAHe=，4AB m=，则21cos42mAH eBAHAB m e∠====，则sin BAH∠=tan BAH∠=，则k=0k>.故选B.（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为6π的直线过椭圆)0(12222>>=+babyax的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3AF BF=，求椭圆的离心率.33【解析】解法一：,AF BF 为左焦点上的焦半径，所以过,A B 两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于11,A B 两点，从B 点作1BH AA ⊥.因为3AF BF =，设BF m =，则3AF m =，4AB m =，又因为11AF BF e AA BB ==，则1BF m BB e e ==,13m AA e =，所以2m AH e=，在ABH ∆中，6BAH π∠=，所以32AH AB =，解得33e =. 解法二：如图，设,3BF m AF m ==，则122,23BF a m AF a m =-=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222394(23)cos 62232m c a m m cπ+--==⨯⨯，化简得23326cm b am =-+①，222534(2)cos 6222m c a m m cπ+--=-=⨯⨯，化简得2322cm b am -=-+②，①＋②×3化简得，223b m a =，代入①解得3e =. 椭圆第三定义第三定义：在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-=-=⋅e a b k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PB PA -=⋅） 推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①，1221221=+by a x ②；由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==--+-为定值． 例1:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121-=⋅k k ，则椭圆的方程为 . 1422=+y x .【解析】解法一：(,)P x y ，11(,)M x y ，则11(,)N x y --，因为12222=+b y a x ，则)1(2222ax b y -=，)1(221221a x b y -=，则222212222211112222221111(1)(1)14x x b b y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a ----+-⋅=⋅===-=--+--.且42=a ，则椭圆方程为1422=+y x .解法二：由第三定义知4122-=-a b ，且42=a ，则则椭圆方程为1422=+y x .例2:已知椭圆)0(13422>>=+b a y x 的左右顶点分别为21,A A ，点P 在椭圆上，且直线2PA 的斜率的取值范围是]1,2[--，那么直线1PA 的斜率的取值范围是 .]43,83[.【解析】设1PA ，2PA 的斜率分别为21,k k ，则432221-=-=⋅a b k k ，又]1,2[2--∈k ，所以]43,83[1∈k . 二、椭圆的性质焦点三角形椭圆焦点三角形的边角关系：122F F c =， 122PF PF a +=，周长为22a c +.设12F PF θ∠=. （1）当点P 处于短轴的顶点处时，顶角θ最大；（2）221221cos b PF PF a θ⋅=≤+，当且仅当12PF PF =时取等号；（3）122tan2PF F S b θ∆=；（4）12112122PF F B F F S S c b bc ∆∆≤=⨯⨯=，当且仅当12PF PF =时取等号. 推导过程：（1）()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+， 当00x =时，cos θ有最小值2222a c a-，即12F PF θ∠=最大； （2）22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅，()221212122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ⋅=+-⋅-则有，21221cos b PF PF θ⋅=+，2221220max 2221cos 1cos 12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时θ取得最大值0θ，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）由（2）得12222212sin 2sin cos tan21cos 2222cos 2PF F b b S b θθθθθθ∆=⨯⋅=⋅=+. （离心率问题）例1.已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得145F BO ∠≥︒， 所以1FO OB ≥,即c b ≥,解得e ∈. 解法二：设(,)P x y ，由题意得椭圆C 上存在一点P ，使得12F P F P ⊥u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +-=，化简，得222x y c +=，与12222=+b y a x 联立，消去y 得2222222a c ab x a b -=-，由椭圆范围知220x a ≤<，即22222220a c a b a a b -≤<-，化简得222b c a ≤<，解得[2e ∈. 变式1：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ∠>︒，所以1FO OB >,即c b >,解得,1)2e ∈. 变式2：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（变式3：12120F PF ∠=︒），则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.1[,1)2【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得130F BO ∠≥︒，所以11sin sin 302c F BO a ∠=≥︒=，则1[,1)2e ∈.变式3：e ∈.（离心率问题）例2.已知12,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.e ∈【解析】22PF c =，22PF F H ≥，即22a c c c ≥-解得：e ∈. （焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆21221925F F y x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，求21PF F S ∆.33【解析】解法一：设12,,PF m PF n ==则有10m n +=，在21F PF ∆中由余弦定理得mn n m c -+==222644，则mn mn n m 31003)(642-=-+=，则12=mn ，则333sin 2121==∆πmn S PF F .解法二：122tan9tan26PF F S b θπ∆==⨯=（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 中心的直线与椭圆交于,A B 两点，右焦点为2(c,0)F ，则 2ABF ∆的最大面积为_________.bc 【解析】由题意得,A B 关于原点对称，则有212ABF AF F S S ∆∆=，故当A 位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc . （焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆22194x y +=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，（1）在椭圆上满足12PF PF ⊥的点P 的个数是？（2）12PF PF ⋅的最大值是？（3）12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是？【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆222x y c +=与椭圆的交点个数，由于52c b =>=，故有4个点.（2）解法一：设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，212()92m n PF PF mn +⋅=≤=，当且仅当m n =时取等号.解法二：由性质得2221220min 2221cos 1(cos )12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时取得最大值，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）如图所示，222x y c +=与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为00(,)P x y ，此时122F PF π∠=，设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，222420m n c +==，解得4,2m n ==（或2,4m n ==），由等面积法得0222y c mn ⨯=，则05y =，则由勾股定理得22200()c x y n -+=，解得05x =，则由对称性可知，点P 的横坐标的取值范围是3535(,)-. (焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值； （2）两边之差小于第三边.焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求； ★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：111AF PA PF AF -≤-≤.（三角形三边关系）★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：12122a AF PA PF a AF -≤+≤+.推导过程：连接11,,AP AF PF ，()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-由三角形三边关系得111AF PA PF AF -≤-≤，则有12122a AF PA PF a AF -≤+≤+（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.焦点弦经过椭圆焦点的弦是焦点弦.（1）焦点弦长可用弦长公式求22212121212211()41()4AB k x x x x y y y y k=++-=++-； *（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为θ，则有22222||=cos ab AB a c θ-. *（3）2211ba BF AF =+（F 为某一焦点）. （4）2ABF ∆的周长为4a .（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（ ）A.1B.2C.3D.2B 【解析】解答题解法：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =u u u r u u u r，∴ 123y y =-， ∵ 3e =，设2,3a t c t ==，b t =，∴ 222440x y b +-=，直线AB 方程为3x my b =+.代入消去x ，∴ 222(4)230m y mby b ++-=，∴ 21212223,4mb b y y y y m +=-=-+，则22222232,34mb b y y m -=--=-+，解得212m =，则2k =，0k >.中点弦AB 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的任意一弦，P 是AB 中点，则1222-=-=⋅e ab k k OPAB .证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y则()1202x x x+=，()1202y y y +=，()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭， ()()()()2121221212y y b x x x x a y y -+⇒=--+，由于()()1212AB y y k x x -=-，00OPy k x =，则 22AB OP b k k a⋅=-. 例1：过点(2,1)M 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点AB ，若点M 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】解答题步骤：解法一（点差法）：由题意得直线l 有斜率，设其斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，代入椭圆方程，有222211221,1169169x y x y +=+=，两式作差得()()()()12121212..0169x x x x y y y y +-+-+=，()()120120916y y y x x x -⨯=--，即19216k ⨯=-，则98k =-.则直线l 的方程为91(2)8y x -=-⨯-，即98260x y +-=. 解法二（代入法）：由题意得直线l 有斜率，设其直线方程为1(2)y k x -=-，得12y kx k =+-，代入221169x y +=得222(916)32(12)16(12)1440k x k k x k ++-+--=，则120232(12)24916k k x x x k -+=-==+，解得98k =-，则直线l 的方程为98260x y +-=.这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.切线及切点弦切线方程：（1）设),(00y x P 为圆222r y x =+上一点，则过该点的切线方程为：200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，则过该点的切线方程为：12020=+b y y a x x .切点弦方程：（1）设),(00y x P 是圆222r y x =+外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 是椭圆外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为1220=+byyaxx.例1：以422=+yx上的点)3,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(3-=-xky，则03=-+-kykx，则有2132=+-kk，解得33-=k，则切线方程为043=-+yx.解法二：点)3,1(P为切点，由公式得，切线方程为431=⨯+⨯yx，即043=-+yx.例2：以13422=+yx上的点)23,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(23-=-xky，代入13422=+yx，化简得3124)23(4)43(222=--+-++kkxkkxk，则有0)3124)(43(4)23(162222=--+--=∆kkkkk，解得21-=k，则切线方程为042=-+yx.解法二：点)23,1(P为切点，由公式得，切线方程为132341=⨯+⨯yx，即042=-+yx.★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.推导过程：设2,aM yc⎛⎫⎪⎝⎭，则AB的方程为2221ax y yca b+=，即021y yxc b+=必过点(),0c.★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.光学性质★椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.★椭圆上一个点P 的两条焦半径12,PF PF 的夹角12F PF ∠被椭圆在点P 处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）已知：如图，椭圆C的方程为22221x y a b +=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.证明：在2222:1x y C a b+=上，00(,)P x y C ∈， 则过点P 的切线方程为：00221x x y y a b+=，'l 是通过点 P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a-=-， ∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c D x a， ∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a=+=-，∴201220||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||||||F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线， ∴αβ=，∵90ααββ''+=︒=+，故可得αβαβ''=⇔=.例1. 已知椭圆方程为1162522=+y x ，若有光束自焦点(3,0)A 射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为,B C ，如图所示，则ABC D 的周长为 .20【解析】：∵椭圆方程为1162522=+y x 中，225169c =-=， ∴(3,0)A 为该椭圆的一个焦点，∴自(3,0)A 射出的光线AB 反射后，反射光线BC 定过另一个焦点(3,0)A ¢-，故ABC D 的周长为：''44520AB BA A C CA a +++==⨯=.。

有关椭圆的所有知识点
1. 椭圆的定义：椭圆是一种特殊的抛物线，它是二维平面上的曲线，其中两条轴的长度不相等，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
2. 椭圆的性质：
（1）椭圆的对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的中心点是两个对称轴的交点；
（3）椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b，椭圆的面积为S=πab；
（4）椭圆的边界是一个抛物线，称为椭圆弧，可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，
y=b\sin t$$
3. 椭圆的标准方程：
（1）椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（2）椭圆的中心在原点时，标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（3）椭圆的中心在(h,k)处时，标准方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$$
4. 椭圆的对称性：
（1）椭圆是一种具有对称性的曲线，其对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，y=b\sin t$$
（3）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数，它可以表示椭圆的形状，它的定义是：椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比，即：$$e=\frac{a-b}{a}$$。

椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。

1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。

长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。

（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。

（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。

二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。

离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。

2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。

2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。

根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。

2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。

焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。

2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

椭圆的定义与性质探究椭圆是数学中一种重要的几何图形，具有独特的定义和性质。

本文将对椭圆进行深入的探究，包括椭圆的定义、性质及其在实际生活中的应用。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化成一个点，当离心率为1时，椭圆退化成一条线段。

二、椭圆的性质1. 离心径：椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于常数，这个常数称为离心径。

椭圆的离心径长度等于长轴的长度。

2. 长轴和短轴：椭圆的两个焦点的连线称为椭圆的长轴，长轴的中点称为椭圆的中心。

长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，长轴和短轴的两倍称为椭圆的主轴。

3. 焦半径和引线：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离分别称为焦半径，而椭圆上的任意一条直线与焦点的连线相交，且平分焦半径，称为引线。

4. 离心角：椭圆上任意一点的离心角等于该点的切线与长轴之间的夹角。

5. 第一焦点定理：椭圆上任意一点的焦半径之和等于该点到两个焦点的距离。

6. 第二焦点定理：椭圆上的任意一条切线与连结焦点的两条引线之和相等。

三、椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用。

以下是其中的几个例子：1. 天体轨道：行星、卫星等天体的轨道往往呈椭圆形状，椭圆的性质帮助科学家研究天体的运动规律。

2. 抛物线天线：抛物线天线是一种应用了椭圆的特性的天线，其形状使得抛物面成为抛物线，从而实现更强的信号聚集效果。

3. 建筑设计：在建筑设计中，椭圆形状常用于设计建筑物的地面、门廊和窗户，赋予建筑物一种独特的美感。

4. 运动轨迹：体育项目中，例如足球、篮球的运动轨迹在空中表现出的是一个抛物线，而当球员的移动是椭圆的路径时，也能够帮助球员更好地调整位置。

四、总结椭圆是一种具有独特性质的几何图形，其定义、性质及应用都具有广泛的意义和价值。

通过深入了解和探究椭圆，我们可以更好地理解并运用它在各个领域中的特性。

椭圆的定义与性质椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状，它与圆形有着密切的关系。

本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。

一、定义椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。

具体而言，对于一个给定的点F（焦点）和一条给定的长度2a（长轴），满足到该点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质（即FP1 + FP2 = 2a）的所有点的集合就是椭圆。

二、性质1. 椭圆的长短轴在定义中提到了长轴，那么自然会有短轴的概念。

椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，而短轴则是与长轴垂直，并且通过椭圆中心O的线段。

长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴，短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。

2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的性质，它可以帮助我们了解椭圆的形状。

离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c是焦距。

当离心率小于1时，我们可以得到一个完整的椭圆。

当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个圆。

当离心率等于1时，我们则可以得到一个特殊的椭圆，也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。

3. 椭圆的焦点性质椭圆有一个独特的性质：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即FP1 + FP2 = 2a。

这一性质也可以用来定义椭圆。

4. 椭圆的几何形状在平面上，椭圆呈现出一种特殊的形状。

与圆相比，椭圆的形状更加扁平。

椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。

5. 椭圆的焦平面性质椭圆与焦平面有着特殊的关系。

如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q，并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线，那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。

这个点就是椭圆的焦点平面上的点。

6. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程也是我们在研究椭圆性质时常用的一种表示方法。

一般而言，我们可以使用参数t或θ来表示椭圆上的点的坐标。

通过参数方程，可以更加方便地描述椭圆上的点的位置。

结语：椭圆作为几何学中的一种重要形状，具有独特的定义和性质。

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念以及一些相关的性质。

一、椭圆的定义与特点椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离的总和等于常数2a （长轴）的点P的轨迹组成。

根据定义，椭圆上的任意点到焦点F和焦点到点到点P的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个参数b，称为短轴。

这两个参数构成了椭圆的两个辅助直径。

椭圆的中心是离焦点F和点P等距离的点O。

长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中2a>2b。

两个焦点F与F'关于中心O对称。

椭圆有一些特殊的性质：1. 椭圆上的任意点P到焦点的距离之和等于2a。

2. 椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的数，定义为焦点到椭圆的中心的距离与长轴的一半的比值。

离心率决定了椭圆形状的“瘦胖程度”。

当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一个线段。

3. 椭圆的面积等于πab，其中π是圆周率。

二、椭圆的方程与坐标表示椭圆的方程可以通过焦点和离心率进行表示。

一般形式的椭圆方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别表示长轴和短轴的长度。

椭圆的中心位于原点(0,0)处。

椭圆还可以通过参数方程进行表示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。

三、椭圆的性质1. 焦点定理：椭圆上的任意点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a。

2. 切线性质：椭圆上的任意点P处的切线斜率等于y/x的导数值，即m = (dy/dx) = -b^2 / a^2 * (x / y)。

3. 点到椭圆的距离：点(x1, y1)到椭圆(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1的距离为d = sqrt[(x1^2/a^2) + (y1^2/b^2) - 1]。

4. 对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。

5. 垂直角性质：椭圆上的任意点P处，直线PF1和PF2的夹角相等于直线PL1和PL2的夹角。

椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1）第一定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距.(２）第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(０<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点Ｆ叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点F相应的准线,根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程ｘ2a2+y2b2=1(a>b>0)＼f（ｙ2,a2)＋＼f(x2，b2）=1(a>b>0）图形性质范围－ａ≤x≤a -ｂ≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 顶点A１(－a,0），Ａ2(a，0) A1(０,-a)，A2（０,a)B1(0,－ｂ),B２(0,ｂ）B1(－b,0)，B2（b,0) 焦点F1(-ｃ，0) Ｆ２(c,０) Ｆ1（0，-ｃ) F２(0,c）准线ｌ１:x=－错误!ｌ２：x=错误!ｌ1：y=-错误!ｌ2：y＝错误!轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为２b焦距F１Ｆ2=2c离心率ｅ=错误!,且ｅ∈（０,1)a,b,c的关系c2=a２-b2对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点１．(夯基释疑）判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)动点P到两定点A（－2，0),B(2,０）的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为２ａ+２c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距）.( )（3)椭圆的离心率ｅ越大，椭圆就越圆．( )(４)已知点F 为平面内的一个定点,直线l 为平面内的一条定直线．设ｄ为平面内一动点Ｐ到定直线l 的距离，若d =错误!｜ＰF |,则点P 的轨迹为椭圆．( )[解析] (１)错误,|P A |+|ＰB |=|A Ｂ|＝4，点P 的轨迹为线段AB ；（2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1+PF２=２a ，F 1F 2=２c ,故△PF 1Ｆ2的周长为2a ＋2c ；(３)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确,根据椭圆的第二定义.［答案］ (1)× （2）√ (3)× (4)√2．(教材习题改编）焦点在x 轴上的椭圆＼f(x 2,5）+错误!=1的离心率为错误!，则m ＝_＿______．[解析] 由题设知a 2=5,ｂ2=m ,c ２=５-ｍ，ｅ2＝错误!＝错误!=（错误!)2＝错误!,∴５-ｍ＝2，∴ｍ=３.[答案] 3３．椭圆的焦点坐标为(０，－6),(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为２0，则椭圆的标准方程为__＿__.[解析] 椭圆的焦点在ｙ轴上，且c ＝６,２a =２0，∴ａ=10,b 2=ａ２－c ２=６４,故椭圆方程为x 264＋y 210０＝1. [答案] 错误!+错误!＝1 4.(２０14·无锡质检)椭圆ｘ24＋＼f(y ２，3)＝１的左焦点为F ,直线x ＝ｍ与椭圆相交于点Ａ,Ｂ,当△F ＡB 的周长最大时,△F ＡB 的面积是______＿_.[解析] 直线ｘ＝m 过右焦点（1,0）时，△F AB 的周长最大,由椭圆定义知，其周长为４a ＝8, 此时，|AB ｜＝2×b 2a＝错误!＝3，∴S △F AB =错误!×2×3＝3.[答案] 3５.(201４·江西高考)过点M （１,1)作斜率为－错误!的直线与椭圆C ：错误!+错误!=1(a >ｂ>０）相交于A ,B 两点，若Ｍ是线段AB 的中点，则椭圆Ｃ的离心率等于＿_＿_____．[解析] 设A (x １，y 1),B (x 2，y 2),则错误!∴错误!＋错误!＝０,∴y 1-y 2ｘ１－x 2＝-ｂ2a2·＼f(x 1＋x 2,ｙ１+y 2). ∵y 1-y 2x 1-ｘ2=－＼f （1,2),x 1+x 2＝2，ｙ1＋y 2＝2，∴-b ２ａ2＝-错误!， ∴a 2＝2b 2.又∵b ２＝a 2－ｃ2，∴a ２=2(a 2-c 2），∴a ２=2c 2，∴＼f （c ，a )=错误!.[答案] 错误!考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1)(201４·全国大纲卷改编)已知椭圆C：错误!+错误!＝1（a>b＞０）的左、右焦点为Ｆ１、F２，离心率为＼ｆ(3,３),过F2的直线ｌ交C于A、B两点．若△AF１Ｂ的周长为４＼r(3),则C的方程为___＿____.(2)(20１4·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4,则该椭圆的方程为＿___＿___.[解析](1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝4错误!，∴a＝错误!.∵e＝错误!＝错误!,c２＋b2＝a2,∴c=1，b=错误!．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１.(2)∵椭圆的一条准线为ｘ=-4，∴焦点在x轴上且错误!=4，又2c=4,∴c=2，∴a２=8,b2＝4，∴该椭圆方程为错误!+错误!=１.[答案] (1）错误!＋错误!＝1 (２)错误!+错误!＝１,【规律方法】(1）一般地,解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决.（2）求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义，确定ａ２，b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax２＋Bｙ2=1(A>0，B＞0，A≠B).【变式训练1】(1)（20１３·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(１,0)，离心率等于＼ｆ(1,2),则C的方程是___＿___＿.(２）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!＋错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ2,且｜Ｆ1F2|＝８，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点Ｆ1,则△ＡBＦ２的周长为___＿____．[解析] (1)右焦点F(１,０),则椭圆的焦点在ｘ轴上；c=１.又离心率为ca=＼f(1，2)，故a=2,b２＝a2-c2＝4－1＝３，故椭圆的方程为ｘ24+＼f(y２，3)=1.(2）∵a＞5,∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F１F２|＝8,∴c=4,∴a2＝２５＋ｃ2＝41，则a＝＼r(41). 由椭圆定义,|AF1|+|ＡF2|＝|ＢF2|＋|BＦ1|＝2a,∴△ABF2的周长为4a=441.[答案] (１)错误!+错误!＝１(２）4错误!考向2椭圆的几何性质【典例２】(1）（2013·江苏高考)在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆Ｃ的标准方程为x2ａ２+ｙ2b2＝1(ａ>b＞０),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B．设原点到直线BF的距离为d1，Ｆ到ｌ的距离为d2,若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为_____＿__．（2)(2014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点,点Ｐ在椭圆上,且满足|PＦ１|＝2|ＰF2|，∠PF１Ｆ2＝30°，则椭圆的离心率为___＿＿___．［解析］(１）依题意，d2=错误!-c=错误!.又ＢＦ=错误!=ａ,所以ｄ1=错误!．由已知可得错误!＝＼r(6)·＼f(bc,ａ）,所以＼ｒ（6)c２＝ab，即6ｃ4=a2（a2－ｃ２），整理可得a2=3c２,所以离心率ｅ=＼f(ｃ，ａ)＝＼f(3,3）.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF２F1=1，即∠PF２F１=错误!，设｜PF2|＝1,则|ＰF1|=２，|F2F１|＝3,∴离心率ｅ=错误!=错误!. [答案］(1）错误!(2)错误!,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF１|＋|PF2|=2a，得到a，c的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法：（１)求出a，ｃ,代入公式e=错误!；(2)只需要根据一个条件得到关于ａ,b，c的齐次式,结合ｂ2＝a2-c2转化为a，c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以ａ或a２转化为关于ｅ的方程(不等式),解方程（不等式)即可得e(e的取值范围)．【变式训练2】（1)(２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左、右焦点分别为F1,Ｆ２,P是C上的点，PF２⊥F1Ｆ2，∠PF1Ｆ２＝30°，则C的离心率为____＿___．(2)（２014·徐州一中抽测)已知F１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点,∠F１PF2=６0°.则椭圆离心率的范围为________.［解析］（1)如图,在Rｔ△PＦ1Ｆ2中,∠ＰF1F2＝3０°,∴｜ＰF1|=2|ＰF2|,且|ＰF２|＝错误!｜F1F2|，又|ＰF1|＋|PF2｜＝2a，∴｜PF２｜=＼f（2,3）a，于是|F1Ｆ２｜＝错误!a,因此离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）法一:设椭圆方程为错误!+错误!＝1(a＞b>0)，｜PＦ1|＝m,｜PＦ2|=n,则ｍ＋n＝2ａ.在△PF1F２中,由余弦定理可知，4ｃ２=ｍ2＋n2－2ｍn cos 60°＝（ｍ＋ｎ）2－3mn=4a2－3mn≥4a2－3·错误!２＝4a２－3a2=ａ2(当且仅当ｍ=n时取等号)．∴错误!≥错误!，即e≥错误!.又０<e<1，∴e的取值范围是错误!.法二：如图所示,设Ｏ是椭圆的中心,A 是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F １ＰＦ2＝60°，则只需满足60°≤∠Ｆ1AF 2即可,又△F 1AF 2是等腰三角形，且｜ＡＦ1|＝|AF 2|，所以0°<∠F １Ｆ2A ≤６０°,所以１２≤cos ∠F 1Ｆ2A ＜1，又ｅ＝c ｏs ∠F 1Ｆ2A ,所以e 的取值范围是错误!． ［答案] （1)错误! （2)错误! 课堂达标练习 一、填空题1．在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F １，F 2在x 轴上，离心率为错误!.过Ｆ1的直线l 交Ｃ于A ，B 两点，且△AB Ｆ2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__＿___＿＿.［解析］ 设椭圆方程为x 2a ２+＼f （ｙ2,b ２）=1（a >b >0)，由ｅ=错误!知错误!=错误!,故错误!=错误!.由于△AB Ｆ2的周长为|AB |+|ＢF 2|＋｜AF 2｜＝(|AF 1｜＋｜AF 2|)+(|BF １|+｜BF ２|)=4a =1６，故a =4.∴b 2＝８. ∴椭圆Ｃ的方程为错误!＋错误!=１．[答案］ 错误!＋错误!＝12.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!＋错误!=1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，Ａ是椭圆与x 轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与y 轴正半轴的交点,且A Ｂ∥O Ｐ(O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是__＿＿＿＿__.[解析] 设P (-ｃ，ｙ0)代入椭圆方程求得ｙ０,从而求得k ＯP ,由ｋOP ＝k A Ｂ及ｅ＝＼f(c ，ａ)可得离心率e ． 由题意设Ｐ(－c ,y ０)，将P (-c ,ｙ０)代入＼ｆ（x 2,ａ2)＋错误!=1,得错误!＋错误!=１，则ｙ错误!=b 2错误!＝b 2·错误!=错误!.∴y 0=错误!或y 0=-错误!(舍去),∴P 错误!，∴k OP ＝－错误!．∵Ａ(a,0），B (0，ｂ),∴k AB ＝b －00-ａ＝－错误!. 又∵AB ∥ＯP ，∴ｋAB =k OP ，∴-错误!＝-错误!,∴ｂ=ｃ.∴e ＝＼f(c,a )=＼f （c,b 2＋ｃ２）=错误!＝错误!. [答案] 错误!3.(20１4·辽宁高考）已知椭圆C :错误!＋错误!=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|ＡN |＋｜ＢN |＝＿__＿＿___.［解析] 椭圆错误!＋错误!=1中，a =3. 如图,设MN 的中点为D ,则|ＤF 1|+|D Ｆ２|=２a =６．∵D ，Ｆ１,F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN ｜＝2|ＤF 2|，｜ＡN ｜=2｜D Ｆ1|, ∴|ＡN |+|BN ｜=2(|DF 1|+｜D Ｆ2|)＝12． ［答案] 124．（２01４·南京调研)如图,已知过椭圆错误!＋错误!＝1(a >b ＞0）的左顶点A (－a ，0)作直线ｌ交y 轴于点Ｐ,交椭圆于点Q ，若△AO Ｐ是等腰三角形,且错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为______＿_．[解析] ∵△AO Ｐ为等腰三角形,∴O Ａ=O Ｐ，故A (-a,0)，Ｐ(0,a ),又错误!=2错误!,∴Q 错误!,由Ｑ在椭圆上得错误!＋错误!=１，解得错误!=错误!. ∴e =错误!=错误!＝错误!. [答案] 错误!5.(2０14·南京质检)已知焦点在ｘ轴上的椭圆的离心率为错误!,且它的长轴长等于圆Ｃ:x ２+y 2-2x -1５=0的半径，则椭圆的标准方程是__＿___＿_.[解析] 由x 2＋y 2-2x －15＝0，知r ＝４=2a ⇒a =2． 又e =＼ｆ(c,a )=＼ｆ(１，2)，c =1，则ｂ2=a ２－c 2=３.因此椭圆的标准方程为＼f （x 2,4）＋错误!=1. [答案］ 错误!＋错误!=1６．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C :x 2a ２+y 2ｂ2＝１(a >b >０)的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于Ａ，B 两点,连接AF ,B Ｆ.若|AB ｜＝1０，|B Ｆ|=8，cos ∠AB Ｆ＝＼f(４,5），则椭圆Ｃ的离心率为__＿___＿___.[解析] 在△ABF 中,由余弦定理得 ，|AF |2=|ＡB |2+｜BF |2－２|A Ｂ|·|BF |c ｏs ∠ABF ，∴|ＡＦ|2＝100+64－128=3６，∴|AF |＝６，从而｜AB |2＝|AF |２＋|BF |2，则AF ⊥ＢF . ∴c =|ＯF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性,设F ′为右焦点，则|BF ′|=|ＡF ｜=６, ∴2ａ＝｜B Ｆ|＋|BF ′｜=14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝错误!=错误!． ［答案] 错误! 7.已知F 1，F 2是椭圆C :ｘ2a 2＋＼ｆ(y 2，b ２)＝1（a ＞b >0）的两个焦点,P 为椭圆Ｃ上的一点，且＼ｏ(ＰF １，→）⊥错误!.若△PF 1F 2的面积为９，则b ＝__＿_＿＿_＿．[解析］ 由定义，｜PF 1|+｜ＰF 2｜＝２ａ，且错误!⊥错误!, ∴|P Ｆ1｜2＋|ＰF 2|2＝|F 1F ２|２＝４c 2，∴(|ＰF 1|＋|P Ｆ2｜)２-２｜PF 1|｜PF ２｜=4c ２，∴2|ＰF １|｜PF 2|＝4a 2-4c 2＝４b ２,∴|PF 1｜|PF ２|＝2b 2. ∴Ｓ△PF 1F 2＝＼f （1,2)｜PF 1｜|PF 2|=1２×2b 2＝9，因此b =3. [答案] ３8．(２0１3·大纲全国卷改编）已知F １(-1,０)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于ｘ轴的直线交Ｃ于A ，B 两点,且|AB ｜＝３,则C 的方程为___＿＿_＿_.［解析］ 依题意,设椭圆Ｃ：错误!＋错误!=1(a ＞ｂ>0)．过点F ２(1,０）且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长｜AB |＝3, ∴点Ａ错误!必在椭圆上, ∴错误!＋错误!=1.① 又由c =1,得１+b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2=4.故所求椭圆C 的方程为ｘ２4＋＼f （y 2,3)=1． [答案］ ＼f(x 2,4)+错误!＝1二、解答题９．(2014·镇江质检)已知椭圆C １：错误!+y 2＝1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程;（２）设Ｏ为坐标原点，点Ａ，B 分别在椭圆Ｃ1和C 2上,错误!=2错误!,求直线ＡB 的方程．[解] （1）设椭圆C 2的方程为错误!＋错误!=１(a >2), 其离心率为错误!, 故错误!＝错误!，解得a ＝4.故椭圆Ｃ2的方程为＼f(y ２,１6）＋错误!=1.(2)法一:A ，B 两点的坐标分别记为(x A ,ｙA )，(x Ｂ,ｙB )，由错误!＝2错误!及(1)知，O 、Ａ、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线A Ｂ的方程为y =kx . 将ｙ=ｋx 代入错误!＋y 2＝1中，得（１+4ｋ2）ｘ2=4， 所以ｘ错误!＝错误!. 将y =kx 代入＼ｆ（y 2,1６)＋错误!＝1中,得（４＋k 2)x 2＝16，所以x 错误!=错误!. 又由错误!＝2错误!,得x 错误!＝4x 错误!， 即错误!=错误!, 解得k =±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－ｘ. 法二:A ,Ｂ两点的坐标分别记为（ｘＡ，y A ),(x B ,ｙB )，由错误!=2错误!及(1)知,O 、Ａ、Ｂ三点共线且点A 、B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入＼f(ｘ2,４）＋y 2=1中，得（1+4k 2)x 2=４,所以ｘ２，A =４１＋4ｋ2. 由错误!＝2错误!，得x错误!＝错误!，y 错误!=错误!.将x2B,y错误!代入错误!＋错误!=1中,得错误!=１，即４＋k2＝１+4ｋ２，解得k＝±1.故直线AB的方程为y=x或ｙ＝-x.1０.(2０14·安徽高考）设F1,Ｆ2分别是椭圆E：＼ｆ(ｘ2,a2)+错误!=1(ａ>b＞0)的左、右焦点，过点Ｆ1的直线交椭圆E于A,B两点，|AF１｜=3|F１B|．(1）若|AB|=4，△AＢＦ2的周长为１6,求|AF2|;(2）若ｃos∠AF２B＝错误!，求椭圆Ｅ的离心率.[解]（1）由｜ＡF１|=3｜F1Ｂ|,｜ＡB|=4，得|ＡF1|＝3,|F１Ｂ|=1.因为△ＡBＦ2的周长为16，所以由椭圆定义可得４a=1６，|AF１|＋|ＡF2|=2ａ=8.故|AＦ2|＝２a－|AF1|=8－3＝5．(2)设|F1B|＝k,则k>0且｜ＡF1|=3k,|ＡＢ｜=4ｋ．由椭圆定义可得|AF2|＝２a-3k,|ＢＦ2｜=2a-k.在△ABＦ２中,由余弦定理可得|AＢ｜２=|AF2｜２+｜BF2｜２－2｜ＡＦ2|·|BF２|ｃos∠ＡＦ2Ｂ，即(４ｋ)2＝(2a-3k)2+(２a-ｋ）2－＼f(6,5）(２ａ－３k)·（2a-k)，化简可得(a+k)(a-３ｋ)＝0.而a+k>0，故ａ＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|=５k．因此|BF2｜2=|F２Ａ|2＋|AＢ｜２，可得F１A⊥F２A，故△AF1Ｆ2为等腰直角三角形．从而ｃ=＼f（＼r(2),2)a,所以椭圆E的离心率e=错误!=错误!.椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1）第一定义：平面内与两个定点Ｆ1,F２的距离之和等于（大于|F1F２|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个叫做椭圆的焦点,两个的距离叫做焦距.(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( <e<)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点Ｆ相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!=1（a＞ｂ>0)错误!+错误!=1(ａ>b>0)图形性质范围≤x≤≤ｙ≤≤x≤≤y≤顶点A1( ）, A2( ) A1(), A2（）B1( )，Ｂ2( ) B１（),B2（）焦点F1() F2() F1（)F2()准线l1:x＝-a2c l2:x＝＼f(a2,c) l1：y＝－错误!l２:ｙ=错误!轴长轴Ａ1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1Ａ2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F２=离心率e＝＼f(c,a），且e∈a,b,c的关系c２=对称性对称轴：对称中心:1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)动点Ｐ到两定点Ａ(-2，0)，B(2,0)的距离之和为４,则点P的轨迹是椭圆．（)(2)椭圆上一点Ｐ与两焦点Ｆ1，F2构成△ＰＦ1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)．()(３)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．（)(4)已知点F为平面内的一个定点，直线ｌ为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l的距离,若d＝错误!|PＦ｜，则点P的轨迹为椭圆．（)2.(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!＝1的离心率为错误!,则m＝_＿______.3.椭圆的焦点坐标为(0,-6),（０，６)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20,则椭圆的标准方程为_____. 4．（201４·无锡质检)椭圆错误!+错误!=1的左焦点为F，直线ｘ=m与椭圆相交于点A，Ｂ，当△F AB的周长最大时，△F AB的面积是_＿___＿_＿．5.(2０１4·江西高考）过点M(1,１)作斜率为－１２的直线与椭圆C：错误!+错误!＝1(a>b>0)相交于A,Ｂ两点,若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于____＿___.考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1）(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：＼f(ｘ2，a２)＋错误!＝1(a>ｂ>0）的左、右焦点为F1、F２,离心率为错误!，过F2的直线l交C于Ａ、B两点．若△ＡF１Ｂ的周长为4错误!,则Ｃ的方程为______＿_.(２)（2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为４,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为_＿__＿__＿.【规律方法】（1）一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义,确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出ａ，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２+Ｂｙ2＝1(Ａ>0，B>０,A≠Ｂ)．【变式训练1】(1)（２013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0),离心率等于＼f(1,2)，则Ｃ的方程是＿_______.（2）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ２，且｜F１Ｆ2|＝8，弦AＢ（椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△AＢF2的周长为＿_＿____＿.考向２椭圆的几何性质【典例２】（１）(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xＯｙ中，椭圆Ｃ的标准方程为错误!＋错误!＝１(a>b>0),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线ＢF的距离为ｄ1，F到l的距离为d2，若ｄ2=６d1,则椭圆Ｃ的离心率为＿___＿_＿_．（2)(２014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足｜PF１|＝2|PＦ2|，∠PF1F２＝３0°,则椭圆的离心率为________.【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|ＰF1|＋|PF2|=2a，得到a,c的关系．2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围），常见有两种方法:(1)求出a，c,代入公式e＝错误!;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b，c的齐次式，结合b２＝a２-ｃ2转化为ａ,ｃ的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或ａ２转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围).【变式训练2】（1）（２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋错误!=1(ａ＞b>0)的左、右焦点分别为Ｆ1,F2，P是Ｃ上的点,PF2⊥F1Ｆ２，∠ＰＦ1Ｆ２=30°,则C的离心率为＿__＿__＿＿．（2)(2０14·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，Ｐ为椭圆上一点，∠F１ＰF2=60°.则椭圆离心率的范围为＿_______．课堂达标练习一、填空题１.在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆Ｃ的中心为原点,焦点Ｆ1，F 2在ｘ轴上，离心率为＼f(＼ｒ(2)，２).过F 1的直线ｌ交C 于A ，B 两点，且△ＡBF 2的周长为1６，那么椭圆Ｃ的方程为_＿_＿____．2.（２0１3·四川高考改编）从椭圆错误!＋错误!＝1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点Ｆ1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且ＡB ∥OP (Ｏ是坐标原点),则该椭圆的离心率是______＿＿．３．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋错误!=１,点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在Ｃ上,则|ＡN |＋|B Ｎ｜=_____＿__.4.(2014·南京调研）如图,已知过椭圆错误!+错误!＝1(a >ｂ>0)的左顶点A （-a,０)作直线ｌ交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△ＡOP 是等腰三角形，且错误!＝2错误!,则椭圆的离心率为___＿____.5.(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为＼f(1，2），且它的长轴长等于圆C ：x 2+y 2－2x -15=0的半径，则椭圆的标准方程是＿__＿____.６．（2013·辽宁高考改编)已知椭圆Ｃ:错误!+错误!＝１(a >ｂ＞0）的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接ＡF ,ＢF .若|ＡB |=10,|BF |=8,cos ∠ABF ＝错误!,则椭圆C 的离心率为__＿_______．７.已知F １,Ｆ2是椭圆C ：错误!+错误!＝１(a >b >0）的两个焦点，Ｐ为椭圆Ｃ上的一点,且错误!⊥错误!.若△P Ｆ1Ｆ2的面积为9，则b =_＿______.8.（2013·大纲全国卷改编)已知F 1(-1,0)，F 2(１,0)是椭圆C 的两个焦点,过F ２且垂直于ｘ轴的直线交C 于Ａ，B 两点,且｜A Ｂ|=3，则C 的方程为___＿＿_＿_.二、解答题9.（2０14·镇江质检)已知椭圆C １:x 24＋y 2=1，椭圆Ｃ２以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率． （１）求椭圆C ２的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,Ｂ分别在椭圆C １和C 2上，错误!=2错误!,求直线AB 的方程．1０.(２014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E:错误!＋错误!＝１(ａ>b>0)的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆Ｅ于A,B两点，|AＦ1|=3|F1Ｂ|．(1)若|ＡB|=4，△ABＦ2的周长为16，求|ＡF2|;(２）若cos∠AＦ2B=错误!，求椭圆E的离心率.。

椭圆的基本性质与应用椭圆是一种常见的几何图形，它具有许多基本性质和广泛的应用。

本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨椭圆在不同领域的应用。

1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可由一个平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合来定义。

这两个定点称为焦点，记为F1和F2。

椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。

椭圆的中心为焦点连线的中点O，称为圆心。

椭圆的长轴为焦点连线的长度2a，短轴为焦点连线垂直中分线的长度2b。

椭圆的离心率e定义为焦点连线长度的一半与短轴长度的比值，即e=a/b。

椭圆具有以下基本性质：- 对称性：椭圆相对于它的长轴和短轴具有对称性。

- 焦半径定理：椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于长轴长度（2a）。

- 焦点定理：椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这个性质可以用来定义椭圆。

- 内切圆和外切圆：椭圆的内切圆与椭圆的外切圆均与椭圆的长轴和短轴相切。

2. 椭圆的应用椭圆具有广泛的应用，下面我们将介绍椭圆在不同领域的一些应用。

- 物理学：在天体力学中，行星和卫星的运动轨迹常常被建模为椭圆。

椭圆轨道方程可以帮助科学家预测和计算行星和卫星的运动。

- 通信领域：在卫星通信和无线通信中，天线的辐射范围通常被建模为一个椭圆。

这有助于工程师设计和优化无线通信系统的覆盖范围和传输效果。

- 光学：椭圆曲线具有特殊的反射性质，因此在镜面技术中得到广泛应用，如天文望远镜、车辆的后视镜和照明灯的反射面等。

- 地理学：椭圆经纬线也被广泛用于精确测量地球表面上的位置，如GPS定位系统和地图制作中的坐标系统。

总结：椭圆是一种重要且常见的几何图形，它具有许多基本性质和广泛的应用。

椭圆的性质和特点可以帮助我们理解和分析许多自然和人造系统的运动和行为。

通过了解椭圆的定义、基本性质和应用，我们可以更好地应用它们在实际问题中进行计算和建模。

椭圆在天体力学、通信领域、光学和地理学等不同领域中都发挥着重要的作用，对实际应用具有重要的指导意义。

椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

即PF1+PF2=2a。

其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。

椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。

椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。

2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。

离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。

一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。

其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。

4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。

5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。

c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。

d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。

6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。

7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。

标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。

8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。

因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).（2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于例3 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程知识点二（知椭圆的简单几何性质） 【知识梳理】由椭圆方程12222=+by a x () 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)一、范围: 从标准方程得出122≤a x ,122≤by ,即有a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． 二、对称性:把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可0>>b a以看出它的范围，对称的截距三、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆12222=+by a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. 四、离心率:概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：ace =⇒2)(1a b e -= 范围：10<<e考察椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，五、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率六、椭圆的准线方程：1、对于12222=+by a x ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=2、对于12222=+bx a y ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=3、准线的位置关系：c a a x 2<≤七、焦点到准线的距离 cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦准距）八、椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e是离心率推导方法：,||11e MF r =e MF r =||22⇒00211)(||ex a x c a e MF e r +=+==，00222)(||ex a x ca e MF e r -=-==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （ 其中12 F F 、分别是椭圆的下上焦点） 注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加【例题精讲】例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。