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第九讲椭圆的定义与性质高考要求⑴了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．⑵掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．⑷了解圆锥曲线的简单应用．⑸理解数形结合的思想．⑹了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识精讲（一）知识内容1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：⑴范围：，；⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．（二）典例分析【例1】⑴经过点，的椭圆的标准方程是；⑵焦点的坐标分别为和，且过点的椭圆的方程．⑶已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．【变式1】设是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程．【例2】⑴椭圆和一定具有（）A．相同的离心率 B．相同的焦点C．相同的顶点 D．相同的长轴长⑵已知椭圆的中心在原点，长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是____________．⑶若椭圆的离心率为，则．【变式2】⑴点为椭圆上一点，以点以及焦点，为顶点的三角形的面积为，则点的坐标是____ __．⑵已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．⑶（08江苏）在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆．若过点作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为．【例3】⑴已知，，是椭圆上一点，则的最大值为________．⑵（2009上海）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为，则．【变式3】（2006四川）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则．【例4】已知点是椭圆上到直线：的距离最小的点，则点的坐标为_________．【变式4】设为椭圆短轴上的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值【例5】椭圆的左、右焦点分别为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是_______．【变式5】设椭圆：的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使，试求该椭圆的离心率的取值范围．【例6】解方程：．【例7】椭圆的弦被点所平分，求此弦所在的直线方程．【例8】椭圆中心是坐标原点，焦点在轴上，，过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，，且，求此椭圆的方程．【例9】如图，椭圆上的点与椭圆右焦点的连线与轴垂直，且（是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线平行．⑴求椭圆的离心率；⑵是椭圆的左焦点，是椭圆上的任一点，证明：；⑶过且与垂直的直线交椭圆于、，若的面积是，求此时椭圆的方程及的长．【例10】（2007广东高考）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．⑴求圆的方程；⑵试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【例11】（2008朝阳高三期末）设动点的坐标为（），且动点到定点，的距离之和为．⑴求动点的轨迹的方程；⑵过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．【例12】过椭圆：上一点引圆：的两条切线、，切点为、，直线与轴、轴分别相交于、两点⑴设，且，求直线的方程；⑵若椭圆的短轴长为，且，求此椭圆的方程；⑶试问椭圆上是否存在满足的点，说明理由．【变式6】已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有．⑴求椭圆的方程；⑵设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值．家庭作业习题1. （08浙江）已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则=________．习题2. 若椭圆的离心率为，则的值等于．习题3. 设为椭圆的两个焦点，在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．习题4. 设椭圆：的左焦点为，上顶点为，过点作垂直于的直线交椭圆于另外一点，交轴正半轴于点，且⑴求椭圆的离心率；⑵若过、、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程．月测备选习题1. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率（）A． B． C． D．习题2. （2009丰台区一模）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则．习题3. 已知椭圆上一点，、为椭圆的两个焦点，且，求椭圆的方程．习题4. 已知是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．⑴求椭圆的方程．⑵椭圆上任一动点关于直线的对称点为，求的取值范围．。
