2017年春季新版浙教版七年级数学下学期2.3、解二元一次方程组课件4

（来自《典中点》）
解方程组时，要根据方程组的特点，选择合适
的解法： (1)当方程组中存在一个方程的某一个未知数系数的 绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用 代入法；
(2)当两个方程中某一个未知数系数的绝对值相等或
成整数倍关系时，一般用加减法．
1.必做: 完成教材P55-P57目标与评定T7-T10
第 2章
二元一次方程组
2.3
解二元一次方程组
第 3 课时
解二元一次
方程组
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
解较复杂的二元一次方程组 解特殊的二元一次方程组
2
课堂 小结
作业 提升
我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一 道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十 四足，问鸡兔各几 何？你能解决这个
问题吗？
③－②，得26x＝156，解得x＝6. 把x＝6代入①，得y＝6. x＝6， 所以原方程组的解是 y＝6.
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
每个二元一次方程组均可采用代入法和加减法求解， 但是在解题中我们应根据方程组的特点灵活选用最恰 当的方法，使计算过程简单．一般地，当化简后的方
程组存在一个方程的某个未知数系数的绝对值是1或有
一个方程的常数项是0时，用代入法；当两个方程中的 某一个未知数系数的绝对值相等或成倍数关系时，用 加减法．
（来自《点拨》）
x＋2 y ＝1， 3 1 解方程组 时需要先化简，化简的 2 x＋5 y ＝1 5
结果是( )
知1－练
x＝3－2 y， A. 2 x＋5 y＝5?
知1－讲
知识点
1
解较复杂的二元一次方程组

所以方程的两边同时乘以或除以相同的数（式） （不为0），方程的解不变。
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤： 1. 变形
选取一个方程，将它变形成用一个未知数 表示另一个未知数，记作方程③。
2. 代替
把③代入另一个方程，得到一个一元一次方 程并解这个方程，得出一个未知数的值。
xy

3 2
再动例手4
解方程组
3x-2y=11 2x+3y=16
① ②
解：由①×3得，9x－6y＝33 ③
由②×2得，4x＋6y＝32 ④ ③＋④，得，13x＝65
∴x＝5 把x＝5代入①，得3×5－2y＝11 解得y＝2
方程组的解为xy＝ ＝２ ５
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
(3)已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数
求：m+n的值 解：根据题意,得
3m+2n-16=0
3m-n-1=0
m=2 解得：
n=5
即：m+n=7
拓展与提高：
解下列二元一次方程组：
x 1、 2
y
9
y 3
3 x y 2 x y 2
2、 x y x y 4
7x-2y=3 ①
6x-5y=3 ①
1、
2、
9x+2y=-19 ②
6x+y=-15 ②
｛ 3、 3x +2y =13 ① 3x -2y =5 ②
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ①

说说用代入法解二元一次方程组的一般步骤吗?
①将方程组中一个方程变形，使得一个未知数能 用含有另一个未知数的代数式表示；
②用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数， 得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
③把这个未知数的值代入代数式(回代) ，求得另一 个未知数的值；
x y 35 2x 4y 94
这节课你有什么收获呢？
1.消元实质
消元
二元一次方程组
一元一次方程
代入法
2.代入法的一般步骤
即: 变形 代替 回代 写解
3.学会检验，能灵活运用适当方法解二元 一次方程组.
课题检测
• 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次 方程的是（ ） A．3x－ 2y=4z B．6xy+9=0 C．1x+4y=6 D ．4x=24y
2x+10=200
①为什么可以代入？
x=95
②怎样代入？
∴y=x+10 =95+10
这1个苹果的质量 x加上10g的砝码恰好
=105
与这1个梨的质量y相
即 : 苹 果 和 梨 的 质 量 等，即x+10与y的大小
分别为95g和105g. 相等(等量代换).
代入消元法，简称代入法.
例1
解方程组
2
x
ax
b
x
by ay
11 2
的一组解是
x y
2
1
，
求a、b的值.
｛ ｛ x=2
x=1
3. 已知
和
是方程
y=5
y=10
ax+by=15的两个解，求a,b的值.
试一试
4、已知（2x+3y-4）2+∣x+3y-7∣=0, 则x= -3 ，y= — 130 .

上面方程组的基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
上面解方程组的基本思路仍然是“消元”。
解方程组 3x-2y=11 ① （用加减法解） 2x+3y=16 ②
分析:先通过方程的变形,使得某个未知数的系数的绝对值相同, 就可以把两个方程的两边相加或相减来消元
解: ①×3,得9x-6y=33
③
②×2,得4x+6y=32 ④ ③+④,得 13x=65
通过两个方程的两边相加（减）消去一个未知数。 这种解二元一次方程的方法叫做加减消元法，简称 加减法。
2s 3t 2 ① 2s 6t 1②
解:①-②,得9t=3 t 1
3
把 t1代①入 ，2s得 312
3
3
s
Байду номын сангаас
1
2
方程组的解是
s t
1 2 1 3
做一做：解方程组 5m 2n 7 3m 2n 9
4、当a为何时，关 x, y于 的方程组 xx2yy963a有正整数解。
5、已知关于 x, y的方程组2axxb3yy42和 4axxb5yy27的解相同 ,请求出a,b的值。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3

由 ①得：y = 7 –x. ③
把③代入②得：
3x +7-x= 17.
解得 x = 5.
把x =5代入③，得
y = 2.
∴
x = 5， y = 2.
2、 解方程组 解： 2x -7y = 8， ①
3x-y -10= 0. ②
由
①得：x =
4+
7 2
y.
③
把③代入②得：
3(4+
7 2
y)
-8y-10=
1
.
4
x
3， 2
所以原方程的解是
y
-1. 4
解方程组：
5x - 2 y 4， 2x 3 y -5.
① ②
解：①×3，得 15x-6y＝12.
③
②×2，得 4x-6y＝-10. ④
③-④，得 11x=22. x=2.
将x=2代入①，得 5×2-2y＝4.
y＝3.
x 2，
所以原方程的解是
解：y –x = 6000×20% ①
y = 4x
②
把②代入①得: 4x–x = 6000×20% 3x = 1200
x = 400
把x=400代入②，得: y= 4x = 4×400 = 1600
∴
x = 400 y = 1600
练习题 解方程组
x 2y 5 x 3y 8
4x 3y 14
4 .
54） 5=
6 5
.
解方程组：
x +y = 12， ① 2x +y = 20. ②
解：由 ①得：y = 12 –x. ③
把③代入②得：
2x +12-x= 20. 解这个一元一次方程，得

浙教版数学 七年级下
2.2 二元一次方程组
学习目标
1.了解二元一次方程组的概念； 2.理解二元一次方程组的解的概念；
课前回顾
二元一次方程
1.二元一次方程：含有 两个未知数 ，且未知数的项的 次数都是一次的方程.
2.二元一次方程的解：使二元一次方程 两边的值相等的 一对 未知数的值 ，叫做二元一
次方程的 一个解 .
一元一次方程与二元一次方程的相同点与不同点：
方程
一元一次方程 二元一次方程
不同点
相同点
未知个数 含有未知数项 数1个 的次数1次
未知个数 含有未知数项
数2个
的次数1次
整式 方程
(1)已知方程 x+y=200,填写下表:
x … 85 90 9955 100 105 …
y … 115 110 110055 100 95 …
4.
若
x＝1，
2 是方程组
y＝1
ax－y＝1， 2x＋by＝2 的解，求
ab 的值．
解：把 x＝1，y＝1 代入方程组，得
2
12a－1＝1，① 2×1＋b×1＝2.②
2
由①，得 a＝4.由②，得 b＝1，所以 ab＝41＝4.
【点悟】利用方程组解的意义，将原方程转化为关于a，b的二元一次
方程组，再求解，数学概念是数学的基础与出发点，当面临条件甚少的问 题时，“回到定义中去”，用数学概念解题是常用方法．
A．同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．适合方程①的x，y的值是方程组的解 C．适合方程②有x，y的值是方程组的解 D．适合方程①或方程②的x，y的值，一定是方程组的解
5x＋2y＝4，① 3．已知满足二元一次方程组 3x－2y＝4② 的

x ＝ b ， 是 则 ab 的值为________． y＝1
【解析】
x ＝ b ， x＋y＝3， 把 代入 y＝1 2x－ay＝5，
b＋1＝3，① 得 由①，得 b＝2． 2 b － a ＝ 5. ②
把 b＝2 代入②，得 4－a＝5，∴a＝－1． ∴ab＝(－1)2＝1．
学 习 指 要
知识要点
1．二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两 个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．
2．二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各 个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解．
重要提示
1 ． 二 元 一次 方 程 组的 概 念 并不 要 求 每个 方 程 都是 二 元 的 ， 如
【答案】 1
【例 3】 某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每 组 7 人，则余下 3 人；若每组 8 人，则少 5 人，求课 外小组的人数和应分成的组数．
【解析】 利用课外小组总人数不变的等量关系列出方程组．设课 外小组的人数为 x，应分成的组数为
x＝7y＋3， y，由题意，得 x＝8y－5.
知 识 结 构
重 点 回 顾
专题一 二元一次方程(组)的有关概念
1．二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都 是一次的方程． 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的一对未知 数的值． 2．二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数 的方程组． 二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的 解． 3．二元一次方程的解与二元一次方程组的解有何区别？ 一个二元一次方程一般有无数个解，而二元一次方程组一般只 有一组解．
【解析】
－x＋y＝4，① 即 x＋y＝－6.②

2、只要你勤于思考、多动脑动手，一 我懂得了…… 定会有重要的发现和收获。
我还……
布置作业:
数学书上 P99—P100 A、B
1.解二元一次方程组
x+1=2(y-1)
①
3(x+1)=5(y-1) ②
可将(x+1)、(y-1)看作一个整体求解。 〖分析〗 解: 把①代入② 得 把③代入① 得:
3×2(y-1)= 5(y-1) + 4 6(y-1) =5(y-1)+4
x 2 y 5 0 x y 1 0
4 x 3 7 y 3
(x+y)2=
121 9
已知x=m+1,y=m-1满足方程3x-y+m=0.
由此你可以知道什么？
1.解二元一次方程组的基本思路:
一元 消元: 二元 我知道了 数学中的转化思想能使问题从难到易，不会 我学会了…… 到会的过程。
二元一次方程组解法复习课
第一轮
1、含有两个未知数且未知数的次数是一次 的方程叫做二元一次方程。 适合一个二元一次方程的一对未知数的值,叫 做这个二元一次方程的一个解.
2、如果方程组中含有两个未知数，且含有 未知 数的项的次数都是一次，这样的方程组 叫做二元一 次方程组。 一般地，在二元一次方程组中，使每个方程都适 合的解（公共解），叫做这个二元一次方程组的解。
3、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元 4、用代入法解方程主要步骤：
一元
变
代
解 写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
5.加减消元法解方程组主要步骤：

110 m (1)甲、乙两组平均每天各掘进多少米? (2)为加快工程进度,甲、乙两组改进施工技术,在剩余 的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进1.7 m,乙组 平均每天能比原来多掘进1.3 m.按此施工进度,甲、乙 两组能够比原来提前多少天完成任务?
累死我 了！
哼，我从你背上拿来 1个，我的包裹数就
5
现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产
这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且
比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的
. 期限是几天？
分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，
依题意，得
150 y
4 5
x
解得
200 y 1 x 25
x 3375
y
18
3
A
B
C
五、货运问题
例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有 甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方 米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘 船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？
分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货 物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的 容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则
二元一次方程组求解
2020.5.5
1 概念梳理
1.二元一次方程:含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做~
2.二元一次方程的解集:适合二元一次方程的一-组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解; 由这个二元一次方程的所有解组成的集合叫做这个二元一次方 程的解集
3.二元一次方程组:由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组
是你的2倍！

ห้องสมุดไป่ตู้
x=____3_._5__. 把解得的x的值代入①，得 y=____-1_._5__.
，解得
∴原方程组的解是_____________.
提炼概念
对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数 是互为相反数或相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相 减来消元，转化为一元一 次方程求解. 这种解二元一次方程组
的方法叫做加减消元法，简称加减法.
典例精讲 解：
S的系数的绝对值相等， 直接加减消元.
分析：不论x和y的系数的绝对值都不相等，只能通 过方程的变形，使得某个未知数的系数的绝对值相 同.这样，可以把两个方程的两边相加或相减来消元.
6为2和3的 •解：①×3，得9x-6y=33最. 小公倍数③.
②×2，得4x+6y=32.
通过两式相加（减）消去一个未知数。 这种解二元一次方程的方法叫做加减消元法，简称加减法.
观察方程组中的两个方程，未知数y的系数相反.把两个 方程两边分别相加，就可以消去未知数y，同样得到一个一 元一次方程.
请完成这个方程组的求解过程（填空）：
将方程①②的左右两边分别相加，得__2_x_=_7_ (依据：等_式__的__性__质_)解得
x＝2， ∴原方程组的解是 y＝3.
【点悟】当未知数的系数没有相同的，则应将两个方程同 时变形，同时选择系数绝对值比较小的未知数消元．
课堂总结
加减消元法 定义：通过将方程组中的两个方程的两边相加或相减来消 元，转化为一元一次方程求解，这种解二元一次方程组的方法叫 做加减消元法． 步骤：(1)将其中一个未知数的系数化为相同的数(或互为相 反数)； (2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次 方程；

将二元一次方程变形成为指定的形式：
x+2y=10 0 ①用含有x的式子表示y:
②用含有y的式子表示x:
活动探究
解：对于该方程组的而言，相同字母表示同一未知数 ∴将②带入①时，即 x+y = 200 y= x+10 ∴得到方程：x+x+10=200
活动探究
解： 对于该方程组的而言，y表示同一个同一未知数
2y-x = 7 x= 3y-1
解得x= -19 . -19 -6
小结
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
(1)变形：将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数 能用含有另一个未知数的代数式表示；
(2)代替：用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数， 得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值;
(3)回代：把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未 知数的值；
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)变形：将方程组中某一未知数的系数变为相等或相反． (2)加减：用加减消去一个未知数，得一个一元一次方程． (3)求解：解一元一次方程，得到一个未知数的值． (4)回代：将未知数的值带入原方程，求另一未知数的值． (5)写出解．
巩固提升
D
巩固提升
A
巩固提升 3.用代入消元法解下列方程组：
怎样解下面的二元一次方程组呢？ 把②变形得 x 5 y 11 ,代入①，
2
不就消去x了!
5y和－5y互为 相反数……
把②变形得5y＝2x＋11, 可以直接代入①呀！
按小丽的思路，你能消去一个未知数吗?
讲授新课
解二元一次方程组的方法二：
对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的 系数是互为相反数或相同时，可以通过把两个方程的两边 相加或相减来消元，转化为一元一 次方程求解. 这种解

∴x=7
∴原方程组的解为
x=7 y=5
解下列二元一次方程组
⑵ 3x+2y=13① x - 2y = 5 ②
〖分析〗 可将2y看作一个数来求解.
解:由②得:
2y = x – 5 ③
把③代入① 得: 3x + (x – 5) = 13
4x = 18 ∴ x = 4.5
把x = 4.5代入③ 得:
2y = 4.5 – 5 = – 0.5
6x-5y=3 6x+y=-15
判断：指出下列方程组求解过程中 有错误步骤，并给予订正
7x－4y＝4 ①
3x－4y＝14 ①
5x－4y＝－4 ② 解:①－②，得
2x＝4－4，
5x＋4y＝2 ② 解 ①－②，得
－2x＝12
x＝0
x ＝－6
解: ①－②，得 2x＝4＋4， x＝4
解: ①＋②，得 8x＝16 x ＝2
例2、解:方程组
2x – 7y = 8
①
3x - 8y – 10 = 0 ②
解: 由①，得 2x = 8+7y
即 x 87y ③ 2
把③代入②，得
3×( 8+7y )－8y－10 = 0 2
∴ 12 21 y 8y 10 0 2
∴ y4 5
对了!可由方程①用一 个未知数的代数式表 示另一未知数，再代
用加减法解方程组
（1）
3x+2y=9① 2x 3y 10
3x-5y=2②（2）5x 4 y 2
（3）
2s+5t=
1 2
3s-5t= 1
① ②
3
练习：用加减法解下列方程组：
1
3xx56yy64