世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(五十五) 10.2

课时提升作业(四)函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A到B的映射的是( )A.f:x→y=18x B.f:x→y=14xC.f:x→y=12x D.f:x→y=x【解析】选D.按照对应关系f:x→y=x,对集合A中某些元素(如x=8),集合B中不存在元素与之对应.选项A,B,C都符合题意.2.(2015·某某模拟)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则RM为( )A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选D.由1-x2≥0得-1≤x≤1,故RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).3.(2015·模拟)下列四组函数中,表示同一函数的是( )2xB.f(x)=lg x2,g(x)=2lg xC.f(x)=2x1x1--,g(x)=x+1x1+x1-2x1-【解析】选A.A中2x=|x|,两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数; B中的两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;C中,f(x)=2x1x1--=x+1(x≠1),与g(x)=x+1两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;D中,f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),所以不是同一函数.4.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=x2,x0,x1,x0.⎧>⎨+≤⎩若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件,故选A.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选 A.方法一:由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a≤0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3.故选A.方法二:验证法,把a=-3代入得f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【加固训练】若函数f(x)=则f(f(10))= ( )A.lg101B.2C.1D.0【解析】选B.f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.(2015·某某模拟)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( )A.2x+1B.2x-1C.2x-3D.2x+7【解析】选B.g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,令t=x+2,则g(t)=2t-1,故g(x)=2x-1.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,液体的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.(2015·某某模拟)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为c ,x A,x f(x)c ,x A A⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.因为组装第A 件产品用时15分钟,所以c A=15,① 所以必有4<A,且c c 24==30.② 联立①②解得c=60,A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=x 1x++ln(2-x)的定义域为. 【解析】由已知得x 10,x 0,2x 0,+≥⎧⎪≠⎨⎪->⎩解得-1≤x<2且x ≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,2).答案:[-1,0)∪(0,2)9.设函数f(x)满足f(x)=1+flog 2x,则f(2)=. 【解析】由已知得f=1-f ·log 22,则f =,则f(x)=1+·log 2x,故f(2)=1+·log 22=.答案:10.(2015·某某模拟)若f(x)=x 221+ +sin x,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+ f(2)=. 【解析】因为f(x)=x 221++sin x, 所以f(-x)=x 221-+-sin x=x x 2221⨯+-sin x, 故f(x)+f(-x)=2,则有f(2)+f(-2)=2,f(1)+f(-1)=2,而f(0)=0221++sin 0=1, 所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5.答案:5(20分钟 40分) 1.(5分)(2015·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x 2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 【解析】选 C.由x 2+1=1得x=0,由x 2+1=3得x=±2,所以函数的定义域可以是2222故值域为{1,3}的同族函数共有3个.【加固训练】具有性质:f(1x )=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ①f(x)=x-1x ;②f(x)=x+1x; ③f(x)=x,0x 1,0,x 1,1,x 1x⎧⎪<<⎪=⎨⎪⎪->⎩满足“倒负”交换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【解析】选B.①f(1x )=1x -x=-f(x),满足. ②f(1x )=1x+x=f(x),不满足. ③0<x<1时,f(1x)=-x=-f(x),x=1时,f(1x)=0=-f(x), x>1时,f(1x )=1x =-f(x),满足. 2.(5分)(2015·某某模拟)若f(x)=x 5,x 6,f(x 2),x 6,-≥⎧⎨+<⎩则f(3)为( ) A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选A.f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.3.(5分)设函数f(x)=2(x 1),x 1,4x 1,x 1,⎧+<⎪⎨--≥⎪⎩则使得f(x)≥1的自变量x 的取值X 围是.【解析】f(x)≥1等价于2x 1,(x 1)1<⎧⎨+≥⎩或x 1,4x 11,≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩由2x 1,(x 1)1<⎧⎨+≥⎩得x ≤-2或0≤x<1. 由x 1,4x 11≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩得1≤x ≤10. 综上所述,x 的取值X 围是x ≤-2或0≤x ≤10.答案:x ≤-2或0≤x ≤104.(12分)(2015·某某模拟)设函数f(x)=x ax b,x 0,2,x 0,+<⎧⎨≥⎩且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解析式.(2)画出f(x)的图象.【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得2a b 3,a b 2,-+=⎧⎨-+=⎩解得a=-1,b=1,所以f(x)=x x 1,x 0,2,x 0.-+<⎧⎨≥⎩ (2)f(x)的图象如图:5.(13分)(能力挑战题)若函数f(x)=22x 1.x 1-+ (1)求f(2)1f()2的值. (2)求f(3)+f(4)+…+f(2 015)+f(13)+f(14)+…+f(12 015)的值. 【解析】(1)因为f(x)=222x 121,x 1x 1-=-++ 所以2221f(2)211.12f()112()12-+==--+ (2)由f(x)=1-22x 1+得,f(1x )=22222x 11,1x 1()1x-=-++所以,两式两边分别相加,得f(x)+f(1x )=0,所以,f(3)+f(4)+…+f(2 015)+ f(13)+f(14)+…+f(12 015)=0× 2 013=0.。

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课时提升作业(十一)函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)的一个零点所在的区间是( )1.函数f(x)=ln(x+1)-2xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选 B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)-2的定义域为(-1,0)∪(0,+≦),x结合四个选项可知,f(x)在(0,+≦)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-2的一个零点所在的区间是(1,2).x2.(2015·天津模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+∞)【解析】选 A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=1,a>0,再根据2f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).x+2的零点个数为( )3.(2015·合肥模拟)函数f(x)=log2x-12A.0B.1C.3D.2【解析】选D.转化为判断y=log 2x 与y=12x-2两函数图象的交点的个数,作图象如下:图象有两个交点,因此函数零点个数为2个.4.(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x 2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}7【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R 上的奇函数,求出函数在R 上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数的零点就是方程的解,问题得以解决.【解析】选D.由f(x)是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时,f(x)=x 2-3x,所以f(x)=22x 3x,x 0,x 3x,x 0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩所以g(x)=22x 4x 3,x 0,x 4x 3,x 0.⎧-+≥⎪⎨--+<⎪⎩由2x 0,x 4x 30≥⎧⎨-+=⎩解得x 1=3,x 2=1,由2x 0,x 4x 30<⎧⎨--+=⎩解得故选D.5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】选B.依据零点的意义,转化为函数y=x分别和y=-2x的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得x1<0<x2<1<x3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.【解析】由已知条件得2a+b=0,即b=-2a,),g(x)=-2ax2-ax=-2ax(x+12则g(x)的零点是x=0,x=-1.2答案:0,-127.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为.【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x )内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+≦)内有且仅有在区间(0,12 015一个零点.根据对称性可知函数在(-≦,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.答案:38.若二次函数f(x)=x2-2ax+4在(1,+∞)内有两个零点,则实数a的取值范围为.【解析】据二次函数图象应满足:即解得2<a<.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:方法一:运用根与系数的关系.设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根,则有x 1+x2=2a,x1x2=4. ①要使原方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1,则需满足将①代入上述不等式组中,解之,得2<a<.方法二:运用求根公式.方程x2-2ax+4=0的两根为x1,2==a〒;且Δ>0,得a>2或a<-2.要使两根均大于1,只需小根a->1即可,解之得2<a<.答案:【加固训练】若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为.【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.所以Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.答案:0或-三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4〓(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用.【加固训练】是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.【解析】因为Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9+>0,所以若存在实数a满足条件, 则只需f(-1)〃f(3)≤0即可.f(-1)〃f(3)=(1-3a+2+a-1)〃(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.综上所述,a的取值范围是∪(1,+≦).10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】因为f(x)=4x+m〃2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m〃2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,m=〒2,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015·长沙模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )A.11(,)42B.(1,2)C.1(,1)2D.(2,3)【解析】选C.由图象可知0b1,a b10,a 01,2⎧⎪<<⎪++=⎨⎪⎪<-<⎩故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1),所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点为函数y=ln x与函数y=-f′(x)=-2x-a交点的横坐标,分析两函数图象得函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是1(,1)2.2.(5分)(2015·石家庄模拟)设函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0,⎧-+≥⎨+<⎩若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )A.2026(,]33B.2026(,)33C.11(,6]3D.11(,6)3【解析】选D.函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0⎧-+≥⎨+<⎩的图象如图,不妨设x1<x2<x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,且x1满足-73<x1<0,则x 1+x 2+x 3的取值范围是-73+6<x 1+x 2+x 3<0+6,即x 1+x 2+x 3∈11(,6)3.3.(5分)(2015·成都模拟)已知f(x)=-2|2|x|-1|+1和g(x)=x 2-2|x|+m(m ∈R)是定义在R 上的两个函数,则下列命题: ①函数f(x)的图象关于直线x=0对称;②关于x 的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k ∈(0,1); ③关于x 的方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根的充要条件是m ∈[0,1]; ④若∃x 1∈[-1,1],∃x 2∈[-1,1],f(x 1)<g(x 2)成立,则m ∈(-1,+∞). 其中正确的命题有 (写出所有正确命题的序号).【解析】因为f(x)=-2|2|x|-1|+1为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,故①正确;作出f(x)=-2|2|x|-1|+1的图象,如图所示,可知,关于x 的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k ∈(-1,1),故②错误;在同一坐标系中作出f(x)=-2|2|x|-1|+1和y=x 2-2|x|的图象,由图象可知当m ∈7(1,)4-时方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根,故③错;由题可知,只需当x ∈[-1,1]时,f(x)min <g(x)max 即可.易得f(x)min =-1,g(x)max =m,所以m ∈(-1,+≦),所以④正确.答案:①④【加固训练】(2015·南充模拟)已知函数f(x)=(](]x 1,1,1x 2,x 1,3,⎧∈-⎪⎨--∈⎪⎩其中m>0,且函数f(x)满足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5个根,则实数m 的取值范围是 .【解题提示】根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=x 3与第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据Δ可求得m 的范围.【解析】因为当x ∈(-1,1]时,将函数化为方程x 2+22y m=1(y ≥0),所以实质上为一个半椭圆,同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]时的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,如图,由图易知直线y=x 3与第二个半椭圆(x-4)2+22y m=1(y ≥0)相交,而与第三个半椭圆(x-8)2+22y m=1(y ≥0)无公共点时,方程恰有5个实数根,将y=x 3代入(x-4)2+22y m=1(y ≥0)得,(9m 2+1)x 2-72m 2x+135m 2=0,令t=9m 2(t>0),则(t+1)x 2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-4〓15t(t+1)>0,得t>15,由9m 2>15,且m>0得同样由y=x 3与第三个半椭圆(x-8)2+22y m=1(y ≥0)联立所得方程Δ<0可计算得综上可知m∈(3.答案:4.(12分)(2014·郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-≦,0)时,-x∈(0,+≦).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=22x2x,x0,x2x,x0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩(2)当x∈[0,+≦)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-≦,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).(x>0).5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+2ex(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.≥【解析】(1)因为x>0时g(x)=x+2ex等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+≦),因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.所以m的取值范围是[2e,+≦).【一题多解】本题(1)还可以采用如下解法:(x>0)的大致图象如图:作出g(x)=x+2ex可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.所以m的取值范围是[2e,+≦).(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,(x>0)的大致图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所作出g(x)=x+2ex以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+≦).关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(五十二)用样本估计总体(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则有( ) A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【解析】选D.把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,中位16,17,17,17,其平均数a=110=15,众数c=17,则a<b<c.数b=151522.若一个样本容量为8的样本的平均数为5,方差为2.现样本中又加入一个新数据5,此时样本容量为9,平均数为x,方差为s2,则( )A.x=5,s2<2B.x=5,s2>2C.x>5,s2<2D.x>5,s2>2(x1+x2+…+x8)=5,【解析】选A.设18所以1(x1+x2+…+x8+5)=5,9所以x=5,由方差定义及意义可知加新数据5后,样本数据取值的稳定性比原来强,所以s2<2.【加固训练】 (2014·嘉峪关模拟)样本a 1,a2,a3,…,a10的平均数为,样本b1,b2,…,b10的平均数为,那么样本a1,b1,a2,b2,a3,b3,…,a10,b10的平均数是( )A.+B.12(+)C.2(+)D.1(+)10【解析】选B.因为样本a 1,a2,a3,…,a10的平均数为,样本b1,b2,…,b10的平均数为,所以样本a1,b1,a2,b2,a3,b3,…,a10,b10的平均数是3.(2015·汕头模拟)如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图,若80分以上为优秀,根据图形信息可知:这次考试的优秀率为( )A.25%B.30%C.35%D.40%【解析】选B.80分以上的频率为(0.025+0.005)×10=0.3.4.为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响,某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量,结果如下(单位:个):33,25,28,26,25,31.如果该班有45名学生,那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋( )A.900个B.1080个C.1260个D.1800个+++++=28个,据此可【解析】选C.由已知抽样数据可得平均数为3325282625316以估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋的数量约为28×45=1260个.故选C. 5.(2013·福建高考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A.588B.480C.450D.120【解析】选B.不少于60分的频率为(0.030+0.025+0.015+0.010)×10=0.8,所以所求学生人数为0.8×600=480(人).【加固训练】为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别为( )A.0.27,78B.0.27,83C.2.7,78D.2.7,83【解析】选A.由题意,4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27,后6组的频数成等差数列,设公差为d,则有6×0.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,解得d=-0.05,然后可求得4.6到5.0之间的频率为0.27+0.22+0.17+0.12=0.78,所以学生数为100×0.78=78.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·武汉模拟)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].则(1)图中的x= .(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,则该校600名新生中估计有名学生可以申请住宿.【解题提示】x等于该组的频率除以组距20.【解析】由频率分布直方图知20x=1-20×(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得x=0.0125.上学时间不少于1小时的学生频率为0.12,因此估计有0.12×600=72(名)学生可以申请住宿.答案:(1)0.0125(2)727.(2015·海口模拟)某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生的体重(kg)数据进行整理后分成五组,并绘制频率分布直方图(如图),根据一般标准,高三男生的体重超过65kg属于偏胖,低于55kg属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05,第四小组的频数为100,则该校高三年级的男生中体重正常的人数为.【解析】由题意得第二小组的频率为1-(0.25+0.20+0.10+0.05)=0.40,所以体重正常的频率为0.40+0.20=0.60,又由第四小组的频数和频率可得高三男生的总人数为1000,所以体重正常的男生人数为1000×0.60=600.答案:6008.甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位:℃)用茎叶图记录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是,气温波动较大的城市是.++⨯++=16,乙【解析】根据茎叶图可知,甲城市上半年的平均气温为91317218226+++++=19,故两城市中平均气温较高的城市上半年的平均气温为1214172024276城市是乙.观察茎叶图可知,甲城市的气温更加集中在峰值附近,故乙城市的气温波动较大.答案:乙乙三、解答题(每小题10分,共20分)9.某青年歌手大奖赛有5名歌手参赛,共邀请6名评委现场打分,得分统计如表:比赛规则:从6位评委打分中去掉一个最高分,去掉一个最低分,根据剩余4位评委打分算出平均分作为该歌手的最终得分.(1)根据最终得分,确定5位歌手的名次.(2)若对评委水平的评价指标规定为:计算他对每位歌手打分中最高分、最低分出现次数的和,和越小则评判水平越高,请以此为标准,对6位评委评判水平进行评价,以便确定下次聘请其中的4位评委.【解析】(1)歌手1去掉最高分9.19和一个最低分9.08,最后平均分为9.15. 歌手2去掉最高分9.02和一个最低分8.89,最后平均分为8.95.歌手3去掉最高分9.17和一个最低分8.80,最后平均分为9.00.歌手4去掉最高分9.03和一个最低分8.80,最后平均分为8.90.歌手5去掉最高分9.15和一个最低分8.81,最后平均分为9.05.第1～5名依次为歌手1,歌手5,歌手3,歌手2,歌手4.(2)因为评委1去掉4次,评委2去掉0次,评委3去掉0次,评委4去掉1次,评委5去掉0次,评委6去掉5次.所以最终评委2,评委3,评委4,评委5可以续聘.10.(2015·成都模拟)某一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.(1)求参加测试的总人数及分数在[80,90)内的人数.(2)若要从分数在[80,100]内的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,恰有一份分数在[90,100]内的概率.【解析】(1)成绩在[50,60)内的频数为2,由频率分布直方图可以看出,成绩在[90,100]内同样有2人,由=10×0.008,解得n=25,成绩在[80,90)内的人数为25-(2+7+10+2)=4人.所以参加测试人数为25人,分数在[80,90)的人数为4.(2)设“在[80,100]内的学生中任选两人,恰有一人分数在[90,100]内”为事件M.将[80,90)内的4人编号为a,b,c,d;[90,100]内的2人编号为A,B,在[80,100]内任取两人的基本事件为:ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB 共15个.其中,恰有一人成绩在[90,100]内的基本事件有aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB共8个.所以所求的概率P(M)=.(20分钟40分)1.(5分)(2015·淄博模拟)如图是一组样本数据的频率分布直方图,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A.12.5,12.5B.13,13C.13.5,12.5D.13.5,13【解析】选B.根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2,第二组的频率为0.5,则第三组的频率为0.3,则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13,由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10,15]的3的位置,即中位数为5=13,所以中位数为13.10+(15-10)×352.(5分)近年,一种化学名为“尼美舒利”的儿童退热药,被推上药品安全性疑虑的风口浪尖.国家药监局调查了这种药的100个相关数据,绘制成如图所示的频率分布直方图,再对落在[6,11),[21,26]两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据,那么[6,11),[21,26]中抽取的数据个数分别为, .【解析】落在[6,11)内的数据个数为5×0.05×100=25,落在[21,26]内的数据个数为5×0.03×100=15,按照分层抽样方法两组抽取的数据个数分别为5,3.答案:5 33.(5分)已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小,则a,b的取值分别是、.【解题提示】由中位数求得a,b之间的关系,然后将方差表示成关于a或b的函数,然后由最值求a或b.【解析】因为中位数为10.5,+=10.5,a+b=21,所以a b2+++++++++=10,因为=2337a b1213.718.32010所以s2=1[(2-10)2+(3-10)2+(3-10)2+(7-10)2+(a-10)2+(b-10)2+10(12-10)2+(13.7-10)2+(18.3-10)2+(20-10)2].令y=(10-a)2+(10-b)2=2a2-42a+221当a=10.5时,y取最小值,方差s2也取最小值.所以a=10.5,b=10.5.答案:10.5 10.54.(12分)(2015·郑州模拟)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值.(2)计算甲班7位学生成绩的方差s2.(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.参考公式:方差s2=1n [(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中=12nx x xn++⋯+.【解题提示】(1)利用平均数求出x的值,中位数求出y的值.(2)根据所给的茎叶图,得出甲班7位学生成绩,把7位学生的成绩和平均数代入方差的计算公式,求出这组数据的方差.(3)设“甲班至少有一名学生”为事件A,其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班没有一名学生;先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数,和没有甲班一名学生的方法数目,先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班没有一名学生的概率,进而结合对立事件的概率性质求得答案.【解析】(1)由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+(8+9+5+x+0+6+2)=590+x,又甲班学生成绩的平均分是85,总分又等于85×7=595,所以x=5,乙班学生成绩的中位数是80+y=83,得y=3.(2)因为甲班7位学生成绩分别为78,79,80,85,85,92,96.甲班7位学生成绩的平均数是=85,(49+36+25+0+0+49+121)=40.所以7位学生成绩的方差是s2=17(3)设“甲班至少有一名学生”为事件A,其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班没有一名学生;根据茎叶图可得,甲班有2名学生成绩高于90分,乙班有3名学生成绩高于90分,从甲、乙两个班级成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,有10种情况,而没有一名是甲班的有3种情况;则P(A)=37-=1.10105.（13分） (2015·宝鸡模拟)对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计,作出甲的得分频率分布直方图如图所示,列出乙的得分统计表如表所示:(1)估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率.(2)判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定.(结论不要求证明)(3)在甲所进行的100场比赛中,以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分,试计算甲每场比赛的平均得分.【解题提示】(1)根据频率分布直方图,计算甲在一场比赛中得分不低于20分的频率即可.(2)根据甲乙运动员得分的分布情况,即可判断甲、乙两名运动员成绩稳定的稳定性.(3)根据平均数的计算公式,即可得到结论.【解析】(1)根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048×10+0.024×10=0.48+0.24=0.72.即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72.(2)根据甲的频率分布直方图可知,甲的成绩主要集中在[20,30),乙的成绩比较分散,所以甲更稳定.(3)因为组距为10,所以甲在区间[0,10),[10,20),[20,30),[30,40)上得分频率值分别为8204824,,,,100100100100设甲的平均得分为S,则S=1(5×8+15×20+25×48+35×24)=23.80.100关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(十七)三角函数的图象与性质(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=-4sin x+1,x ∈[-π,π]的单调性是( ) A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数B.在,22ππ-[]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上都是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数D.在[2π,π]和[-π,-2π]上是增函数,在[-2π,2π]上是减函数【解析】选D.由正弦函数的图象知,函数y=4sin x,x ∈[-π,π]时,在[-2π,2π]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是减函数.所以函数y=-4sin x+1在[-2π,2π]上是减函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是增函数,故选D. 2.(2015·济南模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是 ( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.y=sin =-cos2x 为偶函数,且周期是π,所以选A.3.(2015·郑州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=6π对称,则|φ|的最小值为( )A. 6πB.4π C.3π D.2π【解析】选A.由题意,得sin(2×6π+φ)=±1. 所以3π+φ=2π+k π,即φ=6π+k π(k ∈Z), 故|φ|min =6π.4.已知函数f(x)=cos x 在区间[a,b]上是减函数,且f(a)+f(b)=0,则a+b 的值可能是( )A.0B.πC.2πD.3π 【解题提示】结合余弦函数f(x)=cos x 的图象解答. 【解析】选B.因为f(a)+f(b)=0,所以f(a)=-f(b).由余弦函数f(x)=cos x 的图象知 区间[a,b]的中点是2π+2k π,(k ∈Z), 所以a+b=2(2π+2k π)=π+4k π(k ∈Z), 故a+b 的可能值是π.5.(2015·大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=2π时,f(x)取得最大值,则( )A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数【解题提示】先由题中条件确定ω与φ的值,再验证各选项即可. 【解析】选A.因为f(x)的最小正周期为6π,所以ω=13, 因为当x=2π时,f(x)有最大值,所以13×2π+φ=2π+2k π(k ∈Z),φ=3π+2k π(k ∈Z),因为-π<φ≤π,所以φ=3π.所以f(x)=2sin(x3+3π),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数的定义域是 . 【解析】由tan x-1≥0,得tan ≥1.所以k π+4π≤x<k π+2π (k ∈Z).答案:[k π+4π,k π+2π)(k ∈Z)7.cos 23°,sin 68°,cos 97°从小到大的顺序是 . 【解析】sin 68°=sin(90°-22°)=cos 22°. 因为余弦函数y=cos x 在[0,π]上是单调递减的. 且22°<23°<97°,所以cos 97°<cos 23°<cos 22°. 答案:cos 97°<cos 23°<sin 68°8.(2015·天津模拟)函数f(x)=-sin(2x-4π),x ∈[0, 2π]的最大值是 .【解题提示】先由x 的取值范围确定2x-4π的范围,再根据正弦曲线求解.【解析】因为x ∈[0, 2π], 所以-4π≤2x-4π≤34π. 根据正弦曲线,得当2x-4π=-4π时.sin(2x-4π)取得最小值为-2.故f(x)=-sin(2x-4π)的最大值为2.答案:2【误区警示】解答本题易忽视函数表达式前面的负号而误填1. 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.若x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,求函数的最大、最小值. 【解题提示】先求x 的取值范围,然后换元求解. 【解析】由x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,得 x ∈[2π,π].=令t=sin x,则t ∈[0,1],=所以y max =min =2. 10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+4π)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,2π]上的单调性. 【解析】(1)因为f(x)=2sin(2ωx+4π)的最小正周期为π,且ω>0.从而有22πω=π,故ω=1.(2)因为f(x)=2sin(2x+4π).若0≤x ≤2π,则4π≤2x+4π≤54π.当4π≤2x+4π≤2π,即0≤x ≤8π时, f(x)单调递增;当2π<2x+4π≤54π,即8π<x ≤2π时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在区间[0, 8π]上单调递增,在区间(8π,2π]上单调递减.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·哈师大附中模拟)若函数f(x)=Asin 2ωx(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,则函数f(x+1)为( ) A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选A.因为f(x)=Asin 2ωx 在x=1处取得最大值,故f(1)=A,即 sin 2ω=1,所以2ω=2π+2k π,k ∈Z.因此,f(x+1)=Asin(2ωx+2ω) =Asin(2ωx+2π+2k π)=Acos 2ωx,故f(x+1)是偶函数.2.(5分)(2015·邯郸模拟)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[,]34ππ-上的最小值是-2,则ω的最小值为( )A.23B.32C.2D.3 【解题提示】结合正弦函数的图象解答.【解析】选B.因为ω>0,所以-3πω≤ωx ≤4πω,由题意,结合正弦曲线易知,- 3πω≤-2π,即ω≥32.故ω的最小值是32.3.(5分)(2015·浦东模拟)若Sn=sin 7π +sin 27π+…+sin n 7π(n ∈N *),则在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ) A.16 B.72 C.86 D.100【解析】选C.因为函数f(x)=sinx7π的最小正周期为 T=14,又sin 7π>0,sin 27π>0,…,sin 67π>0,sin 77π=0,sin 87π<0,…,sin 137π<0,sin 147π=0,所以在S 1,S 2,S 3,…,S 13,S 14中,只有S 13=S 14=0,其余均大于0.由周期性可知,在S 1,S 2,…,S 100中共有14个0,其余都大于0,即共有86个正数.【加固训练】若f(x)=sin(x+4π),x ∈[0,2π],关于x 的方程f(x)=m 有两个不相等实数根x 1,x 2,则x 1+x 2等于( )A. 2π或52πB.2π C. 52πD.不确定【解析】选A.对称轴x=4π+k π∈[0,2π], 得对称轴x=4π或x=54π, 所以x 1+x 2=2×4π=2π或x 1+x 2=2×54π=52π, 故选A.4.(12分)已知函数f(x)=2asin(2x-3π)+b 的定义域为[0, 2π],函数的最大值为1,最小值为-5,求a 和b 的值.【解题提示】先求出2x-3π的范围,再分a>0,a<0两类情况讨论,列出a,b 的方程组,可求解. 【解析】易知a ≠0.因为0≤x ≤2π,所以-3π≤2x-3π≤23π. 所以-2≤sin(2x-3π)≤1. 若a>0,则2a b 1,b 5,+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得a 12b 23⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩若a<0,则2a b 5,b 1,+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a 12b 19⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩综上可知或. 5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(34π,0)对称. (1)求φ,ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间. (3)x ∈3[,]42ππ-,求f(x)的最大值与最小值. 【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R 上的偶函数, 所以φ=2π +k π,k ∈Z,且0≤φ≤π,则φ=2π, 即f(x)=cos ωx.因为图象关于点M(34π,0)对称, 所以ω×34π=2π+k π,k ∈Z,且0<ω<1,所以ω=23.(2)由(1)得f(x)=cos 23x,由-π+2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得,3k π-32π≤x ≤ 3k π,k ∈Z,所以函数的递增区间是[3k π-32π,3k π],k ∈Z.(3)因为x ∈[-34π,2π],所以23x ∈[-2π,3π], 当23x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,当23x=-2π时,即x=-34π,函数f(x)的最小值为0. 【加固训练】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ.(2)求函数y=f(x)的单调增区间.【解析】(1)令2×8π+φ=k π+2π,k ∈Z,所以φ=k π+4π,又-π<φ<0,则-54<k<-14,所以k=-1,则φ=-34π.(2)由(1)得:f(x)=sin(2x-34π),令-2π+2k π≤2x-34π≤2π+2k π,k ∈Z,可解得8π+k π≤x ≤58π+k π,k ∈Z,因此y=f(x)的单调增区间为[8π+k π, 58π+k π],k ∈Z.关闭Word 文档返回原板块。

课时提升作业(十四) 导数在研究函数中的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·某某模拟)函数f(x)=xln x,则( ) A.在(0,+∞)上递增 B.在(0,+∞)上递减 C.在(0,1e)上递增D.在(0,1e)上递减 【解析】选D.因为函数f(x)=x ln x,所以f ′(x)=ln x+1,f ′(x)>0,解得x>1e,则函数的单调递增区间为(1e ,+∞),又f ′(x)<0,解得0<x<1e ,则函数的单调递减区间为（0,1e）,故选D.2.已知f(x)=x 3+ax 2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值,则a 的取值X 围为( ) A.a<-1或a>2 B.-3<a<6 C.-1<a<2D.a<-3或a>6【解题提示】求导,令导数等于零,转化为方程在R 上的实数根的情况求解.【解析】选 D.由已知得:f ′(x)=3x 2+2ax+a+6=0在R 上有两个不相等的实根,所以Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得:a<-3或a>6,故选D.【加固训练】设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f ′(x),f ′(x)在(a,b)上的导函数为f ″(x),若在(a,b)上,f ″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m ≤2时,f(x)=16x 3-12mx 2+x 在(-1,2)上是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)上( ) A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值 C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值【解析】选 C.由题设可知:f ″(x)<0在(-1,2)上恒成立,由于f ′(x)=12x 2-mx+1,从而f ″(x)=x-m,所以有x-m<0在(-1,2)上恒成立,故知m ≥2,又因为m ≤2,所以m=2;从而f(x)=16x 3-x 2+x,令f ′(x)=12x 2-2x+1=0得x 1∈(-1,2),x 2∉(-1,2);且当x ∈时f ′(x)>0,当x ∈时f ′(x)<0,所以在(-1,2)上f(x)在得极大值,没有极小值.3.函数f(x)=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )A.-2B.0C.2D.4【解析】选C.f ′(x)=3x 2-6x=3x(x-2),因为-1≤x ≤1,所以令f ′(x)>0得-1≤x<0,令f ′(x)<0得0<x ≤1,所以函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.所以x=0时函数f(x)取得极大值同时也是最大值,即f(x)max =f(0)=2,故C 正确. 4.若函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)上是增函数,则a 的取值X 围是( ) A.[-1,0] B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)【解题提示】由函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)上是增函数,可得f ′(x) =2x+a-21x ≥0在(12,+∞)上恒成立,进而可转化为a ≥21x -2x 在(12,+∞)上恒成立,构造函数求解.【解析】选D.因为f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)上是增函数, 故f ′(x)=2x+a-21x ≥0在(12,+∞)上恒成立,即a ≥21x -2x 在(12,+∞)上恒成立,令h(x)=21x -2x,则h ′(x)=32x -2.当x ∈(12,+∞)时,h ′(x)<0,则h(x)为减函数,所以h(x)<h 1()2=3,所以a ≥3,故选D.5.(2015·某某模拟)设函数f(x)在R 上可导,其导函数为f ′(x),且函数y=(1-x)f ′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由图象知,f ′(-2)=f ′(2)=0,且当x<-2时,f ′(x)>0,-2<x<1, 1<x<2时,f ′(x)<0,当x>2时,f ′(x)>0,故f(-2)是极大值,f(2)是极小值. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=(ax 2+x)-xln x 在[1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值X 围是. 【解题提示】求导利用导数大于等于0转化为恒成立问题,再构造函数求解.【解析】由题意知:f′(x)=2ax+1-(ln x+1)≥0,即a≥lnx2x在x∈[1,+∞)上恒成立;设g(x)=lnx2x,令g′(x)=21lnx2x=0,解得x=e,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,当x∈[1,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,故g(x)的最大值为g(e)=12e,即a≥12e.答案:a≥1 2e7.(2015·某某模拟)函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=.【解析】f′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),1<x<3时,f′(x)<0;x<1或x>3时,f′(x)>0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.答案:1【误区警示】本题易出现求出m值后不进行验证能否在x=1处取得极小值,导致解题错误.8.(2015·某某十二校联考)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表:x -1 0 2 4 5f(x) 1 2 0 2 1f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值为.【解析】由y=f′(x)的图象可知,f′(x)与f(x)随x的变化情况如表:x (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4 (4,5) f′(x) + 0 - 0 + 0 -f(x) ↗极大值↘极小值↗极大值↘所以f(2)为f(x)的极小值,f(2)=0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·东北三省四市联考)已知函数f(x)=ln x,g(x)=(x-a)2+(ln x-a)2.(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程.(2)若g ′(x)在[1,+∞)上单调递增,某某数a 的取值X 围. 【解析】(1)因为f ′(x)=1x,所以f ′(1)=1, 故切线方程为y=x-1. (2)g ′(x)=a lnx 2(x a)x x-+-, 令F(x)=x-a lnxx x+ -a,则y=F(x)在[1,+∞)上单调递增,F ′(x)=22x lnx a 1x -++,则当x ≥1时,x 2-ln x+a+1≥0恒成立, 即当x ≥1时,a ≥-x 2+ln x-1恒成立.令G(x)=-x 2+ln x-1,则当x ≥1时,G ′(x)=212x x- <0,故G(x)=-x 2+ln x-1在[1,+∞)上单调递减,从而G(x)max =G(1)=-2,故a ≥G(x)max =-2, 即a 的取值X 围为a ≥-2.10.(2014·某某高考)设函数f(x)=1+(1+a)x-x 2-x 3,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性.(2)当x ∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时x 的值. 【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f ′(x)=1+a-2x-3x 2,令f ′(x)=0得x 1=13--,x 2=13-+,x 1<x 2,所以f ′(x)=-3(x-x 1)(x-x 2), 当x<x 1或x>x 2时f ′(x)<0; 当x 1<x<x 2时f ′(x)>0.所以f(x)在(-∞和)+∞内单调递减,在11(33---内单调递增.(2)因为a>0,所以x 1<0,x 2>0.①当a ≥4时,x 2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0<a<4时,x 2<1,由(1)知,f(x)在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减.所以f(x)在x=x 2=13-处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值; 当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值; 当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.【加固训练】(2014·马某某模拟)已知函数f(x)=ln x-ax 2+(a-2)x. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a 的值. (2)求函数y=f(x)在[a 2,a]上的最大值.【解析】(1)因为f(x)=ln x-ax 2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+∞),所以f ′(x)=()()()()212ax a 2x 2x 1ax 112ax a 2.x x x-+---+-+-== 因为f(x)在x=1处取得极值, 即f ′(1)=-(2-1)(a+1)=0,所以a=-1. 当a=-1时,在(12,1)内f ′(x)<0,在(1,+∞)内f ′(x)>0, 所以x=1是函数f(x)的极小值点,所以a=-1. (2)因为a 2<a,所以0<a<1,f ′(x)=()()()()212ax a 2x 2x 1ax 112ax a 2.x x x-+--+-+-==-因为x ∈(0,+∞),所以ax+1>0, 所以f(x)在（0,12）上单调递增;在（12,+∞）上单调递减. ①当0<a ≤12时,f(x)在[a 2,a]上单调递增, 所以f(x)max =f(a)=ln a-a 3+a 2-2a.②当21a ,21a ,2⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a 22<<时,f(x)在21(a ,)2上单调递增,在1(,a)2上单调递减,所以f(x)max =f(12)=a a 2aln21ln2424---+=--; ③当12≤a 2,即22≤a<1时,f(x)在[a 2,a]上单调递减,所以f(x)max =f(a 2)=2ln a-a 5+a 3-2a 2. 综上所述,当0<a ≤12时,函数y=f(x)在[a 2,a]上的最大值是ln a-a 3+a 2-2a; 当12a 22<<时,函数y=f(x)在[a 2,a]上的最大值是a 4-1-ln 2; 当22≤a<1时,函数y=f(x)在[a 2,a]上的最大值是2ln a-a 5+a 3-2a 2. (20分钟 40分)1.(5分)若函数f(x)=3211x ax 32-+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6, +∞)内为增函数,则实数a 的取值X 围是( ) A.(-∞,2] B.[5,7]C.[4,6]D.(-∞,5]∪[7,+∞)【解题提示】求出原函数的导函数,求得导函数的零点1,a-1,然后讨论1与a-1的大小,分析导函数在不同区间内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调性,最后借助已知条件得到a-1与4和6的关系,则答案可求. 【解析】选B.由函数f(x)=3211x ax 32-+(a-1)x+1,得f ′(x)=x 2-ax+a-1. 令f ′(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a ≤2时,f ′(x)在(1,+∞)上大于0,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意; 当a-1>1,即a>2时,f ′(x)在(-∞,1)上大于0,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数, f ′(x)在(1,a-1)内小于0,函数f(x)在(1,a-1)内为减函数,f ′(x)在(a-1,+∞)内大于0, 函数f(x)在(a-1,+∞)上为增函数. 依题意应有:当x ∈(1,4)时,f ′(x)<0,当x ∈(6,+∞)时,f ′(x)>0,所以4≤a-1≤6,解得5≤a ≤7,所以a的取值X 围是[5,7],故选B.2.(5分)(2015·某某模拟)函数f(x)=ax 3+bx 2+cx-34(a,b,c ∈R)的导函数为f ′(x),若不等式f ′(x)≤0的解集为{x|-2≤x ≤3},且f(x)的极小值等于-115,则a 的值为( ) A.-8122B.13C.2D.5【解析】选C.由已知可知f ′(x)=3ax 2+2bx+c,由3ax 2+2bx+c ≤0的解集为{x|-2≤x ≤3}可知a>0,且-2,3是方程3ax 2+2bx+c=0的两根,则由根与系数的关系知2b c1,6,3a 3a=-=-所以3a b 2=-,c=-18a,此时f(x)=ax 3-3a 2x 2-18ax-34,当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数;当x ∈(-2,3)时,f ′(x)<0,f(x)为减函数;当x ∈(3,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数,所以f(3)为f(x)的极小值,且f(3)=27a-27a2-54a-34=-115,解得a=2,故选C. 3.(5分)(2014·某某高考)当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x+3≥0恒成立,则实数a 的取值X 围是( ) A.[-5,-3] B.[-6,-98] C.[-6,-2]D.[-4,-3]【解析】选C.当x ∈(0,1]时,不等式ax 3-x 2+4x+3≥0⇒a ≥23x 4x 3x --,x ∈(0,1]恒成立. 令g(x)=23x 4x 3x --,x ∈(0,1],则g ′(x)=24x 8x 9x -++,x ∈(0,1],设h(x)=-x 2+8x+9,h(x)在(0,1]上为增函数, h(x)>h(0)=9>0,所以x ∈(0,1]时,g ′(x)=24x 8x 9x -++>0,则g(x)=23x 4x 3x--在(0,1]上为增函数, g(x)=23x 4x 3x --,x ∈(0,1]的最大值g(x)max =g(1)=-6,从而a ≥-6.当x=0时,a ∈R.当x ∈[-2,0)时,不等式ax 3-x 2+4x+3≥0⇒a ≤23x 4x 3x --,x ∈[-2,0)恒成立.()24x 8x 9g x 0,x x [2,0)⎧-++'=>⎪⎨⎪∈-⎩⇒-1<x<0, ()24x 8x 9g x 0,x x [2,0)⎧-++'=<⎪⎨⎪∈-⎩⇒-2≤x<-1. 所以g(x)=23x 4x 3x--在[-2,-1)上为减函数,在(-1,0)上为增函数, 故g(x)min =g(-1)=-2,则a ≤-2. 综上所述,-6≤a ≤-2.4.(12分)(2015·某某模拟)已知函数f(x)=ax+ln x-2,g(x)=ln x+2x. (1)求函数f(x)的单调区间.(2)试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.【解题提示】(1)对函数f(x)求导,当导数f ′(x)大于0时可求单调增区间,当导数f ′(x)小于0时可求单调减区间.(2)先表示出过点(2,5)与曲线y=g(x)相切的直线,进而假设函数,可求得切线的条数. 【解析】(1)由题意得,函数的定义域为(0,+∞),f ′(x)=221a x a x x x--=. 当a ≤0时,f ′(x)>0恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,令 f ′(x)>0,x>a, 令f ′(x)<0,0<x<a.故f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (2)设切点为(m,n),g ′(x)=1x+2, 所以1n 52m m 2-+=-,n=ln m+2m, 所以ln m+2m -2=0,令h(x)=ln x+2x -2,所以h ′(x)=212x x-,由导数为0可得,x=2,所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,因为h(12)>0,h(2)=ln 2-1<0,所以h(x)与x轴有两个交点,所以过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值.(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值X围.【解析】(1)因为f(x)=x2e-x,所以f′(x)=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),令f′(x)=0,解得x=0或x=2,令f′(x)>0,可解得0<x<2;令f′(x)<0,可解得x<0或x>2,故函数f(x)在区间(-∞,0)与(2,+∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数,所以x=0是极小值点,x=2是极大值点,又f(0)=0,f(2)=,故f(x)的极小值和极大值分别为0,.(2)设切点为(x0,),则切线方程为y-=(2x0-)(x-x0),令y=0,解得x==(x0-2)++3.因为曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数,所以(2x0-)<0,所以x0<0或x0>2,令g(x0)=x0++1,则g′(x0)=1-=.①当x0<0时,(x0-2)2-2>0,即g′(x0)>0,所以g(x0)在(-∞,0)上单调递增,所以g(x0)<g(0)=0;②当x0>2时,令g′(x0)=0,解得x0=2+.当x0>2+时,g′(x0)>0,函数g(x0)单调递增;当2<x0<2+时,g′(x0)<0,函数g(x0)单调递减.故当x0=2+时,函数g(x0)取得极小值,也即最小值,且g(2+)=3+2.综上可知:切线l在x轴上截距的取值X围是(-∞,0)∪[2+3,+∞).。

课时提升作业(五十六)几何概型(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做试验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5120颗,正方形的内切圆区域有豆4009颗,则他们所测得的圆周率约为(保留三位有效数字) ( )A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16【解析】选A.根据几何概型的定义有21()21=,得π≈3.13.2.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A. B. C. D.【解题提示】以时间的长短作为度量,用几何概型求解.【解析】选B.以时间的长短进行度量,故P==.【方法技巧】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.确定点的边界位置是解题的关键. 3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC 的面积,即为π-2,则阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为P==.4.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形,依此类推,这样一共画了4个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形中的概率是( )【解析】选C.依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的4倍,所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中的概率为18.5.随着科技的进步,微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面.某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用,设计了一个试验:在一个棱长为1cm的正方体的中心放置微量手术专用炸药,而爆炸的威力范围是一个半径为R的球,则爆炸之后形成的碎片全部落在正方体内部的概率为( )【解析】选A.由题意可知,要使碎片全部落在正方体的内部,则该爆炸的.所以该事件的概威力范围的半径r不大于正方体的内切球的半径R=12率P=二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安顺模拟)如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分画圆弧,点P在两圆之外的概率别以O,B为圆心,半径为2为.【解析】依题设知所求概率答案:1-47.(2015·贵阳模拟)图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内,则此长方任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14体的体积是 .【解题提示】设长方体的高为h,用h 表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积及平面展开图的面积,再由几何概型的概率公式构造含有h 的方程,求出h 后再求解体积.【解析】设长方体的高为h,则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知()()24h 122h 12h 4+=++,得h=3,所以长方体的体积是V=1×3=3. 答案:38.已知m ∈[1,7],则函数f(x)=3x 3-(4m-1)x 2+(15m 2-2m-7)x+2在实数集R 上是增函数的概率为 .【解析】f ′(x)=x 2-2(4m-1)x+15m 2-2m-7,依题意,知f ′(x)在R 上恒大于或等于0,所以Δ=4(m 2-6m+8)≤0,得2≤m ≤4.又m ∈[1,7],所以所求的概率为421713-=-. 答案: 13三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形,现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?【解析】因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.设A=“粒子落在中间带形区域”,则依题意得正方形面积为:25×25=625(cm2).两个等腰直角三角形的面积为:2××23×23=529(cm2),带形区域的面积为:625-529=96(cm2).所以P(A)=.10.如图所示,圆O的方程为:x2+y2=4.(1)已知点A的坐标为(2,0),B为圆周上任意一点,求的长度小于π的概率.(2)若P(x,y)为圆O内任意一点,求点P到原点距离大于的概率. 【解析】(1)圆O的周长为4π,所以弧的长度小于π的概率为=.(2)记事件A为P到原点的距离大于,则Ω(A)={(x,y)|x2+y2>2},Ω={(x,y)|x2+y2≤4},所以P(A)==.【加固训练】已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.【解析】(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36个;由a·b=-1有-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个,故满足a·b=-1的概率为=.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足a·b<0的基本事件的结果为A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};画出图形如图,正方形的面积为S正方形=25,阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21,故满足a·b<0的概率为.(20分钟40分)1.(5分)向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆的概率为落在P点,则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈(0,)2( )【解析】选A.由题意,易知:(1)点P 在以A 点为圆心,1为半径的圆外;(2)若点P 在以DC 为直径的圆上,则∠DPC=2π,若点P 在以DC 为直径的圆内,则∠DPC>2π,故只有点P 在以DC 为直径的圆外时满足∠DPC 为锐角.因此,点P 落入图中的阴影部分,故所求概率为43421416ππ--π=-. 【方法技巧】解决几何概型的关键解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算,即当半径一定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.2.(5分)(2015·贵阳模拟)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+≤1”发生的概率为()【解析】选C.由题意知,此概率符合几何概型,所有基本事件包含的区域长度为π,设A 表示取出的x 满足≤1这样的事件,对条件变形为1sin(x )32π+≤,即事件A 包含的区域长度为2π.所以P(A)=122π=π. 3.(5分)在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x 2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为 .【解析】要使2x 2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax ≤2x 2+8,即a ≤2x+8x 在(0,+∞)上恒成立.又2x+8x ≥当且仅当x=2时等号成立,故只需a ≤8,因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8041005-=-. 答案: 45 4.(12分)已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x ∈A,y ∈B},在集合M 内随机取出一个元素(x,y).(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x 2+y 2=1内的概率.(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于2的概率. 【解析】(1)集合M 内的点形成的区域面积S=8.因圆x 2+y 2=1的面积S 1=π,故所求概率为1S S 8π=. (2)2≤,即-1≤x+y ≤1,形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S 2=4,所求概率为2S 1.S 2= 5.(13分)(能力挑战题)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.(1)求n 的值.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.(ⅰ)记“a+b=2”为事件A,求事件A的概率;(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.【解析】(1)依题意=,得n=2.(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s,标号为1的小球为t,标号为2的小球为k,h,则取出2个小球的可能情况有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s), (k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12种,其中满足“a+b=2”的有4种:(s,k),(s,h)(k,s),(h,s).所以所求概率为P(A)==.(ⅱ)记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4恒成立”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B构成的区域为B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω}.所以所求的概率为P(B)=1-.关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(二十九)等差数列及其前n 项和(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=a 8+6,则S 7等于 ( ) A.49 B.42 C.35 D.24【解析】选B.设公差为d,由已知得2(a 1+5d)=a 1+7d+6,即a 1+3d=6, 所以S 7=7a 1+d=7(a 1+3d)=7×6=42.【加固训练】(2013·安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9=( )A.-6B.-4C.-2D.2 【解析】选A.由S 8=4a 3⇒8a 1+d=4×(a 1+2d);由a 7=-2⇒a 1+6d=-2,联立解得a 1=10,d=-2,所以a 9=a 1+8d=10-16=-6.2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=3,S 9-S 6=27,则该数列的首项a 1等于( )A.-B.-C.D.【解析】选D.由111a 2d 3,9a 36d (6a 15d)27,+=⎧⎨+-+=⎩得11a 2d 3,a 7d 9,+=⎧⎨+=⎩解得a1=.故选D.3.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,若数列{}为等差数列,则a等于11 ( )A.0B.C.D.-1【解析】选B.设{}的公差为d,则=+4d,即4d=-=,所以d=,4.(2015·吉林模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是( )A.S17B.S18C.S15D.S16【解析】选C.由等差数列的性质得:a5+a11=2a8,所以a5+a8+a11为定值,即a8为定值.又因为S15===15a8,所以S15为定值.故选C.【加固训练】已知等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( )A.S5>S6B.S5<S6C.S6=0D.S5=S6【解题提示】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.【解析】选 D.因为d<0,|a3|=|a9|,所以a3>0,a9<0,且a3+a9=0,所以a6=0,a5>0,a7<0,所以S5=S6.5.(2015·马鞍山模拟)等差数列{a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.等差数列中,由a1<a3,可知公差d>0,所以a n+1=a n+d>a n,即a n<a n+1.反过来,由a n<a n+1,可知公差d>0,所以a3=a1+2d>a1,即a1<a3.等差数列{a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+1”的充分必要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列{a n}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10= .【解析】由=+知,数列{}为等差数列,则=1+(n-1),即a n=.所以a10==.答案:7.已知等差数列{a n}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和S n的最大值为.【解题提示】等差数列前n项的和S n是关于n的二次函数,可将S n的最大值转化为求二次函数的最值问题.【解析】因为等差数列{a n}的首项a1=20,公差d=-2,代入求和公式得,又因为n∈N*,所以n=10或n=11时,S n取得最大值,最大值为110.答案:110【方法技巧】求等差数列前n项和的最值的常用方法(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得S n的最值.(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.(3)注意区别等差数列前n项和S n的最值和S n的符号.【加固训练】在数列{a n}中,a1=-18,a n+1=a n+3(n∈N*),则数列{a n}的前n 项和S n的最小值为.【解析】由a n+1=a n+3知{a n}是等差数列,首项为-18,公差为3,所以a n=-21+3n.当n=7时,a n=0,当n≤6时,a n<0,所以当n=6或7时,S n有最小值-63.答案:-638.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满足条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2= . 【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19,又{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:19三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:{}是等差数列.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为a n=S n-S n-1(n≥2),又a n=-2S n·S n-1,所以S n-1-S n=2S n·S n-1,S n≠0,所以又==2,故数列{}是以2为首项,以2为公差的等差数列.(2)由(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,所以S n=.当n≥2时,有a n=-2S n·S n-1=-,又因为a1=,不适合上式,【加固训练】已知数列{a n}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{a n}的通项公式.(2)设c n=,b n=,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n的值.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由已知条件解得a1=3,d=-2.所以a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)因为a n=-2n+5,所以c n===n,所以b n==2n,所以T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=.10.(2015·成都模拟)数列{a n}中,a1=-23,a n+1-a n-3=0.(1)求数列的前n项和S n.(2)求使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围.【解析】(1)因为a n+1-a n-3=0,所以a n+1-a n=3,即数列{a n}是等差数列,公差d=3.又a1=-23,所以数列{a n}的前n项和为S n=-23n+n(n-1)·3,即S n=n2-n.(2)S n=n2-n的对应函数为f(x)=x2-x,它的图象是一条抛物线,其开口方向向上,对称轴为x=.当x≥时,函数f(x)是增函数.因为8<<9,且-8<9-,所以f(8)<f(9).综上,可知使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围是{n|n≥8,n∈N*}. 【加固训练】(2015·郑州模拟)数列{a n}满足a1=,a n+1=(n∈N*).(1)求证:为等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设b n=-1,数列{b n}的前n项和为B n,对任意n≥2都有B3n-B n>成立,求正整数m的最大值.【解析】(1)a n+1=,===-1+,所以-=-1,所以为首项为-2,公差为-1的等差数列,所以=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n=.(2)b n=-1=,令C n=B3n-B n=++…+,所以C n+1-C n=++…+--…-=-+++=-+>-=0,所以C n+1-C n>0,所以{C n}为单调递增数列,所以(B3n-B n)min=B6-B2=+++=,所以<,所以m<19,又m∈N*,所以m的最大值为18.(20分钟40分)1.(5分)(2015·唐山模拟)在等差数列{a n}中,a1=-2015,其前n项和为S n,若-=2,则S2015的值等于( )A.-2015B.-2014C.-2013D.-2012【解析】选A.设等差数列{a n}的公差为d,因为-=2,根据等差数列的性质可得也为等差数列,所以d=2.所以S2015=2015a1+=-2015.【加固训练】(2015·延吉模拟)等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )A.{1}B.C. D.【解析】选B.等差数列{a n}中,设=是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,故由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方程可得m=1(因为a1≠0);若m=,代入第二个方程得d=a1.2.(5分)(2015·大连模拟)下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列{}是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.{3.(5分)(2015·郑州模拟)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-6n,则{|a n|}的前n 项和T n = ( ) A.6n-n 2 B.n 2-16n+18C.()226n n (1n 3)n 6n 18n 3⎧-≤≤⎪⎨-+>⎪⎩D.()226n n (1n 3)n 6n n 3⎧-≤≤⎪⎨->⎪⎩ 【解析】选C.因为由S n =n 2-6n 得{a n }是等差数列,且首项为-5,公差为2.所以a n =-5+(n-1)×2=2n-7, 所以n ≤3时,a n <0,n>3时,a n >0,所以T n =()226n n (1n 3),n 6n 18n 3.⎧-≤≤⎪⎨-+>⎪⎩4.(12分)已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列,偶数项是公差为d 2的等差数列.S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1=1,a 2=2. (1)若S 5=16,a 4=a 5,求a 10.(2)若d 1=3d 2(d 1≠0),且存在正整数m,n(m ≠n),使得a m =a n ,求当d 1最大时,数列{a n }的通项公式.【解析】(1)由题意,当n 为奇数时,a n =1+d 1;当n 为偶数时,a n =2+(-1)d 2.由S 5=16,a 4=a 5可得122133d 4d 16,2d 12d ,+++=⎧⎨+=+⎩解得d 1=2,d 2=3, 所以a 10=2+4d 2=14.(2)因为d1≠0,d2≠0,且存在正整数m,n(m≠n),使得a m=a n, 所以m,n中必然一个为奇数,一个为偶数.不妨设m为奇数,n为偶数,由a m=a n,得1+d1=2+（-1）d2,将d1=3d2代入,化简得d1=.因为m为奇数,n为偶数,所以3m-n-1的最小值为2,此时d1=3,d2=1,【加固训练】已知数列{a n},a n∈N*,S n=(a n+2)2.(1)求证:{a n}是等差数列.(2)设b n=a n-30,求数列{b n}的前n项和T n的最小值.【解析】(1)因为S n=(a n+2)2, ①所以S n-1=(a n-1+2)2(n≥2). ②①-②得S n-S n-1=(a n+2)2-(a n-1+2)2(n≥2),即a n=(a n+2)2-(a n-1+2)2.所以(a n-2)2=(a n-1+2)2,所以a n+a n-1=0或a n-a n-1=4.因为a n∈N*,所以a n+a n-1=0舍去,所以a n-a n-1=4.a1=S1=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以{a n}是首项为2,公差为4的等差数列.(2)b n=a n-30=(4n-2)-30=2n-31.b n+1-b n=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=×2-30=-29.所以{b n}是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列.T n=nb1+d=-29n+×2=n2-30n.所以T n=(n-15)2-225.当n=15时,数列{b n}的前n项和有最小值为-225.5.(13分)(能力挑战题)设同时满足条件:①≤b n+1(n∈N*);②b n≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{b n}叫“特界”数列.(1)若数列{a n}为等差数列,S n是其前n项和,a3=4,S3=18,求S n.(2)判断(1)中的数列{S n}是否为“特界”数列,并说明理由.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以S n=na1+d=-n2+9n.(2)由故数列{S n}适合条件①.则当n=4或5时,S n有最大值20,即S n≤20,故数列{S n}适合条件②.综上,数列{S n}是“特界”数列.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业十一函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )A.0,2B.0,错误！未找到引用源。

C.0,-错误！未找到引用源。

D.2,-错误！未找到引用源。

【解析】选C.由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0得x=0或x=错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

.2.(2016·成都模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )A.f(x)=8x-2B.f(x)=(x+1)2C.f(x)=e x-1D.f(x)=ln错误！未找到引用源。

【解析】选A.因为g(0)=-1<0,g错误！未找到引用源。

=1>0,所以g(0)·g 错误！未找到引用源。

<0,所以g(x)的零点在错误！未找到引用源。

内,因为f(x)=8x-2的零点为错误！未找到引用源。

,故选A.3.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.当0<x<1时,f(x)=2x log0.5x-1,令f(x)=0,则log0.5x=错误！未找到引用源。

.由y=log0.5x,y=错误！未找到引用源。

的图象知,在(0,1)内有一个交点,即f(x)在(0,1)上有一个零点.当x>1时,f(x)=-2x log0.5x-1=2x log2x-1,令f(x)=0得log2x=错误！未找到引用源。

,由y=log2x,y=错误！未找到引用源。

的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即f(x)在(1,+∞)上有一个零点.【加固训练】函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选C.由f(x)=xcosx2=0,得x=0或cosx2=0.又x∈[0,4],所以x2∈[0,16].由于cos错误！未找到引用源。

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课时提升作业(十)函数的图象(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·安庆模拟)函数f(x)=的图象大致是( )【解析】选 D.由已知f(x)=,知该函数为奇函数,所以排除A,B,又x>1时,f(x)=>0,排除C.【加固训练】(2014·日照模拟)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )【解析】选B.易知f(x)为偶函数,故只考虑x>0时f(x)=lg(x-1)的图象,将函数y=lgx图象向x轴正方向平移一个单位得到f(x)=lg(x-1)的图象,再根据偶函数性质得到f(x)的图象.2.若lg a+lg b=0(其中a≠1,b≠1),则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象( )A.关于直线y=x对称B.关于x轴对称C.关于y 轴对称D.关于原点对称【解析】选C.由lg a+lg b=0,得ab=1,且a>0,a ≠1,b>0,b ≠1.g(x)=b x =x 1()a=a -x ,故选C.3.(2015·威海模拟)为了得到函数y=log,可将函数y=log 2x 图象上所有点的( )A.纵坐标缩短为原来的12,横坐标不变,再向右平移1个单位B.纵坐标缩短为原来的12,横坐标不变,再向左平移1个单位C.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位D.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位【解析】选A.y=log x 1-=12log 2(x-1),把函数y=log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12,横坐标不变,得到函数y=12log 2x 的图象,再把图象上的点向右平移1个单位,得到函数y=12log 2(x-1)的图象,即函数y=log . 4.(2014·山东高考)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A.1(0,)2B.（12,1） C.(1,2) D.(2,+∞) 【解析】选B.先作出函数的图象,由已知函数f （x ）=|x-2|+1,g （x ）=kx 的图象有两个公共x,l2:y=x之间时,符合题意,故选B.点,由图象知当直线介于l1:y=125.(2015·洛阳模拟)若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是( )A.(-1,0)B.(-∞,0)∪(1,2)C.(1,2)D.(0,2)【解题提示】先作出f(x)的图象,再通过图象变换作出函数y=f(x-1)的图象,数形结合求解.【解析】选D.根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图,把函数f(x)的图象向右平移1个单位,得到函数f(x-1)的图象,如图,则不等式f(x-1)<0的解集为(0,2).二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f= .【解析】由图象知f(3)=1,所以=1,所以f=f(1)=2. 答案:27.已知函数y=2x1x1--的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.【解题提示】先作函数y=2x1x1--的图象,然后利用函数y=kx-2的图象过(0,-2)以及与y=2x1x1--图象的两个交点确定k的范围.【解析】根据绝对值的意义,y=2x1x1--=x1(x1x1),x1(1x1).+><-⎧⎨---≤<⎩或在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,当0<k<1或1<k<4时有两个交点.答案:(0,1)∪(1,4)【加固训练】若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解,则a的取值范围是. 【解析】画出y=|ax|与y=x+a的图象,如图.只需a>1.答案:(1,+≦)8.(2015·日照模拟)函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c= .【解析】由图象可求得直线的方程为y=2x+2(x≤0),又函数y=log c的图象过点(0,2),将其坐标代入可得c=,所以a+b+c=2+2+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性.(2)若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根,求实数a的取值范围. 【解析】f(x)=作出图象如图所示.(1)递增区间为[1,2),[3,+≦),递减区间为(-≦,1),[2,3).(2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,设y=x+a,在同一坐标系下再作出y=x+a的图象(如图)则当直线y=x+a过点(1,0)时,a=-1;当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时,由得x2-3x+a+3=0.由Δ=9-4(3+a)=0,得a=-.由图象知当a∈时,方程至少有三个不等实根.10.设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).(1)求g(x)的解析式.(2)若直线y=m与C2只有一个交点,求m的值和交点坐标.【解析】(1)设点P(x,y)是C2上的任意一点,则P(x,y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4-x,2-y),代入f(x)=x+,可得2-y=4-x+,即y=x-2+,所以g(x)=x-2+.(2)由消去y得x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ=[-(m+6)]2-4(4m+9), 因为直线y=m与C2只有一个交点,所以Δ=0,解得m=0或m=4.当m=0时,经检验合理,交点为(3,0);当m=4时,经检验合理,交点为(5,4).(20分钟40分)1.(5分)函数y=ln|sinx|,x∈∪的图象是( )【解析】选B.由已知y=ln|sinx|得y的定义域上的偶函数,其图象应关于y轴对称,故排除A,D,又x∈∪时,0<|sinx|≤1,所以y=ln|sinx|∈(-≦,0],结合B,C知,B正确.2.(5分)(2015·太原模拟)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得==…=,则n的取值范围是( )A.{3,4}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}【解题提示】作直线y=kx(k≠0),转化为直线与曲线的交点个数问题,数形结合进行判断.【解析】选B.=表示(x1,f(x1))与原点连线的斜率;==…=表示(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(x n,f(x n))与原点连线的斜率相等,而(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(x n,f(x n))在曲线图象上,故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况.如图所示,数形结合可得,有2,3,4三种情况,故选B.【加固训练】(2015·抚州模拟)如图,正方形ABCD边长为4 cm,E为BC的中点,现用一条垂直于AE的直线l以0.4 cm/s的速度从l1平行移动到l2,则在t秒时直线l扫过的正方形ABCD的面积记为F(t)(cm2),则F(t)的函数图象大致是( )【解析】选D.当l与正方形AD边有交点时,此时直线l扫过的正方形ABCD的面积随t的增大而增大的速度加快,故此段为凹函数,可排除A,B,当l与正方形CD 边有交点时,此时直线l扫过的正方形ABCD的面积随t的增大而增大的速度不变,故此段为一次函数,图象为直线,可排除C,故选D.3.(5分)(2015·郑州模拟)y=x+cos x的大致图象是( )【解析】选B.由于f(x)=x+cos x,所以f(-x)=-x+cos x,所以f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),故此函数是非奇非偶函数,排除A,C;π时,x+cos x=x,即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为又当x=2π,排除D.故选B.24.(12分)已知函数f(x)=2x,x∈R.(1)当m 取何值时方程|f(x)-2|=m 有一个解?两个解? (2)若不等式f 2(x)+f(x)-m>0在R 上恒成立,求m 的取值范围. 【解析】(1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x -2|, G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示:由图象看出,当m=0或m ≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;当0<m<2时,函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解. (2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t 2+t,因为H(t)=211(t )24+-在区间(0,+≦)上是增函数, 所以H(t)>H(0)=0.因此要使t 2+t>m 在区间(0,+≦)上恒成立, 应有m ≤0,即所求m 的取值范围为(-≦,0].5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A(0,1)对称. (1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)+a x,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P 关于(0,1)点的对称点 P ′(-x,2-y)在h(x)的图象上,即2-y=-x-1x +2,所以y=f(x)=x+1x(x ≠0).(2)g(x)=()()2a a 1a 1f x x ,g x 1.x x x+++=+'=- 因为g(x)在(0,2]上为减函数, 所以1-2a 1x +≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x 2在(0,2]上恒成立,所以a+1≥4,即a ≥3,故a 的取值范围是[3,+≦).关闭Word 文档返回原板块。