广州艺术生高考数学复习资料3三角函数性质与图像

考点十七 三角函数的图象和性质知识梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质2．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．3. 三角函数的周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期均为2k π，k ∈Z ，最小正周期均为2π；正切函数也是周期函数，周期为k π，k ∈Z ，最小正周期为π．典例剖析题型一 三角函数的定义域和值域 例1 函数y ＝cos x －32的定义域为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) 解析 ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 变式训练 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z解析 要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示． 结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .例2 (1) 函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．(2) 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________. 答案 (1) [1，2] (2) －22解析 (1) 根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.(2) ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令y ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin y 在y ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22. 变式训练 求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫||x ≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 解题要点 1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域；(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，通过换元，令t ＝sin x (或t ＝cos x )，转换成二次函数求值域；(4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系通过换元，令t =sin x +cos x ,转换成二次函数求值域． 题型二 三角函数的单调性例3 (1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________． (2) 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是____________________． 答案 (1) ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) (2) ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) 解析 (1)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2) 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).变式训练 若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足． 解题要点 1.求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；2.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 题型三 三角函数的周期性例4 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________． 答案 4π解析 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π. 当堂练习1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 答案 －22解析 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )取得最小值－22. 2．如果函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为________．答案 12解析 T ＝π6，ω＝2πT ＝12．3. 函数y ＝cos x －12的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z 解析 ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .4．y ＝sin(x －π4)的图象的一个对称中心是________．答案 (－3π4，0)解析 令x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，于是(－3π4，0)是y ＝sin(x －π4)的图象的一个对称中心.5．函数f (x )＝cos(2x ＋3π2)(x ∈R )，下面结论不正确的是________．(填序号)① 函数f (x )的最小正周期为π ② 函数f (x )的对称中心是(π2，0)③ 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称④ 函数f (x )是偶函数 答案 ④解析 ∵f (x )＝cos(2x ＋3π2)＝sin2x (x ∈R )，∴最小正周期T ＝2π2＝π，选项①正确；由2x ＝k π得x ＝k π2，k ∈Z ，∴函数f (x )的对称中心为(k π2，0)，∴取k ＝1得选项②正确；由2x ＝k π＋π2得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，∴取k ＝0得函数f (x )的对称轴为x ＝π4，∴选项③正确；∵f (x )＝sin2x (x ∈R )，∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数， ∴选项④不正确．课后作业一、 填空题1．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π]) 是偶函数，则φ＝________．答案3π2解析 ∵f (x )为偶函数，关于y 轴对称，x ＝0为其对称轴． ∴x ＋φ3＝π2＋k π，令x ＝0，φ＝3k π＋32π，当k ＝0时，φ＝32π．2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________． 答案 π6解析 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.3．函数y ＝cos 2x ，周期为_____，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是________（填“增函数”或“减函数”）． 答案 π，减函数解析 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为减函数. 4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).5．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________． 答案 π4解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54π－14π＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，f ⎝⎛⎭⎫5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋φ＝±1.∵0＜φ＜π，∴π4＜φ＋π4＜54π，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 答案 －22解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.7．(2015四川文)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是________．(填序号) ①y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ④y ＝sin x ＋cos x 答案 ②解析 ①项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； ②项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； ③项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意； ④项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意． 8．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 9．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．答案 π 解析 T ＝2π2＝π.10．函数f (x )＝cos(2x －π4)＋3在[－π2，π2]上的单调递减区间为________．答案 [－π2，－3π8]∪[π8，π2]解析 由2k π≤2x －π4≤2k π＋π得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∵x ∈[－π2，π2]，∴取k ＝0得f (x )在[－π2，π2]上的单调递减区间为[π8，π2]；取k ＝－1得f (x )在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]．∴f (x )在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]和[π8，π2]． 11．函数y ＝sin(x ＋π4)的对称中心为________．答案 (k π－π4，0)，k ∈Z二、解答题12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解析 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．13．(2015北京文)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。

专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。

课题：三角函数图像与性质知识点：1．正弦、余弦、正切函数的图像 2．正弦、余弦、正切函数的性质 函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇 偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ 单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 【注2】1．三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解． 2．三角函数值域的不同求法（1）利用sin x 和cos x 的值域直接求；（2）把所给的三角函数式变换成y ＝A sin （ωx ＋φ）的形式求值域； （3）把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； （4）利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 【注3】1．求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ （其中A ≠0，0ω>）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ （0ω>）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与sin y x = （x R ∈），cos y x = （x R ∈）的单调区间对应的不等式方向相同（反）． 2．如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内．3．求函数sin()y A x ωϕ=+ （或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+）的单调区间的步骤： （1）将ω化为正．（2）将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解．4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z ∈”． 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 【注4】先化成sin)y A x B ωϕ=++（的形式再求解．其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【注5】1． 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数．2．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：（1）若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；（2）若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；（3）若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈． 【注6】1．求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=．利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=．要特别注意两个公式不要弄混； （3）图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；（4）绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定． 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π， 而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变． 2．使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值．3．对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．典型例题例1下列函数中最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =B ．sin y x =C ．tan2x y = D ．cos 4y x =例2函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ． π D ．π2例3已知直线π6x =是函数()πsin ω0ω86f x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭（）图象的一条对称轴，则f （x ）的最小正周期为（ ） A ．π4B ．π2C ．πD ．2π例4已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数例5函数()π26f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（ ） A ．π3x =-B ．π12x =C ．π4x =D ．π3x =例6已知函数π()3(2)6f x sin x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．图象关于点π(0)6，对称 B ．图象关于点π(0)3，对称 C ．图象关于直线π6x =对称 D ．图象关于直线π3x =对称 例7函数()ππ448f x tan x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．()534422k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，B ．()354422k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C ．()538822k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， D ．()358822k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，例8设函数()sin 2f x x =，x ∈R ，若[)0,θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，则θ的值为（ ） A ．12π或1112πB ．6π或56π C ．4π或34π D ．3π或23π例9函数()πcos 3f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ）A ．π4π|π,π,33x k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．π4π2π,2π33k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．π2π2π,2π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦例10下列坐标所表示的点不是函数tan()26x y π=-的图象的对称中心的是 （ ） A ．03π⎛⎫⎪⎝⎭， B ．503π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．203π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．403π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 例11函数()π223f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（ ） A ．5π11π66⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．π5π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．5π11π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．π5π66⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 例12函数()sin ,[,0]3f x x x ππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 例13函数()πtan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为（ ） A ．π012⎛⎫⎪⎝⎭， B ．7π012⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．5π012⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．π012⎛⎫- ⎪⎝⎭， 例14函数 ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的图象的对称轴方程可以为（ ）A ．12x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．6x π=例15若π2x =是函数()ω(ω0)f x cos x =≠图象的对称轴，则()f x 的最小正周期的最大值是（ ） A ．πB ．2πC ．π2D ．π4例16函数()π3f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．π5π2π2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈ B ．π5πππ66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈ C ．5π11π2π2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈ D ．5π11πππ66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈ 例17已知()sin(2),,22f x x ππϕϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，且6f x π⎛-⎫ ⎪⎝⎭为偶函数，则φ=________．例18已知函数()π2ω3f x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（ω0>）的最小正周期为π． （1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递减区间．例19已知函数()π226f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈．（1）若()0f x =0x 的值； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）当π5π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()f x 的最大值和最小值． 举一反三1．函数()π3cos 26f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭的一条对称轴是（ ） A ．π6x =-B ．π12x =C ．π4x =D ．π3x =2．下列直线中，函数()π76f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴是（ ） A ．π3x =B ．2π3x =C ．π6x =D ．π2x =3．已知函数()()π2ω10ω56f x sin x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭的图像经过点8π315⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．3π2B ．4π5C ．8π5D ．5π44．函数π()(2φ)|φ|2f x sin x ⎛⎫=+<⎪⎝⎭在区间ππ126⎛⎤- ⎥⎝⎦，上单调且()f x ≤，则φ的范围是（ ） A ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．ππ36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．π04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5．已知函数()()πωω06f x sin x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在4π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在4π2π3⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则ω=（ ） A ．12B ．1C ．43D ．326．已知函数()()πωω03f x sin x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ62⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．703⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，3]D ．(]03，7．如果函数y=3cos （2x+φ）的图象关于点4π(0)3，对称，那么|φ|的最小值为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．下列区间中，函数π()2()6f x sin x =-单调递减的是（ ）A ．π(0)2，B ．π(π)2，C ．3π(π)2，D ．3π(2π)2， 9．函数()ππ33364f x sin x ⎛⎫=--⎪⎝⎭的最小正周期为 ．10．已知函数()()π2ωω06f x sin x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间ππ33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为 ．11．已知函数()π23f x cos x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在()0m ，上的值域为112⎛⎤⎥⎝⎦，，则m 的取值范围是 ． 12．已知函数()π323f x sin x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈．（1）求()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）求()f x 在区间ππ44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域．13．已知函数 1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ． （1）求y ＝ f （x ）的单调减区间；（2）当 63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 时，求f （x ）的最大值和最小值．课后练习1．函数()()πωω02f x sin x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π05⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的最大值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．12．函数()π4f x tan x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．()ππππ22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， B ．()()πππk k k Z +∈，C ．()3ππππ44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， D ．()π3πππ44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 3．下列区间中，函数 ()15sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 单调递减的区间是（ ）A ．2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．522ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：B4．（多选）已知函数()ωf x sin x =（ω0>）在ππ66⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调，则ω的可能值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知函数(φ)(0φπ)y sin x =+<<为偶函数，则φ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．5π66．下列关于函数()π246f x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，说法正确的是（ ）A ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 B ．关于直线π24x =-对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于点π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 7．如果函数()(2φ)f x sin x =+的图像关于点2π03⎛⎫-⎪⎝⎭，对称，则|φ|的最小值是（ ） A ．π6B ．π3 C ．5π6D ．4π38．函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是___________．9．已知函数()2cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[]0,π内的值域为⎡-⎣，则ω的取值范围为___________． 10．已知函数()()πωω04f x sin x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π2π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则ω的取值范围为 ． 11．若函数()()πωω04f x tan x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω的值为 ． 12．已知函数π()(ωφ)ω0|φ|2f x sin x ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的最小正周期是π，且()f x 的图象过点π112⎛⎫⎪⎝⎭，，则()f x 的图象的对称中心坐标为 ．13．函数()π2φ0φ2y sin x ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭图象的一条对称轴是π12x =，则φ的值是 ．14．已知函数()π26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间ππ42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．。

第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数 性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和． 变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分． 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

三角函数性质与图像备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握. 如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ．4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移 个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .8． 函数sin y x x =在区间[0,2π]的最小值为______.9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴， 典型例题例1、三角函数图像变换将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相ϕ分别为 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是 变式2、下列函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )(A)y =lg x 2(B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2变式3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域变式4、已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性；⑷判断它的周期性.例4、三角函数的简单应用如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式． 例5、三角恒等变换函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是 ．π2sin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭变式2：已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．求()f x 的最大值和最小值． 实战训练1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为2. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是____ 3．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 4．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则 5．（2007年辽宁卷7）．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a = 6．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 7．（2007年湖北卷理2）．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为8．（2007年广东卷理3）．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则f(x)是最小正周期为 的 函数9．（2007年福建卷理5）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 10．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 11．（2007年江苏卷5）．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 12．（2007年天津卷文9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数 B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数13．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位14．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，15．（2007年北京卷文3）．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是16．（2007年重庆卷文）（18）已知函数)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 。

2019年高考数学艺术类考生专用复习资料
三角函数的图象和性质
要点梳理
1.
y=tan x
+,
,k∈Z,k∈Z
+,
,,
,
2.函数y=A sin(ωx+φ)的图象
(1)用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤:①列表;②描点;③连线.
(2)用“变换法”.由函数y=sin x的图象得到函数y=A sin(ωx+φ)的图象的规律:
①由y=sin x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度,得到的图象;纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到的图象;横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到的图象.
②由y=sin x的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到的图象;向左(φ>0)或向
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第3节 三角函数的图象与性质最新考纲核心素养考情聚焦1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质 1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养．2.三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养．3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cosxy ＝tan x图象定义域RR{x | x ∈R 且x ≠ ⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y ＝sin x 的图象介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( )(3)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2是奇函数．( ) (4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )(5)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× [小题查验]1．(·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2解析：C [函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为T ＝2π2＝π.] 2．(·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：A [函数y ＝cos 2x 的周期为π，∴函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当π4＜x ＜π2时，π2＜2x ＜π，y ＝cos 2x 递减且为负值，∴函数f (x )＝|cos 2x |在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增．]3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：B [∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．]4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0.答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )5．[人教A 版教材P46A 组T2改编]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3考点一 三角函数的定义域、值域问题(自主练透)[命题角度1] 三角函数的定义域问题(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为__________．(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________________________________． 解析：(1)法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以函数y ＝sin x －cos x 的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．法二(利用三角函数线)：画出满足条件sin x ≥cos x 的角x 的终边范围(如图阴影部分所示)，∴函数y ＝sin x －cos x 的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．法三(利用整体思想)：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .所以函数y ＝sin x －cos x 的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜2x ＜2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2，或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪－3≤x ＜－π2，或0＜x ＜π2. 答案：(1){x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3≤x ＜－π2，或0＜x ＜π2求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．[命题角度2] 三角函数的值域(最值)问题(1)(·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． (2)函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为____________． 解析：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ， ∴f (x )min ＝－4.(2)设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12(－2≤t ≤2)，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1.当t ＝2时，y 取最大值2＋12；当t ＝－1时，y 取最小值－1.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12＋2. 答案：(1)－4 (2)⎣⎡⎦⎤－1，12＋21．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．考点二 三角函数的单调性(师生共研)[典例] (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3 －2x 的单调递减区间为________． [解析] y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间是 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .[答案] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z (2)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是____________．逻辑推理——三角函数单调性中应用的核心素养具体见下表：[解析] 方法一：第一步，求出f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)的单调递增区间． 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎡⎦⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z .第二步，转化为集合之间的关系，即⎣⎡⎦⎤－π2，2π3是函数f (x )单调递增区间的子区间． ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， ∴⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω. 第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围． ∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，∴ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. 方法二：第一步，由x 的取值范围求出ωx (ω＞0)的取值区间．∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3，ω＞0.∴ωx ∈⎣⎡⎦⎤－ωπ2，2πω3， 第二步，由f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数得ωx (ω＞0)的取值区间是⎣⎡⎦⎤－π2，π2的子区间． 又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， ∴⎣⎡⎦⎤－ωπ2，2πω3⊆⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．则⎩⎨⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω＞0，得0＜ω≤34.方法三：第一步，由f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数得原点到区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3端点的距离不超过T4.∵f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，故原点到区间端点的距离不超过T 4， 第二步，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．所以⎩⎨⎧π2≤T 4，2π3≤T4，得T ≥8π3，即2πω≥8π3.又ω＞0，得0＜ω≤34.[答案] ω∈⎝⎛⎦⎤0，34 [互动探究]在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间．解析：法一：x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .令k ＝0得－π12≤x ≤5π12；令k ＝－1得－13π12≤x ≤－7π12，故x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为 ⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12，0.法二：因为－π≤x ≤0，所以－73π≤2x －π3≤－π3，结合正弦曲线，由－73π≤2x －π3≤－32π，解得－π≤x ≤－712π；由－π2≤2x －π3≤－π3，解得－π12≤x ≤0，所以单调减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12 ，0.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[跟踪训练]1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：B [由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.] 2．(·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π 解析：A [因为f (x )＝cos x －sin x ＝ 2 cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以由2k π≤x ＋π4≤π＋2k π(k ∈Z )得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z )，因此，[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴－a <a ，－a ≥－π4，a ≤3π4，∴0<a ≤π4从而a 的最大值为π4，选A.]考点三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究)[命题角度1] 三角函数的周期性1．(·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C ．πD ．2π 解析：C [由题意y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其周期T ＝2π2＝π.] 2．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________． 解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或3求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；(3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断． [跟踪训练](·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2 x －sin 2 x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：B [f (x )＝2cos 2x －(1－cos 2x )＋2＝3cos 2x ＋1＝32cos 2x ＋52，∴最小正周期为π，最大值为4.故选B.][命题角度2] 三角函数的对称轴或对称中心3．当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：C [∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．]若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可．[跟踪训练]设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 解析：B [∵函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π6的图象关于直线x ＝0对称，∴函数f (x )为偶函数，∴φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2cos 2x ，∴T ＝2π2＝π.∵0<x <π2，∴0<2x <π，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．故选B.] [命题角度3] 三角函数奇偶性、对称性的应用4．(·拉萨市一模)使函数f (x )＝3sin (2x ＋θ)＋cos (2x ＋θ)是偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：B [∵函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos (2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6是偶函数， ∴θ＋π6＝k π＋π2，即θ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此可取θ＝π3，此时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上，即2x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )是减函数．故选B.]5．(·雅安市模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的对称轴方程为________．解析：对于函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，令k ＝0，可得函数在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的对称轴方程为x ＝π12. 答案：x ＝π12函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、对称性的应用(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．[跟踪训练](·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：C [∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |， ∴f (x )是偶函数，①对；f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，②错； f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错； f (x )的最大值为2，④对．故选C.]1．(·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π 解析：C [f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的周期T ＝2π2＝π.故选C.]2．(·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15解析：A [由诱导公式得cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )＝ 15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最大值为65.故选A.] 3．函数f (x )＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数解析：B [因为函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝ cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.] 4．(·昆明市一模)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：B [直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，∴a ＝12，∴不等式化为tanx ≥1，解得k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z ；∴所求不等式的解集为{x |k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z }．]5．(·长市一模)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π)，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.⎝⎛⎭⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心 C ．∅＝π3D ．x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴解析：A [函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)，且f (0)＝ 2sin φ＝1，∴sin φ＝12.又0＜φ＜π，∴φ＝π6或5π6；当φ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝2，当φ＝5π6时，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π6＋5π6＝2，故A 正确．]6．(·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 解析：由f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，有3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k 3π＋π9，由0≤k 3π＋π9≤π得k 可取0,1,2，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上有3个零点． 答案：3 7．函数f (x )＝3＋2cos x 的定义域为________．解析：要使函数f (x )＝3＋2cos x 有意义，则3＋2cos x ≥0即cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π， 所以，在实数集上不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z8．(·鄂伦自治旗一模)若函数f (x )＝1＋a sin (ax ＋π6(a ＞0))的最大值为3，则f (x )的最小正周期为______．解析：函数f (x )＝1＋a sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π6的最大值为3， ∴1＋a ＝3，解得a ＝2. ∴f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝π.答案：π9．(·玉溪市模拟)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1 (1)求f ⎝⎛⎭⎫π2(2)求f (x )的最大值和最小正周期． 解：(1)函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π2－π4＋1＝2×22＋1＝2. (2)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， 当2x －π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π8＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值为2＋1， 最小正周期为T ＝2πω＝π.10．(·泸州市模拟)已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a 的最大值为22. (1)求a 的值；(2)求使f (x )≥0成立的x 的集合．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a ＝12sin 2x －1＋cos 2x 2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋a －12， ∴f (x )max ＝22＋a －12＝22，∴a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由f (x )≥0，得22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥0， 即2k π≤2x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，∴π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )≥0成立的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .。