2019新版湘教版八年级上册数学全册教案

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八年级上册数学全册教案(2013年新版湘教版)5.3。

2 二次根式的混合运算（第10课时) 教学内容 : 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题： 1．计算 (1）(2x+y）•zx (2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 (1)（2x+3y)（2x—3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有(1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式;（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；(5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切,•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算: （1）（ + ）× （2）(4 -3 ）÷2 分析:二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．解：(1）( + ）× = × + × = + =3 +2 (2）解:（4 -3 ）÷2 =4 ÷2 -3 ÷2 =2 - 例2．计算（1）（ +6）(3- ) （2）（ + ）（— ) 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1）（ +6）（3- ） =3 -（）2+18—6 =13-3（2）( + ）（—） =（ )2-（）2 =10-7 =3 三、应用拓展例3．已知=2—,其中a、b是实数，且a+b≠0，化简 + ，并求值．分析:由于（ + )（ - ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化,再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值,代入化简得结果即可．解：原式= + = + =（x+1)+x—2 +x+2 =4x+2 ∵ =2- ∴b（x—b）=2ab—a(x—a）∴bx-b2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b)x=（a+b)2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4(a+b）+2 五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业 1．P172 习题5.3 B组 5、6 2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题 1．（ -3 +2 ）× 的值是（ )． A． -3 B．3 - C．2 — D．— 2．计算（ + ）（—）的值是（ )． A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空题 1．（— + ）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（1—2 ）（1+2 ）—（2 —1)2的计算结果（用最简二次根式表示)是_______． 3．若x= —1,则x2+2x+1=________． 4．已知a=3+2 ，b=3—2 ,则a2b-ab2=_________．三、综合提高题 1．化简 2．当x= 时,求 + 的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式,就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ )． A．与 B．与 C．与 D．与 2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数,不含有二次根式：如x+1—与x+1+ 就是互为有理化因式; 与也是互为有理化因式．练习： + 的有理化因式是________； x- 的有理化因式是_________．— - 的有理化因式是_______． 3．分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化 (1) ; （2）；（3）；（4）． 4．其它材料：如果n是任意正整数，那么 =n 理由： = =n 练习:填空 =_______；=________； =_______．答案：一、1．A 2．D 二、1．1—2．4 -24 3．2 4．4 三、1．原式＝ = = =-（—）= —2．原式＝ = = = 2（2x+1）∵x= = +1 原式＝2（2 +3）=4 +6.二次根式小结与复习（第11、12课时）有关二次根式的化简与运算是初中数学的重、难点之一，由于这类题目形式灵活，同时对整式、分式的运算和性质有着密切的联系，所以成为考察学生综合运用能力的“试金石”,现将一些常见的运算错误归纳如下 ,希望同学们加以注意，并引以为戒．一、概念不清例1．下列各式中，哪些是二次根式?哪些不是二次根式？为什么？， , 错解：， , 都是二次根式；不是二次根式．剖析：对二次根式的定义理解不透,认为只要带二次根号，即为二次根式，忽视了二次根式中a≥0的条件，所以同学们在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数．正解: ，，都是二次根式； , ，不是二次根式．二、违背运算顺序例2．计算: 错解:原式= 剖析：由于乘除是同一级运算,因此按顺序除在前，就要先算除法．正解：原式= ．三、错用运算法则例3．化简：．错解:原式= ．剖析：本题乱套乘法分配律，应注意：．正解: 原式= ．四、错用根式性质例4．计算：(1）；（2）错解:（1）原式= ； (2）原式= ．剖析：二次根式的性质有：；；而不存在．正解：(1 ）原式= ．五、忽视字母范围例5．计算：错解：原式= ．剖析：本题的分子、分母同乘以时，不允许a=b，错在没有注意a=b的情形．正解：（1）当a≠b时, 原式= ；（2）当a=b时，原式= ．六、忽视隐含条件例6．化简: ．错解：原式= ．剖析：本题隐含着，所以a＜0，这个条件．正解：原式= ．七、忽视限制条件例7．已知a+b=-2，ab=1，求的值．错解：原式= ．剖析：应用二次根式的运算性质： ; 时,必须这样括号里的条件，本题由a+b=—2，ab=1可知a＜0，b＜0,不满足性质的条件造成错误．正解:由条件可知a＜0，b＜0，所以原式= ．八、忽视题设条件例8．化简：（≤x≤ )．错解:原式= ．剖析：这里忽视了≤x≤ 这个条件，当有附加条件时，要注意的应用．正解：因为≤x≤ ，所以—3≤x≤5,所以2x+3≥0，2x-5≤0，所以，原式= ．九、忽视分类讨论例9．化简：．错解：．剖析：此题的限制条件不明确,又没有隐含条件,在利用化简时，必须利用零点分段法进行分类讨论，否则易出现错误．正解：第一步:找分点，令x+2=0,x-1=0，所以x=—2 ，x=1; 第二步，分区间，x＜-2，—2 ≤x＜1，x≥1；第三步，分段按条件化简：当x＜-2时,原式=-（x+2）+（1—x）=-2x —1；当—2≤x＜1时，原式=x+2+1-x=3；当x ≥1时,原式=x+ 2+x—1=2x+1．第五章二次根式单元检测题姓名________. 第13、14课时一．选择题 (每小题4分，共40分） 1. 下列运算正确的是 A. B. C. D。

八年级（上）数学科计划一、指导思想以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。

数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。

对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。

现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。

数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。

湘教版数学八年级上册教案1．1 分 式第1课时 分式的概念1．理解分式的概念，并能用分式表示现实生活中的量；2．掌握分式有、无意义的条件及分式的值为0的条件；(重点，难点) 3．会求分式的值．一、情境导入埃及金字塔相传是古埃及法老的陵墓，是世界公认的“古代世界七大奇迹”之一．其中最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔．胡夫金字塔底部边长230公尺，高146公尺，重大约650万吨，共用了x 万块石头，那么平均每块石头重多少吨？二、合作探究探究点一：分式的概念代数式－13x 2，a ＋2a －1，35，x －2π，3x 2y ，x2x 中的分式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：a ＋2a －1，3x 2y ，x2x中的分母含有字母，是分式．其他的代数式分母不含字母，不是分式．故选C.方法总结：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．特别注意π是常数，不是字母，因此x －2π不是分式．另外对于分式的判断是针对式子的形式，而不是化简之后的结果，如x2x不能约分后再判断，其分母中含有字母即为分式．探究点二：分式有、无意义的条件 【类型一】 分式有意义的条件若分式2x|x |－1有意义，则( )A ．x ≠－1B ．x ≠1C ．x ≠1且x ≠－1D ．x 可为任何数解析：当分母不等于0时，分式有意义，即|x |－1≠0，∴x ≠1且x ≠－1.故选C. 方法总结：分式有意义的条件是分母不等于0.【类型二】 分式无意义的条件当a 为何值时，分式a －12a ＋1无意义？解：分式无意义，则2a ＋1＝0，∴a ＝－12.方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.探究点三：分式的值【类型一】 分式值为0的条件若分式x 2－1x －1的值为0，则( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝±1D ．x ≠1解析：由x 2－1＝0解得：x ＝±1，又∵x －1≠0即x ≠1，∴x ＝－1，故选B.方法总结：分式的值为0应同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.应特别注意后一个条件．【类型二】 求分式的值当a ＝3时，求分式a 2－3a ＋3的值．解：当a ＝3时，a 2－3a ＋3＝32－33＋3＝1.方法总结：求分式的值与求代数式的值的方法一样，用数值代替分式中的字母，再化简计算即可．三、板书设计分式⎩⎪⎨⎪⎧分式的概念分式有无意义的条件⎩⎪⎨⎪⎧分式有意义：分母≠0分式无意义：分母＝0分式的值⎩⎪⎨⎪⎧分式的值为0：分子＝0且分母≠0求分式的值在教学过程中，通过生活中的情境导入，引导学生观察、类比(分数)、猜想、归纳，经历数学概念的生成过程．通过实例强调分式的值为0应同时具备两个条件：分子等于0而分母不等于0，这样突出重点，突破难点．第2课时 分式的基本性质1．通过与分数的类比学习，掌握这一基本而常用的数学思想方法；2．掌握分式的基本性质，并会运用分式的基本性质把分式变形；(重点，难点)3．理解最简分式的概念，会根据分式的基本性质把分式约分，化为最简分式．(重点)一、情境导入1．我们学过下列分数：12，24，36，它们是否相等？为什么？2．请叙述分数的基本性质．3．类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗？二、合作探究探究点一：分式的基本性质【类型一】 分式基本性质的应用填空：(1)3xy ＝（ ）3ax 2y ；(2)x 2－y 2（x －y ）2＝x ＋y（ ）. 解析：(1)小题中，分母由xy 变为3ax 2y ，只需乘以3ax ，根据分式的基本性质，分子也应乘以3ax ，所以括号中应填9ax .(2)小题中，分子由x 2－y 2变为x ＋y ，只需除以x －y ，根据分式的基本性质，分母也应除以x －y ，所以括号中应填x －y .方法总结：利用分式的基本性质求未知的分子或分母时，若求分子，则看分母发生了何种变化，这时分子也应发生相应的变化；若求分母，则看分子发生了何种变化，这时分母也应发生相应的变化．【类型二】 分式的符号法则下列各式从左到右的变形不正确的是( )A.－23y ＝－23y B.－y －6x ＝y 6xC ．－8x 3y ＝8x －3yD ．－a －b y －x ＝b －a x －y解析：选项A 中，同时改变分式的分子及分式本身的符号，其值不变，正确；选项B 中，同时改变分式的分子、分母的符号，其值不变，正确；选项C 中，同时改变分式的分母及分式本身的符号，其值不变，正确；选项D 中，分式的分子、分母及分式本身的符号，同时改变三个，其值变化，错误．故选D.方法总结：根据分式的符号法则，分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变．探究点二：分式的约分【类型一】 运用约分，化简分式约分：(1)8x 2yz 3－32xyz 5； (2)a 2＋ab a 2＋2ab ＋b 2. 解析：约分的关键是确定分式中分子、分母的公因式，(1)中分子与分母的公因式是8xyz 3，(2)小题先因式分解，分子与分母的公因式是(a ＋b )．解：(1)原式＝x ·8xyz 34z 2·（－8xyz 3）＝－x4z2； (2)原式＝a （a ＋b ）（a ＋b ）2＝aa ＋b. 方法总结：①约分的依据是分式的基本性质，关键是找出分子与分母的公因式；②约分时必须将分子、分母先写成乘积的形式，再进行约分，不能只对分子、分母中的某一项或某一部分进行约分；③约分一定要彻底，约分的结果应是最简分式或整式．【类型二】 运用约分，化简求值先约分，再求值：2a 2－ab4a 2－4ab ＋b 2，其中a ＝－1，b ＝2.解：原式＝a （2a －b ）（2a －b ）2＝a2a －b. 当a ＝－1，b ＝2时，a 2a －b ＝－12×（－1）－2＝14.方法总结：利用分式的基本性质约分求值时，要先把分式化为最简分式再代值计算．探究点三：最简分式下列分式是最简分式的是( ) A.2a 3a 2b B.aa 2－3aC.a ＋b a 2＋b 2D.a 2－ab a 2－b 2解析：选项A 中的分子、分母能约去公因式a ，故选项A 不是最简分式；选项B 中的分子、分母能约去公因式a ，故选项B 不是最简分式；选项C 中的分子、分母没有公因式，选项C 是最简分式，故选C ；选项D 中的分子、分母能约去公因式(a －b )，故选项D 不是最简分式．方法总结：判断最简分式的标准是分子与分母是否有公因式，如果有公因式就不是最简分式．当分子、分母是多项式时，一般要进行因式分解，以便判断是否能约分．三、板书设计 分式的基本性质：f g ＝f ·hg ·h ，f g ＝f ÷hg ÷h(h ≠0)↓约分 (找出分子与分母的公因式) ↓最简分式 (分子与分母无公因式)本节课利用类比分数的基本性质学习了分式的基本性质，在学习过程中，应注重让学生在学法上的迁移，突出分式基本性质中的的两个关键词：“都”、“同”，尽量避免符号出错．1．2 分式的乘法和除法第1课时 分式的乘除1．理解并掌握分式的乘、除法法则；2．会用分式的乘、除法法则进行运算．(重点，难点)一、情境导入1．请同学们计算： (1)34×52； (2)13÷25. 2．根据上述分数的乘、除法运算，你能猜想下面这两个式子的运算结果吗？ (1)f g ·u v ； (2)f g ÷u v.二、合作探究探究点一：分式的乘法运算【类型一】 分子、分母都是单项式计算： (1)16xy y 2·y 22x ； (2)5a 3bc 22x 2y ·－8x 2y 310a 2bc2.解析：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母，然后再约分． 解：(1)16xy y 2·y 22x ＝16xy ·y 2y 2·2x＝8y ；(2)5a 3bc 22x 2y ·－8x 2y 310a 2bc 2＝－5a 3bc 2·8x 2y 32x 2y ·10a 2bc2＝－2ay 2.方法总结：分式乘法运算的方法：①注意运算顺序及解题步骤，注意符号问题，不要漏乘负号；②整式与分式的运算，根据题目的特点，可将整式化为分母为“1”的分式；③运算中及时约分、化简；④注意运算律的正确使用；⑤结果应化为最简分式或整式．【类型二】 分子、分母中有多项式计算：m 2－4n 2m 2－mn ·m －nm 2－2mn.解析：观察分式的特点，分子与分母含有多项式，应先将多项式因式分解，再应用分式乘法法则运算．解：m 2－4n 2m 2－mn ·m －n m 2－2mn ＝（m ＋2n ）（m －2n ）m （m －n ）·m －n m （m －2n ）＝m ＋2n m2.方法总结：分式中含多项式的乘法运算的一般步骤：①运用分式乘法的法则，用分子之积作为新分子，用分母之积作为新分母；②确定分子与分母的公因式；③约分，化为最简分式或整式．探究点二：分式的除法运算【类型一】 分子、分母都是单项式计算：2m 5n ÷4m2－10n2.解析：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 解：2m 5n ÷4m 2－10n 2＝－2m 5n ·10n 24m 2＝－n m. 方法总结：进行分式的除法运算时，先把分式的除法转化成乘法，然后按照乘法法则进行计算，要注意结果的符号．【类型二】 分子、分母中有多项式计算：(1)x 2－1y ÷x ＋1y2；(2)(xy －x 2)÷x －yxy； (3)x 2－6x ＋99－x 2÷2x －6x 2＋3x. 解析：(1)小题中，先把除法转化为乘法，把x 2－1因式分解，再约分．(2)小题中，把xy －x 2看作是分母是1的分式，把除法转化为乘法，因式分解，再约分．(3)小题中，把除法转化为乘法，把各个分子、分母因式分解，再约分．解：(1)原式＝（x ＋1）（x －1）y ·y2x ＋1＝y (x －1)；(2)原式＝x (y －x )·xy x －y＝－x 2y ； (3)原式＝（x －3）2－（x ＋3）（x －3）·x （x ＋3）2（x －3）＝－x2.方法总结：分式的除法计算首先要转化为乘法运算，若除式是整式，应将这个整式看作是分母为“1”的分式，然后对式子进行化简．化简时如果分子、分母有多项式，一般应先进行因式分解，然后再约分．分式的乘除运算实际就是分式的约分．三、板书设计1．分式的乘法：f g ·u v ＝fu gv.2．分式的除法：f g ÷u v ＝f g ·v u ＝fv gu(u ≠0)．本节课学习了分式的乘、除法运算，通过观察、比较、猜想、分析，类比分数的乘、除法运算，得出分式的乘、除法运算法则．在运算中，把除法转化为乘法，分子、分母有多项式的要先因式分解，同时要注意避免符号出错．第2课时 分式的乘方1．理解并掌握分式的乘方法则，并会运用分式的乘方法则进行分式的乘方运算；(重点) 2．进一步熟练掌握分式乘、除法的混合运算．(难点)一、情境导入1．计算：(35)2，(35)3，(35)n；2．类似地，请你计算：(fg)n.二、合作探究探究点一：分式的乘方计算： (1)(3y 2x 2)2； (2)(－x 2y 2z 2xyz)3.解析：把分式的分子、分母分别乘方，(2)小题还可以先约分，再乘方． 解：(1)(3y 2x 2)2＝（3y ）2（2x 2）2＝9y 24x 4；(2)(－x 2y 2z 2xyz )3＝（－x 2y 2z ）3（2xyz ）3＝－x 3y38. 方法总结：分式的乘方，把分子、分母各自乘方，运算时要注意符号，明确“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”，还要注意最后结果是最简分式或整式．探究点二：分式的乘除、乘方混合运算计算：(1)(－2a 2b cd 3)3÷2a d 3·(c a)3；(2)(ab 3)2·(－b a2)3÷(－b a)4；(3)a －b a ·(b b －a )2÷b 2a2.解析：先算乘方，再把除法转化为乘法，然后约分． 解：(1)(－2a 2b cd 3)3÷2a d 3·(c a )3＝－8a 6b 3c 3d 9·d 32a ·c 3a 3＝－4a 2b 3d6；(2)(ab 3)2·(－b a 2)3÷(－b a )4＝a 2b 6·(－b 3a 6)·a 4b4＝－b 5；(3)a －b a ·(b b －a )2÷b 2a 2＝a －b a ·b 2（a －b ）2·a 2b 2＝aa －b. 方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后结果应化成最简分式或整式，通常情况下，计算得到的最后结果要使分子和分母第一项的符号为正号．对于含负号的分式，奇次方为负，偶次方为正．三、板书设计1．分式的乘方法则：(f g )n ＝f ngn .2．分式乘除、乘方的混合运算：先算乘方，再算乘除．本节课学习了分式的乘方及分式的乘除、乘方混合运算，在教学中应注重激发学生的积极性，勇于尝试．本节课的混合运算是一个难点，也是学生常出错的地方，教学时要引导学生注意运算顺序，优先确定运算符号，提高运算的准确率．1．3整数指数幂1．3.1同底数幂的除法1．经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则；2．会用同底数幂的除法法则进行运算．(重点，难点)一、情境导入传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨·班·达依尔．这位聪明的大臣跪在国王面前说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍．国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的．”说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了……还没到第二十小格，袋子已经空了，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言．问题1：国王应该给发明者多少粒麦子？问题2：假如一粒麦子是0.02克，用计算器算出国王应奖励给发明者的麦子总质量大约多少克？问题3：假如每个人每顿吃250克，一天三顿饭，一年365天，这些粮食可供1010(10亿)人食用多少年？二、合作探究探究点一：同底数幂的除法【类型一】底数是单项式计算：(1)(－a)3÷(－a)2; (2)(a3)2÷a5；(3)（xy3）3（－xy3）2； (4)－x3n＋2x3n－1.解析：根据同底数幂的除法法则，即a m÷a n＝a m－n进行运算．(3)小题可先确定符号，再按同底数幂的除法法则计算．解：(1)原式＝(－a)3－2＝－a；(2)原式＝a 6÷a 5＝a6－5＝a ；(3)原式＝（xy 3）3（xy 3）2＝xy 3；(4)原式＝－x 3.方法总结：进行同底数幂的除法运算时，只有底数相同时，才能把指数相减．因此计算时首先必须确定底数是否相同，如果底数是互为相反数，可以通过符号变化把底数化为相同．【类型二】 底数是多项式计算：(1)(x －y )8÷(y －x )6；(2)(a －b )3(b －a )2n ÷(a －b )2n －1.解析：底数为多项式时，可把多项式看作一个整体，再根据同底数幂的除法法则计算．解：(1)原式＝(y －x )8÷(y －x )6＝(y －x )2；(2)原式＝(a －b )3(a －b )2n ÷(a －b )2n －1＝(a －b )3＋2n －(2n －1)＝(a －b )4.方法总结：两数(式)互为相反数，则它们的偶次幂相等，奇次幂仍是互为相反数．即：(b －a )2n ＝(a －b )2n ，(b －a )2n ＋1＝－(a －b )2n ＋1.(n 是正整数)探究点二：逆用同底数幂的性质已知a m ＝3，a n ＝4，求a 2m －n的值．解析：首先应用含a m 、a n 的代数式表示a 2m －n ，然后将a m 、a n的值代入即可求解．解：∵a m ＝3，a n＝4，∴a2m －n＝a 2m ÷a n ＝(a m )2÷a n ＝32÷4＝94.方法总结：逆用同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m －n，可以得到a m －n＝a m÷a n.解决这类问题的关键在于把要求的式子a m －n 分别用a m 和a n来表示．这类题一般同时考查两个知识点：同底数幂的除法，幂的乘方，解题时应熟练掌握运算性质并能灵活运用．探究点三：同底数幂除法的实际应用某种液体中每升含有1012个有害细菌，某种杀虫剂1滴可杀死109个此种有害细菌．现要将这种2升液体中的有害细菌杀死，要用这种杀虫剂多少滴？解析：根据题意可知2升液体中有2×1012个有害细菌，而1滴可杀死109个此种有害细菌，把两个量相除即可求得答案．解：∵液体中每升含有1012个有害细菌，∴2升液体中的有害细菌有2×1012个，又∵杀虫剂1滴可杀死109个此种有害细菌，∴用这种杀虫剂的滴数为2×1012÷109＝2×103＝2000滴． 方法总结：本题主要考查同底数幂的除法及学生阅读理解题意的能力，是数学与生活相结合的例子．解决这类问题的方法是：先列出解决问题的式子，再根据同底数幂的除法法则进行计算．三、板书设计 同底数幂的除法a m＝a m－n(a≠0)．即：同底数幂相除，底数不变，指数相减．a n本节课学习了同底数幂的除法法则及运用法则进行计算．易错点有两个：一是理解法则错误，认为同底数幂相除，底数不变，指数相除；二是对于底数是互为相反数的指数幂的除法运算，容易出现符号错误．在课堂上，让学生把这些错误展示在黑板上，大家共同分析产生错误的原因以及怎样避免错误的发生．1．3.2 零次幂和负整数指数幂1．理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算；(重点，难点) 2．会用科学记数法表示绝对值较小的数．(重点)一、情境导入上节课我们学习了同底数幂的除法法则：a m a n ＝a m －n，其中a ≠0，m ，n 是正整数，且m ＞n .在这里，如果m ＝n 或m ＝0，又会出现什么结果呢？二、合作探究 探究点一：零次幂【类型一】 零次幂有意义的条件已知(3x －2)0有意义，则x 应满足的条件是________．解析：根据零次幂的意义可知：(3x －2)0有意义，则3x －2≠0，x ≠23.故填x ≠23.方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于0，所以解决有关零次幂的意义类型的题目时，可列出关于底数不等于0的式子求解即可．【类型二】 零次幂的运算计算： (1)30; (2)(－2)0；(3)(－12)0; (4)－22＋|4－7|＋(3－π)0.解析：(1)，(2)，(3)小题根据零次幂的意义计算；(4)小题先分别求乘方、绝对值、零次幂，再计算．解：(1)30＝1；(2)(－2)0＝1；(3)(－12)0＝1；(4)－22＋|4－7|＋(3－π)0＝－4＋3＋1＝0.方法总结：①任何不等于零的数的零次幂等于1.零次幂式子的特征是：底数不等于0，指数等于0，要注意的是结果等于1而不等于0.②零次幂与其他运算相结合时，要分别计算．计算－22时，易错误的计算为－22＝4，因此要正确理解－22和(－2)2的意义．【类型三】 零次幂的综合运用若(x －1)x ＋1＝1，求x 的值．解析：由于任何不等于零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，－1的偶数次幂等于1，故应分三种情况讨论．解：①当x ＋1＝0，即x ＝－1时，原式＝(－2)0＝1；②当x －1＝1，x ＝2时，原式＝13＝1；③x －1＝－1，x ＝0，0＋1＝1不是偶数．故舍去． 故x ＝－1或2.方法总结：乘方的结果为1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于1；1的任何次幂都等于1；－1的偶次幂等于1即在底数不等于0的情况下考虑指数等于0；考虑底数等于1或－1.探究点二：负整数指数幂【类型一】 负整数指数幂的意义与运算计算：(1)3－3； (2)(－2)－2； (3)(－23)－4.解析：根据负整数指数幂的意义知，一个数的负整数指数幂的结果，底数是原来底数的倒数，指数是原来指数的相反数．解：(1)3－3＝133＝127；(2)(－2)－2＝1（－2）2＝14；(3)(－23)－4＝(－32)4＝8116.方法总结：求负整数指数幂的方法：把底数取倒数，指数变为相反数．【类型二】 运用零次幂和负整数指数幂来计算计算：|－5|－(π－1)0＋(12)－2.解析：本题涉及零次幂、负整数指数幂、绝对值三个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据运算法则计算．解：|－5|－(π－1)0＋(12)－2＝5－1＋22＝5－1＋4＝8.方法总结：此题主要考查了学生的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零次幂、绝对值等考点的运算．【类型三】 运用零次幂和负整数指数幂来化简、求值已知a x＝3，求a 2x －a －2xa x －a－x 的值．解析：根据负整数指数幂的意义先化简分式，然后代入求值．解：a 2x －a －2x a x －a －x ＝（a x ）2－（a －x ）2a x －a －x＝a x ＋a －x ＝3＋3－1＝103. 方法总结：求值时，把要求的式子根据负整数指数幂的意义用已知的式子表示出来是解题的关键．探究点三：用科学记数法表示绝对值小于1的数一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为( )A．6.5×10－5 B．6.5×10－6C．6.5×10－7 D．65×10－6解析：把0.0000065的小数点向右移动6位变成6.5×0.000001＝6.5×10－6，故选B.方法总结：绝对值很小的数用科学记数法表示时，先把小数点向右移动n位，使这个数变成一个整数数位只有一位的数a，再在后面乘以10－n.即用科学记数法把一个绝对值很小的数写成a ×10－n的形式时，n等于第一个非零数前面零的个数(包括小数点前面的零)．三、板书设计1．零次幂2．负整数指数幂3．科学记数法：a×10－n(1≤|a|＜10，n等于第一个非零数前面所有零的个数)．本节课学习了零次幂和负整数指数幂，在学习中，以正整数指数幂为基础，探究零次幂和负整数指数幂的运算法则．本节课的易错点一是误认为零次幂等于0，二是用科学记数法表示绝对值小于1的数：a×10－n，误认为一定是负数．在课堂教学中，老师应让学生积极参与，主动练习，从练习中发现问题，纠正错误．1．3.3 整数指数幂的运算法则1．理解整数指数幂的运算法则；2．会用整数指数幂的运算法则进行计算．(重点，难点)一、情境导入1．请同学们回顾，我们学过的正整数指数幂的运算法则有哪些？2．我们在前面还学过，可以把幂的指数从正整数推广到整数．这时我们怎样理解这些运算法则呢？二、合作探究探究点一：整数指数幂的运算【类型一】 乘积形式的整数指数幂的运算计算：(1)(－a )3÷a －1÷(a －2)－2；(2)(a －2b －3)－3·(a 2b )－2；(3)(2x －3y 2z －2)－2(3xy －3z 2)2；(4)(－2a －3)2b 3÷2a －6b －2.解：(1)原式＝－a 3÷a －1÷a 4＝－a 4÷a 4＝－1；(2)原式＝a 6b 9·a －4b －2＝a 2b 7；(3)原式＝(2－2x 6y －4z 4)(32x 2y －6z 4)＝2－2·32x 8y－10z 8＝9x 8z 84y10；(4)原式＝4a －6b 3÷2a －6b －2＝2b 5.方法总结：整数指数幂的运算要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除．最后结果要化为正整数指数．【类型二】 商形式的整数指数幂的运算计算：(1)(x 2＋x x 2＋2x ＋1)－1÷(x x ＋1)－2；(2)[(2a －3b －2c 3a －4b －2)－1]－2；(3)[（a －b ）－3（a ＋b ）3（a ＋b ）2（a －b ）－2]－2. 解：(1)原式＝[x （x ＋1）（x ＋1）2]－1·(x x ＋1)2＝x ＋1x ·x 2（x ＋1）2＝xx ＋1；(2)原式＝(2a －3b －2c 3a －4b －2)2＝4a 2c29；(3)原式＝（a －b ）6（a ＋b ）－6（a ＋b ）－4（a －b ）4＝（a －b ）2（a ＋b ）2.方法总结：商形式的整数指数幂的运算有两种方法：一是先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再约分化简；二是先计算整数指数幂，最后再把负整数指数幂化为正整数指数幂．【类型三】 逆用幂的运算法则求值已知a －m ＝3，b n ＝2，则(a －m b －2n )－2＝________．解析：(a －m b－2n )－2＝(a －m )－2·b 4n ＝(a －m )－2(b n )4＝3－2×24＝169.故填169.方法总结：把要求的代数式逆用幂的运算法则，用已知的式子来表示是解题的关键．计算：(278)x －1·(23)3x －4.解：(278)x －1·(23)3x －4＝(32)3x －3·(23)3x －4＝(23)3－3x ·(23)3x －4＝(23)3－3x ＋3x －4＝(23)－1＝32.方法总结：利用负整数指数幂，把底数是互为相反数的两数可以转化为相同，再根据幂的运算法则进行计算．探究点二：整数指数幂运算的实际应用某房间空气中每立方米含3×106个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现1毫升杀菌剂可以杀死2×105个这种病菌，问要将长10m ，宽8m ，高3m 的房间内的病菌全部都杀死，需要多少杀菌剂？解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)＝(720×106)÷(2×105)＝360×10＝3.6×103(毫升)．答：需要3.6×103毫升杀菌剂才能将房间中的病菌全部杀死．方法总结：科学记数法在实际生活中应用广泛，在运用科学记数法解题时要注意a ×10－n中n 的值．三、板书设计整数指数幂的运算法则：(1)同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n(a ≠0，m ，n 都是整数)；(2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn(a ≠0，m ，n 都是整数)；(3)积的乘方：(ab )n ＝a n ·b n(a ≠0，b ≠0，n 是整数)．本节课通过把正整数指数幂的五个运算法则，推广到整数范围内，从而可用三个运算法则来概括．整数指数幂的运算是学生学习过程中的一个难点，也是易错点，在教学过程中，可让学生把典型错误展示在黑板上，引导学生分析产生错误的原因．1．4 分式的加法和减法第1课时 同分母分式的加减1．理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算；(重点) 2．会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算．(难点)一、情境导入市场上有A ，B 两种电脑，花10000元可以买A 型电脑a 台，花8000元可以买B 型电脑a 台，A 型电脑比B 型电脑每台贵多少元？二、合作探究探究点一：同分母分式的加减法计算： (1)3a －2b 3ab －3a ＋3b 3ab ；(2)1a －1＋－a 2a －1； (3)x －2x －1－2x －3x －1. 解析：根据同分母分式加减法的法则，把分子相加减，分母不变．注意(1)，(3)两小题属于同分母分式的减法运算，减式的分子要变号．解：(1)原式＝3a －2b －3a －3b 3ab ＝－5b 3ab ＝－53a ；(2)原式＝1－a 2a －1＝－（a ＋1）（a －1）a －1＝－a －1；(3)原式＝x －2－2x ＋3x －1＝－x ＋1x －1＝－1.方法总结：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式．探究点二：分式的符号法则计算： (1)2x 2－3y 2x －y ＋x 2－2y 2y －x ；(2)2a ＋3b b －a ＋2b a －b －3b b －a.解析：(1)先把第二个分式的分母y －x 化为－(x －y )，再把分子相加减，分母不变； (2)先把第二个分式的分母a －b 化为－(b －a )，再把分子相加减，分母不变． 解：(1)原式＝2x 2－3y 2x －y －x 2－2y2x －y＝2x 2－3y 2－（x 2－2y 2）x －y＝x 2－y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y＝x ＋y ； (2)原式＝2a ＋3b b －a －2b b －a －3b b －a＝2a ＋3b －2b －3b b －a＝2a －2b b －a ＝－2（b －a ）b －a＝－2. 方法总结：分式的分母是互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．三、板书设计1．同分母分式加减法的法则：f g ±h g ＝f ±hg.2．分式的符号法则：f g ＝－f －g ，－f g ＝f －g ＝－f g.本节课通过同分母分数的加减法类比得出同分母分式的加减法．易错点一是符号，二是结果的化简．在教学中，让学生参与课堂探究，进行自主归纳，并对易错点加强练习．从而让学生对知识的理解从感性认识上升到理性认识．第2课时 分式的通分1．会确定几个分式的最简公分母；2．会根据分式的基本性质把分式进行通分．(重点，难点)一、情境导入 1．通分：12，23.2．分数通分的依据是什么？ 3．类比分数，怎样把分式通分？ 二、合作探究探究点一：最简公分母分式1x 2－3x 与2x 2－9的最简公分母是________． 解析：∵x 2－3x ＝x (x －3)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为：x (x ＋3)(x －3)． 方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．探究点二：分式的通分【类型一】 分母是单项式分式的通分通分．(1)c bd ，ac2b2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc2； (3)45y 2z ，310xy 2，5－2xz2. 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．解：(1)最简公分母是2b 2d ，c bd ＝2bc 2b 2d ，ac 2b 2＝acd 2b 2d； (2)最简公分母是6a 2bc 2，b 2a 2c ＝3b 2c 6a 2bc 2，2a 3bc 2＝4a36a 2bc2；(3)最简公分母是10xy 2z 2，45y 2z ＝8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5－2xz 2＝－25y210xy 2z2.方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．【类型二】 分母是多项式分式的通分通分．(1)a 2（a ＋1），1a 2－a； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9. 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)，a 2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1），1a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2，2mn 4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2，3m 4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2. 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．三、板书设计 1．最简公分母 2．通分：(1)依据：分式的基本性质；(2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母．本节课学习了分式的通分，方法可类比分数的通分．在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．通分时，一要注意避免符号错误，二要注意通分不改变分式的值，即分母乘了一个整式，分子也要乘以同样的一个整式．。

1.1 分式（第1课时）【教学目标】1、 了解分式的基本概念并能用分式表示现实生活中的数量关系，会判断一个代数式是否为分式；2、 会求使一个分式有意义的条件；会判断分式的值是否为零，会求分式的值；3、 通过类比学习，经历分式的概念形成过程，初步学会运用类比转化的数学思想方法研究数学问题；4、 感受事物之间的联系，培养良好的辩证思维，严谨的科学态度。

【教学重点】理解分式的概念，掌握分式有意义的条件，会求分式的值。

【教学难点】掌握分式有意义的条件，分式值为零的条件。

【教学过程】一、 情境引入1、（1）某长方形的面积为S m 2,长为4m,则它的宽为 m; （2）某长方形的面积为12 m 2,长为x m,则它的宽为 m; （3）某三角形的面积为3 m 2,底为x m,则它的高为 m; （4）苹果a 元/千克，梨子b 元/千克，小明买了2千克苹果，n 千克梨子，共花元；（5）一个数除以这个数与2的差，设这个数为x ，则可以列式表示；（6）在一次数学考试中，小亮得m 分，小明得n 分，小红是小亮与小明得分和的一半，则小红得分。

2、将上面所列的分数式进行分类，说说你的分类标准（不用拘泥于按整式与分式分类，但老师在引导中，要引出整式与分式的分类，由此引出课题）二、 自主学习1、自学教材，回答下列问题：什么叫作分式？⒉下列代数式，哪些是分式？哪些是整式？3132,,,,,,3,3522x a x m n x x y x a y x y π--+-++-分式有：整式有：3、思考：分式5x x+中x 取任何实数都可以吗？为什么？ 4、小结知识：一个整式f 除以一个非零整式g （g 中含有字母），所得的商记作f g ，把代数式f g叫作分式，其中f 是分式的分子，g 是分式的分母，0g ≠。

三、典例精析例1：当x 取什么值时，分式34-+x x 的值，⑴不存在；⑵等于0。

（让学生独立思考，给出答案后再交流，教师参与给予适当指导。

第1章分式1.1 分式第1课时分式的概念【知识与技能】1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别.2.使学生能够求出分式有意义的条件.【过程与方法】让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.【情感态度】培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.【教学重点】理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.【教学难点】能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.一、情景导入，初步认知下列式子中哪些是整式？【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得的，所以必须熟练掌握整式的概念．二、思考探究，获取新知1.思考：（1）某长方形画的面积为Sm2，长为8m，则它的宽为____m.（2）某长方形画的面积为Sm2，长为xm，则它的宽为____m.（3）如果两块面积为x公顷，y公顷的稻田，分别产稻谷akg,bkg,那么这两块稻田平均每公顷产稻谷_____kg.【教学说明】要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况，教师可以给予适当的提示和引导.2.讨论内容：前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．【归纳结论】一般地，一个整式f 除以一个非零整式g （g 中含有字母）所得的商记作,那么代数式叫做分式．f g f g3.当x 取什么值时，分式的值满足下列条件：（1）不存在;（2）等223x x --于0.解：（1）当分母2x-3=0时，即x=时，分子的值为－2≠0，因此x=323232时，分式的值不存在.223x x --（2）当x -2=0，即x=2时，分式的值等于0.223x x --【教学说明】让学生通过观察，归纳、总结出整式与分式的异同，从而得到分式的概念.三、运用新知，深化理解1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？解：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式．2.若分式有意义，则x 的取值范围是（）13x -A.x ≠3B.x ≠-3C.x ＞3D.x ＞-3解：当分母x-3≠0，即x ≠3时，分式有意义，故选A.3.x 取什么值时，下列分式无意义？解：（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由2x-3=0，得x =, 所以当x=时，分式无意义．3232（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由5x+10=0，得x=-2,所以当x=-2 时，分式无意义．4.若分式的值为零，则x 的值为 1 .||11x x -+【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题.解：要使的值为0，则|x|-1=0，即x=±1，且x+1≠0，即x ≠-1．故||11x x -+x=1．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2题.在学习分式的概念时，借助整式的概念，用类比的思想进行教学，学生掌握的较好，能够紧抓概念，很容易的区分整式与分式.而在分式的值等于0的教学中，一部分学生都只考虑分式的分子等于0，而没有考虑分式的分母.因此，在后面的教学中对这方面的教学有待加强.第2课时分式的基本性质和约分【知识与技能】使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分.【过程与方法】通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力.【情感态度】让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.【教学重点】掌握分式的基本性质.【教学难点】运用分式的基本性质来化简分式.一、情景导入，初步认知1.分数的基本性质是什么？2.的依据是什么？31=62【教学说明】通过分数的约分，复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．二、思考探究，获取新知1.填空，并说一说下列等式从左到右变形的依据是什么？2.思考：与分式相等吗？分式与分式相等吗？3434a a 22a b ab a b【归纳结论】分式的分子与分母同乘以或除以一个非零整式，所得分式与原分式相等.即：（h ≠0）．f f g g g h⋅=⋅【教学说明】通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．3.想一想：下列等式成立吗？为什么？;f f f f g g g g--==--【教学说明】先让学生讨论，待学生回答后，教师引导学生得出结论：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.4.根据分式的基本性质填空：【教学说明】有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个公因式，有的学生不能正确找到分子、分母的公因式，导致约分的错误和不彻底，所以教师适当引导.【归纳结论】把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分.分子和分母没有公因式的分式叫作最简分式．三、运用新知，深化理解【教学说明】在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式，最后看看结果是否为最简分式或整式.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题1.1”中第5、6题.学生对分式的基本性质，能说能背.从表面上来看，掌握的比较好.但从练习中可以发现很多问题.如：不会找分式的分子、分母的公因式；分子、分母不同时乘或除；约分不彻底等.所以在这些方面要多练习.1.2分式的乘法和除法第1课时分式的乘除法【知识与技能】理解分式的乘、除运算法则，会进行简单的分式的乘、除法运算.【过程与方法】经历探索分式的乘、除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性.【情感态度】通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力.【教学重点】掌握分式的乘、除法运算法则.【教学难点】熟练地运用乘除法法则进行计算，提高运算能力.一、情景导入，初步认知计算，并说出分数的乘除法的运算法则：【教学说明】复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备.二、思考探究，获取新知1.探究：分式的乘除法法则你能总结分式乘除法的运算法则吗？与同伴交流.【归纳结论】分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.即：【教学说明】让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的运算法则.【教学说明】学生独立完成，教师点评.3.计算：【教学说明】如果分子、分母含有多项式因式，应先分解因式，然后按法则计算.三、运用新知，深化理解3.先化简，再求值：,其中a=-8,b=．222396a ab a ab b --+12解：当a=-8,b=时，124.甲队在n 天内挖水渠a 米，乙队在m 天内挖水渠b 米，如果两队同时挖水渠，要挖x 米，需要多少天才能完成？（用代数式表示）【教学说明】需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.2”中第1、4、5 题.在练习中暴露出一些问题，例如我在传授过程中急于求成，法则的引入没有给学生过多的时间，如果时间足够，学生自己得出法则并不是一件难事.在解决习题时，对学生容易出现的错误没有重点强调，所以学生在后面的练习中仍然出现这样那样的错误.学生答题的规范性还差了些，在黑板上的板书不到位，在以后的教学中应加强学生答题的规范性练习.第2课时分式的乘方【知识与技能】1.使学生牢记分式乘方的运算法则，并能根据此法则进行熟练无误的运算.2.学生能够熟练进行简单的分式乘除与乘方的混合运算.【过程与方法】经历分式乘方法则的探究过程，采用自主探索与合作交流的方式,亲历“做数学”的过程，培养探究数学问题的能力.【情感态度】体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲.【教学重点】准确熟练地进行分式的乘方运算.【教学难点】准确熟练地进行简单的分式乘除与乘方的混合运算.一、情景导入，初步认知1.分式乘除法则是什么？2.什么叫最简分式？3.分数的乘方法则是什么？让学生举例.【教学说明】复习旧知，为本节新知打基础.二、思考探究，获取新知1.计算：由乘方的意义和分数乘法的法则，可得根据上面的规律，请总结分式乘方的运算法则.【归纳结论】分式的乘方就是把分子、分母各自乘方.即：【教学说明】通过类比分数的乘方运算方法，总结出分式的乘方运算法则.2.做一做：取一条长度为1个单位的线段AB，如图:第一步：把线段AB三等分，以中间一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，就得到了由___条长度相等的线段组成的折线，每一段等于_____,总长度等于_____.第二步：把上述折线中的每一条重复第一步的做法，得到______.继续下去.情况怎么样呢？（1）把结果填入下表：（2）进行到第n步时得到的线段总长度是多少呢？【教学说明】引导学生寻找并总结规律.三、运用新知，深化理解1.教材P10例3、例4.6.计算：【教学说明】培养运用新知识解决问题的能力.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.2”中第2 题.在分式的乘方运算这一课的教学中，我采用了类比的方法，让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，提示学生分式的乘方法则与分数的乘方法法则类似，要求他们用语言描述分式的乘方法则．学生反应较好，能基本上完整地讲出分式的乘方法则．本节课存在的不足：学生主动性还不够强，教师对学生自学能力估计不足，舍不得放手，抑制部分学生的思维发展．1.3整数指数幂1.3.1同底数幂的除法【知识与技能】了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题.【过程与方法】经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.【情感态度】发展推理能力和有条理的表达能力.【教学重点】同底数幂的除法法则以及利用该法则进行计算.【教学难点】同底数幂的除法法则的应用.一、情景导入，初步认知【教学说明】复习分式的约分，为本节课的学习作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算机硬盘的容量最小单位为字节(B)，千字节记作（KB ），兆字节（MB ），吉字节（GB ）它们的换算单位如下：1GB=210MB=1024MB;1MB=210KB;1KB=210B .一张普通的CD 光盘的存储容量约为640MB ，请问一个320GB 的移动硬盘的存储容量相当于多少张光盘容量？因为320GB=320×210MB因此一个320GB 的移动硬盘的存储容量相当于512张光盘容量.2、如果把数字改为字母:一般地，设a ≠0,m,n 是正整数，且m>n,则等mn a a于多少？这是什么运算呢？通过上面的计算，归纳同底数幂除法的法则.【归纳结论】同底数幂相除，底数不变，指数相减.即：·m n m nm nn na a a a a a--==【教学说明】让学生从有理数的运算出发，由特殊逐渐过渡到一般，得到同底数幂的运算法则，再运用幂的意义加以说明.在此过程中，发展学生类比、归纳、符号演算、推理能力和有条理的表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P15例1、例2.4.已知a x=2,a y=3,求a3x-2y的值.5.计算：6.计算机硬盘的容量单位KB，MB,GB的换算关系，近视地表示成：1KB≈1000B，1MB≈1000KB,1GB≈1000MB(1)硬盘总容量为40GB的计算机，大约能容纳多少字节？(2)1个汉字占2个字节，一本10万字的书占多少字节？(3)硬盘总容量为40GB的计算机，能容纳多少本10万字的书？一本10万字的书约高1cm,如果把（3）小题中的书一本一本往上放，能堆多高？解：略.【教学说明】让学生通过上述题的训练，以达到巩固提高的效果.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.3”中第1 题.在同底数幂的除法这节教学活动中，通过让学生从特殊到一般，从生活到课堂，从未知到已知，一步步的探索，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步的发展，同时，也加深了我对新教材的理解，从而更好地完善新的教学模式.1.3.2零次幂和负整数指数幂【知识与技能】1.通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义.2.会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算.3.会用科学记数法表示绝对值较少的数.【过程与方法】通过探索，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法.【情感态度】通过探索，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法.【教学重点】零次幂和负整数指数幂的公式推导和应用，科学记数法表示绝对值较小的数.【教学难点】零次幂和负整数指数幂的理解.一、情景导入，初步认知1.同底数的幂相除的法则是什么？用式子怎样表示？用语言怎样叙述？a m ÷a n =(a ≠0,m 、n 是正整数，且m>n)m n a 2.这个公式中，要求m>n,如果m=n,m<n,就会出现零次幂和负指数幂，如：有没有意义？这节课我们来学习这个问题.【教学说明】通过复习让学生更好的用旧知识迁移推导出新的知识：零指数幂、负整数指数幂的计算.二、思考探究，获取新知1.探究：等于多少？mm a a【分析】根据分式的基本性质.可以得到=·==1.m m a a 11m m a a 11根据同底数幂的除法，可以得到a m ÷a m =·=(a ≠0)11mm a a0a 由此，你能得到什么结论？【归纳结论】任何不等于零的数的零次幂等于1.即：=1(a ≠0)0a 【教学说明】通过引导学生进行计算，合理推导出零指数幂等于1.2.试试看：填空：3.探究：负整数指数幂的意义.（1）填空：（2）思考：与÷的意义相同吗？因此他们的结果应该有什么关系23332333呢？【归纳结论】=(a ≠0)n a -1n a【教学说明】通过计算让学生推导出负指数幂计算公式（法则）.3.做一做：（1）用小数表示下列各数：,,,.110-210-310-410-你发现了什么？（= ）10n -（2）用小数表示下列各数：1.08×,2.4×,3.6×210-310-410-思考：1.08×10-2,2.4×10-3,3.6×10-4这些数的表示形式有什么特点？(a ×(a 是只有一位整数，n 是整数))叫什么记数法？（科学记数法）10n 当一个数的绝对值很小的时候，如：0.00036怎样用科学记数法表示呢？你能从上面问题中找到规律吗？【归纳结论】我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10-n 的形式，其中n 是正整数，1≤|a|≤10，其公式为=00.0001n ⋯个.10n -三、运用新知，深化理解1.教材P17例3 ，P18例4、例6.2.－2.040×表示的原数为（A ）510A ．－204000 B ．－0.000204 C ．－204.000D ．－204003.用科学记数法表示下列各数.（1）30920000（2）0.00003092（3）－309200（4）－0.000003092【分析】用科学记数法表示数时，关键是确定a 和n 的值.解：（1）30920000=3.092×710（2）0.00003092=3.092×510-（3）－309200=－3.092×510（4）－0.000003092=－3.092×610-6.已知÷=，求n 的值9m 223m +13n （）8.把下列各式写成分式形式：,2x -32xy -解：=；=.2x -21x 32xy -32x y 9.(1）原子弹的原料——铀，每克含有2.56×个原子核，一个原子核裂2110变时能放出3.2×J 的热量，那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？1110-（2）1块900mm 2的芯片上能集成10亿个元件，每一个这样的元件约占多少mm 2？约多少m 2？（用科学计数法表示）【分析】第（1）题直接列式计算；第（2）题要弄清m 2和mm 2之间的换算关系，即1m=1000mm=103mm ，1m 2=106mm 2，再根据题意计算.解：（1）由题意得2.56××3.2×=8.192×(J)21101110-1010答：每克铀全部裂变时能放出的热量8.192×J.1010答：每一个这样的元件约占9×10-7平方毫米；约9×平方米.1310-【教学说明】通过练习，牢固掌握本节课所学知识，并能运用知识计算.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.3”中第2、3、4 题.1.进行有关0次幂和负整数幂的运算要注意底数一定不能为0，特别是当底数是代数式时，要使底数的整体不能为0；2.在正整数幂的基础上，我们又学习了零次幂和负整数幂的概念，使指数概念推广到整数的范围；3.对0指数幂、负整数指数幂的规定的合理性有充分理解，才能明了正整数指数幂的运算性质对整数指数幂都是适用的.1.3.3整数指数幂的运算法则【知识与技能】会用整数指数幂的运算法则熟练进行计算．【过程与方法】通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则．【情感态度】发展推理能力和计算能力．【教学重点】用整数指数幂的运算法则进行计算.【教学难点】整数指数幂的运算法则的理解.一、情景导入，初步认知正整数指数幂有哪些运算法则？（1）a m ·a n =（m 、n 都是正整数）m n a +（2）（m 、n 都是正整数）()nm mn a a =（3）（n 是正整数）)··(n n n a b a b =（4）a m a n =（m 、n 都是正整数，a ≠0且m>n ）m n a -（5）（b ≠0，n 是正整数）(nn n a a b b =这些公式中的m 、n 都要求是正整数，能否是所有的整数呢？这5个公式中有没有内在联系呢？这节课我们来探究这些问题.【教学说明】复习正整数指数幂的运算法则，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.幂的指数从正整数推广到了整数.可以说明：当a ≠0、b ≠0时，正整数指数幂的上述运算法则对于整数指数幂也成立，即：（1）a m ·a n =（a ≠0，m 、n 都是正整数）m n a +（2）（a ≠0，m 、n 都是正整数）()nm mn a a =（3）（a ≠0，n 是整数）)··(n n n a b a b = 2.思考：（1）同底数幂的除法法则可以转换成什么运算法则？（2）分式的乘方法则可以转换成什么运算法则？【归纳结论】幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算.【教学说明】鼓励学生相互交流讨论.三、运用新知，深化理解1.教材P20例7、例8.3.计算：5.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：6.当x=,y=8时，求式子的值.142522·x y x y ----解：=-2x 32522·x y x y----3y 当x=14,y=8时，上式=-16.7.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式.【分析】正整数指数幂的相关运算对负整数指数幂和零指数幂同样适用.对于第（2）题，在运算过程中要把(x+y)、(x-y)看成一个整体进行运算.【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.作以补充.布置作业:教材“习题1.3”中第6、7 题.课堂的有效性是当下教学的瞩目点，一堂高效的课，不仅仅是要让学生获得知识与技能，更多的是学习动机被唤醒、学习习惯的养成和思维方式的提升.本节课不足之处是学生容易把原有的5条性质混淆，导致指数幂范围扩大，就更混了，单独做做还可以过关，一旦混合运算，就基本上搞不清楚是哪一条了.总之，课堂还是要放手让给学生.1.4分式的加法和减法第1课时同分母分式的加减【知识与技能】理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.【过程与方法】类比同分母分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则.【情感态度】通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.【教学重点】同分母的分式加减法的运算.【教学难点】同分母的分式加减法的运算.一、情景导入，初步认知做一做：【教学说明】通过“做一做”的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性.从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.二、思考探究，获取新知1.你能根据分数的加减法运算法则，总结出当分母相同时，分式的加减法运算法则吗？【归纳结论】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．【教学说明】类比时注意引导学生正确猜想，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫.三、运用新知，深化理解1.教材P23例1、P24例2.计算：4.计算：【教学说明】通过演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.4”中第1题.本节课的关键是法则的探究，重点是法则的应用.易错点是分母互为相反数，要化为同分母.在这个过程中要注意变号，学生先独立自学，完成不了的再小组内讨论交流.充分发挥学生自主、合作的意识.第2课时通分、最简公分母的概念【知识与技能】会找最简公分母，能进行分式的通分.【过程与方法】认真阅读课本，比照分数通分的方法，类比归纳分式通分的方法.【情感态度】通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富教学情感与思想.【教学重点】分式的通分.【教学难点】找最简公分母.一、创设情境，导入新课分式与的最简公分母是_________，通分后的结果分别是2214a b 36x ab c _________.二、思考探究，获取新知1.什么是分式的通分呢？【归纳结论】根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.2.如何把分式、通分呢？12x 13y【归纳结论】通分时，关键是确定公分母.一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.上面的两个分式的分母中，有哪些因式呢？所有因式的最高次幂的积是多少？最简公分母是什么？三、示例讲解，掌握新知1.见教材P26例3、例4.2.把下列各式通分.3.不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的各项系数化为整数.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题1.4”中第1 、2 题.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，确保能达到一定的练习量.第3课时异分母分式的加减【知识与技能】理解并掌握异分母分式加减法的法则.【过程与方法】经历异分母分式的加减运算的探讨过程，训练学生的分式运算能力.【情感态度】培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识.【教学重点】异分母分式加减法的计算.【教学难点】异分母分式加减法的计算.一、创设情境，导入新课1.同分母分式是怎样进行加减运算的？2.异分母分数又是如何进行加减？3.那么？你是怎么做的？314a a+=【教学说明】通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时对问题3运用类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章.二、思考探究，获取新知1.类比异分母的分数相加减的法则，异分母的分式如何进行加减呢？。

湘教版数学八年级上册教案1．1 分 式第1课时 分式的概念1．理解分式的概念，并能用分式表示现实生活中的量；2．掌握分式有、无意义的条件及分式的值为0的条件；(重点，难点) 3．会求分式的值．一、情境导入埃及金字塔相传是古埃及法老的陵墓，是世界公认的“古代世界七大奇迹”之一．其中最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔．胡夫金字塔底部边长230公尺，高146公尺，重大约650万吨，共用了x 万块石头，那么平均每块石头重多少吨？二、合作探究探究点一：分式的概念代数式－13x 2，a ＋2a －1，35，x －2π，3x 2y ，x2x 中的分式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：a ＋2a －1，3x 2y ，x2x中的分母含有字母，是分式．其他的代数式分母不含字母，不是分式．故选C.方法总结：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．特别注意π是常数，不是字母，因此x －2π不是分式．另外对于分式的判断是针对式子的形式，而不是化简之后的结果，如x2x不能约分后再判断，其分母中含有字母即为分式．探究点二：分式有、无意义的条件 【类型一】 分式有意义的条件若分式2x|x |－1有意义，则( )A ．x ≠－1B ．x ≠1C ．x ≠1且x ≠－1D ．x 可为任何数解析：当分母不等于0时，分式有意义，即|x |－1≠0，∴x ≠1且x ≠－1.故选C. 方法总结：分式有意义的条件是分母不等于0.【类型二】 分式无意义的条件当a 为何值时，分式a －12a ＋1无意义？解：分式无意义，则2a ＋1＝0，∴a ＝－12.方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.探究点三：分式的值【类型一】 分式值为0的条件若分式x 2－1x －1的值为0，则( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝±1D ．x ≠1解析：由x 2－1＝0解得：x ＝±1，又∵x －1≠0即x ≠1，∴x ＝－1，故选B.方法总结：分式的值为0应同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.应特别注意后一个条件．【类型二】 求分式的值当a ＝3时，求分式a 2－3a ＋3的值．解：当a ＝3时，a 2－3a ＋3＝32－33＋3＝1.方法总结：求分式的值与求代数式的值的方法一样，用数值代替分式中的字母，再化简计算即可．三、板书设计分式⎩⎪⎨⎪⎧分式的概念分式有无意义的条件⎩⎪⎨⎪⎧分式有意义：分母≠0分式无意义：分母＝0分式的值⎩⎪⎨⎪⎧分式的值为0：分子＝0且分母≠0求分式的值在教学过程中，通过生活中的情境导入，引导学生观察、类比(分数)、猜想、归纳，经历数学概念的生成过程．通过实例强调分式的值为0应同时具备两个条件：分子等于0而分母不等于0，这样突出重点，突破难点．第2课时 分式的基本性质1．通过与分数的类比学习，掌握这一基本而常用的数学思想方法；2．掌握分式的基本性质，并会运用分式的基本性质把分式变形；(重点，难点)3．理解最简分式的概念，会根据分式的基本性质把分式约分，化为最简分式．(重点)一、情境导入1．我们学过下列分数：12，24，36，它们是否相等？为什么？2．请叙述分数的基本性质．3．类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗？二、合作探究探究点一：分式的基本性质【类型一】 分式基本性质的应用填空：(1)3xy ＝（ ）3ax 2y ；(2)x 2－y 2（x －y ）2＝x ＋y（ ）. 解析：(1)小题中，分母由xy 变为3ax 2y ，只需乘以3ax ，根据分式的基本性质，分子也应乘以3ax ，所以括号中应填9ax .(2)小题中，分子由x 2－y 2变为x ＋y ，只需除以x －y ，根据分式的基本性质，分母也应除以x －y ，所以括号中应填x －y .方法总结：利用分式的基本性质求未知的分子或分母时，若求分子，则看分母发生了何种变化，这时分子也应发生相应的变化；若求分母，则看分子发生了何种变化，这时分母也应发生相应的变化．【类型二】 分式的符号法则下列各式从左到右的变形不正确的是( )A.－23y ＝－23y B.－y －6x ＝y 6xC ．－8x 3y ＝8x －3yD ．－a －b y －x ＝b －a x －y解析：选项A 中，同时改变分式的分子及分式本身的符号，其值不变，正确；选项B 中，同时改变分式的分子、分母的符号，其值不变，正确；选项C 中，同时改变分式的分母及分式本身的符号，其值不变，正确；选项D 中，分式的分子、分母及分式本身的符号，同时改变三个，其值变化，错误．故选D.方法总结：根据分式的符号法则，分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变．探究点二：分式的约分【类型一】 运用约分，化简分式约分：(1)8x 2yz 3－32xyz 5； (2)a 2＋ab a 2＋2ab ＋b 2. 解析：约分的关键是确定分式中分子、分母的公因式，(1)中分子与分母的公因式是8xyz 3，(2)小题先因式分解，分子与分母的公因式是(a ＋b )．解：(1)原式＝x ·8xyz 34z 2·（－8xyz 3）＝－x4z2； (2)原式＝a （a ＋b ）（a ＋b ）2＝aa ＋b. 方法总结：①约分的依据是分式的基本性质，关键是找出分子与分母的公因式；②约分时必须将分子、分母先写成乘积的形式，再进行约分，不能只对分子、分母中的某一项或某一部分进行约分；③约分一定要彻底，约分的结果应是最简分式或整式．【类型二】 运用约分，化简求值先约分，再求值：2a 2－ab4a 2－4ab ＋b 2，其中a ＝－1，b ＝2.解：原式＝a （2a －b ）（2a －b ）2＝a2a －b. 当a ＝－1，b ＝2时，a 2a －b ＝－12×（－1）－2＝14.方法总结：利用分式的基本性质约分求值时，要先把分式化为最简分式再代值计算．探究点三：最简分式下列分式是最简分式的是( ) A.2a 3a 2b B.aa 2－3aC.a ＋b a 2＋b 2D.a 2－ab a 2－b 2解析：选项A 中的分子、分母能约去公因式a ，故选项A 不是最简分式；选项B 中的分子、分母能约去公因式a ，故选项B 不是最简分式；选项C 中的分子、分母没有公因式，选项C 是最简分式，故选C ；选项D 中的分子、分母能约去公因式(a －b )，故选项D 不是最简分式．方法总结：判断最简分式的标准是分子与分母是否有公因式，如果有公因式就不是最简分式．当分子、分母是多项式时，一般要进行因式分解，以便判断是否能约分．三、板书设计 分式的基本性质：f g ＝f ·hg ·h ，f g ＝f ÷hg ÷h(h ≠0)↓约分 (找出分子与分母的公因式) ↓最简分式 (分子与分母无公因式)本节课利用类比分数的基本性质学习了分式的基本性质，在学习过程中，应注重让学生在学法上的迁移，突出分式基本性质中的的两个关键词：“都”、“同”，尽量避免符号出错．1．2 分式的乘法和除法第1课时 分式的乘除1．理解并掌握分式的乘、除法法则；2．会用分式的乘、除法法则进行运算．(重点，难点)一、情境导入1．请同学们计算： (1)34×52； (2)13÷25. 2．根据上述分数的乘、除法运算，你能猜想下面这两个式子的运算结果吗？ (1)f g ·u v ； (2)f g ÷u v.二、合作探究探究点一：分式的乘法运算【类型一】 分子、分母都是单项式计算： (1)16xy y 2·y 22x ； (2)5a 3bc 22x 2y ·－8x 2y 310a 2bc2.解析：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母，然后再约分． 解：(1)16xy y 2·y 22x ＝16xy ·y 2y 2·2x＝8y ；(2)5a 3bc 22x 2y ·－8x 2y 310a 2bc 2＝－5a 3bc 2·8x 2y 32x 2y ·10a 2bc2＝－2ay 2.方法总结：分式乘法运算的方法：①注意运算顺序及解题步骤，注意符号问题，不要漏乘负号；②整式与分式的运算，根据题目的特点，可将整式化为分母为“1”的分式；③运算中及时约分、化简；④注意运算律的正确使用；⑤结果应化为最简分式或整式．【类型二】 分子、分母中有多项式计算：m 2－4n 2m 2－mn ·m －nm 2－2mn.解析：观察分式的特点，分子与分母含有多项式，应先将多项式因式分解，再应用分式乘法法则运算．解：m 2－4n 2m 2－mn ·m －n m 2－2mn ＝（m ＋2n ）（m －2n ）m （m －n ）·m －n m （m －2n ）＝m ＋2n m2.方法总结：分式中含多项式的乘法运算的一般步骤：①运用分式乘法的法则，用分子之积作为新分子，用分母之积作为新分母；②确定分子与分母的公因式；③约分，化为最简分式或整式．探究点二：分式的除法运算【类型一】 分子、分母都是单项式计算：2m 5n ÷4m2－10n2.解析：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 解：2m 5n ÷4m 2－10n 2＝－2m 5n ·10n 24m 2＝－n m. 方法总结：进行分式的除法运算时，先把分式的除法转化成乘法，然后按照乘法法则进行计算，要注意结果的符号．【类型二】 分子、分母中有多项式计算：(1)x 2－1y ÷x ＋1y2；(2)(xy －x 2)÷x －yxy； (3)x 2－6x ＋99－x 2÷2x －6x 2＋3x. 解析：(1)小题中，先把除法转化为乘法，把x 2－1因式分解，再约分．(2)小题中，把xy －x 2看作是分母是1的分式，把除法转化为乘法，因式分解，再约分．(3)小题中，把除法转化为乘法，把各个分子、分母因式分解，再约分．解：(1)原式＝（x ＋1）（x －1）y ·y2x ＋1＝y (x －1)；(2)原式＝x (y －x )·xy x －y＝－x 2y ； (3)原式＝（x －3）2－（x ＋3）（x －3）·x （x ＋3）2（x －3）＝－x2.方法总结：分式的除法计算首先要转化为乘法运算，若除式是整式，应将这个整式看作是分母为“1”的分式，然后对式子进行化简．化简时如果分子、分母有多项式，一般应先进行因式分解，然后再约分．分式的乘除运算实际就是分式的约分．三、板书设计1．分式的乘法：f g ·u v ＝fu gv.2．分式的除法：f g ÷u v ＝f g ·v u ＝fv gu(u ≠0)．本节课学习了分式的乘、除法运算，通过观察、比较、猜想、分析，类比分数的乘、除法运算，得出分式的乘、除法运算法则．在运算中，把除法转化为乘法，分子、分母有多项式的要先因式分解，同时要注意避免符号出错．第2课时 分式的乘方1．理解并掌握分式的乘方法则，并会运用分式的乘方法则进行分式的乘方运算；(重点) 2．进一步熟练掌握分式乘、除法的混合运算．(难点)一、情境导入1．计算：(35)2，(35)3，(35)n；2．类似地，请你计算：(fg)n.二、合作探究探究点一：分式的乘方计算： (1)(3y 2x 2)2； (2)(－x 2y 2z 2xyz)3.解析：把分式的分子、分母分别乘方，(2)小题还可以先约分，再乘方． 解：(1)(3y 2x 2)2＝（3y ）2（2x 2）2＝9y 24x 4；(2)(－x 2y 2z 2xyz )3＝（－x 2y 2z ）3（2xyz ）3＝－x 3y38. 方法总结：分式的乘方，把分子、分母各自乘方，运算时要注意符号，明确“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”，还要注意最后结果是最简分式或整式．探究点二：分式的乘除、乘方混合运算计算：(1)(－2a 2b cd 3)3÷2a d 3·(c a)3；(2)(ab 3)2·(－b a2)3÷(－b a)4；(3)a －b a ·(b b －a )2÷b 2a2.解析：先算乘方，再把除法转化为乘法，然后约分． 解：(1)(－2a 2b cd 3)3÷2a d 3·(c a )3＝－8a 6b 3c 3d 9·d 32a ·c 3a 3＝－4a 2b 3d6；(2)(ab 3)2·(－b a 2)3÷(－b a )4＝a 2b 6·(－b 3a 6)·a 4b4＝－b 5；(3)a －b a ·(b b －a )2÷b 2a 2＝a －b a ·b 2（a －b ）2·a 2b 2＝aa －b. 方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后结果应化成最简分式或整式，通常情况下，计算得到的最后结果要使分子和分母第一项的符号为正号．对于含负号的分式，奇次方为负，偶次方为正．三、板书设计1．分式的乘方法则：(f g )n ＝f ngn .2．分式乘除、乘方的混合运算：先算乘方，再算乘除．本节课学习了分式的乘方及分式的乘除、乘方混合运算，在教学中应注重激发学生的积极性，勇于尝试．本节课的混合运算是一个难点，也是学生常出错的地方，教学时要引导学生注意运算顺序，优先确定运算符号，提高运算的准确率．1．3整数指数幂1．3.1同底数幂的除法1．经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则；2．会用同底数幂的除法法则进行运算．(重点，难点)一、情境导入传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨·班·达依尔．这位聪明的大臣跪在国王面前说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍．国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的．”说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了……还没到第二十小格，袋子已经空了，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言．问题1：国王应该给发明者多少粒麦子？问题2：假如一粒麦子是0.02克，用计算器算出国王应奖励给发明者的麦子总质量大约多少克？问题3：假如每个人每顿吃250克，一天三顿饭，一年365天，这些粮食可供1010(10亿)人食用多少年？二、合作探究探究点一：同底数幂的除法【类型一】底数是单项式计算：(1)(－a)3÷(－a)2; (2)(a3)2÷a5；(3)（xy3）3（－xy3）2； (4)－x3n＋2x3n－1.解析：根据同底数幂的除法法则，即a m÷a n＝a m－n进行运算．(3)小题可先确定符号，再按同底数幂的除法法则计算．解：(1)原式＝(－a)3－2＝－a；(2)原式＝a 6÷a 5＝a6－5＝a ；(3)原式＝（xy 3）3（xy 3）2＝xy 3；(4)原式＝－x 3.方法总结：进行同底数幂的除法运算时，只有底数相同时，才能把指数相减．因此计算时首先必须确定底数是否相同，如果底数是互为相反数，可以通过符号变化把底数化为相同．【类型二】 底数是多项式计算：(1)(x －y )8÷(y －x )6；(2)(a －b )3(b －a )2n ÷(a －b )2n －1.解析：底数为多项式时，可把多项式看作一个整体，再根据同底数幂的除法法则计算．解：(1)原式＝(y －x )8÷(y －x )6＝(y －x )2；(2)原式＝(a －b )3(a －b )2n ÷(a －b )2n －1＝(a －b )3＋2n －(2n －1)＝(a －b )4.方法总结：两数(式)互为相反数，则它们的偶次幂相等，奇次幂仍是互为相反数．即：(b －a )2n ＝(a －b )2n ，(b －a )2n ＋1＝－(a －b )2n ＋1.(n 是正整数)探究点二：逆用同底数幂的性质已知a m ＝3，a n ＝4，求a 2m －n的值．解析：首先应用含a m 、a n 的代数式表示a 2m －n ，然后将a m 、a n的值代入即可求解．解：∵a m ＝3，a n＝4，∴a2m －n＝a 2m ÷a n ＝(a m )2÷a n ＝32÷4＝94.方法总结：逆用同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m －n，可以得到a m －n＝a m÷a n.解决这类问题的关键在于把要求的式子a m －n 分别用a m 和a n来表示．这类题一般同时考查两个知识点：同底数幂的除法，幂的乘方，解题时应熟练掌握运算性质并能灵活运用．探究点三：同底数幂除法的实际应用某种液体中每升含有1012个有害细菌，某种杀虫剂1滴可杀死109个此种有害细菌．现要将这种2升液体中的有害细菌杀死，要用这种杀虫剂多少滴？解析：根据题意可知2升液体中有2×1012个有害细菌，而1滴可杀死109个此种有害细菌，把两个量相除即可求得答案．解：∵液体中每升含有1012个有害细菌，∴2升液体中的有害细菌有2×1012个，又∵杀虫剂1滴可杀死109个此种有害细菌，∴用这种杀虫剂的滴数为2×1012÷109＝2×103＝2000滴． 方法总结：本题主要考查同底数幂的除法及学生阅读理解题意的能力，是数学与生活相结合的例子．解决这类问题的方法是：先列出解决问题的式子，再根据同底数幂的除法法则进行计算．三、板书设计 同底数幂的除法a m＝a m－n(a≠0)．即：同底数幂相除，底数不变，指数相减．a n本节课学习了同底数幂的除法法则及运用法则进行计算．易错点有两个：一是理解法则错误，认为同底数幂相除，底数不变，指数相除；二是对于底数是互为相反数的指数幂的除法运算，容易出现符号错误．在课堂上，让学生把这些错误展示在黑板上，大家共同分析产生错误的原因以及怎样避免错误的发生．1．3.2 零次幂和负整数指数幂1．理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算；(重点，难点) 2．会用科学记数法表示绝对值较小的数．(重点)一、情境导入上节课我们学习了同底数幂的除法法则：a m a n ＝a m －n，其中a ≠0，m ，n 是正整数，且m ＞n .在这里，如果m ＝n 或m ＝0，又会出现什么结果呢？二、合作探究 探究点一：零次幂【类型一】 零次幂有意义的条件已知(3x －2)0有意义，则x 应满足的条件是________．解析：根据零次幂的意义可知：(3x －2)0有意义，则3x －2≠0，x ≠23.故填x ≠23.方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于0，所以解决有关零次幂的意义类型的题目时，可列出关于底数不等于0的式子求解即可．【类型二】 零次幂的运算计算： (1)30; (2)(－2)0；(3)(－12)0; (4)－22＋|4－7|＋(3－π)0.解析：(1)，(2)，(3)小题根据零次幂的意义计算；(4)小题先分别求乘方、绝对值、零次幂，再计算．解：(1)30＝1；(2)(－2)0＝1；(3)(－12)0＝1；(4)－22＋|4－7|＋(3－π)0＝－4＋3＋1＝0.方法总结：①任何不等于零的数的零次幂等于1.零次幂式子的特征是：底数不等于0，指数等于0，要注意的是结果等于1而不等于0.②零次幂与其他运算相结合时，要分别计算．计算－22时，易错误的计算为－22＝4，因此要正确理解－22和(－2)2的意义．【类型三】 零次幂的综合运用若(x －1)x ＋1＝1，求x 的值．解析：由于任何不等于零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，－1的偶数次幂等于1，故应分三种情况讨论．解：①当x ＋1＝0，即x ＝－1时，原式＝(－2)0＝1；②当x －1＝1，x ＝2时，原式＝13＝1；③x －1＝－1，x ＝0，0＋1＝1不是偶数．故舍去． 故x ＝－1或2.方法总结：乘方的结果为1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于1；1的任何次幂都等于1；－1的偶次幂等于1即在底数不等于0的情况下考虑指数等于0；考虑底数等于1或－1.探究点二：负整数指数幂【类型一】 负整数指数幂的意义与运算计算：(1)3－3； (2)(－2)－2； (3)(－23)－4.解析：根据负整数指数幂的意义知，一个数的负整数指数幂的结果，底数是原来底数的倒数，指数是原来指数的相反数．解：(1)3－3＝133＝127；(2)(－2)－2＝1（－2）2＝14；(3)(－23)－4＝(－32)4＝8116.方法总结：求负整数指数幂的方法：把底数取倒数，指数变为相反数．【类型二】 运用零次幂和负整数指数幂来计算计算：|－5|－(π－1)0＋(12)－2.解析：本题涉及零次幂、负整数指数幂、绝对值三个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据运算法则计算．解：|－5|－(π－1)0＋(12)－2＝5－1＋22＝5－1＋4＝8.方法总结：此题主要考查了学生的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零次幂、绝对值等考点的运算．【类型三】 运用零次幂和负整数指数幂来化简、求值已知a x＝3，求a 2x －a －2xa x －a－x 的值．解析：根据负整数指数幂的意义先化简分式，然后代入求值．解：a 2x －a －2x a x －a －x ＝（a x ）2－（a －x ）2a x －a －x＝a x ＋a －x ＝3＋3－1＝103. 方法总结：求值时，把要求的式子根据负整数指数幂的意义用已知的式子表示出来是解题的关键．探究点三：用科学记数法表示绝对值小于1的数一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为( )A．6.5×10－5 B．6.5×10－6C．6.5×10－7 D．65×10－6解析：把0.0000065的小数点向右移动6位变成6.5×0.000001＝6.5×10－6，故选B.方法总结：绝对值很小的数用科学记数法表示时，先把小数点向右移动n位，使这个数变成一个整数数位只有一位的数a，再在后面乘以10－n.即用科学记数法把一个绝对值很小的数写成a ×10－n的形式时，n等于第一个非零数前面零的个数(包括小数点前面的零)．三、板书设计1．零次幂2．负整数指数幂3．科学记数法：a×10－n(1≤|a|＜10，n等于第一个非零数前面所有零的个数)．本节课学习了零次幂和负整数指数幂，在学习中，以正整数指数幂为基础，探究零次幂和负整数指数幂的运算法则．本节课的易错点一是误认为零次幂等于0，二是用科学记数法表示绝对值小于1的数：a×10－n，误认为一定是负数．在课堂教学中，老师应让学生积极参与，主动练习，从练习中发现问题，纠正错误．1．3.3 整数指数幂的运算法则1．理解整数指数幂的运算法则；2．会用整数指数幂的运算法则进行计算．(重点，难点)一、情境导入1．请同学们回顾，我们学过的正整数指数幂的运算法则有哪些？2．我们在前面还学过，可以把幂的指数从正整数推广到整数．这时我们怎样理解这些运算法则呢？二、合作探究探究点一：整数指数幂的运算【类型一】 乘积形式的整数指数幂的运算计算：(1)(－a )3÷a －1÷(a －2)－2；(2)(a －2b －3)－3·(a 2b )－2；(3)(2x －3y 2z －2)－2(3xy －3z 2)2；(4)(－2a －3)2b 3÷2a －6b －2.解：(1)原式＝－a 3÷a －1÷a 4＝－a 4÷a 4＝－1；(2)原式＝a 6b 9·a －4b －2＝a 2b 7；(3)原式＝(2－2x 6y －4z 4)(32x 2y －6z 4)＝2－2·32x 8y－10z 8＝9x 8z 84y10；(4)原式＝4a －6b 3÷2a －6b －2＝2b 5.方法总结：整数指数幂的运算要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除．最后结果要化为正整数指数．【类型二】 商形式的整数指数幂的运算计算：(1)(x 2＋x x 2＋2x ＋1)－1÷(x x ＋1)－2；(2)[(2a －3b －2c 3a －4b －2)－1]－2；(3)[（a －b ）－3（a ＋b ）3（a ＋b ）2（a －b ）－2]－2. 解：(1)原式＝[x （x ＋1）（x ＋1）2]－1·(x x ＋1)2＝x ＋1x ·x 2（x ＋1）2＝xx ＋1；(2)原式＝(2a －3b －2c 3a －4b －2)2＝4a 2c29；(3)原式＝（a －b ）6（a ＋b ）－6（a ＋b ）－4（a －b ）4＝（a －b ）2（a ＋b ）2.方法总结：商形式的整数指数幂的运算有两种方法：一是先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再约分化简；二是先计算整数指数幂，最后再把负整数指数幂化为正整数指数幂．【类型三】 逆用幂的运算法则求值已知a －m ＝3，b n ＝2，则(a －m b －2n )－2＝________．解析：(a －m b－2n )－2＝(a －m )－2·b 4n ＝(a －m )－2(b n )4＝3－2×24＝169.故填169.方法总结：把要求的代数式逆用幂的运算法则，用已知的式子来表示是解题的关键．计算：(278)x －1·(23)3x －4.解：(278)x －1·(23)3x －4＝(32)3x －3·(23)3x －4＝(23)3－3x ·(23)3x －4＝(23)3－3x ＋3x －4＝(23)－1＝32.方法总结：利用负整数指数幂，把底数是互为相反数的两数可以转化为相同，再根据幂的运算法则进行计算．探究点二：整数指数幂运算的实际应用某房间空气中每立方米含3×106个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现1毫升杀菌剂可以杀死2×105个这种病菌，问要将长10m ，宽8m ，高3m 的房间内的病菌全部都杀死，需要多少杀菌剂？解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)＝(720×106)÷(2×105)＝360×10＝3.6×103(毫升)．答：需要3.6×103毫升杀菌剂才能将房间中的病菌全部杀死．方法总结：科学记数法在实际生活中应用广泛，在运用科学记数法解题时要注意a ×10－n中n 的值．三、板书设计整数指数幂的运算法则：(1)同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n(a ≠0，m ，n 都是整数)；(2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn(a ≠0，m ，n 都是整数)；(3)积的乘方：(ab )n ＝a n ·b n(a ≠0，b ≠0，n 是整数)．本节课通过把正整数指数幂的五个运算法则，推广到整数范围内，从而可用三个运算法则来概括．整数指数幂的运算是学生学习过程中的一个难点，也是易错点，在教学过程中，可让学生把典型错误展示在黑板上，引导学生分析产生错误的原因．1．4 分式的加法和减法第1课时 同分母分式的加减1．理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算；(重点) 2．会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算．(难点)一、情境导入市场上有A ，B 两种电脑，花10000元可以买A 型电脑a 台，花8000元可以买B 型电脑a 台，A 型电脑比B 型电脑每台贵多少元？二、合作探究探究点一：同分母分式的加减法计算： (1)3a －2b 3ab －3a ＋3b 3ab ；(2)1a －1＋－a 2a －1； (3)x －2x －1－2x －3x －1. 解析：根据同分母分式加减法的法则，把分子相加减，分母不变．注意(1)，(3)两小题属于同分母分式的减法运算，减式的分子要变号．解：(1)原式＝3a －2b －3a －3b 3ab ＝－5b 3ab ＝－53a ；(2)原式＝1－a 2a －1＝－（a ＋1）（a －1）a －1＝－a －1；(3)原式＝x －2－2x ＋3x －1＝－x ＋1x －1＝－1.方法总结：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式．探究点二：分式的符号法则计算： (1)2x 2－3y 2x －y ＋x 2－2y 2y －x ；(2)2a ＋3b b －a ＋2b a －b －3b b －a.解析：(1)先把第二个分式的分母y －x 化为－(x －y )，再把分子相加减，分母不变； (2)先把第二个分式的分母a －b 化为－(b －a )，再把分子相加减，分母不变． 解：(1)原式＝2x 2－3y 2x －y －x 2－2y2x －y＝2x 2－3y 2－（x 2－2y 2）x －y＝x 2－y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y＝x ＋y ； (2)原式＝2a ＋3b b －a －2b b －a －3b b －a＝2a ＋3b －2b －3b b －a＝2a －2b b －a ＝－2（b －a ）b －a＝－2. 方法总结：分式的分母是互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．三、板书设计1．同分母分式加减法的法则：f g ±h g ＝f ±hg.2．分式的符号法则：f g ＝－f －g ，－f g ＝f －g ＝－f g.本节课通过同分母分数的加减法类比得出同分母分式的加减法．易错点一是符号，二是结果的化简．在教学中，让学生参与课堂探究，进行自主归纳，并对易错点加强练习．从而让学生对知识的理解从感性认识上升到理性认识．第2课时 分式的通分1．会确定几个分式的最简公分母；2．会根据分式的基本性质把分式进行通分．(重点，难点)一、情境导入 1．通分：12，23.2．分数通分的依据是什么？ 3．类比分数，怎样把分式通分？ 二、合作探究探究点一：最简公分母分式1x 2－3x 与2x 2－9的最简公分母是________． 解析：∵x 2－3x ＝x (x －3)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为：x (x ＋3)(x －3)． 方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．探究点二：分式的通分【类型一】 分母是单项式分式的通分通分．(1)c bd ，ac2b2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc2； (3)45y 2z ，310xy 2，5－2xz2. 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．解：(1)最简公分母是2b 2d ，c bd ＝2bc 2b 2d ，ac 2b 2＝acd 2b 2d； (2)最简公分母是6a 2bc 2，b 2a 2c ＝3b 2c 6a 2bc 2，2a 3bc 2＝4a36a 2bc2；(3)最简公分母是10xy 2z 2，45y 2z ＝8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5－2xz 2＝－25y210xy 2z2.方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．【类型二】 分母是多项式分式的通分通分．(1)a 2（a ＋1），1a 2－a； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9. 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)，a 2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1），1a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2，2mn 4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2，3m 4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2. 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．三、板书设计 1．最简公分母 2．通分：(1)依据：分式的基本性质；(2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母．本节课学习了分式的通分，方法可类比分数的通分．在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．通分时，一要注意避免符号错误，二要注意通分不改变分式的值，即分母乘了一个整式，分子也要乘以同样的一个整式．。

第一章 实数1．1平方根（1课时）编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 总序第 个教案【教学目标】1、了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根。

2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根求某些非负数的平方根。

【教学重点难点】了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.【设计思路】本节课通过问题情景使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟到平方根的意义，并且能够知道正负数以及0的平方根的规律。

在教学中要让每个学生都参与到活动中去，感受学习的乐趣，提高学习数学的兴趣，教学千万不能在走老路，先告诉规律，然后讲例题，在做练习。

【教学过程】（一）创设情景，感悟新知情景一：在等式a x =2中 ，已知3-=x ，你能求a 吗？已知5=a ，你能x 求吗？（二）探索规律，揭示新知问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论：.25.0)5.0(,25.05.0,91)31(,91)31(,4)2(,42222222=-==-==-=请你举例与上面的式子类同的式子；你得到什么结论？（分小组讨论，老师适当参与给予帮助。

）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根(square root),也称为二次方根。

如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。

【设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平方根的概念】问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流。

)(()()()()()()().4,0,10,5;21,41,25,922222222-========一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。

一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。

这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.【设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解】 问题三：从问题二中，你得到了什么结论？【设计说明：在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的困难，我们教师要给与适当的帮助，要给与鼓励】（三）尝试反馈，领悟新知例1 求下列各数的平方根：25；（2）8116（3）15；（4）()22-。

第1章 分式1.1 分式第1课时 分式1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.(一)知识探究1.一般地，如果一个整式f 除以一个非零整式g(g 中含有字母)，所得商f g叫作分式，其中f 是分式的分子，g 是分式的分母，g ≠0.2.(1)分式f g 存在的条件是g ≠0；(2)分式f g 不存在的条件是g ＝0；(3)分式f g的值为0的条件是f ＝0，g ≠0.(二)自学反馈1.下列各式中，哪些是分式？①2b －s ；②3 000300－a ；③27；④v s ；⑤s 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1；⑪5x －7.解：分式有①②④⑦⑩.判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.2.当x 取何值时，下列分式的值不存在？当x 取何值时，下列分式的值等于0?(1)3－x x ＋2；(2)x ＋53－2x. 解：(1)当x ＋2＝0时，即x ＝－2时，分式3－x x ＋2的值不存在.当x ＝3时，分式3－x x ＋2的值等于0. (2)当3－2x ＝0时，即x ＝32时，分式x ＋53－2x 的值不存在.当x ＝－5时，分式x ＋53－2x的值等于0.分母是否为0决定分式的值是否存在.活动1 小组讨论例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？(1)甲每小时做x 个零件，他做80个零件需多少小时；(2)轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；(3)x 与y 的差除以4的商是多少.解：(1)80x ；分式.(2)a ＋b ，a －b ；整式.(3)x －y 4；整式. 例2 当x 取何值时，分式2x －5x 2－4的值存在？当x 取何值时，分式2x －5x 2－4的值为零？ 解：当2x －5x 2－4的值存在时，x 2－4≠0，即x ≠±2； 当2x －5x 2－4的值为0时，有2x －5＝0且x 2－4≠0，即x ＝52.分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.活动2 跟踪训练1.下列各式中，哪些是分式？①4x ；②a 4；③1x －y ；④3x 4；⑤12x 2. 解：①③是分式.2.当x 取何值时，分式x 2＋13x －2的值存在？ 解：3x －2≠0，即x ≠23时，x 2＋13x －2存在. 3.求下列条件下分式x －2x ＋3的值. (1)x ＝1；(2)x ＝－1.解：(1)当x ＝1时，x －2x ＋3＝－14. (2)当x ＝－1时，x －2x ＋3＝－32.活动3 课堂小结1.分式的定义及根据条件列分式.2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.第2课时 分式的基本性质1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.(一)知识探究1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为f g ＝（f ·h ）g ·h(h ≠0). 2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.(二)自学反馈1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a 2b ＝ac 2bc (c ≠0)；(2)x 3xy ＝x 2y. 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ·c 2b ·c ＝ac 2bc. (2)由x ≠0，知x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y .应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.2.填空，使等式成立：(1)34y ＝3（x ＋y ）4y （x ＋y ）(其中x ＋y ≠0)；(2)y ＋2y 2－4＝1（y －2）.在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.3.约分：(1)a 2bc ab ；(2)－32a 3b 2c 24a 2b 3d. 解：(1)公因式为ab ，所以a 2bc ab＝ac. (2)公因式为8a 2b 2，所以－32a 3b 2c 24a 2b 3d ＝－4ac 3bd .活动1 小组讨论例1 约分：(1)－3a 3a 4；(2)12a 3（y －x ）227a （x －y ）；(3)x 2－1x 2－2x ＋1. 解：(1)－3a 3a 4＝－3a. (2)12a 3（y －x ）227a （x －y ）＝4a 2（x －y ）9. (3)x 2－1x 2－2x ＋1＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2＝x ＋1x －1.约分的过程中注意完全平方式(a －b)2＝(b －a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.例2 先约分，再求值：x 2y ＋xy 22xy，其中x ＝3，y ＝1. 解：x 2y ＋xy 22xy ＝xy （x ＋y ）2xy ＝x ＋y 2. 当x ＝3，y ＝1时，x ＋y 2＝3＋12. 活动2 跟踪训练1.约分：(1)－15（a ＋b ）2－25（a ＋b ）；(2)m 2－3m 9－m 2. 解：(1)－15（a ＋b ）2－25（a ＋b ）＝3（a ＋b ）5. (2)m 2－3m 9－m 2＝m （m －3）（3＋m ）（3－m ）＝－m m ＋3. 2.先约分，再求值：(1)3m ＋n 9m 2－n 2，其中m ＝1，n ＝2； (2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2，其中x ＝2，y ＝4.解：(1)3m ＋n 9m 2－n 2＝13m －n ＝13×1－2＝1. (2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2＝（x ＋2y ）（x －2y ）（x －2y ）2＝x ＋2y x －2y ＝2＋2×42－2×4＝－53. 活动3 课堂小结1.分数的基本性质.2.约分、化简求值.1.2 分式的乘法和除法第1课时 分式的乘法和除法1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)2.会进行分式的乘除运算.(重难点)自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.(一)知识探究分式的乘、除法运算法则：(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为f g ·u v ＝fu gv. (2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u ≠0，则规定f g ÷u v ＝f g ·v u ＝fv gu. (二)自学反馈1.计算x y ·y 2x 的结果是12. 2.化简m －1m ÷m －1m 2的结果是m. 3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？(1)b a ·a b ＝1；(2)b a÷a ＝b ； (3)－x 2b ·6b x 2＝3b x ；(4)4x 3a ÷a 2x ＝23. 解：(1)对.(2)错.正确的是b a 2.(3)错.正确的是－3x .(4)错.正确的是8x 23a 2.活动1 小组讨论例1 计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 22c 2÷－3a 2b 24cd. 解：(1)原式＝4x ·y 3y ·2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x 2. (2)原式＝ab 22c 2·4cd －3a 2b 2＝－ab 2·4cd 2c 2·3a 2b 2＝－2d 3ac. 例2 计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4；(2)149－m 2÷1m 2－7m. 解：(1)原式＝（a －2）2（a －1）2·a －1（a ＋2）（a －2）＝（a －2）2（a －1）（a －1）2（a －2）（a ＋2）＝a －2（a －1）（a ＋2）. (2)原式＝149－m 2·m 2－7m 1＝1（7＋m ）（7－m ）·m （m －7）1＝m （m －7）（7＋m ）（7－m ）＝－m 7＋m .整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.活动2 跟踪训练1.计算：(1)3a 4b ·16b 9a 2；(2)12xy 5a ÷8x 2y ；(3)－3xy ÷2y 23x. 解：(1)原式＝3a ·16b 4b ·9a 2＝43a. (2)原式＝12xy 5a ·18x 2y ＝12xy 5a ·8x 2y ＝310ax. (3)原式＝－3xy ·3x 2y 2＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x 22y .(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.2.计算：(1)x 2－4x 2－4x ＋3÷x 2＋3x ＋2x 2－x； (2)2x ＋64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x 2＋x －63－x. 解：(1)原式＝x 2－4x 2－4x ＋3·x 2－x x 2＋3x ＋2＝（x ＋2）（x －2）（x －3）（x －1）·x （x －1）（x ＋1）（x ＋2）＝x （x －2）（x －3）（x ＋1）＝x 2－2x x 2－2x －3. (2)原式＝2x ＋64－4x ＋x 2·1x ＋3·x 2＋x －63－x ＝2（x ＋3）（x －2）2·1x ＋3·（x ＋3）（x －2）－（x －3）＝－2（x ＋3）（x －2）（x －3）.分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号. 活动3 课堂小结1.分式的乘、除运算法则.2.分式的乘、除法法则的运用.第2课时 分式的乘方1.理解分式乘方的运算法则.(重点)2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.(一)知识探究 分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(f g )n ＝f ng n .(其中n 为正整数) (二)自学反馈1.计算：(1)(2ab )2；(2)(－b 2a)3. 解：(1)(2ab )2＝4a 2b 2. (2)(－b 2a )3＝－b 6a 3. 2.计算：(1)(－2a b )2·b 36a 2；(2)(3a 2b)2÷(－b 2a)2. 解：(1)原式＝4a 2b 2·b 36a 2＝23b. (2)原式＝9a 4b 2÷b 24a 2＝9a 4b 2·4a 2b 2＝36a 6.活动1 小组讨论例1 计算：(1)(n 2m )3；(2)(a 2b －cd 3)3. 解：(1)(n 2m )3＝n 6m 3.(2)(a 2b －cd 3)3＝（a 2b ）3（－cd 3）3＝a 6b 3－c 3d 9.分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.例2 计算：(1)m 3n 2÷(m n )3；(2)(－n 2m )2÷(n 2m 3)3·(2n m )3. 解：(1)m 3n 2÷(m n )3＝m 3n 2÷m 3n 3＝m 3n 2·n 3m 3＝n 5. (2)(－n 2m )2÷(n 2m 3)3·(2n m )3＝n 24m 2÷n 6m 9·8n 3m 3＝n 24m 2·m 9n 6·8n 3m 3＝2m 4n .分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式. 活动2 跟踪训练1.计算：(1)2m 2n 3pq 2·5p 2q 4mn 2÷5mnp 3q； (2)16－a 2a 2＋8a ＋16÷a －42a ＋8·a －2a ＋2； (3)(a －1a ＋3)2÷(a －1)·9－a 2a －1. 解：(1)原式＝2m 2n 3pq 2·5p 2q 4mn 2·3q 5mnp ＝12n 2. (2)原式＝（4＋a ）（4－a ）（a ＋4）2·2（a ＋4）a －4·a －2a ＋2＝－2（a －2）a ＋2. (3)原式＝（a －1）2（a ＋3）2·1a －1·（3＋a ）（3－a ）a －1＝3－a a ＋3. 2.计算：(1)(－2x 4y 23z )3；(2)(2ab 3－c 2d )2÷6a 4b 3·(－3c b 2)3. 解：(1)原式＝（－2x 4y 2）3（3z ）3＝－8x 12y 627z 3. (2)原式＝4a 2b 6c 4d 2·b 36a 4·－27c 3b 6＝－18b 3a 2cd 2. 3.化简求值：b 2a 2－ab ÷(b a －b )2·a 2b a －b ，其中a ＝12，b ＝－3. 解：化简结果是ab ；求值结果为－32.化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.活动3 课堂小结1.分式乘方的运算.2.分式乘除法及乘方的运算方法.1.3 整数指数幂1.3.1 同底数幂的除法1.理解同底数幂的除法法则.(重点)2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.(一)知识探究 同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a ≠0，m ，n 是正整数，且m ＞n ，则a m a n ＝a n ·（a m －n ）a n ＝a m －n . (二)自学反馈1.计算a 10÷a 2(a ≠0)的结果是(C)A.a 5B.－a 5C.a 8D.－a 82.计算：x 5÷(－x)2＝x 3；(ab)5÷(ab)2＝a 3b3.活动1 小组讨论例1 计算：(1)（－x ）5x 3；(2)（xy ）8（－xy ）5. 解：(1)（－x ）5x 3＝－x 5－3＝－x 2. (2)（xy ）8（－xy ）5＝x 8y 8－x 5y 5＝－x 3y 3. 例2 计算：(x －y)6÷(y －x)3÷(x －y).解：原式＝(x －y)6÷[－(x －y)]3÷(x －y)＝－(x －y)6－3－1＝－(x －y)2. 活动2 跟踪训练1.计算：(1)a 5a 2；(2)（x 2y 3）2（－x 2y 3）2. 解：(1)原式＝a 3.(2)原式＝1.2.计算：(p －q)4÷(q －p)3·(p －q)2.解：原式＝(p －q)4÷[－(p －q)3]·(p －q)2＝－(p －q)·(p －q)2＝－(p －q)3. 活动3 课堂小结同底数幂的除法的运算.1.3.2 零次幂和负整数指数幂1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.(一)知识探究1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a 0＝1(a ≠0).2.a －n ＝1a n (n 是正整数，a ≠0). (二)自学反馈1.计算：30＝1；(－2)－3＝－18. 2.用科学记数法表示数0.000 201 6为2.016×10－4.3.计算：23－(12)0－(12)－2. 解：原式＝8－1－4＝3.活动1 小组讨论例1 计算：(1)3－2；(2)(10)－3；(3)(45)－2. 解：(1)3－2＝132＝19.(2)10－3＝1103＝0.001. (3)(45)－2＝(54)2＝2516. 例2 把下列各式写成分式的形式：(1)3x －3；(2)2x －23y －3.解：(1)3x －3＝3x 3.(2)2x －23y －3＝6x 2y 3. 例3 用科学记数法表示下列各数：(1)0.000 326 7；(2)－0.001 1.解：(1)0.000 326 7＝3.267×10－4.(2)－0.001 1＝－1.10×10－3.活动2 跟踪训练1.计算：(－2)0＝1；3－1＝13. 2.把(－100)0，(－3)－2，(－13)2按从小到大的顺序排列为(－100)0>(－13)2＝(－3)－2. 3.计算：(－1)2 012×(3－π)0＋(12)－1. 解：原式＝1×1＋2＝3.活动3 课堂小结1.零次幂和整数指数幂的运算性质.2.零指数幂和负整数指数幂的意义.3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.1.3.3 整数指数幂的运算法则1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.(一)知识探究1.a m ·a n ＝am ＋n (a ≠0，m ，n 都是整数). 2.(a m )n ＝a mn(a ≠0，m ，n 都是整数).3.(ab)n ＝a n b n (a ≠0，b ≠0，m ，n 都是整数).(二)自学反馈计算：(1)a 3·a －5＝a －2＝1a 2；(2)a －3·a －5＝a －8＝1a8； (3)a 0·a －5＝a －5＝1a5；(4)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 为任意整数).a m ·a n ＝a m ＋n 这条性质对于m ，n 是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.活动1 小组讨论例1 计算：(1)(a －1b 2)3；(2)a －2b 2·(a 2b －2)－3.解：(1)原式＝a －3b 6＝b 6a 3. (2)原式＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8a 8. 例2 下列等式是否正确？为什么？(1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b)n ＝a n b －n . 解：(1)正确.理由：a m ÷a n ＝am －n ＝a m ＋(－n)＝a m ·a －n . (2)正确.理由：(a b )n ＝a n b n ＝a n ·1bn ＝a n b －n . 活动2 跟踪训练1.下列式子中，正确的有(D)①a 2÷a 5＝a －3＝1a 3；②a 2·a －3＝a －1＝1a ；③(a ·b)－3＝1（ab ）3＝1a 3b 3；④(a 3)－2＝a －6＝1a6. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.计算：[x(x 2－4)]－2·(x 2－2x)2＝1（x ＋2）2. 活动3 课堂小结牢记整数指数幂的运算法则.1.4 分式的加法和减法第1课时 同分母分式的加减法1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.(一)知识探究1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，f g ±h g ＝f ±h g. 2.－f g ＝f －g ＝－f g ，－f －g ＝f g. (二)自学反馈1.计算：y x ＋2x ＝y ＋2x ；5y －a y ＝5－a y. 2.计算：(1)32－3x －1＋3x 2－3x ；(2)a 2a －b －b 2－2ab b －a. 解：(1)32－3x －1＋3x 2－3x ＝3－1－3x 2－3x ＝2－3x 2－3x＝1. (2)a 2a －b －b 2－2ab b －a ＝a 2a －b ＋b 2－2ab a －b ＝（a －b ）2a －b＝a －b.活动1 小组讨论例1 计算：(1)x －1x ＋1x ；(2)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2. 解：(1)原式＝x －1＋1x ＝x x＝1. (2)原式＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y （x ＋y ）（x －y ）＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）＝3x －y. 例2 计算：(1)m m －1－11－m ；(2)5x x 2－x －51－x. 解：(1)原式＝m m －1＋1m －1＝m ＋1m －1. (2)原式＝5x x （x －1）－51－x ＝5x －1＋5x －1＝5＋5x －1＝10x －1. 活动2 跟踪训练1.化简x 2x －1＋x 1－x的结果是(D) A.x ＋1 B.x －1C.－xD.x2.化简a 2a －b －b 2a －b的结果是(A) A.a ＋b B.a －bC.a 2－b 2D.13.计算：(1)x ＋1x －1x ；(2)a b ＋1＋2a b ＋1－3a b ＋1. 解：(1)原式＝x ＋1－1x ＝1.(2)原式＝a ＋2a －3a b ＋1＝0.1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3 课堂小结1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).第2课时 通分1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.(一)知识探究1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.(二)自学反馈1.12x ，13y的最简公分母是6xy. 2.对分式y 2x ，x 3y 2，14xy通分时，最简公分母是12xy 2. 3.通分：(1)3c 2ab 2与－a 8bc 2；(2)x 4a （x ＋2）与x 6b （x ＋2）. 解：(1)3c 2ab 2＝3c ·4c 22ab 2·4c 2＝12c 38ab 2c 2；－a 8bc 2＝－a ·ab 8bc 2·ab ＝－a 2b 8ab 2c 2. (2)x 4a （x ＋2）＝3bx 12ab （x ＋2），y 6b （x ＋2）＝2ay 12ab （x ＋2）.活动1 小组讨论例1 通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x x ＋5. 解：(1)最简公分母是2a 2b 2c.32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c， a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a （a －b ）2a 2b 2c. (2)最简公分母是(x ＋5)(x －5).2x x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15x x 2－25. 例2 通分：(1)2c bd 与3ac 4b 2；(2)1x 2－4与x 4－2x. 解：(1)最简公分母是4b 2d.2c bd ＝8bc 4b 2d ，3ac 4b 2＝3acd 4b 2d. (2)最简公分母是2(x ＋2)(x －2).1x 2－4＝1×2（x ＋2）（x －2）×2＝22x 2－8， x 4－2x ＝x －2（x －2）＝－x ·（x ＋2）2（x ＋2）（x －2）＝－x 2＋2x 2x 2－8. 活动2 跟踪训练1.分式1x 2－4，x 2（x －2）的最简公分母为(B)A.(x ＋2)(x －2)B.2(x ＋2)(x －2)C.2(x ＋2)(x －2)2D.－(x ＋2)(x －2)22.分式1x 2－1，x －1x 2－x ，1x 2＋2x ＋1的最简公分母是x(x ＋1)2(x －1). 3.通分：(1)x 3y 与3x 2y 2；(2)x －y 2x ＋2y 与xy （x ＋y ）2；(3)2mn 4m 2－9与2m －32m ＋3. 解：(1)x 3y ＝2xy 6y 2，3x 2y 2＝9x 6y 2. (2)x －y 2x ＋2y ＝x 2－y 22（x ＋y ）2，xy （x ＋y ）2＝2xy 2（x ＋y ）2. (3)2mn 4m 2－9＝2mn 4m 2－9，2m －32m ＋3＝（2m －3）24m 2－9. 活动3 课堂小结1.确定最简公分母.2.将异分母分式通分.第3课时 异分母分式的加减法1.熟练掌握求最简公分母的方法.2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.(一)知识探究 异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.(二)自学反馈1.化简分式1x ＋1x （x －1）的结果是(C) A.x B.1x 2 C.1x －1 D.x x －12.下列计算正确的是(D)A.1x ＋12x ＝13xB.1x －1y ＝1x －yC.x x ＋1＋1＝1x ＋1D.1a －1－1a ＋1＝2a 2－1活动1 小组讨论例1 计算：(1)3x ＋2y ；(2)1a ＋1－1a －1. 解：(1)原式＝3y xy ＋2x xy ＝3y ＋2x xy. (2)原式＝a －1（a ＋1）（a －1）－（a ＋1）（a ＋1）（a －1）＝－2（a ＋1）（a －1）. 例2 计算：(1)(1－b a ＋b )÷a a 2－b 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q. 解：(1)原式＝a ＋b －b a ＋b ·a 2－b 2a ＝a a ＋b ·（a ＋b ）（a －b ）a＝a －b. (2)原式＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p 4p 2－9q 2. 活动2 跟踪训练1.计算(a 2a －3＋93－a )÷a ＋3a的结果为(A) A.a B.－aC.(a ＋3)2D.12.化简(1＋4a －2)÷a a －2的结果是(A) A.a ＋2a B.a a ＋2C.a －2aD.a a －23.化简x 2－1x 2－2x ＋1·x －1x 2＋x ＋2x 的结果是3x. 4.化简(1－1m ＋1)(m ＋1)的结果是m.1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3 课堂小结1.分式加减运算的方法思路：异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）相加减2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).1.5 可化为一元一次方程的分式方程第1课时可化为一元一次方程的分式方程1.理解分式方程的意义.2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.(一)知识探究1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.3.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.(二)自学反馈1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①x－22＝x3；②4x＋3y＝7；③1x－2＝3x；④x（x－1）x＝－1；⑤3－xπ＝x2；⑥2x＋x－15＝10；⑦x－1x＝2；⑧2x ＋1x＋3x ＝1. 解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.活动1 小组讨论例1 解方程：2x －3＝3x. 解：方程两边同乘x(x －3)，得2x ＝3(x －3).解得x ＝9.检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0.所以，原分式方程的解为x ＝9.例2 解方程：x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）. 解：方程两边同乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0.所以x ＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.活动2 跟踪训练解方程：(1)12x ＝2x ＋3；(2)x x ＋1＝2x 3x ＋3＋1；(3)2x －1＝4x 2－1；(4)5x 2＋x －1x 2－x＝0. 解：(1)方程两边同乘2x(x ＋3)，得x ＋3＝4x.化简得3x ＝3.解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，2x(x ＋3)≠0.所以x ＝1是方程的解.(2)方程两边同乘3(x ＋1)，得3x ＝2x ＋3x ＋3.解得x ＝－32. 检验：当x ＝－32时，3x ＋3≠0. 所以x ＝－32是方程的解. (3)方程两边同乘x 2－1，得2(x ＋1)＝4.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，x 2－1＝0，所以x ＝1不是方程的解.所以原方程无解.(4)方程两边同乘x(x ＋1)(x －1)，得5(x －1)－(x ＋1)＝0.解得x ＝32. 检验：当x ＝32时，x(x ＋1)(x －1)≠0. 所以x ＝32是原方程的解.方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.活动3 课堂小结解分式方程的思路是：第2课时 分式方程的应用能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.(一)知识探究列分式方程解应用题的一般步骤是：(1)审题设未知数；(2)找等量关系列方程；(3)去分母，化分式方程为整式方程；(4)解整式方程.(5)验根是否符合实际意义；(6)答题.(二)自学反馈重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝18，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x 天，那么一天挖1x ；两台挖土机一天共挖18＋1x ；两台一天完成另一半.所以列方程为18＋1x ＝12；解得x ＝83，即乙单独挖需83天.认真分析题意.根据等量关系列方程.活动1 小组讨论例 甲、乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？分析：路程 速度 时间 甲 18＋1×2 x ＋0.5 18＋1×2x ＋0.5乙18x18x等量关系：t 甲＝t 乙.解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时. 根据题意，列方程得 18＋1×2x ＋0.5＝18x .解得x ＝4.5.检验：当x ＝4.5时，x(x ＋0.5)≠0. 所以x ＝4.5是原方程的解.则x ＋0.5＝5.答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米. 活动2 跟踪训练1.A 、B 两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度. 解：设大汽车的速度为2x 千米/小时，则小汽车的速度为5x 千米/小时. 根据题意，列方程得135－2x ×52x ＝135－12×5x5x .解得x ＝9.检验：当x ＝9时，10x ≠0. 所以，x ＝9是原方程的解. 则2x ＝18，5x ＝45.答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？解：设规定日期是x 天，则甲队独做需x 天，乙队独做需(x ＋3)天，根据题意，列方程得 2x ＋xx ＋3＝1.解得x ＝6. 检验：当x ＝6时，x(x ＋3)≠0.所以，x ＝6是原方程的解. 答：规定日期是6天. 活动3 课堂小结1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系.3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.4.注意不要遗漏检验和写答案.第2章 三角形2.1 三角形第1课时 三角形的有关概念及三边关系1.通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素.2.学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类.3.掌握三角形三条边之间的关系.(重点)自学指导：阅读教材P42～44，完成下列各题. (一)知识探究1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.2.等边三角形：三条边都相等的三角形.3.等腰三角形：有两边相等的三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.4.不等边三角形：三条边都不相等的三角形.5.三角形按边的相等关系分类：三角形⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 6.三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边.三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即a ＋b>c ，b ＋c>a ，c ＋a>b 三个不等式同时成立. (二)自学反馈1.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来.解：图中有5个三角形.分别是△ABE 、△DEC 、△BEC 、△ABC 、△DBC. 2.下列长度的三条线段能否组成三角形？ (1)3，4，8；(不能) (2)2，5，6；(能)(3)5，6，10；(能)(4)5，6，11.(不能)用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能.活动1 小组讨论例如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，试判断AC与BC的大小.解：在△BDC中，有BD＋DC>BC(三角形的任意两边之和大于第三边).又因为AD＝BD，则BD＋DC＝AD＋DC＝AC，所以AC>BC.活动2 跟踪训练1.现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B)A.10 cm的木棒B.20 cm的木棒C.50 cm的木棒D.60 cm的木棒2.看图填空，如图：(1)如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF；(2)△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、BE，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE；(3)△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E；(4)∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB.3.用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米.则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米.(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4<10，所以此时不能构成三角形.即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米.活动3 课堂小结1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.三角形的对、角、顶点及表示方法.2.三角形的分类：按边和角分类.3.三角形的三边关系：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边的差小于第三边.第2课时三角形的高、角平分线和中线1.能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心.(重点)2.能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题.(难点)自学指导：阅读教材P44～45，完成下列问题.(一)知识探究1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.2.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.3.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线；三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.(二)自学反馈1.如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是(A)2.如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是(D)A.在△CDE中，∠C的对边是DEB.BD是△ABC的中线C.AD＝DC，BE＝ECD.DE是△ABC的中线3.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线(D)A.△ABEB.△ADFC.△ABCD.△ABC，△ADF活动1 小组讨论例如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来.(2)其中哪些三角形的面积相等？解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△ABD ，△ADE ，△AEC ，△ABE ，△ADC ，△ABC. (2)因为AD 是△ABC 的中线， 所以BD ＝DC.因为AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高， 又S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，所以S △ABD ＝S △ADC .活动2 跟踪训练1.一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(B) A.高线 B.中线 C.角平分线 D.不确定2.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，把△ABC 沿直线AC 翻折180°，使点B 落在点B ′的位置，则线段AC(D)A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上都对3.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC ＝4 cm 2，则S △ABE 的面积是1cm 2.活动3 课堂小结三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线.第3课时三角形内角和定理1.知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题.2.知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形.3.会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题.(重点)自学指导：阅读教材P46～48，完成下列问题.(一)知识探究1.三角形的内角和等于180°.2.三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(二)自学反馈1.△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.3.求下列各图中∠1的度数.解：75°，125°.活动1 小组讨论例在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.活动2 跟踪训练1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数为(C)A.45°B.60°C.75°D.90°2.如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A)A.63°B.83°C.73°D.53°3.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，则∠D的度数为20°，∠ACD的度数为110°.活动3 课堂小结2.2 命题与证明第1课时定义与命题1.知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题.2.能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论.(重点)3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题.(重难点)自学指导：阅读教材P50～52，完成下列问题.(一)知识探究1.对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.2.对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题.3.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每一个命题都有逆命题.(二)自学反馈1.下列语句中，属于定义的是(D)A.两点确定一条直线B.平行线的同位角相等C.两点之间线段最短D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离2.下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？(1)负数都小于零；(2)当a＞0时，|a|＝a；(3)平角与周角一定不相等.解：(1)(2)(3)都是命题.3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.(1)对顶角相等；解：如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.(2)同位角相等.解：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.活动1 小组讨论例1判断下列语句哪些是命题？哪些不是？(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x－5＝0，求x的值.解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题.例2指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.(1)两直线平行，同位角相等；解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”.逆命题是：同位角相等，两直线平行.(2)垂直于同一直线的两条直线平行；解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”.可以改写成“如果有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”.逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线.(3)对顶角相等.解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.逆命题是：相等的角是对顶角.活动2 跟踪训练1.下列语句中，是命题的是(B)A.连接A、B两点B.锐角小于钝角C.作平行线D.取线段AB的中点M2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.(1)能被2整除的数必能被4整除；解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.(2)异号两数相加得零.解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零.3.写出下列命题的逆命题.(1)直角三角形的两个锐角互余；解：两个锐角互余的三角形是直角三角形.(2)若a＝0，则ab＝0.解：若ab＝0，则a＝0.。

湘教版八年级上册数学全册教案第1章分式约22课时1.1分式1.2分式的乘法和除法1.3整数指数幂1.4分式的加法和减法1.5可化为一元一次方程的分式方程小结与复习第2章三角形约27课时2.1三角形2.2命题与证明2.3等腰三角形2.4线段的垂直平分线2.5全等三角形2.6用尺规作三角形小结与复习第3章实数约9课时3.1平方根3.2立方根3.3实数小结与复习第4章一元一次不等式（组）约13课时4.1不等式4.2不等式的基本性质4.3一元一次不等式的解法4.4一元一次不等式的应用4.5一元一次不等式组小结与复习第5章二次根式约14课时 5.1二次根式5.2二次根式的乘法和除法5.3二次根式的加法和减法小结与复习八年级上学期数学教学计划一、指导思想：以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。

数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

二、学生的基本情况：上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。

——教学资料参考参考范本——【八湘数上】2019最新（湘教版）初中数学八年级上册精编教案：2-1 三角形-可打印______年______月______日____________________部门2.1.1 三角形的三边关系（第1课时）教学目的1.让学生通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。

2．会利用三角形的稳定性解决一些实际问题。

重点、难点1. 重点；三角形任何两边之和大于第三边的应用。

2．难点：已知三角形的两边求第三边的范围．教学过程一、复习提问1.三角形的三个内角和是多少?三角形的外角有什么性质?2.在连结两点的所有线中最短的是哪一种?二、新授我们已探索了三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，今天我们要探索三角形的三边之间的不等量关系。

1．让学生拿出预先准备好的四根牙签(2cm，3cm，5cm，6cm各一根)，请你用其中的三根，首尾连接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形?若不是，哪些可以，哪些不可以?你从中发现了什么?从4根中取出3根有以下几种情况：(1)2cm，5cm，6cm(2)3cm，5cm，6cm(3)2cm，3cm，5cm(4)2cm，3cm，6cm经过实践可知(1).(2)可以摆出三角形，(3)、(4)不能摆成三角形。

我们可以发现在这三根牙签中。

如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。

这就是说：三角形的任何两边的和大于第三边。

2．下面我们再通过用圆规、直尺画三角形来验证画一个三角形；使它的三条边分别为7cm、5cm、4cm。

画法步骤如下：(1)先画线段AB=7cm(2)以点A为圆心，4cm长为半径画圆弧，(3)再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；(4)连接AC、BC．△ABC就是所要画的三角形。

湘教版八年级数学上册导学案全册1.1 分式 第1课时 分式的概念【学习目标】1、能识别一个代数式是否为分式，会正确区分整式与分式。

2、学会判断一个分式是否有意义，会求一个分式的有意义、无意义及分式的值为零的条件。

3、会灵活应用分式的定义，掌握分式有意义的条件。

【重点难点】：理解并掌握分式有意义的的条件，分数值为零的条件. 【情景导入】：计算：7÷6=C D类似地：z ÷（x +y ）=yx z+ 【自主探究】：1、在教材动脑筋中得出的三个代数式有什么异同点？2、阅读教材第2页中分式的定义，试找出定义中的关键词和分式的分母需要满足的条件。

3、想一想：分式有意义、无意义、分式的值为零的条件： （1）当分母 时，分式才有意义。

（2）当分母 时，分式无意义。

（3）当 时，分式的值为零。

【基础演练】：1、下列式子中是分式的有 （只填序号） （1）x 4 （2）3y x + （3）yx xy - （4）y x 22- （5）2a π 2、当x 时，分式32-x 无意义；当x __________时，分式223x x -- 的值等于0.3、当x 时，分式33+-x x 的值为零。

4、若分式122-x x有意义，则x 的取值范围是 。

5、当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是 （ ）A 、221xx + B 、112--x x C 、112++x x D 、11+-x x 6、要使分式)3)(1()3)(1(-++-x x x x 有意义，则必须满足下列条件（ ）A ．1≠x 或3-≠xB ．1-≠x 或3≠xC ．1≠x 且3-≠xD ．1-≠x 且3≠x 7、求分式6312-+x x 的值。

（1）、3=x ；（2）、52-=x 。

【综合提升】： 8、当x 为何值时，分式6522++-x x x 的值为零？9、已知,4-=x 分式a x b x +-无意义，2=x 时，分式ax bx +-的值为零，求b a -的值。

2019年秋湘教版数学（广西专版）初二上册教案：2．1三角形2．1三角形第1课时【教学目标】知识与技能1．掌握三角形有关的线段的概念及定理．2．会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法．过程与方法通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力．情感态度学生通过观察、操作、交流和反思，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣．教学重点三角形有关的线段的概念及定理．教学难点三角形三条边关系的应用．【教学过程】【一】情景导入，初步认知观察以下图片，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来．你还能列举生活中的一些实例吗？【二】合作探究，探索新知1．什么样的图形是三角形？【归纳结论】不在同一直线上的三角形线段首尾相接所构成的图形叫作三角形．三角形可用符号〝△〞来表示，如图：这个三角形可记作〝△ABC〞，读作〝三角形ABC〞．其中，点A，B，C叫作△ABC 的顶点；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角(简称△ABC的角)；线段AB，BC，CA叫作△ABC的边．通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示．2．三角形从〝角〞的角度来看，可分为哪些三角形？三角形从〝边〞的角度来看，有哪些特殊的三角形呢？【归纳结论】两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角．三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)．等边三角形是特殊的等腰三角形．3．警察抓劫匪(一名罪犯实施抢劫后，经AB——BC的路线往山上逃窜．警察为了能尽快抓到逃犯，经路线AC追赶，终于在山顶上将罪犯捉拿归案．)警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？(学生各抒已见)【归纳结论】三角形两边之和大于第三边．4．做一做：有三根木棒，其长度分别为2 cm，3 cm，6 cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？5．三角形中还有哪些特殊的线段呢？①从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高．如图．线段AH是△ABC的BC边上的高．想一想：一个三角形有几条高？你能画出其它的高吗？②在三角形中，一个角的角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．如图．∠BAD＝∠CAD，那么线段AD是△ABC的一条角平分线．想一想：一个三角形有几条角平分线？你能画出其它的角平分线吗？③在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．如图．BE＝EC，那么线段AE是△ABC的BC边上的中线．想一想：任意画出一个三角形，画出三边上的中线．你发现了什么？【归纳结论】三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心．【三】运用新知，深化理解1．教材P43例1、P45例2.2．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是(B)A、1B、2C、3D、43．三角形的角平分线是(C)A、直线B、射线C、线段D、不确定4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B)A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形5．如下图，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，那么线段AC是(D)A、边BB′上的中线B、边BB′上的高C、∠BAB′的角平分线6．等腰三角形的两边长分别为3 和6，那么它的周长为(C)A、9B、12C、15D、12 或157．一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，那么第三边长x的取值范围是__1cm<x<7cm__.假设x是奇数，那么x的值是__3、5__，这样的三角形有__2__个；假设x 是偶数，那么x的值是__2、4、6__，这样的三角形又有__3__个．8．如图，∠ACE＝∠BCE.BD＝CD，指出图中三角形的特殊线段．解：CE是△ABC的角平分线．AD是△ABC的中线．ED是△EBC的中线．CF是△ACD的角平分线．9．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，指出图中相等的线段和相等的角．解：相等的线段有：AE＝CE.相等的角有：∠BAD＝∠DAC.【四】师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充第2课时【教学目标】知识与技能1．掌握三角形内角和定理．2．掌握三角形的内角与外角的关系．过程与方法通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过小组合作学习，培养集体协作学习的能力及概括能力．情感态度让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣．教学重点三角形内角和定理．教学难点三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【教学过程】【一】创设情境，导入新课我们都知道一个三角形的三个内角的和为180°，你知道三角形的内角和为什么是180°呢？【二】合作探究，探索新知1．每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验，能否拼出一个角的和为180°.为什么是180°？通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？开展小组竞赛(看哪个小组的发现多？说明清楚．)，各小组派代表展示拼图，并说出理由．2．你能运用几何证明的方法证明三角形的三个内角的和为180°吗？试一试．3．议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？4．直角三角形可用符号〝Rt△〞来表示，例如直角三角形ABC可以记作〝Rt△ABC〞，在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边．两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形．5．三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如以下图中∠ACD是∠ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻．6．探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？【归纳结论】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【三】运用新知，深化理解1．判断：(1)一个三角形的三个内角可以都小于60°.(×)(2)一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角. (√)2．AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，那么∠E等于(C)A、60°B、25°C、35°D、45°第2题图第3题图3．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝110°，那么∠A＝(B)A、50°B、40°C、70°D、35°4．观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：锐角三角形( 3 、5)直角三角形(1、4、6)钝角三角形(2、7)5．在△ABC中：①∠A＝35°∠C＝90°那么∠B＝__55°__②∠A＝50°∠B＝∠C 那么∠B＝__65__________°__③∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1那么△ABC是__直角三角形____．④∠A－∠C ＝35°，∠B－∠C ＝10°，那么∠B ＝__55°__.6．在△ABC中∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．解：△ABC中，设∠A＝x，那么∠C＝∠ABC ＝2xx＋2x＋2x＝180°(三角形内角和为180°)∴得∠C＝2x＝72°在△BCD 中，∠BDC＝90°那么∠DBC ＝90°－∠C＝18°7. 如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，那么∠1＋∠2为多少度？解：∵△ABC中，∠A＝50°，∴∠AED＋∠ADE＝130°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠AED＋∠ADE)＝230°.【四】师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．。

八年级第一学期数学教学计划一、学生基本情况：这个学期我任教八年级的130、131班两个班级。

在学生所学知识的掌握程度上，两个班级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，在几何中，教材安排三角形全等知识，我在教学中进行了补充，相对正规教学来说，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。

在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，前面的教学中，面对山里的孩子，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养，在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。

学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。

二、教材分析本学期教学内容，共计四章，知识的前后联系，教材的德育因素，重、难点分析如下：第一章实数主要内容为算术平方根，平方根，立方根的概念及求法，另外有关实数的概念和实数的分类第二章一次函数主要内容为通过探索活动抽象出函数的概念，一次函数的概念进而研究一次函数的有关性质和应用。

2．6用尺规作三角形第1课时已知三边作三角形1．已知三边会作三角形；(重点)2．已知底边及底边上的高会作等腰三角形；(重点，难点)3．会作已知角的平分线．(重点，难点)一、情境导入小明在一个工程施工图上看到一个三角形图形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？二、合作探究探究点一：已知三边作三角形【类型一】已知三边作三角形已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.解：作法：1.作线段BC＝a；2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定定理SSS知，三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边(即两个顶点)，再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．【类型二】已知三边作三角形的运用已知：线段a，b，m，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.解析：本题中，已知两边和第三边上的中线，可考虑倍长中线，即作△ABE，使AB＝a，AE＝2m，BE ＝b，再取AE的中点D，倍长中线BD.解：作法：1.作线段AB ＝a ；2．分别以A 、B 为圆心，2m ，b 为半径画弧，两弧交于E ，连接AE 、BE ； 3．取AE 中点D ，连接BD 并延长至C ，使DC ＝BD ； 4．连接AC ，∴△ABC 即为所求．方法总结：有关三角形的中线的作图、计算或证明，如果直接解题较麻烦，一般可以把中线延长，使延长部分等于中线长．探究点二：已知底边和底边上的高作等腰三角形已知线段c ，求作△ABC ，使AC ＝BC ，AB ＝c ，AB 边上的高CD ＝12c .解析：由题意知，△ABC 是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半． 解：作法：1.作线段AB ＝c ；2．作线段AB 的垂直平分线EF ，交AB 于D ；3．在射线DF 上截取DC ＝12c ，连接AC ，BC ，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高可确定另一个顶点的位置．探究点三：作已知角的平分线 【类型一】 作已知角的平分线用尺规作图作出∠ABC 的平分线．解：作法：1.在BA ，BC 上分别截取BM ，BN ，使BM ＝BN ；2．分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，在∠ABC 内两弧交于点O ；3．过点O 作射线BP ，则BP 为所求作的∠ABC 的平分线，如图所示．方法总结：作角平分线的理论依据是全等三角形的判定定理SSS，如本题中，△BMO≌△BNO，从而有∠ABP＝∠CBP.【类型二】作已知角的平分线与作线段的垂直平分线的综合运用如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且在∠AOB的角平分线上．解析：P到点M、N的距离相等，则点P在线段MN的垂直平分线上，又在∠AOB的角平分线上，即是这两条线的交点．解：1.作∠AOB的平分线OC；2．作MN的垂直平分线DE，与OC交于点P；点P就是所求作的点，如图所示．方法总结：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以要求作一点，使这一点到已知两点的距离相等，则这一点一定在连接已知两点的线段的垂直平分线上．三、板书设计1．已知三边作三角形2．已知底边和底边上的高作等腰三角形3．作已知角的平分线作出其余的图形．。