单摆的非线性振动问题-答辩

单摆振动分析第2l卷第1期2008年3月湖南理工学院(自然科学版) JournalofHunanInstituteofScienceandTechnolo~,vfNaturalSciencesVbI.2lNO.1MaL2O08单摆振动分析陈文涛,龚善初(揭阳学院机电工程系,广东揭阳522000)摘要:研究单摆的非线性振动,从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响;用第一类完全椭圆积分求出了单摆振动的周期;利用MAPLE9.0作出了单摆周期随参数的变化曲线以及在不同情况下单摆的相图.所得结论为:周期随参数的o0增加而增加;当f取变值由小到大时,非线性振动的相图会出现由单周期解一倍周期解一四周期解…混沌一单周期解….关键词:单摆;非线性振动;阻尼;驱动力;相图;混沌中图分类号:0322文献标识码:.A文章编号:l672.5298(2008)01.0066.05 TheVibrationAnalysisofSimplePendulumCHENWen—tao.G0NGShan—chu(Dept.ofMechanical&Elect,Engineering,JieyangCollege,Jieyang522000,China) Abstract:ThenonlinearvibrationofsimplependulumISstudiedbyanalyzingwhetherornotd ampanddriveforceitsinfluenceofthesimplependulum;theperiodofnonlinearvibrationisgotbyusingthefirstkind ofcompleteellipseintegral,andthecurveoftheperiodwiththeparameterO0changeandphaseplotsaredrawnindifferentcasesbyusingoftheMAPLE9.0.The conclusionisthattheperiodincreaseswiththeincreaseofparameterO0;thephaseplotshavesi ngleperiodsolution,doubleperiodsolution,quadrupleperiodsolution,andchaossolution,...,whenfvariesfromsmalltobig. Keywords:simplependulum;nonlinearvibration;damp;driveforce;phaseplot;chaos无论是在高中物理,还是在大学物理的力学教学中,我们都要研究单摆,单摆是一种理想物理模型f¨.摆长为,的单摆作有限振动时,运动方程为+,+mgsinO=FcosarDf,或+—+万sin0=—F—cos万Df(1)其中0,和分别表示质点的角位移,角速度和角加速度,为阻力常数,万.=√为固有角频率,(1)式右边为周期性的驱动力,其角频率为万.,将(1)式无量纲化可得t9+2,80+sin0=fcos-Ot(2)其中=/2mw.为无量纲的阻力因数,f=F/mw~l=F/mg和=/tO"0为无量纲的驱动参量.下面分三种情形来讨论单摆的振动.1无阻尼和无驱动力单摆的运动摆长为,的单摆作有限无阻尼和无驱动力振动时,(2)式变为+sin0:0.化成方程组得J万(3)收稿日期:2007.10.18作者简介:陈文涛(1961一),男,广东揭阳人,揭阳学院讲师.主要研究方向:物理教育第1期陈文涛等:单摆振动分析67(5)式的奇点为(0,0),0:(inn,0),n:0,1,2,…,在常点有:一—sin—,积分得dO'z刁r去+(1一cos0)=E.(4)(4)式给出了0和之间的函数关系.可见,只需两个参量0和就可完全确定单摆的运动状态,即单摆的相点是约束在二维相空间的.其轨线为0=+42rE一(1一COS)].(5)(一(.特征方程为+1=0,1.2=.由于(5)式关于坐标轴对称,故(+_2nn,0)是单摆相轨迹的中心.一在[±(2一1)x,O]处,(3)式的系数矩阵为(一lolo=~(2n_1)x=(圄1无阻尼无驱动力单摆的相圄特征方程为一1=0,1.2=±1,故[±(2n-1)x,0]是单摆相轨迹的鞍点.单摆运动的相图【z】如图1所示. 1.1总能量对无阻尼单摆运动的影响当0<E<2时,由(3)式得=2[E—fl—cosO)].因恒大于零,所以COS01一 E.故单摆运动的最大摆角只能在一万<0=arccos(1一E)<7/"的势阱中作周期运动,单摆不可能达到0:7/"的最高点,则在一√2E与√2E之间变动.可见0和都只能在相空间的有限范围内变化,相轨迹必是围绕相空间坐标原点的闭合曲线,它们通常可以用Jacobi椭圆函数表征【3】.口2若单摆仅作微小摆动,即在运动过程中0为很小的数值,则有cos0≈1一,此时(4)式可写为Z+0=2E.由(5)式知该方程为一个椭圆方程,其相轨迹是围绕原点的椭圆曲线,即我们所熟知的简谐运动相轨迹,此时单摆在平衡位置附近作简谐运动.相平面上有无数个中心0=+2nx,=0,1,2,…和鞍点0=±(2+1)x.=0,1,2,….1鞍点处能量E=÷+(1一cos0)=2,这时摆线已经"倒立",2中心是一种不稳定状态,由能量守恒知,摆球会从一个"倒立"状0=0态到下一个"倒立"状态而不停地运动,即在铅直平面上"划圆",摆到最高处速度变为零,但瞬息又会加速沿圆周摆下去,如此往复运动.当单摆静止于铅直位置时,处于稳定平衡状态,与图1中的E点对应.相空间中0轴上(:0),0=+_2nz,=0,1,2,…圈2相柱面鞍点:±各点都是E点.它们表示的都是单摆位于稳定平衡状态,故这些E相点被称为稳定点.稳定点邻近的相轨迹为椭圆曲线,故E点又称为椭圆点.由于转角的周期,0=±2代表空间中的同一位置.因此可以只取包含在0:7/"和0:一7/"之间的带域,使两条边线互相粘合卷成一个柱面,称为相柱面【¨】,如图2所示.在图2中,中心和鞍点各只有一个,在中心0=0处,对应于单摆在平衡位置附近的摆动;鞍点0=±68j朝南理工学院(自然科学版)第2l卷处,对应于单摆绕悬挂点D朝同一方向的转动.当E=2时,由(4)式得=2(1+COS).显然,0为任何值时此式都能成立,单摆可以达到最高点(=±刀).但在最高点处cos(+刀)=一l,0=0,摆球就不可能继续转动了,而0的变动范围为0'5I.这时质点的相轨迹如图1中粗线,称为分隔线.图1中有两条分隔线,分别描写单摆两种不同方向的转动,它们通常可以用双曲正切或双曲正割函数表征,相交于相空间的点.各点位于相空间0轴上0=±(2+1)x,(=0,1,2,…),各点处.它们表示单摆静止于最高点,呈不稳定平衡状态,故点被称为不稳定点.在点邻近的相轨迹呈双曲线状,故又称双曲点.在机械能E=2情形下,单摆绕悬挂点的运动向最高点趋近,但不会越过最高点.当E>2时,由(4)式得=2[E一(1一COS)】.由于E>2,故无论0为何值此式都能成立.因>0恒成立,表明单摆在势场中绕定点转动,相应的相轨迹如图1中的波浪线所示.在上半平面,ll0>0的相轨迹表示单摆沿逆时针转动;在下半平面,<0的相轨迹表示单摆沿顺时针转动.由图1可见,分隔线(E=2时的相轨迹)将空间划分为两部分,在其内部区域,相轨迹为围绕椭圆点的闭合曲线,单摆在往复摆动;在分隔线外部区域的相轨迹则描写单摆绕定点转动,且无任何瞬时驻定现象【7(运动过程中出现速度为零的现象称为瞬时驻定现象).1.2摆角对无阻尼单摆运动周期的影响由(2试知,摆长为,的单摆作有限振动时,运动方程为+sin=0,(0)=o,(0)=0(6)式是非线性微分方程,它的精确解是第一类完全椭圆积分,利用积分法可求得声南'+to:一2x=2xJt-为摆角.5.时单摆运动的周期,则(7)式变为fig"oYg=南'(8)设与7"0的比为R,由(8)式知肚南'为便于作图,设0.go90.,利用Maple9.0计算机绘图,与ro的比R随摆角.的变化曲线如图3所示.(6)(7)圄3R随摆角oo的变化曲线由图3可知,在摆角较小Oo5.时,与的比等于1,当摆角较大Oo>5.时,周期比R 随摆角的增大而增大.2有阻尼和无驱动力单摆的运动由(2)式知,单摆的运动方程为0+2130+sin0=0(9)佑¨惶¨∞∞叫第1期陈文涛等:单摆振动分析化成方程组,得珂.【=一2po—sin0其特征方程为+2+1=0.特征值为^.=一±,/p～1.当≥1时,(0,0)是稳定结点;当<1时,(0,0)是稳定焦点.由于+—O(—-2—flm-sinO)='2<.,故(9)式无闭轨,即有阻尼的单摆运动不会出现周期运动,欲得其周期运动,只能由外界补充一些能量来抵消阻尼,如时钟装上发条.图4有阻尼无驱动力单摆的相图利用Maple9.0计算机绘图,有阻尼和无驱动力单摆运动的相图如图4所示.由图4可知,由于阻尼的作用,能量的耗损,图1中的闭合轨线消失,最后都趋向于中心.3有阻尼和有驱动力单摆的运动由(3)式知,单摆的运动方程为t~+2/30+sin0=fcos.62t(10)在任意大振幅下,方程(10)的解变得十分复杂,下面利用计算机模拟,分别讨论单摆运动随初值的变化和其混沌运动.3.1初值不同所产生的0一,曲线为简单计,设=0.10,f=1,=2/3.当t=0时,两振动初始条件相差极小,有j(0)=0'Ol(O).:0?0f111102(0)=一0.01,02(0):0取0t120s,对(10)式在初始值(11)式下利用Maple9.0绘图,线为0,一t,虚线为0,一t).图5有阻尼和驱动力的0一t变化曲线其0一t变化曲线如图5所示(其中实由图5可以看出,当0≤t≤25s时,两条曲线重合,两个解0,(t),0,(t)不能分辨;但当t>25s时,两条曲线不再重合,两个解0(t),0(t)完全不一样,这种混沌运动对初始条件的敏感性称为蝴蝶效应".3.2振幅不同所产生的相图0—0为简单计,设方程(10)中,除驱动参量.厂取变值外,其余参数不变,即=0.25,=2/3.对(10)式在初始值式o(o)=0,o(o)=0下利用Maple9.0作计算模拟绘图,相图一0如图6所示.当f=1.07时,振荡周期f等于外加周期力的周期,f=T=2/万=3,对应单周期解,其相图0—0如图6(a)示.当f=1.082时,f=2T,对应倍周期解,其相图一0如图6(b)示.当周期强迫力的振幅达到某一临界值fc=1.684时,f2T,系统运动出现混沌,其相图一0如图6(c)示..当/增大到f=4.0和f=4.6时,又恢复了较为简单的运动,分别又出现了单周期解和倍周期解,其相图0—0分别如图6(d),6(e)示.由图6(a)～(e)可以看出,周期运动都是一闭合曲线,周期为2"T的周期振荡有n条近似相同走向的轨迹,这些轨迹共有n个交点.70湖南理工学院(自然科学版)第21卷4结论(a)21.1.2(d)(b)642.2-4.6321.1.2.3(c)图6有阻尼和驱动力在厂不同时的相图(e)以上分析表明:(1)在摆角较小Oo5.时,单摆其相轨迹是围绕原点的椭圆曲线,即我们所熟知的简谐运动相轨迹,此时单摆在平衡位置附近作简谐运动;随着摆角的增加,单摆作非线性振动,可用第一类完全椭圆积分表示,周期与摆角有关,周期随摆角的增大而增大.因此,当摆角较大时(Oo>5.),应考摆角对周期的影响.单摆运动存在若干稳定点和鞍点(不稳定点),振动曲线和周期是非线性振动的结果;(2)在有阻尼和有驱动力的情况下,非线性单摆的振动对初始条件非常敏感,称为蝴蝶效应;(3)在有阻尼和有驱动力的情况下,若.厂取变值由小到大,其余参数不变,非线性振动的相图一会出现由单周期解_倍周期解一四周期解…混沌一单周期解….参考文献【1】梁绍荣,刘昌华,盛正华.普通物理学【M】.北京:高等教育}}{版社,1999,233～235【21刘曾荣.混沌研究中的解析方法【M】上海:上海大学出版社,2000,56～59 【3】刘秉正.非线性动力学与混沌基础【M】.长春:东北师范大学出版社,1995,17～52【41龚善初.复摆振动分析【J】.物理与工程,2004,l4(6):20～22【5】刘延柱,陈文良,陈立群.振动力学【M】.北京:高等教育版丰十.1998,15-20 【6】6黄润生.混沌及其应用【M】.武汉:武汉大学H{版礼,2000,55～60【7】王树禾.微分方程模型与混沌fM】.合肥:中国科学技术大学版礼,1999,391～392【8】王梓坤.常用数学公式大全【M】.重庆:重庆出版社,1991.465—467f9】黎捷.MAPLE9.0符号处理及应』~JIM].北京:科学H}版社,2004,156--159【l01刘秉正.非线性动力学与混沌基础tMI.长春:东北师范大学出版社,1994,141～142。

单摆单摆振动周期 振幅 环境 讨论高中物理课本把悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这种装置叫单摆，如图1所示。

单摆在振动过程中，回复力由重力在速度方向的分力提供。

当摆球运动到任一点P 时重力沿速度方向的分力θsin 2mg G =，在05<θ时，L x ≈θsin ,回复力x LmgF -=，单摆做简谐 振动，振动周期表示为gLT π2=，跟振幅和摆球的 质量无关。

一、周期与振幅的关系关于简谐振动的周期与振幅无关的结论，只是在一定条件下的近似，严格说来，其周期与振幅是有关的。

由牛顿第二定律可知，单摆的运动方程为 θθsin 22mg dtd mL -= ①即0sin 22=+θθL gdt d ，当振幅很小时，摆角θ也很小，θθ≈sin ,方程由非线性振动转化为线性振动，即022=+θθL gdtd ②其解为)cos(0ϕωθθ+=t ，式中θ0为最大摆角（振幅），角频率Lg=ω，ϕ为初相位，符合简谐振动的特点，其周期为gLT πωπ22==，在摆角θ小于50时，周期T 与振幅和摆球的质量无关。

值得指出的是，当摆角较大时，θθ≠sin ，由方程①知单摆做非线性振动，振动周期随振幅变化，周期T ’表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅= 2sin 6492sin 41120402'θθπgLT .GG 1图1相对误差 2sin 4102'θη≈-=T T T . 当0θ取不同的值时，相对误差如下表所示：显然，当005<θ时，相对误差小于1‰，单摆由非线性振动转化为线性振动，周期T 与振幅和摆球的质量无关，这就是单摆线性振动的等时性。

荷兰物理学家惠更斯正是利用了单摆的这种等时性发明了带摆的计时器，通过改变摆长可以很方便地调节摆的周期。

二、周期与地理位置的关系 常见的问题有两类：1、把单摆由赤道移向两极时周期发生变化由于越靠近两极，重力加速度越大，周期变小。

单摆振动周期公式应用与拓展首先，我们来探讨一下单摆振动周期公式的基本原理。

单摆是一个能够满足简谐振动条件的物体，例如一根绳子上挂着的一个质点。

当质点被拉到一侧后，它会开始作周期性的来回摆动。

振动周期就是质点从一个极点到另一个极点所需要的时间。

根据实验结果和物理推导，可以得到单摆振动周期公式为：T=2π√(L/g)其中，T表示振动周期，L表示单摆的长度，g表示重力加速度。

从公式中可以看出，振动周期与单摆的长度和地球重力加速度有关，当长度增加或重力加速度减小时，振动周期增加，即摆动速度减慢。

单摆振动周期公式的应用非常广泛。

一个典型的应用是在建筑物的抗震设计中。

建筑物的抗震设计是非常重要的，可以保证建筑物在地震中的稳定性和安全性。

在抗震设计中，需要考虑建筑物的振动特性，以及地震力的作用。

单摆振动周期公式可以用于计算建筑物的自由振动周期，从而帮助工程师选择合适的结构参数，使得建筑物在地震中具有较好的抗震性能。

另一个应用是在钟表制作中。

钟表的摆钟是一种应用了单摆原理的装置，它的精确度和稳定性与单摆的振动周期有关。

根据单摆振动周期公式，可以通过调节摆钟的长度，使得摆钟的振动周期达到所需的精确值。

这样一来，摆钟就能够以非常准确的频率进行摆动，从而实现钟表的正常计时功能。

此外，单摆振动周期公式还可以应用到其他一些领域。

例如，在物理实验中，可以通过改变单摆的长度和重力加速度，来研究对振动周期的影响。

在工程计算中，可以根据单摆振动周期公式，计算一些动态系统的振动周期，例如桥梁的自由振动周期。

在天文学中，单摆振动周期公式可以用于计算天体的周期运动，例如行星的公转周期。

除了对单摆的普通振动，单摆振动周期公式还可以拓展到一些特殊情况下。

例如，当单摆受到阻尼力或驱动力的作用时，振动周期公式需要进行修正。

在阻尼振动中，振动周期随着阻尼系数的增加而减小。

在驱动振动中，振动周期与外力的频率相同或其整数倍相关。

在非线性振动中，单摆振动周期公式也需要进行修正。

（完整word版）⼯程⾮线性振动学习总结,推荐⽂档东北⼤学《⾮线性振动》学习总结第⼀章⾮线性振动的定性分析⽅法1.1 稳定性理论的基本概念特定的运动成为系统的未受⼲扰的运动，简称为稳态运动，⽽受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。

李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定李雅普诺夫直接⽅法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。

（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。

（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。

定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤⽴极⼩值，则平衡状态稳定。

对于复杂的⾮线性系统，可以以近似的线性系统代替可以根据⼀次近似⽅程的稳定性，判断原⽅程的稳定性：（1）若⼀次⽅程的所有本征实部均为负，则原⽅程的零解渐进稳定（2）若⼀次近似⽅程⾄少有⼀本征实部为正，则原⽅程的零解不稳定（3）若⼀次近似⽅程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原⽅程的零解的稳定性1.2相平⾯、相轨迹和奇点与系统的运动状态⼀⼀对应的像平⾯上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。

像平⾯内能使⽅程右边分⼦分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。

保守系统的相轨迹有以下特点：（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平⾏线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满⾜⼏点的定义；（4）在势能取极⼩值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个⼩领域内都有E⼤于等于V（x）。

这种类型的奇点是稳定的，称为中⼼。

（5）在势能取极⼤值的点x= S2处，设E⼩于V(S2)则在区间（C1，C2），内没有对应的相轨迹，这种类型的奇点是不稳定的，称为鞍点。

摘要单摆是日常生活中常见的一种物理现象，用一根细绳的一端拴着一个重物，把另一端固定，当重物来回摆动时，就形成了一个单摆模型。

本文讨论理想单摆和非线性单摆的分析方法，着重讨论非线性单摆的角度和角速度的关系及用摄动法求解一类特殊非线性单摆（duffing振子）。

并介绍几种常用的数学求解单摆方程的方法。

关键字：无阻尼；周期强迫；任意角度；阻尼振子；非线性；摄动法；平均法-IAbstractSingle pendulum is a common physic phenomenon in our life. Tie an object with a line, fasten the other side. When the object rock around, we can get a single pendulum.The main content of this paper is to discuss the method of analysis the ideal single pendulum and the nonlinear single pendulum. We put our eye on the relationship between the angle speed and the angle acceleration. Then we will use perturbation method to solve one special angle pendulum equation. At last we will introduce some common ways to solve the problem.Keywords:no damp, period forced, any angle, damp flap, nonlinear,perturbation method, average method.-II目录一、无阻尼振荡的分析 (1)二、周期强迫振动的分析 (4)三、摆角为任意角度的分析 (5)四、阻尼振子的分析 (8)五、有摩擦强迫振动的分析 (10)六、非线性振子的分析 (12)七、摄动法求解duffing振子方程（perturbation method） (15)1、正规摄动法（regular perturbation method） (16)2、Poicarè法： (17)八、用平均法求解单摆方程 (19)参考文献 (21)附件 (22)-III-1一、无阻尼振荡的分析如图所示，忽略细绳重量，也不计小球受到的空气阻力，则上诉单摆可看成理想单摆，对其进行受力分由牛顿第二定律得：θsin mg ma -=（1）因为2222dtd l dt s d a θ== )(θl s = （2） 把（2）代入（1）式可得 0sin 22=+θθmg dtd ml （3）将（3）两端同除以ml 可得 0sin 22=+θθlgdtd （4）令lg=0ω，其中0ω为自然频率.则（4）可变为 0sin 2022=+θωθdtd （5） 当θ很小时,θθ=sin 故有,02022=+θωθdt d （6）解此方程得:ti ti eC e C t 0021)(ωωθ-+= （7）若θ为实数,则有θθ=*,即t i t i ti t i e C e C e C e C 000021*2*1ωωωω--+=+ （8）所以, *21C C =, *12C C = （9）令ϕi e A C 21=,ϕi e AC -=22. 则有())cos(2)(0)()(0ϕωθϕωϕω+=+=+-+t A e e A t t i t i （10）-2)cos()(0ϕωθ+=t A t （11）从能量守恒方面考虑:0022=+θωθdt d 可变形为 020=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛θωθθθdtd d dt d d （12） 令dtd θθ='，则有 0''20=+θωθθθd d （13）两边同时乘以θd ，得到 0''20=+θθωθθd d （14）在对两边求积分， ⎰⎰⎰=+θθθωθθd d d 0''20 （15）积分结果为 E =+220221'21θωθ （16）令2'21θ=T (动能),22021θω=V (势能). 则有E V T =+,机械能守恒.E =+220221'21θωθ为椭圆方程：00.20.40.60.811.2 1.4 1.6 1.82tt h e t a /d t h e t a图1 a-3xy图 1 b 图1 a 的图像为摆动角度θ及角度θ的导数随时间变化的曲线，其中实线表示角度θ随时间的变化，点线表示θ的导数（即角速度）随时间的变化。

单摆的非线性动力学分析亚兵（交通大学车辆工程专业，，730070）摘要:研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。

对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况。

再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况。

关键词:单摆；振动；阻尼；驱动力Abstract:The vibration of simple pendulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force itsinfluence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an approximate Lyapunov theory of stability of motion is derived pendulum situation.Drawing tools with help from matlab, small angle and wide-angle pendulum motion simulation, by changing the parameters, such as damping size, drive size draw simple pendulum of different phase diagram, analysis and comparison of the phase diagram, from the verification the stability of the situation pendulum movement.Key words: simple pendulum; vibration; damp; drive force1 引言单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动（摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解析解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解析的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动。

数学建模之单摆摆动问题分析数学建模在实际中的应用单摆摆动问题分析学号姓名专业根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，抽象出单摆的模型。

在理想条件下，单摆的摆动规律大致分为两种情况:小角度摆动和大角度摆动，分别针对这两种情况，从摆动微分方程出发，之后采取不同的方法分析。

小角度摆动时，可做三角近似代替，将非线性微分方程转化为线性微分方程，进而求出其解析解，得到小摆角时单摆运动规律。

通过matlab软件的验证，可以明显的看出结果与实际相符的很好。

一、问题描述针对理想条件下的单摆，分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律。

二、模型假设1.悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多;2.装置严格水平;3.不受空气阻力，且无驱动力。

三、符号说明符号含义(rad) 单摆偏离平衡位置的角位移 ,单摆的最大摆角 ,(rad) 0g 2重力加速度，取9.8m/sl 细线长，取1mt(s) 单摆摆动时间四、模型建立与求解1.最简单的单摆模型(如图1)1图1 简单单摆模型o2.小角度时单摆运动规律(<5) ,,,1单摆的运动微分方程为:2d,g+=0 (1) sin,2dtl当摆角很小时,sin,故方程1可简化为: ,,,,2d,g+=0 (2) ,2dtl这是一个简单的谐振动方程，其解析解为:,，,=Acos() (3) ,00其固定角频率为:g,= (4) 0l得其周期为:,2，lT= (5) 2,,0g,0o可以利用matlab软件在[0, 5]分别作出方程(1)和方程(2)的解得图像，如图2图2 小角度单摆摆动规律(—方程(1)的解，**方程(2)的解)o由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当较小时(<5)，,,两方程的解几乎相等，故周期公式此时较为准确。

o 上述结论仅仅适用于摆角很小时(<5)，当摆角很大时，方程sin不,,,,,再成立，方程(1)和方程(2)的解不再相近，故周期公式(5)不再成立。

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目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)1. 引言 (2)2. 单摆、复摆的非线性振动 (2)2.1 单摆的周期性 (2)2.2 复摆的周期性 (3)2.3 单摆、复摆周期性的综述 (3)3. 非线性单摆的数值解 (3)3.1 阻尼作用对数值解的影响 (3)3.2 非线性方程的数值计算结果 (3)3.3 结果与讨论 (5)4. 非线性单摆的渐近解 (5)5. 结语 (5)参考文献 (6)致谢 (7)内容摘要：单摆和复摆在摆角较小时具有周期性和等时性，这种情况下此模型可被理想化，而摆角较大时它们的振动就是非线性的，虽然依旧具有周期性，但不在具有等时性，原来忽略的实际问题也必须考虑其影响，例如振幅和阻尼系数等。

本文分析了单摆和复摆在不同摆角下的周期情况，并附上数据加以说明。

另外，利用数学物理手段对非线性单摆的振动从数值解和渐近解两个方面进行求解。

关键词：周期性，等时性，简谐振动，数值解，渐近解Abstract：Pendulum and pendulum with periodic and isochronous in the pendulum angle is small. In this case the model can be idealized. Swing angle is larger so that their vibration is nonlinear. Although it still has periodicity, it has not isochronism. Practical problems ignored must consider its effects, such as amplitude and damping coefficient. This paper analyzed the pendulum and pendulum in the period under different wobbling angle, and attaches to illustrate the data. In addition, vibration of the nonlinear pendulum using mathematical and physical methods from numerical solutions and asymptotic solutions of two aspects of solution.Keywords：Periodicity Isochronous Simple harmonic motion1 引言在物理学中有一组特别重要的模型——单摆（数学摆）和复摆（物理摆）。

微扰法求单摆运动的非线性解f伊/\帮/29卷第1期1996年2月武汉水利电大学J,WuhanUniv.ofHydr&amp;ElecEngV oI29NoFebl996一l.弓微扰法求单摆运动的非线性解王建华()022舟摘要以单摆为实例.JH馓执法详细求出单摆运动的非线:解,并用实验加以骑证关键词鬯墨;;竺些塑中圈法分类号0322工科(普通物理学)中,对于振动的研究,采用弹簧振子,单摆等理想化模型.着重研究无阻尼自由振动.其次是阻尼振动与受迫振动当单摆摆角小于5.时,若不计阻尼,归结为简谐振动用d2/df+Ir=0来描述振子运动的微分方程但是,一切实际过程中阻尼.孽是存在的,如介质中的阻力不仅与振子速度的一次方成比例,有些情况下还与振子速度的高次方成比例.因而就振动这种自然现象的本质来讲,系统都是非线性运动.因此,研究应用非线性振动力学描述振动问题的实质,是十分必要的.但是对非线性微分方程,一般不易求出它精确的解析解.只能用求近似解的理论求其各级近似解微扰法就是求近似解的方法之一.下面阐述求单摆运动非线性解过程,干#用实验加以辅证1微扰法求振动方程的非线性解设一振动系统运动的微分方程为j+0=E,(-r,j),(1)e为一小的{;;!}扰参数,,(.7--,)是和主的解析函数,因为有s,(Ir,__r)这一项存在.系统不再是简谐振动(图1),因s很小,所以我们可称此系统为准谐振动系统.或说系统振动具有准周期性若无s,方程则有一周期解;现因s的存在.即有任意小微扰,则解应为r=0+El+E2'r2十Ej_1+…,(2)=3'-"+Ejl+￡j2+E奎+?一(3)将,(-r,j)在-r.附近按泰勒级数展开?则有幽I单拦m,j)_,(几))筹+者(～)睾.+.-?将(2),(3),(4)式均代入(1)式,则得:收椭日期:1994—03一c141i建华,副教授,女,从事夫学物理教学与振动力学基础研究(4)第1期王建华:微扰法求单摆运动的非线性解(;0+l+E2322+…)叫3(0+E-rI+￡2+?一)=e+()+(j-'.)+.._]'(5)等号前后e同次幂系数应对应相等,所以有f呈0+j0:0,jl-+f(x.一,(6)j击筹"筹.得出的是线性方程系列.可求出一系列近似解.但依次求出的解中将出现发散项,这与宴际情况发生了矛盾在求解杜芬方程时,我们得到启示.现以求解杜芬方程为例,说明矛盾的存在与解决方法.杜芬方程表达式【21:;+叫+e:0,(7)求其具体的近似解,其中e为一小微扰量.用微机法,设方程的解为:'r0+I+￡2E332+…,(8)将解代凡杜芬方程,整理得j0+0=0.(9)I+jjI=一3,(10);2+j2=一3I,(11)由初始条件:当t=0时,=q.;¨=0,'r(O):0,(O):0.且=1,2,3,…刚(9)式的解为'r0(t)=Ⅱcos∞0t.(12)将(12)式代凡(10)式,利用三角关系式.得C0$'0f=÷(3cos~0f+cos3~0f).(13)所以(10)式可写为;.+=一(言…nt'cos3).(14)(14)式的解应包括齐次微分方程的通解与非齐次方程的特解之和.即为t一ta3Sinc0s3(15)t一o"iiD,lu"上式结果中出现与时间t的正比项.表明其振幅随时间增加而无限增大,此项是发散项我们知道.在弹性保守系统内部.能量是守恒的,不会发散因而解中出现与t的正比项显然是不合理的通过研究人们认识到,微扰加在位移上.同时其振动频率也将受到微扰,没有理由认为圜频率仍为,因而也应按幂级数展开,即体现在=0十e{+￡2+E3+'一,(16)同时to2=+I+eA2+ (I7)l0I)武}卫水利电力大学1996其中^,^,…待定,且选取的原则应为能消除解中的发散项,并与实验复合得好.这样一来.由(16)与(17)式,杜芬方程变为(;o+E;l+E;2+)+(叫;+Ehl+Eh2+…)?(0+盱l+E2+)+E(0+I+e2+…)=0(18)移项整理,等号前后e同次幂各对应项相等,得;n+Ⅲ0=0;l+Ⅲ_丁!=hl0一3.;z+叫2=hll+h2.丁0—3xoZx(19)(20)(21)由初始条件,当t=0时.X1)=n,0=0,(0)=0,(0):0(i1.2,…).jII!J(19)式的解为zn:ncos~t.(22)将(22)式代入(20)式整理得:;l+fO'~Zl"1=一百1n-c.s3一(i3n一hla)c.s消去发散项.令詈.3一^.n=0,..^:i3",则l==.[一(COS3叫}一c.s叫).(23)=iijj叫一.叫这样,杜芬方程的第一级近似解为:ncosr+=罢(cos3叫—c.s(u}).(24):.coi三'co叫一..叫,'z4频率对应的一级近似.即(24)式中的为=0+e?i3n(25)频率随位移而变化.将n,代入方程组第(21)式.整理得;+.z=(一面3ascos5)+(^:nt去享)cos令+?享-0,.-^z一3a"刚满足初始条件的上式方程的解为(c0s5o.s})?(26所以原方程的二级近似解为:aco$~ot+ecc.—cos+e而ccoss频率对应的二级近似值为第1期王建毕:微扰法求单摆运动的非线性解l01=o23∞2一3e24.以此类推.可求出杜芬方程的高次近似解2实验实例我们采用解杜F~-NO9思路,来求单摆振动过程频率和周期的近似解论的正确性和可行性.在自由振动情况下,设单摆振动微分方程为口+(g/1)(0—0V6)=0,与杜芬方程;+mj-r+":0类比可知=g/z.E=一g/(61)=一,oU6.由(25)式直接得频率的一级近似:m:m.(-一譬将(1一譬)按二项式展开,取前两项得:..(一).由丁=2n,=可知:"J."2一l6'那么I_T==m/Eooc-一]=-/c-～,』0∞0lOJfiO -丁:To【l/(1一)J?(34)同理,可以得出二级近似的频率与周期值,以及高级近似情况我们用图2所示装置,测单摆在不同0角状态下的周期,而后与理论值做比较.数据处理如下:设丁为0=5时,线性周期理论值;Tn为口=5时实验所得周期值;,为摆长;a为摆球离开乎衡位置的水平距离,即振幅.且Tn=2.4690s.T0=24708s,=l5125m.所测结果记录于表l(28j并用实验证明该理图2单撄自由振动周期测定装置(29)(30)f31)(32)(33)m单捶以上为小微扰自由振动情况下的结果,理论与实验结果符合得很好.若有阻尼存在.当阻尼力与振动速度一次方成比例时.单摆的运动微分方程为象+鲁+c一武汉水利电力大学丧1单摄自由振动周期潮定敷格其中y为阻尼系数.由前面推导可知.运动方程的第一级近似解应为dc0s≠.其中振幅n是时间f的函数.且dn一一其中为阻尼因子由(3o)式可知,其圆频率表达式应为:譬:√一譬=.c一餐,一i.一16'(36)(37)(38)其中叫0:~gg/1.令2卢=/,由初始条件:当t=0时,n=0,:=0,则d=4Ilexp(一).(39)再由(38)式.分离变量积分可求得≠随时间的变化规律为≠=..[exp(一2)一1]+≠.,≠为初相位由以上推导可得阻尼振动下.方程的第一级近似解的具体表达形式为=n.exp(一~)cosl.[z(exp(一2)一1)]十}为所求一第一级近似解告诉我们振动是衰减的它依赖于振子的形状.介质的性质等因索随着时间f的增加,瞬时圆频率将也增加.仍用上述带有光电门的单摆周期测定装置,将摆球放在一有机玻璃做成的水槽中,借助毫秒计来测定阻尼振动情况下,单摆的瞬时周期以及它的瞬时振幅.实验装置如图3所示我们知道.流体与固体之间有相对运动时.流体与固体边界的摩擦阻力是由流体的粘滞性和在固体边界法斟3单摆I虹皑振动硝鞠测定装置尊承槽向存在流速梯度所引起的.由于流体与固体边界闻无相对滑动,这种摩擦阻尼力就不是在流体第1解王建华:馓抗法求单摆运动的非线性解与固体边界之间.而是在贴附于固体边界上的流体质点同与其相邻的具有一定相对速度的流体质点之间产生的.在实验中,单摆在较小摆角情况下,如果忽略掉其他诸因素(主要考虑摆球在某层液面运动).仅考虑摩擦阻尼力是由流体的粘滞性引起的,那么.在标准大气压下,水槽中水温为4℃时.一圆球形摆球R=1.17cⅡl-=53.20g.阻尼系数取:1.567l0～N-s/m的情况下,当≠:5.时起.随时间变化得振幅与周期结果如表2.衰2单攉阻尼振动周期及振幅测定数嚣在介质中,由于阻尼的存在,振幅以较快的速度衰减.而由于水这种介质的阻尼系数较小,其单摆的振动周期以较慢的速度趋近于它的线性固有周期.实验与理论推导符合得很好3结束语在近代科技中广泛存在着振荡问题,它们的运动方程和机械振动表现为统一的物理规律.微扰法只是解决非线性振动问题的方法之一.对进一步深入研究其他水利,电力,机械,建工等问题.有十分有益的帮助参考文献1冯登索.应用非线性振动力学北京:中国铁道出敷社,198277～822斯托克JJ力学及电学系统巾的非线性振动.谢寿矗.钱曙译上海:上海科技出版社,196327～1023樊映川.高等数学(下册).北京:人民教育出版牡.198854～66 NonlinearSolutionforSimplePendulumMotionbySlightdisturbanceMethodWangJianhua(Departmetttofphs) AbstractThispapertakessimplependulumformexampleandfindsindetailanonlinearsolu. tionforsimplependulummotionbyslightdisturbancemethodTheresultshavebeenverifiedb yexperiments.KeyWordssimplependulum.perturbationtheory,nonlinearequations。

单摆的振动方程单摆是一种常见的力学实验装置，也是物理学中研究振动现象的重要模型。

它由一个质点和一根不可伸长的轻细绳或杆组成，质点在重力作用下沿着绳或杆做简谐振动。

单摆的振动方程描述了质点的运动规律，是研究单摆振动的基础。

单摆的振动方程可以通过拉格朗日方程或牛顿第二定律推导得到。

下面我们使用牛顿第二定律来推导单摆的振动方程。

设单摆的质量为m，绳或杆的长度为L，质点相对平衡位置的偏离角度为θ。

根据牛顿第二定律，质点所受合力等于质量乘以加速度，即-mg*sinθ，其中g为重力加速度。

由于质点在摆动过程中只受重力作用，所以合力的方向始终指向平衡位置。

根据几何关系，质点在任意时刻的加速度可以用角度θ的导数来表示。

加速度等于质点的线加速度除以绳或杆的长度，即a=L*θ''，其中θ''表示角度θ对时间的二阶导数。

将上述两个等式代入牛顿第二定律，得到-mg*sinθ=L*θ''。

这就是单摆的振动方程。

通过求解这个二阶微分方程，我们可以得到单摆的运动规律。

单摆的振动方程是一个二阶非线性微分方程，一般情况下无法直接求解。

但是对于小角度摆动（即θ很小），可以进行线性近似，将sinθ近似为θ，从而简化振动方程为-mg*θ=L*θ''。

这个近似的振动方程称为简谐振动方程，是一个线性的二阶微分方程，可以通过数学方法求解。

解析解表示为θ=A*cos(ωt+ϕ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，ϕ为初相位。

根据初值条件可以确定振动的具体形式。

当初始时刻t=0，质点的偏离角度为θ0，初速度为v0时，初相位ϕ和振幅A分别为ϕ=arccos(θ0/A)和A=v0/ω。

单摆的振动具有周期性，周期为T=2π/ω。

周期是指振动从一个极值点到达相邻极值点所需的时间。

角频率ω与周期T之间有关系ω=2π/T。

单摆的振动方程不仅在物理学中有重要应用，还在其他领域有广泛的应用。

例如，它可以用于钟摆的设计，通过调整摆长和质量来控制钟摆的频率。