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非线性振动非线性振动§0.1非线性振动的研究对象在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化。
这类现象称为振荡。
例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。
振动是一种特殊的振荡，即平衡位置四周微小或有限的振荡。
如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。
从最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。
有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。
尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和同一的数学表达形式。
因此有可能建立同一的理论来进行研究，即振动力学。
振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。
它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际题目提供理论依据。
根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。
线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。
不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。
线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够正确地反映振动的客观规律。
频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都是在线性理论中建立起来的基本概念。
实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。
因此工程实际中的振动系统尽大多数都是非线性系统。
由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。
第一章 非线性振动初步第一节 无阻尼单摆的自由振荡1 小角度无阻尼单摆 椭圆点单摆，一个由摆线l 联着的重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学教科书中通常都要进行讨论的一个简单的动力学模型。
其实我们将会看到，它具有非常复杂的动力学行为，是一个复杂系统。
我们研究一个理想的单摆，即忽略摆线l 质量，认为整个系统的质量都集中在摆锤上，是一个具有集中参数的数学摆，如图1-1所示。
因为如果把摆线与摆锤的质量一起计算，单摆就是一个具有分布参数的摆，与此相应的数学模型是偏微分方程，处理起来很复杂。
理想单摆的数学表达是常微分方程，研究起来就要容易得多了。
图1-1 数学摆首先忽略一切阻尼，例如忽略摆锤在运动中受到的空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等等。
由牛顿第二运动定律，摆锤质量为m 的单摆的运动方程为：(1-1-1)式中θ为摆角，g 为重力加速度。
将等式右边项移到到左边，并以ml 相除后有：设 ，它是以单位时间的弧度为单位的角频率，则式(1-1-1)可写为：(1-1-2)由于正弦函数是非线性的，因此这是一个二阶非线性微分方程。
用级数展开正弦函数：(1-1-3)如果x 很小，则可以忽略三次以上的高次项，即。
这就是说当单摆的摆角很小时，式(1-1-2)变为线性微分方程：ml d dtmg 22θθ=−sin 0sin 22=+θθl g dt d l g /0=ω0ω0sin 2022=+θωθdt d L +−+−=!7!5!3sin 753x x x x x x x ≈sin(1-1-4)方程(1-1-4)的解可以通过如下的代换解获得：式中λ为常数。
代入方程(1-1-4)并消去因子后得特征方程：(1-1-5)方程(1-1-5)的特征根为：由此得到方程(1-1-4)的通解为：(1-1-6)式中，为复常数。
由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数，必须满足条件：于是得条件：，。
将满足这样条件的系数，写成指数形式：， 其中P 为它们的模，为幅角，则(1-1-6)式写成如下形式：(1-1-7)(1-1-7)式是一个振幅为P ，角频率为的简谐振动表示式，表明单摆在摆角很小时的摆动为简谐振荡，其振动波形可以用正弦曲线来表示。
224第十一章 非线性振动11.1 引言振动系统的许多运动状态可以按线性系统来分析，解释，但这只能限于一定的范围之内，因为系统中某些元件的特性只在某一定范围之内才是线性的。
例如，一个弹簧被拉伸或压缩，其中将分别产生拉压恢复力，在一定范围之内，力与变形之间的关系是线性的，超过这一范围，恢复力增长的速率将大于变形增长的速率（硬弹簧）或小于变形增长的速率（软弹簧）。
因此，一个简单的弹簧—质量振子，如果工作于弹簧的线性范围之内，就可以看为一个线性系统；如果工作于这线性范围之外，就是一个非线性系统。
同理，一个单摆，如果振幅θ充分小以至可以假设sin θ就等于θ，则可看为线性系统。
但对于大幅振动，这种假设就不再正确。
本质上是非线性的系统如果简单当作线性系统来处理，则不仅所得结果在数量上的误差过大，更重要的是按照线性理论将无法预料或解释实际系统可能出现的某些重要的非线性现象。
对于线性系统，因果关系是线性的。
即载荷加倍，响应也就加倍；若同时作用有不同的载荷，总响应就是各个单独载荷的响应之和，因此可以应用叠加原理，对于非线性系统因果关系不再是线性的，叠加原理也就不再适用。
非线性系统至今没有一般的解法，只能采用一些特殊的研究方法来尽可能地揭示系统的某些重要的运动性态。
这些方法沿着定性的与定量的两个方向发展，二者相辅相成，法国物理学家邦加来（Poincare ）在这两个方面都作出了奠基性的工作。
本章通过的一些典型的1自由度非线性系统介绍方法与定量方法的一些初步认识；揭示非线性系统所特有的某些重要的运动性态。
11.2相平面1自由度振动系统的运动微分方程一般形式为...,,0f x t xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(11.2-1)其中.,,f x t x ⎛⎫ ⎪⎝⎭可以是x 与.x 的非线性函数。
如.,,f x t x ⎛⎫⎪⎝⎭不显含时间t ，则有...,0f x xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(11.2-2)方程（11.2-1）所表示的系统称为非自治系统，而方程（11.2-2）可改写为两个联立的一阶方程如下..(,)x yy f x y ==- (11.2-3)如果把x 与y 都看为笛卡儿坐标，则x-y 平面成为相平面。
