非线性振动_绪论

2 d ( x1 + x2 ) dx12 d (2 x1 x2 ) dx2 dx12 = + + ? dt dt dt dt dt
2
2 dx2 dt
(3) 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统，存 在跳跃和滞后现象
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减 • 线性系统中自由振动总是衰减的
2 & & + 0 sin = 0
• •
大摆幅时
非线性微分方程，没有封闭解析解
非线性振动方程的一般形式
线性振动方程 非线性振动方程
cx kx f (t ) m x
, x , x) f c ( , x , x) f k ( , x , x) f ( , x , x, t ) f m ( x x x x
0.5当前研究的主要问题与方向
• (1) 多自由度系统的非线性振动问题；
• (2) 连续体的非线性振动问题； • (3) 多频激励下非线性系统特性； • (4) 强非线性振动求解方法及解的性态； • (5) 分叉、突变、混沌特性和机理；
• (6) 工程非线性振动问题，如非线性振动系统的控制等
参考书目
非线性振动
东北大学应用力学所 李 东
绪
• 0-1 非线性振动问题
论
工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线性
振动系统往往是对非线性系统进行简化与近似的结果。
例0-1 数学单摆
•
小摆幅时
g l
& & + 02 = 0
线性振动微分方程
2 其中 0 =
解为
& = 0 sin 0t + 0 cos 0t 0
(5) 非线性Байду номын сангаас尼力
• 例0-4 干摩擦振动微分方程
f ( x) ( x ) m x
• 干摩擦阻尼力
) Nsign( x ) (x
1 ) sign( x 1 0 x 0 x
• -摩擦系数，N—正压力，Sign—符号函数
(6) 滞后（回）非线性-物理非线性
k k
k
e
k
-e < x e xe x e
2k x f ( x) 2k x k ( x e) 2k x k ( x e)
2k x f ( x) 2k x k ( x e) 2k x k ( x e)
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年
（2）物理非线性—非线性恢复力
对于具有恢复力的振动系统，如图所示的单自由 度弹簧振子系统，其振动微分方程为：
f ( x) 0 x
当变形增加，恢复力与变形之比，即弹性系数逐渐 变小，称为非线性恢复力的软特性;反之，当变形增加， 恢复力与变形之比逐渐变大，称为非线性恢复力的硬特 性。
（3）分段线性非线性 例0-2 减振装置
-e < x e xe x e
f ( x)
分段线性非线性
e e x
（4）惯性引起的非线性 例0-3：半径为R圆环绕z轴转动，角速度为Ω，圆环上套一个 小球M，质量为m，分析小球的运动。
z
解：本题是质点相对运 动的问题。

R
mar N G Fge Fgc
d2 x dx f ( x, ) 2 dt dt
非自治系统
d2 x dx f ( x, , t ) 2 dt dt
小参数自治系统
d2 x dx f ( x, ) 2 dt dt
小参数非自治系统
d2 x dx f ( x, , t ) 2 dt dt
2 按能量变化特性分类 保守系统
3)库仑摩擦
d2x dx fG sign( ) f ( x ) 0 2 dt dt
4)流体阻尼
d2x dx dx f | |( ) f ( x ) 0 2 dt dt dt
5)Van Del Pol 方程
d 2x 2 2 dx 0 x (1 x ) 2 dt dt
1 冯登泰. 应用非线性振动力学.北京：中国铁道出版社，1982 2 A H 奈弗著，.摄动方法.上海：上海科技出版社，1984年 3 A H 奈弗著，.非线性振动. 北京：高等教育出版社，1984年 4 高为炳.运动稳定性基础. 北京：高等教育出版社，1987
5 周纪卿，朱因远.非线性振动. 西安交通大学出版社，1998年
变质量 惯性力
非线性 阻尼力
非线性 恢复力
非线性 激振力
非线性系统的基本形式：
（1）几何非线性
2 & & 单摆大摆幅，设 + 0 sin = 0
sin
取前两项，并令

3
3!

5
5!

7
7!

0 2
6
有
2 3 0 0
称为自治Duffing方程
（8）在一定条件会出现分叉现象与混沌运动
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
0.3 非线性振动问题的研究方法
实物或模型实验— —结合计算机处理数据 实验方法： 空间平面法） 定性方法（几何法或相 在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布 情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。 法） 初值法（如Rouge kut t a 边值法（Shoot ingMot hed) 数值解法： 直接 点映射法 胞映射法 跌代法 分析方法： （小参数法） 摄动法 定量方法 渐进法（平均法） 多尺度法 （近似法）解析法： 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
(6) 多个简谐激振力作用下的组合振动 • 如激励为
F1 cos 1t 和 F2 cos 2t
• 响应中的频率含
m1 n 2 , n,m为正整数


(7) 存在频率俘获现象
• 在非线性振动系统 中，当系统以 1 振动，受到另一 2 激励时，系统可能以其中之一的频率振动，即频率俘获
3 常见（非）线性微分方程
1) 数学摆
d 2x 2 0x 0 2 dt
d 2x dx 2 c 0x 0 2 dt dt
2) Duffing方程
d 2x 2 3 x x 0 0 2 dt
d 2x dx 2 3 c x x 0 0 2 dt dt
0.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化 非线性自治的Duffing方程的振动频率：
3 2 = 1+ a 8
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
6) 参数激振 Hill 方程
d2x dx 2 dx 2 { A B ( ) } p 0x 0 2 dt dt dt
7) 慢变参数系 统方程
d dx dx [m( ) ] p( ) x f ( , , x, ) dt dt dt d t , v( ) dt
Fge m R sin
2
z
R
Fgc 2mvr
不在分析平面上 质点相对运动微分方程：
2 2 ma m R sin cos mg sin r
ae
ar

mg
Fe
N
mR 2 m2 R 2 sin cos mg sin g sin 2 sin cos 0 这就是含惯性非线性项的非线性振动系统 R
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一,即频率 为/ n 的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍,即频率为 m 的超谐波响应(n,m为正整数) • 由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目 将多于系统的自由度
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
• 例0-5 Bouc-Wen 模型
& & & x + 2 x + 2 z + (1- ) 2 x = u (t ) & &z z &z & & - x & z = Ax - x
n- 1 n
• 广泛存在于机械、土木和材料等学科与工程中
振动系统类型 1 按是否显含时间t分类 自治系统
d x f ( x) 2 dt
d x dx f ( x, ) 2 dt dt
2
2
d x f ( x) 2 dt
d2 x dx f ( x, ) 2 dt dt
2
耗散系统
d2 x dx 2 f ( ) 0x 0 2 dt dt
自激振动
d2 x dx 2 dx 2 { A B ( ) } 0x 0 2 dt dt dt