6.1 非线性系统的举例
●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程
⏹线性振动理论能表征很多实际问题
⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要
讨论非线性微分方程
●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为
⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线
性振动或者非线性响应
⏹叠加原理不适用于非线性系统
⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变
非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例
硬化弹簧软化弹簧
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质量附在长度为的拉
直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。令质
量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中
产生的弹性恢复力如图
(b )所示该系统自由振动方程：
对称硬化弹簧的例子
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由几何关系
代入运动方程
显然这是一个非线性方程
如果认为是小振动，有，因此5
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●单摆，重，长度。单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为
，绕轴的转动方程为
●代入质量的惯性矩, 有
●小振幅情况为简谐振动，
●
振幅较大，
对称软化弹簧的例子
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对比两种情况的非线性方程
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硬化情形
分段线性化恢复力
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软化情形
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●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应
●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。
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●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称
2014/11/1411线性
软化
弹性卸载反向加载弹性卸载
●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●
双线性非弹性恢复力
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12双线性
●理想弹塑性恢复力
●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损
失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/14
13刚塑形
带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线
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●下图两个问题在数学上是相同的
⏹
前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动
⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性
⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改
变。
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刚塑形
理想弹塑性
6.2 速度和周期的直接积分法
具有非线性对称恢复力的无阻尼系统的自由振动
或
表示单位质量的弹性恢复力
加速度表示为
代入运动方程
(c) 16
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●假定单位质量的恢复力为如图所示
●积分方程(c)，注意最大位移对应的速度为零
(d)
m(e)积分方程(e)，可得一周期之内任意部分的时间
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●一个完整周期为
⏹给定恢复力解析表达式，上述积分可得系统固有周期
●振动系统在任一点的单位质量的动能等于图中阴影部分表示的势能
●平衡位置的动能为
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m
几种特殊情况
●弹性恢复力为的奇次幂的情况：
●代入运动方程，并进行积分，有
时，；
时，
●相应地，可以通过积分得到周期表达式
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●对于的线性情况()
●时，恢复力正比于
积分数值求解的结果为，周期
这种情况下，振动周期与振幅成反比
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●如果弦的初始张力不为零，可设单位质量的恢复力有以下形式
式中，,
则相应的平衡位置最大速度可以表示为
●自由振动的周期
或
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把等式右边的椭圆积分转化为标准形式，令根据椭圆积分表
是第一类椭圆积分，,
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对于本问题，有
因此，周期可以用第一类椭圆积分记为
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●如果弹性性质偏离线性很小，可设，对应于线性恢复力的情况。
●如果及很大，的第一项可以忽略，, 因此的表达式为
●其他属于两种极端之间的情况，必须数值计算
, 并进一步查表确定响应椭圆积分的值
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软化弹簧的情形
,
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