第二讲多重纳什均衡

纳什均衡的完整定义纳什均衡是博弈论中一种解的概念，它是指满足下面性质的策略组合：任何一位玩家在此策略组合下单方面改变自己的策略（其他玩家策略不变）都不会提高自身的收益。

简介纳什均衡（Nash equilibrium），又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。

在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略，则该策略被称作支配性策略。

如果任意一位参与者在其他所有参与者的策略确定的情况下，其选择的策略是最优的，那么这个组合就被定义为纳什均衡。

一个策略组合被称为纳什均衡，当每个博弈者的均衡策略都是为了达到自己期望收益的最大值，与此同时，其他所有博弈者也遵循这样的策略。

历史背景关于纳什均衡的普遍意义和存在性定理的证明等奠定非合作博弈理论发展基础的重要成果，是约翰·纳什在普林斯顿大学攻读博士学位时完成的。

实际上，博弈论的研究起始于1944年约翰·冯·诺依曼（Von Neumann）和奥斯卡·摩根斯特恩（Oscar Morgenstern）合著的《博弈论和经济行为》。

然而却是纳什首先用严密的数学语言和简明的文字准确地定义了纳什均衡这个概念，并在包含“混合策略（mixed strategies）”的情况下，证明了纳什均衡在n人有限博弈中的普遍存在性[1] ，从而开创了与诺依曼和摩根斯坦框架路线均完全不同的“非合作博弈（Non-cooperative Game）”理论，进而对“合作博弈（Cooperative Game）”和“非合作博弈”做了明确的区分和定义。

阿尔伯特·塔克（Albert tucker）教授评价其论文，“这是对博弈理论的高度原创性和重要的贡献。

它发展了本身很有意义的n人有限非合作博弈的概念和性质。

并且它很可能开拓出许多在两人零和问题以外的，至今尚未涉及的问题。

在概念和方法两方面，该论文都是作者的独立创造。

纳什均衡的存在性与多重性对于数学家来说，一个数学概念的存在性与唯一性是特别需要加以关注的。

这是因为，从形式逻辑角度看，如果某个事物并不存在，那么关于这个杜撰中的事物所给出的任何陈述或判断都可认为是正确的或错误的，因为对于不存在的事物来说，任何关于它的陈述或判断都不可能加以证伪。

所以，倘若某个概念所对应的事物并不存在。

那么，关于这个概念所给出的研究结论都必然不存在被证伪的可能。

因而根据波普尔的证伪主义观点，这样的研究不具备科学上的意义。

所以，我们在对任何新提出来的数学概念加以系统研究之前，首先需要弄清楚所研究的对象事物是否存在。

有许多被称为伪科学的东西，它们之所以被人们认为是“伪科学”的原因就是它们大肆谈论的东西并不存在或并未被证实其存在性。

譬如，所谓的特异功能或“超灵学”并未得到证实，而UFO研究迷们至今也未能拿出一件存在球外生命的证据，所以，特异功能学或“超灵学”或“不明飞行物学”实际上都可被归入伪科学。

除了存在性之外，概念事物的唯一性也是数学家们所关心的问题。

从纯理论的兴趣上看，数学家们更多地是从审美的角度上看待概念的唯一性，但从波普尔的证伪主义哲学看，模型均衡解的唯一性关系到模型的预测功能，从而是科学理论应基本具有的特征。

我们在第二章中曾指出，理论的预测功能是判别理论的科学性的准绳，而在第三章中，我们提出用纳什均衡作为模型的预测结果。

按照这样的逻辑，一个自然的推论就是：模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的唯一性。

因为倘若纳什均衡不是唯一的，那么就难以根据模型对即将出现的结果加以预测，这种不确定性对于科学理论来说是不存在的。

再加上前面谈到的存在性问题，我们可以这样说，模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的存在性和唯一性，因为这正是科学理论所具有的基本性质。

博弈论目前发展的情况是这样的：已经证明在非常一般的情况下，纳什均衡是存在的，这是一个好的结果；但是，在许多情形，模型的纳什均衡解不是唯一的，这被称为纳什均衡的多重性问题。

多重纳什均衡的选择问题在博弈论和信息经济学中，我们常常面临一个问题：在存在多种纳什均衡的情况下，如何选择最优的均衡点。

这种选择问题涉及到市场竞争、政府决策、引入新技术等多个领域，在选择最优的策略时需要考虑众多的因素和权衡。

本文将从纳什均衡的定义出发，介绍多重纳什均衡的产生原因及其影响因素，并探讨选择最优均衡点的方法。

1. 纳什均衡的定义纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈中，每个参与者选择最优策略的状态。

具体地说，如果对于每个参与者的策略选择，其他参与者的策略都是最优的，那么这种状态就是纳什均衡。

例如，在一个两人博弈中，A和B的策略分别为合作和背叛，如果A选择合作，B 也选择合作，那么这种状态就是一个纳什均衡。

因为在这种情况下，A不会改变他的策略，因为他没有更好的选择了，B也不会改变，因为他的策略也是最优的。

2. 多重纳什均衡的产生原因在现实生活中，很多博弈存在多种纳什均衡的情况。

这种现象主要是因为以下两个原因所致。

2.1 非对称性在博弈中，参与者的利益和策略选择可能存在非对称性。

例如，在一个拍卖中，卖家和买家的目的可能是不同的。

卖家想要卖出商品，而买家则想以最低的价格买到这个商品。

因此，在这种情况下，可能存在多种纳什均衡。

2.2 多站点竞争在多站点竞争中，参与者的收益和策略选择可能会受到其它站点的影响。

例如，在一个城市中，如果只有一家咖啡店，那么这家咖啡店就可以定价较高，因为消费者没有其他选择。

但是，如果有多家咖啡店，则它们之间的定价策略和市场份额就会相互影响，可能存在多种纳什均衡。

3. 选择最优均衡点的方法在存在多重纳什均衡的情况下，如何选择最优的均衡点是一个复杂的问题。

以下是一些常用的方法：3.1 政策干预政府可以通过政策干预来引导市场选择最优的均衡点。

例如，在城市中建造公共场所，例如咖啡厅、购物中心等，以增加市场竞争和选择产品的范围。

3.2 引入新技术引入新技术也可以改变市场竞争的格局，在这个过程中可能会产生新的纳什均衡状态。

《博弈论：原理、模型与教程》第一部分完全信息静态博弈第2章Nash均衡「 -------------------------------------第2.1节占优行为第2.2节重复剔除劣战略行为第2.3节Nash均衡2.3 Nash 均衡（已精细订正！）1、定义2-5I2、一定理，及其证明I3、简单博弈问题Nash均衡的求解：划线法；箭头法I _________________________________________________________前面两小节分析了理性参与人在博弈中的战略选择行为一行为与剔占优除劣战略行为。

但是，在大多数博弈问题中，参与人的占优战略是不存在的，而且所有参与人同时存在占优战略的情形更是少见；剔除劣战略虽然可以在一定程度上简化博弈问题的求解，但在相当多的博弈中是无法使用重复剔除劣战略的方法求解博弈问题的（如图2-4和图2-6所示的战略式博弈）。

为了完全解决完全信息博弈的求解问题，需要选找新的方法和定义新的博弈解。

探寻博弈问题的解，必须明确：博弈分析是在博弈问题的结构和参与人完全理性为共同知识的假设下进行的，而在该假设下，人们（或博弈论专家）对博弈问题的求解就等同于完全理性的参与人对博弈问题的求解。

因此，可以采用内省式思维分析博弈问题的解。

考察战略式博弈的解。

假设参与人i （i =1,2r ,n）在博弈开始之前对博弈的结果进行预测，并且预测战略组合（s「,sj将成为博弈的结果。

现在的问题是：参与人i的这种预测是否一定就是博弈的真正结果？或者说参与人的预测在什么情况下才是正确的? 参与人i的预测战略组合（s「,s丄）将成为博弈结果，也就意味着参与人i 预测其他参与人的选择为S丄。

在预测其他参与人的选择为S」情况下，参与人i自己的选择S*怎样才是合理的呢？或者说参与人i选择S*应该满足什么样的条件呢？显然，对于理性的参与人i来讲，其选择S*必须满足这样的条件：在其他参与人的选择为S；的情况下，选择S出的所得必须不小于选择其他任何战略的所得，或者说S「必须是使自己的所得最大化的选择。