结构力学教学课件第7章

虚力方程——求位移。
虚位移方程及应用 虚位移方程
使体系上真实的平衡力系，在体系 可能的任意微小的刚体虚位移上， 所作的外力总虚功等于零的方程。
虚位移方程用于求真实的未知力 （内力、约束力、支座反力）。
如图7-2-2(a)所示以杠杆（机构）， B端上有一集中荷载FP，求A端需用 多大的力FA，该杠杆体系能平衡。
相对位移是结构上的两个截面互以 对方为参考状态的。
(a)
(b)
图7-1-2
在图7-1-2(a)中，A、B两端 点的相对水平位移为：
AB=AH+BH
C、D两结点的相对转角位移：
CD=C+D
在图7-1-2(b)中，A、B两端 点的相对竖向位移：
AB=AV-BV
2.研究结构位移计算的目的
结构（变形体）的位移计算一般 公式推导如下
A B
B`
(a)
A
B
B`
(b)
微段变形对结构位移的影响
M FN FQ
B
B
B`
(c)
(d)
d F N d F Q d M d
d F Ri ci [( F N d F Q d M d )]
(a)
(b )
图7-2-2
使机构发生约束允许的任意微小 刚体虚位移，见图(b)。因为欲求的力 FA要使图(a)所示体系为平衡力系，所 以该力系上的所有外力在图(b)所示的 虚位移上总外力虚功等于零，得虚位 F F 0 移方程：
A A P B
即：
B FA FP A
由虚位移图的几何关系，知： 所以：
A
(c) M P 图
B
C
D
A
(d) M 图
例7-5-4
求:
A,B两端点的相对竖向位移AB
q=5kN/m
B
(a)
C
D 2m 2m
10kNm
12kNm B C
2kNm
D
(b) M P 图
B C
D
(c) M 图
§7.6 温度改变时静定结构的
位移计算
A B B`
静定结构受到温度改变的影响时，发 生满足约束允许的变形和位移，为零 内力状态。
由变形体的虚功原理，让简支梁的 状态1的力在状态2的相应位移上做 虚功，得
FP112 ( FN 1 d 2 FQ1 d 2 M 1d 2)
1 L L L n
引入状态2中变形微量与内力的线性关系得：
FQ1FQ 2 FN 1FN 2 M 1M 2 FP112 ds k0 ds ds EA GA EI
(2)求梁中点C的竖向位移CV
A y1 C
F P=1
(a)
M=1 B
(b)
A
C y2
B
例7-5-2 求计算图(a)所示悬臂
梁B端截面的竖向位移BV。
FP A C L/2 L/2 B
(a)
解：作 M P M 图见图(b)、(c)。
2 1 3
(b)
A
C
B
L
(c)
A
y2
L/2
y3 y1
F P=1 B
C
(c)
A
y2 y3
y1
C
B
L
(d)
A
2 3
L/2
1
F P=1 B
C
例7-5-3
求所示刚架B点的水平位移BH
q=5kN/m
B C D
A
(a)
c 10kNm
8kNm
B 8kNm b A
2 4 3
1
C
D
22.5kNm 21.5kNm
(b) M P 图
8kNm
B
q=5kN/m
C
10kNm
D
8kNm
L L L
(7-3-2)
各种变形体的位移计算公式
F N ds F Q 0 ds M ds F Ri ci
(7-3-3)
§7.4 在荷载作用下静定结
构的位移计算
在荷载单独作用下，结构的位移 计算公式
F Q FQP F N FNP MM P ds k 0 ds ds EA GA EI
1 3
结构位移计算的一般公式
F N d F Q d M d
( F N d F Q d M d )
1 L L LL nL来自L(7-3-1)
( F N d F Q d M d ) F Ri ci
FA c FP a
B c A a
(↓)
例7-2-1试用单位位移法（虚位移
法）求图(a)所示简支梁的支座B的约 束反力。
(a)
a L
C
B
b
(b)
C` C
P
B` B ( B =1) B
分析：
图(a)是一个平衡力系。 图(b)是可绕A铰作刚体转动（1 个自由度）的体系。 可知，静定结构可利用刚体的虚 功原理（虚位移方程）求力。
G C D
E
F R1 F R2 F R3
E
(a)
图7-2-4
(b)
虚力方程
1 F R1 c1 F R2 c2 F R3 c3 0
则所求位移为： F Ri ci
1 3
例7-2-2
C 4m 20cm 6m 6m 10cm
(1)求顶铰C的竖向位移； (2)求C铰两侧截面的相对转角位移
虚功可大于零也可小于零。
C
B
(a)力状态
a L b
(b)位移状态 图7-2-1
C C`
B
2.刚体的虚功原理及应用
刚体的虚功原理
一个具有理想约束的刚体体系，若发 生满足约束允许的微小刚体位移（可 能的位移），则该刚体体系上任意平 衡力系（可能的力系），在该位移上 所作的总外力虚功等于零。
可表示为：W外虚=0 该式叫虚功方程。 由于虚功中的两种状态不相关的特点 ，可使其中的一种状态是虚设的，而 另一种是真实的状态。因此，虚功方 程演变出两种形式及应用： 虚位移方程——求内力、约束力；
(7-4-1)
各类结构在荷载作用下的位移 计算公式
梁和刚架，主要考虑弯曲变 形的影响，位移公式为：
MM P ds EI
(7-4-2)
桁架，只考虑轴向变形的影响， 位移公式：
F N FNP ds EA
(7-4-3)
组合结构和拱结构 ，一般将梁 式杆和桁架杆分别按各自的主要 变形考虑，位移计算公式可写成：
解：
(1)去掉B支座链杆 (2)按拟求支座反力让机构发生 单位虚位移见图(b) (3)写出虚位移方程 FBy 1 FP P 0
(4)求解虚位移方程
虚力方程及应用
虚力方程 使体系上虚设的平衡力系，在 体系真实的刚体位移上，所作 的外力总虚功等于零的方程。
虚力方程用以求真实的位移
(a)
1 F Ri ci ( 10) 2.5rad 4 1
2
()
§7.3 结构位移计算公式
变形体可分两大类 非线性变形体
线性弹性体
物理线性——材料的应力与应变 成正比例，即服从虎克定律。 几何线性——结构的变形（或位 移）是微小的，在进行结构的内 力和位移分析计算中，可按其原 有的几何尺寸考虑。
结构力学
结构力学教研室
第七章
静定结构的位移计算
§7.1 概 述
1.什么叫位移?
结构在外因作用下引起的 某一横截面产生的相对其初始 状态的位臵改变。
位移是矢量，可分解为三个 位移分量，即两个线位移（一般 常考虑水平位移和竖向位移）， 一个转角位移（简称角位移）。
位移按位臵变化的参考状态 （参照物）可分为：
2)计算 F N
C
A D
B
(c) F 图（kN） N
3)计算 DV
DV F N FNP L EA 1
5
1 DV (2 0.67 10 4 1 0 3 0.8312.5 5 0.8312.5 5) EA 53.6 m() EA
(2)求CD杆的转角位移
用下结构的支座反力，并建立各杆独立 的截面位臵坐标，注意同一杆件在两种 状态中的坐标一致。见图(b)、(c)。
x
x
qL/2
x
1
x
qL qL/2
1 1
(b)
(c)
(2)两种状态下任意截面的弯矩函数: (均以内侧受拉为正 )
AB杆： BC杆：
qx M ( x) qLx 2
2
M ( x) x
解：
(1)
C
F Bx =3/4 F By =1/2
(2)按位移计算公式计算位移
1 3 F Ri ci [( 20) ( 10)] 17.5cm() 2 4 1
2
CV
(3)计算顶铰两侧截面的相对 转角位移
C
F Bx =1/4 F By=0
相对转角位移
绝对位移（一般称位移） 相对位移
绝对位移 指结构上的一个指定截面，位 移后的新位臵相对其位移前旧 位臵的改变。如图7-1-1所示C 截面的位移。
绝对位移是以结构未变形前的 初始状态为参考状态的。
C vc
C
B
C` u c
c
图7-1-1
相对位移 指结构上的两个指定截面，位移后 新的位臵关系相对其位移前旧位臵 关系的改变。
1 26.25 (0.17 10 4 0.17 10 4 2 0.21 12.5 5) rad EA EA