复习专题一反比例函数与一次函数的交点问题

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--反比例函数与一次函数交点问题一、综合题1．如图，直线y1=3x﹣5与反比例函数y2= k−1x的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．（1）求k和n的值；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，双曲线L：y= k x(x>0)过点A(a，b)(0<a<2)、B(2，1)。

过点A作AC△x轴，垂足为C。

（1）求L的解析式；（2）当△ABC的面积为2时，求点A的坐标；（3）点P为双曲线L上A，B之间(包括A，B两点)的动点，直线l1：y=mx+1过点P。

在(2)的条件下，若y=mx+1具有y随x的增大而增大的性质，请直接写出m的取值范围(不必说明理由)。

3．如图，已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P(2，3)，点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．（1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式．（2）当点D的纵坐标为9时，求ΔAEP的面积．（3）若直线OD上存在一点M，点M的横坐标为m，ΔAEM的面积为S，直接写出S关于m的解析式，并写出定义域．4．在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y=mx(m>0、x>0)、y=n x(n<0、x<0)于点M、N，（1）若m=4，MN△x轴，S△MON=6，求n的值；（2）若a=5，PM=PN，点M的横坐标为3，求m-n的值；（3）如图，若m=4，n=-6，点A（d,0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB=4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y=mx(m>0、x>0)、y=nx(n<0、x<0)都有交点，求d的范围.5．如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m≠0，x＜0）的图象交于点A（-3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求sin△ABO的值；（3）当x＜0时，比较y1与y2的大小．6．如图，已知反比例函数y1＝k x的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A（1，4）和点B（m，－2）．（1）求这两个函数的关系式；（2）如果在x轴上找一点C使△ABC的面积为18，求点C坐标．7．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=k x的图象交于A(2,2)，B(4,1)两点.（1）求这两个函数的表达式；（2）在反比例函数y=k x第三象限的图象上有一点P，且点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标.8．已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－8x的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y =k x（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C.（1）求k的值及点C的坐标；（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积.10．如图，已知直线y=mx+b（m≠0）与双曲线y= k x（k≠0）交于A（﹣3，﹣1）与B（n，6）两点，连接OA、OB．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）求△AOB的面积．11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知△ACB=90°，A（0，2），C（6，2）.D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC=3S△ADC.反比例函数y1=k x（k≠0）的图象经过点D.（1）求反比例函数的解析式；（2）若AB所在直线解析式为y2=ax+b(a≠0)，当y1>y2时，求x的取值范围.12．若反比例函数y＝k x与一次函数y＝2x－4的图象都经过点A(a，2)．（1）求反比例函数y＝kx的表达式；（2）当反比例函数y＝kx的值大于一次函数y＝2x－4的值时，求自变量x的取值范围．13．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=k x（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．14．如图，直线y1=mx与双曲线y2=k x交于点A、B，过点A作AP△x轴，垂足P点的坐标是(−2，0)，连接BP，且S△ABP=4．（1）求正比例函数y1=mx和反比例函数y2=k x的解析式．（2）当y1<y2时，求x的取值范围．15．如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝4x（x>0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M，N两点．（1）求一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出kx＋b－4x>0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．16．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=k x（k≠0）的图象交于A（﹣3，2），B（2，n）．（1）求反比例函数y=k x的解析式；（2）求一次函数y=ax+b的解析式；（3）观察图象，直接写出不等式ax+b＜kx的解集．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵点B（n，﹣6）在直线y=3x﹣5上．∴-6=3n-5，解得：n= −1 3．∴B（−13，-6）；∵反比例函数y=k−1x的图象也经过点B（−13，-6），∴k-1=-6×( −13)=2，解得：k=3；（2）解：设直线y=3x﹣5分别与x轴，y轴相交于点C，点D，当y=0时，即3x﹣5=0，x= 5 3，∴OC= 5 3，当x=0时，y=3×0-5=-5，∴OD=5，∵点A（2，m）在直线y=3x﹣5上，∴m=3×2-5=1，即A（2，1）．∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD=12×(53×1+53×5+13×5)=356（3）解：由图象可知y1＞y2时自变量x的取值范围为：−13<x<0或x＞2．2．【答案】（1）解：将B(2，1)代入y= k x，得k=2，∴L的解析式为y= 2 x（2）解：∵点A(a，b)在反比例函数上，∴b= 2 a，∵S△ABC= 12b(2-a)=2，即12b(2−2b)=2，∴b=3，点A的坐标为( 23，3)（3）解：m的取值范围为0<m≤3提示：当点P与点A重合时，把( 23、3)代入y=mx+1，解得m=3∵y=mx+1具有y随x的增大而增大的性质，∴m>0，∴m的取值范围为0<m≤33．【答案】（1）解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P(2，3)，∴3=2k1，3=k22，∴k1=32，k2=6，∴正比例函数解析式为y=32x ，反比例函数解析式为y=6x；（2）解：当y=9=6x时，x=23，∴A(23，9)，把x=23代入y=32x，得y=1，∴E(23，1)，∴AE=9−1=8，∴S△AEP=12⋅AE⋅|x P−x A|=12×8×|2−23|=163；（3）解：由题意得，S△AEM=12⋅AE⋅|x M−x E|=12×8×|m−23|，∴S关于m的解析式为S={4m−83(m>23)−4m+83(m<23)．4．【答案】（1）解：点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），则S△MON=6= 12×MN×OP= 12×（4a- na）×a解得：n=-8（2）解：点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），∵PM=PN，则ma=-na，解得：m=-n，若a=5，点M的横坐标为3，则点M（3，5），故m=3×5=15=-n，故m-n=30（3）解：点A（d，0），则点B（d+4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d+4，4），设正方形交两个反比例函数于点G、H，则点G、H的坐标分别为（d，- 6d）、（d+4，4d+4），若正方形ABCD与y= mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，则HD≥0且CG≥0，即{4+6d≥04−4d+4≥0，且d＜0，d+4＞0，解得：-3≤d≤ −3 2，故d的范围为：-3≤d≤ −3 2 .5．【答案】（1）解：把A(－3，1)代入y2＝mx得m＝xy＝－3×1＝－3，∴反比例函数的解析式为y＝−3x.过点A做AD△y轴于D，∵A(－3，1)，∴AD＝3.∵S△AOB＝12OB•AD，∴12OB•3＝6，OB＝4.∴B(0，4).把A(－3，1).B(0，4)代入y1＝kx＋b得{−3k＋b＝1b＝4，∴{k＝1b＝4,.∴一次函数的解析式为y＝x＋4（2）解：∵在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝BO－OD＝4－1＝3∴△ABO＝45°∴sin△ABO＝sin45°＝√22（3）解：由{y＝−3xy＝x＋4得{x1＝−1y1＝3，{x2＝−3y2＝1.∴C(－1，3).∴当x<－3或－1<x<0时，y2> y1当－3<x<－1时， y 2 > y 16．【答案】（1）解：∵函数y 1=k x的图象过点A(1，4)， ∴4=k 1， ∴k=4，即y 1=4x， 又∵点B(m ，-2)在y 1=4x的图象上， ∴m=-2，∴B(-2，-2)，又∵一次函数y 2=ax+b 的图象过A ，B 两点，∴{−2a +b =−2a +b =4，解之得{a =2b =2， ∴y 2=2x+2．综上可得y 1=4x，y 2=2x+2． （2）解：设直线AB 交x 轴于点D ，易求D （-1 ，0）设C(x ，0)，∵s ΔABC =s ΔADC +s ΔBCD ，∴12y A |x +1|+12|y B ||x +1|=18， 12×4×|x +1|+12×2×|x +1|=18 3|x+1|=18，解得：x=5或x=-7，∴C(5，0)或(-7，0)．7．【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为 y =k x， 将点 A(2,2) 代入 y =k x中，得 k =4 ， ∴反比例函数的表达式为 y =4x；设一次函数的表达式为 y =kx +b ，将点 A(2,2) ， B(4,1) 代入 y =kx +b 中，得 {2k +b =24k +b =1， 解得 {k =−12b =3， ∴一次函数的表达式为 y =−12x +3 （2）解：如图，作直线 AB 的平行线，当其与反比例函数的图象只有一个交点 P 时，此时点 P 到直线 AB 的距离最短，设直线 PM 的解析式为 y =−12x +n ，则 4x =−12x +n ， 去分母，得 x 2−2nx +8=0 ，由题意得， Δ=0 ，∴4n 2−32=0 ，解得 n 1=−2√2 ， n 2=2√2 （不合题意，舍去）.∴x 2+4√2x +8=0 ，解得 x 1=x 2=−2√2 ，∴在 y =4x中，当 x =−2√2 时， y =−√2 . ∴点 P 的坐标为 (−2√2,−√2) .8．【答案】（1）解：令反比例函数y=- 8x中x=-2，则y=4， ∴点A 的坐标为（-2，4）； 反比例函数y=- 8x 中y=-2，则-2=- 8x，解得：x=4， ∴点B 的坐标为（4，-2）． ∵一次函数过A 、B 两点， ∴{4=−2k +b −2=4k +b ，解得： {k =−1b =2， ∴一次函数的解析式为y=-x+2 （2）解：设直线AB 与y 轴交于C ， 令为y=-x+2中x=0，则y=2， ∴点C 的坐标为（0，2），∴S △AOB = 12 OC•（x B -x A ）= 12×2×[4-（-2）]=6 （3）解：观察函数图象发现： 当x ＜-2或0＜x ＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围为x ＜-2或0＜x ＜4．9．【答案】（1）解：把点 A(2，6) 代入 y =k x， k =2×6=12 ， ∴ 反比例函数的解析式为 y =12x， ∵ 将点 A 向右平移2个单位，∴x =4 ，当 x =4 时， y =124=3 ， ∴B(4，3) ，设直线 AB 的解析式为 y =mx +n ，由题意可得 {6=2m +n 3=4m +n， 解得 {m =−32n =9， ∴y =−32x +9 ，当 x =0 时， y =9 ，∴C(0，9) ；（2）解：由（1）知 CD =9−5=4 ，∴S ΔABD =S ΔBCD −S ΔACD =12CD ⋅|x B |−12CD ⋅|x A |=12×4×4−12×4×2=4 .10．【答案】（1）解：把（﹣3，﹣1）代入y= k x 得k=3， 则反比例函数的解析式是y= 3x； 把（n ，6）代入y= 3x 得n= 12． 根据题意得： {−3m +b =−112m +b =6 ， 解得： {m =2b =5， 则一次函数的解析式是y=2x+5（2）解：在y=2x+5中，令x=0，解得y=5，则S △AOB = 12 ×5×（ 12 +3）= 35411．【答案】（1）解：∵A （0，2），C （6，2），∴AC=6，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BC=6，∵S △ABC =3S △ADC ，∴BC=3DC ，∴DC=2，∴D （6，4），∵反比例函数y 1=k x（k≠0）的图象经过点D ， ∴k=6×4=24，∴反比例函数的解析式为y 1=24x； （2）解：∵C （6，2），BC=6，∴B （6，8），把点B 、A 的坐标分别代入y 2=ax +b 中，得{6a +b =8b =2， 解得：{a =1b =2， ∴直线AB 的解析式为y 2=x +2，解方程x+2=24x， 整理得：x 2+2x-24=0，解得：x=4或x=-6，∴直线y 2= x+2与反比例函数y 1=24x的图象的交点为（4，6）和（-6，-4）， ∴当y 1>y 2时，0<x<4或x<-6.12．【答案】（1）解：将A （a ，2）代入一次函数y=2x-4中得：2=2a-4，即a=3， ∴A （3，2），将x=3，y=2代入反比例解析式得：k=6，则反比例解析式为y= 6x； （2）解：联立两函数解析式得： {y =6x y =2x −4，解得： {x =3y =2 或 {x =−1y =−6 ，即两函数的两交点分别为（3，2），（-1，-6），作出两函数图象，如图所示：则由函数图象得：反比例函数y= 6x的值大于一次函数y=2x-4的值时，自变量x 的取值范围为x ＜-1或0＜x ＜3．13．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b 与双曲线y=k x（x ＞0）交于A （1，3）， ∴k=1×3=3，∴y=3x， ∵B （3，y 2）在反比例函数的图象上，∴y 2=33=1， ∴B （3，1），∵直线y=ax+b 经过A 、B 两点，∴{a +b =33a +b =1解得{a =−1b =4， ∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P （4，0）（2）解：如图，作AD△y 轴于D ，AE△x 轴于E ，BF△x 轴于F ，BG△y 轴于G ，AE 、BG 交于H ，则AD△BG△x 轴，AE△BF△y 轴，∴CD OC =AD OP ，PF PE =BF AE =PB PA， ∵b=y 1+1，AB=BP ，∴1y 1+1=x 16， PF PE =BF AE =12， ∴B （6+x 12，12y 1） ∵A ，B 两点都是反比例函数图象上的点，∴x 1•y 1=6+x 12•12y 1， 解得y 1=2，代入1y 1+1=x 16，解得x 1=2， ∴A （2，2），B （4，1）．（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x 1，x 2，x 0之间的关系为x 1+x 2=x 0．14．【答案】（1）解：过点B 作BD△AP 于点D ，交y 轴于E ，∵点P 的坐标为（-2，0），∴OP=2，根据题意得点A 、B 关于原点对称，∴BE=DE=OP=2，∴BD=4，又S △ABP =4，∴12AP ⋅4=4， ∴AP=2，∴点A 的坐标为（-2，-2），代入y 1=mx ，得m=1；代入y 2=k x，得k=4，∴正比例函数的解析式为y 1=x ，反比例函数y 2=k x的解析式为y 2=4x ； （2）解：由（1）可知点B 的坐标为（2，2），由图象可知，当x<-2或0<x<2时y 1<y 2．15．【答案】（1）解：∵点A 在反比例函数y ＝ 4x 上，∴4m＝4.解得m ＝1，∴点A 的坐标为（1，4）．又∵点B 也在反比例函数y ＝ 4x 上，∴42＝n ，解得n ＝2，∴点B 的坐标为（2，2）．又∵点A ，B 在y ＝kx ＋b 的图象上，∴{k +b =42k +b =2 解得 {k =−2b =6∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6 （2）解：由图象可得，当 1<x<2 时，直线在双曲线的上方，∴这时 kx ＋b> 4x,即kx ＋b － 4x>0 ,∴ x 的取值范围为1<x<2 . （3）解：∵直线y ＝－2x ＋6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0）．∴S △AOB ＝S △AON －S △BON ＝ 12 ×3×4－ 12×3×2＝3. 16．【答案】（1）解：把A （﹣3，2）代入反比例解析式得：k=﹣6，则反比例解析式为 y =−6x（2）解：把B （2，n ）代入反比例解析式得：n=﹣3，即B （2，﹣3），把A （﹣3，2）与B （2，﹣3）代入y=ax+b 中得： {−3a +b =22a +b =−3，解得：a=﹣1，b=﹣1，则一次函数解析式为y=﹣x+1 （3）解：∵A （﹣3，2），B （2，﹣3），∴结合图象得：不等式ax+b ＜ k x的解集为﹣3＜x ＜0或x ＞2。

专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 反比例函数与一次函数图象交点问题1.已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为( )A. B. C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，点，点B与点A关于直线对称，过点B 作反比例函数的图像.(1)____________；(2)若对于直线，总有y随x的增大而增大，设直线与双曲线交点的横坐标为t，则t的取值范围是___________.3.如图, 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点, 其中点A的坐标为, 点B 的坐标为.(1)根据图象, 直接写出满足的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上, 连接OA,OB,OP, 恰有, 求点P 的坐标.题型2 反比例函数与一次函数图形面积问题4.如图,P是反比例函数的图象上一点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交反比例函数的图象于点M,N,则的面积为( )A.1B.1.2C.2D.2.45.如图, 一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A 和点B, 与反比例函数的图象在第一象限内交于点C,轴, 轴, 垂足分别为点D,E. 当矩形ODCE与的面积相等时, k的值为___________.6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象相交于A,B两点,过点A作AD⊥x轴于点D, y=mxAO=5,,B点的坐标为(―6,n)（1）求一次函数和反比例函数的表达式;（2）求△AOB的面积;（3）P是y轴上一点,且△AOP是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.题型3 反比例函数与几何图形结合7.如图, 点A在双曲线上, 连接 AO并延长, 交双曲线于点C. 以AC为对角线作菱形ABCD, 点B,D在反比例函数的图象上, 且, 则k的值是( )A. B. C. D. -18.如图，已知，在矩形AOBC中，，，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，将沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为___________.9.如图, 在平面直角坐标系中, 直线与反比例函数的图象交于点,, 过点 A作交反比例函数图象于另一点D, 过点B作交反比例函数图象于另一点C, 连接CD.(1)求直线AB的解析式;(2)判断四边形 ABCD的形状, 并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：把点代入，得，又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，则.2.答案：(1)12(2)解析：(1)点，点B与点A关于点线对称，，将代入，解得，.(2)对于直线，总有y随x的增大而增大，，，当时，，直线过定点，把代入，得，解得，故.3.答案： (1) 或.(2)(3)解析： (1) 由题图可知, 当或时, 一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，当或时, 满足.(2) 点在反比例函数的图象上, , 解得,故反比例函数的表达式为.点在反比例函数的图象上, ,点B的坐标为.将点 A,B的坐标分别代入, 得解得故一次函数的表达式为.(3)设直线与x 轴交于点C, 当时, ，,点C的坐标为.,.,.点P在线段AB上,设点P 的坐标为.,,解得，,故点P的坐标为.4.答案：A解析:设,则,,,,的面积为:.故选:A.5.答案：2解析：对于一次函数, 当时, , 当时, ,即, 故.结合反比例函数中的几何意义, 可知.，, 解得，(舍去).6.答案：（1）（2）9（3）P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,―5)或(0,258)..解析:（1）(1)AO=5,AD=3,设:OD=3a,AD=4a,则AD=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),则m=3×4=12,故反比例函数的表达式为:y=12x,故B(―6,―2),将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:,解得:k=23b=2,故一次函数的表达式为:y=23x+2;（2）设一次函数交y轴于点M(0,2),△AOB的面积;（3）设点，而点A ,O 的坐标分别为:,,AP 2=9+(m ―4)2,,PO 2=m 2,当时,解得:或0(舍去0);当时,同理可得:;当时,同理可得:m =258;综上,P 点坐标为:或或或(0,258)..7.答案：C解析：如图, 过点A 作 轴于点F ,过点B 作 轴于点E , 则，四边形 ABCD 是菱 形, ,. 又，，，，. 反比例函数的图象位于第二、四象限,，.8.答案：解析：解：如图，过点E 作轴于点M ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，，，，，而，，，；又，，，，；，而，，在中，，即，解得，故答案为.9.答案： (1)(2)四边形ABCD是矩形，理由见解析解析：(1)点在反比例函数的图象上,,反比例函数的解析式为.点在反比例函数的图象上,,点.将,分别代入, 得解得直线AB的解析式为.(2) 四边形ABCD是矩形.理由如下:, 直线AB的解析式为, 易知可设直线AD的解析式为.将代入, 得,，直线AD的解析式为.令, 解得，,点，.由, 点, 易得直线BC的解析式为,令, 解得，,点，,.又,四边形ABCD 是平行四边形.又,四边形ABCD 是矩形.。

中考数学总复习《反比例函数与一次函数交点问题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，一次函数y x b =+的图像与反比例函数ky x=的图像交于(2,3)A ，(,2)B n -两点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式．(2)过点B 作BC y ⊥轴，垂足为C ，连接AC ，求点B 的坐标，并直接写出ABC 的面积．2．如图，反比例函数8y x=-与一次函数2y x =-+的图像交于A B 、两点．求：(1)A B 、两点的坐标； (2)直接写出82x x-<-+的解集．3．如图，已知直线4y x =-+与反比例函数ky x=的图象相交于点()2A a -，，并且与x 轴相交于点B ．(1)求反比例函数的表达式； (2)求AOB 的面积；(3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．4．如图，已知直线4y x =-+与反比例函数ky x=的图象相交于点(2)A a -，，并且与x 轴相交于点B ．(1)求a 的值；求反比例函数的表达式； (2)求AOB 的面积； (3)求不等式40kx x-+-<的解集（直接写出答案）．5．在直角坐标系中，已知120k k ≠，设函数11k y x=与函数()2225y k x =-+的图象交于点A 和点B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是4-．(1)求12,k k 的值．(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，在第二象限交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，在第四象限交于点D ．求证：直线CD 经过原点．6．如图，一次函数26y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点且与反比例函数my x=（m 是不为0的常数）的图象在第二象限交于点C ，CD x ⊥轴，垂足为D ，若3BO DO =．(1)求m 的值；(2)求两个函数图象的另一个交点E 的坐标； (3)请观察图象，直接写出不等式26mx x-+≥的解集．7．如图，已知反比例函数11k y x=的图象与直线22y k x b =+相交于()1,3A -，(3,)B n 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积；(3)直接写出当12y y >时，对应的x 的取值范围．8．如图，直线22y x =+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，在直线上取点()2,A a ，过点A 作反比例函数()0ky x x=>的图象．(1)求a 的值及反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足22kx x>+在第一象限内x 的取值范围． (3)点Q 在x 轴负半轴上，满足BOA OAQ ∠=∠，求点Q 的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，点(3,5)A 与点C 关于原点O 对称，分别过点A 、C 作y 轴的平行线，与反比例函数(015)k y k x=<<的图象交于点B 、D ，连接AD 、BC ，AD 与x 轴交于点(2,0)E -．求(1)直线AD 的解析式及k 值； (2)直接写出阴影部分面积之和．10．如图，直线y kx b =+（,k b 为常数）与双曲线my x=（m 为常数）相交于()2,A a ，()1,2B -两点．(1)求直线y kx b=+的解析式；(2)在双曲线myx=上任取两点()11,M x y和()22,N x y，若12x x<，试确定1y和2y的大小关系，并写出判断过程11．如图，一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象相交于(1,)A n-和(2,1)B-两点，与y轴相交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点D与点C关于x轴对称，求ABD△的面积；(3)观察图象直接写出不等式mkx b x>+的解集．12．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 的坐标为()4,2，反比例函数ky x=的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，设直线DE 的解析式为y mx n =+，连接OD OE ，．(1)求反比例函数ky x=的表达式和点E 的坐标； (2)直接写出不等式kmx n x>+的解集； (3)点M 为y 轴正半轴上一点，若MBO △的面积等于ODE 的面积，求点M 的坐标；13．如图1，反比例函数ky x=与一次函数y x b =+的图象交于A B ，两点，已知()2,3B ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)一次函数y x b =+的图象与x 轴交于点C ，点D （未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若3OCDS=，求点D 的坐标：(3)若点M 是坐标轴上一点，点N 是平面内一点，是否存在点M N ，，使得四边形ABMN 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．综合与实践如图，一次函数133y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把线段AB 绕点B 逆时针旋转90︒得到BC ，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，反比例函数2ky x=的图象经过点C ，与直线AB 交于两点E 和F ．(1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，若点E 的横坐标是1，点F 的纵坐标是3-．△直接写出线段BE 和AF 的数量关系和当21y y >时，x 的取值范围； △连接CE 和CF ，求ECF △的面积；(3)当点M 在x 轴上运动，点N 在反比例函数2ky x=的图象上运动，以点A ，D ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，OABC 的一个顶点与坐标原点重合，OA 边落在x 轴上，且4OA =，22OC =和45COA ∠=︒．反比例函数()0,0ky k x x=>>的图象经过点C ，与AB 交于点D ，连接AC CD ，．(1)试求反比例函数的解析式；(2)求证：CD 平分ACB ∠；(3)如图2，连接OD ，在反比例函数图象上是否存在一点P ，使得12POC COD S S =？如果存在，请直接写出点P 的坐标．如果不存在，请说明理由．1．(1)1y x =+ 6y x =(2)1522．(1)A 点坐标为()2,4-，B 点坐标为()4,2-(2)<2x -或04x <<3．(1)12y x =-(2)12(3)2x <-或06x <<4．(1)6a =；12y x=-(2)12 (3)20x ＜＜-或6x ＞5．(1)110k = 22k =6．(1)20-(2)()5,4-(3)2x ≤-或 05x <≤7．(1)13y x=- 22y x =-+； (2)4；(3)10x -<<或3x >．8．(1)6a =，反比例函数解析式为()120y x x=>； (2)02x <<(3)()2.5,0Q -9．(1)2y x =+，3(2)1210．(1)1y x =-+；(2)当M N 、在双曲线的同一支上时，12y y <；当M N 、在双曲线的不同的一支上时12y y >．11．(1)2y x =- 1y x =-+ (2)ABD △的面积为3(3)10x -<<或2x >12．(1)4y x= ()41， (2)02x <<和4x >(3)302M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13．(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：61y y x x==+， (2)()1,6D --或()1,6D(3)存在，其坐标分别为()()125,00,5M M ，14．(1)6y x= (2)△01x <<或<2x -；△15(3)(4,0)-或(4,0)或(2,0)．15．(1)4y x= (2)存在，点P 的坐标为()5151-+，或()5151+-，。

中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习题及答案一、单选题1．如图，直线y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝k x（k≠0）的图象交于A，B两点．若点B的坐标是（3，5），则点A的坐标是（）A．（﹣3，﹣5）B．（﹣5，﹣3）C．（3．﹣5）D．（5，﹣3）2．如图，反比例函数y1= k1x和一次函数y2=k2x+b的图象交于A，B N点．A，B两点的横坐标分别为2，-3．通过观察图象，若y1>y2，则x的取值范围是()A．0<x<2B．-3<x<0或x>2C．0<x<2或x<-3D．-3<x<03．某数学小组在研究了函数y1=x与y2＝4x性质的基础上，进一步探究函数y=y1＋y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：①函数y=y1＋y2的图象与直线y=3没有交点；②函数y=y1＋y2的图象与直线y=a只有一个交点，则a=±4；③点（a，b）在函数y=y1＋y2的图象上，则点（－a，－b）也在函数y=y1＋y2的图象上．以上结论正确的是（）A．①②B．①②③C．②③D．①③4．已知两个函数y1=k1x+b与y2= k2x的图象如图所示，其中A（-1，2），B（2，-1），则不等式k1x+b＞k2x的解集为（）A．x<−1或x>2B．x<−1或0<x<2C．−1<x<2D．−1<x<0或0<x<25．如图，正比例函数y=x与反比例函数y= 2x的图象相交于A，B两点，分别过A，B两点作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接AD，BC，则四边形ACBD的面积为（）A．2B．4C．6D．86．我们知道，方程x2+2x﹣1＝0的解可看作函数y＝x+2的图象与函数y＝1x的图象交点的横坐标，那么方程kx2+x﹣4＝0（k≠0）的两个解其实就是直线y＝kx+1与双曲线y＝4x的图象交点的横坐标，若这两个交点所对应的坐标为（x1，4x1）、（x2，4x2），且均在直线y＝x的同侧，则实数k的取值范围是（）A．12＜k＜32B．﹣12＜k＜32C．﹣116＜k＜0或0＜k＜32D．12＜k＜32或﹣116＜k＜07．如图，直线y=x+a−2与双曲线y=4x交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为A．0B．1C．2D．58．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x＞29．如图，函数y=−x与函数y=−4x的图象相交于A,B两点，过A,B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C,D，则四边形ADBC的面积为（）A．2B．4C．6D．810．正比例函数y1=k1x（k1＞0）与反比例函数y2= k2x（k2＞0）部分图象如图所示，则不等式k1x＞k2x的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中△OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝32，则k的值为（）A．3B．52C．2D．112．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，若直线y=﹣x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是（）A．b＞2B．﹣2＜b＜2C．b＞2或b＜﹣2D．b＜﹣2二、填空题13．如图，过原点且平行于y=3x−1直线与反比例函数y=k x（k≠0，x>0）的图像相交x于点C，过直线OC上的点A(1，3)，作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD=2BD，那么点C的坐标为.14．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为(1，3)，则另一个交点坐标是15．若反比例函数 y =b−3x和一次函数 y =3x +b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ 。

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--反比例函数与一次函数交点问题一、综合题1．如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=mx 的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小．2．如图，一次函数y =mx +1的图象与反比例函数y =kx的图象交于点A ，B ，交y 轴于点C ，点B的横坐标为1，且AC =2CB ，连接OA ，OB ．（1）求△AOB 的面积； （2）求反比例函数的表达式；（3）根据图象直接写出满足不等式k x<mx +1时，x 的取值范围．3．已知：直线 l 1:y =kx +b 过点 A （ −1 ， 0 ），且与双曲线 l 2 ： y =2x相交于点 B（ −1<x 1<x 2<1 ，2）．（1）求m 值及直线 l 1 的解析式；（2）画出 l 1,l 2 的图象，结合图象直接写出不等式 kx +b >2x的解集．4．如图，已知一次函数 y 1=k 1x +b(k 1≠0) 与反比例函数 y 2=k2x(k 2≠0) 的图象交于A(4,1) ， B(n,−2) 两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1<y2时x的取值范围.5．如图：直线y=x与反比例函数y= k x（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y= kx的图象上时，求点A'的坐标．6．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2=k x（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A （m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小.7．如图，反比例函数y=πx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M（1，3），N两点，点N的横坐标为﹣3．（1）根据图象信息可得关于x 的方程πx =kx+b 的解为 ；（2）求一次函数的解析式．8．直线y=3x 与反比例函数y=k x的图象交于A （1，m ）和点B 。

中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习及答案一、单选题1．如图直线y1＝x+1与双曲线y2＝k x交于A （2，m）、B（﹣3，n）两点.则当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞﹣3或0＜x＜2B．﹣3＜x＜0或x＞2C．x＜﹣3或0＜x＜2D．﹣3＜x＜22．如图，点A1,A2,A3⋯在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B1,B2,B3⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1,B2A2⊥B1A2,B3A3⊥B2A2⋯，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．(2√n,0)B．(0,√2n+1)C．(0,√2n(n+1))D．(0,2√n)3．如图，已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是()A．（﹣3，4）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）4．如图，函数y1=x﹣1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞25．如图，直线y= 23x与双曲线y= k x（x＞0）交于点A，将直线y= 23x向右平移3个单位后，与双曲线y= kx（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若AOBC=2，则k=（）A．83B．4C．6D．43 6．一次函数y=2x﹣1与反比例函数y=﹣x﹣1的图象的交点的情况为（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不能确定7．如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A，B两点，若反比例函数y= y x(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤88．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B,D在反比例函数y=k x（k>0）的图象上，对角线BD过原点O，延长BA交反比例函数的图象于点E，连接DE，若A为BE 的中点，且点A的坐标为(−1,2)，则k的值为（）A．163B．329C．92D．49．函数y= 1−kx的图象与直线y=﹣x没有交点，那么k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＞﹣1D．k＜﹣110．如图，已知动点P在函数y= 12x（x＞0）的图象上运动，PM△x轴于点M，PN△y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（）A．4B．2C．1D．1211．如图，反比例函数y=kx（k＞0）与一次函数y=12x+b的图象相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB交y轴与C，当|x1－x2|=2且AC = 2BC时，k、b的值分别为（）A．k＝12，b＝2B．k＝49，b＝1C．k＝13，b＝13D．k＝49，b＝1312．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与y=2x的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在y=2x图象上，下列说法正确的是（）A．当x1=x2< 2时，y1< y2B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2D．当y1=y2 > 1时，x1 > x2二、填空题14．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6x的图象交于两点，当kx+b−6x>0时x的取值范围是．15．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，AD＝BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y＝6x（x＞0）图象于点E，连接DE，则△DCE的面积为.16．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t,0)，B(0,-2t)，C(2t,4t)三点，其中t>0，函数y=t 2x的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB-S△PQB=t，则t的值为．17．如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y= 1x，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为．18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－4x的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝8x的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为.三、综合题19．已知反比例函数y1=k x的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，-2) .（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，直接写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围.20．如图，过双曲线y= k x在直角坐标系第二象限上点A作直线分别交x轴和双曲线于点C、B，点A的坐标为（﹣1，6）．（1）若tan△ACO=2，试求点C的坐标；（2）若AB=2BC，连接OA、OB，求△OAB的面积．21．如图，一次函数y=x−3的图像与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=−2x(x>0)的图像分别交于C、D两点.（1）动点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N.当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；（2）在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=k x的图象交于A、B两点，过点A作AC 垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，直线y1=﹣x+4，y2= 34x+b都与双曲线y= k x交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．24．如图，已知直线y=﹣x和反比例函数y=k x（k＞0），点A（m，n）（m＞0）在反比例函数y= kx上．（1）当m=n=2时①直接写出k的值；②将直线y=﹣x作怎样的平移能使平移后的直线与反比例函数y=k x只有一个交点．（2）将直线y=﹣x绕着原点O旋转，设旋转后的直线与反比例函数y=k x交于点B（a，b）（a＞0，b＞0）和点C．设直线AB，AC分别与x轴交于D，E两点，试问：ABAD与ACAE的值存在怎样的数量关系？请说明理由．参考答案1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】D 13．【答案】－1414．【答案】2<x <3 或 x <0 15．【答案】12−6√2 16．【答案】417．【答案】√2或√2218．【答案】1219．【答案】（1）解：∵函数y 1=k x图象过点A(1，4)∴k=4， 即y 1= 4x又∵点B(m ，−2)在y 1=4x上，∴m=−2∴B(−2，−2)又∵一次函数y 2=ax+b 过A.B 两点 则{a +b =4−2a +b =−2，解得{a =2b =2 ∴y 2=2x+2综上可得y1=4x ，y 2=2x+2；（2）解：x<−2或0<x<1.20．【答案】（1）解：过点A 作AD△x 轴，交x 轴于点D ．∵点A 的坐标为（﹣1，6） ∴AD=6，OD=1． ∵tan△ACO=2∴CD=AD÷tan△ACO=6÷2=3 ∴OC=4∴点C 的坐标为（﹣4，0）（2）解：∵点A 的坐标为（﹣1，6）∴反比例函数的解析式为y=﹣ 6x．设B （x ，﹣ 6x），C （c ，0）∵{(x +1)2+(−6x )2=2(c −x)2+2(−6x )26+6x −1−x =6−1−c，解得x=﹣4，x=﹣3 ∴C （﹣4，0）∵S △AOC =12×4×6=12又∵AB=2BC∴△OAB 的面积= 23 S △AOC = 23 ×12=8．故答案为：（1）（﹣4，0）；（2）821．【答案】（1）解：如下图，对于函数y =x −3当x=0时，y=-3，当y=0时，x=3∴A(3，0)，B(0，−3)∵动点P在线段AB上∴设点P（a，a-3），a>0，a-3<0，即0<a<3∴PN=a，PM=3−a∵矩形OMPN的面积为2∴a(3−a)=2，即a2−3a+2=0解得a=2或a=1∴点P(2，−1)或P(1，−2)（2）解：如下图∵A(3，0)，B(0，−3)∴OA=OB=3∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=3√2联立一次函数与反比例函数可得{y=x−3 y=−2x解得{x=1y=−2或{x=2y=−1∴C(1，−2)，D(2，−1)∴BC=√12+(−2+3)2=√2设E(x，0)，AE=3−x以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO=∠BAE=45°∴ABOB=AEBC或ABBC=AEOB∴3√23=3−x√2或3√2√2=3−x3解得x=1或x=−6∴E(1，0)或E(−6，0).22．【答案】（1）解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于原点对称，∴OA=OB ，∴△BOC 的面积=△AOC 的面积=2÷2=1，又∵A 是反比例函数 y =k x图象上的点，且AC△x 轴于点C ，∴△AOC 的面积= 12|k| ，∴12|k|=1 ，∵k ＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为 y =2x（2）解：x 轴上存在一点D ，使△ABD 为直角三角形．将 y =2x 与 y =2x联立成方程组得： {y =2x y =2x ，解得： {x 1=1y 1=2 ， {x 2=−1y 2=−2 ，∴A （1，2），B （﹣1，﹣2） ①当AD△AB 时，如图1设直线AD 的关系式为 y =−12x +b ，将A （1，2）代入上式得： b =52，∴直线AD 的关系式为 y =−12x +52，令y=0得：x=5，∴D （5，0）； ②当BD△AB 时，如图2设直线BD 的关系式为 y =−12x +b ，将B （﹣1，﹣2）代入上式得： b =−52，∴直线AD 的关系式为 y =−12x −52，令y=0得：x=﹣5，∴D （﹣5，0）； ③当AD△BD 时，如图3∵O为线段AB的中点，∴OD= 12AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA=√OC2+AC2= √5，∴OD= √5，∴D（√5，0）根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（−√5，0）；故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（√5，0）或D（−√5，0）．23．【答案】（1）解：把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y= kx，可得k=1×3=3∴y与x之间的函数关系式为：y= 3 x（2）解：∵A（1，3）∴当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为：x＞1（3）解：y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0）把A（1，3）代入y2= 34x+b，可得3= 34+b∴b= 94，∴y2=34x+94，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分∴CP= 14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74= 94∴P（﹣54，0）或（94，0）24．【答案】（1）解：①当m=n=2时，A（2，2），把点A（2，2）代入反比例函数y=k x（k＞0）得：k=2×2=4；②设平移后的直线解析式为y=﹣x+b1，由{y=−x+by=k x可得，−x+b1=4x，整理可得：x2﹣b1x+4=0当Δ=(−b1)2−4×1×4=0，即b1=±4时，方程x2﹣b1x+4=0有两个相等的实数根，此时直线y=﹣x+b1与反比例函数只有一个交点∴只要将直线y=﹣x向上或向下平移4个单位长度，所得到的直线与反比例函数只有一个交点（2）解：ACAE±ABAD=2，理由如下：分两种情况讨论：由反比例函数的对称性可知，C（﹣a，﹣b）①当点A在直线BC的上方时，如图所示：过A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H则OF=n，OG=OH=b∴FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b∵AF△BG△x轴∴ABAD=FGFO=n−bn∵AF△x轴△CH∴ACAE=FHFO=n+bn∴ACAE+ABAD=n−bn+ n+bn=2；②当点A在直线BC的下方时同理可求：ABAD=b−nn，ACAE=n+bn∴ACAE﹣ABAD=n+bn﹣b−nn=2；综上所述，ACAE±ABAD=2．。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--反比例函数与一次函数交点问题一、综合题1．如图，直线y=−x+3与反比例函数y=2x(x>0)的图象交于A，B两点.（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若∠AOE=45°，求AEEC的值；（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数y=2x(x>0)的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于m2，求m的值.2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= kx（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．（1）填空：OA=，k=，点E的坐标为；（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣12t2+5t﹣32）与点N（﹣t﹣3，﹣12t2+3t﹣72）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣12x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y= k x上时，求证：直线MN与双曲线y= k x没有公共点；②当抛物线y=﹣12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．3．如图，已知A（﹣4，n），B（3，4）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象的两个交点，过点D（t，0）（0＜t＜3）作x轴的垂线，分别交双曲线y2=mx和直线y1＝kx+b于P、Q两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当t为何值时，SΔBPQ=12SΔAPQ；（3）以PQ为边在直线PQ的右侧作正方形PQMN，试说明：边QM与双曲线y2=mx（x＞0）始终有交点．4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=k x(k≠0)与直线y＝ax+b（a≠0）交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，E为x轴上一点.已知OA＝OC＝OE，A点坐标为（3，4）.（1）将线段OE沿x轴平移得线段O′E′（如图1），在移动过程中，是否存在某个位置使|BO′﹣AE′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AE′|的最大值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；（2）将直线OA沿射线OE平移，平移过程中交y=k x(x>0)的图象于点M（M不与A重合），交x轴于点N（如图3）.在平移过程中，是否存在某个位置使△MNE为以MN为腰的等腰三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图，已知点D在反比例函数y= ax的图象上，过点D作DB△y轴，垂足为B(0，3)，直线y=kx+b经过点A(5，0)，与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．（1）求反比例函数y= ax和一次函数y=kx+b的表达式；（2）求出关于x的不等式ax>kx+b的解集．6．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 6x的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的函数表达式；（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面积．7．如图，点A在函数y=4x(x>0)图像上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=1x图像于点B、C，直线BC与坐标轴的交点为D、E．当点A在函数y=4x(x>0)图像上运动时，（1）设点A横坐标为a，则点B的坐标为，点C的坐标为（用含a的字母表示）；（2）△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积，若变化，请说明理由；8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y= 12x的图象与反比例函数y= k x的图象交于A（a，﹣2），B两点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．9．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x 轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2−18x+72=0的两根(OA>OC)，OB=43OA，点E的横坐标为3，反比例函数y=k x 的图象经过点E.（1）若直线AB与反比例函数图象上除点E外的另一交点为P，求△ECP的面积；若点R 在x轴上，若点S在y轴上，求PR+RS+SE的最小值..（2）若点M在坐标轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、E、M、N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边？若存在，直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由.10．已知直线y＝x+t与双曲线y＝k x（k＞0）交于C、D两点，过C作CA△x轴于点A，过D作DB△y轴于点B，连接AB．（1）求C、D两点的坐标；（2）试探究直线AB与CD的位置关系并说明理由；（3）已加点D（3，2），且C、D在抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）上，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，函数y＝ax2+bx+5的最小值为2m，最大值为2n，求m+n的值．11．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y=6x(x>0)图象上一点，点B在x轴上，AD=BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y=6x(x>0)图象于点E.（1）平行四边形BCD的面积等于；（2）设D点横坐标为m，试用m表示点E的坐标；（要有推理和计算过程）（3）求CE:EB的值；（4）求EB的最小值.12．如图1，点A(0，8)、点B(m，4)在直线y=−2x+n上，反比例函数y=k x（x>0）的图象经过点B.（1）求m和k的值；（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a>0），得到对应线段CD，连接AC、BD.①如图2，当a=3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则DEDF=.②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a 的值，若不能，请说明理由.13．如图，设反比例函数的解析式为y= 3k x（k＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为163时，求直线l的解析式．14．如图，正比例函数y=ax与反比例函数y= k x（x＞0）的图象交于点M（√6，√6）．（1）求这两个函数的表达式；（2）如图1，若△AMB=90°，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A、B．求四边形OAMB 的面积．（3）如图2，点P是反比例函数y= kx（x＞0）的图象上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，PF交直线OM于点H，过作x轴的垂线，垂足为G．设点P的横坐标为m，当m ＞√6时，是否存在点P，使得四边形PEGH为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y= 6x（x＞0）和y= kx（x＜0）的图象交于点P、点Q．（1）求点P的坐标；（2）若△POQ的面积为8，求k的值．16．如图，反比例函数y1= k x的图象与一次函数y2= 14x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= k x的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；（3）求△PAB的面积．答案解析部分1．【答案】（1）解：有题意得，{y=−x+3y=2x∴−x+3=2 x解得x1=1，x2=2y 1=2，y2=1，∴A(1，2)，B(2，1)（2）解：∵y=−x+3交x轴于点C∴C(3，0)，∵∠OCA=∠AOE=45°，∠OAE=∠CAO ∴△AOE∽△ACO，∴AOAE=ACAO∴AO2=AE⋅AC∵A(1，2)，C(3，0)，∴AO=√22+12=√5，AC=√22+22=√8=2√2，∴AE=AO 2AC=5√24，EC=3√24，∴AE EC=53（3）解：设平移后y PQ=−x+3+m，如图，过点D作DF△PQ于点F，则ED=m，DF= √2m2S ABPQ=(AB+PQ)⋅√2m22=√2m(√2+PQ)4=m2∴√2+PQ=2√2m，∴PQ= 2√2m- √2有题意得，{y=−x+3+my=x2解得，x1=m+3+√m2+6m+12，x2=m+3−√m2+6m+12，∴QH=x1-x2= √m2+6m+1，∴PQ=√2√m2+6m+1，∴√2√m2+6m+1= 2√2m- √2∴m2+6m+1=4m2−4m+1，∴解得m1=0（舍），m2=103，即m=10 32．【答案】（1）6；-6；（﹣32，4）（2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：{−12t2+5t−32=k1(t−1)+b1−12t2+3t−72=k1(−t−3)+b1解得{k1=1b=−12t2+4t−12∵抛物线y=﹣12x2+bx+c过点M、N∴{−12t2+5t−32=−12(t−1)2+b(t−1)+c−12t2+3t−72=−12(−t−3)2+b(−t−3)+c 解得{b=−1c=5t−2∴抛物线解析式为：y=﹣ 12x 2﹣x+5t ﹣2∴顶点P 坐标为（﹣1，5t ﹣ 32 ）∵P 在双曲线y=﹣ 6x 上∴（5t ﹣ 32 ）×（﹣1）=﹣6∴t= 32此时直线MN 解析式为：y =x +358联立 {y =x +358y =6x∴8x 2+35x+49=0∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0 ∴直线MN 与双曲线y=﹣ 6x没有公共点．②当抛物线过点B ，此时抛物线y=﹣ 12x 2+bx+c 与矩形OADB 有且只有三个公共点∴4=5t ﹣2，得t= 65当抛物线在线段DB 上，此时抛物线与矩形OADB 有且只有三个公共点∴10t−32=4 ，得t= 1110∴t= 65 或t= 1110③∵点P 的坐标为（﹣1，5t ﹣ 32 ）∴y P =5t ﹣ 32当1≤t≤6时，y P 随t 的增大而增大 此时，点P 在直线x=﹣1上向上运动∵点F 的坐标为（0，﹣ 12t 2+4t −12 ）∴y F =﹣ 12(t −4)2+152∴当1≤t≤4时，随者y F 随t 的增大而增大 此时，随着t 的增大，点F 在y 轴上向上运动 ∴1≤t≤4当t=1时，直线MN ：y=x+3与x 轴交于点G （﹣3，0），与y 轴交于点H （0，3） 当t=4﹣ √3 时，直线MN 过点A ．当1≤t≤4时，直线MN 在四边形AEBO 中扫过的面积为 S= 12×(32+6)×4−12×3×3=2123．【答案】（1）解：将B （3，4）代入 y 2=m x ，得m ＝3×4＝12，∴反比例函数解析式为 y 2=12x，将A （﹣4，n ）代入反比例函数，得n ＝﹣3，∴A （﹣4，﹣3）∵直线y 1＝kx+b 过点A 和点B ， ∴{−3=−4k +b 4=3k +b ，解得 {k =1b =1 ，∴一次函数的解析式为y ＝x+1； （2）解：如图1，∵PQ△x 轴，∴以PQ 为底边时，△APQ 与△BPQ 的面积之比等于PQ 边上的高之比， 又∵S ΔBPQ =12S ΔAPQ ，∴S ΔBPQ SΔAPQ=12 ， ∵点D （t ，0），A （﹣4，﹣3），B （3，4），∴12×PQ×(3−t)12×PQ×(t+4)=12 ，即 3−t t+4=12，解得 t =23；（3）解：如图2，设直线QM 与双曲线交于C 点．依题意可知：P （t ， 12t ），Q （t ，t+1），C （ 12t+1 ，t+1），∴QM ＝PQ ＝ 12t−t −1 ，QC ＝ 12t+1−t ，∴QM ﹣QC ＝ 12t −t −1−(12t+1−t) ＝ 12t(t+1)−1 ， ∵0＜t ＜3，∴0＜t （t+1）＜12，∴12t(t+1) ＞1，即QM ﹣QC ＞0， ∴QM ＞QC ，即边QM 与双曲线 y 2=mx 始终有交点． 4．【答案】（1）解：如图1中，∵A （3，4），∴OA ＝ √32+42 ＝5， ∵OA ＝OC ＝OE ， ∴OA ＝OC ＝OE ＝5， ∴C （﹣5，0），E （5，0），把A 、C 两点坐标代入y ＝ax+b 得到 {3a +b =4−5a +b =0，解得 {a =12b =52， ∴直线的解析式为： y =12x +52，把A （3，4）代入y ＝ k x 中，得到k ＝12， ∴反比例函数的解析式为y ＝ 12x，把A 向左平移5个单位得A 1（﹣2，4），作B 关于x 轴的对称点B 1， 则有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A 1O′|＝|B 1O′﹣A 1O′|≤A 1B 1，直线AC ： y =12x +52，双曲线： y =12x， ∴B （﹣8，﹣ 32 ），B 1（﹣8， 32），∴A 1B 1＝ √(−2+8)2+(4−32)2=132，直线A 1B 1： y =512x +296， 令y ＝0，可得x ＝﹣ 585，∴O′（﹣ 585，0）.∴|BO′﹣AE′|的最大值为 132 ，此时点O′的坐标（﹣ 585 ，0）（2）解：设M （m ， 12m ），则N （m ﹣ 9m，0）， ∴NE 2＝（5﹣m+ 9m ）2，ME 2＝（5﹣m ）2+（ 12m ）2，MN 2＝（ 9m ）2+（ 12m ）2 若MN ＝ME ，则有，（5﹣m ）2+（ 12m ）2＝（ 9m ）2+（ 12m ）2，解得：m ＝ 5+√612 或 5−√612（舍弃），∴M （ 5+√612 ， 2√61−103），若MN ＝NE ，则有（5﹣m+ 9m ）2＝（ 9m ）2+（ 12m ）2，解得m ＝8或3（舍弃），∴M （8， 32），综上所述，满足条件的点M 的坐标为（ 5+√612 ， 2√61−103）或（8， 32 ）5．【答案】（1）解：∵直线y=kx+b 经过点A （5，0），且OC ：OA=2：5∴OC=2，∴点C 的坐标为（0，-2） 把点A 与点C 的坐标代入直线y=kx+b 得：{0=5k +b −2=0k +b 解得：{k =25b =−2所以一次函数的解析式为：y =25x −2∵BD=OC ，∴BD=2 ∴点D 的坐标为（-2，3）把点D 的坐标代入反比例函数y =ax 中，解得a=-6所以反比例函数的解析式为：y =−6x（2）解：解方程组：{y =25x −2y =−6x整理得：x 2-5x+15=0，无论x 为何值，方程无解， 即一次函数与反比例函数没有交点，所以当x<0时，不等式ax >kx +b 。

反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数交点问题:
1、定义：反比例函数是指把某个变量和其倒数的函数，一次函数指的
是y=ax+b这种型式的函数；
2、形式：反比例函数的形式为 y= k/x，其中k为常数; 一次函数的形式一般为 y= ax+b，其中a和b为常数；
3、求解：求反比例函数与一次函数的交点时，要把它们同时为相等，
用法则两边同乘以x，得到：k=ax+b，即k=b(1-a/x)，此时，可以求出
x的值为b/(1-a/k)，由此可求出交点的坐标；
4、特殊情况：当a=0时，反比例函数与一次函数的交点就是原点，
x=0，另外如果k=0时，则反比例函数与一次函数的交点坐标就是（b/a, 0）；
5、案例：求y=1/x 与 y=2x+5的交点，把它们同时等于相等，同乘以x，所以1=2x+5，得出x=-3，把x=-3带入反比例函数可得到y=1/-3，即交点坐标为（-3，-1）。