反比例函数与一次函数的交点问题(3)学案

一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。

2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。

二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。

2. 反比例函数的基本概念和性质。

3. 一次函数和反比例函数的综合应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。

2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。

2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。

3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。

4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。

5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。

引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。

2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。

通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。

3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。

通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。

七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。

通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。

新湘教版九年级数学上册学案：反比例函数与一次函数的交点问题【学习目标】1、研究与探索反比例函数与一次函数的交点问题，感受它的基本类型。

2、培养数形结合的思想与解决交点问题的能力；养成多角度思考问题的良好习惯。

【学习过程】一、知识产生：1、已知点A （1，y 1）、B （2，y 2）、C （﹣3，y 3）都在反比例函数的图象上，则y 1、y 2、y 3的2、正比例函数2y =和反比例函数y x=的图象有 个交点 3、正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y =2k x (k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.二、知识发展：1、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y=错误！未找到引用源。

的图象都过A （m ，1）点． 求：（1）正比例函数的解析式；（2）正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标．2、已知A （-4,2）、B （n,-4）是一次函数y 1=kx+b 的图像与反比例函数y 2=m/x 的图像的两个交点。

（1）求n 的值。

（2）反比例函数、一次函数的解析式。

（3）当X 取什么值时，12y y ，当X 取什么值时，12y y ？三、知识形成：1、老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数11(0)k y k x=≠的图象以及正比例函数22(k 0)y k x =≠的图象，当K 1K 2 时，有两个交点，且关于 对称。

当K 1K 时，无交点。

2、如果已知两个函数的解析式求交点坐标，或判断交点的个数，用两个解析式联立求解即可解决。

如已知交点坐标求解析式，可把坐标直接代入解析式即可。

四、知识应用：1如图，已知直线y=mx 与双曲线y=的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）2、（2013，娄底）如图，已知A 点是反比例函数(0)k y k x=≠的图象上一点，AB y ⊥轴于B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为_____________.3、已知：如图，一次函数的图象与y 轴交于C （0，3），且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A ，B 两点，其中A （1，a ），求（1）这个一次函数的解析式．（2）当X 取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值？4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A （m ，2）．（1）求m 的值； （2）求正比例函数y=kx 的解析式；（3）试判断点B （2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．五、知识拓展：如图，直线y=x ﹣1与反比例函数y=的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，已知点A 的坐标为（﹣1，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P （n ，1）是反比例函数图象上一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，延长EP 交直线AB 于点F ，求△CEF 的面积．。

一次函数与反比例函数的交点问题一次函数与反比例函数的交点问题，是许多学习数学的人都会遇到的一个难题。

今天，我将从理论和实践两个方面来探讨这个问题，并希望能够给大家带来一些启示和帮助。

我们来看一下一次函数和反比例函数的基本概念。

一次函数是指形式为f(x)=ax+b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。

反比例函数是指形式为g(x)=k/x的函数，其中k是常数，x是自变量。

这两种函数都有一个共同点，那就是它们的图像都是一条直线或曲线。

尽管一次函数和反比例函数在图像上看起来很相似，但它们在求交点的问题上却有着很大的不同。

对于一次函数来说，只要已知它的斜率和截距，就可以轻松地求出它与任意一条直线的交点；而对于反比例函数来说，即使知道了它的定义域和值域，也无法直接求出它与任意一条直线的交点。

这是因为反比例函数的图像是一个双曲线，而不是一条直线。

因此，要解决一次函数和反比例函数的交点问题，就需要采用一些特殊的方法。

其中一种比较常用的方法是“代入法”。

具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后将这条直线代入到反比例函数中去，得到一个关于x的一元二次方程。

接下来再解这个一元二次方程，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。

这种方法虽然比较繁琐，但在实际应用中却非常方便和有效。

除了“代入法”之外，还有一种比较简单且易于理解的方法叫做“待定系数法”。

具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后根据这条直线与反比例函数的图像相交的条件，列出一组关于a、b、k的方程组。

最后再解这个方程组，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。

这种方法不仅简单易懂，而且可以推广到其他类型的函数之间求交点的问题上。

一次函数和反比例函数的交点问题虽然看起来比较复杂，但只要掌握了一些基本的方法和技巧，就可以轻松地解决它。

希望大家在学习数学的过程中能够多多思考和探索，不断提高自己的能力和水平。

《反比例函数与一次函数的交点问题》教学设计一、教学背景分析【教材内容】人教版第26章反比例函数【课标要求】在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、运算能力、推理能力和模型思想。

为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.【内容分析】中考常将一次函数和反比例函数放在一个坐标系内，根据所给图像提供的信息求解各函数的解析式、确定自变量取值范围、比较函数大小、图形面积等问题，是这部分内容考查的“高频考点”，题型有填空题、选择题、也有中档的解答题。

【学情分析】学生刚刚学完反比例函数，初步掌握了一次函数和反比例函数的相关知识，但由于中考一般是以综合题型的形式进行考查的，而学生综合应用知识和分析问题能力较弱，因此在本节课中特别准备了一些中考常见题型，帮助学生提升分析问题的能力和灵活应用知识的能力。

二、目标【教学目标】1.会联立方程求反比例函数与一次函数的交点坐标；2.会根据交点情况求参数的值或取值范围.【教学重点】根据交点求参数的值或取值范围.【教学难点】利用数形结合思想进行解题.【教学策略】引导启发式、讨论合作式、多媒体辅助教学，教学中注重数形结合思想的渗透。

【课前准备】多媒体课件、写字板【课的类型】专题课【课时安排】1课时三、教学活动教学环节教学活动设计设计意图教师活动学生活动一、前置作业1.在平面直角坐标系中直线y=2x+2与直线xy=的交点坐标为．2.直线2+-=xy与抛物线2xy=的交点坐标为．3.直线与双曲线的交点坐标为．课前5分钟利用练习题复习求交点坐标.重温如何求两个函数图象的交点坐标.二、例题学习类型一、求直线与双曲线的交点坐标例1.如图，一次函数的图象与反比例函数xky=（k为常数，且0k≠）的图象相交于A（-1，m）和B两点，求点 B 的坐标 .进行求交点坐标的例题来规范书写过程让学生规范联立方程来解题，规范书写过程变式1.已知直线y＝mx与双曲线xky=的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是 .变式1 让学生明白还可以通过中心对称来求另一个交点坐标xy4=xy=5y x=+类型二、根据交点情况求参数的值或取值范围例2.如图，将一次函数5y x =+的图象沿y 轴向下平移b 个单位()0b >．使平移后的图象与反比例函数 的图象有且只有一个交点，求b 的值.思考：当平移后的直线与双曲线没有交点时，求b 的取值范围？变式2.如图，在平面直角坐标系中直 线y ＝x +2与反比例函数 y =−k x的图象有唯一公共点， （1）求k 的值；（2）若直线y ＝mx +2与反比例函数 y =−kx的图象有2个公共点，请你根据图象写出m 的取值范围.小组合作讨论求b 值.学生合作讨论通过几何画板展示平移，利用判别式来求解.通过思考问题拓展参数的取值范围第（1）问常规求解过程.第（2）问除了利用判别式来求解外，还考究学生的数形结合思想，属于旋转的类型，比平移高了一个难度xy 4-=三、课堂练习A组1．正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象有一个交点的坐标是(−1，−2)，则另一个交点的坐标为（）A．(2，1)B．（1，−2）C．（−1，2）D．（1，2）2．已知反比例函数y=kx与一次函数y=x+1的图象没有交点，则k的值可以是（）A．12B．14C．−14D．−1B组3.如图，一次函数3+=xy的图象与反比例函数)0(1<-=xxky的图象交于点A),2(m-、点B．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）将一次函数3+=xy的图象向下平移m个单位，当平移后的函数图象与反比例函数的图象只有一个交点时，求m的值．课堂分层练习分层课堂作业设计，充分照顾各个层次的学生.四、课堂小结（1）求直线与双曲线的交点坐标；（2）根据交点求参数的值或取值范围.学生进行小结课堂小结五、挑战自我已知一次函数3y mx m=-（0m≠）和反比例函数4yx=的图象如图所示．(1)一次函数3y mx m=-必定经过点________．（写点的坐标）(2)当2m=-时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接BO并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及ABE的面积．(3)直线3y mx m=-绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．提供给学有余力的学生进行挑战提供给学有余力的学生进行挑战。

可编辑修改精选全文完整版《反比例函数与一次函数的交点面积问题》教学设计学科数学课题反比例函数与一次函数的交点面积问题课型复习教学 目标知识目标 1. 能够熟练求解一次函数与反比例函数的表达式与交点坐标； 2. 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积。

能力目标通过讨论交流，合作学习，培养学生研究问题和解决问题能力。

情感目标培养学生自主探究、合作交流的能力及渗透数型结合，转化等数学思想。

教学重点 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积 教学难点 分割法，转化法的应用，规范书写证明过程。

教学用具多媒体教学方法小组合作探究教学课时1课时教 学 过 程 设 计教学过程学生活动 一、自主复习诊断1、整理反比例函数中常见的三角形图形及求面积的方法2、预习诊断1) 已知一次函数y=kx+b 经过点A （0,3）和B （-3,0）则函数的表达式为______________.2) 已知反比例函数经过点A （1,4）则反比例函数的表达式为_________3) 如图，过反比例函数)0(>=x xky 的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k的值为________学生复习常见的反比例函数与一次函数围成的三角形面积。

学生思考，导入课题。

学生自主完成相关内容。

yxy x y x y x yx y x4）如图,点P 是反比例函数图象上的一点,PD ⊥x轴于D.则△POD 的面积为5）面积不变性S=S=注意：（1）面积与P 的位置无关（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论6)曲直结合△BDA 的面积是多少？ 7）（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B（﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．二、教材分析中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的学生掌握公理的原则，并不是越多越好。

《反比例函数与一次函数的交点面积问题》教学设计学科数学课题反比例函数与一次函数的交点面积问题课型复习教学 目标知识目标 1. 能够熟练求解一次函数与反比例函数的表达式与交点坐标； 2. 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积。

能力目标通过讨论交流，合作学习，培养学生研究问题和解决问题能力。

情感目标培养学生自主探究、合作交流的能力及渗透数型结合，转化等数学思想。

教学重点 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积 教学难点 分割法，转化法的应用，规范书写证明过程。

教学用具多媒体教学方法小组合作探究教学课时1课时教 学 过 程 设 计教学过程学生活动一、自主复习诊断1、整理反比例函数中常见的三角形图形及求面积的方法2、预习诊断1) 已知一次函数y=kx+b 经过点A （0,3）和B （-3,0）则函数的表达式为______________.2) 已知反比例函数经过点A （1,4）则反比例函数的表达式为_________ 3) 如图，过反比例函数)0(>=x xky 的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k 的值为________4）如图,点P 是反比例函数 图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD学生复习常见的反比例函数与一次函数围成的三角形面积。

学生思考，导入课题。

学生自主完成相关内容。

yxy x y x y x yx y x xy 2=的面积为5）面积不变性S=S=注意：（1）面积与P 的位置无关（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论6)曲直结合△BDA 的面积是多少？ 7）（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B（﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．二、教材分析中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型学生掌握公理的原则，并不是越多越好。

一次函数之间的交点；如函数y=kx+b ，y=ax+c 图像有一个交点说明这两个函数存在相同的x ，y 的值，则这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标。

因为这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标所以可通过解方程来解决即：kx+b=ax+c解得x 的值，再代入可求得y 的值即为交点坐标。

当然也可以通过在直角坐标系中画出一次函数的图像直接从图像上看到，不过这种方法要求作图精确。

一般情况下，作图法只用作帮我们寻找解题的思路。

真正要接出精确的答案还是要通过代数运算。

一次函数与反比例函数的交点；函数y=ax+b,y=xk 图像有一个交点 说明这两个函数存在相同的x,y 的值，则这个相同的x,y 的值即为函数y=ax+b, y=x k 的图像的交点坐标。

即ax+b=xk ,此式可化解为ax 2+bx-k=0 如果次一元二次方程的△＞0则表示一次函数和反比例函数有两个交点；△ ＜0则表示一次函数和反比例函数没有交点；△ =0则表示一次函数和反比例函数有一个交点。

具体情况可有下图表示：例1：已知一次函数y=kx+k 的图象与反比例函数y=x2的图象在第一象限交于B （4，n ） ，求n ，k 的值。

变式练习1；若反比例函数的图象经过点（1，3）（1） 求该反比例函数的解析式； （2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标。

例2已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数x k ，当k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点？变式练习：一次函数y=-x+3与反比例函数y=x1 有两个公共交点A 和B 。

求： （1） 点A 和点B 的坐标 （2） △ABO 的面积例题3一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A （2，3）。

求这两个函数的表达式。

变式练习：一次函数y=-2x+3与反比例函数y=xm 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A 。