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一、匀变速直线运动的公式匀变速直线运动的加速度a 是恒定的. 反之也成立. 加速度方向与初速度方向相同的匀变速直线运运称为匀加速直线运动; 加速度的方向与初速度方向相反叫匀减速直线运动.如果以初速度v 0的方向为正方向，则在匀减速直线运动中，加速度应加一负号表示。
1. 基本规律: (公式)(1) 速度公式: v t = v 0 + a t 或：a =tv v t 0-. (图象为一直线,纵轴截距等于初速度大小) 平均速度: 2v v v t +== X/ t （前一式子只适用于匀变速直线运动，它是指平均速度，不是速度的平均值；后一式子对任何变速运动均适用。
(2) 位移公式: x = v 0t +21at 2注：在v －t 图象中，由v － t 直线与两坐标轴所围的面积等于质点在时间t 内运动的位移(3). 速度、加速度和位移的关系式: as v v t 2202=-说明: 以上各矢量均自带符号,与正方向相同时取正,相反取负.在牵涉各量有不同方向时,一定要先规定正方向. 如果物体做匀加速直线运动时加速度取正值的话,则匀减速直线运动时加速度就取负值代入公式运算. 对做匀减速直线运动的情况,一般要先判断物体经历多少时间停止下来,然后才能进行有关计算.否则可能解出的结果不符合题意.【例】一个质点先以加速度a 1从静止开始做匀加速直线运动，经时间t ，突然加速度变为反方向，且大小也发生改变，再经相同时间，质点恰好回到原出发点。
试分析两段时间内的加速度大小关系，以及两段时间的末速度大小关系。
2. 推论公式：(1) 2v v v t += = v t 2 （匀变速直线运动某段过程的平均速度等于这段过程初速度与末速度之和的一半，也等于这段过程中间时刻的瞬时速度） (2) x =v 0+v t 2·t （仅适用匀变速直线运动）(3) v s 2=√v 02+v t22（匀变速直线运动某段过程中间位置的瞬时速度等于这段过程初速度平方与末速度平方之和的一半）(4)v s2>v t2（图像法和公式法两种证明）(5)∆x=aT2 （匀变速运动中，任意连续相等的两段时间T内位移之差为定值）x m-x n=(m-n)aT2 （逐差法）【例1】.一颗子弹水平射入静止在光滑水平面上的木块中. 已知子弹的初速度为v0, 射入木块深度为L后与木块相对静止,以共同速度v 运动,求子弹从进入木块到与木块相对静止的过程中,木块滑行的距离.【例2】. 羚羊从静止开始奔跑,经过50m距离加速到最大速度25m/s,并能维持一段较长时间;猎豹从静止开始奔跑经过60m的距离能加速到最大速度30m/s,以后只能维持这个速度4.0s.设猎豹距离羚羊x m时开始攻击,羚羊在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑,假定羚羊和猎豹加速阶段分别做匀加速运动,且均沿同一直线索奔跑.求:⑴猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊,x值应在什么范围? ⑵猎豹要在其加速阶段追上羚羊, x 值应在什么范围?【例3】. 两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度为v0.若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住后,后车以前车刹车时的加速度开始刹车. 已知前车在刹车过程中行驶的距离为s ,若要保证两车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少为（）A. s ;B. 2s ;C. 3s ; D 4s .3.初速度为零的匀加速直线运动的比例规律：（一）从静止开始连续相等时间T分段（1）1T末, 2T末, 3T末, … n T末瞬时速度之比为:v1∶v2∶v3∶…:∶v n = 1∶2 ∶3 ∶…∶n .（2） 1T内, 2T内, 3T内，… n T内位移之比为:s1∶s2∶ s3∶…∶s n = 12∶ 22∶32∶…∶n2 .（3）第一个T 内, 第二个T 内， 第三个T 内， …, 第n 个T 内位移之比为. s Ⅰ∶s Ⅱ∶s Ⅲ∶…s N = 1∶3∶5 ∶… ∶(2n －1).（二）从静止开始连续相等位移S 分段（1）1S 末, 2S 末, 3S 末, … n S 末瞬时速度之比为:v 1 ∶v 2∶ v 3 ∶…:∶v n = √1∶√2 ∶√3 ∶… ∶√n .（2） 1S 内, 2S 内, 3S 内， … n S 内时间之比为:t 1 ∶t 2 ∶ t 3 ∶… t n = √1∶√2 ∶√3 ∶… ∶√n .（3）第一个S 内, 第二个S 内， 第三个S 内， …, 第n 个S 内时间之比为. t Ⅰ ∶t Ⅱ ∶t Ⅲ ∶ … ∶ t N ∶:)23(:)12--… ∶ (1--n n ).【例1】. 三块完全相同的木块固定在地板上. 一初速度为v 0的子弹水平射穿第三块木板后速度恰好为零. 设子弹在三块木板中的加速度相同,求子弹分别通过三块木板的时间之比.【例2】. 一质点由A 点出发沿直线AB 运动,行程的第一部分是加速度为a 1的匀加速运动,接着做加速度为a 2的匀减速运动,到达B 点时恰好速度减为零. 若AB 间总长度为S ,试求质点从A 到B 所用的时间 t. 【例3】.已知O 、A 、B 、C 为同一直线上的四点。
第八讲 匀变速直线运动规律的应用（二）新知导学【知识框架】位移—时间图像（x —t ） 匀变速直线运动的图像： 速度—时间图像（v —t ）加速度—时间图像（a —t ）一个条件：速度临界条件“追及”“相碰”问题： 时间关系两个关系：位移关系【重点、难点解析】一、匀变速直线运动的x —t 图像与v —t 图像：x －t 图象v －t 图象①表示物体做匀速直线运动，斜率表示速度 ①表示物体做初速度为零的匀加速直线运动，斜率表示加速度 ②表示物体静止②表示物体做匀速直线运动 ③表示物体沿负方向做匀速直线运动③表示物体先沿正方向做匀减速直线运动，后沿负方向做匀加速直线运动④表示物体在t 2时刻相遇 ④表示物体在t 2时刻速度相同 ⑤表示t 1时间内的位移为x 1 ⑤表示t 1时刻的速度为v 1⑥所示的面积表示在0～t 1时间内的位移思考：匀变速直线运动的a —t 图像是怎样的? 二、“追及”、“碰撞”问题：“追及”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种（如下图）：1、初速度为零的匀加速直线运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，在追上之前两物体有最大距离的条件是两物体的速度相等，即乙甲v v ；2、匀速运动的物体甲追赶同方向的做匀加速运动的物体乙，不一定追的上；若始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；⑥ v O v 1 t 1 ①② ③④ ⑤ t 2xO t s 1 t 1 ① ② ③ ④ ⑤ t 23、匀减速运动的物体甲追赶同方向匀速运动的物体乙时，不一定追的上；若始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；两物体恰能“相碰”的临界条件是两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同。
典例剖析【例1】某物体运动的v －t 图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．物体在第1s 末运动方向发生改变B ．物体在第2s 内、第3s 内的加速度是相同的C ．物体在第4s 末返回出发点D ．物体在第5s 末离出发点最远，且最大位移为0.5m【例2】a 、b 两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，下列说法正 确的是（ ）A ．a 、b 加速时，物体a 的加速度大于物体b 的加速度B ．20秒时，a 、b 两物体相距最远C ．60秒时，物体a 在物体b 的前方D ．40秒时，a 、b 两物体速度相等，相距200m【拓展1】在平直的轨道上，甲、乙两车相距为s ，同向同时开始运动．甲在后做初速度为 v 1，加速度为a 1的匀加速直线运动，乙在前做初速度为零，加速度为a 2的匀加速直线运动． 假定甲能从乙的旁边通过而互不影响，下列情况可能发生的是（ ）A ．a 1=a 2时，甲、乙只能相遇一次B ．a 1>a 2时，甲、乙可能相遇二次C ．a 1>a 2时，甲、乙只能相遇一次D ．a 1<a 2时，甲、乙可能相遇二次【拓展2】两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶。
匀变速运动的速度-时间图象应用一、匀变速直线运动的v -t 图象分析1、v -t 图象的特征从匀变速直线运动的速度时间关系at v v +=0可得，匀变速直线运动的v -t 图象是一条倾斜的直线，直线与y 轴的截距表示物体的初速度v 0，截距在y 正半轴表示初速与规定的正方向相同；直线的斜率表示物体的加速度a ，直线与时间轴的夹角小于900时，加速度与规定的正方向相同，直线与时间轴的夹角大于900时，加速度与规定的正方向相反。
2、几种常见的v -t 图象〔1〕质点做初速为0的匀加速直线运动，如图1。
(2) 质点做初速为v 0的匀加速直线运动，如图2。
(3) 质点做初速为v 0的匀减速直线运动，如图3。
〔4〕质点做初速为0的，运动方向与规定的正方向相反的匀加速直线运动，如图4。
〔5〕t 1时刻前，质点向正方向做初速为v 0的匀减速直线运动，t 1时刻速度为0；t 1时刻后，质点做初速为0的，运动方向与规定的正方向相反的匀加速直线运动，如图5，减速和加速阶段的加速度相同。
〔6〕t 1时刻前，质点向负方向做初速为v 0的匀减速直线运动，t 1时刻速度为0；t 1时刻后，质点做初速为0的，运动方向与规定的正方向相同的匀加速直线运动，如图6，减速和加速阶段的加速度相同。
3、v -t 图象、s-t 图象和质点运动轨迹的区别〔1〕在v -t 图象、s-t 图象中，由于v 、s 是矢量，其正负符号表示方向，所以不管图线是直线还是曲线，都表示物体做直线运动。
〔2〕v -t 图象表示速度随时间的变化规律，纵、横坐标分别表示速度和时间，s -t 图象表示位移随时间的变化规律，纵、横坐标分别表示位移和时间，轨迹是质点的运动的路径，在二维坐标系中通常用x ，y 表示质点的位置。
二、对匀变速直线v -t 图象的理解综上所述，要从以下几个方面理解v -t 图象：vv 图1 图2 图3vv〔1〕v -t 图象能准确全面反映速度v 随时间的变化规律，图线为直线，表示物体做匀变速直线运动〔或匀速直线运动〕，图线为曲线表示物体做加速度变化的直线运动。
匀变速直线运动的规律及图像目录题型一匀变速直线运动的规律及应用题型二v-t图象的理解及应用题型三x-t图象的理解及应用题型四非常规的运动学图像问题题型五追击相遇问题题型一匀变速直线运动的规律及应用【解题指导】 匀变速直线运动的基本公式(v-t关系、x-t关系、x-v关系)原则上可以解决任何匀变速直线运动问题．因为那些导出公式是由它们推导出来的，在不能准确判断用哪些公式时可选用基本公式．(2)未知量较多时，可以对同一起点的不同过程列运动学方程．(3)运动学公式中所含x、v、a等物理量是矢量，应用公式时要先选定正方向，明确已知量的正负，再由结果的正负判断未知量的方向．1(2023上·河南鹤壁·高三校考期中)一辆汽车在平直公路上匀速行驶，遇到紧急情况，突然刹车，从开始刹车起运动过程中的位移(单位：m)与时间(单位：s)的关系式为x=30t-2.5t2(m)，下列分析正确的是()A.刹车过程中最后1s内的位移大小是5mB.刹车过程中在相邻1s内的位移差的绝对值为10mC.从刹车开始计时，8s内通过的位移大小为80mD.从刹车开始计时，第1s内和第2s内的位移大小之比为11∶9【答案】D【详解】由匀变速直线运动的规律x=v0t+12at2，可得初速度v0=30m/s加速度a=-5m/s2 B．刹车过程中在相邻T=1s内的位移差的绝对值|Δx|=|aT2|=5m 故B错误；C．从刹车开始计时到停下的时间t m=0-v0a=6s8s内通过的位移大小为x m=0-v202a=90m故C错误；A．把末速度为0的匀减速直线运动看成逆向的匀加速直线运动，刹车过程中最后1s内的位移大小为x0=12at20=2.5m故A错误；D．由初速度为零的匀加速直线运动的规律，从刹车开始计时，每秒内的位移大小之比为11:9:7:5:3：1。
故从刹车开始计时，第1s内和第2s内的位移大小之比为11∶9。
故D正确。
故选D。
一、速度与时间的关系式v ＝v 0＋at 的应用1、（v-t 关系基本应用）一物体从静止开始以2m/s 2的加速度做匀加速直线运动，经5s 后做匀速直线运动，最后2s 的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求：(1)物体做匀速直线运动的速度的大小；(2)物体做匀减速直线运动时的加速度．2、（v-t 关系在刹车问题中的应用）一汽车在平直的公路上以20m/s 的速度匀速行驶，前面有情况需紧急刹车，刹车后可视为匀减速直线运动，加速度大小为8 m/s 2.求刹车3s 后汽车的速度．二、v －t 图象的理解和应用3、A 、B 是做匀变速直线运动的两个物体，其速度图象如图所示．(1)A 、B 各做什么运动并求其加速度；(2)两图象交点的意义；(3)求1s 末A 、B 的速度；(4)求6s 末A 、B 的速度．4、如图所示是某物体做直线运动的v －t 图象，由图象可知( )A ．物体在0～2s 内做匀速直线运动B ．物体在2～8s 内静止C ．t ＝1s 时物体的加速度为6m/s 2D ．t ＝5s 时物体的加速度为12m/s 2三、位移时间关系式x ＝v 0t ＋12at 2的基本应用1、一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2m/s2，求：(1)第5s末物体的速度多大？(2)前4s的位移多大？(3)第4s内的位移多大？四、利用v－t图象求物体的位移2、如图所示是直升机由地面竖直向上起飞的v－t图象，试计算直升机能到达的最大高度及25s时直升机所在的高度．五、对x－t图象的认识3、如图所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知()A．t＝0时，A在B的前面B．B在t2时刻追上A，并在此后运动到A的前面C．B开始运动的速度比A的小，t2时刻后才大于A的速度D．A运动的速度始终比B的大六、刹车类问题4、一辆汽车正在平直的公路上以72km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：(1)开始制动后，前2s内汽车行驶的距离．(2)开始制动后，前5s内汽车行驶的距离．七、速度与位移关系的简单应用1、A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B 点的速度是v，到C点的速度是3v，则x AB∶x BC等于()A ．1∶8B ．1∶6C ．1∶5D ．1∶3八、v ＝2t v ＝v 0＋v 2的灵活运用 2、 一质点做匀变速直线运动，初速度v 0＝2m/s,4s 内位移为20m ，求：(1)质点4s 末的速度；(2)质点2s 末的速度．九、对Δx ＝aT 2的理解与应用3、做匀加速直线运动的物体，从开始计时起连续两个4s 的时间间隔内通过的位移分别是48m 和80m ，则这个物体的初速度和加速度各是多少？。
