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带电粒子在复合场中的运动一、知识梳理1．复合场的分类（1）叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠,或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现．2．带电粒子在复合场中的运动形式当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止。
当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动. 当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动。
当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的时，粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理。
3. 题型分析：带电粒子在匀强电场、匀强磁场中可能的运动性质在电场强度为E 的匀强电场中 在磁感应强度为B 的匀强磁场中 初速度为零做初速度为零的匀加速直线运动保持静止初速度垂直场线 做匀变速曲线运动（类平抛运动) 做匀速圆周运动 初速度平行场线 做匀变速直线运动 做匀速直线运动特点受恒力作用,做匀变速运动洛伦兹力不做功，动能不变“电偏转”和“磁偏转"的比较垂直进入匀强磁场（磁偏转）垂直进入匀强电场（电偏转)情景图受力 F B ＝qv 0B ，大小不变，方向总指向圆心,方向变化，F B 为变力F E ＝qE ，F E 大小、方向不变，为恒力运动规律 匀速圆周运动r ＝mv 0Bq，T ＝错误!类平抛运动v x ＝v 0，v y ＝Eqm tx ＝v 0t ,y ＝错误!t 2运动时间 t ＝错误!T ＝错误!t ＝错误!，具有等时性动能 不变变化4。
常见模型（1)从电场进入磁场电场中:加速直线运动⇓磁场中：匀速圆周运动电场中：类平抛运动⇓磁场中：匀速圆周运动（2)从磁场进入电场磁场中：匀速圆周运动⇓错误!电场中：匀变速直线运动磁场中：匀速圆周运动⇓错误!电场中：类平抛运动二、针对练习1．在某一空间同时存在相互正交的匀强电场和匀强磁场,匀强电场的方向竖直向上,磁场方向如图。
带电粒子在复合场中的运动基础知识归纳1.复合场复合场是指 电场 、 磁场 和 重力场 并存，或其中两场并存，或分区域存在，分析方法和力学问题的分析方法基本相同，不同之处是多了电场力和磁场力，分析方法除了力学三大观点(动力学、动量、能量)外，还应注意：(1) 洛伦兹力 永不做功.(2) 重力 和 电场力 做功与路径 无关 ，只由初末位置决定.还有因洛伦兹力随速度而变化，洛伦兹力的变化导致粒子所受 合力 变化，从而加速度变化，使粒子做 变加速 运动.2.带电粒子在复合场中无约束情况下的运动性质(1)当带电粒子所受合外力为零时，将 做匀速直线运动 或处于 静止 ，合外力恒定且与初速度同向时做匀变速直线运动，常见情况有：①洛伦兹力为零(v 与B 平行)，重力与电场力平衡，做匀速直线运动，或重力与电场力合力恒定，做匀变速直线运动.②洛伦兹力与速度垂直，且与重力和电场力的合力平衡，做匀速直线运动.(2)当带电粒子所受合外力充当向心力，带电粒子做 匀速圆周运动 时，由于通常情况下，重力和电场力为恒力，故不能充当向心力，所以一般情况下是重力恰好与电场力相平衡，洛伦兹力充当向心力.(3)当带电粒子所受合外力的大小、方向均不断变化时，粒子将做非匀变速的 曲线运动 .3.带电粒子在复合场中有约束情况下的运动带电粒子所受约束，通常有面、杆、绳、圆轨道等，常见的运动形式有 直线运动 和圆周运动 ，此类问题应注意分析洛伦兹力所起的作用.4.带电粒子在交变场中的运动带电粒子在不同场中的运动性质可能不同，可分别进行讨论.粒子在不同场中的运动的联系点是速度，因为速度不能突变，在前一个场中运动的末速度，就是后一个场中运动的初速度.5.带电粒子在复合场中运动的实际应用(1)质谱仪①用途：质谱仪是一种测量带电粒子质量和分离同位素的仪器.②原理：如图所示，离子源S 产生质量为m ，电荷量为q 的正离子(重力不计)，离子出来时速度很小(可忽略不计)，经过电压为U 的电场加速后进入磁感应强度为B 的匀强磁场中做匀速圆周运动，经过半个周期而达到记录它的照相底片P 上，测得它在P 上的位置到入口处的距离为L ，则qU ＝21mv 2－0；q B v ＝m r v 2；L ＝2r 联立求解得m ＝UL qB 822，因此，只要知道q 、B 、L 与U ，就可计算出带电粒子的质量m ，若q 也未知，则228L B U m q 又因m ∝L 2，不同质量的同位素从不同处可得到分离，故质谱仪又是分离同位素的重要仪器.(2)回旋加速器①组成：两个D 形盒、大型电磁铁、高频振荡交变电压，D 型盒间可形成电压U .②作用：加速微观带电粒子.③原理：a .电场加速qU ＝ΔE kb .磁场约束偏转qBv ＝m rv 2，r ＝qB mv ∝v c .加速条件，高频电源的周期与带电粒子在D 形盒中运动的周期相同，即T 电场＝T 回旋＝qBm π2 带电粒子在D 形盒内沿螺旋线轨道逐渐趋于盒的边缘，达到预期的速率后，用特殊装置把它们引出.④要点深化a .将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾相连起来可等效为一个初速度为零的匀加速直线运动.b .带电粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，所以各回旋半径之比为1∶2∶3∶…c .对于同一回旋加速器，其粒子回旋的最大半径是相同的.d .若已知最大能量为E km ，则回旋次数n ＝qUE 2k m e .最大动能：E km ＝mr B q 22m 22 f .粒子在回旋加速器内的运动时间：t ＝UBr 2π2m (3)速度选择器①原理：如图所示，由于所受重力可忽略不计，运动方向相同而速率不同的正粒子组成的粒子束射入相互正交的匀强电场和匀强磁场所组成的场区中，已知电场强度为B ，方向垂直于纸面向里，若粒子运动轨迹不发生偏转(重力不计)，必须满足平衡条件：qBv ＝qE ，故v ＝BE ，这样就把满足v ＝BE 的粒子从速度选择器中选择出来了. ②特点：a .速度选择器只选择速度(大小、方向)而不选择粒子的质量和电荷量，如上图中若从右侧入射则不能穿过场区.b .速度选择器B 、E 、v 三个物理量的大小、方向互相约束，以保证粒子受到的电场力和洛伦兹力等大、反向，如上图中只改变磁场B 的方向，粒子将向下偏转.c .v ′>v ＝B E 时，则qBv ′>qE ，粒子向上偏转；当v ′<v ＝BE 时，qBv ′<qE ，粒子向下偏转. ③要点深化a .从力的角度看，电场力和洛伦兹力平衡qE ＝qvB ；b .从速度角度看，v ＝BE ； c .从功能角度看，洛伦兹力永不做功.(4)电磁流量计①如图所示，一圆形导管直径为d ，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体流过导管.②原理：导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下横向偏转，a 、b 间出现电势差，形成电场.当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a 、b 间的电势差就保持稳定.由Bqv ＝Eq ＝dU q ，可得v ＝Bd U 液体流量Q ＝Sv ＝4π2d ·Bd U ＝BdU 4π (5)霍尔效应如图所示，高为h 、宽为d 的导体置于匀强磁场B 中，当电流通过导体时，在导体板的上表面A 和下表面A ′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压.设霍尔导体中自由电荷(载流子)是自由电子.图中电流方向向右，则电子受洛伦兹力 向上 ，在上表面A 积聚电子，则qvB ＝qE ，E ＝Bv ，电势差U ＝Eh ＝Bhv .又I ＝nqSv导体的横截面积S ＝hd得v ＝nqhdI 所以U ＝Bhv ＝dBI k nqd BI k=nq1，称霍尔系数．重点难点突破一、解决复合场类问题的基本思路1.正确的受力分析.除重力、弹力、摩擦力外，要特别注意电场力和磁场力的分析.2.正确分析物体的运动状态.找出物体的速度、位置及其变化特点，分析运动过程，如果出现临界状态，要分析临界条件.3.恰当灵活地运用动力学三大方法解决问题.(1)用动力学观点分析，包括牛顿运动定律与运动学公式.(2)用动量观点分析，包括动量定理与动量守恒定律.(3)用能量观点分析，包括动能定理和机械能(或能量)守恒定律.针对不同的问题灵活地选用，但必须弄清各种规律的成立条件与适用范围.二、复合场类问题中重力考虑与否分三种情况1.对于微观粒子，如电子、质子、离子等一般不做特殊交待就可以不计其重力，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等不做特殊交待时就应考虑其重力.2.在题目中有明确交待是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单.3.直接看不出是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果，先进行定性确定是否要考虑重力.典例精析1.带电粒子在复合场中做直线运动的处理方法【例1】如图所示，足够长的光滑绝缘斜面与水平面间的夹角为α(sin α＝0.6)，放在水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E ＝50 V/m ，方向水平向左，磁场方向垂直纸面向外.一个电荷量q ＝＋4.0×10－2 C 、质量m ＝0.40 kg 的光滑小球，以初速度v 0＝20 m/s 从斜面底端向上滑，然后又下滑，共经过3 s 脱离斜面.求磁场的磁感应强度(g 取10 m/s 2).【解析】小球沿斜面向上运动的过程中受力分析如图所示.由牛顿第二定律，得qE cos α＋mg sin α＝ma 1，故a 1＝g sin α＋mqE α cos ＝10×0.6 m/s 2＋40.08.050100.42⨯⨯⨯- m/s 2＝10 m/s 2，向上运动时间t 1＝100a v --＝2 s 小球在下滑过程中的受力分析如图所示.小球在离开斜面前做匀加速直线运动，a 2＝10 m/s 2运动时间t 2＝t －t 1＝1 s脱离斜面时的速度v ＝a 2t 2＝10 m/s在垂直于斜面方向上有：qvB ＋qE sin α＝mg cos α故B ＝T 106.050-T 10100.48.01040.0 sin cos 2⨯⨯⨯⨯⨯=--v E qv mg αα＝5 T 【思维提升】(1)知道洛伦兹力是变力，其大小随速度变化而变化，其方向随运动方向的反向而反向.能从运动过程及受力分析入手，分析可能存在的最大速度、最大加速度、最大位移等.(2)明确小球脱离斜面的条件是F N ＝0.【拓展1】如图所示，套在足够长的绝缘粗糙直棒上的带正电小球，其质量为m ，带电荷量为q ，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放入沿水平方向且互相垂直的匀强磁场和匀强电场中.设小球电荷量不变，小球由静止下滑的过程中( BD )A.小球加速度一直增大B.小球速度一直增大，直到最后匀速C.杆对小球的弹力一直减小D.小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变【解析】小球由静止加速下滑，f 洛＝Bqv 在不断增大，开始一段，如图(a)：f 洛<F 电，水平方向有f 洛＋F N ＝F 电，加速度a ＝mf mg -，其中f ＝μF N ，随着速度的增大，f 洛增大，F N 减小，加速度也增大，当f 洛＝F 电时，a 达到最大；以后如图(b)：f 洛>F 电，水平方向有f 洛＝F 电＋F N ，随着速度的增大，F N 也增大，f 也增大，a ＝mf mg -减小，当f ＝mg 时，a ＝0，此后做匀速运动，故a 先增大后减小，A 错，B 对，弹力先减小后增大，C 错，由f 洛＝Bqv 知D 对.2.灵活运用动力学方法解决带电粒子在复合场中的运动问题【例2】如图所示，水平放置的M 、N 两金属板之间，有水平向里的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.5 T.质量为m 1＝9.995×10－7 kg 、电荷量为q ＝－1.0×10－8 C 的带电微粒，静止在N 板附近.在M 、N 两板间突然加上电压(M 板电势高于N 板电势)时，微粒开始运动，经一段时间后，该微粒水平匀速地碰撞原来静止的质量为m 2的中性微粒，并粘合在一起，然后共同沿一段圆弧做匀速圆周运动，最终落在N 板上.若两板间的电场强度E ＝1.0×103 V/m ，求：(1)两微粒碰撞前，质量为m 1的微粒的速度大小；(2)被碰撞微粒的质量m 2；(3)两微粒粘合后沿圆弧运动的轨道半径.【解析】(1)碰撞前，质量为m 1的微粒已沿水平方向做匀速运动，根据平衡条件有m 1g ＋qvB ＝qE解得碰撞前质量m 1的微粒的速度大小为v ＝5.0100.11010995.9100.1100.187381⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=----qB g m qE m/s ＝1 m/s (2)由于两微粒碰撞后一起做匀速圆周运动，说明两微粒所受的电场力与它们的重力相平衡，洛伦兹力提供做匀速圆周运动的向心力，故有(m 1＋m 2)g ＝qE解得m 2＝g qE 1m -=)10995.910100.1100.1(738--⨯-⨯⨯⨯ kg ＝5×10－10 kg (3)设两微粒一起做匀速圆周运动的速度大小为v ′，轨道半径为R ，根据牛顿第二定律有qv ′B ＝(m 1＋m 2)Rv 2' 研究两微粒的碰撞过程，根据动量守恒定律有m 1v ＝(m 1＋m 2)v ′以上两式联立解得R ＝5.0100.1110995.9)(87121⨯⨯⨯⨯=='+--qB v m qB v m m m≈200 m 【思维提升】(1)全面正确地进行受力分析和运动状态分析，f洛随速度的变化而变化导致运动状态发生新的变化.(2)若mg 、f 洛、F 电三力合力为零，粒子做匀速直线运动.(3)若F 电与重力平衡，则f 洛提供向心力，粒子做匀速圆周运动.(4)根据受力特点与运动特点，选择牛顿第二定律、动量定理、动能定理及动量守恒定律列方程求解.【拓展2】如图所示，在相互垂直的匀强磁场和匀强电场中，有一倾角为θ的足够长的光滑绝缘斜面.磁感应强度为B ，方向水平向外；电场强度为E ，方向竖直向上.有一质量为m 、带电荷量为＋q 的小滑块静止在斜面顶端时对斜面的正压力恰好为零.(1)如果迅速把电场方向转为竖直向下，求小滑块能在斜面上连续滑行的最远距离L 和所用时间t ；(2)如果在距A 端L /4处的C 点放入一个质量与滑块相同但不带电的小物体，当滑块从A点静止下滑到C 点时两物体相碰并黏在一起.求此黏合体在斜面上还能再滑行多长时间和距离？【解析】(1)由题意知qE ＝mg场强转为竖直向下时，设滑块要离开斜面时的速度为v ，由动能定理有(mg ＋qE )L sin θ＝221mv ，即2mgL sin θ＝221mv 当滑块刚要离开斜面时由平衡条件有qvB ＝(mg ＋qE )cos θ，即v ＝qBmg θ cos 2 由以上两式解得L ＝θθ sin cos 2222B q g m 根据动量定理有t ＝θθ cot sin 2qBm mg mv = (2)两物体先后运动，设在C 点处碰撞前滑块的速度为v C ，则2mg ·4L sin θ＝21mv 2 设碰后两物体速度为u ，碰撞前后由动量守恒有mv C ＝2mu设黏合体将要离开斜面时的速度为v ′，由平衡条件有qv ′B ＝(2mg ＋qE )cos θ＝3mg cos θ由动能定理知，碰后两物体共同下滑的过程中有3mg sin θ·s ＝21·2mv ′2－21·2mu 2 联立以上几式解得s ＝12sin cos 32222L B q g m -θθ 将L 结果代入上式得s ＝θθ sin 12cos 352222B q g m 碰后两物体在斜面上还能滑行的时间可由动量定理求得t ′＝qBm mg mu v m 35 sin 322=-'θcot θ【例3】在平面直角坐标系xOy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从y 轴正半轴上的M 点以速度v 0垂直于y 轴射入电场，经x 轴上的N 点与x 轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y 轴负半轴上的P 点垂直于y 轴射出磁场，如图所示.不计重力，求：(1)M 、N 两点间的电势差U MN ；(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r ；(3)粒子从M 点运动到P 点的总时间t .【解析】(1)设粒子过N 点时的速度为v ，有v v 0＝cos θ ① v ＝2v 0 ②粒子从M 点运动到N 点的过程，有qU MN ＝2022121mv mv - ③ U MN ＝3mv 20/2q ④(2)粒子在磁场中以O ′为圆心做匀速圆周运动，半径为O ′N ，有qvB ＝rmv 2⑤ r ＝qBmv 02 ⑥ (3)由几何关系得ON ＝r sin θ⑦ 设粒子在电场中运动的时间为t 1，有ON ＝v 0t 1 ⑧ t 1＝qB m 3 ⑨粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝qB m π2 ⑩设粒子在磁场中运动的时间为t 2，有t 2＝2ππθ-T ⑪ t 2＝qB m 32π ⑫t ＝t 1＋t 2＝qBm 3π)233(+ 【思维提升】注重受力分析，尤其是运动过程分析以及圆心的确定，画好示意图，根据运动学规律及动能观点求解.【拓展3】如图所示，真空室内存在宽度为s ＝8 cm的匀强磁场区域，磁感应强度B ＝0.332 T ，磁场方向垂直于纸面向里.紧靠边界ab 放一点状α粒子放射源S ，可沿纸面向各个方向放射速率相同的α粒子.α粒子质量为m＝6.64×10－27 kg ，电荷量为q ＝＋3.2×10－19 C ，速率为v＝3.2×106 m/s.磁场边界ab 、cd 足够长，cd 为厚度不计的金箔，金箔右侧cd 与MN 之间有一宽度为L ＝12.8 cm 的无场区域.MN 右侧为固定在O 点的电荷量为Q ＝－2.0×10－6 C 的点电荷形成的电场区域(点电荷左侧的电场分布以MN 为边界).不计α粒子的重力，静电力常量k ＝9.0×109 N·m 2/C 2，(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)金箔cd 被α粒子射中区域的长度y ；(2)打在金箔d 端离cd 中心最远的粒子沿直线穿出金箔，经过无场区进入电场就开始以O 点为圆心做匀速圆周运动，垂直打在放置于中心线上的荧光屏FH 上的E 点(未画出)，计算OE 的长度；(3)计算此α粒子从金箔上穿出时损失的动能.【解析】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB ＝m Rv 2，得R ＝Bqmv ＝0.2 m如图所示，当α粒子运动的圆轨迹与cd 相切时，上端偏离O ′最远，由几何关系得O ′P ＝22)(s R R --＝0.16 m 当α粒子沿Sb 方向射入时，下端偏离O ′最远，由几何关系得O ′Q ＝)(2s R R --＝0.16 m故金箔cd 被α粒子射中区域的长度为y ＝O ′Q ＋O ′P ＝0.32 m(2)如上图所示，OE 即为α粒子绕O 点做圆周运动的半径r .α粒子在无场区域做匀速直线运动与MN 相交，下偏距离为y ′，则 tan 37°＝43，y ′＝L tan 37°＝0.096 m 所以，圆周运动的半径为r ＝︒'+'37 cos Q O y ＝0.32 m (3)设α粒子穿出金箔时的速度为v ′，由牛顿第二定律有k r v m rQq 22'= α粒子从金箔上穿出时损失的动能为ΔE k ＝21mv 2－21mv ′2＝2.5×10－14 J3.带电体在变力作用下的运动【例4】竖直的平行金属平板A 、B 相距为d ，板长为L ，板间的电压为U ，垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的磁场只分布在两板之间，如图所示.带电荷量为＋q 、质量为m 的油滴从正上方下落并在两板中央进入板内空间.已知刚进入时电场力大小等于磁场力大小，最后油滴从板的下端点离开，求油滴离开场区时速度的大小.【错解】由题设条件有Bqv ＝qE ＝qdU ，v ＝Bd U ；油滴离开场区时，水平方向有Bqv ＋qE ＝ma ，v 2x ＝2a ·mqU d 22= 竖直方向有v 2y ＝v 2＋2gL 离开时的速度v ′＝m qU dB U gL v v y x 2222222++=+ 【错因】洛伦兹力会随速度的改变而改变，对全程而言，带电体是在变力作用下的一个较为复杂的运动，对这样的运动不能用牛顿第二定律求解，只能用其他方法求解.【正解】由动能定理有mgL ＋qE 212122-'=v m d mv 2 由题设条件油滴进入磁场区域时有Bqv ＝qE ，E ＝U /d由此可以得到离开磁场区域时的速度v ′＝m qU dB U gL ++2222 【思维提升】解题时应该注意物理过程和物理情景的把握，时刻注意情况的变化，然后结合物理过程中的受力特点和运动特点，利用适当的解题规律解决问题，遇到变力问题，特别要注意与能量有关规律的运用.【例5】回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，如图所示。
一. 教学内容：带电粒子在磁场、复合场中的运动二. 教学过程：（一）洛伦兹力1、方向的判定：（1）洛伦兹力的方向可以用____________判定。
（2）判定洛伦兹力的方向要注意区分粒子____________。
2、计算公式：（1）当v与B垂直时，F＝____________。
（2）当v与B夹角为时，F＝____________。
3、洛伦兹力的特点：方向始终和带电粒子速度方向垂直，故永远不对运动电荷_________。
（二）带电粒子在匀强磁场和复合场中的运动1、匀速圆周运动（1）条件：带电粒子初速度____________磁感线方向射入匀强磁场。
（2）向心力：洛伦兹力提供向心力，即qvB＝____________，并可结合圆周运动公式推导出r＝____________，T＝____________等。
2、带电粒子在复合场中运动的应用（1）速度选择器（2）磁流体发电机（3）电磁流量计（4）霍耳效应共同的规律公式：____________。
三. 重点知识和规律：（一）带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子仅受洛仑兹力时的匀速圆周运动，是比较常见的一种运动形式，也是考查得比较频繁的一类题目。
通常所涉及到的有完整的圆周运动和部分圆周运动。
这类题目的解决办法是九个字：找圆心，定半径，画轨迹。
找圆心，就是根据题目所描述的已知条件，找出带电粒子做圆周运动的圆心（找圆心的方法参见特别提示）；定半径，根据平面几何的知识（一般是三角形的关系：边边关系、边角关系、全等、相似等等），表示出带电粒子做圆周运动的半径来，以便利用相关的规律列方程；画轨迹，并不是可有可无的，一个准确的图形可以帮助判断分析问题的正确与否，对顺利的确定半径也很有帮助。
带电粒子做匀速圆周运动的圆心及运动时间的确定的方法圆心的确定：通过速度的垂线ab，弦ac的垂直平分线de，入射速度与出射速度夹角的角平分线fe，三线中的任意两线来定。
如图所示。
时间的确定：，式中为弧长，v为线速度，θ为圆心角，ω为角速度，T为周期。
1、圆心的确定：由圆周运动的特点和几何关系，可以用图所示方法：（1）圆心在入射点和出射点所受洛伦兹力作用线的交点上，即线速度垂线的交点上。
（2）圆心在入射点和出射点连线构成的弦的中垂线上。
2、带电粒子在不同边界磁场中的运动（1）直线边界（进出磁场具有对称性）（2）平行边界（存在临界条件）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）3、运动时间的确定：根据带电粒子在磁场中做圆周运动的周期，确定粒子转过的圆弧所对应的圆心角，由或即可确定。
［特别提醒］（1）注意临界条件的挖掘，例如刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
（2）由于各种因素的影响，带电粒子在磁场中的运动问题可出现多解，如带电粒子电性不确定、磁场方向不确定，临界状态不惟一等。
（二）带电粒子在复合场中的运动规律带电粒子在复合场中做什么运动，取决于合外力及其初速度，因此处理问题时要把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，灵活运用不同规律解决问题。
1、匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时的运动，加速度选择器，这类问题列平衡方程即可求解。
2、匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子可以在洛伦兹力的作用下，在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，这类问题可根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿定律结合圆周运动规律，以及其他力的平衡条件求解。
3、较复杂的曲线运动当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹不是圆弧，也不是抛物线，且不可能是匀变速运动，这类问题只能用功能关系（动能定理或能量守恒定律）求解。
4、分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成，例如质谱仪中，带电粒子先通过加速电场，再通过速度选择器，最后在磁场中偏转，不同阶段要选择不同的规律，列出相应的方程。
【典型例题】一、带电粒子在有界磁场中的运动例1.（2007·杭州模拟）两个同位素离子质量分别为和（），经同一电场加速后，进入顶角为30°的三角形磁场区域，进入的速度方向与磁场边界垂直，如图所示，两种离子均能穿过磁场区域，其中质量为的离子射出时速度方向恰与边界垂直，另一质量为的离子射出时速度方向与边界成角（角为钝角且为弧度单位）。
（1）求质量分别为的两种同位素离子在磁场中运动半径之比；（2）若质量为的离子穿过磁场用时为t，求质量为的离子穿过磁场所用的时间。
思路点拨：先利用加速电场中关系式：，再根据洛伦兹力提供向心力，由可求出半径之比，然后由周期公式，确定圆心角，即可求离子在磁场中的运动时间。
标准解答：（1）两个同位素离子，其电量相等设为q，经同一电场加速后速度为v，则且解得即两种离子的运动半径之比为（2）根据带电粒子在磁场中运动的周期，质量为的离子在磁场中运动所对应的圆心角为，所以运动的时间为由几何知识可得质量为的离子在磁场中运动所对应的圆心角所以它在磁场中的运动时间t′为二、带电粒子在不同边界磁场中运动例2. （2007·临沂期末）如图所示在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B＝0.10T，磁场区域半径，左侧区圆心为，磁场向里，右侧区圆心为，磁场向外，两区域切点为C，今有质量，带电荷量C的某种离子，从左侧边缘的A点以速度正对的方向垂直射入磁场，它将穿越C点后再从右侧区域穿出，求：（1）该离子通过两磁场区域所用的时间；（2）离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？（侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离）思路点拨：（1）带电粒子进入圆形边界的磁场沿半径方向射入，必沿半径方向射出。
（2）粒子在左右两区域的运动轨迹具有对称性。
标准解答：（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，在左右两区域的运动轨迹是对称的，如图所示，设轨迹半径为R，圆周运动的周期为T。
由牛顿第二定律①又：②联立①②得：③④将已知代入③得R＝2m ⑤由轨迹图知：，即则全段轨迹运动时间：⑥联立④⑥并代入已知得（2）在图中过向作垂线，联立轨迹对称关系侧移距离将已知代入得三、电偏转和磁偏转的综合例3.（2007·福州期末）如图甲所示，电子从加速电场的O点出发（初速度不计），经电压为的加速电场后沿中心线进入两平行金属板MN间的匀强电场中，通过电场后打到荧光屏上的P点处，设M、N板间的电压为，两极板间距离d与板长l相等，均为L，已知，电子的比荷，求：（1）电子进入偏转电场时的速度；（2）电子离开偏转电场时的偏转角度；（3）若撤去M、N间的电压，而在两平行板间直径为L的圆形区域内加一方向垂直纸面向里的匀强磁场（如图乙所示，圆心恰好在平行板的正中间），要使电子通过磁场后仍打在荧光屏上的P点处，则磁感应强度B的大小为多大？思路点拨：（1）由动能定理即可求得电子经加速电场加速后的速度。
（2）电子在偏转电场中的运动为类平抛运动，偏转角。
（3）电子在磁场中偏转仍到P点，偏转角不变，因此可以由几何关系和洛伦兹力提供向心力求解磁感应强度。
标准解答：（1）根据动能定理求得：（2）电子在偏转电场中做类平抛运动，联立以上式子代入数据得：。
（3）加磁场后，电子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周轨道为R，磁场半径r＝0.5L，要使电子通过磁场后仍打在P点，偏向角。
由几何知识得：洛伦兹力提供向心力，即整理并代入数据得：四、带电粒子在复合场中的运动1. 带电粒子在复合场中的运动这一类严格来说不能叫在复合场中的运动，它只是在不同场中的运动，先在电场中应用电场中的物理规律，如式①；再在磁场中，应用磁场的物理规律，即定圆心，找半径，画轨迹的办法来解决，如式②③。
即分析清楚题目中所描述的物理情景，分清几个过程，针对不同的物理过程遵循的物理规律列方程例4. 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。
磁场方向垂直于圆面。
磁场区的中心为O，半径为r。
当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。
为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度 ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？（全国理综卷）解析：电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。
如图所示。
以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则eU＝mv2①evB＝②又有tg＝③由以上各式解得B＝④2. 带电粒子在电磁场中的匀速直线运动带电粒子在电磁场中做匀速直线运动时，合外力为零。
例5. 在如图所示的平行板器件中，电场E和磁场B相互垂直。
如果电荷q具有适当的速度，它将沿图中所示虚线穿过两板的空间而不发生偏转。
这种器件能把具有上述唯一速度的粒子选择出来，所以叫作速度选择器。
试证明这种粒子必须具有的速率为，才能沿着图示的虚线路径通过。
解析：该题考查带电粒子在电场和磁场中的运动。
通过粒子的轨迹说明粒子的运动，通过粒子的运动说明粒子的受力情况。
粒子既受电场力，又受洛仑兹力，在二力的作用下，能沿直线运动，则一定做匀速直线运动。
故而有，即：3. 带电粒子在复合场中的匀速圆周运动复合场指的是重力场、电场、磁场都存在所形成的场。
此时做匀速圆周运动所需要的向心力由洛仑兹力提供，而重力和电场力平衡。
例6. 如图所示，带电液滴从h高处自由落下，进入一个匀强电场与匀强磁场互相垂直的区域，磁场方向垂直纸面，电场强度为E，磁感应强度为B，已知液滴在此区域中做匀速圆周运动，则圆周的半径R＝_______________。
（上海高考卷）解析：进入磁场前的速度由动能定理（或机械能守恒定律）得：mgh＝mv2，解得v＝。
在复合场内，由于粒子在竖直平面内做匀速圆周运动，故有mg＝qE。
圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，即：qvB＝m，联立解得R＝4. 带电物体在复合场中的其它运动例7. 一根光滑绝缘的细杆MN处于竖直面内，与水平面夹角为37°。
一个范围较大的水平方向的匀强磁场与细杆相垂直，磁感应强度为B。
质量为m的带电小环沿细杆下滑到图中的P处时，向左上方拉杆的力大小为0.4mg，已知小环的带电量为q。
问：（1）小环带的是什么电？（2）小环滑到P处时速度有多大？（3）在离P点多远处，小环与细杆之间没有挤压？解析：（1）小环下滑时所受的洛伦兹力总是垂直于细杆方向的，只有垂直杆向上才可能使小环向左上方拉杆，由左手定则可判定小环带负电。
（2）小环运动到P处时，受重力mg、洛伦兹力F、杆的弹力T如图所示。
在垂直于杆的方向上，小环受重力的分力F2，杆的拉力T和洛伦兹力F互相平衡，即Bqv＝T＋mg cos37°解得环滑到P点的速度v＝1.2mg/Bq（3）从上问的受力分析可知，当洛伦兹力F′＝mg cos37°时，环与杆之间无挤压，设此时环速度为v′，则Bqv′＝0.8mg，即v′＝0.8mg/Bq。
