2018版高考数学总复习专题10排列组合二项式定理选修部分分项练习理

一．基础题组1.【河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试数学（理）试题】学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，没接至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种 【答案】B 【解析】考点：排列、组合及简单计数问题．2.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】在二项式n的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理数都互不相邻的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．512【答案】D 【解析】试题分析：展开式通项为1rn rr r nT C -+=2342n rr rn C x --=⋅⋅（0r n ≤≤），由题意1100222222n n n C C C --⋅=⋅+⋅，8n =．所以当0,4,8r =时1634r-为整数，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为636799512A A P A ==．故选D ．考点：二项式定理，古典概型．【名题点睛】本题考查二项式定理与古典概型概率计算，考查等差数列的概念．首先应正确掌握二项式定理，由二项展开式通项公式得各项系数，由等差数列的定义可求得指数n 值，由二项展开式通项中判断有理项的个数为3,9个数全排列，其中求3个有理数互不相邻的方法数时用插入法，即把6个无理数排列，形成7个空档（含两头的），在这7个空档中选取3个排列这3个有理数可得方法数．3.【湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）理科数学试题】现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（ ） A ．12 B ．24C ．36D ．48【答案】B 【解析】考点：排列组合．4.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个【答案】B 【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B .考点：排列组合.5.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】设2sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项是 . 【答案】－332 【解析】 试题分析：()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-． 考点：二项式定理的应用，定积分．6.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 【答案】45 【解析】考点：二项式定理.7.【河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试数学（理）试题】已知()7270127x m a a x a x a x -=+++ 的展开式中4x 的系数是-35，则127a a a ++= .【答案】1 【解析】试题分析：∵()()772701270x m a a x a x a x a m -=+++⋯+∴=-，．又展开式中4x 的系数是35-，可得()347351C m m ⋅-=-∴=，．∴()701a m =-=．在()7270127x m a a x a x a x -=+++⋯+①，令11x m ==，时，由①可得1201a a a =+++⋯+，当01x m ==，时，01a =-，即1237 1a a a a +++⋯+=．故答案为：1．考点：二项式系数的性质．8.【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试数学（理）试题】若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_______.【答案】15- 【解析】试题分析：在nxx )3(-的展开式中，令1x =，可得nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为2104210242nn===，∴5n =．故53)x展开式的通项公式为()531523r r rr T C x -+=-⋅⋅，令5312r-=，求得1r =，故展开式中x 项的系数为15-． 考点：二项式定理．【思路点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质.根据nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为41024n=，求得5n =．在53)x展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求得r 的值，可得展开式中x 项的系数． 二．能力题组1.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】现定义θθθsin cos i ei +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适用，若θθθθθ4452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（）A ．θθ5sin 5cos i +B ．θθ5sin 5cos i -C ．θθ5cos 5sin i + D ．θθ5cos 5sin i - 【答案】A. 【解析】考点：1.二项式定理；2.新定义问题．【技巧点拨】1.二项展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性；2.“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法3.“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法.2.【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考数学（理）试题】已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于( ) A ．－5 B ．5 C ．90 D ．180 【答案】D 【解析】试题分析：因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ． 考点：二项式定理 【方法点睛】1.求二项展开式项的系数一般分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2. 明确二项展开式是按那两项展开，有时需作调整.3.【河北省冀州市中学2016届高三上学期一轮复习检测一数学（理）试题】已知51(1)(1)x x-+g 的展开式中(15)r x r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________． 【答案】2. 【解析】考点：1、二项式定理.【易错点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生应用知识的能力和知识的迁移能力，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对二项式定理的公式不熟练，记忆不牢固，进而导致出现错误；其二是不能准确的化简、整理、计算，从而导致出现错误.因此，其解题的关键是正确地运用二项式定理解决实际问题.。

第三节二项式定理[考纲传真]会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )[解析] (1)错误．应为第k ＋1项．(2)错误．当n 为偶数时，为中间一项；n 为奇数时，为中间的两项． (3)正确．二项式系数只与n 和项数有关．(4)错误．令x ＝1，可得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B.6 C.5D.4B [(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n .依题意，得C 2n ＝15，解得n＝6(n ＝－5舍去)．]3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7 B.7 C.－28D.28B [由题意知n 2＋1＝5，解得n ＝8，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k 2k －8C k 8x 8－43k . 令8－4k3＝0得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.]4．(2016·北京高考)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)60 [依二项式定理，含x 2的项为展开式的第3项．∴展开式中T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2，则x 2的系数为60.]5．(2017·济南模拟)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________.－1 [(1＋x )5＝1＋C 15x ＋C 25x 2＋C 35x 3＋C 45x 4＋C 55x 5. ∴(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的项为(C 25＋C 15a )x 2，依题意得10＋5a ＝5，解得a ＝－1.]通项公式及其应用) A ．10 B.20 C.30D.60(2)(2016·山东高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.(1)C (2)－2 [(1)法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.] [规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．[变式训练1] (1)(2017·东北四校联考)若⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3 B.4 C.5D.6(2)(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)(1)C (2)10 [(1)二项展开式的通项若T r ＋1是常数项，则6n －15r 2＝0，即n ＝54r . 又n ∈N *，故n 的最小值为5.(2)(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝25－r ·C r 5·令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]二项式系数与各项系数和n 系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )【导学号：01772387】A ．212B.211C.210D.29(2)(2017·福州质检)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________.(1)D (2)0 [(1)∵(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.从而C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210，∴奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29.(2)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1－2)4＝1. 又令x ＝0，得a 0＝(1－0)4＝1. 因此a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0.][迁移探究1] 若本例(2)中条件不变，问题变为“求a 0＋a 2＋a 4的值”，则结果如何？[解] 在(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1. ①4分 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝34. ②8分 由①＋②，可得a 0＋a 2＋a 4＝12(34＋1)＝41.12分[迁移探究2] 若将本例(2)变为“若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．” －1 [令x ＝0，得a 0＝(1－0)2 016＝1. 令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0， ∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.][规律方法] 1.第(1)小题求解的关键在于求n ，本题常因把“n 的等量关系表示为C 4n ＝C 8n ”，错求n ＝12；第(2)小题主要是“赋值”求出a 0与各项系数的和．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.[变式训练2](2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.3[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]二项式定理的应用(1)(2017·豫东名校模拟)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝()A．i B.－iC.－1＋iD.－1－i(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝()A．0 B.1C.11D.12(1)C(2)D[(1)x＝2i1－i＝－1＋i，C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i. (2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋ C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a 能被13整除，∴C 20122012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除． 因此a 可取值12.][规律方法] 1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用．2．第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．3．运用二项式定理要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数；②二项式定理的逆用．[变式训练3]设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图10-3-1所示，则a ＝________.【导学号：01772388】图10-3-13 [由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)． 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的通项公式T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.][思想与方法]1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N *)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r 是展开式的第r ＋1项，不是第r 项．2．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．3．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．[易错与防范]1．二项式的通项易误认为是第k 项，实质上是第k ＋1项．2．(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0,1，…，n )．。

高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将对这两个知识点进行总结和说明。

1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。

组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。

排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。

1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。

二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。

二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。

其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。

二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。

它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。

3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。

例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。

2018届高三理科数学复习讲义 排列组合二项式定理高考定位一．考场传真1. 【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35 【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 2．【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C3．【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法。

故选D 。

4．【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．5．【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案】16，46．【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】 1080【解析】413454541080A C C A +=7．【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .【答案】()13nx +2x 54n =4【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求排列、组合、二项式定理（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理：①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.命题规律：(1)排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易. ()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅2r =22C 354n ⋅=4n =(2)排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量最多是一道，分值为5分，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．高考中对本讲注重基础知识和基本解题方法、规律的考查,以及运算能力的考查,基本都为中等难度试题.最近几个年份考查多少不一.(3)与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想. 考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．3．学法导航1. 切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．2. 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．3．解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 4. 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．5．运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r r n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r n C ，而后者是字母外的部分，对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法. 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +. 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏. 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.主干整合归纳拓展一．基础知识整合基础知识：1.应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．2.排列、组合数公式及相关性质（1）排列数公式：()()()121+---=m n n n n A m n ()!m n n -=！(,,*)≤∈m n m n N ；*)(12)1(!N n n n n A n n ∈⨯⨯⨯-⨯== . （2）组合数公式()(1)(1)!(,,*)(1)21!!⋅-⋅⋅-+===≤∈⋅-⋅⋅⋅- m mn nm m A n n n m n C m n m n N A m m m n m . （3）排列数与组合数的性质排列:11-++=m n m n m n mA A A ；组合:11-++=m nm n m n C C C (,,*)≤∈m n m n N , =k n kC 11k n nC --. 3. 二项式定理()()011*n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数r n C (0,1,2,3,,r n = )叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=.4．二项展开式形式上的特点(1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .5. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n nC C =，11n n n C C -=， ，m n m n n C C -=. (2)增减性与最大值：二项式系数r n C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2nn C 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n n C+ 和12n nC -相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()n a b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r n n n n n n C C C C +++++= ，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=二．高频考点突破考点1 分类计数原理与分步计数原理【例1】将3本相同的诗集，2本相同的小说全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）A ．24种B ．28种C ．32种D ．36种【分析】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.【规律方法】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．【举一反三】【2018江西南昌摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种【答案】A考点2 排列、组合及性质【例2】化简:+2+3+…+n = ．分析：通过组合数性质=将原式转化成相同的系数，然后利用性质可化简原式得到.解析：=，原式=+n +n +n +…+n =++++…+)=． 【规律方法】通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组.【举一反三】设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，． （1）证明：当，时，；（2）记，求的值．1n C 2n C 3n C n n C k n kC 11k n nC --n n n n n n C C C C 2210=++++ 12- n n k n kC 11k n nC --∴01n nC -11n C -21n C -31n C -11n n C --01(n n C -11n C -21n C -31n C -11n n C --12-n n 01212(1)m m n n n n n m S C C C C ---=-+-+- *,m n ∈N m n <n 2n m =n 12n m -=*n ∈N 2n ≥11n n n S S S +-=-01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+- S考点3 排列、组合的应用【例3】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 【答案】B【解析】先排星期五,从人中选人有,种,再从剩下的人中选人参加星期六、星期日,有种,故共有种,选B.【规律方法】1.解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；5225C 3223A 225310660C A =⨯=(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．2.解决排列组合问题的13个策略.(1)特殊元素、特殊位置优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻(相间)问题插空法；(4)多排问题单排法； (5)多元问题分类法；(6)有序分配问题分步法；(7)交叉问题集合法；(8)至少或至多问题间接法；(9)选排问题先选后排法；(10)局部与整体问题排除法；(11)复杂问题转化法；（12）定序问题倍缩法；(13)相同元素分组可采用隔板法.3.对解组合问题，应注意以下四点：(1)对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；(2)是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；(3)设计“分组方案”是解组合题的关键所在；(4)分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.【举一反三】【2018黑龙江齐齐哈尔一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（）A. 300B. 338C. 600D. 768【答案】D考点4 二项式定理及应用【例4】已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ） A. B. C. D.【分析】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 【答案】C【规律方法】 1.二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 212-1e a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰212e +232e -232e +252e -1+r r 1+rr 1r n r rr n T C a b -+=()na b +()nb a +r n C n r a b①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.2. 排列组合在二项展开式中的应用：展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从个相同的中各取一个(或)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是，其中.(2)项数的确定：满足条件的共组． 即将展开共项，合并同类项后共项．r 1r T +n r 1r T +0x =()na b +n a b +a b p q ma b ,,p q N p q n ∈+=,,p q N p q n ∈+=(),p q 1n +()na b +2n1n +(3)系数的确定：展开式中含()项的系数为 (即个，个的排列数)因此展开式中的通项是： ()这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．3. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．4. 求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k 来，即得．5. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可． (2)求余数问题时，应明确被除式与除式 ()，商式与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．【举一反三】【2018陕西两校联考】()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A. 56B. 84C. 112D. 168 【答案】Dp q a b p q n +=p n C p a q b ()na b +1r n r rr n T C a b -+=0,1,2,3,,r n = ()()011*nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ()nax b +,a b R ∈1231,,,,n A A A A + k 11k k k k A A A A -+≥⎧⎨≥⎩()f x ()g x ()0g x ≠()q x考点5 赋值法在二项式定理中的应用【例5】若，则的值为（ ）A ．B ．C ．253D ．126【分析】赋值法研究二项式的系数和问题：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b)n 、(ax 2＋bx ＋c)m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by)n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 【答案】C【解析】令，得，，∴.选C ． 【规律方法】二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法，一般对任意，某式子恒成立，则对中的特殊值，该式子一定成立，特殊值如何选取视具体情况决定，灵活性较强，一般取居多.若则设.有：① ②③ ④⑤()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…0127a a a a ++++…2-3-1x =01283a a a a ++++=…()7822256a =⨯-=-0783253a a a ++=--=…A x ∈A x 1,1,0-=x 2012()...,n n n ax b a a x a x a x +=++++()()=+n f x ax b 0(0);a f =012...(1);n a a a a f ++++=0123...(1)(1);n n a a a a a f -+-++-=-0246(1)(1)...;2f f a a a a +-++++=1357(1)(1) (2)f f a a a a --++++=【举一反三】【2018东北名校联考】若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（ ）A. 0B. 1C. 32D. 1- 【答案】A考点6 二项式定理与其他知识交汇【例6】若，则展开式中常数项为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】因为，所以，，常数项为，故选B.【规律方法】二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向．如二项式定理与函数、数列、复数，不等式，三角等其他知识点综合成题时，对其他模块的知识点要能熟练运用.sin()2cos παα-=6tan ()x xα+5216052-160-sin()2cos παα-=sin 2cos ,tan 2x x x ==66tan 2()x x x x α⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭333336622160C x C x ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭【举一反三】若变量满足约束条件，，则取最大值时，二项展开式中的常数项为 .【答案】【解析】画出不等式组表示平面区域如图,由图象可知当动直线经过点时,取最大值.当时,故由二项式展开式的通项公式,由题设可得,所以展开式中的常数项是,故应填答案.原创预测 考题探究1. 2017年3月全国两会在北京召开，现从A 组4人和B 组5人中任取3人参加一项议程讨论，在取出的3人中至少有A 组和B 组各一人的不同取法有（A ）35种 （B ）70种 C. 80种 D. 140种y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+020202x y x y x 22-+=y x n n nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1224022++-=n x y )4,2(A 22-+=y x n 66=n r rr r r r r r xC xx C T ----+==26666612)1()2(026=--r r2=r 2402264=C 240【答案】B押题依据 本题主要考查分类计数原理、排列组合知识在实际中的应用，考查学生分类讨论的思想和逻辑运算变换的能力.本题是一个常规题,但考查的知识基础,有一定的综合性,符合小题综合化的高考要求.2. 设有序集合对满足：，.记，分别表示集合，中元素的个数，则符合条件，的集合的对数是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由条件，，知，.当，时，显然不成立；当，时，则，，所以，，符合条件的集合对有1对；当，时，则，，所以中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；当，时，则，，所以中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当，时，则，，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对，选D.押题依据 本题主要考查两个计数原理、排列组合的灵活应用，意在考查考生的分类讨论的数学思想方法，综合分析问题的能力.本题与集合结合出题,构思比较新.(,)A B {1,2,3,4,5,6,7,8}A B = A B =∅ ||A ||B A B ||A A ∉||B B ∉11224244||A A ∉||B B ∉||A B ∈||B A ∈||0A =||8B =||1A =||7B =7A ∈1B ∈{7}A ={1,2,3,4,5,6,8}B =||2A =||6B =6A ∈2B ∈A 16C 6=||3A =||5B =5A ∈3B ∈A 26C 15=||4A =||4B =4A ∈4B ∈2(01615)044++++=3. 某同学要用红、黄两种颜色给如下图中并排的七个矩形图形涂色，要求每一块矩形只涂一种颜色，要求任意两相邻的两块矩形至多有1块涂红色，且任意相邻三块矩形至少有一块矩形涂红色，则涂色方案有___________种．【答案】12押题依据 本题主要考查计数原理的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.涂色问题是高考常考题型，故选此题.4.若已知（）展开式中二项式系数的和为256，则该展开式中含项的系数为 ． 【答案】112【解析】由题知=256，所以=8，所以==，所以=-1，解得=6，所以展开式中含项的系数为=112． 押题依据 本题考查二项式定理，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个传统题型，也是高考常考题型，故押此题.(2n x n ∈*N x 12nn 1r T +828C (2)(1)r r r r x x ---38828(1)2C rr r r x ---382r-r x168668(1)2C --5. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】若，其中，则的值为 .【答案】押题依据 本题考查二项式定理，定积分求值，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，二项式定理，定积分结合出题，在高考中曾经出现过，故押此题.()()62701271x a x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+()π0sin cos da x x x =-⎰0126a a a a +++⋯+1。

第十章 排列、组台、二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质．1.（2007四川理）(本小题满分14分)设函数),1,(11)(N x n N n n x f n∈∈⎪⎭⎫⎝⎛+= 且.(Ⅰ)当x =6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。

考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是335631201C n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）证法一：因()()22112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥11211nn n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121nn ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭1121ln 12nn ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'1121ln 12nf x n n ⎛⎫⎛⎫≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证法二：因()()22112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥11211nn n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而()'11221ln 1nf x n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故只需对11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和1ln 1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行比较。

令()()ln 1g x x x x =-≥，有()'111x g x x x-=-=由10x x-=，得1x =因为当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1 故当1x >时，()()11g x g >=，从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+>故有111ln 1n n ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立。

高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?1 / 412021届高三数学专项训练〔 09〕?排列、组合二项式定理?一、选择题〔此题每题 5分，共60 分〕1．以下各式中，假设 1 k n, 与C n k不等的一个是〔〕A ．k 1C n k 11B ．nC n k 11 C ． n n C n k1D ．kn C n k 11n 12 kk n 12．二项式(x)7展开式的第 4项与第5项之和为零，那么x 等于 〔〕xA ．1B ．2C ．2D ．463．设(12x)10 a 1 a 2x a 3x 2a 11x 10，那么a 3 a 5 a 7 a 9 a 11等于 〔 〕A ． 10 1 B． 1 10 C ． 1 10 1) ． 1310 1 3 3 (3 () 2 D 24．从10名女学生中选 2名，40 名男生中选 3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 〔 〕A ．A 102A 403 ．C 102C 403A 42A 33 C ．C 102C 403A 55． 2 3 1040 B D CC5．用1，2，3，4，5，6，7七个数字排列组成七位数，使其中偶位数上必定是偶数，那么可得七位数的个数是 〔 〕 A ． 4 B ． 4 3 3 D ． 1 74 43 C ．6A 3 7AAAA26．假设( 3 2x)12 a 0 a 1xa 2x 2 a 12x 12，那么(a 1a 3 a 5 a 11)2 (a 0a 2 a 4 a 12)2的值是 〔 〕A ．1B ．－1 C ．2 D ．－27．在某次数学测验中，学号 i(i 1,2,3,4)的四位同学的考试成绩 f(i) {90,92,93,96,98} ，且满足f(1) f(2) f(3) f(4) ，那么这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 〔 〕 A ．9种 B ．5种 C ．23种 D ．15种 8．如果一个三位正整数形如“ a1a2a3〞满足a1 a 2且a 3 a 2 ，那么称这样的三位数为凸数〔如120、 363、374等〕，那么所有凸数个数为 〔 〕 A ．240 B ．218 C ．729 D ．920 9．使得多项式81x 4108x 3 54x 2 12x1能被5整除的最小自然数x 为 〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．410．假设( x 2 )n 展开式中存在常数项 ,那么n 的值可以是 〔 〕A ．8 3xB ．9C ．10 D ．1211．在 AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点〔均除O 点外〕，连同O 点m 点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有 〔A ．C m 1 1Cn 2 Cn 11Cm 2B ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C m 1C n 1D ．Cm 1Cn 21 C 12．二项式(2x2)9(x R)的展开式的第7项为 21,那么lim(xx 2x n )的2 4 nA ．1B． 1 C ． 3 D ． 344 44高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?2 / 42二、填空题〔此题每题 4分，共 16分〕13．二项式(1 1)10的展开式中含 15的项的系数________〔请用数字作答〕2x x14．某学校要从高三的 6个班中派 9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派 1人，那么这9 个名额的分配方案共有 种.〔用数字作答〕15．在(1 x x 2)(1x)10的展开式中，x 4项的系数是.16．(理)有四个好友A,B,C,D 经常通 交流信息,在通了三次 后这四人都得悉某一条高考信息,那么第一个 是 A 打的情形共有 种.(文)甲、乙、丙、丁、戊5 名学生进行投篮比赛，决出了第 1至第5名的不同名次，甲、乙两 人向裁判询问成绩。

第十章排列、组合与二项式定理1．（2018年北京卷）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ C ） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种2．（2018年全国卷）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72 种.（以数字作答）3．（2018年江苏卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 120 种.（以数字作答） 4．（2018年天津卷）92)21(x x -展开式中9x 的系数是 221- . 5．（2018年上海卷）已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.[解]（1）0122212223211112(1),a C a C a C a a q a q a q -+=-+=-0123233132333431111133(1).a C a C a C a C a a q a q a q a q -+-=-+-=-（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则nn n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a C q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(13322101133122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数。

专题 排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018广西三校九月联考】()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭求的展开式的常数项是（ ）A. 15B. -15C. 17D. -17 【答案】C∴()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是2×66ð+1×46ð=17故选：C.点睛：二项展开式求常数项问题主要是利用好通项公式，在进行分类组合很容易解决，注意系数的正负.2．【2018湖南省两市九月调研】若()2018201801201813,x a a x a x x R -=+++∈L ，则22018122018333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ）A. 201821- B. 201881- C. 20182 D. 20188【答案】B【解析】令0x =，得01a =.令3x =，得()20182201820180122018333198a a a a +⋅+⋅++⋅=-=L .所以22018201820181220180333881a a a a ⋅+⋅++⋅=-=-L . 故选B.3．【2018辽宁省辽南协作校一模】()4x y z ++的展开式共（ ）项 A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】因为()()()()()()444320122334444444x y z x y z C x y C x y z C x y z C x y z C z⎡⎤++=++=++++++++⎣⎦所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，应选答案B 。

4．【2018广东省海珠区一模】()()62x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（ ）A. 80-B. 40-C. 40D. 80 【答案】D5．【2018广西柳州市一模】已知2nx x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中第4项的二项式系数为20，则2nx x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 60- C. 80 D. 80- 【答案】A【解析】由题意可得3n ð=20，求得n=6，则2nx x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ =62xx x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展并式的通项公式为T r+1=6r ð•2r • 362x r -， 令6﹣32r =0，求得r=4，可得2nx x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展并式中的常数项为46ð•4=60. 点睛：利用二项式系数的性质求得n=6，在（x ﹣2x x）6的展并式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展并式中的常数项．6．【2018安徽省宣城市二模】二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A. －15B. 15C. －20D. 20 【答案】B【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式：()()3666221666111kk k k k k k k k k k T C x C x x C xx ----+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭.要使其为常数，则,即，常数项为.考点：二项式定理.7．【2018河南省新乡市三模】在的展开式中，系数为有理数的项为（ ）A. 第二项B. 第三项C. 第四项D. 第五项 【答案】B8．【2018内蒙古包钢一中一模】把5名师范大学的毕业生分配到A 、B 、C 三所学校，每所学校至少一人。

第十章 排列组合、二项式定理班级： 姓名：1、若n xx )1(+展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为（A ）52104C （B ）52103C （C ）52102C （D ）51102C2、现从8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学分别有（A ）男生5人，女生3人 （B ）男生3人，女生5人 （C ）男生6人，女生2人 （D ）男生2人，女生6人3、从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内，那么不同的放法共有（A ）48210A C 种 （B ）5919A C 种 （C ）5918A C 种 （D ）5819C C 种 4、登山运动员共10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要分配2人，那么不同的分组方法种数为（A ）240 （B ）120 （C ）60 （D ）30 5、在1003)23(+x 展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的项有（A ）50项 （B ）17项 （C ）16项 （D ）15项 6、在8)2(-x 的展开式中，x 的指数为正偶数的所有项的系数和为（A ）3281 （B ）－3281 （C ）－3185 （D ）3185 7、25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意3人不同行也不同列，则不同的选出方法种数为 （A ）600 （B ）300 （C ）100 （D ）608、某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校均只参观1天，则在这20天内不同的安排方法数是（A ）77320A C （B ）820A （C ）717118A C （D ）1818A 9、n xx2)1(-展开式中，常数项是 （A ）n n nC 2)1(- （B ）12)1(--n n n C （C ）121)1(++-n n n C （D ）n n C 210、乘积))()((n m r q p d c b a ++++++展开式的项数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）4811、某展览会一周（七天）内要接待三所学校学生参观，每天只安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观一天，则不同的安排方法的种数有（A ）210 （B ）50 （C ）60 （D ）12012、用1，3，5，7，9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C ＝0中的A 、B 、C ，若A 、B 、C 的值互不相同，则不同的直线共有（A ）25条 （B ）60条 （C ）80条 （D ）181条 13、用10元、5元和1元面值的钞票来购买20元的商品，不同的支付方法有（A ）9种 （B ）8种 （C ）7种 （D ）6种 14、从0，1，2，…，9这10个数字中，选出3个数字组成三位数，其中偶数个数为（A ）328 （B ）360 （C ）600 （D ）72015、某班级英语兴趣小组有5名男生和5名女生，现要从中选4名学生参加英语演讲比赛，要求男生、女生都有，则不同的选法有（A ）210种 （B ）200种 （C ）120种 （D ）100种16、A 、B 、C 、D 、E 五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A 、B 两种商品必须排在一起，而C 、D 两种商品不能排在一起，则不同的排法共有 种．17、4个人住进3个不同的房间，其中每个房间都不能空闲，则这4个人不同的住法种数是 种． 18、白子5个，黑子10个排成一横行，要求每个白子的右邻必须是黑子，则不同的排法种数为 ． 19、在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有 种． 20、从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中q ，u 相连且顺序不变）的不同排列共有 个．简明参考答案16、2417、3618、25219、418620、480。