高等数学重修班练习题三

数学分析（2）重修必做习题
**3.1关于实数的基本定理2；5；7；10；12；14；
**3.2 闭区间上连续函数的性质1；3；5；
*6.1 不定积分的概念及运算法则3；5（2）；
*6.2 不定积分的计算（一）1（1，3）；2（1，4）；
*6.2 不定积分的计算（二）1（1，2）；
*6.2 不定积分的计算（三）1（1，3）；
*6.2 不定积分的计算（四）1（2）；
*6.2 不定积分的计算（五）1（2）；2（1，2）；
7.4定积分的计算1；2；3（2，4，6，8，10）；4；5（1）；6
8.1平面图形的面积2～4；
8.2曲线的弧长1～3；
8.3体积1；3；4；5（1）；
8.4旋转曲面的面积1（2，3，4（ii））；
9.2级数的收敛性及其基本性质1（2）；2；4（1）；5
9.3正项级数1（2，3，4，6）；2；3
9.4 任意项级数1（2，3）；2（1）；4
9. 5 绝对收敛级数…的性质 2
10.1 无穷限的广义积分1（2）；2（2，4）；5；7
10.2 无界函数的广义积分（一）1（2）；2（2，4）；3
10.2 无界函数的广义积分（二）2；3
11.1 函数项级数的一致收敛（一、二）1（2，4）；2（1，2）；
11.1 函数项级数的一致收敛（二续）4；6；7（2）
11.1 函数项级数的一致收敛（三）8；9；11
11.1 函数项级数的一致收敛（四）13（1，2）；
11.2 幂级数（一、二）1（1，3）；4；
11.2 幂级数（三）5（1，4）；6（1，3）；7（1，2）
12.1 Fourier级数1；2（2）；3（1，2）
12.1 Fourier级数（续）4；5。

⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。

（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。

（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。

（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。

（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。

（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。

（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。

（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。

（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。

（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。

⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。

1.A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是 . 2.=+→x x x 0lim ,=-→x x x 0lim ,xx x f =)(在0=x 处的极限情况为 . 3.01sin lim 0=→xx x 的理由是 . 4.=-++→2232)2(2lim x x x x x . 5.=++-∞→503020)15()23()32(lim x x x x . 6.已知51lim 21=-++→xc bx x x ,则=b ,=c . 7.当1→x 时,无穷小x -1和31x -是否同阶? ,是否等价? .8.当0→x 时,22x x -与32x x -相比,哪一个是高阶无穷小? . 9.设函数⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,)(x x a x e x f x 若要使)(x f 成为在),(+∞-∞上连续的函数,应当选择=a .10.若)(lim 0x f x x →存在,则)(x f . A.有界; B.在),(0o δx U 内有界; C.在任一),(0δx U 内有界; D.以上结论都不对.11.设x e x f x 1arctan )1()(1+=,当-→0x 时,观察)(x f 的变化趋势,可得=-)0(f . A.0; B.2π; C.2π-; D.∞. 12.若}{n x 、}{n y 均发散,则下列判断正确的是 .A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nn y x 一定发散; D.以上结论都不对. 13.若}{n x 收敛,}{n y 发散,则下列判断正确的是A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nn y x 一定发散; D.以上结论都不对14.=-→x x x cos 1lim 0 . A.0; B.1; C.不存在; D.22. 15.设232)(-+=x x x f ,则当0→x 时,以下四个结论中正确的结论是A.)(x f 与x 是等价无穷小;B.)(x f 与x 同阶但非等价无穷小;C.)(x f 是比x 高阶的无穷小;D.)(x f 是比x 低阶的无穷小.16.以下判断正确的是 .A.x e 是无穷大量;B.x 1是无穷小量;C.若当0x x →时,)(x f 是无穷小量,则)(1x f 是无穷大量;D.若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(是无穷小量. 17.)1311(lim 31xx x ---→ 18.]ln )1[ln(lim n n n n --∞→; 19.)1cos arctan 1(lim 0x x x xx ⋅-→ 20.x x x x 3)1212(lim -+∞→ 21.xx x 4tan )21ln(lim 0+→ 22.])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n 23.)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ 24.x x x tan 2)(sin lim π→ 25.xx x x +---→131lim 21 26.)2141211(lim n n ++++∞→ 27.)35(12721lim 2-++++-+∞→n n n n 28.xx x ωsin lim 0→29.xx x -→ππsin lim. 30.n n n x 2sin 2lim ∞→. 31.n n nn 2)1(lim +∞→. 32.若6)311(lim e x kx x =+-∞→,求k. 33.证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间34.证明方程b x a x +=sin ,其中0,0>>b a ,至少有一个正根,并且它不超过b a +。

上海建桥学院2007年重修班高等数学期终考试 （2008.1）06 级本科 《高等数学》（上）试卷（本试卷考试时间120分钟）专业 班 学号 姓名(本试卷共六大题，满分100分，除填空题和单项选择题，要求写出解题过程，否则不予计分)一．填空题（3`×5）1．设 ⎩⎨⎧>-≤+=3,23,1)(x a x x x x f ，如果)(3x f x 为=的连续点，则 .___=a2．函数 11)(2--=x x x f 的可去间断点是 ._____=x 3．向量 a 与各坐标轴的夹角均为锐角，且.___,3,3===γπβπα则4．设)(x f 的一个原函数是._____)(,sin ='x f x 则5．反常积分⎰-=-112.______1xdx二．单项选择题)53(⨯'1．下列函数在其定义域内为无界函数的是 ( )(A)． ；　） ；　1022)5(cos )(;arctan )()1ln((1x y D x y C x y B xx y ==+=+= 2. 设 )(x f ''存在，则函数)(x e f y -=的二阶导数 （ ） （A ）);()(2x x x x e f e e f e ----'+' );()()(2x x x x e f e e f e B ----''+'- [])()();()()(22x x x -x x x x x e f e e f e D)e f e e f e C -------''+''-'－ （　3. 设 a x x f =在)(处可导，且 ='-=--→)(,12)()(lim 0a f hh a f a f h 则 （ ）（A ） 2 ; (B)21; (C) -2 ; (D) -1 4. 平面)2,1,3()1,1,2(21M M 及点过点-π且平行于Z 轴，则平面π的一般方程 为 （ ）.052)(;052)(;052)(;053)(=--=++=-+=+-y x D y x C y x B y x A 5. 设 ⎰⎰=+=+babadx x g x f x g dx x g x f x f )()()(,1)()()(则 （ ） .1)(;1)(;1)(;1)(+----+--b a D b a C a b B a b A 三．)85(⨯'解下列各题（写出解题过程或文字说明）1． .sec cos sin lim20xx xx -→2． .1)(arctan lim22+⎰+∞→x dt t xx3． .)arccos 2(lim 10xx x π→4．求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=12123123t t t y t t x 在出的切线方程.5.设函数 44|223=+++=-=x y d cx bx ax y 以为极值，函数图形以（1，-10）为拐点，试求d c b a ,,,的值.6. ⎰+-dx x x 4122.7. ⎰-dx e x x 23.8. ⎰-+1154x dx .四.解下列各题)26(⨯'(写出解题过程或文字说明) 1.一平面过直线 11235:zy x L =-=+ 且与平面0121=--+z y x ：π垂直，求该平面的方程.2.求由抛物线 21x y -=及其在点(1,0)处的切线和y 轴所围图形的面积.五.应用题(01')(理工类各专业学生考第1题,经管类各专业学生考第2题). 1.一块底为4m ，高为3m 的等腰三角形平板，铅直地置于水中，底边在上，平行于水面，位于水面下1m ，求该平板的一侧受到的水压力.2.某产品的边际收益函数为吨万元单位：　(18)(='Q R ,边际成本函数为 吨万元单位：　(33183)(2+-='Q Q Q C ),其中Q 为产量，单位为吨，,100≤≤Q 固定成本为10万元，当产量为多少时,利润最大？并求其最大利润.六.证明题 (8') 设 ⎰⎰=+++>xxt dt t dt x 01022211,0π　证明　.。

2001级《微积分（上）》重修试卷共8页21题 考试时间：2小时 考试方式：闭卷一、计算下列歌题（每小题5分，六个小题共30分）1．xx xx x sin sin 3lim0+-→解：x x x x x sin sin 3lim 0+-→.11113sin 1sin 3lim 0=+-=+-=→xx x xx 2．1221lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x解：1221lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x 121221lim -+---∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=e x xx x 。

3．()11lim --+∞→n n nn 解：()11lim --+∞→n n nn 11lim2-++=∞→n n n n.111111lim2=-++=∞→nn n4．()xx x x 10sin cos lim +→解：()xx x x 10sin cos lim +→ ()[]=+=→xx x x 220sin cos lim ().2sin 1lim 44.22sin 2sin 10e x xxxx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→5. 若31lim21=-++→x bax x x ，求b a ,的值. 解： 由于()01lim 1=-→x x ，故()b a b ax x x ++=++=→1lim 021，即1--=a b ① 所以()=--+-=→11l i m321x a ax x x ()()a x a x x x +=-++-→2111lim 1 解得 .2,1-==b a6．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ()11lim 0---=→x x x e x x e （等价）201lim x x e x x --=→（洛必达） x e x x 21lim 0-=→（等价）.212lim 0==→x x x 二、导数与微分（每小题5分，五个小题共25分） 1．设()0sin >=x x y x ，求()x f '.解： x x y ln .sin ln = ①①关于x 求导，得x xx x y y sin 1ln .cos 1+=' ② ⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x y x sin 1ln .cos .sin 。

第三章 练习题一、填空1、设常数，函数在内零点的个数为 22、3、曲线的拐点是（1,4）．4、曲线的拐点是 (0, 0)5、.曲线的拐点是.6、217、38.9、函数xxe y =的极小值点是 ____1-=x ______10、函数x x e y xcos -+= 在 []π,0上的最小值是 011．=-→xe x x 1limsin 0 1 二、选择1、设，则有（ B ）实根.A.. 一个B. 两个C. 三个D. 无 2、的拐点是（ C ） A. BC.D.3．( B )A 、B 、C 、D 、4．( B )A、B、C、D、5．( C ) A、 B、C、 D、6．( A )A、 B、 C、 D、7．AA、B、C、D、8．DA、 B、C、 D、9．( C )A、B、C、 D、10．函数( C )A、0B、132C、120D、6011．( B )A、B、C、D、12．（B）A、B、C 、D 、13．设在＝2处 （ A ）A. 连续B.不连续C. 可导D.不存在极限14．( B )A 、B 、C 、D 、15.设，则 （ C ）A. 0B. 1C.-1.D. 2三、计算与证明：1、解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0()11lim 0-+-=→x x x e x e x 11lim 0-+-=→x x x x xe e e 2121lim lim 00-=+-=++-=→→x xe e e e x x x x x x2、()()()()2000ln 1ln 111lim lim lim ln 1ln 1x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-+-+-==⎢⎥++⎣⎦解：()00111lim lim 221x x x x x x x →→-+==+ 12=3、2ln lnarctan 2lim arctan lim xx x x x x eππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解：112ln ln arctan 2arctan 1112lim limx x x x x xx eeπ⋅++-→+∞→+∞==2eπ-=4、1)1(1lim 11)1(1lim cot )11ln(lim22=++=+-+-=++∞→+∞→+∞→x x x x x x x arc x x x x5、解：x x x e e x x x sin 2lim 0----→= xe e x x x cos 12lim 0--+-→ =x e e x x x sin lim 0-→-=x e e x x x cos lim 0-→+=26、解 x x x sin 0lim +→=xx x e ln sin 0lim +→而+→0lim x x x ln sin =+→0lim x x x ln =+→0lim x x x 1ln =+→0lim x 211xx-=+→0lim x )(x -= 0 故x x x sin 0lim +→=10=e 7、解：原式=30sin lim x x x x -→=203cos 1lim xx x -→=x x x 6sin lim 0→=618、 求函数的单调区间和极值.解：定义域为(,)-∞+∞， 212363(2),0,0,2,y x x x x y x x ''=-=-===令得 列表如下：x (,0)-∞0 (0,2)2 ∞(2,+)y' + 0 － 0 + y↑1↓-3↑(,0)-∞∞所以函数的单调增区间为及(2,+)，单调减区间为(0,2)，…01-x x =当时取极大值，当=2时取极小值3.9、确定函数的单调区间及极值和凹凸区间。

密院系班级：_________ □印第2010-2011（2）学期试卷总分： 100 分答卷时间： 110 分钟试卷类型： A姓名：封_________ 学号：_________线一、选择（每小题2分，共10分）（答案写在答案页上）1．2)11(limxx xx-∞→-+=（）。

（A）1 （B）21e（C）0 （D）1-e2．函数2y=的导数是（）A16x B 5616x- C 45x- D 2323x-3．设函数)(xf具有连续的导数，则=+'⎰dxxfxf x)]()([（）（A）cxxf+)(；（B）cxf x+')(；（C）cxfx+'+)(；（D）cxfx++)(4．设)(xf在],[ba上连续，则在],[ba上至少有一点ξ，使得（）（A）0)(='ξf（B）abafbff--=')()()(ξ（C）0)(=ξf（D）abdxxfabf-=⎰)()(ξ5．设函数xxay3sin31sin+=在x=3π处取得极值，则=a（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3二、填空（每小题3分，共15分）（答案写在答案页上）1．设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0'()f x = 。

2． xx e 1lim -→=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f sin 0xtdt ⎰，则)(x f '=5．1,0(),0x e x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩在x =0处可导，则=a三、计算题（共63分）（答案写在答案页上）1．(1)21sin tan limx x xx x ⋅-→（共6分，每小题3分）（答案写在答案页上）(2)21lim()xx x x→∞+2．设a y x =+，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dxyd 。

（6分）（答案写在答案页上）3．1⎰（5分）（答案写在答案页上）共（4 ）页第（1 ）页未经教务处许可，不得复印试卷/ 渤海大学教务处教务科/密院系班级：_________ 姓名：封_________ 学号：_________线4．求曲线43341y x x=-+的拐点及凹凸区间。

⾼等数学Ⅱ（专科类）第3阶段练习题江南⼤学现代远程教育第三阶段练习题考试科⽬:《⾼等数学》⾼起专第五章⾄第六章（总分100分） __________学习中⼼（教学点）批次：层次：专业：学号：⾝份证号：姓名：得分：⼀、选择题(每题4分，共20分)1. 下列函数中, ( ) 是 2cos x x 的原函数。

(a) 22sin x (b) 22sin x - (c)21sin 2x (d) 21sin 2x - 2. 若11()x x f x e dx eC =+?, 则()f x =（） (a) 1x (b) 1x - (c) 21x (d) 21x - 3. sin b ad tdt dx ? 等于 ( ). (a) sin x (b) sin sin b a - (c) b a - (d) 04. 设()f x 为连续函数, 函数1()xf t dt ?为 ( ).(a) ()f x '的⼀个原函数 (b) ()f x 的⼀个原函数(c) ()f x '的全体原函数 (d) ()f x 的全体原函数5. 已知函数()F x 是()f x 的⼀个原函数, 则32(1)f x dx +? 等于 ( )。

(a) (4)(3)F F - (b) (5)(4)F F - (c) (6)(5)F F - (d) (3)(2)F F -⼆.填空题(每题4分，共28分)6.ln (ln )xd x =?______________.7.cos x xdx ?=_______. 8. 233()()x f x f x dx '?=_________. 9. 2cos cos(sin )x x dx π=?________.10.220062sin x xdx -?=__________. 11. 0cos xdx π=_______.12. 极限 23000ln(1)lim xx x t dt tdt→+??=________. 三.解答题(满分52分)13. 求 ln x 的全体原函数。