习题1-10
1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间.
证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数.
因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根.
因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间.
2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数.
f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.
若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;
若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根.
总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .
3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )⋅f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0.
证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为
0||l i m |)()(|l i m 0000
0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00
=-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00
x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续.
同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续.
因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )⋅f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0.
4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a n
x f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 证明 显然f (x )在[x 1, x n ]上也连续. 设M 和m 分别是f (x )在[x 1, x n ]上的最大值和最小值.
因为x i ∈[x 1, x n ](1≤ i ≤n ), 所以有m ≤f (x i )≤M , 从而有
M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,
M n
x f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤
)( )()(21. 由介值定理推论, 在[x 1, x n ]上至少有一点ξ 使
n x f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 5. 证明: 若f (x )在(-∞, +∞)内连续, 且)(lim x f x ∞
→存在, 则f (x )必在(-∞, +∞)内有界. 证明 令A x f x =∞
→)(lim , 则对于给定的ε>0, 存在X >0, 只要|x |>X , 就有 |f (x )-A |<ε , 即A -ε又由于f (x )在闭区间[-X , X ]上连续, 根据有界性定理, 存在M >0, 使|f (x )|≤M , x ∈[-X , X ].
取N =max{M , |A -ε|, |A +ε|}, 则|f (x )|≤N , x ∈(-∞, +∞), 即f (x )在(-∞, +∞)内有界. 6. 在什么条件下, (a , b )内的连续函数f (x )为一致连续？
