锐角三角函数1

锐角三角函数一：【知识梳理】1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2.特殊角的三角函数值．3.三角函数的关系(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin Atan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA (2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ·cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==4.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA②cotA ＞cosA ．由定义，知cosA=b c，cotA=b a；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ．③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA5.解直角三角形分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形． 6.在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角．②坡度与坡角hα通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角。

锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。

2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。

一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。

3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。

二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。

圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。

2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。

三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。

2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。

四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。

锐角三角函数（1）一．问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是︒30，为使出水口的高度为m 35，求需要准备多长的水管？探究：如图，ABC Rt ∆与C B A Rt '''∆中，︒='∠=∠90C C ，A A '∠=∠，探究AB BC 与B A C B ''''的关系结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值.※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦.记作A sin 如图，AB BC c a A A A ==∠∠=的斜边的对边sin 同理：ABAC c b B B B ==∠∠=的斜边的对边sin 二．例题与练习：1.例题：如图，在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，求A sin 和B sin 的值.2.练习：1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则αsin 的值是﹙ ﹚A ．43B ．34C ．53 D ．54 2.如图，在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，若5=AB ，4=AC ，则A sin 的值是（ ）A ．53 B ．54 C ．43 D ．34 3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=BC ，32sin =A ，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．34 D ．5 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且5=AB ，3=BC ．则BAC ∠sin = ；ADC ∠sin = .5．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于点D .已知5=AC ，2=BC ，那么ACD ∠sin 的值为（ ）AB ．23 CD--1--α三．在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值，※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦.记作A cos 如图，AB AC c b A A A ==∠∠=的斜边的邻边cos 同理：ABBC c a B B B ==∠∠=的斜边的邻边cos ※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作A tan如图，AC BC b a A A A ==∠∠=的邻边的对边tan 同理：BC AC a b B B B ==∠∠=的邻边的对边tan 四．例题与练习：例题：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=BC ，53sin =A ，求A c os ，B tan 的值.练习：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值2.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，8=AC ，43tan =A ，求A sin 、B cos 的值五．课后作业：1.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，则有（ ）A ．A a b tan ⋅=B ．A c b sin ⋅=C ．B c a cos ⋅=D ．A a c sin ⋅=2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果54cos =A ，那么B tan 的值为（ ） A ．53 B ．45 C ．43 D ．343．如图：P 是α∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则αcos =______.4.分别求出图中A ∠、B ∠的正弦值、余弦值和正切值（B 层）在ABC ∆中，a AB =，b AC=，α=∠A ，求ABC ∆的面积（用含有字母a ，b ，α的式子表示）--2—三 角 函 数（2）一．探究：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C .⑴如图1，︒=∠30A ，求A sin 、A cos 、A tan 的值；⑵如图1，︒=∠60B ，求B sin 、B cos 、B tan 的值；⑶如图2，︒=∠45A ，求A sin 、A cos 、A tan 的值；二．结论：1.完成表格：2.⑴A ∠的正弦值随着A ∠的角度的增大而 .⑵A ∠的余弦值随着A ∠的角度的增大而 .⑶A ∠的正切值随着A ∠的角度的增大而 .三．例题与练习：例题1：求下列各式的值：⑴︒+︒60sin 60cos 22 ⑵︒-︒︒45tan 45sin 45cos例题2：⑴如图1, 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,6=AB ，3=BC ，求A ∠的度数.⑵如图2，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍,求α.练习：1.求下列各式的值：⑴ ︒︒-30cos 30sin 21 ⑵ ︒+︒-︒60sin 245tan 30tan 3 ⑶︒+︒+︒30tan 160sin 160cos2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,7=BC ，21=AC ，求A ∠、B ∠的度数.四．课堂检测：计算：︒︒+︒+︒45sin 30sin 245cos 60cos 221.将B B sin 23cos 21+改写成下列形式的式子，其中错误的是（ ） A. B B sin 30cos cos 30sin ︒+︒ B. B B sin 60sin cos 30sin ︒+︒C. B B sin 30cos cos 60cos ︒+︒D. B B sin 30sin cos 60cos ︒+︒2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,3:=b a ，则A sin 的值是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 33 3.在ABC ∆中，A ∠、B ∠都是锐角，且21sin =A ，23cos =B ，则ABC ∆的形状为（ ） A. 直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.化简()2130tan -︒的结果为（ ） A.331- B.13- C. 133- D. 31- 5.已知03sin 2=-α，则锐角α的度数为 . 6.已知B ∠是锐角，若212sin =B ，则B tan 的值为 . 7. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,23sin =B ，则A cos 的值为 . 8.已知()2390sin =-︒α，则锐角α的度数为 . 9. 求下列各式的值：⑴︒+︒-︒+︒+︒30cos 60tan 45tan 60sin 230tan 22 ⑵︒-︒+︒+︒-︒30sin 30cos 30tan 4345sin 60cos 22210. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,3tan =A ，且cm AB 10=，求AC 、BC 的长.11.如图，一块为ABC ∆的空地，m AC 10=，m BC 30=，︒=∠150C ，现在这块空地上种植每平方米a 元的草皮，求购买这种草皮至少需要多少钱？（B 层）12.如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A →C →B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶.已知km AC 10=，︒=∠30A ，︒=∠45B ，求开通隧道后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）锐角三角函数（3）一．例题与练习：例题1：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）⑴︒20sin ⑵︒70cos ⑶2315sin '︒ ⑷8274cos '︒ ⑸83tan '︒ ⑹345280tan '''︒由⑴→⑷你能得到的猜想为 ，请利用下图验证你的猜想练习：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）⑴︒35sin ⑵︒55cos ⑶4237sin '︒ ⑷8221cos '︒ ⑸0236tan '︒ ⑹7175tan '︒例题2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角⑴6275.0sin =A ⑵6252.0cos =A ⑶8425.4tan =A练习：⑴0547.0sin =A ⑵1659.0cos =A ⑶8816.0tan =A⑷9816.0sin =A ⑸8607.0cos =A ⑹1890.0tan =A例题3：如图，要焊接一个高m 5.3，底角为︒32的人字形钢架，约需要多长的钢材（结果保留小数点后两位）练习：如图，一块平行四边形木板的两条邻边AD 、BC 的长分别为cm 31.62和cm 24.35，它们之间的夹角B ∠为0435'︒，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）二．课堂检测：1.求下列锐角三角函数值（精确到0.0001）：⑴0325sin '︒= ； ⑵8162cos '︒= ； 0526tan '︒= .2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角⑴4723.0sin =A ，A ∠= ；⑵3812.0cos =A ，A ∠= ；⑶94.15tan =A ，A ∠= ；--5--三．课后练习：1．计算︒+︒30tan 360sin 2的值为（ ）A ．3B ．32C ．33D ．342．在ABC Rt ∆中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B ∠的正切值（ ）A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．保持不变D ．缩小4倍3．已知α为锐角，3tan =α，则αcos 等于（ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．33 4．如果等腰三角形的底角为︒30，腰长为6cm ，那么这个三角形的面积为（ ） A ．4.52cm B ．392cm C ．3182cm D ．362cm5．ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，cm b 5=，cm a 12=，则B cos 等于（ ）A ．125B ．125cmC ．1312D ．1312cm 6.已知7415926.0cos =α，则α∠的度数为（ ）A ．︒40B ．︒41C ．︒42D ．︒437.已知5761.0cos =A ，则≈∠A ；若21.15tan =A ，则≈∠A ；若3562.0s i n =A ，则≈∠A ；8.某人沿倾斜角为︒25的斜坡前行了100m ，则他上升的最大高度为 （精确到0.01m ） 9．计算：⑴ ︒︒-︒60sin 45sin 660cos 2 ⑵︒+︒︒-︒45tan 2160cos 30sin 45cos10. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD 是高，cm BC 10=，653'︒=∠B ，•求CD 、AC 、AB ．（精确到1cm ）（B 层）1.要求︒30tan 的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作ABC Rt ∆，使︒=∠90C ，斜边2=AB ，直角边1=AC ，那么3=BC ，︒=∠30ABC ，333130tan ===︒BC AC ，在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出︒15tan 的值，请简要写出你添加的辅助线和求出︒15tan 的值．2.如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A '的位置，若5=OB ，21tan =∠BOC ，求点A '的坐标--6--锐角三角函数（4）一．问题：如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足︒≤≤︒7550α，现有一个长m 6的梯子，问：⑴使用这个梯子最高可以攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？⑵当梯子底端距离墙面m 4.2时，这个人是否能够安全使用这个梯子？二．解直角三角形：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，由⎩⎨⎧AB AC 得⎪⎩⎪⎨⎧∠∠BC A B 或由⎩⎨⎧∠AB A 得⎪⎩⎪⎨⎧∠BC AC B 三．例题与练习：例题1：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，6=BC ，解这个直角三角形.练习：如上图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，30=BC ，20=AC ，解这个直角三角形.例题2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠35B ，20=AC ，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.练习：如上图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠72A ，14=AB ，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.四．课堂检测：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ，若20=c ，210=b ，解这个直角三角形--7--五．课后作业：1．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ，根据下列条件解直角三角形.⑴33=a ，6=c ⑵36=a ，︒=∠30B ⑶10=c ，6=b2．在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ，且︒=∠30B ，︒=∠45C⑴若5=AD ，求BC 的长 ⑵若BC =15，求AD 的长3．为了测量塔高，小龙在距塔的中心点B 50米的C 处，用测角器量得仰角为︒40，已知测角器的高度为1.52米，求塔高AB 的长.（精确到0.1米）4.如图所示，在离铁塔150米的A 处用测角仪测得塔顶仰角2126'︒=∠BAC ，已知仪器高5.1=AD 米，求铁塔高BE .（精确到0.1米）5．如图所示，从某海岛上的观察所A 测得海上某船只B 的俯角为818'︒=α，若观察所A 与海面的垂直高度50=AC 米，求船只B 到观察所的水平距离。