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课题：导数的概念及运算考纲要求：1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；3.理解导函数的概念 熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；5.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；6.会求“过点A 的曲线的切线方程”和“在点A 处的切线方程”.教材复习1.导数的定义000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-.2.导数的几何意义：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率即0()k f x ='.切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-,其中切点P （)(,00x f x ）.要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.3.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nxx (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=, 1(log )log a a x e x '=; ()x x e e '= , ()ln x x a a a '=.4.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭5.复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅.典例分析：题型一 利用导数的定义解题问题1 已知000(2)()lim 13x f x x f x x →--=△△△，求0()f x '练习：1.若0()2f x '=,求0lim →k k x f k x f 2)()(00--.题型二 导数的计算问题2．求下列函数的导数：()1 ln x y e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x =+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-问题3．求下列复合函数的导数． ()1()323y x =-； ()2y =；()3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()4()ln 25y x =+练习：1.设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x = .2.已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '= . 3.已知函数()()cos sin 4f x f x x π='+则()4f π= .题型三 导数的几何意义的应用：求曲线切线的方程问题3．已知函数45)(2+-=x x x f .()1求曲线()f x 在2x =处的切线方程；()2求经过点)0,0(O 的曲线()f x 的切线方程．问题4.(1)已知曲线mx y +=331的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .(2)若曲线2y x ax b =++在()0,b 处的切线方程是10x y -+=，则.A 1,1a b == .B 1,1a b =-= .C 1,1a b ==- .D 1,1a b =-=-练习：1.曲线32242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 .2.(1)过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .(2) 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 .(3) 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 .(4) 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= .3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 .4.曲线12xy e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ).A 29e 2 .B 24e .C 22e .D 2e5.设0()sin f x x =，10()()f x f x ='，21()()f x f x ='，…，1()()n n f x f x +='，n N ∈，则=)(2017x f ( ) .A sin x .B sin x - .C cos x .D cos x -6.已知322()()3f x x f x x =+'-，则()f x 在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是 .7.若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a =8.已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ).A [0,4π) .B [,)42ππ .C 3(,]24ππ .D 3[,)4ππ9.已知a 为常数，若曲线23ln y ax x x =+-存在与直线10x y +-=垂直的切线，则实数 a 的取值范围是( ).A 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ .B 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ .C [)1,-+∞ .D (],1-∞-。
第1节导数的概念及运算考试要求1。
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2。
体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝错误!,y＝错误!的导数；5。
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax＋b））的导数;6。
会使用导数公式表.知识梳理1。
导数的概念设函数y＝f(x）在区间(a，b）上有定义,且x0∈（a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导,并称该常数A为函数f(x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）。
若函数y＝f（x）在区间（a，b)内任意一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着x的变化而变化,因而是自变量x的函数，该函数称作f（x）的导函数，记作f′（x）.2。
导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f（x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率，在点P的切线方程为y－y0＝f′（x0)(x－x0）。
3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x）＝xα(α∈Q＊)f′(x）＝αxα－1f（x)＝sin x f′(x）＝cos__x f（x)＝cos x f′（x）＝－4若f′（x)，g′(x)存在,则有：(1)[Cf（x)］′＝Cf′（x）（C为常数)；（2）［f（x）±g(x）]′＝f′（x）±g′（x);(3)[f(x)·g（x）]′＝f′（x)g(x）＋f(x）g′(x)；(4)错误!′＝错误!(g(x)≠0）.5.复合函数求导的运算法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y x′＝y u′·u x′，即y x′＝y u′·a.[常用结论与微点提醒］1。
第三章 一元函数导数及其应用第一讲 导数的概念及运算1.[2020成都市高三摸底测试]设函数f (x )的导函数为f ' (x ),若f (x )=e x ln x +1x - 1,则f ' (1)= ( ) A.e-3 B.e-2 C.e-1 D.e2.[易错题]已知函数f (x )=f ' (1)x 2+2x +2f (1),则f ' (2)的值为 ( ) A. - 2 B.0 C. - 4 D. - 63.[2020陕西省百校第一次联考]若f (x )=x 3+a 是定义在R 上的奇函数,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是 ( ) A.y =3x - 3 B .y =3x - 2C.y = - 3x - 3D.y = - 3x - 24.[2020广东七校联考]已知函数f (x )=x ln x +a 的图象在点(1,f (1))处的切线经过原点,则实数a = ( ) A .1 B .0 C .1e D. - 15.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x )为偶函数,当x >0时,f (x )=ln x - 3x ,则曲线y =f (x )在点( - 1, - 3)处的切线与两坐标轴围成的图形的面积等于 ( ) A.1 B.34C.14D.126.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f (x )图象的切点为(1, f (1)),则m 的值为 ( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-27.[2020江西五校联考]已知曲线C :y =x e x 过点A (a ,0)的切线有且仅有两条,则实数a 的取值范围是 ( ) A .( - ∞, - 4)∪(0,+∞) B .(0,+∞) C .( - ∞, - 1)∪(1,+∞) D .( - ∞, - 1)8.[2019安徽示范高中高三测试]设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,f ' (x ),g' (x )为其导函数,当x <0时,f ' (x )g (x )+f (x )g' (x )>0且g ( - 3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是 ( ) A.( - 3,0)∪(3,+∞) B.( - 3,0)∪(0,3) C.( - ∞, - 3)∪(3,+∞) D.( - ∞, - 3)∪(0,3)9.[2019福建五校第二次联考]已知函数f (x )={ln(-x +1),x <0,x 2+3x,x ≥0,若f (x ) - (m +2)x ≥0,则实数m的取值范围是 ( )A.(-∞,1]B.[-2,1]C.[0,3]D.[3,+∞) 10.[2020四川五校联考]已知函数f (x )=e x +ax.(1)若曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线x +(e - 1)y - 1=0垂直,求实数a 的值; (2)若对于任意实数x ≥0,f (x )>0恒成立,求实数a 的取值范围.11.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,设函数f (x )的导函数为f ' (x ),若对任意x >0都有2f (x )+ xf ' (x )>0成立,则 ( ) A.4f ( - 2)<9f (3) B.4f ( - 2)>9f (3) C.2f (3)>3f ( - 2) D.3f ( - 3)<2f ( - 2)12.[2019开封市高三模拟]已知函数f (x )=(k +4k )ln x +4-x 2x,k ∈[4,+∞),曲线y =f (x )上总存在两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),使曲线y =f (x )在M ,N 两点处的切线互相平行,则x 1+x 2的取值范围为 ( ) A.(85,+∞)B.(165,+∞) C.[85,+∞) D.[165,+∞)13.[2019辽宁五校联考]设函数f (x )=e 2x - t 的图象与g (x )=a e x +a 2x (a >0)的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数t 的最大值是 ( ) A.e -12 B .e 12C.12eD.2e14.[2020武汉市部分学校质量监测]若直线y =kx +b 是曲线y =ln x 的切线,也是曲线y =e x - 2的切线,则k = .15.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x )=ax sin x +b cos x ,且曲线y =f (x )与直线y =π2相切于点(π2,π2).(1)求f (x );(2)若f (x )≤mx 2+1,求实数m 的取值范围.16.[2019江西红色七校第一次联考]已知函数f (x )=e x (x 2 - 2x +a )(其中a ∈R ,a 为常数,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)设曲线y =f (x )在(a ,f (a ))处的切线为l ,当a ∈[1,3]时,求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.17.[2020陕西省百校第一次联考][新角度题]已知函数f (x )=ln x ,g (x )=2 - 3x (x >0).(1)试判断f (x)与g(x)的大小关系.(2)试判断曲线y=f (x)和y=g(x)是否存在公切线,若存在,求出公切线的方程;若不存在,说明理由.第一讲导数的概念及运算1.C由题意,得f ' (x)=(e x ln x)' - 1x2=e x ln x+e xx− 1x2,所以f ' (1)=0+e - 1=e - 1,故选C.2.D由题意得f (1)=f ' (1)+2+2f (1),化简得f (1)= - f ' (1) - 2,而f ' (x)=2f ' (1)x+2,所以f ' (1)=2f ' (1)+2,解得f ' (1)= - 2,故f (1)=0,所以f (x)= - 2x2+2x,所以f ' (x)= - 4x+2,所以f ' (2)= - 6,故选D.3.B依题意得f (0)=0,即0+a=0,a=0,所以f (x)=x3,则f ' (x)=3x2,所以f ' (1)=3,又f (1)=1,因此曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程是y=3x - 2,故选B.4.A∵f ' (x)=ln x+1,∴f ' (1)=1,又f (1)=a,∴f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y=x - 1+a,又该切线过原点,故0=0 - 1+a,解得a=1,故选A.5.C当x>0时,f ' (x)=1x- 3,因为f (x)是偶函数,所以f ' (x)是奇函数,故曲线y=f (x)在点( - 1, - 3)处的切线的斜率k=f ' ( - 1)= - f ' (1)=2,所以切线方程为y+3=2(x+1),该切线与x轴,y轴的交点分别为(12,0),(0,- 1),所以该切线与两坐标轴围成的图形的面积等于12×1 2×1=14,故选C.6.D解法一∵f ' (x)=1x,∴直线l的斜率k=f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l的方程为y=x -1.g' (x )=x +m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0),则有{x 0+m =1,y 0=x 0-1,y 0=12x 02+mx 0+72,m <0,解得m = - 2.故选D.解法二 ∵f ' (x )=1x ,∴直线l 的斜率k =f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l 的方程为y =x - 1.又直线l 与g (x )的图象相切,则方程组{y =x -1,y =12x 2+mx +72只有一组解,即关于x 的方程12x 2+(m -1)x +92=0只有一个解,则Δ=(m - 1)2 - 4×12×92=0,结合m <0,解得m = - 2.故选D.7.A 对函数y =x e x 求导得y' =e x +x ·e x =(1+x )e x .设切点坐标为(x 0,x 0e x 0),则曲线y =x e x 过点A (a ,0)的切线的斜率k =(1+x 0)ex 0=x 0e x 0x 0-a,化简得x 02- ax 0 - a =0.依题意知,上述关于x 0的二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ=( - a )2 - 4×1×( - a )>0,解得a < - 4或a >0.故选A .8.D 令h (x )=f (x )g (x ),当x <0时,h' (x )=f ' (x )g (x )+f (x )g' (x )>0,则h (x )在( - ∞,0)上单调递增,又f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以h (x )为奇函数,所以h (x )在(0,+∞)上单调递增.由g ( - 3)=0,可得h ( - 3)= - h (3)=0, 所以当x < - 3或0<x <3时,h (x )<0,故选D .9.B 令g (x )=x +3x (x ≥0),则g' (x )=2x +3,所以g' (0)=3,所以函数g (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x ,故函数f (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x.如图D 3 - 1 - 1,画出函数f (x )的图象,切线y =3x ,以及直线y =(m +2)x ,分析可知,为满足f (x ) - (m +2)x ≥0,即f (x )≥(m +2)x ,则0≤m +2≤3,解得 - 2≤m ≤1.故选B .图D 3 - 1 - 110.(1)因为f ' (x )=e +a ,所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f ' (1)=e+a , 因为直线x +(e - 1)y - 1=0的斜率为11-e , 所以(e+a )×11-e = - 1,解得a = - 1.(2)若x =0,则a 为任意实数时,f (x )=e x +ax >0恒成立. 若x >0,f (x )=e x +ax >0恒成立,即当x >0时,a > - e xx 恒成立,设H (x )= - e xx (x >0),则H' (x )= -e x x -e x x 2=(1-x)e x x 2,当x ∈(0,1)时,H' (x )>0,则H (x )在(0,1)上单调递增, 当x ∈(1,+∞)时,H' (x )<0,则H (x )在(1,+∞)上单调递减, 所以当x =1时,H (x )取得最大值. H (x )max =H (1)= - e ,所以a > - e .所以要使当x ≥0时,f (x )>0恒成立,a 的取值范围为( - e ,+∞).11.A 令g (x )=x 2f (x ),则g' (x )=2xf (x )+x 2f' (x ).因为对任意x >0都有2f (x )+xf ' (x )>0成立,则当x >0时,g ' (x )=x [2f (x )+xf ' (x )]>0成立,即函数g (x )=x 2f (x )在x >0时单调递增,由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,得f ( - x )=f (x ),所以g ( - x )=( - x )2f ( - x )=x 2f (x )=g (x ),即g (x )=x 2f (x )为偶函数,则有g ( - 2)=g (2),且g (2)<g (3),所以g ( - 2)<g (3),即4f ( - 2)<9f (3),故选A.12.B f ' (x )=k+4kx− 4x 2 - 1(x >0,k ≥4),由题意知,f ' (x 1)=f ' (x 2)(x 1,x 2>0且x 1≠x 2),即k+4kx 1−4x 12 - 1=k+4kx 2− 4x 22 - 1,化简得4(x 1+x 2)=(k +4k)x 1x 2,而x 1x 2<(x 1+x 22)2,所以4(x 1+x 2)<(k +4k)(x 1+x 22)2,即x 1+x 2>16k+4k对k ∈[4,+∞)恒成立,令g (k )=k +4k ,则g' (k )=1 - 4k 2=(k+2)(k -2)k 2>0对k ∈[4,+∞)恒成立,故g (k )在[4,+∞)上单调递增,所以g (k )≥g (4)=5,所以16k+4k≤165,所以x 1+x 2>165.故x 1+x 2的取值范围为(165,+∞).故选B.13.C 设函数f (x )=e 2x - t 的图象与g (x )=a e x +a 2x (a >0)的图象的公共点为(x 0,y 0),因为f ' (x )=2e 2x ,g' (x )=a e x +a 2,所以2e 2x 0=a e x 0+a 2,所以(e x 0 - a )(2e x 0+a )=0,因为2e x 0+a >0,所以e x 0=a ,所以x 0=ln a.又a e x 0+a 2x 0=e 2x 0 - t ,所以a e ln a +a 2ln a =e 2ln a - t ,化简得t = - a 2ln a ,则t' = - 2a ln a - a 2×1a = - a (1+2ln a ).令t' >0得0<a <e -12,令t' <0得a >e -12,所以t = - a 2ln a 在(0,e -12)上单调递增,在(e -12,+∞)上单调递减,所以当a =e -12时,t = - a 2ln a 取得最大值,最大值为-(e -12)2ln e -12=12e .故选C .14.1或1e 解法一 设直线y =kx +b 与曲线y =ln x 相切于点(x 1,ln x 1),则曲线y =ln x 在点(x 1,ln x 1)处的切线方程为y - ln x 1=1x 1(x - x 1),即y =1x 1x - 1+ln x 1 ①.设直线y =kx +b 与曲线y =e x - 2相切于点(x 2,e x 2-2),则曲线y =e x - 2在点(x 2,e x 2-2)处的切线方程为y - e x 2-2=e x 2-2(x - x 2),即y =e x 2-2x +(1 - x 2)e x 2-2 ②.由题意知①②表示同一直线,所以1x 1=e x 2-2,且 - 1+ln x 1=(1 - x 2)e x 2-2.所以 - 1+ln x 1=1-x2x 1=1-(2-ln x 1)x 1=-1+ln x 1x 1,解得x 1=1或x 1=e .所以k =1或1e .解法二直线y=kx+b与曲线y=ln x相切,则存在x1,使得k=1x1,且ln x1=kx1+b,消去x1,得- ln k=1+b①.直线y=kx+b与曲线y=e x - 2相切,则存在x2,使得k=e x2-2,且e x2-2=kx2+b,消去x2,得k=k(ln k+2)+b②.由①②得k=k ln k+2k - ln k - 1,即(k - 1)(ln k+1)=0,解得k=1或1e.15.(1)由f (π2)=aπ2=π2得a=1.则f ' (x)=x cos x+(1 - b)sin x,由f ' (π2)=1 - b=0得b=1.所以f (x)=x sin x+cos x.(2)令g(x)=mx2+1 - f (x)=mx2 - x sin x - cos x+1,由g(x)≥0得g(2π)=4π2m≥0,所以m≥0.易知g(x)为偶函数,所以只需满足当x≥0时,g(x)≥0即可. g' (x)=2mx - x cos x=x(2m - cos x),下面只讨论x≥0时的情形.当m≥12时,g' (x)≥0,即g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,从而当m≥12时,f (x)≤mx2+1恒成立.当0≤m<12时,因为y=2m - cos x在[0,π2]上单调递增,且当x=0时,y=2m - 1<0,当x=π2时,y=2m≥0,所以存在x0∈(0,π2],使得2m - cos x0=0,因此当x∈(0,x0)时,2m - cos x<0,g' (x)<0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0矛盾.因此当0≤m<12时,f (x)≤mx2+1不恒成立.综上,满足题意的m的取值范围是[12,+∞).16.(1)f ' (x)=e x(x2 - 2x+a)+e x(2x - 2)=e x(x2+a - 2),当a≥2时,f ' (x)≥0恒成立,函数f (x)在区间( - ∞,+∞)上单调递增;当a<2时,令f ' (x)≥0,解得x≤ - √2-a或x≥√2-a,令f ' (x)<0,解得- √2-a<x<√2-a,所以函数f (x)在区间( - ∞, - √2-a],[√2-a,+∞)上单调递增,在区间( - √2-a,√2-a)上单调递减.(2)因为f (a)=e a(a2 - a),f ' (a)=e a(a2+a - 2),所以直线l的方程为y - e a(a2 - a)=e a(a2+a - 2)(x - a).令x=0,得直线l在y轴上的截距为e a( - a3+a),记g(a)=e a( - a3+a)(1≤a≤3),则g' (a)=e a( - a3 - 3a2+a+1),记h(a)= - a3 - 3a2+a+1(1≤a≤3),则h' (a)= - 3a2 - 6a+1<0(1≤a≤3),所以h(a)在[1,3]上单调递减,所以h(a)≤h(1)= - 2<0,所以g' (a)<0,即g(a)在区间[1,3]上单调递减,所以g(3)≤g(a)≤g(1),即直线l在y轴上的截距的取值范围是[ - 24e3,0].17.(1)设F(x)=f (x) - g(x),则F' (x)=1x − 3x2(x>0).由F' (x)=0,得x=3,当0<x<3时,F' (x)<0,当x>3时,F' (x)>0,故F(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以F(x)的最小值为F(3)=ln 3 - 1,且F(3)>0,所以F(x)>0,即f (x)>g(x).(2)曲线y=f (x)和y=g(x)不存在公切线,理由如下.假设曲线y=f (x)与y=g(x)有公切线,切点分别为P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1).因为f ' (x)=1x ,g' (x)=3x2,所以分别以P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1)为切点的切线方程为y=xx0+ln x0- 1,y=3x12x+2 - 6x1.由{1x0=3x12,ln x0-1=2-6x1,得2ln x1+6x1- (3+ln 3)=0.令h(x)=2ln x+6x - (3+ln 3),则h' (x)=2x− 6x2(x>0),令h' (x)=0,得x=3.显然,当0<x<3时,h'(x)<0,当x>3时,h' (x)>0,所以h(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(3)=2ln 3+2 - 3 - ln 3=ln 3 - 1,且h(3)>0,所以h(x)>0,所以方程2ln x1+6x1- (3+ln 3)=0无解,所以曲线y=f (x)与曲线y=g(x)不存在公切线.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
新高考数学一轮复习知识点解析1．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限的思想，理解导数的几何意义．2．能根据导数定义求函数y c =(c 为常数)，y x =，2y x =，3y x =，cy x=，y =数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数．1．导数的概念函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率()()0000limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．2．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x处的导数的概念及其运算切线斜率，即()0k f x '=，相应地切线方程()()()000y f x f x x x '-=-． 3．函数()f x 的导函数函数()y f x =在区间(),a b 内每一点处都可导，则其导数值在(),a b 内构成一个新的函数，叫做()y f x =在开区间(),a b 内的导函数，记作()f x '或y '． 4．基本初等函数的导数公式5．导数的运算法则若函数()f x ，()g x 均可导，则：（1）()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； （2）()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； （3）()()()()()()()2f x f xg x f x g x g x g x ''-=⎡⎤⎣⎦． 6．复合函数求导复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，即()y f u =，()u g x =，()()y f u g x '''=．【例1】（1）已知函数1()ln x f x e x x -=+，则()1f '=（） A ．0 B ．1 C ．e D ．2【答案】D【解析】因为1()ln x f x e x x -=+，所以111()ln 1ln x x f x e x x e x x--'=++⨯=++， 所以11(1)1ln12f e -'=++=，故选D ． （2）函数1ln 1ln xy x-=+的导数是（） A ．()221ln x -+ B ．()211ln x x +C ．()221ln x x -+D ．()211ln x x -+【答案】C【解析】2211(1ln )(1ln )1ln 21ln (1ln )(1ln )x x x x x y x x x x -+--'-⎛⎫'===- ⎪+++⎝⎭，故选C ． （3）求sin cos 22x xy x =-⋅的导数．【答案】11cos 2y x '=-．【解析】∵1sin cos sin 222x x y x x x =-⋅=-，∴11cos 2y x '=-．【变式1．1】（1）函数sin(21)y x x =+的导数是___________________． 【答案】sin(21)2cos(21)y x x x '=+++【解析】[]sin(21)sin(21)sin(21)2cos(21)y x x x x x x x '''=+++=++⨯+sin(21)2cos(21)x x x =+++，故答案为sin(21)2cos(21)y x x x '=+++． （2）已知函数()f x =，则()f x 在2x =处的导数()2f '=________． 【答案】2 【解析】()21f x x ==-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=， 故答案为2．（3）求函数2sin 12cos 24x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的导数．【答案】1cos 2y x '=-．【解析】因为1sin cos sin 222x x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()11sin cos 22y x x ''=-=-．【例2】已知函数()()3212f x x f x '=-+，则()2f =（）A ．2-B ．103C ．6D ．14【答案】C【解析】2()32(1)f x x f x ''=-，则(1)32(1)(1)1f f f '''=-⇒=， 则32(2)f x x x =-+，32(2)2226f =-+=，故选C ． 【变式2．1】已知()f x 的导函数为()f x '，3()2(1)x x f x f x e'-=+⋅，则(1)f '=________． 【答案】3e-【解析】因为3()2(1)x x f x f x e '-=+⋅，所以4()2(1)xxf x f e'+'-=，所以3(1)2(1)f f e '+'=，3(1)f e'=-， 故答案为3e-． 【例3】若()()()()126f x x x x x =--⋅⋅⋅-，则()1f '=（） A ．120 B ．24C ．24-D ．120-【答案】D【解析】令()()()()236g x x x x x =--⋅⋅-⋅，则()()()1f x x g x =-， 所以()()()()1f x g x x g x ''=+-，所以()()()()111250120f '=⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-+=-，故选D ． 【变式3．1】已知函数()()()()()1232021f x x x x x =----，则()2021f '=（）A ．1232020-⨯⨯⨯⨯B ．1232020⨯⨯⨯⨯C ．1232021-⨯⨯⨯⨯D ．1232021⨯⨯⨯⨯【答案】A 【解析】()()()()()1232021x x x x f x =----，故()()()()()()()232021132021f x x x x x x x '=--------()()()()()()()1220192021122020x x x x x x x ---------，因此，()()()()2021202020191122020f '=--⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯，故选A ．1．求切线方程【例4】曲线()x f x xe -=在点()()1,1f --处的切线方程为（） A ．2y ex e =- B ．y ex e =+C ．2y ex e =+D ．2y ex e =-+【答案】C 【解析】1()x xf x e-'=，(1)2f e '∴-=， 又(1)f e -=-，∴所求切线方程为()21y e e x +=+，即2y ex e =+，故选C ．【变式4．1】曲线3221y x x =-+在1x =处的切线方程为___________．【答案】870x y --=【解析】()3221y f x x x ==-+，则()212111f =-+=，()2226f x x x +'=，所以()221681f +'==，即切线的斜率8k ， 所以切线方程为()181y x -=-，即870x y --=， 故答案为870x y --=．【例5】曲线ln y x x =的一条切线过点(0,3)-，则该切线的斜率为_________． 【答案】1ln3+【解析】由1ln y x '=+，设切线斜率为k ，切点横坐标为t ，则1ln ln 3t k t t kt +=⎧⎨=-⎩，得ln (1ln )3t t t t =+-，所以3t =，1ln3k =+， 故答案为1ln3+．【变式5．1】已知函数()2x f x e x =+，过点()1,2作曲线()y f x =的切线， 则函数的切线方程为________________． 【答案】22()20e x y e +--=【解析】()2x f x e '=+，设切点坐标为00(,)x y ，则()002x f x e '=+，()0002x f x e x =+， 所以切线方程为0000(2)(2)()x x y e x e x x -+=+-，且该直线过点()1,2， 所以00002(2)(2)(1)x x e x e x -+=+-，得00(2)0x e x -=，得02x =， 所以切线方程为22()20e x y e +--=， 故答案为22()20e x y e +--=．1．求经过某点的曲线()f x 的切线方程时，需注意该点不一定是切点； 2．利用导数求切线方程的一般过程：（1）曲线()f x 在点()00,P x y 处的切线方程为()()000y y f x x x '-=-； （2）曲线()f x 过点()00,P x y 处的切线方程： ①设切点坐标()111,P x y ；②写出()111,P x y 的切线方程()()111y y f x x x '-=-； ③将点()00,P x y 的坐标代入切线方程求出1x ；④将1x 的值代入方程()()111y y f x x x '-=-，得到所求切线方程．2．求参数值【例6】直线1y kx =-是曲线1ln y x =+的一条切线，则实数k 的值为（） A ．e B ．2eC ．1D ．1e -【答案】A【解析】设切点为()00,1ln x x +，由1ln y x =+，得1y x'=，则001x x y x ='=，则曲线在切点处的切线方程为()00011ln y x x x x --=-， 由已知可得，切线过定点()0,1-，代入切线方程可得02ln 1x --=-，解得01x e =，则01k e x ==，故选A ． 【变式6．1】已知函数2()2ln f x x x x =-在点(1,2)处的切线方程为0x my t ++=，则t =___________．【答案】13-【解析】2()2ln f x x x x =-，()4ln 1f x x x '∴=--，()13f '∴=，13m ∴-=，即13m =-， 又(1,2)为切点，11203t ⎛⎫∴+-⨯+= ⎪⎝⎭，解得13t =-，故答案为13-．【变式6．2】已知函数2()ln f x a x bx =+的图象在点(1,1)P 处的切线与直线10x y -+=垂直，则a 的值为___________． 【答案】3-【解析】由已知可得(1,1)P 在函数()f x 的图象上，所以(1)1f =， 即2ln111a b +⨯=，解得1b =， 所以2()ln f x a x x =+，故()2af x x x'=+．则函数()f x 的图象在点(1,1)P 处的切线的斜率(1)2k f a '==+， 因为切线与直线10x y -+=垂直，所以21a +=-，即3a =-， 故答案为3-．3．公切线问题【例7】已知曲线()x f x e =在点()()0,0P f 处的切线也是曲线()()ln g x ax =的一条切线，则a 的值为（）A ．3eB ．2eC ．2eD ．33e【答案】C 【解析】()x f x e =，()x f x e '∴=，()01f =，()01f ∴'=，()f x ∴在点()()0,0P f 处的切线方程为1y x =+， 设1y x =+与()g x 相切于点()()00,ln x ax ，则()0011g x x '==，解得01x =， 又()00ln 110ax x -=-，ln 11a ∴-=，解得2a e =， 故选C ．【变式7．1】若曲线x y e =在0x =处的切线也是曲线ln 2y x b =+的切线，则实数b =（） A ．1- B ．1 C ．2 D ．e【答案】B【解析】曲线x y e =的导数为x y e '=，可得在0x =处的切线斜率为1k =，切点为(0,1)， 则切线的方程为1y x =+，设直线1y x =+与ln 2y x b =+相切的切点为(,2ln )m b m +，由ln 2y x b =+的导数为1y x '=，可得切线的斜率为1m， 则11m=，2ln 1b m m +=+，解得1m =，1b =，故选B ． 【变式7．2】已知函数()2x f x ae x =+的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是()22y e x b =++，那么ab =（） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】因为()2x f x ae x =+，所以()2x f x ae x '=+， 因此切线方程的斜率(1)2k f ae '==+， 所以有222ae e +=+，得2a =，又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)e b ++，将切点代入()f x 中，有(1)2122f e e b =+=++，得1b =-， 所以2ab =-，故选D ．【例8】设曲线() x f x ae b =+和曲线()πcos 2xg x c =+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（） A ．0 B ．πC ．2-D ．3【答案】D 【解析】()x f x ae '=，()ππsin 22xg x '=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=， 解得1c =，2103b c a ∴+-=+-=，故选D ．【变式8．1】曲线2ln y a x =-在点(1,)a 处的切线与曲线x y e =-相切，则a =_____． 【答案】2ln 24-【解析】对2ln y a x =-求导，得2y x'=-，∴12x y ='=-∣， 则曲线2ln y a x =-在点(1,)a 处的切线方程为2(1)y a x -=--， 即22y x a =-++．设22y x a =-++与x y e =-相切于点()00,x x e -， 对x y e =-求导，得x y e '=-，由02x e -=-，得0ln 2x =，即切点为(ln 2,2)-．又切点在切线22y x a =-++上，∴2ln 222a -++=-，即2ln 24a =-， 故答案为2ln 24-．【例9】若函数()()210f x ax a =->与()1ln g x x =-的图象存在公切线，则实数a 的最小值为（） A ．12eB ．21e C ．2eD ．1【答案】A【解析】法一：设公切线与()f x ，()g x 图象分别切于点()()1122,,A B x y x y ，， 则()f x 图象在A 处的切线方程为()()211112y ax ax x x --=--， 即21121y ax x ax =-++，同理：()g x 图象在B 处的切线方程为()()22211ln y x x x x --=--， 即2212ln y x x x =-+-，由上述两直线重合，122121212ln ax x ax x⎧=⎪⎨⎪+=-⎩消元1x 可得()22211ln 4x x a =-，令()()()21ln 0h x x x x =->，则()()12ln h x x x '=-，当(x ∈时，()0h x '>；当)x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x在(单调递增，在)+∞单调递减，则()max 142e h x h a≤==，解得12a e≥． 方法二：在同一坐标系中作出()f x ，()g x 的图象如图所示：由图象知：()f x ，()g x 分别为上凸和下凸函数，要使()f x ，()g x 存在公切线， 只须()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立即可， 即2ln xa x≥在()0,∞+上恒成立， 令()2ln x h x x =，求导得()312ln xh x x -'=，当(x ∈时，()0h x '>；当)x ∈+∞时，()0h x '<，所以当x =()h x 取得最大值为12e， 所以12a e≥，故选A ． 【变式9．1】已知曲线x y e =在点()11,x x e 处与曲线ln y x =在点()22,ln x x处的切线相同，则()()1211x x +-=_________． 【答案】2-【解析】x y e =，则x y e '=，切线斜率为1x k e =，所以曲线x y e =在点()11,x x e 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-， 即1111x x x y e x e x e =-+， 由ln y x =得1y x'=，切线斜率为21k x =，所以曲线ln y x =在点()22,ln x x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-，即2211ln y x x x =-+， 于是11121211ln x x x e x e e x x⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩得121x x e =，11112111ln 1ln 1x x x e e x x x e -=-+=-+=--，则11111x x e x +=-，所以12111x x x -=+，所以1211121111x x x x ---=-=++， 得()()12112x x +-=-， 故答案为2-．4．切线条数问题【例10】若过点(),a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则（） A ．b e a < B ．a e b < C ．0b a e << D ．0a b e <<【答案】D【解析】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得x y e '=， 所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t t b ae t e a t e =+-=+-， 令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-．当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增； 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减， 所以，()()max a f t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点， 则()max a b f t e <=，当1t a <+时，()0f t >；当1t a >+时，()0f t <， 作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点， 故选D ．解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0a b e <<．故选D ．【变式10．1】已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）条． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】若直线与曲线切于点()()000,0x y x ≠，则3200000011111y x k x x x x --===++--， 又∵23y x '=，∴2003y x x x '==，∴200210x x --=，解得01x =，012x =-，∴过点()1,1P 与曲线3:C y x =相切的直线方程为320x y --=或3410x y -+=， 故选C ．【变式10．2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条， 则实数m 的取值范围是（） A ．(),e -∞ B ．(),e +∞C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,【答案】B【解析】设切点为()00,x y ，()ln 1f x x '=+，所以切线方程为：0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，代入(),A m m ，得0000ln (ln 1)()m x x x m x -=+-，即这个关于0x 的方程有两个解． 化简方程为00ln m x x =，即ln 1x m x =， 令ln ()x g x x =(0x >)，21ln ()xg x x -'=，()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，1()g e e =，(),()0,10x g x g →+∞→=，所以110m e<<，所以m e >，选B ．一、选择题．1．已知函数2()6f x x =-，且()02f x '=，则0x =（） AB． C．D．【答案】B【解析】由题意可得()6f x '=-+，因为()0062f x '=-+=，所以0x =B ．2．已知函数()4f x x ax =+，若()()02lim12x f x f x x→--=△△△△，则a =（）A ．36B ．12C ．4D ．2【答案】C【解析】根据题意，()4f x x ax =+，则()34f x x a '=+，则()0f a '=， 若()()2lim=12x f x f x x→--△△△△，则()()()()()0022lim=3lim 30123x x f x f x f x f x f x x→→----'==△△△△△△△△， 则有312a =，即4a =，故选C ．3．曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则()()11f f '-=（）A ．0B ．2C ．2-D ．1-【答案】C【解析】设曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y kx b =+，则220b k b =⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩， 所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y x =+， 所以()11f '=，()1123f =+=， 因此，()()11132f f '-=-=-，故选C ．4．已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（） A ．221x x -+ B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-【答案】B【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+， 由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此()221f x x x =++，故选B ．5．已知曲线()x f x e =在点(1,(1))P f 处的切线也是曲线()ln g x a x =的一条切线，则a =（）A ．3eB ．2eC ．2eD ．33e【答案】C【解析】()x f x e =，()1f e =，所以切点()1,e ．()x f x e '=，()1k f e '==，切线()1y e e x -=-，即y ex =． 设()ln g x a x =的切点为()00,x y ，()a g x x '=，()00ak g x e x '===，所以0a x e=．将0a x e =代入切线y ex =，得0y a =，()g x 的切点为,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭， 将,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭代入()ln g x a x =，得ln a a a e =，解得2a e =，故选C ．二、填空题．6．设函数()()sin πxx f x e =，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】ππ0x ey +-= 【解析】由题意得()sin π10f e==，切点为()1,0，()()()()()2πcos πsin ππcos πsin πx x x xx e e x x x f x e e--'==， 所以()πcos πsin ππ1f e e-'==-，所以过点()1,0的切线方程为()π1y x e=--，即ππ0x ey +-=， 故答案为ππ0x ey +-=． 7．曲线()1f x x b x=++在点()(),a f a 处的切线经过坐标原点，则ab =______． 【答案】2- 【解析】由()1f x x b x =++，则()211f x x'=-， 所以()211f a a '=-， 所以()()()22011110f a f a b f a a a a a a-'=-===++-， 化简整理可得2ab =-，故答案为2-．8．曲线()31()x f x x mx e -=-在点(1,(1))f 处的切线与直线410x y --=垂直，则该切线的方程为__________． 【答案】410x y +-=【解析】由题意得()321()3x f x x x mx m e --'=+-，则(1)42f m '=-， 所以切线的斜率142k m =-， 直线410x y --=的斜率214k =． 因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =，则1(1)4k f '==-，所以()31()4x f x x x e -=-，则(1)3f =-，故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=， 故答案为410x y +-=．9．已知曲线x y e -=，则曲线上的点到直线10x y ++=的最短距离是________．【解析】∵x y e -=，∴x y e -'=-，设与曲线x y e -=相切，且与直线10x y ++=平行的直线为0x y m ++=， 切点00(,)x P x e -．则01x e --=-，解得00x =，故切点为(0,1)P ．∴曲线x y e -=上的点到直线10x y ++=的最短距离d ==，．10．直线y kx b =+与曲线1x y e -=相切，也与曲线x y e e =-相切(其中e 为自然对数的底数)，则k =___________． 【答案】e【解析】由题设知：1()x f x e -=，则1()x f x e -='；()x g x e e =-，则()x g x e '=． ∴要使y kx b =+与()f x 、()g x 都相切，若切点分别为1122(,),(,)x y x y ，则有12()()f x g x k ''==， ∴121x x e e -=，则121x x -=，∴211212121x x y y e e e k e x x x x ----===--，故答案为e ．三、解答题．11．设曲线(),0x f x e x =≤在点00(,)x P x e 处的切线l 与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S ．（1）求切线l 的方程；（2）求S 的最大值．【答案】（1）000(1)0x x e x y x e -+-=；（2）2e． 【解析】（1）因为()x f x e '=，所以0l x k e =，所以切线l 的方程为000()x x y e e x x -=-，整理得000(1)0x x e x y x e -+-=．（2）在切线l 的方程中，令0x =，可得00(1)x y x e =-，令0y =，可得01x x =-．因为00x ≤，所以02001()(1)2x S S x x e ==-，所以00001()(1)(1)2x S x x x e =-+'， 所以当01x <-时，0()0S x '>，所以0()S x 在(,1)-∞-上单调递增；当010x -<≤时，0()0S x '<，所以0()S x 在(1,0)-上单调递减，所以当01x =-时，S 取得极大值也是它的最大值2e ． 12．已知函数()33f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．【答案】（1）9160x y --=；（2）()3,2--．【解析】（1）233f x x ，∴切线斜率()29k f '==，()22f =，∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()292y x -=-，∴即9160x y --=．（2）过点()1,A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，()2033k f x x '==-，∴切线方程()()()320000333y x x x x x --=--，即32002330x x m -++=， ∴32002330x x m -++=有三个不同实数根， 记()32233g x x x m =-++，()()26661g x x x x x '=-=-，令()0,0g x x '==或1， 则()(),,x g x g x '的变化情况如下表：当()0,x g x =有极大值3m +；()1,x g x =有极小值2m +．因为过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，则()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3020m m +>⎧⎨+<⎩，解得32m -<<-， 所以m 的范围是()3,2--．。
第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=√x的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①f(x2)-f(x1)x2-x1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②ΔyΔx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点③(x0,f(x0))处的④切线的斜率.相应地,切线方程为⑤y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).▶提醒 (1)曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,斜率为k=f '(x 0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x 0,y 0)的切线,是指切线经过P,点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转化的.3.函数f(x)的导函数 称函数f '(x)=limΔx →0f(x+Δx)-f(x)Δx为f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)=C(C 为常数) f '(x)=⑥ 0 f(x)=x α(α∈N *) f '(x)=⑦ αx α-1 f(x)=sin x f '(x)=⑧ cos x f(x)=cos x f '(x)=⑨ -sin x f(x)=a x (a>0,且a ≠1)f '(x)=⑩ a x ln a f(x)=e x f '(x)= e x f(x)=log a x (a>0,且a ≠1) f '(x)= 1xlna f(x)=ln xf '(x)= 1x5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3)[f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.[af(x)+bg(x)]'=af '(x)+bg'(x).3.函数y=f(x)的导数f '(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化方向,其大小|f '(x)|反映了变化快慢,|f '(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)f '(x 0)与[f(x 0)]'表示的意义相同.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)若f(x)=f '(a)x 2+ln x(a>0),则f '(x)=2xf '(a)+1x .( )(5)f '(x 0)表示曲线y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处切线的斜率,也可表示函数y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处的瞬时变化率.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)√ 2.下列求导运算正确的是( ) A.(x +1x )'=1+1x 2 B.(log 2x)'=1xln2 C.(3x )'=3x log 3e D.(x 2cos x)'=-2sin x 答案 B3.有一机器人的运动方程为s(t)=t 2+3t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为( ) A.194B.174 C .154 D .134答案 D4.曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为 . 答案 x+2y-2=05.求过点(0,0)与曲线y=e x 相切的直线方程. 解析 设切点坐标为(a,e a ), 又切线过(0,0),则切线的斜率k=e aa , f '(x)=e x ,把x=a 代入得斜率k=f '(a)=e a , 则e a =eaa ,由于e a >0,故a=1,即切点坐标为(1,e), 所以切线方程为y=ex.导数的计算典例1 求下列函数的导数. (1)y=x 2sin x; (2)y=ln x+1x +log 2x; (3)y=cosx e x;(4)y=3x e x -2x +e; (5)y=tan x; (6)y=√x .解析 (1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x. (2)y'=(lnx +1x )'+(log 2x)'=(ln x)'+(1x )'+1xln2=1x -1x 2+1xln2. (3)y'=(cosx e )'=(cosx)'e x -cosx(e x )'(e )=-sinx+cosxe .(4)y'=(3x e x )'-(2x )'+e'=(3x )'e x +3x (e x )'-(2x )'=3x ln 3·e x +3x e x -2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2. (5)y'=(sinx cosx )'=(sinx)'cosx -sinx(cosx)'cos 2x=cosxcosx -sinx(-sinx)cos x=1cos x .(6)y'=(x 12)'=12x -12=2√x .方法技巧1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.2.具体方法:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导;(4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到复合函数,先确定复合关系,再由外向内逐层求导,必要时可换元.▶提醒对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似于f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f'(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f'(x),再令x=x0,即可得到f'(x0)的值,进而得到函数的解析式,求得所求导数值.1-1f(x)=x(2018+ln x),若f'(x0)=2019,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e答案B1-2已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a=.答案31-3已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=.答案-1解析∵f(x)=2xf'(1)+ln x,,∴f'(x)=2f'(1)+1x∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.导数的几何意义命题方向一求曲线的切线方程典例2曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.答案3x-y=0解析y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以切线的斜率k=y'|x=0=3,则曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.命题方向二求参数的值(取值范围)典例3已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D解析 ∵y'=ae x +ln x+1,∴切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴a=e -1,将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D.典例4 直线 y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求b 的值.解析 设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点的横坐标为x 1,与曲线y=ln(x+1)的切点的横坐标为x 2,所以曲线y=ln x+2在相应切点处的切线为y=1x 1·x+ln x 1+1,曲线y=ln(x+1)在相应切点处的切线为y=1x2+1·x+ln(x 2+1)-x 2x 2+1,所以{k =1x 1=1x 2+1,b =ln x 1+1=ln(x 2+1)-x 2x 2+1,解得{x 1=12,x 2=-12,于是b=ln x 1+1=1-ln 2.规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线方程是y-f(x 0)=f '(x 0)(x-x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程. (4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢.(5)求两条曲线的公切线的方法:①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解. ②利用公切线得出关系式.设公切线l 在曲线y=f(x)上的切点P 1(x 1,y 1),在曲线y=g(x)上的切点P 2(x 2,y 2),则f '(x 1)=g'(x 2)=f(x 1)-g(x 2)x 1-x 2.2-1 已知直线y=-x+1是函数f(x)=-1a ·e x 图象的切线,则实数a= .答案 e 2解析 设切点为(x 0,y 0), 则f '(x 0)=-1a ·e x 0=-1, ∴e x 0=a,又-1a ·e x 0=-x 0+1, ∴x 0=2,∴a=e 2.2-2 已知曲线f(x)=x 3+ax+14在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x 相切,求a 的值. 解析 由f(x)=x 3+ax+14得, f(0)=14, f '(x)=3x 2+a,则f '(0)=a,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-14=ax.设直线y-14=ax 与曲线g(x)=-ln x 相切于点(x 0,-ln x 0),又g'(x)=-1x , ∴{-ln x 0-14=ax 0,①a =-1x 0,②将②代入①得ln x 0=34, ∴x 0=e 34, ∴a=-1e 34=-e -34.A 组 基础题组1.已知函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),若f '(1)=-1,则a=( ) A.e B.1e C.1e 2 D .12答案 B2.已知曲线y=x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D.12 答案 A3.已知曲线y=ln x 的某条切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1e D.-1e答案 C y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y 0),则k=y'|x=x 0=1x 0,所以切线方程为y-y 0=1x 0(x-x 0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y 0=1,则x 0=e,所以k=y'|x=x 0=1x 0=1e .4.已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 . 答案 e解析 由函数的解析式可得f '(x)=e x ×ln x+e x ×1x =e x (lnx +1x),则f '(1)=e 1×(ln1+11)=e,即f '(1)的值为e.5.(2019湖北宜昌联考)已知f '(x)是函数f(x)的导数, f(x)=f '(1)·2x +x 2,则f '(2)= . 答案41-2ln2解析 易知f '(x)=f '(1)·2x ln 2+2x,所以f '(1)=f '(1)·2ln 2+2,解得f '(1)=21-2ln2,所以f '(x)=21-2ln2·2x ln 2+2x,所以f '(2)=21-2ln2×22×ln 2+2×2=41-2ln2. 6.曲线y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x-27.已知a ∈R,设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l 在y 轴上的截距为 . 答案 1解析 由题意可得f(1)=a,则切点为(1,a),因为f '(x)=a-1x ,所以切线l 的斜率k=f '(1)=a-1,则切线l 的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,可得y=1,故l 在y 轴上的截距为1.8.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 答案-3解析设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.9.若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0垂直,则实数a=.答案2解析因为f'(x)=sin x+xcos x,所以f'(π2)=sinπ2+π2·cosπ2=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-a2,所以1×(-a2)=-1,解得a=2.10.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,于是有f'(x)=1+1x,由于f'(1)=2,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线的斜率k=2,则曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,故将y=ax2+(a+2)x+1与y=2x-1联立,得ax2+ax+2=0,因为a≠0,两线相切于一点,所以Δ=a2-8a=0,解得a=8.11.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4解析由y=x+4x (x>0),得y'=1-4x2(x>0),设斜率为-1的直线与曲线y=x+4x(x>0)相切于点(x0,x0+4x0),由1-4x02=-1得x0=√2(x0=-√2舍去),∴曲线y=x+4x(x>0)上的点P(√2,3√2)到直线x+y=0的距离最小,最小值为√2+3√2|√12+12=4.12.函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是y=4x+4,求a,b.解析f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4,由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8,∴a=4.综上,a=4,b=4.13.(2019湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解析(1)易知点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以点(2,-6)为切点.因为f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2),f'(2)=13,所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0),f'(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-14x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3x02+1=4,所以x0=±1.所以{x0=1,y0=-14或{x0=-1,y0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.B组提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x 2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1B.0C.1D.2答案 C 依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.若曲线f(x)=ax 2(a>0)与g(x)=ln x 有两条公切线,则a 的取值范围是( )A.(0,1e )B.(0,12e )C.(1e ,+∞)D.(12e ,+∞) 答案 D 假设两曲线相切,设其切点为P(m,n),∴f '(m)=2am=g'(m)=1m ,∴2am 2=1,∵点P 在曲线上, ∴n=am 2=ln m,∴12=ln m, ∴m=e 12,∴a=12e ,当a>12e 时,两曲线相离,∴必然存在两条公切线,∴a ∈(12e ,+∞).3.已知函数f(x)={-x 2+2x,x ≤0,ln(x +1),x >0,若|f(x)|≥ax,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-2,0]解析 作出函数y=|f(x)|的图象与直线y=ax,如图所示,当直线在第四象限的部分介于直线l 与x 轴之间时符合题意,直线l 为曲线f(x)的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的解析式为y=x 2-2x,则y'=2x-2,因为x ≤0,故y'≤-2,故直线l 的斜率为-2,故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可,即a ∈[-2,0].4.已知点M 是曲线y=13x 3-2x 2+3x+1上任意一点,曲线在M 处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解析 (1)∵y'=x 2-4x+3=(x-2)2-1, ∴当x=2时,y'min =-1,此时y=53,∴斜率最小时的切点为(2,53),斜率k=-1,∴切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得切线的斜率k ≥-1, ∴tan α≥-1,∵α∈[0,π),∴α∈[0,π2)∪[3π4,π). 故α的取值范围是[0,π2)∪[3π4,π).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算课题：{导数的概念及运算 一．复习目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点：1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习：1．函数22(21)y x =+的导数是 （ C ）()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x +2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ）()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f3．曲线24y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ）()A (1,3)()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4)4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为34π，则(2)f '-=1-，[(2)]f '-=0． 6．曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4π． 四．例题分析：例1．（1）设函数2()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-； （2）设函数32()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值． （3）设函数()(2)nf x x a =-，求()f x '．解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2()18225f x x x '=++（2）∵32()25f x x x x =-++，∴2()341f x x x '=-+ 由()0f x '=得：203410x x -+=，解得：01x =或013x =（3）0(22)(2)()lim n nx x a x x a f x x∆→-+∆--'=∆112210lim[(2)24(2)2()]n n n nn n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆12(2)n n x a -=-例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ）（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t t S t S ∆-∆+)1()1(中的△t 可正可负例3．（1）曲线C ：32y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；（2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程． 解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩⎨⎧=+++=439271d c b a d∵232y ax bx c '=++ /(0)f c = /(3)276f a b c =++∴12762c a b c =⎧⎨++=-⎩， 可求出11,1,,13d c a b ===-=∴曲线C ：32113y x x x =-+++（2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率200()23k f x x '==-，过切点的切线方程为：3200002(23)()y x x x x x -+=--，∵过点(1,1)A ，∴32000012(23)(1)x x x x -+=--解得：01x =或012x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-= 当012x =-时，切点为17(,)28--，切线方程为：5410x y --=例4．设函数1()1,0f x x x=->(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >； (2)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y f x =上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x 表示） 解：（1）∵()()f a f b =，∴11|1||1|a b -=-，两边平方得：22121211a a b b+-=+- 即：111111()()2()a b ab a b -+=-，∵0a b <<，∴110a b -≠，∴112,2a b ab a b+=+=2ab a b ⇒=+>∴1ab >（2）当01x <<时，11()11f x x x=-=-，00201()(01)f x x x '=-<<曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：00201()y y x x x -=--， 即：02002x x y x x -=-+ ∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为20002(2,0),(0,)x x x x -- ∴所求三角形的面积为22000000211()(2)(2)22x A x x x x x -=-⋅=- 例5．求函数42y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由⎩⎨⎧-=-+=424x y x x y 得420x += 知，两曲线无交点.341y x '=+，要与已知直线平行，须3411x +=，0x =故切点：（0 , －2）. d ==2.五．课后作业：1．曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为（ ）()A 34y x =- ()B 32y x =-+ ()C 43y x =-+ ()D 45y x =-2．已知质点运动的方程为24105s t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为（ ）()A 60 ()B 1 ()C 80 ()D 503．设点P 是曲线335y x =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 （ ）()A 2[0,]3π ()B 2[0,][,)23πππ ()C 2(,]23ππ ()D 2[,]33ππ 4．若0()2f x '=，则00()()lim 2k f x k f x k→∞--=5．设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '=6.已知曲线3:2S y x x =-（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．7.设曲线S ：3266y x x x =---，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为00(,)P x y 求证：曲线S 关于P 点中心对称.8.已知函数22(),()f x x ax b g x x cx d =++=++. 若(21)4()f x g x +=，且()()f x g x ''=，(5)30f =，求(4)g ．9..曲线(1)(2)y x x x =+-上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.10.已知函数32y x ax bx c ==++的图像过点(1,2)P .过P 点的切线与图象仅P 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求()f x 的解析式。
第10讲导数的概念及运算[考纲解读] 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2021年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.1．变化率与导数(1)平均变化率概念对于函数y＝f(x)，□01f(x2)－f(x1)x2－x1＝ΔyΔx叫做函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率几何意义函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的□02斜率物理意义若函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则ΔyΔx就是该质点在[x1，x2]上的□03平均速度函数(x>0，a>0，且a≠1)(x>0)四则运算法则加减[f(x)±g(x)]′＝□08f_′(x)±g′(x)—乘法[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)[cf(x)]′＝cf′(x)除法⎣⎢⎡⎦⎥⎤f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－g′(x)f(x)g2(x)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g(x)′＝－g′(x)g2(x)复合函数导数复合函数y＝f[g(x)]的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间具有关系y′x＝□09 y′u·u′x，这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”1．概念辨析(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()(4)函数f(x)＝sinπ的导数f′(x)＝cosπ.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3x log3e；②(log2x)′＝1x·ln 2；③(e1－x)′＝e1－x；④⎝⎛⎭⎪⎫1ln x′＝x.A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析①中，(3x)′＝3x ln 3，错误；②中，(log2x)′＝1x·ln 2，正确；③中，(e1－x )′＝－e 1－x ，错误；④中，⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝0·ln x －1x(ln x )2＝－1x (ln x )2，错误，因此求导运算正确的个数为1.(2)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D解析 s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t ′＝2t －3t 2，当t ＝2时，s ′＝2×2－322＝134，所以该机器人在t ＝2时的瞬时速度为134.(3)函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1 D ．－37 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4， ∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7， 又f (1)＝10，故切点坐标为(1,10)， ∴切线的方程为y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，切线在x 轴上的截距为－37.(4)已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________. 答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.题型一 导数的运算1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则f ′(1)＝________. 答案 0解析 因为f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1.所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1.解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x －sin2x cos2x ； (3)y ＝e x cos x ； (4)y ＝ln (2x ＋1)x. 解 (1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝18x 2＋4x －3.(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ， 所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x . (3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′ ＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.1.谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.2.熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明2(1)； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．如举例说明2(2).3.求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数.(2)由外向内逐层求导．如举例说明2(4)中对ln (2x ＋1)的求导.求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝sin x x ； (3)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝(sin x )′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin x x 2.(3)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(－e 2－x )＝(3－x 2)e 2－x .题型二 导数的几何意义角度1 求切线方程1.过点(1，－2)且与y ＝x 3－3x 相切的直线方程为( ) A.y ＝－2或9x ＋4y －1＝0 B.y ＝－2 C.9x ＋4y ＋1＝0 D.y ＝0或9x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 y ′＝3x 2－3，设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，此时在切点处的斜率为y ′x ＝x 0＝3x 20－3，所以切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点(1，－2)代入切线方程，整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，分别代入切线方程可得y ＝－2或9x ＋4y －1＝0.2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________. 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .角度2 求切点坐标3.(2019·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A.(0,0) B ．(1，－1) C.(－1,1) D ．(1，－1)或(－1,1)答案 D解析 f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ，由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，所以⎩⎨⎧3x 2＋2ax 0＝－1， ①x 0＋x 30＋ax 20＝0， ②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20，代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1；当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P的坐标为(1，－1)或(－1，1).角度3 求参数的值(范围)4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A.a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎨⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.5.若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C.(0，＋∞) D ．[0，＋∞) 答案 D解析 f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞).求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．如举例说明2.(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)； ②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎨⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程.1.若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A.e－ 12B ．2e － 12C ．e12D ．2e 12答案 B解析 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，则a ＝2x 0＝2e－ 12，故选B.2.已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为________.答案 2解析 因为当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3－ln (－x )，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3＋ln (－x )，则f ′(x )＝3x 2＋1x ，所以f ′(－1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为2.3.已知直线l 为曲线y ＝a ＋ln xx 在点(1，a )处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12时，实数a 的值为________.答案 0或34解析 因为y ′＝1－a －ln xx 2，所以切线l 的斜率为1－a ，则切线l 的方程为y－a ＝(1－a )(x －1)，令x ＝0得y ＝2a －1.令y ＝0得x ＝2a －1a －1.所以直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12|2a －1|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1a －1＝12，即|2a －1|2＝|a －1|.则4a 2－4a ＋1＝1－a ，①或4a 2－4a ＋1＝a －1，② 由方程①解得a ＝0或a ＝34，方程②无解. 所以a ＝0或a ＝34.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
