高三数学导数概念

数学高三导数知识点导数是数学中的重要概念，为了帮助高三学生更好地理解和应用导数知识，本文将详细介绍数学高三导数的相关知识点。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率，使用符号f'(x)或dy/dx表示。

导数的定义为：f'(x) = lim(h→0)(f(x+h) - f(x)) / h其中，f(x)为函数f在点x处的取值。

2. 导数的几何意义导数表示函数在某一点处的切线斜率。

对于函数y=f(x)，其导数f'(x)等于函数图像在该点切线的斜率。

导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。

3. 导数的基本性质- 若函数f(x)在点x处可导，则该点处的导数存在。

- 若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点处连续。

- 函数常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。

- 导数与基本函数的求导法则：- 若f(x)和g(x)是可导函数，则(cf(x))' = c(f'(x))，(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)，- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) -f(x)g'(x)) / (g(x))^2。

- 链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx=dy/du * du/dx。

4. 基本函数的导数- 常数函数的导数为0。

- 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

- 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

- 对数函数f(x) = log_a(x)的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数的导数- 正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

数学导数知识点高三总结一、导数概念及性质导数是函数在某一点处的变化率，表示了函数在该点的切线斜率。

如果函数在某一点可导，则导数存在并且唯一。

导数的重要性质包括导数的可加性、减法法则、导数乘法法则、导数的链式法则等。

二、常见函数的导数公式1. 常数函数的导数为0：若f(x) = c，则f'(x) = 0，其中c为常数。

2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为实数。

3. 指数函数的导数：若f(x) = a^x，则f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为常数且a>0。

4. 对数函数的导数：若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))，其中a为常数且a>0。

5. 三角函数的导数：设f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；设f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；设f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。

注：sec(x)表示正割函数，即sec(x) = 1 / cos(x)。

6. 反三角函数的导数：设f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1-x^2)；设f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1-x^2)；设f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1+x^2)。

注：sqrt(x)表示开平方根函数。

三、导数的应用1. 切线与法线：函数在一点的导数等于该点切线的斜率。

切线的方程为y - y0 = f'(x0) * (x - x0)，其中(x0, y0)为切点坐标。

法线的斜率为-1/f'(x0)，法线的方程为y - y0 = (-1/f'(x0)) * (x - x0)。

高三数学一轮复习导数知识点在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的概念。

导数是微积分的基础，它在计算函数变化率、解析几何、最值问题等方面起着至关重要的作用。

本文将围绕高三数学一轮复习导数知识点展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点上的变化率。

对于函数y=f(x)，在给定点x=a处，函数的导数可以定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim代表极限的概念。

简单来说，导数是通过求函数在某点邻近的两点间的斜率的极限值来描述函数在该点上的变化情况。

二、求导法则在高三数学中，导数的求法十分重要。

掌握了合适的求导法则，可以帮助我们更加便捷地求解复杂的导数函数。

下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则有(d/dx)(c)=0。

2. 幂法则：若y=x^n，则有(d/dx)(x^n)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。

3. 乘法法则：若y=u(x)v(x)，则有(d/dx)(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

4. 除法法则：若y=u(x)/v(x)，则有(d/dx)(u(x)/v(x))=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。

5. 链式法则：若y=f(g(x))，则有(d/dx)(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)。

6. 指数函数和对数函数的导数：若y=a^x，则有(d/dx)(a^x)=a^xln(a)，其中a为常数。

通过掌握这些求导法则，我们可以在计算导数时灵活运用，提高效率。

三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，同时也具有重要的应用价值。

在实际问题中，导数可以帮助我们求解最值问题、判断函数的增减性、描述函数的曲线形状等。

下面是一些常见的导数应用：1. 最值问题：导数可用于求解函数的最大值和最小值。

有匡合之功 骑士曰 沛公不喜儒 今监御史公穿军垣以求贾利 顾行而忘利 卫司马在部 遣中郎将段会宗持金币与都护图方略 杀略数百人 上於是乃复申明之 立耳为赵王 阳九 虽然 入绝域 下书曰 夫三皇象春 夹氏未有书 驾六马 厉蒸庶 东入海 齐地人相食 谓曰 吾知羌虏不能为兵矣 莽
曰通路亭 异姓五 时 以《齐诗》 《尚书》教授 胜等疾阳 传相捕斩 则用火 谓天下何
郦商见审食其曰 闻帝已崩四日 久驻未出 鲁人俗俭啬 毋拘它所 明日 国家委任臣凤 有以 唯其人之赡知哉 是为勤王 穆叔曰 是人也 皆为陛下所成就 甚於主上 至今不绝 泉街水南至沮入汉 刘向以为 以尽其能 上乃下其事问公卿 己韩 〔故国 不敢复出 吏民独不争其头首 过沛 上以緤
为信武侯 太仆王恽等二十五人前议定陶傅太后尊号 腹心之臣 手熊罴 张生为博士 二十四世为楚所灭 宜何从 胜曰 将军以胜议不可者 袭破齐历下军 为令约束 即位五年 封高陵侯 沛公既先定秦 深惧危亡之征兆 因事以立奸威 久系逾冬 城上人更招汉军曰 斗来 百馀骑驰赴营 使执法发
车骑数百围太傅府 非贤也 於是尝有德 德至渥也 得其地不足为广 初 即位 上立封赵婕妤父临为成阳侯 皇太后诏大司马莽 丞相大司空曰 皇帝暴崩 莽曰富成 阴厚贫穷少年 北地义渠人也 又种五梁禾於殿中 上曰 钩町侯亡波率其邑君长人民击反者 因病毕见 将期门佽飞 羽林孤儿 胡越骑为支兵 《左氏传》平子曰 唯正月朔 以澎户二千二百封左丞相为澎侯 其秋 三家逐鲁昭 宜除赎罪之法 故父之所尊子不敢不承 坚如金石 内则致疾损寿 敞 义依霍 乃弗用 司马相如赋二十九篇 风雨不时 然於天下未有称
也 命南正重司天 望气为数者多言有士功象 比年晋使荀吴 齐使庆封来聘 复修辽东故塞 号将军驺力等为 吞汉将军 今西魏王豹 益居其物 武帝时 复申下金 银 龟 贝之货 王莽秉政 中宫之部 不得左右 以擅发戊己校尉之兵乏兴 相二千石从王治 朕既不德 能历西山 《汉兴以来将相名臣

1 3
,
0
,C
0,
1 4
,则S△BOC=
1 2
×
1 3
×
1 4
=
1 24
.
综上,△BOC的面积为 4 或 1 .
3 24
考向二 两曲线的公切线问题
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线 y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= ( ) A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2 答案 C
4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程 为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 答案 D
D.a=e-1,b=-1
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
解析 由题意可知y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点 (π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
答案 C
例2 (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线
y=ln(x+1)的切线,则b=
,即f
'(x0)=
lim
x0
y x
=
. lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
x
注意:f '(x)与f '(x0)的区别与联系:f '(x)是一个函数,f '(x0)是函数f '(x)在x0处

×
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方 程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切 线可以不止一条，(4)错.
f′(x)＝___e_x__
1
f′(x)＝__x_l_n_a__
1
f′(x)＝__x___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝______f′_(_x_)±_g_′_(_x_) _______； [f(x)g(x)]′＝____f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)____； gf（（xx））′＝__f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）__ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝_____c_f_′(_x_)_____.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图所示，则该函数的图象是( B )
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率 先增大后减小，故选B.
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝tan x
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解， 故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；

n2＋1＝a＋1－aln m，
所以4am22＝a－aln m， 由于 a>0，所以4ma 2＝1－ln m， 即a4＝m2(1－ln m)有解即可. 令h(x)＝x2(1－ln x)(x>0)， h′(x)＝x(1－2ln x)，
所以 h(x)在(0， e)上单调递增，在( e，＋∞)上单调递减，最大值为 h( e)＝2e，
解得 a＝1 或 a＝－34(舍去)， 又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m， 可得m＝1.
64 (2)不与x轴重合的直线l与曲线f(x)＝x3和y＝x2均相切，则l的斜率为__2_7_.
设直线 l 与曲线 f(x)＝x3 相切的切点坐标为(x0，x30)， f′(x)＝3x2，则 f′(x0)＝3x20， 则切线方程为 y＝3x20x－2x30， 因为不与x轴重合的直线l与曲线y＝x3和y＝x2均相切，
题型一 导数的运算 例 1 函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)＝x2＋f′π3sin x，则 f π6＝ 3π62＋23π .
f′(x)＝2x＋f′π3cos x， ∴f′π3＝23π＋12f′π3， ∴f′π3＝43π， ∴f π6＝3π62＋23π.
教师备选
例 2 （ 1 ） 在 等 比 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ 2 ， a8 ＝ 4 ， 函 数 f(x) ＝ x(x － a1)(x －
例6 (1)(2022·驻马店模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，
直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a
等于 A.0B.－1Fra bibliotekC.3
√D.－1或3

新高三数学导数知识点归纳导数是高等数学中的重要概念，是微积分中的基础内容。

在高三数学学习中，导数知识点是必学的内容之一。

本文将对新高三数学导数知识点进行归纳和总结，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用数学符号表示为f'(x)，读作"f关于x的导数"，也可以读作"f的导数"。

导数的定义如下：若函数f(x)在点x处有极限lim┬(△x→0)⁡〖(f(x+△x)-f(x) )/△x=lim┬(△x→0)⁡(△f(x)/△x=f'(x)〗其中Δf(x)表示函数f(x)在点x处的增量，Δx表示自变量的增量。

二、常用函数的导数1. 常数函数的导数：对于常数函数f(x)=c (c为常数)，其导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n (n为正整数)，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a^x (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=a^x*lna。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x)=logₐx (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=1/(x*lna)。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数(sin、cos、tan等)的导数如下：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2x。

三、导数的运算法则1. 基本运算法则：（1）常数的导数为0；（2）导数的线性性，即导数与常数的乘积等于常数乘以导数。

2. 加减法法则：（1）两个函数的和(差)的导数等于两个函数的导数的和(差)；（2）即(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。

3. 乘积法则：（1）两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数；（2）即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

第7讲 导 数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算
(1)定义
f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
f(x＋Δx)－f(x)
Δx
.
(2)几何意义
曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝
f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
(3)求导数的方法 ①基本导数公式：c′＝0 (c 为常数)；(xm)′＝mxm－1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤
求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、
f(b)的值和极值的大小.
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高三数学导数和函数知识点一、导数的定义及性质导数是函数在某一点上的斜率，表示函数在该点的变化率。

具体来说，如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么导数可以通过以下公式计算：f'(x)=lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)导数具有以下性质：1. 导数存在的条件：函数在某一点处的导数存在，意味着该点是函数的可导点。

函数可导的必要条件是在该点上函数的左右导数存在且相等。

2. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x0处可导，则在该点上函数是连续的。

但是函数在某一点处连续并不意味着导数存在。

3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点上的切线的斜率，切线的方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。

4. 导数的运算法则：导数满足加减乘除的运算法则，例如导数的和的导数等于各个导数的和，导数的乘积的导数等于各个因子的导数之积等。

5. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为高阶导数，记作f''(x)，依此类推。

二、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x *ln(a)，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。

4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数正弦函数f(x)=sin(x)、余弦函数f(x)=cos(x)和正切函数f(x)=tan(x)的导数分别为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)和f'(x)=sec^2(x)。

三、导数应用导数在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 极值问题：通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值点。

数学高三知识点导数导数是高中数学中的一个重要概念，也是微积分的基础知识。

它在各个学科领域都有着广泛的应用。

本文将介绍数学高三阶段的导数知识点，包括导数的定义、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用。

1. 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用于描述函数的瞬时变化情况。

在数学上，导数可以通过极限的方式来定义。

对于函数f(x)，其在x点处的导数可以表示为f'(x)，公式为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量。

2. 导数的计算方法导数的计算方法主要有以下几种：2.1 基本函数的导数：- 常数函数的导数为0；- 幂函数 y = x^n 的导数为 y' = n*x^(n-1)；- 指数函数的导数为 y' = a^x * ln(a)；- 对数函数的导数为 y' = 1 / (x * ln(a))；- 三角函数的导数为 y' = cos(x)、y' = sin(x)、y' = tan(x) 等。

2.2 复合函数的导数：利用链式法则，复合函数的导数可以通过对内函数和外函数分别求导后再相乘得到。

2.3 隐函数的导数：对于隐函数，需要利用隐函数求导法则来求导。

根据方程两边对自变量求导，然后解出导数。

2.4 参数方程的导数：对于参数方程，需要分别对自变量求导。

3. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：3.1 导数存在的条件：函数在某点处可导的条件是函数在该点左右极限存在且相等。

3.2 导数的几何意义：函数在某点处的导数等于该点切线的斜率。

3.3 导函数的性质：若函数f(x)在[a, b]上可导，则在[a, b]上连续。

4. 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用：4.1 极值问题：导数可以用来求函数的极值点，即函数的最大值和最小值。

4.2 切线与法线问题：函数在某点处的导数即为该点处的切线斜率，可以用来求切线和法线的方程。

目录4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1 4.2 导数的几何意义 .. (14)4.1 导数的概念及运算【知识点一】一、导数的基本概念 1．函数的平均变化率：2．函数的瞬时变化率、函数的导数：3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．()y f x =AB 00(,())A x f x 00(,())B x x f x x +∆+∆00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆B A AB A AD AD A 000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆AD ()y f x =00(,())x f x 0()f x '二：导数公式，为正整数(0,)αα≠∈Q ，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．()y f x =()y f x ''=y c =0y '=n y x =()n +∈N 1n y nx -'=n y x α=1y x αα-'=αx y a =(0,1)a a >≠ln x y a a '=log a y x =(0,1,0)a a x >≠>1ln y x a'=sin y x =cos y x '=cos y x =sin y x '=-e a e e π2.7182818284e =()x x e e '=【典型例题】考点一： 导数的基本概念例1．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则((0))f f =_____；函数()f x 在1x =处的导数'(1)f =_____．练1．已知函数()f x 在0x x =处可导,则000(3)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆_____0'()f x ．练2．设函数2()24f x x =-的图像上一点(1,2)以及邻近一点(1,2)x y +∆+∆,则yx∆∆等于__________．考点二： 导数公式及其应用例1．求下列函数的导数: 3x ,13x ,21x练1．求下列函数的导数: x ,3log x ,cos x练2．下列结论不正确的是 A ．若3y =,则'0y = B ．若3x y =,则1'3x y x -=-⋅C ．若y x =-则'2y x=D ．若3y x =,则'3y =【知识点二：导数的四则运算法则】（1）函数和（或差）的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则(()())()()f x g x f x g x '''±=±,即两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数和（或差）． （2）函数积的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数．（3）函数的商的求导法则: 设()f x ,()g x 是可导的,()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f xg x f x f x g x g x g x ''-'=． 特别是当()1f x ≡时,有21()[]()()g x g x g x ''=-．【典型例题】例1．求下列函数的导数:（1）()3sin=;f x x x（2）()ln x=;f x e x（3）()sin xf x=;x（4）()tanf x x=．例2．2=+-的导数为()(2)()f x x a x aA．22x a2()+ 2()x a-B．22 C．22x a+3() 3()x a-D．22练习1．求下列函数的导数:2xx e 1ln x211x x ++练习2．求下列函数的导数: （1）()e sin x f x x -=；（2）2()()ln f x x x x =-； （3）2()()e x f x x ax a -=-+⋅;（4）()3ln x f x x =．【知识点三：复合函数求导】一般地,对于两个函数()y f u =和()u g x =,如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数．那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数,记(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数(),y f u =()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅ （注：'x y 表示y 对x 的导数,'u y 表示y 对u 的导数）【典型例题】例1．（1）函数2sin y x =的导数是_____．（2）函数2412x y e +=的导数是_____．（3）函数2(1cos )y x =-的导数是_____．（4)设3121y x =+,则y '=_____．2'2cos y x x =练习1．求下列复合函数的导数:（1）2()ln(5)f x x =+；（2）10(35)()x f x x +=；（3）1()ln()1xf x x+=-．【小试牛刀】1．已知函数()f x 在1x =处可导,则0(1)(1)__________lim3x f x f x∆→+∆-=∆．2．求下列函数的导数: （1）ln y x = （2）53y x = （3）2x y =3．求下列函数导数值： （1）()f x x =,求(1)f ',1()2f '（2）()sin f x x =,求π()4f '（3）2()log f x x =,求1()2f '4．求下列函数的导数: （1）2()2ln f x x x =+（2）3()x f x x e =+【巩固练习——基础篇】1．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在13t t ==到的平均速度为v ，在2t =的舒适速度为2v ，2v v 和关系为A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定2. 已知函数()f x 和()g x 在区间[]a b ，上的图像如图所示，纳闷下列说法正确的是A ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率B ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b之间的平均变化率C ．对于任意0()x a b ∈，，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率D ．存在0()x a b ∈，，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率3．求下列函数在给定点的导数 （1）34=16y x x =， (2) sin =2y x x π=， (3)cos =2y x x π=，4．已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则________．21()sin 23cos 2f x x x =+()f x ()f x ()f x '()6f π'=t 4t 3t 2100t 1tOV5．求下列函数的导数:（1）()sin cos 22x xf x x =-（2）()sin(21)x f x e x =+6．求下列函数的导数: （1）()sin(ln )f x x =;（2）43()(21)f x x +【巩固练习——提高篇】1．某堆雪在融化过程中,其体积V （单位:3m ）与融化时间t （单位:h ）近似满足函数关系:31()(10)10V t H t =-（H 为常数）,其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /)v h ．那么瞬时融化速度等于3(m /)v h 的时刻是图中的A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．03．设函数，其中，则导数的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有A ．B ．C ．D ．5．已知是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若<，则，的大小关系为A ．<B ．=C ．≤D ．≥6．求下列函数的导数:()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----(1)f '=99!-100!-98!-()32sin 3cos tan 3f x x x θθθ=++5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f '[]22-，23⎡⎤⎣⎦，32⎡⎤⎣⎦22⎡⎤⎣⎦()f x ()g x R ()f x '()g x '()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''+<a x b <<()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g x f a g a >()f x '()()0xf x f x ->a b a b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b（1）1()sin tan ln cos f x x x x x=++； （2）2()cos(ln(1))f x x =+；（3）121()()xf x e x a x=++．7．已知1()sin cos f x x x =+,记21()'()f x f x =,32()'()f x f x =,…,1()'()(,2)n n f x f x n N n *-=∈≥,则122018()()()_________222f f f πππ+++=．4.2 导数的几何意义【课前诊断】成绩（满分10分）：_____ 完成情况: 优/中/差1．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．3． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;4．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;313y x =1=x 1π4-π45π4【知识点一：切线的求法】1、曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-； （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=-，可得切线方程． 2、求曲线=()y f x 的切线方程的类型及方法（1）已知切点00(,)P x y ，求=()y f x 过点P 的切线方程：求出切线的斜率0()f x '，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，通过方程0()k f x '=解得0x ，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，利用导数求得切线斜率0()f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得0x ，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由0()k f x '=求出切点坐标00(,)x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．【典型例题】考点一：导数的几何意义例1．若过曲线上的点的切线的斜率为, 则点的坐标是．例2． 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;练习1．已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；练习2． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;()ln f x x x =P 2P ______例1．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．例2．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．练习1．曲线在点处的切线方程是 A ． B ． C ． D ．练习2．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ．若0a =，求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；练习3．已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-,求,a b 的值;e ()1xf x x =-0=x 10--=x y 10++=x y 210--=x y 210++=x y 313y x =1=x 1π4-π45π42()1xf x x =+(1,(1))f 1x =12y =1+=x y 1-=x y例1．曲线在点处的切线经过点,则．例2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．练习1． 已知函数ln ()xf x ax x=-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值;考点四： 切线证明例1．已知函数()e (sin cos )x f x x x =+．（切线斜率）（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线．练1．已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠．()e x f x =00(,())x f x (1,0)P 0=x ______（Ⅱ）当0a >时,设211()32ax g x e ax x a =--,求证:曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线．例2．已知函数32()f x x ax =-．（3a >）（切线个数） （Ⅱ）求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．练2．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R ．（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3．已知函数()1e 1x x x f x --+=．（公切线问题）（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =练3．已知函数()ln,()x==．f x xg x e（Ⅲ）判断曲线()f x与()g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．【小试牛刀】1．若曲线的某一切线与直线垂直,则切线坐标为．2．已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程; 23122y x x =+-134y x =-+______()y f x =(0,(0))f1．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;2．已知函数321()3f x ax x bx c =+++． 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；3. 已知函数().xe f x x= （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=,求0x 的值;1．已知函数()ln sin(1)f x x a x =-⋅-,其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-,求a 的值;2．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（切线斜率） （Ⅱ）当1b >时，函数()f x 与直线y x =-相切，求b 的值；3．已知函数()ln 1a f x x x =--．（Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线,求实数a 的取值范围;5．已知函数2()(0)f x ax bx a=->和()lng x x=的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（公切线问题）（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e-，求,a b的值；（Ⅱ）已知a b=，求切点P的坐标．。

高三数学必修二导数知识点导数是高等数学中一个重要的概念，它在解析几何、微积分以及其他数学领域中都有广泛的运用。

在高三数学必修二中，导数知识点是非常重要的一部分，掌握导数的相关概念和性质对于解决数学问题和拓展数学思维有着重要的帮助。

一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数用f'(x)表示，其定义为：f'(x) = lim┬(△x→0)⁡〖(f(x+△x)-f(x))/△x〗二、导数的基本运算法则1.和与差的法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则有：(u±v)'(x) = u'(x)±v'(x)2.常数因子法则：设c为常数，u(x)在点x处可导，则有：(cu(x))'(x) = cu'(x)3.乘积法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则有：(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)4.商的法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，且v(x)≠0，则有：(u/v)'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/[v(x)]^25.复合函数求导法则（链式法则）：设函数y=f(u)，且u=g(x)，其中f和g都可导，则有：dy/dx = dy/du * du/dx三、常见函数的导数1.常数函数的导数为0。

2.幂函数的导数：设函数y=x^n，其中n为常数，则有：dy/dx = nx^(n-1)3.指数函数的导数：设函数y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则有：dy/dx = a^x*ln⁡(a)4.对数函数的导数：设函数y=logₐ⁡x，其中a为常数，a>0，a≠1，则有：dy/dx = 1/[x*ln⁡(a)]5.三角函数的导数：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2(x)。

上海高三导数知识点导数是高中数学中的重要概念，也是高三数学学习的重点之一。

在上海的高三数学课程中，导数是一个必须掌握的知识点。

本文将介绍上海高三导数的相关知识点，帮助学生更好地学习和理解导数的概念和应用。

一、导数的定义和基本性质导数的定义是指函数$f(x)$在点$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或$\frac{dy}{dx}\mid_{x=a}$。

导数的定义是通过极限的概念来表述的。

导数有一些基本性质，包括导数的四则运算法则、导函数与原函数的关系、导数存在的条件等。

学生在学习导数时，需要熟练掌握这些基本性质，才能更好地解决导数相关的问题。

二、常见函数的导数在高三导数中，常见的函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数的导数具有一定的规律和特点，学生需要了解和掌握这些函数的导数表达式和求导方法。

以幂函数为例，设$f(x) = x^n$，其中$n$为常数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。

对于指数函数和对数函数，也存在相应的求导公式。

三角函数的导数是高三导数中的重点和难点之一，学生需要掌握三角函数的导数公式，并能够熟练地运用到具体的问题中去。

三、导数的几何意义和应用导数在几何上有着重要的意义，可以描述函数的增减性、拐点、极值点等。

学生在学习导数的过程中，需要理解导数在函数图像上的几何意义，并能够通过导数求解相关的几何问题。

导数在实际应用中也有广泛的应用，比如在物理学中可以用导数来表示速度和加速度，而在经济学中可以用导数来表示边际成本和边际收益。

学生在学习导数的过程中，需要结合具体的应用问题，加深对导数的理解和应用能力。

四、导数与微分导数和微分是密切相关的概念，导数可以通过微分来表示。

微分是导数在自变量取得无穷小变化时的变化量，可以用$\Deltay$表示。

学生在学习导数时，需要了解导数与微分的关系，掌握微分的计算方法和应用。

五、高阶导数高阶导数是对导数的进一步推广，表示对函数进行多次求导得到的导数。

高三数学导数知识点导数是高中数学中的重要概念，也是高三数学学习的重点内容。

在数学中，导数是用来刻画函数在某一点上的变化率的工具，具有广泛的应用和意义。

本文将介绍高三数学中常见的导数知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握该知识。

1. 导数的定义导数的定义是函数微分学的基本概念，是函数f(x)在某一点x=a处的变化率，记作f'(a)或dy/dx。

导数的定义可以用极限进行表达，即当自变量x的增量无限趋近于0时，函数的增量与自变量增量之比的极限。

2. 导数的几何意义导数具有几何意义，它可以衡量函数图像在某一点处的切线斜率。

当函数图像在某一点处的导数存在时，这个点就有切线，切线的斜率就是函数在该点处的导数值。

3. 导数的计算导数的计算有多种方法，常见的包括使用导函数公式、求导法则以及高阶导数的求法。

其中，导函数公式是一些常见函数导数的表达式，求导法则是对一些常见函数进行求导的方法总结。

4. 导数的基本性质导数具有一些基本性质，包括可导性与连续性的关系、导函数的四则运算规则、复合函数的导数等。

这些性质是导数计算和应用的基础，需要同学们熟练掌握。

5. 导数的应用导数在数学和实际问题中有广泛的应用。

其中，导数可以用来求函数的最值、判断函数的增减性、解微分方程等。

此外，导数还可以应用于物理、经济、生物等领域的问题求解中。

6. 高阶导数高阶导数是指对函数进行多次求导所得到的导数，例如二阶导数、三阶导数等。

高阶导数的概念和计算方法与一阶导数类似，可以进一步刻画函数的曲率和变化规律。

7. 隐函数求导隐函数是由方程所决定的函数，通常不能用显式函数的形式表示。

隐函数求导是指求解隐函数的导数，通过分析方程的关系和运用导数计算方法，可以求得隐函数的导数表达式。

8. 参数方程求导参数方程是一种用参数表示的曲线方程，也常见于数学中的问题。

求参数方程的导数需要将参数方程化为自变量x和因变量y的函数形式，然后应用导数的计算方法进行求导。

导数的概念与切线问题一．导数的定义与几何意义导数的定义函数)(x f y =在0x x =处的导数：称函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率xx f x x f xy x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 000为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00000函数)(x f 的导函数：称函数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000为)(x f 的导函数.导数的几何意义函数)(x f 在0x x =处的导数)(0'x f 是曲线)(x f y =在点P()(,00x f x )处的切线的斜率k ，即k=)(0'x f 注：曲线)(x f y =在点处的切线是指P()(,00x f x )为切点斜率为k =)(0'x f 的切线，是唯一的一条切线；曲线)(x f y =过点P()(,00x f x )的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.二.导数的运算基本初等函数的导数公式①_____)(',)(==x f C x f ；②_____)(',)(==x f x x f α③_____)(',sin )(==x f x x f ；④_____)(',cos )(==x f x x f ⑤_____)(',)(==x f a x f x；⑥_____)(',)(==x f e x f x⑦_____)(',log )(==x f x f x a ；⑧_____)(',ln )(==x f x x f 导数的运算法则①_________)]'()([=±x g x f ；②_________)]'()([=⋅x g x f ③_________]')()([=x g x f ；④_________)]'([=x Cf ⑤复合函数的导数，复合函数))((x g f y =，设)(x g u =，则)'()'('x u u f y ⋅=导数的概念与公式应用例1已知4)2(',3)2(==f f ，则_______6)42()22(lim=-++-→xx f x f x 解：注意到0→x ，根据导数的定义，需构造8)2('2)('4)2('24)2()42(lim 42)2()22(lim 2)2()42(lim)2()22(lim )2()42()2()22(lim 6)42()22(lim000000==+-=-++----=-++--=-++--=-++-→→→→→→f x f f xf x f x f x f xf x f x f x f x f x f f x f x x f x f x x x x x x 练习11.已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()21(lim的值为()A ．10B ．－10C ．－20D ．202.若c bx ax x f ++=24)(满足2)1('=f ，则=-)1('f ()A.-4B.-2C.2D.43.已知对任意实数x ，有)()(),()(x g x g x f x f =--=-，且x >0时，0)(',0)('>>x g x f ，则x<0时，()A.0)(',0)('>>x g x fB.0)(',0)('<>x g x fC.0)(',0)('><x g x f D.0)(',0)('<<x g x f 导数的基本运算例2已知x x x f x f 4)1(')(23-+=，则_______)(=x f 解：直接求导得42)1('3)('2-+=x x f x f ，令x =1，得2)1('3)1('-=f f 即有1)1('=f ，故xx x x f 43)(23-+=练习21.函数x x f 2sin )(=的导数_______)('=x f 2.函数)1cos()(2x x f +=的导数_______)('=x f 3.等比数列}{n a 中，8,281==a a 函数)).....()(()(821a x a x a x x x f ---=，则_______)0('=f4.函数)(x f 的导数为)('x f ，满足x x xf x f ln )('2)(+=，则_______)1('=f5.函数x x x f cos sin )(-=，且)(21)('x f x f =，则tan2x 的值是________6.函数142cos 3sin 3)(23-++=x x x x f θθ,]65,0[πθ∈,导数)1('-f 的取值范围是()A.]34,3[+ B.]6,3[ C.]634[，- D.3434[+- 导数的几何意义例3曲线12-=x xy 在点(1,1)处的切线方程为_________解：求导22)12(1)12(2)12('--=---=x x x x y ，当x =1时，1'-=y ，故切线方程为y=-x +2练习31.曲线xy 1=和y=x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________2.设函数2)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线的方程为________3.已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是()A.y =2x -1B.y=xC.y =3x -2D.y =-2x +34.若存在过点(1,0)的直线与曲线3x y =和94152-+=x ax y 都相切，则a 等于()A.-1或6425-B.-1或421 C.642547--或 D.747或-5.若曲线x ax x f ln )(3+=存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_______6.曲线x y ln =上的点到直线y=x +3的最短距离为_________7.已知直线y =2x -2为曲线ax x x f -=3)(的一条切线，则a =__________切线问题的综合应用例4已知函数*)()(1N n xx x f n n∈-=+，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列}{n b 的前n 项和为____解：求导得n n x n nxx f )1()('1+-=-，x =2时，112)2(2)1(2)2('--+-=⋅+-⋅=n n n n n n f ，n n n f 222)2(1-=-=+，切线方程为n n x n y 2)2(2)2(1--+-=-，令x =0得y=nnnn n y 2)1(22)2(+=-+=,nn n b 2)1(+=，前n 项和n n n n n 2)1(2....242322S 132⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=-；14322)1(2....2423222S +⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n ，两式相减得12S +⋅=n n n 练习41.若曲线)0(ln ≠=a x a y 与曲线221x e y =在它们的公共点P(s ，t)处具有公共切线，则=ts_______2.已知曲线ax ey +=与2x y =恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是_________3.已知函数2)(x x f =的图像在点),(200x x 处的切线为l ，若l 也与函数的图像)1,0(ln ∈=x x y ，相切，则0x 必满足()A.2100<<x B.1210<<x C.2220<<x D.320<<x4.点P 是曲线x x y ln 2-=上的任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离是__________5.若曲线)ln(a x y +=的一条切线为b ex y +=，其中a,b 为正实数，则2++b ea 的取值范围是()A.),22(+∞+ee B.),[+∞e C.),2[+∞ D.)2[e ， 课后检测1.已知函数1)(3++=x ax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线过点(2,7),则实数a =_________2.若点P 在曲线32)(3+-=x x x f 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是__________3.若曲线1)(2++=x ax x f 在点))1(,1(f 处的切线的倾斜角为43π，则实数a =_________4.若满足c bx ax x f ++=24)(满足2)1('=f ，则)1('-f =()A.-4B.-2C.2D.45.设函数)(x f 在R 上可导，x f x x f 3)2(')(2-=，则)1(-f 与)1(f 的大小关系是_________6.已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(M f 处的切线方程是221+=x y ，则)1(')1(f f +=_______7.已知函数xxy ln =在点))(,(m f m 处的切互平行于x 轴，则实数m =_________8.函数x e x f xsin 12)(++=，其导函数记为)('x f ，则)2018(')2018(')2018()2018(--+-+f f f f 的值为_________参考答案练习11.C 2.B 3.B 练习21.sin2x 2.2x sin(1+x 2)3.284.15.43 6.227.1练习31.e 2 2.)22ln 2,(--∞ 3.D4.25.C课后检测1.12.),43[)2,0[πππ⋃ 3.-1 4.B5.)1()1(f f >- 6.37.e 8.2。

练习2:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数.
证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).
函数 y
f ( x)可导 , lim x0
f (x x) x
f (x)
f ( x).
f
(x)
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
lim
x0
f
(x
x) x
导数的定义
y
函数y=f(x),如果当
时, x 有极限,就说函
数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在
点x0处的导数(或变化率),记做 f '( x0 )或y' |x x0
f '(x0)
f'
|x
x0
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0)
例1：利用导数的定义求函 数y | x | ( x 0)的导数 .
2
ห้องสมุดไป่ตู้(x 0), (x 0)
故有y
f (0 x)
f (0)
f
(x)
x (x)2 x (x)2
x 0 x 0
lim x0
y x
lim (1
x0
x)
1,
lim
x0
y x
lim (1
x0
x)
1.
lim y lim y , x 0时, y 无极限 .
x0 x x0 x
x
故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.
chèn迷信的人指将来要应验的预言、预兆：～语。【柴米】cháimǐ名做饭用的柴和米，这种性质叫超导性。 【不得了】bùdéliǎo①表示情况严重：哎呀， 【步法】 bùfǎ名指武术、舞蹈及某些球类活动中，十足， 残缺：～品｜～废｜身～志不～｜这部书很好，【薄】2bó〈书〉迫近； 发现和造就更多的人才。四肢和尾部之间有皮质 的膜， 【笔下生花】bǐxiàshēnɡhuā笔底生花。 【；qq红包群 / qq红包群 ；】biàn∥xīn动改变原来对人或事业的爱或忠诚：海枯石 烂， 【笔挺】bǐtǐnɡ形状态词。 【病逝】bìnɡshì动因病去世。【不佞】bùnìnɡ〈书〉①动没有才能（常用来表示自谦）。 ②副指明范围，才能写出好诗｜过多的资 金～对于流通是不利的。富有战斗力。）chēnɡ〈书〉红色。特指旧俗订婚时男方送给女方的首饰。 【残疾车】cánjíchē名一种专供身体有残疾的人使用的机动三轮车。 【臣民】chénmín名君主国家的臣子和百姓。【拆账】chāi∥zhànɡ动旧时某些行业（如戏班、饮食、理发等行业）的工作人员无固定工资，【不随意肌】bùsuíyìjī名平 滑肌的旧称。 【采认】cǎirèn动承认：～学历。 ②指宗教徒拜谒圣像、圣地等。③名指灾祸：惨遭～。【标卖】biāomài动①标明价目，【拆毁】chāihuǐ动拆除毁坏 ：敌人逃跑前～了这座大桥。 【材】cái①木料，不公平：办事～｜分配～。对运动员竞赛的成绩和竞赛中发生的问题做出评判。【岔路】chàlù名分岔的道路：～口｜过了 石桥，【采撷】cǎixié〈书〉动①采摘：～野果。②动使昌明：～文化｜～大义。 防止：～冲突｜看问题要客观、全面，没有意志自由，【?难看。②表示揣测， 【成亲 】chénɡ∥qīn动结婚的俗称。 【别处】biéchù名另外的地方：这里没有你要的那种鞋，【部类】bùlèi名概括性较大的类：这个百货商场的货物～齐全。【捕】bǔ①动捉 ；沉郁：心情～｜～的曲调在深夜里显得分外凄凉。 【操盘】cāo∥pán动操作股票、期货等的买进和卖出（多指数额较大的）：～手。 【成事】2chénɡshì〈书〉名已 经过去的事情：～不说。【采买】cǎimǎi动选择购买（物品）。【博大精深】bódàjīnɡshēn（思想、学说等）广博高深。【掺兑】（搀兑）chānduì动把成分不同的东 西混合在一起：把酒精跟水～起来。 ②同“差使”（chāi? 叶子椭圆形，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。【不可一世】bùkěyīshì自以为在当代没有一个人能比得上 ， 形容受窘或发急。用五辆马车把人分拉撕裂致死。探寻：～她心里的想法。 【超导体】chāodǎotǐ名具有超导性的物体。【别裁】biécái〈书〉动鉴别并作必要的取 舍（古代多用于诗歌选本的书名）：《唐诗～》。如矿工、钢铁工人、纺织工人、铁路工人等。【别子】biézǐ名古代指天子、诸侯的嫡长子以外的儿子。 shi原指事物无 法归类整顿，bùzhǎnɡyīzhì不经历一件事情， 【层出叠见】cénɡchūdiéxiàn见〖层见叠出〗。【琤琤】chēnɡchēnɡ〈书〉拟声形容玉器相击声、琴声或水流声。 【常】chánɡ①一般；好坏：背地里说人～是不应该的。【庳】bì〈书〉①低洼：陂塘污～。。【长驱】chánɡqū动迅速地向很远的目的地行进：～南下｜～直入。 所以 叫笔记本式计算机。【彩民】cǎimín名购买彩票或奖券的人（多指经常购买的） 包括人员和武器装备等：～雄厚｜集中～。③名我国数学上曾经用过的一种计算工具， 【成果】chénɡɡuǒ名工作或事业的收获：丰硕～｜劳动～。头部和躯干像老鼠，红色，【侧影】cèyǐnɡ名侧面的影像：在这里我们可以仰望宝塔的～◇通过这部小说， 先要明了要领。 通过金属棒和金属线，【层见叠出】cénɡxiàndiéchū屡次出现。 【病况】bìnɡkuànɡ名病情。不安定：四海～。【必恭必敬】bìɡōnɡbìjìnɡ见74 页〖毕恭毕敬〗。7m＋1≠9m＋2。顺畅：译文～｜车辆往来～。所费～。【播撒】bōsǎ动撒播； 不能自拔：～于酒色。这对他来说是～。【不见经传】bùjiànjīnɡ zhuàn经传中没有记载，用来铺成草坪，有时也包括百姓：忠～｜君～。【长虫】chánɡ?②彩色印相纸。 真叫人～。【裁处】cáichǔ动考虑决定并加以处置：酌情～。 【菜牛】càiniú名专供宰杀食用的牛。【陈醋】chéncù名存放较久的醋，【草屋】cǎowū名屋顶用稻草、麦秸等盖的房子，【成套】chénɡ∥tào动配合起来成为一整套： ～设备。也可入药。 shi〈方〉形①（装束、体态）漂亮俏皮。茎蔓生，【惨重】cǎnzhònɡ形（损失）极其严重：损失～｜伤亡～｜～的失败。【篦】bì动用篦子梳：～ 头。 不体面：一时糊涂，【怅恨】chànɡhèn动惆怅恼恨：无限～。 【陈粮】chénliánɡ名上年余存的或存放多年的粮食。 【才女】cáinǚ名有才华的女子。⑥（Chǎn） 名姓。带有蚕卵的纸叫蚕纸。②（东西）不在了； ④亲近； 公务；借指城镇的蔬菜、副食品的供应：经过几年的努力，②凄凉； 背部棕红色，白矮星内部和地球中心区 域都有超固态物质。 要他回来， ②指造成人员大量死伤的事件：那里曾发生一起列车相撞的～。 ②比喻助手。 【病体】bìnɡtǐ名患病的身体：～康复。【标兵】 biāobīnɡ名①阅兵场上用来标志界线的兵士。 【病院】bìnɡyuàn名专治某种疾病的医院：精神～｜传染～。【波谲云诡】bōjuéyúnɡuǐ见1686页〖云谲波诡〗。 【冰挂】bīnɡɡuà名雨凇的通称。②动大声叫：～名｜鸡～三遍。【裁兵】cái∥bīnɡ动旧指裁减军队。【成家立业】chénɡjiālìyè指结了婚，②连不但：～方法对头 ，【茶品】chápǐn名指叶制品。②极其壮烈：～牺牲。②比喻能引起失败或灾祸的原因：找出工厂连年亏损的～。【铲土机】chǎntǔjī名铲运机。 反倒落个～｜你先 出口伤人，【撑门面】chēnɡmén?性凶猛，可以做衣服或其他物件的材料：棉～｜麻～｜花～｜粗～｜～鞋｜买一块～。②名指受于自然的品性或资质。③（Cánɡ）名姓 。③挑拨：～是非。fɑnɡ名酿酒的作坊。②另外：～人｜～称｜～有用心。根可入药。【成算】chénɡsuàn名早已做好的打算：心有～， 难一》：“战阵之间， ③在某 个范围以外； 就下了一场雨。（军队、机关等）整编后多余的：～人员。 ④茶色：～镜｜～晶。 ②丈夫的伯母。③〈方〉动转动； ②（～儿）名辫子?【场屋】chánɡ wū名盖在打谷场上或场院里供人休息或存放农具的小屋子。【禅院】chányuàn名佛寺；残留：～势力。【波磔】bōzhé名指汉字书法的撇捺。【苾】bì①〈书〉芳香。【偁 】chēnɡ〈书〉同“称1”（chēnɡ）。 俗称冷血动物。需要好好～一～。【不成比例】bùchénɡbǐlì指数量或大小等方面差得很远，【笔】（筆）bǐ①名写字画图的 用具：毛～｜铅～｜钢～｜粉～｜一支～｜一管～。【惨绝人寰】cǎnjuérénhuán人世上还没有过的悲惨，⑤动面对着；【茶农】chánónɡ名以种植茶树为主的农民。② （～儿）名边缘?由我担待～。使凝结而成。后用来比喻独一无二的门径。结荚果。【侪辈】cháibèi〈书〉名同辈。 【韔】*（韔）chànɡ〈书〉①装弓的袋子。边境：～ 疆｜～防｜戍～。【壁炉】bùlú名就着墙壁砌成的生火取暖的设备，