高三数学导数的概念及应用

数学高三导数知识点导数是数学中的重要概念，为了帮助高三学生更好地理解和应用导数知识，本文将详细介绍数学高三导数的相关知识点。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率，使用符号f'(x)或dy/dx表示。

导数的定义为：f'(x) = lim(h→0)(f(x+h) - f(x)) / h其中，f(x)为函数f在点x处的取值。

2. 导数的几何意义导数表示函数在某一点处的切线斜率。

对于函数y=f(x)，其导数f'(x)等于函数图像在该点切线的斜率。

导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。

3. 导数的基本性质- 若函数f(x)在点x处可导，则该点处的导数存在。

- 若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点处连续。

- 函数常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。

- 导数与基本函数的求导法则：- 若f(x)和g(x)是可导函数，则(cf(x))' = c(f'(x))，(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)，- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) -f(x)g'(x)) / (g(x))^2。

- 链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx=dy/du * du/dx。

4. 基本函数的导数- 常数函数的导数为0。

- 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

- 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

- 对数函数f(x) = log_a(x)的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数的导数- 正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结时间：201*-02-2410:5758次利用暑假提高成绩30-80分的秘诀：高一视频，高二视频，高三视频年级高一课程推荐高二课程推荐高三课程推荐课程初升高新学期衔接视频高一全科强化视频新高二新学期双重强化视频高二全科强化视频高考分轮次复习全科套餐高三全科强化视频更多高中辅导课程推荐,点击进入>>导数的定义:当自变量的增量Δ＝－0，Δ→0时函数增量Δ＝f（）－f （0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在0点可导，称之为f在0点的导数（或变化率函数＝f（）在0点的导数f"（0）的几何意义：表示函数曲线在P0［0，f（0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性的法则：设＝f在（a，b）内可导。

如果在（a，b）内，f"（）>0,则f（）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。

如果在（a，b）内，f"（）arcin"=1/1-^2^1/2arcco"=-1/1-^2^1/2arctan"=1/1^2arccot"=-1/1^2arcec"=1/||^2-1^1/2arccc"=-1/||^2-1^1/2④inh"=hcohcoh"=-hinhtanh"=1/coh^2=ech^2coth"=-1/inh^2=-cch^2ech"=-tanhechcch"=-cothccharinh"=1/^21^1/2arcoh"=1/^2-1^1/2artanh"=1/^2-1||化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．新学期，高中名师视频辅导课程推荐扩展阅读：高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结发布时间：201*-8-12浏览人数：5191本文编辑：高考学习高中数学导数的定义,公式及应用总结导数的定义:当自变量的增量Δ＝－0，Δ→0时函数增量Δ＝f（）－f （0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在0点可导，称之为f在0点的导数（或变化率函数＝f（）在0点的导数f"（0）的几何意义：表示函数曲线在P0［0，f（0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

高三数学导数和函数知识点一、导数的定义及性质导数是函数在某一点上的斜率，表示函数在该点的变化率。

具体来说，如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么导数可以通过以下公式计算：f'(x)=lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)导数具有以下性质：1. 导数存在的条件：函数在某一点处的导数存在，意味着该点是函数的可导点。

函数可导的必要条件是在该点上函数的左右导数存在且相等。

2. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x0处可导，则在该点上函数是连续的。

但是函数在某一点处连续并不意味着导数存在。

3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点上的切线的斜率，切线的方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。

4. 导数的运算法则：导数满足加减乘除的运算法则，例如导数的和的导数等于各个导数的和，导数的乘积的导数等于各个因子的导数之积等。

5. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为高阶导数，记作f''(x)，依此类推。

二、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x *ln(a)，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。

4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数正弦函数f(x)=sin(x)、余弦函数f(x)=cos(x)和正切函数f(x)=tan(x)的导数分别为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)和f'(x)=sec^2(x)。

三、导数应用导数在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 极值问题：通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值点。

数学高三知识点导数导数是高中数学中的一个重要概念，也是微积分的基础知识。

它在各个学科领域都有着广泛的应用。

本文将介绍数学高三阶段的导数知识点，包括导数的定义、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用。

1. 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用于描述函数的瞬时变化情况。

在数学上，导数可以通过极限的方式来定义。

对于函数f(x)，其在x点处的导数可以表示为f'(x)，公式为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量。

2. 导数的计算方法导数的计算方法主要有以下几种：2.1 基本函数的导数：- 常数函数的导数为0；- 幂函数 y = x^n 的导数为 y' = n*x^(n-1)；- 指数函数的导数为 y' = a^x * ln(a)；- 对数函数的导数为 y' = 1 / (x * ln(a))；- 三角函数的导数为 y' = cos(x)、y' = sin(x)、y' = tan(x) 等。

2.2 复合函数的导数：利用链式法则，复合函数的导数可以通过对内函数和外函数分别求导后再相乘得到。

2.3 隐函数的导数：对于隐函数，需要利用隐函数求导法则来求导。

根据方程两边对自变量求导，然后解出导数。

2.4 参数方程的导数：对于参数方程，需要分别对自变量求导。

3. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：3.1 导数存在的条件：函数在某点处可导的条件是函数在该点左右极限存在且相等。

3.2 导数的几何意义：函数在某点处的导数等于该点切线的斜率。

3.3 导函数的性质：若函数f(x)在[a, b]上可导，则在[a, b]上连续。

4. 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用：4.1 极值问题：导数可以用来求函数的极值点，即函数的最大值和最小值。

4.2 切线与法线问题：函数在某点处的导数即为该点处的切线斜率，可以用来求切线和法线的方程。

目录4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1 4.2 导数的几何意义 .. (14)4.1 导数的概念及运算【知识点一】一、导数的基本概念 1．函数的平均变化率：2．函数的瞬时变化率、函数的导数：3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．()y f x =AB 00(,())A x f x 00(,())B x x f x x +∆+∆00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆B A AB A AD AD A 000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆AD ()y f x =00(,())x f x 0()f x '二：导数公式，为正整数(0,)αα≠∈Q ，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．()y f x =()y f x ''=y c =0y '=n y x =()n +∈N 1n y nx -'=n y x α=1y x αα-'=αx y a =(0,1)a a >≠ln x y a a '=log a y x =(0,1,0)a a x >≠>1ln y x a'=sin y x =cos y x '=cos y x =sin y x '=-e a e e π2.7182818284e =()x x e e '=【典型例题】考点一： 导数的基本概念例1．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则((0))f f =_____；函数()f x 在1x =处的导数'(1)f =_____．练1．已知函数()f x 在0x x =处可导,则000(3)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆_____0'()f x ．练2．设函数2()24f x x =-的图像上一点(1,2)以及邻近一点(1,2)x y +∆+∆,则yx∆∆等于__________．考点二： 导数公式及其应用例1．求下列函数的导数: 3x ,13x ,21x练1．求下列函数的导数: x ,3log x ,cos x练2．下列结论不正确的是 A ．若3y =,则'0y = B ．若3x y =,则1'3x y x -=-⋅C ．若y x =-则'2y x=D ．若3y x =,则'3y =【知识点二：导数的四则运算法则】（1）函数和（或差）的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则(()())()()f x g x f x g x '''±=±,即两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数和（或差）． （2）函数积的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数．（3）函数的商的求导法则: 设()f x ,()g x 是可导的,()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f xg x f x f x g x g x g x ''-'=． 特别是当()1f x ≡时,有21()[]()()g x g x g x ''=-．【典型例题】例1．求下列函数的导数:（1）()3sin=;f x x x（2）()ln x=;f x e x（3）()sin xf x=;x（4）()tanf x x=．例2．2=+-的导数为()(2)()f x x a x aA．22x a2()+ 2()x a-B．22 C．22x a+3() 3()x a-D．22练习1．求下列函数的导数:2xx e 1ln x211x x ++练习2．求下列函数的导数: （1）()e sin x f x x -=；（2）2()()ln f x x x x =-； （3）2()()e x f x x ax a -=-+⋅;（4）()3ln x f x x =．【知识点三：复合函数求导】一般地,对于两个函数()y f u =和()u g x =,如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数．那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数,记(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数(),y f u =()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅ （注：'x y 表示y 对x 的导数,'u y 表示y 对u 的导数）【典型例题】例1．（1）函数2sin y x =的导数是_____．（2）函数2412x y e +=的导数是_____．（3）函数2(1cos )y x =-的导数是_____．（4)设3121y x =+,则y '=_____．2'2cos y x x =练习1．求下列复合函数的导数:（1）2()ln(5)f x x =+；（2）10(35)()x f x x +=；（3）1()ln()1xf x x+=-．【小试牛刀】1．已知函数()f x 在1x =处可导,则0(1)(1)__________lim3x f x f x∆→+∆-=∆．2．求下列函数的导数: （1）ln y x = （2）53y x = （3）2x y =3．求下列函数导数值： （1）()f x x =,求(1)f ',1()2f '（2）()sin f x x =,求π()4f '（3）2()log f x x =,求1()2f '4．求下列函数的导数: （1）2()2ln f x x x =+（2）3()x f x x e =+【巩固练习——基础篇】1．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在13t t ==到的平均速度为v ，在2t =的舒适速度为2v ，2v v 和关系为A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定2. 已知函数()f x 和()g x 在区间[]a b ，上的图像如图所示，纳闷下列说法正确的是A ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率B ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b之间的平均变化率C ．对于任意0()x a b ∈，，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率D ．存在0()x a b ∈，，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率3．求下列函数在给定点的导数 （1）34=16y x x =， (2) sin =2y x x π=， (3)cos =2y x x π=，4．已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则________．21()sin 23cos 2f x x x =+()f x ()f x ()f x '()6f π'=t 4t 3t 2100t 1tOV5．求下列函数的导数:（1）()sin cos 22x xf x x =-（2）()sin(21)x f x e x =+6．求下列函数的导数: （1）()sin(ln )f x x =;（2）43()(21)f x x +【巩固练习——提高篇】1．某堆雪在融化过程中,其体积V （单位:3m ）与融化时间t （单位:h ）近似满足函数关系:31()(10)10V t H t =-（H 为常数）,其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /)v h ．那么瞬时融化速度等于3(m /)v h 的时刻是图中的A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．03．设函数，其中，则导数的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有A ．B ．C ．D ．5．已知是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若<，则，的大小关系为A ．<B ．=C ．≤D ．≥6．求下列函数的导数:()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----(1)f '=99!-100!-98!-()32sin 3cos tan 3f x x x θθθ=++5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f '[]22-，23⎡⎤⎣⎦，32⎡⎤⎣⎦22⎡⎤⎣⎦()f x ()g x R ()f x '()g x '()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''+<a x b <<()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g x f a g a >()f x '()()0xf x f x ->a b a b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b（1）1()sin tan ln cos f x x x x x=++； （2）2()cos(ln(1))f x x =+；（3）121()()xf x e x a x=++．7．已知1()sin cos f x x x =+,记21()'()f x f x =,32()'()f x f x =,…,1()'()(,2)n n f x f x n N n *-=∈≥,则122018()()()_________222f f f πππ+++=．4.2 导数的几何意义【课前诊断】成绩（满分10分）：_____ 完成情况: 优/中/差1．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．3． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;4．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;313y x =1=x 1π4-π45π4【知识点一：切线的求法】1、曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-； （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=-，可得切线方程． 2、求曲线=()y f x 的切线方程的类型及方法（1）已知切点00(,)P x y ，求=()y f x 过点P 的切线方程：求出切线的斜率0()f x '，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，通过方程0()k f x '=解得0x ，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，利用导数求得切线斜率0()f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得0x ，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由0()k f x '=求出切点坐标00(,)x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．【典型例题】考点一：导数的几何意义例1．若过曲线上的点的切线的斜率为, 则点的坐标是．例2． 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;练习1．已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；练习2． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;()ln f x x x =P 2P ______例1．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．例2．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．练习1．曲线在点处的切线方程是 A ． B ． C ． D ．练习2．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ．若0a =，求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；练习3．已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-,求,a b 的值;e ()1xf x x =-0=x 10--=x y 10++=x y 210--=x y 210++=x y 313y x =1=x 1π4-π45π42()1xf x x =+(1,(1))f 1x =12y =1+=x y 1-=x y例1．曲线在点处的切线经过点,则．例2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．练习1． 已知函数ln ()xf x ax x=-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值;考点四： 切线证明例1．已知函数()e (sin cos )x f x x x =+．（切线斜率）（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线．练1．已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠．()e x f x =00(,())x f x (1,0)P 0=x ______（Ⅱ）当0a >时,设211()32ax g x e ax x a =--,求证:曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线．例2．已知函数32()f x x ax =-．（3a >）（切线个数） （Ⅱ）求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．练2．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R ．（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3．已知函数()1e 1x x x f x --+=．（公切线问题）（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =练3．已知函数()ln,()x==．f x xg x e（Ⅲ）判断曲线()f x与()g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．【小试牛刀】1．若曲线的某一切线与直线垂直,则切线坐标为．2．已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程; 23122y x x =+-134y x =-+______()y f x =(0,(0))f1．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;2．已知函数321()3f x ax x bx c =+++． 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；3. 已知函数().xe f x x= （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=,求0x 的值;1．已知函数()ln sin(1)f x x a x =-⋅-,其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-,求a 的值;2．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（切线斜率） （Ⅱ）当1b >时，函数()f x 与直线y x =-相切，求b 的值；3．已知函数()ln 1a f x x x =--．（Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线,求实数a 的取值范围;5．已知函数2()(0)f x ax bx a=->和()lng x x=的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（公切线问题）（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e-，求,a b的值；（Ⅱ）已知a b=，求切点P的坐标．。

高三数学知识点导数图表导数是高中数学中非常重要的一个概念，它是微积分的核心内容之一。

导数图表是学习和理解导数概念的重要工具，通过图表我们可以清晰地看到函数在不同点上的变化趋势以及导数的特性。

本文将介绍高三数学中一些常见的导数知识点，并用图表形式展示。

一、导数的定义导数表示函数在某一点上的变化速率，可用以下定义来表达：若函数f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0) = lim(x->x0)[f(x)-f(x0)] / (x-x0)。

二、导数的基本性质1. 常数函数的导数为0：若f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。

2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n，其中n为整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：若f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1，则f'(x) = ln(a) * a^x。

4. 对数函数的导数：若f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1，则f'(x) = 1 / (x *ln(a))。

5. 三角函数的导数：若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。

三、导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线上某一点处的切线的斜率。

假设函数f(x)在点(x0, f(x0))处可导，则切线的斜率等于导数f'(x0)。

通过导数的几何意义，我们可以直观地理解函数在不同点上的变化趋势。

四、导数图表示例下面给出几个常见函数在不同点上的导数图表示例：1. 幂函数 f(x) = x^n导数图表：```x f(x) = x^2 f'(x) = 2x-3 9 -6-2 4 -4-1 1 -20 0 01 1 22 4 43 9 6```2. 指数函数 f(x) = a^x（a > 1）导数图表：```x f(x) = 2^x f'(x) = ln(2) * 2^x -3 1/8 -ln(2)/4-2 1/4 -ln(2)/2-1 1/2 -ln(2)0 1 ln(2)1 2 ln(2) * 22 4 ln(2) * 43 8 ln(2) * 8```3. 三角函数 f(x) = sin(x)导数图表：```x f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x)-3.14 0 1-1.57 -1 00 0 11.57 1 03.14 0 -1```通过以上导数图表的示例，我们可以看到函数在不同点上的导数值及其变化趋势。

高三函数和导数知识点
函数是数学中的一个重要概念，而导数是函数的一个重要属性。

在高三数学学习中，函数和导数是一个重要的知识点。

本文将介
绍高三函数和导数的相关知识点，包括函数的定义、函数的运算、函数的图像、导数的定义、导数的性质以及导数的应用等内容。

一、函数的定义
函数是一种具有特定关系的数学对象，它将一个自变量映射到
唯一的因变量。

函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的
取值范围。

二、函数的运算
函数可以进行四则运算和复合运算。

四则运算包括加法、减法、乘法和除法，复合运算是指将一个函数的输出作为另一个函数的
输入。

三、函数的图像
函数的图像是表示函数关系的曲线。

函数的图像可以通过绘制
函数的各种取值来得到，其中横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

四、导数的定义
导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点处的瞬时变化率。

导数可以用极限定义，也可以通过求导公式进行计算。

五、导数的性质
导数具有一些重要的性质，包括导数存在的充要条件、导数的性质、导数的基本公式以及导数的运算法则等。

六、导数的应用
导数在数学和物理等领域中有广泛的应用，如切线与法线、函数的最值、单调性与凹凸性、函数的增减区间、曲线的凹凸部分等。

综上所述，高三函数和导数是数学学习中的重要知识点。

理解函数的定义、运算和图像，以及掌握导数的定义、性质和应用，对于高三学生的数学学习至关重要。

希望通过本文的介绍，能够对高三函数和导数的知识有更深入的认识。

高三数学必修二导数知识点导数是高等数学中一个重要的概念，它在解析几何、微积分以及其他数学领域中都有广泛的运用。

在高三数学必修二中，导数知识点是非常重要的一部分，掌握导数的相关概念和性质对于解决数学问题和拓展数学思维有着重要的帮助。

一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数用f'(x)表示，其定义为：f'(x) = lim┬(△x→0)⁡〖(f(x+△x)-f(x))/△x〗二、导数的基本运算法则1.和与差的法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则有：(u±v)'(x) = u'(x)±v'(x)2.常数因子法则：设c为常数，u(x)在点x处可导，则有：(cu(x))'(x) = cu'(x)3.乘积法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则有：(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)4.商的法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，且v(x)≠0，则有：(u/v)'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/[v(x)]^25.复合函数求导法则（链式法则）：设函数y=f(u)，且u=g(x)，其中f和g都可导，则有：dy/dx = dy/du * du/dx三、常见函数的导数1.常数函数的导数为0。

2.幂函数的导数：设函数y=x^n，其中n为常数，则有：dy/dx = nx^(n-1)3.指数函数的导数：设函数y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则有：dy/dx = a^x*ln⁡(a)4.对数函数的导数：设函数y=logₐ⁡x，其中a为常数，a>0，a≠1，则有：dy/dx = 1/[x*ln⁡(a)]5.三角函数的导数：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2(x)。

高三导数都学什么知识点导数是高中数学课程中的重要内容之一，它是微积分学的基础知识，具有广泛的应用领域。

在高三阶段，学生需要掌握并深入理解导数的各种概念、性质和应用。

本文将介绍高三阶段学习导数所需的主要知识点。

一、导数的定义导数的定义是理解导数概念的重要起点。

导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率，它表示函数曲线在该点的切线斜率。

导数的定义主要分为几何定义和极限定义，学生需要熟练掌握两种定义的形式及其间的相互转换。

二、导数的基本性质1. 导数的可导性：学生需要掌握函数在某一点可导的条件，以及可导函数的充要条件。

2. 导数的四则运算法则：学生需要了解导数的四则运算规则，包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则，能够应用这些法则求解导数。

3. 复合函数的导数：学生需要掌握复合函数导数的链式法则，即复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。

4. 反函数的导数：学生需要了解反函数导数与原函数导数的关系，能够通过已知原函数导数求解反函数导数。

三、高阶导数与导数的应用1. 高阶导数：学生需要了解高阶导数的概念，即对函数的导数再求导数。

对于常见的函数，如多项式函数、三角函数和指数函数，学生需要能够计算其高阶导数。

2. 极值问题：学生需要掌握极值问题的解法，包括利用导数判定函数的极值和求解极值点的方法。

同时，还要学会应用拉格朗日乘数法解决含有约束条件的极值问题。

3. 函数的图像与导数：学生需要了解函数的导数与函数图像的关系，通过导数的符号表述，判断函数在不同区间的单调性、凹凸性以及极值情况。

4. 应用问题：学生需要学会将导数应用于实际问题的解决。

例如，利用导数求解最优化问题、求曲线的切线和法线、求解最大最小值等。

四、其他导数的知识点除了上述主要知识点外，高三阶段还需要学习和掌握导数的其他相关知识，如导数的应用于函数的增减性、导函数与导数的关系、不定积分与原函数等。

总结起来，高三导数的学习内容主要包括导数的定义、导数的基本性质、高阶导数与导数的应用以及其他导数的知识点。

上海高三导数知识点导数是高中数学中的重要概念，也是高三数学学习的重点之一。

在上海的高三数学课程中，导数是一个必须掌握的知识点。

本文将介绍上海高三导数的相关知识点，帮助学生更好地学习和理解导数的概念和应用。

一、导数的定义和基本性质导数的定义是指函数$f(x)$在点$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或$\frac{dy}{dx}\mid_{x=a}$。

导数的定义是通过极限的概念来表述的。

导数有一些基本性质，包括导数的四则运算法则、导函数与原函数的关系、导数存在的条件等。

学生在学习导数时，需要熟练掌握这些基本性质，才能更好地解决导数相关的问题。

二、常见函数的导数在高三导数中，常见的函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数的导数具有一定的规律和特点，学生需要了解和掌握这些函数的导数表达式和求导方法。

以幂函数为例，设$f(x) = x^n$，其中$n$为常数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。

对于指数函数和对数函数，也存在相应的求导公式。

三角函数的导数是高三导数中的重点和难点之一，学生需要掌握三角函数的导数公式，并能够熟练地运用到具体的问题中去。

三、导数的几何意义和应用导数在几何上有着重要的意义，可以描述函数的增减性、拐点、极值点等。

学生在学习导数的过程中，需要理解导数在函数图像上的几何意义，并能够通过导数求解相关的几何问题。

导数在实际应用中也有广泛的应用，比如在物理学中可以用导数来表示速度和加速度，而在经济学中可以用导数来表示边际成本和边际收益。

学生在学习导数的过程中，需要结合具体的应用问题，加深对导数的理解和应用能力。

四、导数与微分导数和微分是密切相关的概念，导数可以通过微分来表示。

微分是导数在自变量取得无穷小变化时的变化量，可以用$\Deltay$表示。

学生在学习导数时，需要了解导数与微分的关系，掌握微分的计算方法和应用。

五、高阶导数高阶导数是对导数的进一步推广，表示对函数进行多次求导得到的导数。

导数的概念与切线问题一．导数的定义与几何意义导数的定义函数)(x f y =在0x x =处的导数：称函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率xx f x x f xy x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 000为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00000函数)(x f 的导函数：称函数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000为)(x f 的导函数.导数的几何意义函数)(x f 在0x x =处的导数)(0'x f 是曲线)(x f y =在点P()(,00x f x )处的切线的斜率k ，即k=)(0'x f 注：曲线)(x f y =在点处的切线是指P()(,00x f x )为切点斜率为k =)(0'x f 的切线，是唯一的一条切线；曲线)(x f y =过点P()(,00x f x )的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.二.导数的运算基本初等函数的导数公式①_____)(',)(==x f C x f ；②_____)(',)(==x f x x f α③_____)(',sin )(==x f x x f ；④_____)(',cos )(==x f x x f ⑤_____)(',)(==x f a x f x；⑥_____)(',)(==x f e x f x⑦_____)(',log )(==x f x f x a ；⑧_____)(',ln )(==x f x x f 导数的运算法则①_________)]'()([=±x g x f ；②_________)]'()([=⋅x g x f ③_________]')()([=x g x f ；④_________)]'([=x Cf ⑤复合函数的导数，复合函数))((x g f y =，设)(x g u =，则)'()'('x u u f y ⋅=导数的概念与公式应用例1已知4)2(',3)2(==f f ，则_______6)42()22(lim=-++-→xx f x f x 解：注意到0→x ，根据导数的定义，需构造8)2('2)('4)2('24)2()42(lim 42)2()22(lim 2)2()42(lim)2()22(lim )2()42()2()22(lim 6)42()22(lim000000==+-=-++----=-++--=-++--=-++-→→→→→→f x f f xf x f x f x f xf x f x f x f x f x f f x f x x f x f x x x x x x 练习11.已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()21(lim的值为()A ．10B ．－10C ．－20D ．202.若c bx ax x f ++=24)(满足2)1('=f ，则=-)1('f ()A.-4B.-2C.2D.43.已知对任意实数x ，有)()(),()(x g x g x f x f =--=-，且x >0时，0)(',0)('>>x g x f ，则x<0时，()A.0)(',0)('>>x g x fB.0)(',0)('<>x g x fC.0)(',0)('><x g x f D.0)(',0)('<<x g x f 导数的基本运算例2已知x x x f x f 4)1(')(23-+=，则_______)(=x f 解：直接求导得42)1('3)('2-+=x x f x f ，令x =1，得2)1('3)1('-=f f 即有1)1('=f ，故xx x x f 43)(23-+=练习21.函数x x f 2sin )(=的导数_______)('=x f 2.函数)1cos()(2x x f +=的导数_______)('=x f 3.等比数列}{n a 中，8,281==a a 函数)).....()(()(821a x a x a x x x f ---=，则_______)0('=f4.函数)(x f 的导数为)('x f ，满足x x xf x f ln )('2)(+=，则_______)1('=f5.函数x x x f cos sin )(-=，且)(21)('x f x f =，则tan2x 的值是________6.函数142cos 3sin 3)(23-++=x x x x f θθ,]65,0[πθ∈,导数)1('-f 的取值范围是()A.]34,3[+ B.]6,3[ C.]634[，- D.3434[+- 导数的几何意义例3曲线12-=x xy 在点(1,1)处的切线方程为_________解：求导22)12(1)12(2)12('--=---=x x x x y ，当x =1时，1'-=y ，故切线方程为y=-x +2练习31.曲线xy 1=和y=x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________2.设函数2)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线的方程为________3.已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是()A.y =2x -1B.y=xC.y =3x -2D.y =-2x +34.若存在过点(1,0)的直线与曲线3x y =和94152-+=x ax y 都相切，则a 等于()A.-1或6425-B.-1或421 C.642547--或 D.747或-5.若曲线x ax x f ln )(3+=存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_______6.曲线x y ln =上的点到直线y=x +3的最短距离为_________7.已知直线y =2x -2为曲线ax x x f -=3)(的一条切线，则a =__________切线问题的综合应用例4已知函数*)()(1N n xx x f n n∈-=+，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列}{n b 的前n 项和为____解：求导得n n x n nxx f )1()('1+-=-，x =2时，112)2(2)1(2)2('--+-=⋅+-⋅=n n n n n n f ，n n n f 222)2(1-=-=+，切线方程为n n x n y 2)2(2)2(1--+-=-，令x =0得y=nnnn n y 2)1(22)2(+=-+=,nn n b 2)1(+=，前n 项和n n n n n 2)1(2....242322S 132⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=-；14322)1(2....2423222S +⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n ，两式相减得12S +⋅=n n n 练习41.若曲线)0(ln ≠=a x a y 与曲线221x e y =在它们的公共点P(s ，t)处具有公共切线，则=ts_______2.已知曲线ax ey +=与2x y =恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是_________3.已知函数2)(x x f =的图像在点),(200x x 处的切线为l ，若l 也与函数的图像)1,0(ln ∈=x x y ，相切，则0x 必满足()A.2100<<x B.1210<<x C.2220<<x D.320<<x4.点P 是曲线x x y ln 2-=上的任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离是__________5.若曲线)ln(a x y +=的一条切线为b ex y +=，其中a,b 为正实数，则2++b ea 的取值范围是()A.),22(+∞+ee B.),[+∞e C.),2[+∞ D.)2[e ， 课后检测1.已知函数1)(3++=x ax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线过点(2,7),则实数a =_________2.若点P 在曲线32)(3+-=x x x f 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是__________3.若曲线1)(2++=x ax x f 在点))1(,1(f 处的切线的倾斜角为43π，则实数a =_________4.若满足c bx ax x f ++=24)(满足2)1('=f ，则)1('-f =()A.-4B.-2C.2D.45.设函数)(x f 在R 上可导，x f x x f 3)2(')(2-=，则)1(-f 与)1(f 的大小关系是_________6.已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(M f 处的切线方程是221+=x y ，则)1(')1(f f +=_______7.已知函数xxy ln =在点))(,(m f m 处的切互平行于x 轴，则实数m =_________8.函数x e x f xsin 12)(++=，其导函数记为)('x f ，则)2018(')2018(')2018()2018(--+-+f f f f 的值为_________参考答案练习11.C 2.B 3.B 练习21.sin2x 2.2x sin(1+x 2)3.284.15.43 6.227.1练习31.e 2 2.)22ln 2,(--∞ 3.D4.25.C课后检测1.12.),43[)2,0[πππ⋃ 3.-1 4.B5.)1()1(f f >- 6.37.e 8.2。