高三数学导数的概念及应用

第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． ①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x;(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎡⎦⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αxα－1(2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．故选A .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e.故函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解：f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.故填3.(教材习题改编)若函数f (x )＝x 2＋2x －3，则曲线y ＝f (x )在点P (2，5)处的切线的斜率是________． 解：f ′(x )＝2x ＋2，f ′(2)＝6.故填6.类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数． 解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx 2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)． (1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度． 解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120ΔtΔt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第1 s 末的瞬时速度为120 m/s.类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【点拨】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．求下列函数的导数： (1)y ＝e x cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x ex ；(4)y ＝ln 1＋2x ；(5)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x (cos x －sin x )． (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x ）′ln x （e x ）2＝1x e x －e x ln x （e x ）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .(4)y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x (1＋2x )′＝12·11＋2x ·2＝11＋2x.(5)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin4x .所以y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .类型三 导数的几何意义(2016·广州模拟)f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．解：f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1，5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.故填x －y ＋4＝0. 【点拨】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·广州模拟)曲线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74 的切线方程为________． 解：设所求切线与曲线相切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20.易知y ′＝12x ，则y ′|x ＝x 0＝12x 0.故74－14x 204－x 0＝ 12x 0，整理得x 20－8x 0 ＋ 7 ＝ 0，解得x 0＝7或x 0＝1，所以点P ⎝⎛⎭⎫7，494或P ⎝⎛⎭⎫1，14，由两点式得切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.故填14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.(2016·兰州诊断)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．－3 D.12解：y ′＝x 2－3x ，令y ′＝－12，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以所求切点的横坐标为2.故选B .【点拨】求切点坐标问题，一般通过解方程或方程组求得，要注意其取值范围．(2016·无锡一模)曲线y ＝x －1x(x ＞0)上点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则点P 的坐标为________．解：由题意可得y 0＝x 0－1x 0，x 0＞0，因为y ′＝1＋1x2，所以过点P 的切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)， 令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，所以△OAB 的面积S ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x 0＝5(舍去负根)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，455. 故填⎝⎛⎭⎫5，455.(2016·柳州模拟)曲线g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( )A.72B.52C.32D.12解：g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，则g ′(1)＝11，又g (1)＝72＋b ，故曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫72＋b ＝11(x －1)，由该切线过点(0，－5)，得b ＝52.故选B .【点拨】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，对曲线方程求导得y ′＝1x ＋a ，故切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝1x 0＋ax －x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )，据题意得1x 0＋a ＝1且－x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )＝1，解得x 0＝－1，a ＝2.故选B .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法 (1)利用导数的定义，即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．(2016·郑州一检)曲线f (x )＝e x sin x 在点(0，f (0))处的切线斜率为( )A ．0B ．－1C ．1 D.22解：f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以k ＝f ′(0)＝1.故选C .2．P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上的一点，曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4解：y ′＝3x ＋1，令其等于4得x ＝1，代入切线方程得y ＝3，即切点坐标为(1，3)，代入曲线方程得3＝1＋k ，k ＝2.故选A .3．(2016·淄博质检)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B .4．(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)和(－1，3) D ．(1，－3)解：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C .5．(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .故选C .6．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B . 7．(2016·江西师大附中三模)如图所示，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值为________．解：由图可知f (4)＝5，f ′(4)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝4处切线的斜率，故f ′(4)＝5－34－0＝12，故f (4)＋f ′(4)＝5.5.故填5.5.8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可．故填⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)． 切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以所求切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝y ′|x =x 0＝x 20， 所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解：设过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.故选A .。

2015高三数学知识点汇总十、导数：一、导数的概念：（1）函数)(x f y =在点0x 处可导：函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均转变率，即x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； 若是当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，则称函数)(x f y =在点0x 处可导。

（2）函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导：若是函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点处都可导，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；（3）函数)(x f y =在点0x 的导数：若是函数)(x f y =在点0x 处可导，那么极限x y z ∆∆→∆0lim叫做函数)(x f y =在点0x 的导数（或转变率），记作：)('0x f 或0|'x x y =；即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00000 （4）函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数(导数)：若是函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导，那么关于开区间),(b a 的每一个确信的值0x 都对应着一个确信的导数)('0x f ，如此在开区间),(b a 内组成一个新的函数，咱们把这—新函数叫做函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数（简称导数），记)('x f 或'y ；即：xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆)()(lim lim ')('00 （5）导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数)('0x f ，确实是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率k ，即)('tan 0x f k ==α；（6）导数在物理中的运用：函数)(t s s =在点0t 处的导数)('0t s ，确实是当物体的运动方程为)(t s s =时，物体运动在时刻0t 的瞬时速度v ，即)('0t s v =；物体运动在时刻0t 的加速度)(''0t s a =；二、几种常见函数的导数：0'=C （C 为常数）；1)'(-=n n nxx三、函数的和、差、积、商的导数：（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即'')'(v u v u ±=± 容易推行到有限个函数的情形：''')'(w v u w v u +++=+++（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：'')'(uv v u uv +=容易推出：')'(Cu Cu =（C 为常数）：常数与函数的积的导数等于那个常数乘以函数的导数；四、导数的运用：（1）函数的单调性：①设函数)(x f y =在某个区间内可导，若是0)('>x f ，则)(x f 为增函数；若是0)('<x f ，则)(x f 为减函数。

第01讲导数的概念、运算及几何意义（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分左右【备考策略】1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,了解极限思想2能通过函数图象直观理解导数的几何意3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表4能理解导数的几何意义并会求切线方程【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查在曲线上一点的切线方程或过一点的切线方程，需加强复习备考1.函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝0lim x ∆→ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx。

2.函数)(x f y =的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.八大常用函数的求导公式（1）0='C （C 为常数）（2）1)(-='n nnx x ，例：455)(x x ='，535252)(-='x x ，766)(---=x x ，212121)()(-='='xx x （3）xxee =')(（4）aa a x xln )(='（5）xx 1)(ln ='（6）ax x a ln 1)(log ='（7）x x cos )(sin ='（8）xx sin )(cos -='4.导数的四则运算（1）和的导数：[])()()()(x g x f x g x f '+'='+（2）差的导数：[])()()()(x g x f x g x f '-'='-（3）积的导数：[])()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'='（前导后不导+前不导后导）（4）商的导数：)()()()()()()(2x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡，0)(≠x g 5.复合函数的求导公式函数))((x g f y =中，设)(x g u =（内函数），则)(u f y =（外函数）'⋅'='∴x u u y y 6.导数的几何意义（1）导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0000()()()limx f x +x f x k f x x∆→∆-'==∆．（2）直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点),(00y x P ，斜率为k ，则直线的点斜式方程为：()00x x k y y -=-【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为()00x x k y y -=-；（2）当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标))(,(11x f x P '；第二步：写出过))(,(11x f x P '的切线方程为))(()(111x x x f x f y -'=-；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程))(()(111x x x f x f y -'=-，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)()2e 1x y x -=+；(2)()()cos 31ln 21y x x =---+；(3)2sin 2cos y x x =+；(4)y x=．(5)sin o e c s x x x y =-(6)()tan ln y x x =+-(7)sin cos22x y xx =-(8)ln(1)e xx y -=2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)222e e x xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+；(3)43sin 3cos 4y x x =⋅；(4)()ln ln 11x xy x x =-++．1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数(1)ln 3y =；(2)3y x -=；(3)cos ()e xxf x =；(4)()()22131y x x =-+；(5)()ln f x =；(6)1cos sin xy x+=．2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．(1)e x y x =(2)2ln 1xy x =+；(3)2sin(13)y x =-(4)3ln 4y x =-.3．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）求下列函数的导数：(1)()2133ex y x x +=++(2)cos(21)x y x+=(3)ln12x y x=+(4)1()23()()y x x x =+++(5)2ln 2y x x x x =+-+(6)31ln 2e e xxy x =++-考点二、求曲线切线的斜率或倾斜角1．（全国·高考真题）曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A ．2eB ．eC ．2D ．12．（全国·高考真题）曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲线313y x =上有一点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过P 点的切线的斜率为．2．（2024·福建厦门·一模）已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6考点三、求在曲线上一点的切线方程1．（2021·全国·高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．2．（2023·全国·高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+D ．e 3e24y x =+3．（2024·全国·高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．231．（2024·全国·模拟预测）函数()()2e 22xf x x x =-+的图象在点()()1,1f --处的切线方程为（）A ．e 40x y +-=B ．e 60x y -+=C ．e 60x y -+=D ．5e e 0ex y -++=2．（2024·河北保定·三模）曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．18B ．16C ．14D ．133．（2024·湖北·模拟预测）写出函数()ln 2e xx xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：．考点四、求过一点的切线方程1．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．2．（2024·贵州·模拟预测）过点(1,3)P -作曲线323y x x =-的切线，请写出切线的方程.1．（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线()21y f x x x ==-+的两条切线，则这两条切线方程为（）A ．y x =和y x =-B ．3y x =-和3y x =C ．y x =和3y x=-D ．y x =-和3y x=2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线()()2e 22x f x x x =-+的切线，则切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条考点五、已知切线（斜率）求参数1．（全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．2．（2024·湖南长沙·二模）已知0m >，0n >，直线2ey x m =+与曲线2ln 4y x n =-+相切，则11m n +的最小值是（）A ．4B ．3C ．2D ．11．（2024·四川遂宁·三模）曲线2y x ax =+在点()1,P b 处切线的斜率为3，则实数=a ．2．（2024·浙江绍兴·二模）函数()ln f x x a x =+在点()1,1处的切线与直线2y x =平行，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln g x x ax x =+，若曲线()y g x =在1x =处的切线方程为6y x b =+，则a b +=．考点六、两条切线平行、垂直问题1．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．2．（2023·四川凉山·一模）函数()21ln 2f x x a x =+在区间()1,2的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围为（）A ．()2,1-B ．()2,1--C ．()2,0-D ．()3,2--3．（2024·河北邢台·二模）已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A ．122x x +=B ．12103x x +=C ．122x x =D ．12103x x =1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．(,12-∞-B ．()12,0C ．(,12∞-D ．(0,122．（山东·高考真题）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =3．（2024·河南·模拟预测）已知函数()133(0)e x x f x ax x -+=-+>的图象经过,A B 两点，且()f x 的图象在,A B 处的切线互相垂直，则a 的取值范围是（）A ．()3,0-B ．533,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．53,02⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭D ．5353,22⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭7．（2024·河南·三模）已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为．考点七、公切线问题1．（2024·全国·高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .2．（全国·高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =．3．（2024·广东茂名·一模）曲线ln y x =与曲线22y x ax =+有公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线:l y kx =是曲线()1e xf x +=和()lng x x a =+的公切线，则实数a =．2．（2024·上海·三模）设曲线()e x f x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为.3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线2y x =与()e 0xy t t =≠恰有两条公切线，则t 的取值范围为（）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．()24,0,e ∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()24,0e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭考点八、切线（方程）的综合应用1．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<2．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln22b <<B ．ln2b >C ．0ln2b <<D ．1b >3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1．（2024·全国·模拟预测）若直线2y x b =-与曲线2()e 2(1)x f x ax a =->-相切，则b 的最小值为（）A ．e-B ．－2C ．－1D ．01．2．（2024·全国·模拟预测）若直线y x =与曲线log a y x =（0a >且1a ≠）无公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,e B ．11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()e,+∞D ．1ee ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3．（2024·重庆·模拟预测）已知直线y ax b =+与曲线e x y =相切于点()00,e xx ，若()0,3x ∈-∞，则a b +的取值范围为（）A ．(],e -∞B ．(3e ,e ⎤-⎦C ．()0,e D ．(30,e ⎤⎦一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．（2024·河北保定·三模）已知二次函数()y ax x b =-（0b ≠且1b ≠）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-3．（2024·全国·模拟预测）若函数()234ln f x x x x =+-，点P 是曲线()y f x =上任意一点，则点P 到直线:30l x y --=的距离的最小值为（）A ．B ．2C ．D ．624．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线23ay x x x=++在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，则=a （）A ．3B ．92C ．7D ．1125．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线4y x =-的最小距离为（）A ．1B C ．D ．6．（2024·河南·模拟预测）函数()2ln f x x x =-与直线0x y +=相切于点A ，则点A 的横坐标为（）A ．1eB ．1C ．2D ．e二、填空题7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线()2ln x f x x a=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为π3,则a 的值为.8．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A ，B 分别为曲线2e x y x =+和直线33y x =-上的点，则AB 的最小值为.9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()1h '的值为.10．（2024·四川·模拟预测）已知0,0m n >>，直线11ey x m =++与曲线ln 3y x n =-+相切，则m n +=．一、单选题1．（2024·四川德阳·二模）已知直线1y ax =-与曲线()()ln e f x x =相切，则a 的值为（）A ．1eB ．1CD ．e2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l 与曲线ln()y x a =+和圆2212x y +=都相切，则实数a 的值为（）A ．0或2B ．2-或0C ．1－或0D ．0或13．（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线l 与曲线()ln y x a =+和圆222x y +=都相切，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．3D ．1-或34．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()121e ,e 4x f x g x x -==，若直线l 是曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线，则l 的方程为（）A ．e 0x y -=B ．e e 0x y --=C ．0x y -=D ．10x y --=5．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线()3f x x x =-，()2g x x a =+都相切，则a 的范围为（）A ．[)1,-+∞B ．51,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,27⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知01a <<，若曲线ln x y a a =与直线e y x =相切，则=a ．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是．8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线2y x =为曲线e ax b y +=的一条切线，则ab 的最大值为.9．（2024·山东临沂·二模）若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为.10．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x <和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M 、N 两点，则AMBN的取值范围为.1．（2020·全国·高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.2．（2020·全国·高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+3．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是.4．（2019·天津·高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为.5．（2019·全国·高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．6．（2019·全国·高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-7．（2018·全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．8．（2019·全国·高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=9．（2018·全国·高考真题）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x=-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=10．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为．。

高三复习知识梳理之四：导数及其应用（含定积分）【考点综述】本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次，以求导考察单调性为突破口；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。

预测：重点放在第二层次，已向第三层次进军（还常设计压轴题）！即：考查对导数本质的理解和计算，并力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。

【重点知识】1. 平均变化率及瞬时变化率：(1) 函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率：yx ∆∆()()11f x x f x x +∆-=∆()()2121.f x f x x x -=- （2）函数f(x)在x 0处的瞬时变化率：x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f x x --→ 2. 导（函）数的定义：（1）．)(x f 在点x 0处可导⇔()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim 存在 ⇔()()000lim x f x x f x x+∆→+∆-∆、()()x x f x x f x ∆-∆+-→∆000lim 都存在且相等。

（2）．)(x f 在一点x=x 0处的导数为=')(0x f x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f xx --→ （3）．若对任意()b a x ,∈都有x y x f x ∆∆='→∆lim )(=()()xx f x x f x ∆-∆+→∆0lim 成立，则函数)(x f 在区间()b a ,上可导；在端点a 、b 处判断是否可导的方法是：若0lim x y x+∆→∆∆存在，则)(x f 在（a,b]上可导；若在x y x ∆∆-→∆0lim 存在，则)(x f 在[a,b ）上可导；若x y x ∆∆+→∆0lim ，xy x ∆∆-→∆0lim 都存在，则)(x f 在[a,b]上可导。