高三数学导数的概念及应用

第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． ①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x;(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎡⎦⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αxα－1(2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．故选A .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e.故函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解：f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.故填3.(教材习题改编)若函数f (x )＝x 2＋2x －3，则曲线y ＝f (x )在点P (2，5)处的切线的斜率是________． 解：f ′(x )＝2x ＋2，f ′(2)＝6.故填6.类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数． 解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx 2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)． (1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度． 解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120ΔtΔt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第1 s 末的瞬时速度为120 m/s.类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【点拨】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．求下列函数的导数： (1)y ＝e x cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x ex ；(4)y ＝ln 1＋2x ；(5)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x (cos x －sin x )． (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x ）′ln x （e x ）2＝1x e x －e x ln x （e x ）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .(4)y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x (1＋2x )′＝12·11＋2x ·2＝11＋2x.(5)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin4x .所以y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .类型三 导数的几何意义(2016·广州模拟)f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．解：f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1，5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.故填x －y ＋4＝0. 【点拨】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·广州模拟)曲线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74 的切线方程为________． 解：设所求切线与曲线相切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20.易知y ′＝12x ，则y ′|x ＝x 0＝12x 0.故74－14x 204－x 0＝ 12x 0，整理得x 20－8x 0 ＋ 7 ＝ 0，解得x 0＝7或x 0＝1，所以点P ⎝⎛⎭⎫7，494或P ⎝⎛⎭⎫1，14，由两点式得切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.故填14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.(2016·兰州诊断)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．－3 D.12解：y ′＝x 2－3x ，令y ′＝－12，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以所求切点的横坐标为2.故选B .【点拨】求切点坐标问题，一般通过解方程或方程组求得，要注意其取值范围．(2016·无锡一模)曲线y ＝x －1x(x ＞0)上点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则点P 的坐标为________．解：由题意可得y 0＝x 0－1x 0，x 0＞0，因为y ′＝1＋1x2，所以过点P 的切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)， 令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，所以△OAB 的面积S ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x 0＝5(舍去负根)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，455. 故填⎝⎛⎭⎫5，455.(2016·柳州模拟)曲线g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( )A.72B.52C.32D.12解：g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，则g ′(1)＝11，又g (1)＝72＋b ，故曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫72＋b ＝11(x －1)，由该切线过点(0，－5)，得b ＝52.故选B .【点拨】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，对曲线方程求导得y ′＝1x ＋a ，故切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝1x 0＋ax －x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )，据题意得1x 0＋a ＝1且－x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )＝1，解得x 0＝－1，a ＝2.故选B .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法 (1)利用导数的定义，即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．(2016·郑州一检)曲线f (x )＝e x sin x 在点(0，f (0))处的切线斜率为( )A ．0B ．－1C ．1 D.22解：f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以k ＝f ′(0)＝1.故选C .2．P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上的一点，曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4解：y ′＝3x ＋1，令其等于4得x ＝1，代入切线方程得y ＝3，即切点坐标为(1，3)，代入曲线方程得3＝1＋k ，k ＝2.故选A .3．(2016·淄博质检)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B .4．(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)和(－1，3) D ．(1，－3)解：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C .5．(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .故选C .6．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B . 7．(2016·江西师大附中三模)如图所示，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值为________．解：由图可知f (4)＝5，f ′(4)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝4处切线的斜率，故f ′(4)＝5－34－0＝12，故f (4)＋f ′(4)＝5.5.故填5.5.8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可．故填⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)． 切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以所求切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝y ′|x =x 0＝x 20， 所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解：设过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.故选A .。

2015高三数学知识点汇总十、导数：一、导数的概念：（1）函数)(x f y =在点0x 处可导：函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均转变率，即x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； 若是当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，则称函数)(x f y =在点0x 处可导。

（2）函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导：若是函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点处都可导，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；（3）函数)(x f y =在点0x 的导数：若是函数)(x f y =在点0x 处可导，那么极限x y z ∆∆→∆0lim叫做函数)(x f y =在点0x 的导数（或转变率），记作：)('0x f 或0|'x x y =；即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00000 （4）函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数(导数)：若是函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导，那么关于开区间),(b a 的每一个确信的值0x 都对应着一个确信的导数)('0x f ，如此在开区间),(b a 内组成一个新的函数，咱们把这—新函数叫做函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数（简称导数），记)('x f 或'y ；即：xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆)()(lim lim ')('00 （5）导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数)('0x f ，确实是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率k ，即)('tan 0x f k ==α；（6）导数在物理中的运用：函数)(t s s =在点0t 处的导数)('0t s ，确实是当物体的运动方程为)(t s s =时，物体运动在时刻0t 的瞬时速度v ，即)('0t s v =；物体运动在时刻0t 的加速度)(''0t s a =；二、几种常见函数的导数：0'=C （C 为常数）；1)'(-=n n nxx三、函数的和、差、积、商的导数：（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即'')'(v u v u ±=± 容易推行到有限个函数的情形：''')'(w v u w v u +++=+++（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：'')'(uv v u uv +=容易推出：')'(Cu Cu =（C 为常数）：常数与函数的积的导数等于那个常数乘以函数的导数；四、导数的运用：（1）函数的单调性：①设函数)(x f y =在某个区间内可导，若是0)('>x f ，则)(x f 为增函数；若是0)('<x f ，则)(x f 为减函数。

(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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答案
-9-
知识梳理 双基自测
12345
2.(2016河南郑州一模)曲线f(x)=excos x在点(0,f(0))处的切线斜率 为( )
A.0
B.-1
C.1
D.√22
∵f'(x)=excos x-exsin x, ∴k=f'(0)=e0(cos 0-sin 0)=1.
考点1
考点2
-14-
解 (1)y'=(ex)'sin x+ex(sin x)'
=exsin x+excos x.
(2)∵y=x3+1+���1���2,∴y'=3x2-���2���3.
(3)∵y=x-sin ���2���cos ���2���=x-12sin x,
∴y'=
������-
1 2
sin������
1
f'(x)= ������
-6-
知识梳理 双基自测
123456
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)
������(������) ������(������)
'=������'(������)������[(������������()���-������)���](2������)������'(������)(g(x)≠0).
考点1
考点2

第01讲导数的概念、运算及几何意义（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分左右【备考策略】1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,了解极限思想2能通过函数图象直观理解导数的几何意3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表4能理解导数的几何意义并会求切线方程【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查在曲线上一点的切线方程或过一点的切线方程，需加强复习备考1.函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝0lim x ∆→ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx。

2.函数)(x f y =的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.八大常用函数的求导公式（1）0='C （C 为常数）（2）1)(-='n nnx x ，例：455)(x x ='，535252)(-='x x ，766)(---=x x ，212121)()(-='='xx x （3）xxee =')(（4）aa a x xln )(='（5）xx 1)(ln ='（6）ax x a ln 1)(log ='（7）x x cos )(sin ='（8）xx sin )(cos -='4.导数的四则运算（1）和的导数：[])()()()(x g x f x g x f '+'='+（2）差的导数：[])()()()(x g x f x g x f '-'='-（3）积的导数：[])()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'='（前导后不导+前不导后导）（4）商的导数：)()()()()()()(2x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡，0)(≠x g 5.复合函数的求导公式函数))((x g f y =中，设)(x g u =（内函数），则)(u f y =（外函数）'⋅'='∴x u u y y 6.导数的几何意义（1）导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0000()()()limx f x +x f x k f x x∆→∆-'==∆．（2）直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点),(00y x P ，斜率为k ，则直线的点斜式方程为：()00x x k y y -=-【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为()00x x k y y -=-；（2）当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标))(,(11x f x P '；第二步：写出过))(,(11x f x P '的切线方程为))(()(111x x x f x f y -'=-；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程))(()(111x x x f x f y -'=-，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)()2e 1x y x -=+；(2)()()cos 31ln 21y x x =---+；(3)2sin 2cos y x x =+；(4)y x=．(5)sin o e c s x x x y =-(6)()tan ln y x x =+-(7)sin cos22x y xx =-(8)ln(1)e xx y -=2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)222e e x xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+；(3)43sin 3cos 4y x x =⋅；(4)()ln ln 11x xy x x =-++．1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数(1)ln 3y =；(2)3y x -=；(3)cos ()e xxf x =；(4)()()22131y x x =-+；(5)()ln f x =；(6)1cos sin xy x+=．2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．(1)e x y x =(2)2ln 1xy x =+；(3)2sin(13)y x =-(4)3ln 4y x =-.3．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）求下列函数的导数：(1)()2133ex y x x +=++(2)cos(21)x y x+=(3)ln12x y x=+(4)1()23()()y x x x =+++(5)2ln 2y x x x x =+-+(6)31ln 2e e xxy x =++-考点二、求曲线切线的斜率或倾斜角1．（全国·高考真题）曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A ．2eB ．eC ．2D ．12．（全国·高考真题）曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲线313y x =上有一点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过P 点的切线的斜率为．2．（2024·福建厦门·一模）已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6考点三、求在曲线上一点的切线方程1．（2021·全国·高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．2．（2023·全国·高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+D ．e 3e24y x =+3．（2024·全国·高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．231．（2024·全国·模拟预测）函数()()2e 22xf x x x =-+的图象在点()()1,1f --处的切线方程为（）A ．e 40x y +-=B ．e 60x y -+=C ．e 60x y -+=D ．5e e 0ex y -++=2．（2024·河北保定·三模）曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．18B ．16C ．14D ．133．（2024·湖北·模拟预测）写出函数()ln 2e xx xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：．考点四、求过一点的切线方程1．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．2．（2024·贵州·模拟预测）过点(1,3)P -作曲线323y x x =-的切线，请写出切线的方程.1．（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线()21y f x x x ==-+的两条切线，则这两条切线方程为（）A ．y x =和y x =-B ．3y x =-和3y x =C ．y x =和3y x=-D ．y x =-和3y x=2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线()()2e 22x f x x x =-+的切线，则切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条考点五、已知切线（斜率）求参数1．（全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．2．（2024·湖南长沙·二模）已知0m >，0n >，直线2ey x m =+与曲线2ln 4y x n =-+相切，则11m n +的最小值是（）A ．4B ．3C ．2D ．11．（2024·四川遂宁·三模）曲线2y x ax =+在点()1,P b 处切线的斜率为3，则实数=a ．2．（2024·浙江绍兴·二模）函数()ln f x x a x =+在点()1,1处的切线与直线2y x =平行，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln g x x ax x =+，若曲线()y g x =在1x =处的切线方程为6y x b =+，则a b +=．考点六、两条切线平行、垂直问题1．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．2．（2023·四川凉山·一模）函数()21ln 2f x x a x =+在区间()1,2的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围为（）A ．()2,1-B ．()2,1--C ．()2,0-D ．()3,2--3．（2024·河北邢台·二模）已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A ．122x x +=B ．12103x x +=C ．122x x =D ．12103x x =1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．(,12-∞-B ．()12,0C ．(,12∞-D ．(0,122．（山东·高考真题）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =3．（2024·河南·模拟预测）已知函数()133(0)e x x f x ax x -+=-+>的图象经过,A B 两点，且()f x 的图象在,A B 处的切线互相垂直，则a 的取值范围是（）A ．()3,0-B ．533,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．53,02⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭D ．5353,22⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭7．（2024·河南·三模）已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为．考点七、公切线问题1．（2024·全国·高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .2．（全国·高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =．3．（2024·广东茂名·一模）曲线ln y x =与曲线22y x ax =+有公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线:l y kx =是曲线()1e xf x +=和()lng x x a =+的公切线，则实数a =．2．（2024·上海·三模）设曲线()e x f x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为.3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线2y x =与()e 0xy t t =≠恰有两条公切线，则t 的取值范围为（）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．()24,0,e ∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()24,0e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭考点八、切线（方程）的综合应用1．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<2．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln22b <<B ．ln2b >C ．0ln2b <<D ．1b >3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1．（2024·全国·模拟预测）若直线2y x b =-与曲线2()e 2(1)x f x ax a =->-相切，则b 的最小值为（）A ．e-B ．－2C ．－1D ．01．2．（2024·全国·模拟预测）若直线y x =与曲线log a y x =（0a >且1a ≠）无公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,e B ．11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()e,+∞D ．1ee ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3．（2024·重庆·模拟预测）已知直线y ax b =+与曲线e x y =相切于点()00,e xx ，若()0,3x ∈-∞，则a b +的取值范围为（）A ．(],e -∞B ．(3e ,e ⎤-⎦C ．()0,e D ．(30,e ⎤⎦一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．（2024·河北保定·三模）已知二次函数()y ax x b =-（0b ≠且1b ≠）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-3．（2024·全国·模拟预测）若函数()234ln f x x x x =+-，点P 是曲线()y f x =上任意一点，则点P 到直线:30l x y --=的距离的最小值为（）A ．B ．2C ．D ．624．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线23ay x x x=++在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，则=a （）A ．3B ．92C ．7D ．1125．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线4y x =-的最小距离为（）A ．1B C ．D ．6．（2024·河南·模拟预测）函数()2ln f x x x =-与直线0x y +=相切于点A ，则点A 的横坐标为（）A ．1eB ．1C ．2D ．e二、填空题7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线()2ln x f x x a=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为π3,则a 的值为.8．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A ，B 分别为曲线2e x y x =+和直线33y x =-上的点，则AB 的最小值为.9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()1h '的值为.10．（2024·四川·模拟预测）已知0,0m n >>，直线11ey x m =++与曲线ln 3y x n =-+相切，则m n +=．一、单选题1．（2024·四川德阳·二模）已知直线1y ax =-与曲线()()ln e f x x =相切，则a 的值为（）A ．1eB ．1CD ．e2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l 与曲线ln()y x a =+和圆2212x y +=都相切，则实数a 的值为（）A ．0或2B ．2-或0C ．1－或0D ．0或13．（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线l 与曲线()ln y x a =+和圆222x y +=都相切，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．3D ．1-或34．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()121e ,e 4x f x g x x -==，若直线l 是曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线，则l 的方程为（）A ．e 0x y -=B ．e e 0x y --=C ．0x y -=D ．10x y --=5．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线()3f x x x =-，()2g x x a =+都相切，则a 的范围为（）A ．[)1,-+∞B ．51,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,27⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知01a <<，若曲线ln x y a a =与直线e y x =相切，则=a ．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是．8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线2y x =为曲线e ax b y +=的一条切线，则ab 的最大值为.9．（2024·山东临沂·二模）若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为.10．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x <和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M 、N 两点，则AMBN的取值范围为.1．（2020·全国·高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.2．（2020·全国·高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+3．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是.4．（2019·天津·高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为.5．（2019·全国·高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．6．（2019·全国·高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-7．（2018·全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．8．（2019·全国·高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=9．（2018·全国·高考真题）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x=-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=10．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为．。

演练中，不离不弃强化基础；实战中，大题薪尽火灭开路，小题藕断丝莲冲锋，灵活应对，三法结合，必能突破重围
归纳总结：
对点训练
(2023·黑龙江哈尔滨模拟)若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的范围是________.
解：因为不等式 恒成立， ，所以 恒成立，设 ，则 .因为 ，令 ，则 ，所以当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 .故实数 的取值范围为 .
演练中，不离不弃强化基础；实战பைடு நூலகம்，大题薪尽火灭开路，小题藕断丝莲冲锋，灵活应对，三法结合，必能突破重围.
作业布置
优化方案
谢谢指点！
全分离——分离参数半分离——数形结合不分离——分类讨论
常见曲线，动直线，参数与动直线问题等
处理含参问题的三种常见思路：全分离，半分离，不分离
全分离——分离参数（薪尽火灭型）优点：快到斩乱麻，实战中易操作，无参状态下顾虑较少缺点：遇到洛必达类型题会束缚住手脚，更有甚者想薪尽火灭，却剪不断，理还乱 半分离——数形结合（藕断丝莲型）优点：是非曲直，尽在图中，数形结合，一览无余，省略步骤，勤俭时间缺点：步骤有时欠规范，容易被莫名扣分，有时结构太复杂很难做曲直分参的效果出来不分离——分类讨论（不离不弃型）优点：步骤规范，简直是标配通法缺点：因为含参讨论所以会长篇大论，尤其是取点难题苦不堪言
例题2 已知函数 ,且曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求实数 , 的值及函数 的单调区间；
【解】由 ,得 ,因为曲线 在点 处的切线方程为 ,所以有 , ,即 解得 所以 ,由 ,得 ，所以函数 的单调递增区间是 ;由 ,得 ,所以函数 的单调递减区间为 .
课堂小结
全分离——分离参数（薪尽火灭型）优点：快到斩乱麻，实战中易操作，无参状态下顾虑较少缺点：遇到洛必达类型题会束缚住手脚，更有甚者想薪尽火灭，却剪不断，理还乱 半分离——数形结合（藕断丝莲型）优点：是非曲直，尽在图中，数形结合，一览无余，省略步骤，勤俭时间缺点：步骤有时欠规范，容易被莫名扣分，有时结构太复杂很难做曲直分参的效果出来不分离——分类讨论（不离不弃型）优点：步骤规范，简直是标配通法缺点：因为含参讨论所以会长篇大论，尤其是取点难题苦不堪言

高三复习知识梳理之四：导数及其应用（含定积分）【考点综述】本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次，以求导考察单调性为突破口；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。

预测：重点放在第二层次，已向第三层次进军（还常设计压轴题）！即：考查对导数本质的理解和计算，并力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。

【重点知识】1. 平均变化率及瞬时变化率：(1) 函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率：yx ∆∆()()11f x x f x x +∆-=∆()()2121.f x f x x x -=- （2）函数f(x)在x 0处的瞬时变化率：x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f x x --→ 2. 导（函）数的定义：（1）．)(x f 在点x 0处可导⇔()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim 存在 ⇔()()000lim x f x x f x x+∆→+∆-∆、()()x x f x x f x ∆-∆+-→∆000lim 都存在且相等。

（2）．)(x f 在一点x=x 0处的导数为=')(0x f x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f xx --→ （3）．若对任意()b a x ,∈都有x y x f x ∆∆='→∆lim )(=()()xx f x x f x ∆-∆+→∆0lim 成立，则函数)(x f 在区间()b a ,上可导；在端点a 、b 处判断是否可导的方法是：若0lim x y x+∆→∆∆存在，则)(x f 在（a,b]上可导；若在x y x ∆∆-→∆0lim 存在，则)(x f 在[a,b ）上可导；若x y x ∆∆+→∆0lim ，xy x ∆∆-→∆0lim 都存在，则)(x f 在[a,b]上可导。

可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定 义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的 符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不 可缺少，f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．

1 3
,
0
,C
0,
1 4
,则S△BOC=
1 2
×
1 3
×
1 4
=
1 24
.
综上,△BOC的面积为 4 或 1 .
3 24
考向二 两曲线的公切线问题
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线 y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= ( ) A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2 答案 C
4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程 为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 答案 D
D.a=e-1,b=-1
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
解析 由题意可知y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点 (π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
答案 C
例2 (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线
y=ln(x+1)的切线,则b=
,即f
'(x0)=
lim
x0
y x
=
. lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
x
注意:f '(x)与f '(x0)的区别与联系:f '(x)是一个函数,f '(x0)是函数f '(x)在x0处

【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过 某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也 可能不在曲线上，所以要先判断再去解决，切 忌盲目地认为给出点就是切点．

[关键要点点拨] 1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求 导的基本原则，求导时，不但要重视求导法 则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用，在实施化简时，首先必须注意 变换的等价性，避免不必要的运算失误．




2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与 “过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f(x) 在点P(x0， y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 k ＝ f′(x0) 的切线，是唯 一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指 切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是 切点，而且这样的直线可能有多条．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝ A．0 C．2e B．e D．e2 ( )
C [∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.]
2．曲线 y＝xln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实 数 a 的值为 A．2 1 C.2 B．－2 1 D．－2 ( )

1 1 (2)(2014· 乌鲁木齐诊断性测验)直线 y＝2x＋b 与曲线 y＝－2x＋ln x 相切，则 b 的值为 A．－2 1 C．－2 B．－1 D．1 ( )
B
1 设切点的坐标为a，－2a＋ln
a，依题意，对于曲线
1 y＝－2x
1 1 ＋ln x，有 y′＝－2＋x ， 1 1 1 所以－2＋a＝2，得 a＝1.

六、作业：P114习题 3.1 3、4、5、6、9
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智,或者仅存最高等级の六品妖智,全部双眼血红,丧失了理智,只是知道将眼前の人类撕成碎片.十万白家军更是全部精锐,在刀山火海中走出来の强者,悍不畏死. 战争没有丝毫の情面可讲,不是你呀死就是俺亡,无比惨烈,漫山遍野都是鲜血,都是残尸,天空更是一片腥风血雨.炽火城外,处处 是战场,神力在四面八方飙射,无比灿烂. 白重炙神识扫了一下,放心下来,这十万白家军估计是雷震这数百年时候召集の,白重炙不清楚战力如何.此刻交战已经不咋大的半个时辰了,但是死伤却并不多,妖智已经被斩杀了数十万万,却只是死伤了数百人,并且还是受伤居多.彻底放心下来,和妖 姬两人化作道道残影,专对六品妖智下手.这漫山遍野の妖智虽然多,但是一旦这些高级妖智被清理,那么剩下の都只有送死の份,当然无数の妖丹,那也是一笔很大の神石收入！ 一边开战,白重炙一边和噬大人传讯起来,噬大人了解了这边の情况之后.没有多说,只是让他清理完龙阳府の妖智 之后,就赶去噬魂府即可,最多给他两天时候. 一些时辰之后,在白重炙妖姬以及白家军大队长不咋大的队长疯狂攻击之下,妖智群の高级妖智几乎被全部清理.剩下の事情就简单了,十万白家军最低都是神帝,并且是感悟法则の神帝,对付一群低级妖智,没有丝毫悬念,变成了单方面の屠杀！ 白重炙见情况差不多了,没有动手,和妖姬两人回城了,交代了一番,继续让雷震坐镇,两人传送去了龙阳府の龙阳城！ 龙阳城外战斗已经结束了,城外妖智尸谷如山,鲜血将城外の护城河染成了血红,城内の空气中还残留着淡淡の血腥味. 雷狂没有在龙阳城,甚至城内雷家の元老都不多,只有 留守の两名元老接待了白重炙.迅速交流了一下情况,白重炙面色愈发の沉重起来. 这次妖智暴动の很突兀,并且是同时进攻の,虽然龙阳府の一百零八不咋大的城只有一些沦陷了.但是部落内の低级练家子,却只是撤回来了三分之二,其余部落全部沦陷,光一些龙阳府就死去了数百万人！ 此 刻雷狂和雷家元老,龙阳府府军,全部出动了,去了龙阳府东边,那边の几个城市情况最是危险.虽然在不断の传送人往安全の城市撤离,但是每个城市那么多人,哪里撤离の这么快?城内护罩一旦被破,城内の低级练家子,又会成片成片の死去. 白重炙没有废话,只是交代等会白家军传送过来,让 他们直接去那几个最危险の城市,和妖姬直接踏入了去东部不咋大的城苟雄城. 白重炙走进传送阵,雷家の几名元老,和广场上の数十万练家子,全部叩拜了下去.他们知道白重炙虽然只有两人,但是却能抵百万大军,苟雄城の数千万子民有救了！ 白重炙妖姬出现在苟雄城,发现不咋大的城の 广场上站满了人.旁边の传送阵,不停の传送,每次只能将数百人传送出去.广场上,街道上,屋顶上,半空中,却至少还有近千万低级练家子.这些练家子,脸上都是绝望和惊恐之色,因为不咋大的城の护罩越来越薄弱,似乎下一秒就会奔溃,而后外面漫天の妖智冲杀进来,将他们撕扯碎片！ 虽然 如此,但是没有人抢着冲击传送阵,因为所有人都知道.传送阵一乱の话,传送の速度将会更加慢,等会死去の人就会越多！ 城外有无数身穿白色战甲の龙阳府军正在浴血奋战,一名白发老者宛如破仙般,在妖智群中狂吼着,一把长刀连刀柄都被染红了,身体の白甲更是变成了血甲,所有の府军 都疯狂の厮杀着.府军虽然人不少,最少十几万人,但是强者实在太少了,外面の七品妖智最少都有数十只,每一秒都有无数の府军被撕裂,最后变成了妖智の腹中餐,场面让人不忍相看. 城内の另外一些传送阵の亮起,白重炙和妖姬の出现,让城内の练家子,一片震动,而后却是一片叹气.开始城 内以为有强者来援,全部人眼中绽放の光芒足以将一块神铁融化.但是看到只有几个人,脸上还没来得及展开の笑容消失了,继续被绝望恐惧の神色取代了. "嗡！" 白重炙没有犹豫,传送阵の光芒还没完全消逝,两人の身体就消失在传送阵内.将城内の无数练家子吓到了,但是更多人の人是迷 惑,迷茫. 当天空一张巨脸出现の时候,城内所有人都迷茫起来,望着天空の那张脸愣愣出神.片刻之后,城内所有人,和城外の府军全部身体战栗起来.就宛如和一些美人爱爱达到巅峰喷发の那一刻般,全身战栗抖动起来,灵魂都在颤抖！ "是,是…寒夜君主！" "寒夜君主来救俺们了！万岁,亿 万岁！" "神皇至尊在上,哦,不是！寒夜君主在上,俺们有救了,俺们能活下去了！" "寒夜君主,万寿无疆,寒夜君主,无敌天下！" "……" 排山倒海の呼喊声在城内响起,无数人泪流满面,无数人对着天空の巨脸叩拜起来,连地面の石板撞碎了,额头撞得鲜血淋漓都毫无知觉. 城外の十多万龙 阳府军虽然被意志压迫,动都不能动,甚至不少人和妖智纠缠在了一起.但是全部人都灵魂颤抖起来,能和寒夜君主并肩作战,他们无比の荣幸,铭记一生,就算死了也值了. 随着妖姬の身影宛如幽灵一样在城外飘来飘去,城外の七品妖智一只只轰然倒地.当七品妖智全部被歼灭,白重炙解除了意 志,城外府军恢复了行动之后,全部人怒吼起来,宛如一只只发情の公牛,将满腔の怒吼和热血,化作一条道不要命の攻击倾泻下妖智群中. 白重炙却没有厮杀太久,稳定了情况之后,在千万人火热の目光下,冲进了传送阵,继续充当救火队员去了. 他知道,此刻没争夺一秒钟,或许就 能挽救百万,千万人の性命.传送之前,他望着城外,无数の练家子残尸,眸子内闪过一丝暴怒,九幽恶魔界,这仇真の结大了… …… 【作者题外话】：停电停了一天,本来准备四章の,只能三章了. 网吧の键盘太硬了！ 想死の心有了. 另外,吼一嗓子,钓鱼岛是中国の… 本书来自 聘熟 当前 第壹02玖章 惨剧 文章阅读 白重炙在龙阳府の东边几个不咋大的城内,连续奔走,虽然挽救了无数の生命,但是最终还是有一些不咋大的城再次被沦陷.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の等白重炙赶到の时候,不咋大的城内已经尸横遍野了,最终只是挽救一半の练家子,当白重炙 暴怒の将所有高级妖智疯狂の斩杀时.雷狂也带人来了. 对于雷震没有来,雷狂没有半点埋怨,因为一些白重炙能比几百个雷震.如果不是白重炙,龙阳府恐怕这次损失无比巨大！ 白重炙没有和雷家の人客气,确定雷狂能稳定龙阳府の局势之后.白重炙直接传送去了沥泉府,噬魂府有噬大人,并 且宇帝他们都无比强悍,噬魂府の府军也是出了名の强横,应该无大碍. 刚到沥泉城,却发现城内没有几个熟人了.最后倒是发现一些沥雪儿,还算相熟.让妖姬一些瞬移,两人出现在沥水阁,把正在发呆の沥雪儿吓了一跳. 沥雪儿惊呼一声之后,愣愣の望着这个曾经被她揉虐の男人,望着曾经狠 狠打她屁股の男人,望着这个高度已经达到她只能仰望の男人,眸子内闪着一阵复杂の情愫. "沥雪儿,现在沥泉府什么情况,俺是说妖智攻城の情况！"白重炙此刻哪里还有时候去想沥雪儿想什么,更没有沾花惹草の兴趣,要不是沥雪儿和他在穿山神界呆过一段时候,他肯定不会来找她の. " 啊！" 沥雪儿听到白重炙竟然一口叫出她の名字,脸上浮现了一抹嫣红,而后却见白重炙眉梢一挑,连忙清醒过来,沉吟片刻说道："北方有五个城市很危险,北方也有三个城市,好像西方也有几个城市难危险.府主带着元老们分别赶去了！城内沥山元老坐镇！具体の俺也不清楚…" "嗯,谢谢！ " 白重炙眉梢皱の更紧了,发现来找沥雪儿问好像是白来了,连忙和妖姬朝家主府飞去,找那位沥山元老去了. "他对俺说谢谢…" 沥雪儿望着白重炙消失の方向,望着那道越来越远の青色身影.她知道,这个男子注定离自己越来越远,她沉沉一叹,眼神黯然下来,喃喃自语："曾经有一些男子,出 现在俺の面前,俺却没有珍惜…" 问清楚沥山情况之后,白重炙再次成为了救火队员,传送去了北方一些连连求援の不咋大的城,之后又奔赴沥泉府西方. 在妖月升起之前,终于将沥泉府の情况稳定了下来.沥泉府由于沥泉尊者经营了数十万年,整个府域铁板一块,并且各城家主都是精英,府军 也是精锐中の精锐.没有一些不咋大的城被攻破,部落也撤离の快,并没有多大の损伤. 白重炙连一口水都没有喝上,也没有时候和沥泉尊者会面,连夜传送去了基德所说最为严重の百战府. 百战府,东边拥有一座飘渺大陆最大の山脉,百战山脉.山脉内妖智肆虐,山脉深处,据说七品巅峰不咋大 的队都不敢在里面闯荡.平时倒是很爽,府内の练家子,可以经常去百战山脉边缘外围,猎杀妖智,获取妖智内丹材料,大发横财. 结果这次惨了,妖智一暴动,瞬间山脉边上の近千部落,四座不咋大的城,直接沦陷.只是逃出来数万练家子,有三个家主都陨落了！此刻半个府域正遭受着恐怖の妖智 群进攻… 基德和他手下の四个尊者,以及城内の无数元老,强者早就分别出发,到处去镇压了.就连一直闭关の圣天尊者也出动了,百战府,基德亲自来了,此刻还要白重炙赶来,可见战况之激烈,情势之危险！ 来到百战城,白重炙一扫,竟然发现广场上街道上,半空中都挤满了人,都是低级练家 子,神帝都很少见一些.而城外の护罩外竟然有着无数の妖智在进攻.很诡异の是,竟然没有人去击杀妖智,城内几乎看不到府军. 白重炙正准备击杀外面の妖智,一名留守の元老却快速飞了过来,行礼之后,请白重炙立即赶往东边の一些不咋大的城.说百战城の护罩能支撑几个时辰,先救了不咋 大的城の人要紧！ 于是白重炙凄苦の生活在此开始了,连续の使用意志,让他の灵魂很是疲惫.他虽然掌握了空间之力の使用方法,但是他却不懂怎么利用空间之力,没有丝毫技巧可言. 按照基德所说,他就是宛如一些拥有强大力量の莽夫.只是噬大人不让基德教他,噬大人说她们就是半吊子 水平,也不教他.一些莽夫虽然有强大力量,但是不停の使用蛮力,也会心力交瘁の. 好在白重炙只是,释放空间之力,利用空间之力压迫而已,并没有使用意志攻击,倒是勉强能支撑下来.半夜将百战府稳定了之后.两人带人再次出发,去了天魔府… 两人都没有这么说话,但是从对方眸子内都看 到了愤怒和戾气.天魔府之后,就是烽烟府,接着去烽烟府,继而转战莲花府… 在第二日妖日正当高空の时候,白重炙已经整整跑了整整十几个府域,数百个不咋大的城.就连妖姬都感觉浑身一阵力竭,偶尔飞过来の白眼内,也少了些许妩媚.白重炙更是感觉脑袋都要爆裂了,坐在噬魂城の天台上, 闭着眼睛大口大口の喘着粗气… 基德一脸の黯然,噬大人则淡淡の喝着茶水,看着书,看似很悠闲.其实白重炙从基德那里,知

3、教学目的
4、教学重点、难点
对于高三学生来说已具备一定的接受新事 物独立思考并解决问题的能力，因此本节的重 点是使学生掌握根据导数的定义求简单函数的 导数的方法，主要通过具体实例的讲解结合学 生的练习总结一般方法突破重点。难点是对导 数概念的理解，导数概念比较抽象，其定义学 生也不太熟习，教学中通过瞬时速度，光滑曲 线的切线斜率等实际背景，从物理和几何两方 面入手，引导学生逐步理解，同时根据定义求 导数练习帮助学生进一步理解导数的概念。
2、教学内容
本节主要学习导数的概念及其几何意 义，并利用导数的定义求函数的导数及 求切线的斜率。通过回顾曲线的切线及 瞬时速度的概念介绍函数增量的概念类 比引入导数的概念，并得出按定义求导 数的一般步骤。类比曲线切线的概念给 出导数的几何意义，并得出求曲线切线 的一般方法。
根据大纲考纲的要求，以及本节教材的特 点和高三学生的认知特点，我把本节课的教 学目的确定为： （1）、使学生理解导数的概念及几何意义； （2）、使学生掌握用定义求函数的导数及求 曲线斜率的一般方法； （3）、通过导数的教学进行客观事物的相互 制约、相互转化、对立统一的辨证关系等观 点的教育，培养辨证唯物主义观点，提高逻 辑思维能力和辨证思维能力。进一步提高学 生学习数学的积极性。
y | x x0 f ( x 0 )
f ( x 0 )
例2：已知函数 y = (1)求 yˊ (2)求函数 y =
x x
在 x = 2 处的导数。
解：函数改变量:
y= x+x x
1 x x x
算比值, y x
x x x x
y 1 1 lim lim 取极限, x 0 x x 0 x x x 2 x

4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2900--=x y k PQ ，故00204262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。

即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：1512,14-=-=x y x y★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 【解题思路】由定义直接计算 [解析]0000000()()[()]()limlim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式00()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点2.求曲线的切线方程[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P 点的切线的不同，后者的P 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-= 故)5()5(f f '+=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导）cos x y e =）2tan ,y x x =+∴x'1(1)1x x =⋅+=+【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解2. (广东省2008届六校第二次联考)cos y x x =在3x π=处的导数值是.解析：'cos sin y x x x =-故填1326π-3. 已知直线2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧上求一点P ，当△面积最大时，P 点坐标为 .解析：为定值，△面积最大，只要P 到的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于的切线的切点，设P （）.由图可知，点P 在x 轴下方的图象上∴－2x ,∴y ′=－x 1,∵－21,∴－211-=x∴4,代入y 2=4x (y <0)得－4. ∴P (4,－4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．求直线l 的方程与m 的值；解：依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）； 5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知函数)(),(),(21)(,ln )(2x g x f l a a x x g x x f 与函数直线为常数+==的图象都相切，且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程与a 的值；解析：()'=f x'=f x ax()31a≥-3【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系()f x '=，()f x '∴=0)0=，f ∴【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于2(1)4y x =-++在[,2]a 上的最大值为154，1a ∴>-且在x a =时，215234y a a =--+=最大，解之12a =或32a =-（舍去），∴12a =选B.5．32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值是A ．2-B ．0C ．2D ．4[解析]2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=可得0x =或2（2舍去），当10x -≤<时，()f x '0，当01x <≤时，()f x '0，所以当0x =时，f （x ）取得最大值为2.选C6．已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. [解析]（1）由奇函数定义，有()(),f x f x x R -=-∈. 即33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴=因此，3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+由条件(1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =故 230a c a c +=-⎧⎨+=⎩,解得 1, 3.a c ==-因此3()3,f x x x =-2'()333(1)(1),f x x x x =-=+- '(1)'(1)0.f f -== 当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数. 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= （2）由(1)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)2,M f =-=最小值为(1) 2.m f ==-所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--=[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题12max min |()()|()()-≤-f x f x f x f x . ★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷） 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 值内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内有极小点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A 2．、函数313y x x =+-有（ ）A. 极小值－1，极大值1B. 极小值－2，极大值3C. 极小值－2，极大值2D. 极小值－1，极大值3解析：2333(1)(1)y x x x '=-=-+，令0y '=得 1,1x x ==-当1x <-时，0y '>；当11x -<<时，0y '<；当1x >，0y '<∴ 1x =-时，1y =-极小，当1x =3y =极大，故选D.3．函数(x )－x ,在区间(0］上的最大值为A.1－eB.－1C.－eD.0解析：y ′=x1－1,令y ′=0,即1,在(0，e ］上列表如下：x (0,1) 1 (1) ey ′ + 0 －y增函数极大值－1减函数1－e由于f (e)=1－e,而－1＞1－e,从而y 最大(1)=－1.答案：B4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若1>a ，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.[解析],121)(ax x x f +-='y=f '(x)bao yx图2图1即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到－6x 2+108378. 求导数,得y ′=－12108,令y ′=－12108=0,解得9.因9∈［1,10］只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边和上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH .(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；费用最(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料省？【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转90后得到，△CFE 为等腰直角三角形， ∴ 四边形EFGH 是正方形. [解析] (2) 设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)， a x x a x a x W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯--+⨯-⨯⨯+⋅=)4.0(4.0212116.02)4.0(4.02132122 ()24.02.02+-=x x a[]4.00,23.0)1.0(2<<+-=x x a .由0>a ，当1.0=x 时，W 有最小值，即总费用为最省.答：当1.0==CF CE 米时，总费用最省.【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨. 题型3:三角模型的最优化问题例4. 若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠ϕ照度与ϕsin 成正比，与2r 成反比）2r 成反比，【解题思路】如图，由光学知识，照度y 与ϕsin 成正比，与即2sin rCy ϕ=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最大的照度，只需求y 的极值就可以了. 解析：设O 到B 的距离为x ，则rx=ϕsin ，22a x r += 于是)0()(sin 232232∞<≤+===x a x xCrxC r C y ϕ，0)(2252222=+-='a x x a Cy .当0='y 时，即方程0222=-x a 的根为21a x -=（舍）与22a x =，在我们讨论的半闭区间[)+∞,0内，所以函数)(x f y =在点2a 取极大值，也是最大值。

导数的概念与几何意义8大题型导数是高考数学的必考内容，对于导数的概念与运算要求学生能够利用基本初等函桉树的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，能求复合函数的导数。

从近三年的高考情况来看，预测今年高考将会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。

一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为()()00,Q x f x ；第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．二、复合函数的导数1、复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =.2、复合函数的求导法则一般地，复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y 'y 'u '=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法连接。

3、求复合函数导数的步骤第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步相乘：把上述求导的结果相乘；第四步变量回代：把中间变量代回。

1
-2 -1 O -1
x 12
般方法）
-2
学生练习演排：P114 ：3、4
讲例题4进一步体会导数的概念及简单应用
补充练习：1、抛物线y=x2在哪一点处的切线 平行于直线y=4x-5？并求该点处的切线方程。
（通过该题练习使学生进一步掌握导数的几何 意义与导数的应用，以及数学的转化与化归 思想）
五、小结：导数的定义；导数的几何意义
2.在定义导数的极限式中，x 趋近于0可正、可负、但不
为0，而y 可能为0
。
3. y 是函数 y f (x) 对自变量 x 在 x
x
范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 y f (x)
上点（x0 , f (x0 ) ）及点 (x0 x, f (x0 x) ）的割线
的斜率。
y 的极限
x
2．引入新课 —— 导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义，
当自变量x在点x0处有改变量x时，函数y相应的
增量
比值 y x
y= f(x0+
就叫做y f
x) － f(x0)
( x )在x0到x0
x之
间
的
平
均
变
化
率,即
y f (x0 x) f (x0 )
x y
x
如果当x0 时，x 有极限，我们就说函数f(x)在点x0 处可导, 并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数(或变化率)
记作 f (x0 )或y |xx0
即 f ( x0 )
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 )
说 明：从以下方面透析概念

∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x

'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导

目录4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1 4.2 导数的几何意义 .. (14)4.1 导数的概念及运算【知识点一】一、导数的基本概念 1．函数的平均变化率：2．函数的瞬时变化率、函数的导数：3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．()y f x =AB 00(,())A x f x 00(,())B x x f x x +∆+∆00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆B A AB A AD AD A 000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆AD ()y f x =00(,())x f x 0()f x '二：导数公式，为正整数(0,)αα≠∈Q ，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．()y f x =()y f x ''=y c =0y '=n y x =()n +∈N 1n y nx -'=n y x α=1y x αα-'=αx y a =(0,1)a a >≠ln x y a a '=log a y x =(0,1,0)a a x >≠>1ln y x a'=sin y x =cos y x '=cos y x =sin y x '=-e a e e π2.7182818284e =()x x e e '=【典型例题】考点一： 导数的基本概念例1．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则((0))f f =_____；函数()f x 在1x =处的导数'(1)f =_____．练1．已知函数()f x 在0x x =处可导,则000(3)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆_____0'()f x ．练2．设函数2()24f x x =-的图像上一点(1,2)以及邻近一点(1,2)x y +∆+∆,则yx∆∆等于__________．考点二： 导数公式及其应用例1．求下列函数的导数: 3x ,13x ,21x练1．求下列函数的导数: x ,3log x ,cos x练2．下列结论不正确的是 A ．若3y =,则'0y = B ．若3x y =,则1'3x y x -=-⋅C ．若y x =-则'2y x=D ．若3y x =,则'3y =【知识点二：导数的四则运算法则】（1）函数和（或差）的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则(()())()()f x g x f x g x '''±=±,即两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数和（或差）． （2）函数积的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数．（3）函数的商的求导法则: 设()f x ,()g x 是可导的,()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f xg x f x f x g x g x g x ''-'=． 特别是当()1f x ≡时,有21()[]()()g x g x g x ''=-．【典型例题】例1．求下列函数的导数:（1）()3sin=;f x x x（2）()ln x=;f x e x（3）()sin xf x=;x（4）()tanf x x=．例2．2=+-的导数为()(2)()f x x a x aA．22x a2()+ 2()x a-B．22 C．22x a+3() 3()x a-D．22练习1．求下列函数的导数:2xx e 1ln x211x x ++练习2．求下列函数的导数: （1）()e sin x f x x -=；（2）2()()ln f x x x x =-； （3）2()()e x f x x ax a -=-+⋅;（4）()3ln x f x x =．【知识点三：复合函数求导】一般地,对于两个函数()y f u =和()u g x =,如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数．那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数,记(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数(),y f u =()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅ （注：'x y 表示y 对x 的导数,'u y 表示y 对u 的导数）【典型例题】例1．（1）函数2sin y x =的导数是_____．（2）函数2412x y e +=的导数是_____．（3）函数2(1cos )y x =-的导数是_____．（4)设3121y x =+,则y '=_____．2'2cos y x x =练习1．求下列复合函数的导数:（1）2()ln(5)f x x =+；（2）10(35)()x f x x +=；（3）1()ln()1xf x x+=-．【小试牛刀】1．已知函数()f x 在1x =处可导,则0(1)(1)__________lim3x f x f x∆→+∆-=∆．2．求下列函数的导数: （1）ln y x = （2）53y x = （3）2x y =3．求下列函数导数值： （1）()f x x =,求(1)f ',1()2f '（2）()sin f x x =,求π()4f '（3）2()log f x x =,求1()2f '4．求下列函数的导数: （1）2()2ln f x x x =+（2）3()x f x x e =+【巩固练习——基础篇】1．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在13t t ==到的平均速度为v ，在2t =的舒适速度为2v ，2v v 和关系为A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定2. 已知函数()f x 和()g x 在区间[]a b ，上的图像如图所示，纳闷下列说法正确的是A ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率B ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b之间的平均变化率C ．对于任意0()x a b ∈，，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率D ．存在0()x a b ∈，，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率3．求下列函数在给定点的导数 （1）34=16y x x =， (2) sin =2y x x π=， (3)cos =2y x x π=，4．已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则________．21()sin 23cos 2f x x x =+()f x ()f x ()f x '()6f π'=t 4t 3t 2100t 1tOV5．求下列函数的导数:（1）()sin cos 22x xf x x =-（2）()sin(21)x f x e x =+6．求下列函数的导数: （1）()sin(ln )f x x =;（2）43()(21)f x x +【巩固练习——提高篇】1．某堆雪在融化过程中,其体积V （单位:3m ）与融化时间t （单位:h ）近似满足函数关系:31()(10)10V t H t =-（H 为常数）,其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /)v h ．那么瞬时融化速度等于3(m /)v h 的时刻是图中的A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．03．设函数，其中，则导数的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有A ．B ．C ．D ．5．已知是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若<，则，的大小关系为A ．<B ．=C ．≤D ．≥6．求下列函数的导数:()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----(1)f '=99!-100!-98!-()32sin 3cos tan 3f x x x θθθ=++5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f '[]22-，23⎡⎤⎣⎦，32⎡⎤⎣⎦22⎡⎤⎣⎦()f x ()g x R ()f x '()g x '()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''+<a x b <<()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g x f a g a >()f x '()()0xf x f x ->a b a b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b（1）1()sin tan ln cos f x x x x x=++； （2）2()cos(ln(1))f x x =+；（3）121()()xf x e x a x=++．7．已知1()sin cos f x x x =+,记21()'()f x f x =,32()'()f x f x =,…,1()'()(,2)n n f x f x n N n *-=∈≥,则122018()()()_________222f f f πππ+++=．4.2 导数的几何意义【课前诊断】成绩（满分10分）：_____ 完成情况: 优/中/差1．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．3． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;4．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;313y x =1=x 1π4-π45π4【知识点一：切线的求法】1、曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-； （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=-，可得切线方程． 2、求曲线=()y f x 的切线方程的类型及方法（1）已知切点00(,)P x y ，求=()y f x 过点P 的切线方程：求出切线的斜率0()f x '，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，通过方程0()k f x '=解得0x ，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，利用导数求得切线斜率0()f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得0x ，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由0()k f x '=求出切点坐标00(,)x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．【典型例题】考点一：导数的几何意义例1．若过曲线上的点的切线的斜率为, 则点的坐标是．例2． 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;练习1．已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；练习2． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;()ln f x x x =P 2P ______例1．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．例2．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．练习1．曲线在点处的切线方程是 A ． B ． C ． D ．练习2．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ．若0a =，求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；练习3．已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-,求,a b 的值;e ()1xf x x =-0=x 10--=x y 10++=x y 210--=x y 210++=x y 313y x =1=x 1π4-π45π42()1xf x x =+(1,(1))f 1x =12y =1+=x y 1-=x y例1．曲线在点处的切线经过点,则．例2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．练习1． 已知函数ln ()xf x ax x=-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值;考点四： 切线证明例1．已知函数()e (sin cos )x f x x x =+．（切线斜率）（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线．练1．已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠．()e x f x =00(,())x f x (1,0)P 0=x ______（Ⅱ）当0a >时,设211()32ax g x e ax x a =--,求证:曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线．例2．已知函数32()f x x ax =-．（3a >）（切线个数） （Ⅱ）求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．练2．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R ．（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3．已知函数()1e 1x x x f x --+=．（公切线问题）（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =练3．已知函数()ln,()x==．f x xg x e（Ⅲ）判断曲线()f x与()g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．【小试牛刀】1．若曲线的某一切线与直线垂直,则切线坐标为．2．已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程; 23122y x x =+-134y x =-+______()y f x =(0,(0))f1．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;2．已知函数321()3f x ax x bx c =+++． 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；3. 已知函数().xe f x x= （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=,求0x 的值;1．已知函数()ln sin(1)f x x a x =-⋅-,其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-,求a 的值;2．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（切线斜率） （Ⅱ）当1b >时，函数()f x 与直线y x =-相切，求b 的值；3．已知函数()ln 1a f x x x =--．（Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线,求实数a 的取值范围;5．已知函数2()(0)f x ax bx a=->和()lng x x=的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（公切线问题）（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e-，求,a b的值；（Ⅱ）已知a b=，求切点P的坐标．。

高三数学圆导数知识点导数是高中数学的重要概念之一，它在数学的各个分支中有广泛的应用。

而在高三数学中，圆的导数是一个重要的知识点。

本文将从圆的一般方程、切线和法线以及圆的导数公式等几个方面详细介绍圆的导数知识点。

一、圆的一般方程圆可以通过一个点和一个确定的半径来确定，其一般方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。

当圆的半径为1时，一般方程可以简化为：x² + y² = 1二、切线和法线圆与直线的交点有两个，当直线与圆相切时，我们称这条直线为圆的切线，圆切线的斜率等于圆的导数。

而过切点的直线与切线垂直，我们称之为法线。

三、圆的导数公式对于圆的一般方程(x-a)² + (y-b)² = r²，我们对其进行微分运算可以得到：2(x-a)dx + 2(y-b)dy = 0将上式两边同时除以dx，并整理得：dy/dx = (b-y)/(x-a)根据导数的定义，我们可以将上述导数公式推广到半径为常数r的任意圆上。

四、圆的导数性质1. 如果一条直线过圆的圆心，则该直线与圆的交点与切线相等，即交点为切点。

2. 切线和半径之间垂直。

3. 两条切线的斜率互为相反数。

五、应用举例1. 求圆上某点的切线方程：已知圆的半径为r，圆心坐标为(a, b)，过圆上一点(x₀, y₀)的切线方程的斜率等于圆的导数。

根据导数公式，可以得到：dy/dx = (b-y₀)/(x₀-a)将斜率和过点的坐标代入直线方程y-y₀ = k(x-x₀)，即可得到切线方程。

2. 求圆上某点的法线方程：法线的斜率等于切线的斜率的相反数，使用同样的方法进行推导。

综上所述，圆的导数是高三数学中重要的知识点之一，掌握了圆的导数公式和导数性质，可以应用于求圆上各点的切线方程和法线方程。

熟练掌握这些知识点对于解题和理解数学概念都有很大的帮助，希望本文的介绍对你有所帮助。