2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题3-1 导数的概念及运算、定积分

高三数学求导知识点求导是高三数学中重要的内容，它是微积分的基础，也是进一步研究函数性质的重要工具。

在高三数学中，求导涉及到常见函数的导数计算、求导法则的应用等。

下面将介绍一些高三数学求导的知识点。

1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率，可以用极限来定义。

对于函数y=f(x)，在点x=a处的导数表示为f'(a)，其定义如下：f'(a) = lim（h→0）[f(a+h)-f(a)] / h其中，h是一个趋近于0的实数。

导数描述了函数在该点处的瞬时变化率。

2. 基本函数的导数求法常见的基本函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

求解这些函数的导数可以根据求导法则进行计算。

- 常数函数：常数函数的导数为0。

- 幂函数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)，其中n为实数。

- 指数函数：指数函数f(x)=a^x（a>0，且a≠1）的导数为f'(x)=a^x*ln(a)。

- 对数函数：对数函数f(x)=log_a(x)（a>0，且a≠1）的导数为f'(x)=1 / (x * ln(a))。

- 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的导数分别为：- 正弦函数f(x)=sin(x)的导数为f'(x)=cos(x)。

- 余弦函数f(x)=cos(x)的导数为f'(x)=-sin(x)。

- 正切函数f(x)=tan(x)的导数为f'(x)=sec^2(x)。

3. 求导法则求导法则是一些常见函数的导数计算公式，可以简化求导过程。

- 基本求导法则：- 函数和：若f(x)=u(x)+v(x)，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。

- 函数差：若f(x)=u(x)-v(x)，则f'(x)=u'(x)-v'(x)。

- 数乘：若f(x)=c*u(x)，其中c为常数，则f'(x)=c*u'(x)。

高三数学一轮复习导数知识点在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的概念。

导数是微积分的基础，它在计算函数变化率、解析几何、最值问题等方面起着至关重要的作用。

本文将围绕高三数学一轮复习导数知识点展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点上的变化率。

对于函数y=f(x)，在给定点x=a处，函数的导数可以定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim代表极限的概念。

简单来说，导数是通过求函数在某点邻近的两点间的斜率的极限值来描述函数在该点上的变化情况。

二、求导法则在高三数学中，导数的求法十分重要。

掌握了合适的求导法则，可以帮助我们更加便捷地求解复杂的导数函数。

下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则有(d/dx)(c)=0。

2. 幂法则：若y=x^n，则有(d/dx)(x^n)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。

3. 乘法法则：若y=u(x)v(x)，则有(d/dx)(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

4. 除法法则：若y=u(x)/v(x)，则有(d/dx)(u(x)/v(x))=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。

5. 链式法则：若y=f(g(x))，则有(d/dx)(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)。

6. 指数函数和对数函数的导数：若y=a^x，则有(d/dx)(a^x)=a^xln(a)，其中a为常数。

通过掌握这些求导法则，我们可以在计算导数时灵活运用，提高效率。

三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，同时也具有重要的应用价值。

在实际问题中，导数可以帮助我们求解最值问题、判断函数的增减性、描述函数的曲线形状等。

下面是一些常见的导数应用：1. 最值问题：导数可用于求解函数的最大值和最小值。

第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算课题：{导数的概念及运算 一．复习目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点：1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习：1．函数22(21)y x =+的导数是 （ C ）()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x +2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ）()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f3．曲线24y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ）()A (1,3)()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4)4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为34π，则(2)f '-=1-，[(2)]f '-=0． 6．曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4π． 四．例题分析：例1．（1）设函数2()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-； （2）设函数32()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值． （3）设函数()(2)nf x x a =-，求()f x '．解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2()18225f x x x '=++（2）∵32()25f x x x x =-++，∴2()341f x x x '=-+ 由()0f x '=得：203410x x -+=，解得：01x =或013x =（3）0(22)(2)()lim n nx x a x x a f x x∆→-+∆--'=∆112210lim[(2)24(2)2()]n n n nn n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆12(2)n n x a -=-例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ）（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t t S t S ∆-∆+)1()1(中的△t 可正可负例3．（1）曲线C ：32y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；（2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程． 解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩⎨⎧=+++=439271d c b a d∵232y ax bx c '=++ /(0)f c = /(3)276f a b c =++∴12762c a b c =⎧⎨++=-⎩， 可求出11,1,,13d c a b ===-=∴曲线C ：32113y x x x =-+++（2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率200()23k f x x '==-，过切点的切线方程为：3200002(23)()y x x x x x -+=--，∵过点(1,1)A ，∴32000012(23)(1)x x x x -+=--解得：01x =或012x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-= 当012x =-时，切点为17(,)28--，切线方程为：5410x y --=例4．设函数1()1,0f x x x=->(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >； (2)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y f x =上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x 表示） 解：（1）∵()()f a f b =，∴11|1||1|a b -=-，两边平方得：22121211a a b b+-=+- 即：111111()()2()a b ab a b -+=-，∵0a b <<，∴110a b -≠，∴112,2a b ab a b+=+=2ab a b ⇒=+>∴1ab >（2）当01x <<时，11()11f x x x=-=-，00201()(01)f x x x '=-<<曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：00201()y y x x x -=--， 即：02002x x y x x -=-+ ∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为20002(2,0),(0,)x x x x -- ∴所求三角形的面积为22000000211()(2)(2)22x A x x x x x -=-⋅=- 例5．求函数42y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由⎩⎨⎧-=-+=424x y x x y 得420x += 知，两曲线无交点.341y x '=+，要与已知直线平行，须3411x +=，0x =故切点：（0 , －2）. d ==2.五．课后作业：1．曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为（ ）()A 34y x =- ()B 32y x =-+ ()C 43y x =-+ ()D 45y x =-2．已知质点运动的方程为24105s t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为（ ）()A 60 ()B 1 ()C 80 ()D 503．设点P 是曲线335y x =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 （ ）()A 2[0,]3π ()B 2[0,][,)23πππ ()C 2(,]23ππ ()D 2[,]33ππ 4．若0()2f x '=，则00()()lim 2k f x k f x k→∞--=5．设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '=6.已知曲线3:2S y x x =-（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．7.设曲线S ：3266y x x x =---，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为00(,)P x y 求证：曲线S 关于P 点中心对称.8.已知函数22(),()f x x ax b g x x cx d =++=++. 若(21)4()f x g x +=，且()()f x g x ''=，(5)30f =，求(4)g ．9..曲线(1)(2)y x x x =+-上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.10.已知函数32y x ax bx c ==++的图像过点(1,2)P .过P 点的切线与图象仅P 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求()f x 的解析式。

高三导数知识点总结归纳在高中数学中，导数是一个重要的概念。

它不仅在数学中有广泛的应用，还在其他科学领域中发挥着重要的作用。

导数的概念和应用非常广泛，因此在高三阶段，对导数的学习和掌握尤为重要。

本文将对高三阶段的导数知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地理解和应用导数。

一、导数的定义和基本性质导数的定义是函数在某一点处的变化率，可以用极限形式表示：$$f'(x)=\lim_{Δx→0}\frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}$$其中$f'(x)$表示函数$f(x)$的导数。

导数有以下基本性质：1. 导数存在的条件：函数在某一点处可导，意味着该点处的左、右导数存在且相等；2. 函数可导的充分条件：函数在该点处连续且可导；3. 导数的几何意义：导数表示函数曲线在该点处的切线斜率；4. 导数的物理意义：导数可以表示物理量的变化率，如位移、速度和加速度等。

二、常见函数的导数公式1. 幂函数：$y=x^n$，其中$n$为常数。

其导数为：$y'=nx^{n-1}$；2. 指数函数：$y=a^x$，其中$a$为常数。

其导数为：$y'=a^xlna$；3. 对数函数：$y=log_ax$，其中$a$为常数，$a>0$且$a≠1$。

其导数为：$y'=\frac{1}{xlna}$；4. 正弦函数：$y=sinx$。

其导数为：$y'=cosx$；5. 余弦函数：$y=cosx$。

其导数为：$y'=-sinx$；6. 正切函数：$y=tanx$。

其导数为：$y'=\sec^2x$；7. 余切函数：$y=cotx$。

其导数为：$y'=-\csc^2x$。

三、导数的基本运算法则1. 和差法则：$[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)$；2. 常数倍法则：$[k·u(x)]'=k·u'(x)$，其中$k$为常数；3. 乘法法则：$[u(x)·v(x)]'=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)$；4. 商法法则：$\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]'=\frac{u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)}{[v(x)]^2}$，其中$v(x)≠0$。

导数知识点归纳总结高三高三导数知识点归纳总结导数是微积分的重要概念之一，对于高三学生来说，掌握导数的相关知识点对于解题和理解数学的深层意义十分重要。

本文将对高三阶段需要掌握的导数知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地掌握这一知识。

一、导数的定义和求导法则1. 导数的定义在数学中，函数在某一点处的导数可以表示该点切线的斜率。

导数的定义可以表示为：函数f(x)在点x处的导数为该点处函数的增量与自变量增量的比值的极限（即：f'(x) = lim[f(x+△x) - f(x)]/△x，其中△x 表示自变量的增量）。

2. 导数的基本求导法则- 常数函数的导数恒为0：(k)' = 0；- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)；- 指数函数的导数：(a^x)' = ln(a) * a^x；- 对数函数的导数：(logₐx)' = 1/(x ln a)；- 三角函数的导数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec²x。

二、导数的运算法则1. 导数和常数的乘法法则若f(x)可导，k为常数，则有(kf(x))' = kf'(x)。

2. 导数和加减法的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。

3. 导数和乘法的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

4. 导数和除法的法则若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则有(f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/[g^2(x)]。

5. 导数和复合函数的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)。

高三导数的概念知识点总结导数是高中数学中一个重要的概念，它在微积分中占据着重要的地位。

它不仅在高中阶段的数学学习中起着重要的作用，而且在后续的高等数学中也扮演着关键角色。

本文将对高三导数的概念、性质和计算方法进行总结。

一、导数的概念导数，亦称微商或斜率，是函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。

导数可以解释函数的局部性质，即函数在某一点的斜率。

二、导数的几何意义导数的几何意义主要体现在切线与曲线的关系上。

对于函数y=f(x)，如果在点(x，y)处存在导数f'(x)，则此时曲线y=f(x)在该点与切线的斜率相等。

换句话说，导数是切线的斜率。

三、导数的性质1. 对于常数函数y=c，其导数为0，即f'(x)=0。

2. 若函数y=f(x)可导，那么在其导函数f'(x)存在的区间内，函数连续。

3. 若函数y=f(x)可导，则在其定义域内，函数一定是单调的。

4. 若函数y=f(x)在某一点x处可导，那么在该点左右两侧的导数相等。

四、导数的计算法则1. 常数法则：若f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。

2. 基本初等函数法则：a) 若f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。

b) 若f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。

c) 若f(x) = ln(x)，其中x>0，则f'(x) = 1/x。

d) 若f'(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

3. 和差法则：若f(x) = u(x) ± v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。