北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)

2023届高考数学压轴题（分段函数零点问题）专题练习1．已知函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩…恰有3个零点，则实数a 的取值范围为( )A．11(,)3e --B．211(,e e--C．221[,)3e--D．21[,)33--【名师解析】解：函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩…， 可得2x -…时，31xa x =-+，函数1x y x =+的图象如图： 方程至多一个解，此时满足132a <-…，可得2[3a ∈-，13-．当(2,0)x ∈-时，x ae x=，即x a xe =， x y xe =，可得(1)x y e x '=+，令(1)0x e x +=，可得1x =-，(2,1)x ∈--时，0y '<，函数是减函数，(1,0)x ∈-时，函数是增函数，函数的最小值为：1e -，2x =-时，22y e =-，方程有两个解，可得212(,a e e∈--，综上，函数3,21(),20x xa x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩…恰有3个零点，满足11(,)3a e ∈--，故选：A ．2．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩…，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A．1(0,2B．1(2，32C．1(2，5)2D．3(2，5)2【名师解析】解：由题意可得函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩… 的图象 和直线y a =有3个交点，如图所示： 故应有1322a <<， 故选：B ．3．已知函数21(,12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩…，若函数3()2g x x a =-，其中a R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( ) A．15(0,16B．15(16，1)C．16(1,)15 D．5(1,)4【名师解析】解：由()()0y f x g x =-=得()()f x g x =，作出两个函数()f x 和()g x 的图象， 则1(1,2A ，当()g x 经过点A 时，()f x 与()g x 有2个交点，此时g （1）3122a =-=，此时1a =， 当()g x 与()f x 在1x >相切时，此时()f x 与()g x 有2个交点 由253422x x x a -+-=-，即255022x x a -+-=， 由判别式△0=得255()4()022a --=，得1516a =， 要使()f x 与()g x 有3个交点，则()g x 位于这两条线之间， 则a 满足15(16a ∈，1)，故选：B ．4．已知函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是( )A．21(,)2ln eB．1(0,2C．1(0,eD．11(,)2e【名师解析】解：作函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…与y ax =的图象如下，，直线l 是y lnx =的切线，设切点为(,)x lnx ， 故1()lnx lnx x x='=， 故x e =， 故1l k e=； 直线m 过点(2,2)ln ， 故22m ln k =； 结合图象可知， 实数a 的取值范围是2(2ln ，1)e， 故选：A ．5．已知函数3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩…，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是( ) A．21(0,)e B．21(1,)e - C．2(e -，1)- D．(,1)-∞-【名师解析】解：3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩…， ∴函数()()g x f x a =-有3个零点⇔方程()f x a =有3个根()y f x ⇔=与y a =有三个交点，由23(1),0()(2),0xx x f x x e x ⎧-'=⎨-+<⎩…得： 当2x =-时，函数()f x 取得极大值21e； lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()0x f x →-∞=在同一坐标系中作出两函数的图象如下：由图可知，当210a e <<时，()y f x =与y a =有三个交点， 即函数()()g x f x a =-有3个零点． 故选：A ．6．已知函数22(0)()2(0)x m x f x x mx x ⎧->=⎨--⎩…，若函数()()g x f x m =-恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( )A．1(,2-∞B．(,1)-∞C．1(2，1)D．(1,)+∞【名师解析】解：二次函数22y x mx =--最多只能有两个零点，要使函数()()g x f x m =-恰有3个零点，所以2x y m =-在区间(0,)+∞必须有一个零点，所以1m >，当1m >时，二次函数22y x mx =--与横轴的负半轴交点有两个(0,0)和(2,0)m -，故原函数有3个零点，综上，实数m 的取值范围是：(1,)+∞ 故选：D ．7．已知函数(1),01()1,40xln x x e f x e x +<-⎧=⎨--⎩…剟，若函数1()|()|||g x f x x a e =--恰有3个零点，则a 的取值范围是( )A．[1-，2)e - B．[1-，0)(0⋃，2)e -C．3[4e e --，0)D．[1-，0)(0⋃，34)e e +-【名师解析】解：令()0g x =可得1|()|||f x x a e =-，∴函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象有三个交点． 作出函数(1),01|()|1,40xln x x e y f x e x +<-⎧==⎨--⎩…剟的图象如图所示：设直线1()y x a e=-与曲线|()|f x 在(0，1]e -上的图象相切，切点0(x ，0)y ，则00000111(1)1()x e y ln x y x a e ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得01x e =-，1a =-， 设直线1()y x a e=--与曲线|()|f x 在(4,0)-上相切，切点为1(x ，1)y ，则000111()x x e e e y x a y e⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪--=⎩，解得01x =-，2a e =-． ∴当1a <-或2a e -…时，函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象最多只有2个交点，不符合题意； 排除C ，D ；当0a =时，函数|()|y f x =与1||y x a e =-的图象只有2个交点，不符合题意；排除A ；故选：B ．8．已知函数22,0()0x x x x f x x e⎧-=>⎩…，若关于x 的方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A．(1,1)2e + B．1(1,1)e+C．1(0,1)2e + D．1(,1)e【名师解析】解：当0x >时，()f x =()f x '=，令()0f x '=，得12x =，1(0,)2x ∈时，()0f x '>，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '< ()f x ∴在1(0,2递增，在1(2，)+∞递减，所以函数()f x 的图形如下：根据图象可得：方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根时，101(2a f <-<1()22f e =，实数a的取值范围为(1,12e +． 故选：A ．9．已知函数[],0()([]1,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩…表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是( ) A．12(,]23B．12[,)23C．23[,34D．23(,34【名师解析】解：当01x <…时，[]0x =， 当12x <…时，[]1x =， 当23x <…时，[]2x =， 当34x <…时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点， 则等价为()f x ax =有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当1a =时，()g x x =与()f x 有无数多个交点， 当直线()g x 经过点(2,1)A 时，即g （2）21a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点(3,2)B 时，即g （3）32a ==，23a =时，()f x 与()g x 有三个交点， 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间， 即1223a <…， 故选：A ．10．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩……，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为( )A．31[,]4e - B．31(,][,)4e -∞-+∞C．211[,]4e - D．21(,][,)4e -∞-+∞【名师解析】解：函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，即方程()2f x ax a =-存在实数根，即函数()y f x =与(2)y a x =-的图象有交点， 如图所示：直线(2)y a x =-恒过定点(2,0)， 过点(2,1)-和点(2,0)的直线的斜率101224k -==---，设直线(2)y a x =-与x y e =相切于点0(x ，0)x e ， 则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为：000()x x y e e x x -=-， 又切线过点(2,0)，则000(2)x x e e x -=-，03x ∴=， 此时切线的斜率为：3e ，由图可知，要使函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为：14a -…或3a e …，故选：B ．11．已知函数11,1()3,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…，若方程()0f x ax -=恰有两个不同的根，则实数a 的取值范围是( )A．1(0,3B．1[3，1eC．1(e ，4]3D．(-∞，40][3，)+∞【名师解析】解： 方程()0f x ax -=恰有两个不同实数根，()y f x ∴=与y ax =有2个交点， 又a 表示直线y ax =的斜率， 1x ∴>时，1y x'=， 设切点为0(x ，0)y ，01k x =， ∴切线方程为0001()y y x x x -=-， 而切线过原点，01y ∴=，0x e =，1k e=， ∴直线1l 的斜率为1e，又 直线2l 与113y x =+平行， ∴直线2l 的斜率为13，∴实数a 的取值范围是1[3，1)e故选：B ．12．已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<=⎨->⎩…有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A．3(4，1)B．1(4，1)C．(0,1) D．(,1)-∞【名师解析】解：()f x 由3个零点，()f x ∴在(2-，0]上有2个零点，在(0,)+∞上有1个零点．∴441012044040a aa a a -+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨-⎪<⎪⎪>⎩，解得314a <<． 故选：A ．13．已知函数,0,(),0,x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩…若1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为( ) A．11(,1)33ee -+B．(1,13e+C．111(,33e -D．1(,1)3【名师解析】解： 1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e ，∴(1)(0)0(1)()0F F F F e -<⎧⎨<⎩ ， ∴11()0311()(1)033a a e a e a ⎧---<⎪⎪⎨⎪-+-<⎪⎩ ∴111311133a e a e ⎧-<<⎪⎪⎨⎪<<+⎪⎩ ∴113a << 故选：D ．14．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩……，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为() A．21[,]3e -B．21(,][,)3e -∞-+∞C．11[,3e-D．1(,[,)3e -∞-+∞【名师解析】解：根据题意，函数()()g x f x ax a =-+存在零点，即方程()0f x ax a -+=存在实数根， 也就是函数()y f x =与(1)y a x =-的图象有交点． 函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩……的图象如图，而直线(1)y a x =-恒过定点(1,0)， 过点(2,1)-与(1,0)的直线的斜率101213k -==---， 设直线(1)y a x =-与x y e =相切于(,)m m e ，则切点处的导数值为m e ，则过切点的直线方程为()m m y e e x m -=-， 由切线过(1,0)，则(1)m m e e m -=-， 即2m me em =，解可得2m =， 此时切线的斜率为2e ，由图可知，要使函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为21(,[3e -∞- ，)+∞故选：B ．15．已知函数11,0()3||,0x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩… 若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 1[3，1)e ．【名师解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，若函数()0f x ax -=恰有3个零点， 则()f x ax =恰有3个交点， 当13a =时，13y x =和()y f x =有3个交点，（如红色直线）， 直线y ax =和()f x 相切时，（如绿色直线），设切点是(,)m lnm ，由1()lnx x'=， 故1a m =，故1lnm =，解得：1m =， 故1a e=， 故直线1y x e =和()f x 相切时，2个交点，综上，1[3a ∈，1)e ，故答案为：1[3，1e．16．设函数1(1,0()2(2),0xx f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩…，()log (1)(1)a g x x a =->． ①(2019)f 的值为 1 ；②若函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．【名师解析】解：①11(2019)(2017)(1)()112f f f -==⋯⋯=-=-=；②当02x <…时，220x -<-…，所以21()(2)(12x f x f x -=-=-；当24x <…时，022x <-…，所以41()(2)()12x f x f x -=-=-；当46x <…时，224x <-…，所以61()(2)(12x f x f x -=-=-；当68x <…是，46x <…，所以81()(2)(12x f x f x -=-=-；画出()f x 和()g x 两个函数图象如下图所示，由log (41)3a -=，得a =log (61)3a -=，得a =， 由图可知，当两个函数的图象有3个交点时，也即函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点时，实数a 的取值范围是．故答案为：1，．17．已知函数121,0()1||,0x x f x lg x x+⎧-⎪=⎨>⎪⎩…，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围为 {|01}a a <… ．【名师解析】解：作出()f x 的函数图象如图所示：()()g x f x a =-有3个零点等价于函数()f x 与y a =图象有3个交点， 由图象可知当10a -<<时，()f x 与y a =图象只有1交点， 当01a <…时，()f x 与y a =图象有3个交点； 当1a >或0a =时，()f x 与y a =有2个零点； 综上，(0a ∈，1]， 故答案为：{|01}a a <…．18．已知函数22|2|,0()1,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++⎪=⎨-+>⎪⎩…，若存在实数k ，使得函数()y f x =-k 有6个零点，则实数a 的取值范围为 3(,3)2．【名师解析】解：由题得函数()y f x =的图象和直线y =k 有六个交点，显然有0a >，20a a -<， 当0x >时，2(1)()(0)x e x f x x x -'=>， ∴函数()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，且21(1)03f a =>，由题得221(,||),(0,),(1,)3A a a a B a C a --，A ，B ，C 三点的高度应满足A B c h h h >…或B A C h h h >…，所以21|1|3a a a a ->…或21|1|3a a a a ->…，0a > ，20a a -<，23a ∴<…或322a <…，综合得332a <<． 故答案为：3(,3)2．19．已知函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩…，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是 0a =或23a 剟． 【名师解析】解：函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩…的图象如下图，()y f x a =-的零点即为函数()y f x =图象与函数y a =的交点个数，结合图象可知，函数()y f x a =-恰有3个零点，则0a =或23a 剟． 故答案为：0a =或23a 剟．20．已知函数()f x 满足：当1[3x ∈，1]时，1()2(f x f x =；当[1x ∈，3]时，()f x lnx =．若在区间1[3，3]内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，则实数a 的取值范围为 3[3ln ，1)e． 【名师解析】解：设1[3x ∈，1]，则1[1x∈，3]又因为：函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1x ∈，3]时，()f x lnx =，所以11()2(2f x f ln x x ==，1[3x ∈，1]所以112,[,1]()3,(1,3]ln x f x x lnx x ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩，()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，即在1[3，3]内()f x 的图象与y ax =有三个交点，如图所示：当直线y ax =介于直线1l （过原点和(3,3)ln 的直线）和直线2l （当[1x ∈，3]时y lnx =的过原点的切线） 易知133l ln k =， 设y lnx =过原点的切线切点为(,)a lna ，则1y x '=，所以切线斜率为1a，所以切线为1()y lna x a a -=-，又因为过原点，所以1lna =，所以[1a e =∈，3]故21l k e =，故实数a 的范围是31[,3ln e故答案为：31[,3ln e。

2018年数学全国1卷 已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当2()2a a x+∈+∞时，()0f x '<； 当(22a a x -+∈时，()0fx '>.所以()f x 在(0,),(,)22a a -++∞单调递减，在(22a a +单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 2017年数学全国1卷已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a -=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a -+<，即(ln )0f a -<.又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1)2016年数学全国1卷已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】(I)(0,)+∞；（II ）见解析 【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．设2()e (2)e x x g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x xg x x -=--．则当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．试题解析：（Ⅰ）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)xxf x x a x x a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)e xf x x =-，()f x 只有一个零点．时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若e 2a <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于222222(2)e (1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 2013年数学全国1卷设函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）当x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC T rr r n r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n af a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln ab k a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m≥,则b a ak k ≥>+1,若)(k m b am≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a ak m m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m mn S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m kkm 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n na24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++n T T TT . 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n nT -+-=-----=+++-++++= 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T TT 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ . 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nn ααααααα2例10.)1ln(ln 1-->-n n n所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n<+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x xx x f ,令0)('>x f有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n a aa n n +==+++证明2nae <.解析: nn n n n a n n a n n a)21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n aln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

北京高考数学压轴题试题集锦第1讲 真题分析【例1】 （2007北京理）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．【例2】 （2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N p *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅰ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅰ）是否存在,p q 使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求,p q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-， 解11323n -≥，得203n ≥. Ⅰ11323n -≥成立的所有n 中的最小正整数为7，即37b =. （Ⅰ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数m ，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈； 当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.Ⅰ()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅰ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. Ⅰ32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+， 即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--），这与上述结论矛盾！当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-.（经检验符合题意） Ⅰ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-. 【例3】 （2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅰ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅰ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，Ⅰ该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，Ⅰ该数集具有性质P. （Ⅰ）Ⅰ{}12,,n A a a a =具有性质P ，Ⅰn n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，Ⅰn n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，Ⅰ11a = Ⅰ121n a a a =<<<， Ⅰk n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又Ⅰ121n nn nn n a a a a a a a a -<<<<， Ⅰ121121,,,n nn n n n n n a a a aa a a a a a a a --====， 从而121121n nn nn n n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++，Ⅰ1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，Ⅰ1251a a a =<<<，Ⅰ34245a a a a a >=，Ⅰ34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 由2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，Ⅰ34232a aa a a ==， Ⅰ534224321a a a a a a a a a ====， 即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.【例4】 （2010北京理）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为=1(,)||i i i d A B a b =-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅰ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ) 设P n S ⊆，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()P d，证明：()P d≤2(1)mnm -.证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||niiiii d A C B C a c b c =--=---∑由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)||(,)niii d A C B C a b d A B =--=-=∑(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=(,)(,)d B C d B A C A h =--=所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的个数为l 。

二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)二次函数的动态问题（动点）正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，顶点C，D在第一象限。

点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动。

当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。

1) 求正方形ABCD的边长。

解：作BF⊥y轴于F。

则FB=8，FA=6，AB=10.2) 当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分。

求P，Q两点的运动速度。

解：由图可知，点P从点A运动到点B用了10秒。

又AB=10，故P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位。

3) 求(2)中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标。

解：方法一：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF。

由相似三角形可得：GA/AP=FA/AB，即6/10=t/AP，故GA=3/5t。

又OG=10-3/5t，OQ=4+t。

则S=1/2×OQ×OG=1/2×(t+4)×(10-3/5t)=-3/10t²+19/5t+20.对XXX求导得：S'=(-6/5)t+19/5，令其为0，解得t=19/3.此时S有最大值。

此时GP=76/15，OG=31/5，P的坐标为(76/15,31/5)。

方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9，S=63/2.设所求函数关系式为S=at²+bt+20.抛物线过点(5,63/2)，则a=-3/10，b=19/2.代入可得S=-3/10t²+19/2t+20.同样可得最大值时t=19/3，P的坐标为(76/15,31/5)。

4) 若点P，Q保持(2)中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而减小。

立体几何压轴题十大题型汇总命题预测本专题考查类型主要涉及点立体几何的内容，主要涉及了立体几何中的动点问题，外接球内切球问题，以及不规则图形的夹角问题，新定义问题等。

预计2024年后命题会继续在以上几个方面进行。

高频考法题型01几何图形内切球、外接球问题题型02立体几何中的计数原理排列组合问题题型03立体几何动点最值问题题型04不规则图形中的面面夹角问题题型05不规则图形中的线面夹角问题题型06几何中的旋转问题题型07立体几何中的折叠问题题型08不规则图形表面积、体积问题题型09立体几何新定义问题题型10立体几何新考点题型01几何图形内切球、外接球问题解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.1(多选)(23-24高三下·浙江·开学考试)如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A ,B ,C ,D 在同一个平面内，如果四边形ABCD 是边长为2的正方形，则()A.异面直线AE 与DF 所成角大小为π3B.二面角A -EB -C 的平面角的余弦值为13C.此八面体一定存在外接球D.此八面体的内切球表面积为8π3【答案】ACD=|OA |=|OB |=|OC |=|OD |可判断C 项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D 项.【详解】连接AC 、BD 交于点O ，连接OE 、OF ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC ⊥BD ，又因为八面体的每个面都是正三角形，所以E 、O 、F 三点共线，且EF ⊥面ABCD ，所以以O 为原点，分别以OB 、OC 、OE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示，则O (0,0,0)，A (0,-2,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (-2,0,0)，E (0,0,2)，F (0,0,-2)，对于A 项，AE =(0,2,2)，DF=(2,0,2)，设异面直线AE 与DF 所成角为θ，则cos θ=|cos AE ,DF |=|AE ⋅DF||AE ||DF |=22×2=12，所以θ=π3，即异面直线AE 与DF 所成角大小为π3，故A 项正确；对于B 项，BE =(-2,0,2)，BA =(-2,-2,0)，BC=(-2,2,0)，设面ABE 的一个法向量为n=(x 1,y 1,z 1)，则n ⋅BE=0n ⋅BA =0 ⇒-2x 1+2z 1=0-2x 1-2y 1=0，取x 1=1，则y 1=-1，z 1=1，则n=(1,-1,1)，设面BEC 的一个法向量为m=(x 2,y 2,z 2)，则n ⋅BE=0n ⋅BC =0⇒-2x 2+2z 2=0-2x 2+2y 2=0，取x 2=1，则y 2=1，z 2=1，则m=(1,1,1)，所以cos n ,m =n ⋅m |n ||m |=1-1+13×3=13，又因为面ABE 与BEC 所成的二面角的平面角为钝角，所以二面角A -EB -C 的平面角的余弦值为-13，故B 项错误；对于C 项，因为|OE |=|OF |=|OA |=|OB |=|OC |=|OD |=2，所以O 为此八面体外接球的球心，即此八面体一定存在外接球，故C 项正确；对于D 项，设内切球的半径为r ，则八面体的体积为V =2V E -ABCD =2×13S ABCD ⋅EO =2×13×2×2×2=823，又八面体的体积为V =8V E -ABO =8V O -ABE =8×13S EAB ⋅r =8×13×12×22×sin π3×r =833r ，所以833r =823，解得r =63，所以内切球的表面积为4πr 2=4π×632=8π3，故D 项正确.故选：ACD .2(2024·浙江宁波·二模)在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4,A 1B 1=2,AA 1=3，若球O 与上底面A 1B 1C 1D 1以及棱AB ,BC ,CD ,DA 均相切，则球O 的表面积为()A.9πB.16πC.25πD.36π【答案】C【分析】根据勾股定理求解棱台的高MN =1,进而根据相切，由勾股定理求解球半径R =52，即可由表面积公式求解.【详解】设棱台上下底面的中心为N ,M ,连接D 1B 1,DB ，则D 1B 1=22,DB =42，所以棱台的高MN =B 1B 2-MB -NB 1 2=3 2-22-2 2=1,设球半径为R ,根据正四棱台的结构特征可知：球O 与上底面A 1B 1C 1D 1相切于N ,与棱AB ,BC ,CD ,DA 均相切于各边中点处，设BC 中点为E ，连接OE ,OM ,ME ,所以OE 2=OM 2+ME 2⇒R 2=R -1 2+22，解得R =52，所以球O 的表面积为4πR 2=25π，故选：C3(2024·河北石家庄·二模)已知正方体的棱长为22，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心O 为球心作一个半径为233的球，则该球O 的球面与八面体各面的交线的总长为()A.26πB.463π C.863π D.46π【答案】B【分析】画出图形，求解正方体的中心与正八面体面的距离，然后求解求与正八面体的截面圆半径，求解各个平面与球面的交线、推出结果.【详解】如图所示，M 为EF 的中点，O 为正方体的中心，过O 作PM 的垂线交于点N ，正八面体的棱长为2，即EF =2，故OM =1，OP =2，PM =3，则ON =63，设球与正八面体的截面圆半径为r ，如图所示，则r =2332-ON 2=2332-632=63，由于MN =ZN =33，NJ =NI =63，所以IJ =233，则∠INJ =π2，平面PEF 与球O 的交线所对应的圆心角恰为π2，则该球O 的球面与八面体各面的交线的总长为8×14×2π×63 =463π故选：B 4(多选)(2022·山东聊城·二模)用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是()A.底面椭圆的离心率为22B.侧面积为242πC.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36πD.底面积为42π【答案】ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．【详解】不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形ABCD 是圆柱的轴截面，平行四边形BFDE 是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知∠ABF =45°，则BF =2AB ，设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，则2a =2⋅2b ，a =2b ，c =a 2-b 2=a 2-22a 2=22a ，所以离心率为e =c a =22，A 正确；EG ⊥BF ，垂足为G ，则EG =6，易知∠EBG =45°，BE =62，又CE =AF =AB =4，所以斜圆柱侧面积为S =2π×2×(4+62)-2π×2×4=242π，B 正确；2b =4，b =2，2a =42，a =22，椭圆面积为πab =42π，D 正确；由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为4π×22=16π，C 错．故选：ABD ．5(21-22高三上·湖北襄阳·期中)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，球O 1同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球O 2同时与以C 1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，AB 1为准线的抛物线经过O 1，O 2，设球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2，则r1r 2=.【答案】2-3/-3+2【分析】首先根据抛物线的定义结合已知条件得到球O 2内切于正方体，设r 2=1，得到r 1=2-3，即可得到答案.【详解】如图所示：根据抛物线的定义，点O 2到点F 的距离与到直线AB 1的距离相等，其中点O 2到点F 的距离即半径r 2，也即点O 2到面CDD 1C 1的距离，点O 2到直线AB 1的距离即点O 2到面ABB 1A 1的距离，因此球O 2内切于正方体.不妨设r 2=1，两个球心O 1，O 2和两球的切点F 均在体对角线AC 1上，两个球在平面AB 1C 1D 处的截面如图所示，则O 2F =r 2=1，AO 2=AC 12=22+22+222=3，所以AF =AO 2-O 2F =3-1.因为r 1AO 1=223，所以AO 1=3r 1，所以AF =AO 1+O 1F =3r 1+r 1，因此(3+1)r 1=3-1，得r 1=2-3，所以r1r 2=2- 3.故答案为：2-3题型02立体几何中的计数原理排列组合问题1(2024·浙江台州·二模)房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24cm ×11cm ×5cm ，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12cm ×11cm ×5cm ，24cm ×112cm ×5cm ，24cm ×11cm ×52cm 三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm 3的不同规格长方体的个数为()A.8B.10C.12D.16【答案】B【分析】根据原长方体体积与得到的体积为165cm 3长方体的关系，分别对长宽高进行减半，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】由题意，V 长方体=24×11×5=8×165，为得到体积为165cm 3的长方体，需将原来长方体体积缩小为原来的18，可分三类完成：第一类，长减半3次，宽减半3次、高减半3次，共3种；第二类，长宽高各减半1次，共1种；第三类，长宽高减半0,1,2 次的全排列A 33=6种，根据分类加法计数原理，共3+1+6=10种. 故选：B2(2023·江苏南通·模拟预测)在空间直角坐标系O -xyz 中，A 10,0,0 ,B 0,10,0 ,C 0,0,10 ，则三棱锥O -ABC 内部整点(所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为()A.C 310B.C 39C.C 210D.C 29【答案】B【分析】先利用空间向量法求得面ABC 的一个法向量为n =1,1,1 ，从而求得面ABC 上的点P a ,b ,c 满足a +b +c =10，进而得到棱锥O -ABC 内部整点为Q s ,t ,r 满足3≤s +t +r ≤9，再利用隔板法与组合数的性质即可得解.【详解】根据题意，作出图形如下，因为A 10,0,0 ,B 0,10,0 ,C 0,0,10 ，所以AB =-10,10,0 ,AC=-10,0,10 ，设面ABC 的一个法向量为n=x ,y ,z ，则AB ⋅n=-10x +10y =0AC ⋅n=-10x +10z =0，令x =1，则y =1,z =1，故n=1,1,1 ，设P a ,b ,c 是面ABC 上的点，则AP=a -10,b ,c ，故AP ⋅n=a -10+b +c =0，则a +b +c =10，不妨设三棱锥O -ABC 内部整点为Q s ,t ,r ，则s ,t ,r ∈N *，故s ≥1,t ≥1,r ≥1，则s +t +r ≥3，易知若s +t +r =10，则Q 在面ABC 上，若s +t +r >10，则Q 在三棱锥O -ABC 外部，所以3≤s +t +r ≤9，当s +t +r =n ,n ∈N *且3≤n ≤9时，将n 写成n 个1排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为s ,t ,r 的取值的方法个数，显然有C 2n -1个方法，所有整点Q s ,t ,r 的个数为C 22+C 23+⋯+C 28，因为C r n +C r -1n =n !r !n -r !+n !r -1 !n +1-r !=n +1-r n !+rn !r !n +1-r !=n +1 !r !n +1-r!=C rn +1，所以C 22+C 23+⋯+C 28=C 33+C 23+⋯+C 28=C 34+C 24+⋯+C 28=⋯=C 38+C 28=C 39.故选：B .【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得面ABC 上的点P a ,b ,c 满足a +b +c =10，从而确定三棱锥O -ABC 内部整点为Q s ,t ,r 满足3≤s +t +r ≤9，由此得解.3(2024·重庆·模拟预测)从长方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成三棱锥的顶点的概率为()A.2736B.2935C.67D.3235【答案】B【分析】首先求出基本事件总数，再计算出这4个点在同一个平面的概率，最后利用对立事件的概率公式计算可得.【详解】根据题意，从长方体的8个顶点中任选4个，有C 48=70种取法，“这4个点构成三棱锥的顶点”的反面为“这4个点在同一个平面”，而长方体有2个底面和4个侧面、6个对角面，一共有12种情况，则这4个点在同一个平面的概率P =1270=635，所以这4个点构成三棱锥的概率为1-635=2935.故选：B ．4(多选)(2024·重庆·模拟预测)如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)()A.可以围成20个不同的正方形B.可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)C.可以围成516个不同的三角形D.可以围成16个不同的等边三角形【答案】ABC【分析】利用分类计算原理及组合，结合图形，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】不妨设两个钉子间的距离为1，对于选项A ，由图知，边长为1的正方形有3×3=9个，边长为2的正方形有2×2=4个，边长为3的正方形有1个，边长为2的正方形有2×2=4个，边长为5的有2个，共有20个，所以选项A 正确，对于选项B ，由图知，宽为1的长方形有3×3=9个，宽为2的长方形有4×2=8个，宽为3的长方形有5个，宽为2的有2个，共有24个，所以选项B 正确，对于选项C ，由图知，可以围成C 316-10C 34-4C 33=516个不同的三角形，所以选项C 正确，对于选项D ，由图可知，不存在等边三角形，所以选项D 错误，故选：ABC .5(2024·上海浦东新·模拟预测)如图ABCDEF -A B C D E F 为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是．【答案】611【分析】根据题意，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可．【详解】由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组，若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接AD ，C D ，E D ，AB ，AF ，先考虑下底面，根据正六边形性质可知EF ⎳AD ⎳BC ，所以E F ⎳AD ⎳B C ，且B C =E F ≠AD ，故ADC B 共面，且ADE F 共面，故AF ，DE 相交，且C D ，AB 相交，故共面有2组，则正六边形对角线AD 所对应的有2组共面的面对角线，同理可知正六边形对角线BE ，CF 所对的分别有两组，共6组，故对于上底面对角线A D ，B E ，C F 同样各对两组，共6组，若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，所以共面的概率是6+12+12+6C 212=611．故答案为：611．题型03立体几何动点最值问题空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，结合空间距离，确定动点的轨迹形状；结合等体积法求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解.1(多选)(2024·浙江台州·二模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为平面ABCD 内一动点，且直线D 1P 与平面ABCD 所成角为π3，E 为正方形A 1ADD 1的中心，则下列结论正确的是()A.点P 的轨迹为抛物线B.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球被平面A 1BC 1所截得的截面面积为π6C.直线CP 与平面CDD 1C 1所成角的正弦值的最大值为33D.点M 为直线D 1B 上一动点，则MP +ME 的最小值为11-266【答案】BCD【分析】对于A ，根据到D 点长度为定值，确定动点轨迹为圆；对于B ，理解内切球的特点，计算出球心到平面的距离，再计算出截面半径求面积；对于C ，找到线面所成角的位置，再根据动点的运动特点(相切时)找到正弦的最大值；对于D ，需要先找到P 点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解.【详解】对于A ，因为直线D 1P 与平面ABCD 所成角为π3，所以DP =1tan π3=33.P 点在以D 为圆心，33为半径的圆周上运动，因此运动轨迹为圆.故A 错误.对于B ，在面BB 1D 1D 内研究，如图所示O 为内切球球心，O 1为上底面中心，O 2为下底面中心，G 为内切球与面A 1BC 1的切点.已知OG ⊥O 1B ，OG 为球心到面A 1BC 1的距离.在正方体中，O 1B =62，O 2B =22，O 1O 2=1.利用相似三角形的性质有OG O 2B =OO 1O 1B，即OG 22=1262，OG =36.因此可求切面圆的r 2=122-362=16，面积为π6.故B 正确.对于C ，直线CP 与平面CDD 1C 1所成角即为∠PCD ，当CP 与P 点的轨迹圆相切时，sin ∠PCD 最大.此时sin ∠PCD =13=33.故C 正确.对于D ，分析可知，P 点为BD 和圆周的交点时，MP 最小.此时可将面D 1AB 沿着D 1B 翻折到面BB 1D 1D 所在平面.根据长度关系，翻折后的图形如图所示.当E ,M ,P 三点共线时，MP +ME 最小.因为O 2P =33-22，O 1O 2=1，所以最小值为12+33-222=11-266，故D 正确.故选：BCD2(多选)(2024·江苏扬州·模拟预测)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为平面ABCD 内一动点，则()A.若M 在线段AB 上，则D 1M +MC 的最小值为4+22B.平面ACD 1被正方体内切球所截，则截面面积为π6C.若C 1M 与AB 所成的角为π4，则点M 的轨迹为椭圆D.对于给定的点M ，过M 有且仅有3条直线与直线D 1A ,D 1C 所成角为60°【答案】ABD迹方程判断C ，合理转化后判断D 即可.【详解】对于A ，延长DA 到E 使得AE =2，则D 1M +MC =EM +MC ≥EC =4+22，等号在E ,M ,C 共线时取到；故A 正确，对于B ，由于球的半径为12，球心到平面ACD 1的距离为36，故被截得的圆的半径为14-112 =66，故面积为π66 2=π6，故B 正确，对于C ，C 1M 与AB 所成的角即为C 1M 和C 1D 1所成角，记CM =xCD +yCB ，则x 2+y 2+1=2(y 2+1)，即x 2-y 2=1，所以M 的轨迹是双曲线；故C 错误，对于D ，显然过M 的满足条件的直线数目等于过D 1的满足条件的直线l 的数目，在直线l 上任取一点P ，使得D 1P =D 1A =D 1C ，不妨设∠PD 1A =π3，若∠PD 1C =π3，则AD 1CP 是正四面体，所以P 有两种可能，直线l 也有两种可能，若∠PD 1C =2π3，则l 只有一种可能，就是与∠AD 1C 的角平分线垂直的直线，所以直线l 有三种可能.故选：ABD3(多选)(2023·安徽芜湖·模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，棱AB 的中点为M ，过点M 作正方体的截面α，且B 1D ⊥α，若点N 在截面α内运动(包含边界)，则()A.当MN 最大时，MN 与BC 所成的角为π3B.三棱锥A 1-BNC 1的体积为定值23C.若DN =2，则点N 的轨迹长度为2πD.若N ∈平面A 1BCD 1，则BN +NC 1 的最小值为6+23【答案】BCD【分析】记BC ,CC 1,C 1D ,D 1A 1,A 1A 的中点分别为F ,H ,G ,F ,E ，构建空间直角坐标系，证明M ,F ,H ,G ,F ,E 共面，且DB 1⊥平面MEFGHI ，由此确定平面α，找到MN 最大时N 的位置，确定MN 与BC 所成角的平面角即可判断A ，证明A 1BC 1与平面α平行，应用向量法求M 到面A 1BC 1的距离，结合体积公式，求三棱锥A 1-BNC 1的体积，判断B ；根据球的截面性质确定N 的轨迹，进而求周长判断C ，由N ∈平面A 1BCD 1确定N 的位置，通过翻折为平面图形，利用平面几何结论求解判断D .【详解】记BC ,CC 1,C 1D ,D 1A 1,A 1A 的中点分别为F ,H ,G ,F ,E ，连接EF ,FG ,GH ,HI ,IM ,ME ，连接GM ,FI ，因为FG ∥A 1C 1,A 1C 1∥AC ,AC ∥MI ，又FG =12A 1C 1 =12AC =MI 所以FG ∥MI ，FG =MI ，所以四边形FGIM 为平行四边形，连接FI ,MG ，记其交点为S ，根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，B 12,2,2 ,M (2,1,0)，E (2,0,1)，F (1,0,2)，G (0,1,2)，H (0,2,1)，I (1,2,0)，S 1,1,1 ，因为DB 1 =2,2,2 ，SM =1,0,-1 ，SI =0,1,-1 ，SH =-1,1,0 ，SG =-1,0,1 ，SF =0,-1,1 ，SE =1,-1,0 ，所以DB 1 ⋅SM =0，DB 1 ⋅SI =0，DB 1 ⋅SH =0，DB1 ⋅SG =0，DB 1 ⋅SF =0，DB 1 ⋅SE =0所以M ,E ,F ,G ,H ,I 六点共面，因为DB 1 =2,2,2 ，MI =-1,1,0 ，ME =0,-1,1 ，所以DB 1 ⋅MI =-2+2+0=0，DB 1 ⋅ME =0-2+2=0，所以DB 1 ⊥MI ，DB 1 ⊥ME ，所以DB 1⊥MI ,DB 1⊥ME ，又MI ,ME ⊂平面MEFGHI ，所以DB 1⊥平面MEFGHI ，故平面MEFGHI 即为平面α，对于A ，N 与G 重合时，MN 最大，且MN ⎳BC 1，所以MN 与BC 所成的角的平面角为∠C 1BC ，又BC =CC 1 ,∠BCC 1=90°，所以∠C 1BC =π4，故MN 与BC 所成的角为π4，所以A 错误；对于B ，因为所以DB 1 =2,2,2 ，A 1C 1 =-2,2,0 ，BC 1=-2,0,2 ，所以DB 1 ⋅A 1C 1 =-4+4+0=0，DB 1 ⋅BC 1 =-4+0+4=0，所以DB 1 ⊥A 1C 1 ，DB 1 ⊥BC 1 ，所以DB 1⊥A 1C 1,DB 1⊥BC 1，又A 1C 1,BC 1⊂平面A 1BC 1，所以DB 1⊥平面A 1BC 1，又DB 1⊥平面MEFGHI ，所以平面A 1BC 1∥平面MEFGHI ，所以点N 到平面A 1BC 1的距离与点M 到平面A 1BC 1的距离相等，所以V A 1-BNC 1=V N -A 1BC 1=V M -A 1BC 1，向量DB 1 =2,2,2 为平面A 1BC 1的一个法向量，又MB =(0,1,0)，所以M 到面A 1BC 1的距离d =DB 1 ⋅MB DB 1=33，又△A 1BC 1为等边三角形，则S △A 1BC 1=12×(22)2×32=23，所以三棱锥A 1-BNC 1的体积为定值13×d ×S △A 1BC 1=23，B 正确；对于C ：若DN =2，点N 在截面MEFGHI 内，所以点N 的轨迹是以D 为球心，半径为2的球体被面MEFGHI 所截的圆(或其一部分)，因为DS =1,1,1 ，DB 1 =2,2,2 ，所以DB 1 ∥DS ，所以DS ⊥平面MEFGHI ，所以截面圆的圆心为S ，因为DB 1 =2,2,2 是面MEFGHI 的法向量，而DF =(1,0,2)，所以D 到面MEFGHI 的距离为d =m ⋅DFm=3，故轨迹圆的半径r =22-(3)2=1，又SM =2，故点N 的轨迹长度为2πr =2π，C 正确.对于D ，N ∈平面A 1BCD 1，N ∈平面MEFGHI ，又平面A 1BCD 1与平面MEFGHI 的交线为FI ，所以点N 的轨迹为线段FI ，翻折△C 1FI ，使得其与矩形A 1BIF 共面，如图，所以当B ,N ,C 1三点共线时，BN +NC 1 取最小值，最小值为BC 1 ，由已知C 1I =C 1F =5，BI =1，FI =22，过C 1作C 1T ⊥BI ，垂足为T ，则C 1T =2，所以IT=C 1I2-C 1T 2=3=BT 2+C T 2=3+12+2=6+23，所以BN +NC 1 的最小值为6+23，D 正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据截面的性质确定满足条件的过点M 的截面位置，再结合异面直线夹角定义，锥体体积公式，球的截面性质，空间图形的翻折判断各选项.4(多选)(2024·福建厦门·一模)如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，△ABF 和△DCE 均是等边三角形，且AB =23，EF =x (x >0)，则()A.EF ⎳平面ABCDB.二面角A -EF -B 随着x 的减小而减小C.当BC =2时，五面体ABCDEF 的体积V (x )最大值为272D.当BC =32时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A -EF -B 的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则tan α=3h，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI -EKJ ，取AB ,GI 的中点M ,H ，设∠FMH =θ0<θ≤π2，则MH =3cos θ,FH =3sin θ，结合V (x )=V FGI -EKJ -2V F -ABIG 并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：△ABF 和△DCE 所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF -DCE ，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设BC ⎳AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则BC ⎳面ADEF ，由面BCEF ∩面ADEF =EF ，BC ⊂面BCEF ，则BC ⎳EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则EF ⎳平面ABCD ，对；B ：设二面角A -EF -B 的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则tan α=3h，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF =x =BC 时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A -EF -B 取最小值，所以EF =x ∈(0,+∞)，二面角先变小后变大，错；C ：当BC =2，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI -EKJ ，分别取AB ,GI 的中点M ,H ，易得FH ⊥面ABCD ，FM =3，设∠FMH =θ0<θ≤π2，则MH =3cos θ,FH =3sin θ，V (x )=V ABCDEF =V FGI -EKJ -2V F -ABIG =12×23×3sin θ×(2+6cos θ)-2×13×3sin θ×23×3cos θ=63sin θ+63sin θcos θ，令f (θ)=0⇒2cos 2θ+cos θ-1=0，可得cos θ=12或cos θ=-1(舍)，即θ=π3，0<θ<π3，f (θ)>0，f (θ)递增，π3<θ≤π2，f(θ)<0，f (θ)递减，显然θ=π3是f (θ)的极大值点，故f (θ)max =63×32+63×32×12=272.所以五面体ABCDEF 的体积V (x )最大值为272，C 对；D ：当BC =32时，△ABF 和△DCE 所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF -DCE ，此时正三棱柱内最大的求半径r =34<32，故半径为32的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当∠FMH =π3时，FH =332,IH =3,IF =392，设△FIG 的内切圆半径为r 1，则12×332×23=12r 1×23+2×392 ，可得r 1=332+13>32，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为r 2，则r 2=34tan π3=334>r 1=332+13，所以，存在x 使半径为32的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设∠FMH =θ0<θ≤π2得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于32为关键.5(多选)(2024·广西南宁·一模)在边长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，动点M 满足AM =xAB+yAD +zAA 1 ，(x ,y ,z ∈R 且x ≥0,y ≥0,z ≥0)，下列说法正确的是()A.当x =14,z =0,y ∈0,1 时，B 1M +MD 的最小值为13B.当x =y =1,z =12时，异面直线BM 与CD 1所成角的余弦值为105C.当x +y +z =1，且AM =253时，则M 的轨迹长度为42π3D.当x +y =1,z =0时，AM 与平面AB 1D 1所成角的正弦值的最大值为63【答案】AD【分析】对于A ，确定M 的位置，利用侧面展开的方法，求线段的长，即可判断；对于B ，利用平移法，作出异面直线所成角，解三角形，即可判断；对于C ，结合线面垂直以及距离确定点M 的轨迹形状，即可确定轨迹长度；对于D ，利用等体积法求得M 点到平面AB 1D 1的距离，结合线面角的定义求得AM 与平面AB 1D 1所成角的正弦值，即可判断.【详解】对于A ，在AB 上取点H ，使AH =14AB ，在DC 上取点K ，使DK =14DC ，因为x =14,z =0,y ∈0,1 ，即AM =14AB +yAD ，故M 点在HK 上，将平面B 1HKC 1与平面AHKD 沿着HK 展开到同一平面内，如图：连接B 1D 交HK 于P ，此时B ,P ,D 三点共线，B 1M +MD 取到最小值即B 1D 的长，由于AH =14AB =12,∴BH =32，则B 1H =22+32 2=52，故AB 1=52+12=3,∴B 1D =(B 1A )2+AD 2=32+22=13，即此时B 1M +MD 的最小值为13，A 正确；对于B ，由于x =y =1,z =12时，则AM =AB +AD +12AA 1 =AC +12CC 1 ，此时M 为CC 1的中点，取C 1D 1的中点为N ，连接BM ,MN ,BN ，则MN ∥CD 1,故∠BMN 即为异面直线BM 与CD 1所成角或其补角，又MN =12CD 1=2,BM =22+12=5,BN =(BC 1)2+(C 1N )2=8+1=3，故cos ∠BMN =BM 2+MN 2-BN 22BM ⋅MN =5 2+2 2-3225⋅2=-1010，而异面直线所成角的范围为0,π2，故异面直线BM 与CD 1所成角的余弦值为1010，B 错误；对于C ，当x +y +z =1时，可得点M 的轨迹在△A 1BD 内(包括边界)，由于CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故CC 1⊥BD ，又BD ⊥AC ，AC ∩CC 1=C ,AC ,CC 1⊂平面ACC 1，故BD ⊥平面ACC 1，AC 1⊂平面ACC 1，故BD ⊥AC 1，同理可证A 1B ⊥AC 1,A 1B ∩BD =B ,A 1B ,BD ⊂平面A 1BD ，故AC 1⊥平面A 1BD ，设AC 1与平面A 1BD 交于点P ，由于V A -A 1BD =V A 1-ABD =13×12×2×2×2=43，△A 1BD 为边长为22的正三角形，则点A 到平面A 1BD 的距离为AP =4313×34×22 2=233，若AM =253，则MP =AM 2-AP 2=223，即M 点落在以P 为圆心，223为半径的圆上，P 点到△A 1BD 三遍的距离为13×32×22=63<223，即M 点轨迹是以P 为圆心，223为半径的圆的一部分，其轨迹长度小于圆的周长42π3，C 错误；因为当x +y =1,z =0时，AM =AB +AD，即M 在BD 上，点M 到平面AB 1D 1的距离等于点B 到平面AB 1D 1的距离，设点B 到平面AB 1D 1的距离为d ，则V B -AB 1D 1=V D 1-ABB 1=13S △ABB 1⋅A 1D 1=13×12×2×2×2=43，△AB 1D 1为边长为22的正三角形，即13S △A 1BD ⋅d =13×34×22 2×d =43，解得d =233，又M 在BD 上，当M 为BD 的中点时，AM 取最小值2，设直线AM 与平面AB 1D 1所成角为θ,θ∈0,π2，则sin θ=d AM =233AM≤2332=63，即AM 与平面AB 1D 1所成角的正弦值的最大值为63，D 正确，故选：AD【点睛】难点点睛：本题考查了空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，难点在于C ，D 选项的判断，对于C ，要结合空间距离，确定动点的轨迹形状；对于D ，要结合等体积法求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解.题型04不规则图形中的面面夹角问题利用向量法解决立体几何中的空间角问题，关键在于依托图形建立合适的空间直角坐标系，将相关向量用坐标表示，通过向量的坐标运算求空间角，其中建系的关键在于找到两两垂直的三条直线．1(2024·浙江台州·二模)如图，已知四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =3A 1B 1，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB =6，CD =9，AD =6，且AA 1=BB 1=4，Q 为线段CC 1中点，(1)求证：BQ ∥平面ADD 1A 1；(2)若四棱锥Q -ABB 1A 1的体积为3233，求平面ABB 1A 1与平面CDD 1C 1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)217【分析】(1)分别延长线段AA 1，BB 1，CC 1，DD 1交于点P ，将四棱台补成四棱锥P -ABCD ，取DD 1的中点E ，连接QE ，AE ，由四边形ABQE 为平行四边形，得到BQ ∥AE ，然后利用线面平行的判定定理证明；(2)先证明AD ⊥平面ABB 1A 1，再以A 为坐标原点，以直线AB 为x 轴，以直线AD 为y 轴，建立空间直角坐标系，求得平面CDD 1C 1的法向量为m =x ,y ,z ，易得平面ABB 1A 1的一个法向量为n=0,1,0 ，然后由cos m ,n=m ⋅n m n 求解.【详解】(1)证明：如图所示：分别延长线段AA 1，BB 1，CC 1，DD 1交于点P ，将四棱台补成四棱锥P -ABCD .∵A 1B 1=13AB ，∴PC 1=13PC ，∴CQ =QC 1=C 1P ，取DD 1的中点E ，连接QE ，AE ，∵QE ⎳CD ⎳AB ，且QE =123+9 =6=AB ，∴四边形ABQE 为平行四边形.∴BQ ∥AE ，又AE ⊂平面ADD 1A 1，BQ ⊄平面ADD 1A 1，∴BQ ∥平面ADD 1A 1；(2)由于V Q -ABB 1A 1=23V C -ABB 1A 1，所以V C -ABB 1A 1=163，又梯形ABB 1A 1面积为83，设C 到平面ABB 1A 1距离为h ，则V C -ABB 1A 1=13S 梯形ABB 1A 1⋅h =163，得h =6.而CD ∥AB ，AB ⊂平面ABB 1A 1，CD ⊄平面ABB 1A 1，所以CD ∥平面ABB 1A 1，所以点C 到平面ABB 1A 1的距离与点D 到平面ABB 1A 1的距离相等，而h =6=AD ，所以AD ⊥平面ABB 1A 1.以A 为坐标原点，以直线AB 为x 轴，以直线AD 为y 轴，建立空间直角坐标系，易得△PAB 为等边三角形，所以A 0,0,0 ，B 6,0,0 ，C 9,6,0 ，D 0,6,0 ，P 3,0,33设平面CDD 1C 1的法向量为m=x ,y ,z ，则m ⋅DP=x ,y ,z ⋅3,-6,33 =3x -6y +33z =0m ⋅DC=x ,y ,z ⋅9,0,0 =9x =0，得x =0，y =32z ，不妨取m =0,3,2 ，又平面ABB 1A 1的一个法向量为n=0,1,0 .则，平面ABB 1A 1与平面CDD 1C 1夹角的余弦值为217.2(2024·浙江杭州·二模)如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，∠DAB =60°,BC=2PQ =4AB =4,M 为BC 的中点，PQ ∥BC ,PD ⊥DC ,QB ⊥MD ．(1)证明：∠ABQ =90°；(2)若多面体ABCDPQ 的体积为152，求平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)31010．【分析】(1)根据余弦定理求解DM =3，即可求证DM ⊥DC ，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，(2)根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得PM =h =33，即可建立空间直角坐标系，求解法向量求解.【详解】(1)在△DCM 中，由余弦定理可得DM =DC 2+MC 2-2DC ⋅MC cos60°=3，所以DM 2+DC 2=CM 2，所以∠MDC =90°，所以DM ⊥DC ．又因为DC ⊥PD ，DM ∩PD =D ,DM ,DP ⊂平面PDM ,所以DC ⊥平面PDM ,PM ⊂平面PDM ．所以DC ⊥PM ．由于PQ ⎳BM ,PQ =BM =2,所以四边形PQBM 为平行四边形，所以PM ∥QB ．又AB ∥DC ，所以AB ⊥BQ ，所以∠ABQ =90°．(2)因为QB ⊥MD ，所以PM ⊥MD ，又PM ⊥CD ，DC ∩MD =D ,DC ,MD ⊂平面ABCD ,所以PM ⊥平面ABCD ．取AD 中点E ，连接PE ，设PM =h ．设多面体ABCDPQ 的体积为V ，则V =V 三棱柱ABQ -PEM +V 四棱锥P -CDEM =3V A -PEM +V 四棱锥P -CDEM =3V P -AEM +V 四棱锥P -CDEM=S △AEM ×h +13S 四边形CDEM ×h =S △AEM ×h +132S △AEM ×h =53S △AEM ×h =53×12×2×1×sin 2π3h =152．解得PM =h =33．建立如图所示的空间直角坐标系，则A -3,2,0 ,B -3,1,0 ,C 3,-1,0 ，D 3,0,0 ,P 0,0,33 ,Q -3,1,33 ,M 0,0,0 ．则平面QAB 的一个法向量n=1,0,0 ．所以CD =0,1,0 ,PD=3,0,-33 ，设平面PCD 的一个法向量m=x ,y ,z ，则m ⋅CD=0,n ⋅PD =0,即y =0,3x -33z =0, 取m=3,0,1 ．所以cos θ=m ⋅n m ⋅n=31010．。

2022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）压轴真题解读11．设函数()sin()3f x x πω=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是()A ．5[3，13)6B ．5[3，19)6C ．13(6，8]3D ．13(6，196【答案】C【解析】当0ω<时，不能满足在区间(0,)π极值点比零点多，所以0ω>；函数()sin()3f x x πω=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，(33x ππω+∈，3πωπ+，∴5323ππωππ<+，求得13863ω<，故选：C ．【解后反思】1.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.12．已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b>>【答案】A【解析】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A【规律总结】1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f (x )与f ′(x )的不等关系时，常构造含f (x )与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.16．已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，120ADB ∠=︒，2AD =，2CD BD =．当ACAB取得最小值时，BD =．1【解析】设BD x =，2CD x =，在三角形ACD 中，2244222cos60b x x =+-⋅⋅⋅︒，可得：22444b x x =-+，在三角形ABD 中，22422cos120c x x =+-⋅⋅⋅︒，可得：2224c x x =++，要使得ACAB 最小，即22b c 最小，222244412432411b x x c x x x x -+==-+++++，其中311x x +++，此时224b c-，当且仅当1x +=时，即1x =-时取等号，【易错】忽视基本不等式成立的条件20．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(,0)D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，||3MF =．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【命题意图】考查抛物线方程的求法、直线与抛物线位置关系的应用、运算求解能力，属难题．【解析】（1）当x p =时，222y p =，得M y =，可知||MD =，||2p FD =．则在Rt MFD ∆中，222||||||FD DM FM +=，得22()92p +=，解得2p =．则C ：24y x =；（2）要使αβ-取得最大值，则tan()αβ-最大，且知当直线MN 的斜率为负时，αβ-为正才能达到最大，又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，由（1）可知(1,0)F ，(2,0)D ，则1212221212124tan 44MN y y y y k y y x x y y β--====-+-，又N 、D 、B 三点共线，则ND BD k k =，即24240022y y x x --=--，∴242224002244y y y y --=--，得248y y =-，即428y y =-；同理由M 、D 、A 三点共线，得318y y =-．则1234124tan 2()y y y y y y α==+-+．由题意可知，直线MN 0，不妨设:1(0)MN l x my m =+<，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，124y y m +=，124y y =-，则41tan 4m m β==，41tan 242m m α-==-⨯，则1112tan()111122m m m m m mαβ---==+⋅+，可得当2m =时，tan()αβ-最大，αβ-最大，此时AB 的直线方程为33344()y y x x y y -=-+，即34344()0x y y y y y -++=，又123412128()888y y y y m y y y y -++=--===-，34128816y y y y --=⋅=-，AB ∴的方程为4160x +-=，即40x +-=．21．已知函数()xe f x lnx x a x=-+-．（1）若()0f x ，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【命题意图】考查利用导函数研究函数单调性，即构造函数证明不等式恒成立问题，属较难题．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)1()(1)()1x x e x e x x f x x x x-+-'=-+=，令()0f x '>，解得1x >，故函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，故()min f x f =（1）1e a =+-，要使得()0f x 恒成立，仅需10e a +-，故1a e +，故a 的取值范围是(-∞，1]e +；（2）证明：由已知有函数()f x 要有两个零点，故f （1）10e a =+-<，即1a e >+，不妨设1201x x <<<，要证明121x x <，即证明211x x <，101x << ，∴111x >，即证明：2111x x <<，又因为()f x 在(1,)+∞单调递增，即证明：211()()f x f x <⇔111()()f x f x <，构造函数1()()()h x f x f x=-，01x <<，12221(1)()11()()()xx x xe x e x h x f x f x x x-+--'='+'=，令121()xxk x xe x e x =+--，01x <<，12211()(1)20x x k x x e x e x x'=++++>，()k x k <（1）0=，所以()k x 在(0,1)上递增，又因为10x -<，20x >，故()0h x '>在(0,1)恒成立，故()h x 在(0,1)单调递增，又因为h （1）0=，故()h x h <（1）0=，故111()()f x f x <，即121x x <．得证．【方法总结】利用导数求函数的零点常用方法(1)构造函数g (x )，利用导数研究g (x )的性质，结合g (x )的图象，判断函数零点的个数.(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有几个零点.压轴模拟专练1．已知0x 是函数()12sin cos 3f x x x x =-的一个极值点，则20tan x 的值是（）A ．1B ．12C ．37D ．57【答案】D【解析】()2001112cos2,cos22cos 1366f x x x x =-∴=∴-='，∴207cos 12x =，∴22005sin 1cos 12x x =-=，∴220020sin 5tan cos 7x x x ==。

2018 年数学全国1 卷 已知函数 f ( x) 1 x a ln x ．x（ 1）讨论 f (x) 的单调性；f x 1 f x 2 a 2 ．（ 2）若 f (x) 存在两个极值点 x 1 , x 2 ，证明：x 1 x 2解 :（1） f ( x) 的定义域为 (0, ) ， f ( x )1 a x 2ax 1 x 2 1 x 2.x （ i ）若 a 2 ，则 f ( x) 0 ，当且仅当 a 2， x 1 时 f ( x) 0 ，所以 f (x) 在(0, ) 单调递减 .（ ii ）若 a 2 ，令 f( x)0 得， x a a 24或 x aa 24 .22当 xaa 24 aa 24, ) 时， f ( x) 0；(0, 2 ) U (2当aa 24 aa 24时 ， f (x ) . 所 以 f( x) 在 x (2 ,2 )(0, aa 24),( aa 24 ,) 单调递减，在 ( aa 24 , a a 24)单调递22 2 2 增 .（ 2）由（ 1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当a 2.由于 f ( x) 的两个极值点 x 1 , x 2 满足x 2 ax 1 0，所以 x 1x 2 1 ，不妨设 x 1 x 2 ，则 x 2 1 .由于f ( x 1 ) f ( x 2 ) 1 ln x 1 lnx 2 ln x 1 ln x 22ln x 2 ，x 1 x 2 x 1x 2 1 a x 1 x 2 2 a x 1 x 2 2 a 1 x 2 x 2所以f ( x1 )f( x 2 )a 2等价于x 2 2ln x 2 0 .1x1x2x2设函数 g ( x) 1 ) 单调递减，又 g(1) 0，从x 2ln x ，由（ 1）知， g ( x) 在 (0,x而当 x (1, ) 时， g( x) 0.所以1x22ln x20，即 f ( x1 )f(x2 ) a 2 .x2x1x2 2017 年数学全国 1 卷已知函数（f x) ae2x+(a﹣2) e x﹣ x.（1）讨论 f (x) 的单调性；（ 2）若 f ( x)有两个零点，求a 的取值范围 .（1） f ( x)的定义域为(, )， f (x) 2ae2 x(a 2)e x 1 (ae x1)(2e x1) ，（ⅰ）若a0，则f(x) 0 ，所以 f ( x) 在 (, )单调递减 .（ⅱ）若a0，则由f (x)0得 x ln a .当x ( , ln a) 时， f( x ) 0；当 x ( ln a, ) 时， f ( x) 0 ，所以 f ( x) 在( , ln a) 单调递减，在(lna, )单调递增 .（2）（ⅰ）若a0，由（ 1）知， f (x)至多有一个零点 .（ⅱ）若 a 0，由（ 1 ）知，当x ln a 时， f (x)取得最小值，最小值为f ( ln a)1ln a 1a.①当a1时，由于f ( ln a)0 ，故 f ( x)只有一个零点；②当a (1,11ln a 0lna)0 ，故 f (x)没有零点；a) 时，由于，即 f (11③当aln a，即 f (0. (0,1) 时， a ln a)又 f ( 2) ae 4(a 2)e 2 2 2e 220 ，故 f ( x) 在 (,ln a)有一个零点 .n ln( 3 1) n0n0n0n0设正整数n0满足0 a，则f (n0) e ( aea 2) n 0e n 0 2 n 0 0.ln( 31)ln a )有一个零lna, 点 .由于 a ，因此 f ( x) 在 (综上， a 的取值范围为(0,1)2016 年数学全国 1 卷已知函数 f ( x) (x 2)e x a( x 1)2有两个零点 . （ I ）求 a 的取值范围；（ II ）设 x 1， x 2 是 f ( x) 的两个零点，证明： x 1x 2 2 . 【答案】 (I)(0,) ；（ II ）见解析【解析】试题分析： (I) 求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类） ； (II)借助 (I) 的结论来证明，由单调性可知x 1 x 2 2 等价于 f (x 1) f (2 x 2 ) ，即 f (2 x 2 ) 0 ．设g( x) x e 2 x(x 2)e x，则 g '(x) ( x 1)(e 2 xe x ) ．则当 x 1时， g '(x)0，而 g(1) 0 ，故当 x 1 时， g ( x)0 ．从而 g ( x 2 ) f (2x 2 )0 ，故 x 1 x 2 2 ．'( ) ( 1)e x 2( 1) x 2 )．试题解析：（Ⅰ） ( 1)(e xx a x x af （ i ）设a0 ，则 f ( x) (x 2)e x， f (x) 只有一个零点．时 f (x) 0 ，所以 f (x) 不存在两个零点．若 ae1 ，故当 x (1,ln(2a)) 时， f '(x)0 ；当 x(ln( 2a), )，则ln( 2a) 2时， f '(x)0 ．因此 f ( x) 在(1,ln(2a)) 单调递减，在 (ln( 2a), ) 单调递增．又当 x 1时， f (x) 0，所以 f ( x) 不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0,) ．（Ⅱ） 不妨设 x 1 x 2 ，由（Ⅰ）知x 1( ,1), x 2 (1, ) ，2 x 2 (,1) ， f( x)在 ( ,1)单调递减，所以 x 1 x 2 2 等价于 f ( x 1) f (2 x 2 ) ，即 f(2x 2 ) 0 ． 由于f (2 x 2 ) x2 e 2 x 2 a( x 2 1)2 ，而 f (x 2 ) (x 2 2)e x2 a( x 2 1)2 0 ，所以f (2x 2 ) x2 e 2 x 2 ( x 22)e x2． 设 g (x) x e 2 x ( x 2)e x，则 g '(x) ( x 1)(e 2 xe x ) ． 所以当 x 1 时， g'(x) 0 ，而g(1) 0 ，故当 x 1 时，g( x) 0．从而 g(x 2 )f (2 x 2 ) 0 ，故 x 1 x 22 ． 2013 年数学全国 1 卷设函数 ＝ ， ＝ ，若曲线 和曲线 都过点P(0 ， 2) ，且在点 P 处有相同的切线 （Ⅰ）求， ， ， 的值；（Ⅱ）当 ≥－2时， ≤ ，求 的取值范围。

高考数学压轴题：平面解析几何一、解答题（共35小题）1．已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ． （Ⅰ）若1k =，且10||AB =，求实数a 的值； （Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且1273||,(4OP PF PF O ==为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零； （Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<时，求实数t 取值范围． 7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M 处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由． ．12．（2019•秦淮区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，以椭圆C左顶点T为圆心作圆222:(2)(0)T x y r r++=>，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求TM TN的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR OS为定值．13．（2016•益阳模拟）已知以点(1,2)A-为圆心的圆与直线1:270l x y++=相切．过点(2,0)B-的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与1l相交于点P．()I求圆A的方程；（Ⅱ）当219MN=l的方程；（Ⅲ）BQ BP是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．14．（2019•上海）已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．15．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点．（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．16．（2019•新课标Ⅱ）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．17．（2019•浙江）如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积分别为1S ，2S ．（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12SS的最小值及此时点G的坐标．18．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2xC y=，D为直线12y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．19．（2018•天津）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离5A的坐标为(,0)b，且||||62FB AB=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线:(0)l y kx k=>与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若||52(||4AQAOQ OPQ=∠为原点），求k的值．20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点1(3F0)，2(3F0)，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若OAB∆26，求直线l的方程．21．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．22．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．（2018•上海）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t =，曲线2:8(0,0)y x x t y Γ=．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．24．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．25．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程．26．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．()I 求椭圆的方程和抛物线的方程；()II 设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆，求直线AP 的方程．27．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）如图，动直线1:l y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且||:||2:3MC AB =，M 的半径为||MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．28．（2017•新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．29．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)P -，43(1,)P 中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．30．（2016•浙江）如图，设椭圆222:1(1)x C y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．31．（2016•天津）设椭圆2221(3)3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113||||||eOF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点(B B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF HF⊥，且MOA MAO∠∠，求直线l的斜率的取值范围．32．（2016•四川）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PBλ=，并求λ的值．33．（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率是3，抛物线2:2E x y=的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．()i求证：点M在定直线上；()ii直线l与y轴交于点G，记PFG∆的面积为1S，PDM∆的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标．34．（2016•新课标Ⅱ）已知椭圆22:13x yEt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k>的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA NA⊥．（Ⅰ）当4t=，||||AM AN=时，求AMN∆的面积；（Ⅱ）当2||||AM AN=时，求k的取值范围．35．（2016•新课标Ⅰ）设圆222150x y x++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)B且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明||||EA EB+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：平面解析几何综合题（35题）参考答案与试题解析一、解答题（共35小题）1．（2016•南昌校级二模）已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且||AB =，求实数a 的值； （Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程． 【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）若1k =，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及||AB =可求实数a 的值；（Ⅱ）根据2AC CB =关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， （Ⅰ）由2213y x x y a=+⎧⎨+=⎩得24210x x a ++-=， 则1212x x +=-，1214ax x -=，则123|||24AB x x a -=-=2a =． （Ⅱ）由2213y kx x y a=+⎧⎨+=⎩，得22(3)210k x kx a +++-=， 则12223k x x k +=-+，12213ax x k -=+， 由2AC CB =得1(x -，121)2(y x -=，21)y -， 解得122x x =-，代入上式得： 122223k x x x k +=-=-+，则2223kx k =+，1222133||3||||||322323||||AOB k S OC x x x k k k ∆=-====++ 当且仅当23k =时取等号，此时2223k x k =+，22122224222(3)3k x x x k =-=-⨯=-+， 又1221136a ax x k --==+， 则1263a -=-，解得5a =．所以，AOB ∆，此时椭圆的方程为2235x y +=． 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．2．（2017•河南模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且123||(4OP PF PF O =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由． 【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（1）设出P 的坐标，利用||OP 的值求得0x 和0y 的关系式，同时利用1234PF PF =求得0x 和0y 的另一关系式，进而求得c ，通过椭圆的离心率求得a ，最后利用a ，b 和c 的关系求得b ，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则可利用韦达定理表示出12x x +和12x x ，假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则可表示出MA MB ，利用0MA MB =求得m 的值．【解答】解：（1）设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则由220074OP x y =+=； 由1234PF PF =得00003(,)(,)4c x y c x y -----=，即2220034x y c +-=． 所以1c =又因为222,1c a b a ===所以． 因此所求椭圆的方程为：2212x y +=．（2）动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22416(21)039k x kx +--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k +==-++． 假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则1122(,),(,)MA x y m MB x y m =-=-． 21212121212()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的,0k R MA MB ∈=恒成立， 即221096150m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得1m =．因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点， 点M 的坐标为(0,1)【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和推理的能力．3．（2016•衡阳三模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】3K ：椭圆的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（1）由题意知2a =，b c =，22b =，由此可知椭圆方程为22142x y +=．（2）设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ，()()110,,2,OP x y OM y ==则，直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=，然后利用根与系数的关系能够推导出OM OP 为定值．（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥．2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++，再由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，由此可知存在(0,0)Q 满足条件．【解答】解：（1）2a =，b c =，222a b c =+，22b ∴=；∴椭圆方程为22142x y +=（4分）（2）(2,0)C -，(2,0)D ，设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， ()()110,,2,OP x y OM y ==则直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=（6分）21204(8)128y x y -=-+，∴201202(8)8y x y -=-+，∴012088y y y =+，∴20022002(8)8(,)88y y OP y y -=-++（8分） ∴2220002220004(8)84324888y y y OP OM y y y -+=-+==+++（定值）（10分）（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥（11分）2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++（12分）则由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，从而得0m =∴存在(0,0)Q 满足条件（14分）【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．4．（2016•天津一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零； （Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．【考点】1K ：圆锥曲线的实际背景及作用；3K ：椭圆的标准方程【专题】15：综合题；31：数形结合；34：方程思想；4R ：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a 、b 的值即可；（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，求出直线RA 、RB 的斜率之和即可证明结论成立； （Ⅲ）讨论直线l 的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出||||AB MN 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C 长轴长等于圆22:(2)4R xy +-=的直径， 所以24a =，2a =； ⋯（1分）2，得22222212c a b e a a -===，所以222142b b a ==，得22b =；⋯（2分）所以椭圆C 的方程为22142x y +=；⋯（3分）（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，与22142x y +=联立，消去y ，得22(12)420k x kx ++-=； 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则122412k x x k +=-+，122212x x k =-+，⋯（5分） 由(0,2)R ，得 121222RA RB y y k k x x --+=+121211kx kx x x --=+12112()k x x =-+ 12122x x k x x +=-2241220212k k k k -+=-=-+．⋯（7分）所以直线RA ，RB 的斜率之和等于零；⋯（8分）（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，||AB =||4MN =，||||8AB MN =；⋯（9分） 当直线l的斜率存在时，||AB =12||x x =-12()x x +4(12k k =-+ 22328k += ||MN ==⋯（11分）所以22328||||12k AB MN k+=+⨯241k +=；因为直线l 过点(0,1)P ，所以直线l 与椭圆C 和圆R 均交于两点， 令212k t +=，则1t ， 所以22(21)(21)1||||4242482t t AB MN t t -+==-<， 又2124y t =-在1t 时单调递增， 所以1||||446AB MN =， 当且仅当1t =，0k =等号成立；⋯（13分）综上，||||AB MN 的取值范围是．⋯（14分）【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．5．（2015•大庆一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质 【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知12c e a ==，能够导出2243a b =．再由b C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=，再由根与系数的关系证明直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）分MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．再由根据判别式和根与系数的关系求解OM ON 的取值范围；当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =，易得M 、N 的坐标，进而可得OM ON 的取值范围，综合可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知12c e a ==， 所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为b =所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．①设点1(B x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则1(A x ，1)y -． 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知△0>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则2225125334344(43)M N M N m OM ON x x y y m m +=+=-=--++． 因为20m ，所以21133044(43)m --<+．所以5[4,)4OM ON ∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得3(1,)2M -，3(1,)2N 或3(1,)2M 、3(1,)2N -．此时54OM ON =-．所以OM ON 的取值范围是5[4,]4--．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<t 取值范围． 【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知c e a ==所以22222212c a b e a a -===．由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ，由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=再由根的判别式和嘏达定理进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==，所以22222212c a b e a a -===．即222a b =．（2分）又因为1b ==，所以22a =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分）（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ， 由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=．△422644(21)(82)0k k k =-+->，212k <．（6分） 2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+12(OA OB tOP x x +=∴+，12)(y y t x +=，)y ， ∴21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，22216(12)k t k ∴=+．（8分） 25||PA PB -<，∴12|x x -，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，22(41)(1413)0k k ∴-+>，∴214k >．（10分） ∴21142k <<，22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++， ∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为26(2,(,2)-．（12分） 【点评】本题考查椭圆方程的求法和求实数t 取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）首先，得到点M 的坐标，然后，代入，得到212b a ac =+，从而确定其斜率关系；（Ⅱ）首先，得到1(2A c -，30)(,)2cM c ，然后，可以设外接圆圆心设为0(P x ，0)，结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意2(,)b M c a-------------（1分）因为1(,0)A a -，所以212b a ac =-------------+（2分）将222b a c =-代入上式并整理得112a c e a -=-=（或2)a c =----------（3分） 所以12e =------------（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得2a c =，3b c =（或22221)43x y c c+=------------（5分）所以1(2A c -，30)(,)2cM c ，外接圆圆心设为0(P x ，0)由1||||PA PM =222003(2)()()2c x c x c +-+-----------（6分） 解得：08cx =-------------（7分）所以34238PMck c c ==------------+（8分）所以△1A MN 外接圆在M 处切线斜率为34-，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC 方程为33()24c y x c -=--，即3944cy x =-+------------（9分）与椭圆方程2223412x y c +=联立得22718110x cx c -+=------------（10分） 解得1211,7cx c x ==------------（11分）由弦长公式12|||MC x x =-115|77c c -=------------（12分）解得1c =------------（13分）所以椭圆方程为22143x y +=------------（14分）【点评】本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c ，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a ，b ；（Ⅱ）把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D ，可得1AD BD k k =-，即可得出m 与k 的关系，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）左焦点(,0)c -到点(2,1)P∴=，解得1c =．又12c e a ==，解得2a =，2223b a c ∴=-=． ∴所求椭圆C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，△22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为2234k m +>．∴122834mkx x k-+=+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+． 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)D ，1AD BD k k =-，∴1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，∴2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++． 化为2271640m mk k ++=，解得12m k =-，227km =-．，且满足22340k m +->．当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7． 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0)7．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）先由离心率得到a ，b 的关系，再由求出b ，再由直线l 垂直于x 轴时，||AB =求得关于a ，b 的另一方程，联立求得a ，b 的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB 的方程(1)y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB 的斜率的取值范围，从而求得弦长||AB 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，c e a ==，即2212c a =，∴22212a b a -=，则222a b =，①把1x =代入22221x y a b +=，得y =则2212b a a-=，② 联立①②得：22a =，21b =．∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）如图，当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-， 联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)20k y ky k ++-=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21212222,1212k k y y y y k k --+==++，③ 由||||MA MB λ=，得AM MB λ=，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，则12y y λ-=，④把④代入③消去2y 得：241212k λλ=+-+，当1[2λ∈，2]时，2412[012k λλ=+-∈+，1]2． 解得：272k ． 22221212222221144||1()4(12)12k k k AB y y y y k k k k +=++-=+++2222211922222(1)22(1)(2,]112122k k k k k+==-=-∈+++．∴弦长||AB 的取值范围为92[2,]8．【点评】本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标． 【考点】JE ：直线和圆的方程的应用 【专题】15：综合题【分析】（1）因为直线l 过点(4,0)A ，故可以设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆1C 截得的弦长为圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P 点的直线1l 与2l 的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线1l 与2l 的方程． 【解答】解：（1）由于直线4x =与圆1C 不相交；∴直线l 的斜率存在，设l 方程为：(4)y k x =-（1分）圆1C 的圆心到直线l 的距离为d ，l 被1C 截得的弦长为1d ∴==（2分）d =(247)0k k +=即0k =或724k =-∴直线l 的方程为：0y =或724280x y +-=（5分）（2）设点(,)P a b 满足条件，由题意分析可得直线1l 、2l 的斜率均存在且不为0，不妨设直线1l 的方程为()y b k x a -=-，0k ≠ 则直线2l 方程为：1()y b x a k-=--（6分）1C 和2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 1C ∴的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等1|5(4)|a b +--=（8分）整理得|13||54|k ak b k a bk ++-=+--13(54)k ak b k a bk ∴++-=±+--即(2)3a b k b a +-=-+或(8)5a b k a b -+=+- 因k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩或8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩（10分）解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这样的点只可能是点15(2P ，1)2-或点23(2P -，13)2（12分） 【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到一个关于x 的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．．【考点】4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 结合向量条件及向量运算得出关于a ，c 的等式，从而求得椭圆的离心率即可；（2）由（1）知a ，c 的一个方程，再利用AQF ∆的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（3）由（Ⅱ）知直线:(1)l y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P 且m 的取值范围．【解答】解：（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 知20(,),(,)F A c b AQ x b =-=-2F A AQ ⊥，∴22000,b cx b x c--==-，由于12220F F F Q +=即1F 为2F Q 中点．故2222223b c c b c a c c-+=-∴==-，故椭圆的离心率12e =，（3分）（2）由（1）知12c a =，得12c a =于是21(2F a ，30)(,0)2Q a -， AQF ∆的外接圆圆心为1(2a -，0)，半径1||2r FQ a ==所以1|3|22a a --=，解得2a =，1c ∴=，3b 所求椭圆方程为22143x y +=，（6分）。