北京市高考数学压轴题总复习

1．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1AC 平面1B EF ；②1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 CA. {}2B. 255⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C. {|222}t t ≤≤ D. 2{|52}5t t ≤≤3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有 CA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做ABCDE1A 1D 1B1C OABDCA 1D 1A 1C 1B DCB OPN MQM BA图1 图2 图3这个点到这个平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面γ的距离的最大值是C（A）3（B）3（C）3+（D）66.已知函数)(xf的定义域为R，若存在常数0>m，对任意x∈R，有|()|||f x m x<，则称)(xf为F函数．给出下列函数：①2)(xxf=；②xxxf cossin)(+=；③1)(2++=xxxxf；④)(xf是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数21,xx均有21212)()(xxxfxf-≤-．其中是F函数的序号为 C（A）②④（B）①③（C）③④（D）①②7.定义区间(,)a b，[,)a b，(,]a b，[,]a b的长度均为db a=-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d=-+-=. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]x x x=-，其中x∈R. 设()[]{}f x x x=⋅，()1g x x=-，若用123,,d d d分别表示不等式()()f xg x>，方程()()f xg x=，不等式()()f xg x<解集区间的长度，则当02011x≤≤时，有 B（A）1231,2,2008d d d===（B）1231,1,2009d d d===（C）1233,5,2003d d d===（D）1232,3,2006d d d===8. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点,0N n，则m的象就是n，记作f m n．则下列命题中正确的是（）CA ．114f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在其定义域上单调递增D ．()f x 的图象关于y 轴对称 9. 用max{}a b ，表示a ，b两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A A ．3512 B ．5924 C ．578D ．911210. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是C (A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 211. 定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ C ）12.对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是D（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①②13. 已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 DA ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞C ．)5,31(D ．)3,(-∞(A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是 A（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）115. 已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为 A（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 16. 已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 DA ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈ D ．3[,)2r ∈+∞ 17. 设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）（A ）最小值为15（B（C ）最大值为15（D18. 已知数列*{} ()n a nN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 . 2026 19. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义11,P x y 、22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y .若点1,3A -，则(,)d A O = ；已知点1,0B ，点M 是直线30(0)kxykk上的动点，(,)d B M 的最小值为 . 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩20. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____.，25 21. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间)1,0(内任取两个实数,p q ，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．[15,)+∞22. 定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．γ>α>β23．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．24.已知函数399)(+=x x x f ，则(0)(1)f f += ，若112()()k S f f k k-=+31()()(2,k f f k k kk-+++≥∈Z)，则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．1，12k - 25.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n k k a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.62；1或526.已知数列{}n a ，满足：123451,2,3,4,5a a a a a =====，且当5n ≥时，1121n n a a a a +=-，若数列{}n b 满足对任意*n ∈N ，有2221212n n n b a a a a a a =----，则5b = ；当5n ≥时，=n b ．65 n -7027．数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n =，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.120；(21,2),k k k -∈*N 28．函数)0(2>=x x y 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *∈，若161=a ，则=+53a a ，数列{}n a 的通项公式为 ．5， 52n-29.对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ．3430. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 . (2,4); 331.已知函数sin ()x f x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.①② , 9 32．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__ACP BD秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．6，(1),2(3),2n n n n a n n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.33．已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 .1334. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 .4；232n n -35. 已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，对任意的,,A y x ∈且x y ≠，有25xyy x ≥-． （Ⅰ）求证：251111-≥-n a a n ； （Ⅱ）求证：9≤n ；（Ⅲ）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ． (Ⅰ) 证明：依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21， 因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ． OA 1A 2 A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ． 所以12231111111111125i i n n n a a a a a a a a +---+-+-++-≥． 即251111-≥-n a a n ． …………………4分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得25111->n a ． 又11≥a ，可得2511->n ，因此26<n ． 同理2511i n a a n i -≥-，可知251i n a i ->． 又i a i ≥，可得251in i ->， 所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立． 当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ， 可知10<n ．又当9≤n 时，25)2()2()(22<=-+≤-ni n i i n i ． 所以9≤n ． …………………9分（Ⅲ）解：对于任意n j i ≤<≤1，j i i a a a ≤<+1，由)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i 可知， 25111111≥-≥-+i i j i a a a a ，即25j i j i a a a a ≥-． 因此，只需对n i <≤1，251111≥-+i i a a 成立即可． 因为251211≥-；2513121≥-；2514131≥-；2515141≥-， 因此可设11=a ；22=a ；33=a ；44=a ；55=a ． 由2511165≥-a a ，可得4256≥a ，取76=a ． 由2511176≥-a a ，可得181757≥a ，取107=a ．由2511187≥-a a ，可得3508≥a ，取208=a ． 由2511198≥-a a ，可得1009≥a ，取1009=a ． 所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A ．……………14分 36. 已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.（Ⅱ）若1000n =时① 若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值． 解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ．...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉.又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤， 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分 37. 已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为 30a =，且3221a a =+， 所以22a =-．同理可得123a =-，即23a =-． ………………………3分（Ⅱ）证明：假设a 为数列{}n b 中的第*()i i ∈N 项，即1i a a b ==；则211()()i i a f a f b b -===； 3212()()i i a f a f b b --===；………121()()2i i a f a f b b -====-；12()10i i ia f a a +==+=， 即1()(2)0i i a f a f +==-=。

北京市数列压轴题 2020西城期末解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =； ……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈, ……………… 4分令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉. ……………… 8分（Ⅲ）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分 所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分2019高考已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.2018高考设n 为正整数，集合A={α|α=（t 1，t 2，…t n ），t k ∈{0，1}，k=1，2，…，n }，对于集合A 中的任意元素α=（x 1，x 2，…，x n ）和β=（y 1，y 2，…y n ），记M （α，β）=12[（x 1+y 1﹣|x 1﹣y 1|）+（x 2+y 2﹣|x 2﹣y 2|）+…（x n +y n ﹣|x n ﹣y n |）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M （α，α）和M （α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M （α，β）是奇数；当α，β不同时，M （α，β）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）=0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明． （Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．【解答】解：（I ） M （a ，a ）=2，M （a ，β）=1．（II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）=1不合题意， 故B 中元素个数的最大值为4．（Il ） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于n +1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i =y i =l ，此时M （α，β）≥1不满足题意，故B 中最多有n +1个元素．【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．2017高考设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2c b a c b a b a c b a b a b a -----，，，，，，4所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较 当*k N ∈且1<k<n 时， 11()()k k b a n b a n ---=[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以 对于*n N ∀∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥ 又21=-1c c - 所以{}n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。

均不构成等差数列，求 p 的最大值；
（Ⅲ）设数列{an} 为等比数列，公比为 q ，项数为 N (N ≥3) ．判定数列{an} 是否存在长 度为 3 的递增子列：1，16，81？若存在，求出 N 的最小值；若不存在，说明理由穷数列．给出两个性质： ①对于{an} 中任意两项 ai , a j (i > j) ，在{an} 中都存在一项 am ，使得 2ai − a j = am ； ②对于{an} 中任意项 an (n 3) ，在{an} 中都存在两项 ak ,al (k > l) ，使得= an 2ak − al . (Ⅰ)若= an 2= n (n 1, 2,) ，判断数列{an} 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若= an n= (n 1, 2,) ，判断数列{an} 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{an} 是递增数列， a1 = 0 ，且同时满足性质①和性质②，证明：{an} 为等差数列.
（Ⅱ）对于任意“ 5 阶非负数表” A ，记 R(s) 为 A 的第 s 行各数之和（1 ≤ s ≤ 5），证明：存
在 {i, j, k}⊆ {1,2,3,4,5}，使得 R(i) + R( j) + R(k) ≥ 3 ；
（Ⅲ）当 n = 2k(k ∈ N*) 时，证明：对与任意“ n 阶非负数表” A ，均存在 k 行 k 列，使得 这 k 行 k 列交叉处的 k 2 个数之和不小于 k .
设{an*} 的前 n 项和为 Sn* .
（Ⅰ）设 an
=
n 2n
，写出 a1* ， a2* ， a3* ， a4* ；
（Ⅱ）证明：“对任意 n ∈ N* ，有= Sn* an+1 − a1 ”的充要条件是“对任意 n ∈ N* ，有 | an+1 − an |= 1 ”；

2024年高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A1BCD2．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．143．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．784．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 5．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭6．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．987．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π9．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 10．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±=B ．250x =C 520x y ±=D 50x y ±=11．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β12．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3．若变量 x, y 满足约束条件 ⎨x ≥ 1, ,则 z = 2 x + y 的最大值为（）⎪ y ≥ 0北京市 2020 年高考文科数学压轴卷（含解析）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知 (1+ b i)i = -1 + i(b ∈ R) ，则 b 的值为（）A. 1B. -1C. iD. -i2．下列函数中，值域为 R 的偶函数是（ ）A ．y=x 2+1B ．y=e x ﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ． y = x 2⎧x + y ≤ 2, ⎪⎩A ． 0B ． 2C ． 3D ． 44. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为 1，则输出的 a 值为（）开始输入否是输出结束A. 1B. 2C. 3D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．3613.若 0 < a < b < 1 ， x = a b ， y = b a ， z = log a ，则 x ， y ， z 有小到大排列为．6 ) + 1 的最小正周期是，最小值是．10．已知 cos α = ， α ∈ 0, ⎪ ，则 cos + α ⎪ = ______．6. “ ab = 4 ”是直线 2x + ay -1 = 0 与直线 bx + 2 y - 2 = 0 平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知点 Q (2 2,0) 及抛物线 x 2 = 4 y 上一动点 P( x , y) ，则 y + | PQ | 的最小值是（）A ．1B ．1C ．2D ． 328. 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 D ， 如 果 存 在 正 实 数 m ， 使 得 对 任 意 x ∈ D ， 都 有f ( x + m ) > f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x - a - a （ a ∈ R ）．若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（）A ． a > 0B ． a < 5C ． a < 10D ． a < 20二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分.把答案填在题中的横线上．）9.函数 y = 2sin(2 x +π3 ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 5 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭11. 如果平面直角坐标系中的两点 A(a - 1,a + 1) ， B(a, a ) 关于直线 l 对称，那么直线 l 的方程为_.12.在平面向量 a,b 中，已知 a = (1,3) ， b = (2,y) ，.如果 a ⋅ b = 5 ，那么 y = _____；如果a +b = a -b ，那么 y = ______b1 = 1 ， a + + L + <2 . , ⎥ ，都有 f (x ) ≥ -3 ．(Ⅱ)求证：对于任意的 x ∈ ⎢- 14.数列{a } 满足： ann -1+ an +1> 2a (n > 1,n ∈ N * ) ，给出下述命题：n①若数列{a } 满足： a > a ，则 a > an21n n -1(n > 1, n ∈ N * ) 成立；②存在常数 c ，使得 a > c (n ∈ N * ) 成立；n③若 p + q > m + n (其中p , q , m , n ∈ N *) ，则 a + a > a + a ；p qmn④存在常数 d ，使得 a > a + (n - 1)d (n ∈ N * ) 都成立．n1上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共 6 小题，共 80 分。

北京市数列压轴题 2020西城期末解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =； ……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈, ……………… 4分令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉. ……………… 8分（Ⅲ）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分 所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分2019高考已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.2018高考设n 为正整数，集合A={α|α=（t 1，t 2，…t n ），t k ∈{0，1}，k=1，2，…，n }，对于集合A 中的任意元素α=（x 1，x 2，…，x n ）和β=（y 1，y 2，…y n ），记M （α，β）=12[（x 1+y 1﹣|x 1﹣y 1|）+（x 2+y 2﹣|x 2﹣y 2|）+…（x n +y n ﹣|x n ﹣y n |）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M （α，α）和M （α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M （α，β）是奇数；当α，β不同时，M （α，β）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）=0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明． （Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．【解答】解：（I ） M （a ，a ）=2，M （a ，β）=1．（II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）=1不合题意， 故B 中元素个数的最大值为4．（Il ） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于n +1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i =y i =l ，此时M （α，β）≥1不满足题意，故B 中最多有n +1个元素．【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．2017高考设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2c b a c b a b a c b a b a b a -----，，，，，，4所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较 当*k N ∈且1<k<n 时， 11()()k k b a n b a n ---=[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以 对于*n N ∀∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥ 又21=-1c c - 所以{}n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。

2020年北京市高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设复数z满足，则A. B. C. D.2.设集合0，1，2，，，则A. B. 1， C. 2， D. 1，2，3.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则A. B. C. D.4.函数其中e为自然对数的底数图象的大致形状是A. B.C. D.5.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆相切，则满足条件的直线l有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.函数的单调递增区间是A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为A. 10B. 20C. 30D. 608.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为A. B. C. D.9.已知，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件10.已知随机变量的分布列为：x yP y x则下列说法正确的是A. 存在x，，B. 对任意x，，C. 对任意x，，D. 存在x，，二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为______．12.函数的最小正周期等于______．13.在中，若，，，求的面积______．14.已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式______；设数列的前n项和为，则______．15.已知函数，下列命题正确的有______写出所有正确命题的编号是奇函数；在R上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么k的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数为常数，且．在下列条件中选择一个______使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．在的条件下，当时，设，求数列的前n项和．17.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．18.已知函数Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ当时，若在上有零点，求实数a的取值范围．19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．20.已知椭圆C：．求椭圆C的标准方程和离心率；是否存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.对于，定义一个如下数阵：，其中对任意的，，当i能整除j时，；当i不能整除j时，设．Ⅰ当时，试写出数阵并计算；Ⅱ若表示不超过x的最大整数，求证：；Ⅲ若，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由，得，，则．故选：A．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：B解析：解：解得，，或；，或；；1，．故选：B．解不等式即可得出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及一元二次不等式的解法，补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：根据题意，函数为奇函数且满足，则，又由当时，，则；则有，故选：B．根据题意，由函数的奇偶性和周期性分析可得，结合函数的解析式求出的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数的周期，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断的奇偶性，再根据在上的函数值的符号得出答案．【解答】解：，．为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当时，，，，排除D，故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．设出直线l：，再根据点到直线距离为2和直线与圆相切列方程组成方程组解得，只有一解．【解答】解：显然直线l有斜率，设l：，则，即，又直线l与圆相切，，联立，，，所以直线l的方程为，故选：A．6.答案：C解析：解：对于函数，令，求得，故函数的单调增区间为，，故选：C．由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果．本题主要考查正弦函数的的单调性，属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意可知几何体是底面是直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影与底面三角形组成长方形，底面三角形的直角边长为：3，5，棱锥的高为4，射影几何体的体积为：．故选：A．判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．8.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．利用点在抛物线C：的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：点在抛物线C：的准线上，，，直线AF的斜率为．故选：C．9.答案：C解析：解：，由，，反之也成立．“”是“”的充要条件．故选：C．：，由，可得，化简即可判断出关系．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：由随机变量的分布列得：x，，且，对任意x，，，由此排除A和B；取时，则，，排除D．故选：C．对任意x，，，由此排除A和B；取时，求出，，排除D．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查排除法、特殊值法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：2解析：解：曲线的导数为，曲线的一条切线的斜率是3，切点的横坐标为n，则，解得，故答案为：2．求出函数的导数，通过切线的斜率，转化求解切点的横坐标即可．本题考查导数的运用：求切线方程，正确理解函数导数的几何意义以及转化求解是解题的关键．12.答案：解析：解：因为函数；故最小正周期等于．故答案为：先根据二倍角的余弦公式将函数化简为的形式，再由得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法，一般先将函数化简为的形式，再由可解题．13.答案：或解析：解：在中，设，由余弦定理可得，，，或．当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或．设，由余弦定理可得，解出x的值，代入的面积为，运算求得结果．本题考查余弦定理的应用，求得BC的长度或，是解题的关键．14.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，由题知，，，；，．故填：，．先由，求出公比q，再求与，最后求．本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和的求法，属于基础题．15.答案：解析：解：根据题意，依次分析4个命题：对于、，定义域是R，且，是奇函数；故正确；对于、若，则，故在R递增；故正确；对于、，令，令可得，，即方程有一根，，，则方程有一根在之间，故错误；对于、如果对任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，故正确；综合可得：正确；故答案为：．根据题意，依次分析4个命题，对于、由奇函数的定义分析可得正确；对于、对函数求导，分析可得，分析可得正确；对于、，分析可得，即方程有一根，进而利用二分法分析可得有一根在之间，即方程至少有2跟，故错误，对于、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得正确，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，关键是利用二分法．16.答案：解析：解：不能使数列是等比数列，可以．由题意，即，可得，且，，由常数且，可得为非零常数，则是为首项、为公比的等比数列；由可得，当时，，，可得，前n项和．选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：证明：如图所示，0，，0，，0，，2，，1，，1，，2，，1，，由，，；Ⅱ解：，，．异面直线PC与BQ所成角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，只要证明，即可证明结论．Ⅱ，，，利用向量夹角公式即可得出．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ函数的定义域为，．由，可得或，当时，在上恒成立，的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．Ⅱ当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．在上有零点的必要条件是，即，．而，若，在是减函数，，在上没有零点．若，，在上是增函数，在上是减函数，在上有零点等价于，即，解得综上所述，实数a的取值范围是．解析：Ⅰ先求出函数的定义域，再求导，分类讨论，即可求出函数的单调区间，Ⅱ在上有零点等价于，解得即可本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查了运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题．19.答案：解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．所有的可能取值为1，2，3，；；．所以X的分布列为X123P所以X的数学期望为．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．利用古典概型概率个数求解即可．求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，然后求解即可．20.答案：解：椭圆C：，即有标准方程为，可得，，，；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得，，即，设，，可得，，由，可得，即，即，将代入可得，，消去，可得，解得，故存在这样的直线l，且方程为或．解析：将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，．因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．所以．Ⅲ证明：由的定义可知，，所以所以．考查定积分，将区间分成等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为所以．所以所以．所以．解析：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为从而得到结果．Ⅲ由的定义可知，，所以所以再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。

北京市2021年高考数学压轴卷（含解析）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{(1)(2)0}M x x x =-+<|，{1}N x x =-|，则M N =（ ）A ．(2,1)-B ．[1,1)-C ．[1,)-+∞D ．(1,1)-2．设复数z 满足(1)1i z i -=+，则z 等于（ ） A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．15B ．30C ．20D ．404．已知两条直线m ，n 和平面α，且//n α，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为(1)3y k x =++，以点(1,1)为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（ ） A ．2B．C ．4D ．86．在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（ ） A ．94B ．4C ．92D ．67．已知函数211,0,()221,0,x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩则不等式()20x f x ->的解集是（ ）A ．(1,0)(0,1)- B ．(1,1)- C ．(0,1) D ．(1,)-+∞8．将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A ．()g x 为偶函数 B ．02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点D ．若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 9．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（ ） A ．2635a a b b +>+ B ．2635a a b b +=+C ．2635a a b b +<+D ．26a a +与35b b +大小不确定10．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是（ ）(取lg30.4771,lg 20.3010≈≈)A ．15B ．16C ．17D ．18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

证明：当 n = 1 时， a1 − 6 =−3 ≤ −3 ，此时不等关系 an ≤ 3 成立；
设当 n = k 时， ak − 6 ≤ −3 成立，
则
ak +1
−
6
=
1 4
( ak
−
6)3
∈
−54, −
27 4
，故
ak +1
−
6
≤
−3
成立，
由数学归纳法可得 an ≤ 3 成立.
而 an+1 − a=n
2021-2023 北京高考真题数学汇编
压轴选择（第 10 题）
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{an} 满足 an+1=
1 4
(
an
−
6)3
+
6(n=
1, 2,3,) ，则（
）
A．当 a1 = 3时，{an} 为递减数列，且存在常数 M ≤ 0 ，使得 an > M 恒成立
B．当 a1 = 5 时，{an} 为递增数列，且存在常数 M ≤ 6 ，使得 an < M 恒成立
1 4
x3
−
9 2
x2
+
26x
−
47 (
x
≤
3)
，判断得
an+1
<
an
−1，
进而取 m = −[M ] + 4 推得 an > M 不恒成立；对于 B，证明 an 所在区间同时证得后续结论；对于 C，记
m0
log3
2 log1
(M
− 6)
+ 1
，取=m
[m0 ] +1推得 an > M 不恒成立；对于 D，构造

详细描述
这类题目涉及空间几何体的性质、面积、体积等问题，要求考生能 够运用空间想象和几何定理进行证明和计算。
示例
已知三棱锥$V-ABC$中，$VA = VB = VC = 1$，求三棱锥$V-ABC$ 外接球的半径。
代数证明类压轴题
01
02
03
总结词
考察代数恒等式与不等式 的证明技巧
详细描述
这类题目涉及代数恒等式 、不等式的证明，要求考 生能够运用代数变形、放 缩法等技巧进行证明。
详细描述
这类题目涉及圆锥曲线、极坐标等 知识点，要求考生能够运用几何性 质和代数方法解决轨迹和最值问题 。
示例
已知点$P(x_0,y_0)$在椭圆 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$上，求点$P$到椭圆中心的距 离的最大值。
立体几何类压轴题
总结词
考察空间想象与几何证明
详细描述
这类题目通常涉及直线、圆、椭圆、抛物线等基本几何图形的性质和定理，需要学生掌握解析几何的基本概念和 性质，能够灵活运用几何知识解决实际问题。
立体几何类压轴题实例分析
总结词
考察空间想象能力和几何性质的理解
详细描述
这类题目通常涉及空间几何体的性质 、面积、体积等计算，需要学生掌握 空间几何的基本性质和解题方法，能 够灵活运用空间几何的知识解决实际 问题。
掌握常见的解题方法
学习并掌握常见的解题方法是 解决压轴题的关键，例如代数 法、几何法、数形结合法等。
对于不同类型的题目，要能够 选择合适的解题方法，提高解 题效率。
在解题过程中，要注意方法的 运用和优化，不断总结经验和 方法。
提高解题速度和准确性
通过大量的练习和模拟题，提高解题 速度和准确性。

8.答案：B
解析：解：∵函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（x）=|x-a|-a（a∈R），
∴f（x）=
，
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∵f（x）为 R 上的“20 型增函数”， ∴f（x+20）＞f（x）， 当 x≥0 时，|20+x-a|-a＞|x-a|-a，解得 a＜10． 当 x=-10 时，由 f（-10+20）＞f（-10），即 f（10）＞f（-10），得： |10-a|-a＞-|10-a|+a， ∴|10-a|＞a，∴10-a＞a 或 10-a＜-a， 解得 a＜5， ∴实数 a 的取值范围是 a＜5． 故选：B．
∴S△ADP=
=6，S△ABP=
=6，
S△CDP=
= ，S△CBP=
=．
∴四棱锥的侧面积 S=6+6+ + =27．
故选：A． 几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积． 本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积计算，属于中档题．
6.答案：B
解析：【分析】 本题考查线线平行关系公式的利用，注意两条线是否重合. 本题的易错点就是直线是否重合，考生容易忘记. 【解答】 解：∵两直线平行， ∴斜率相等，即可得 ab=4， 又因为不能重合，当 a=1，b=4 时，满足 ab=4，但是重合， 故选：B．
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不满足条件 i＞3，a=2×3-3=3，i=4， 满足条件 i＞3，退出循环，输出 a 的值为 3． 故选：C．
5.答案：A
解析：解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观 图如图所示，其中底面 ABCD 是边长为 3 的正方形， DA⊥平面 PAB，AP⊥平面 ABCD， AP=4，∴CD⊥平面 PAD，PB=PD=5，

北京高考数学压轴题试题集锦第1讲 真题分析【例1】 （2007北京理）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．【例2】 （2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N p *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅰ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅰ）是否存在,p q 使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求,p q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-， 解11323n -≥，得203n ≥. Ⅰ11323n -≥成立的所有n 中的最小正整数为7，即37b =. （Ⅰ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数m ，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈； 当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.Ⅰ()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅰ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. Ⅰ32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+， 即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--），这与上述结论矛盾！当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-.（经检验符合题意） Ⅰ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-. 【例3】 （2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅰ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅰ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，Ⅰ该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，Ⅰ该数集具有性质P. （Ⅰ）Ⅰ{}12,,n A a a a =具有性质P ，Ⅰn n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，Ⅰn n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，Ⅰ11a = Ⅰ121n a a a =<<<， Ⅰk n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又Ⅰ121n nn nn n a a a a a a a a -<<<<， Ⅰ121121,,,n nn n n n n n a a a aa a a a a a a a --====， 从而121121n nn nn n n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++，Ⅰ1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，Ⅰ1251a a a =<<<，Ⅰ34245a a a a a >=，Ⅰ34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 由2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，Ⅰ34232a aa a a ==， Ⅰ534224321a a a a a a a a a ====， 即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.【例4】 （2010北京理）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为=1(,)||i i i d A B a b =-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅰ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ) 设P n S ⊆，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()P d，证明：()P d≤2(1)mnm -.证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||niiiii d A C B C a c b c =--=---∑由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)||(,)niii d A C B C a b d A B =--=-=∑(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=(,)(,)d B C d B A C A h =--=所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的个数为l 。

【例1】如果存在常数a使得数列{}n a满足：若x是数列{}n a中的一项，则a x-也是数列{}n a中的一项，称数列{}n a为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．（1）若数列：1,2,4,(4)m m>是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）已知有穷．．等差数列{}nb的项数是00(3)n n≥，所有项之和是B，求证：数列{}n b是“兑换数列”，并用n和B表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．压轴题【例2】 已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||)n n A B a b a b a b -=---…； A 与B 之间的距离为111(,)||i d A B a b -=-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=；（Ⅱ）证明：,,(,)(,)(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈，，，三个数中至少有一个是偶数（Ⅲ） 设n P S ⊆，P 中有(2)m m …个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P ．【例3】 已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．【例4】 设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到 的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．1 2 3 7-2-1122221212a a a a a a a a ------【例5】 若12(0n n i A a a a a == 或1,1,2,,)i n = ，则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ，将排列121n n a a a a - 记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a -- 记为2()n R A ；依此类推，直至()n n n R A A =．对于排列n A 和()i n R A (1,2,,1)i n =- ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做n A 和()i n R A 的相关值，记作(,())i n n t A R A ．例如3110A =，则13()011R A =， 133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,,1)i n n t A R A i n =-=- ，则称n A 为最佳排列． （Ⅰ）写出所有的最佳排列3A ； （Ⅱ）证明：不存在最佳排列5A ；（Ⅲ）若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列，求排列21k A +中1的个数．【例6】 设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.。

2022年北京高考数学试卷压轴真题解读9．已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A ．34πB ．πC ．2πD ．3π【命题意图】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力【答案】B 【解析】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且2632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为2364136=>⨯，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π故选：B10．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【命题意图】本题考查了平面向量数量积的最值问题【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D【解题技巧】1.计算平面向量的数量积主要方法：(1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)活用平面向量数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.15．己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【命题意图】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力【答案】①③④【解析】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得23a =，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错；当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=，所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【方法总结】1.由S n 求a n 的步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并.2.S n 与a n 关系问题的解题思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，(1)由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式求解；(2)转化为只含a n ，a n －1(n ≥2)的关系式.20．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．【命题意图】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式【解析】(1)因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00=f ，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1)1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x=(2)因为1()()e (ln(1)1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++-++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()eln(1)e ln(1)()()11x t x x txm x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1)1xg x f x x x=++'=+在[)0,+∞上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,+∞上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.【方法总结】1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.21．已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．【命题意图】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力【解析】(1)21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表数列；易知，不存在,i j 使得16i i i j a a a +++++= ，所以Q 不是6-连续可表数列．(2)若3k ≤,设为:Q ,,a b c ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾；当4k =时,数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=，min 4k ∴=．(3)12:,,,k Q a a a ，若i j =最多有k 种，若i j ≠，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2k k k k ++=种，若5k ≤，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾,从而若7k <,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数，而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f 中没有两数相同,设那个负数为(1)m m -≥则所有数之和125415m m m m m ≥++++++-=+ ，415191m m +≤⇒=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+ （仅一种方式），1∴-与2相邻，若1-不在两端,则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾），6x ∴≠，同理5,4,3x ≠，故1-在一端，不妨为"1,2,,,,"A B C D -形式，若3A =,则523=+（有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++（有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于7126=-++,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ≠7k ∴≥．压轴模拟专练1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为（）A ．256πB ．9πC ．92πD ．98π【答案】C【解析】取AB 中点为D ,过D 作//OD PA ,且11==22OD PA ,因为PA ⊥平面ABC,所以OD ⊥平面ABC .由于AC BC ⊥,故DA DB DC ==,进而可知OA OB OC OP ===,所以O 是球心,OA 为球的半径.由112==4323P ABC V AC CB PA AC CB -=⨯⋅⋅⇒⋅,又2222=8AB AC BC AC BC =+≥⋅,当且仅当2AC BC ==,等号成立,故此时AB =所以球半径32R OA ==,故min 3=2R ,体积最小值为334439πππ3322R ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:C2．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知球O 是正三棱锥A BCD -（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，6BC =，AB =点E 在线段BD 上，且3BD BE =.过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（）A ．3πB ．4πC ．8πD ．9π【答案】C【解析】如图，1O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，BCD △的外接圆半径161sin 602r ⨯︒==由勾股定理得棱锥的高16AO ==，设球O 的半径为R ，则222(6)R R =-+，解得4R =，所以12OO =，在1BO E 中，由余弦定理得214122242O E =+-⨯⨯=，所以12O E =，所以在1OEO中，OE =当截面垂直于OE =，截面面积为8π.故选：C.3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()+⋅= MB MC AH MB MC ⋅=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】A【解析】因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅== ,因为()+⋅=MB MC AH所以()MH MH A HB HC H +⋅=++所以2MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅=所以MH AH ⋅=所以MH AH ⋅= ，所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅ 2cos MH HC HB π=+⋅228(1)4=+⨯-=-,故选：A4．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径MN CD ∥，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，OAB 、OBC 、OCD 、ODE 、OEF 、OFA 均为边长为4的等边三角形，当点P 位于正六边形ABCDEF 的顶点时，PO取最大值4，当点P 为正六边形各边的中点时，PO 取最小值，即min4sin3POπ==所以，4PO ⎡⎤∈⎣⎦.所以，()()()()[]248,12PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-∈ .PM PN ⋅的最小值为8.故选：D.5．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知n S 为单调递减的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和3612n n T n =-，则下列结论中正确的有______．（填写序号）①30a =；②27n S n n =-；③()2n n S n a n =+-；④4n S S <．【答案】②【解析】设等差数列{}n a 的公差为,0d d <，则111111111n n n n n n n n a a a a d a a d a a ++++⎛⎫-=⋅=- ⎪⎝⎭，故12231111111111n n n T d a a d a a d a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭11111111113612n n n n a a dn n n d a a d a a a a n++++-=⋅=⋅==-，所以113612n a a n +=-，则()()1211131124212a a a a d a a a a d ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，解得162a d =⎧⎨=-⎩或162a d =-⎧⎨=⎩（舍去），所以28n a n =-+，故32a =，故①错误；()262872n n n S n n -+==-，故②正确；()()222826n n a n n n n n n +-=-++-=-，故③错误；22749724n S n n n ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，*N n ∈，则当3n =或4时，n S 取得最大值，所以412n S S ≤=，故④错误.6．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前项和13n n T k -=-，数列{}n c 满足12c =，23c =，33c b =，且1n n n c c a +=+；下列几个结论中，所有正确结论的编号为___________.①3k =；②222211n n n n a b a b +++>+；③221n n n S S S ++<；④121111n n c c c n +++≥+ .【答案】③④【解析】对于①，当1n =时，111b T k ==-，当2n ≥时，()()12213323n n n n n n b T T k k ----=-=---=⋅，因为{}n b 是等比数列，所以，121123b k -=-=⋅，所以，13k =，①错；对于②，因为336c b ==，1211a c c =-=，2323a c c =-=.又因为{}n a 是等差数列，所以，公差212d a a =-=，则()12121n a n n =+-=-.所以，()21212n n n S n +-==.设()()22222149n n n f n a b n -=+=-+⋅，则()()2112149n f n n -+=++⋅，所以，()()2183290n f n f n n -+-=+⋅>，即()()1f n f n <+，②错；对于③，()()()()()()24222221212121n n n S S S n n n n n n n n n ++⎡⎤⎡⎤-=+-+=+-+⋅+++=⎣⎦⎣⎦()22410n n -++<，③对；对于④，因为121n n c c n +=+-，当2n ≥时，()()()()12132121323n n n c c c c c c c c n -=+-+-++-=++++- ()()()212312122n n n +--=+=-+，当1n =时，12c =满足()212n c n =-+，所以，()()212N n c n n *=-+∈.所以，()22211111133112nc n n n n n n n n ==≥=-++-++-+.故12111111111111223111n n c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④对.7．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）设函数()e 1xf x a x =--，a R ∈．(1)当1a =时，求()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(3)求证：当()0,x ∈+∞时，2e 1e xx x->．【解析】(1)()e 1xf x x =--，()00e 010f =--=，即切线()0,0.()e 1x f x '=-，()00e 10k f '==-=，则切线方程为：0y =.(2)x ∈R ，0e 1x a x --≥恒成立等价于x ∈R ，1e xa x +≥恒成立.设()1ex x g x +=，()e x x g x -'=，(),0∈-∞x ，()0g x '>，()g x 为增函数，()0,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()()max 01g x g ==，即1a ≥.(3)()0,x ∈+∞，2e 1e x x x ->等价于()0,x ∈+∞，2e e 10xx x -->.设()2=e e 1x x h x x --，()0,x ∈+∞，()221=e e 12x x h x x ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭，设()21=e 12x k x x --，()0,x ∈+∞，()21=e 102x k x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以()k x 在()0,+∞为增函数，即()()00k x k >=，所以()221=e e 102x x h x x ⎛⎫'--> ⎪⎝⎭，即()h x 在()0,+∞为增函数，即()()00h x h >=，即证：2e 1e x x x->.8．（2022·北京·模拟预测）已知函数1()ln =+f x a x x.()a R ∈(1)若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的极值和单调区间；(3)若()f x 在[]1,e 上不是单调函数，且()e f x ≤在[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当2a =时，函数()12ln f x x x =+，()221f x x x '=-．所以()11f =，()11f '=．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程y x =．(2)函数()f x 定义域()0,x ∈+∞．求导得2211()a ax f x x x x-'=-=.①当0a ≤时，因为()0,x ∈+∞，所以()0f x '<．故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，此时()f x 无极值.②当0a >时，x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：x 1(0,)a 1a 1(,)a+∞()'f x -0+()f x 极小值所以()f x 的单调递减区间是1(0,)a，单调递增区间是1(,)a +∞．此时函数()f x 的极小值是1()ln f a a a a=-，无极大值．(3)因为()f x 在[]1,e 不是单调函数，由第（2）可知此时0a >，且[]11,e a ∈，x 11(1,)a1a 1(,)e a e ()'f x -0+()f x (1)f 极小值()f e 又因为()e f x ≤在[]1,e 上恒成立，只需11e (1)e (e)e a f f ⎧<<⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩即可，所以1e e 1e 11e a a ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪⎪<<⎩，解得a 的取值范围是1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（2022·北京·模拟预测）已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令n n n A b B =(1,2,3,)n = ，并将数列{}n b 称为{}n a 的“生成数列”．(1)若2(1,2,3,)n n a n ==L ，求数列{}n b 的前n 项和；(2)设数列{}n b 的“生成数列”为{}n c ，求证：11212()n n b c c c b b b +++=+++L L ；(3)若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n ≥时，+1+2n n n a a a ,,,L 是等比数列．【解析】(1)因为2(1,2,3,)n n a n ==L ，所以112220n n n n n a a ++-=-=>．所以1231n n a a a a a +<<<<<< ，所以12n B a ==，2n n n A a ==(1,2,3,)n = ，所以12(1,2,3,)n n n nA b nB -===L ，因为11222nn n n b b +-==，所以数列{}n b 是等比数列，所以数列{}n b 的前n 项和为：122112n n -=--；(2)由题意可知10n n A A +>≥，10n n B B +<≤，所以11n n n n A B A B ++≥，所以+1+1n n n nA AB B ≥．所以1n n b b +≥(1,2,3,)n = ，所以123b b b ≤≤≤L ，由“生成数列”的定义可得1(1,2,3,)k k b c k b ==L ，所以1(1,2,)k k k b c b ==L ．累加可得11212()n n b c c c b b b +++=+++L L .(3)由题意知111111A a b B a ===．由（Ⅱ）可知1n n b b +≥(1,2,3,)n = ．①当1=n n b b +时，得1n b =，即1n nA B =，所以n n A B =，所以1=n a a .即{}n a 为公比等于1的等比数列，②当1n n b b +>时，令{}12min ,,,,t n a a a a =L L ，则()m t B a m t =≥.当n t ≥时，显然1n n A A +>．若1n n a A +≤，则1=n n A A +，与1n n A A +>矛盾,所以1n n n a A a +>≥，即11n n A a ++=.取0+1n t =，当0n n ≥时，n n n n tA a bB a ==，显然+1+2n n n a a a ,,,L 是等比数列,综上，存在正整数0n ，使得0n n ≥时，+1+2n n n a a a ,,,L 是等比数列.10．（2022·北京丰台·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．若对任意*n N ∈，不等式n T m <恒成立，求m 的最小值．条件①：11a =且()1202n n a a n --=≥；条件②：21n n S =-；条件③：21n n a S -=．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)选条件①：因为11a =，且()1202n n a a n --=≥，即12n n a a -=所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=.选条件②：当1n =时，111a S ==当2n ≥时，111121(21)222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=因为当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=.选条件③：因为21n n a S -=，得21n n S a =-当1n =时，1121a S -=，得11a =当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---整理得12n n a a -=所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=.(2)由（1）知，1112n n a -=，记1112n n n b a -==因为112112122n n n n b b ---==，10112b ==所以{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列所以111(12221212n n n T --==-<-所以m 的最小值为2.。

北京市首都师大附属回龙观育新学校2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移6π个单位 2． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．612423．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）A 5B ．522C ．52D ．544．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．50505．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 6．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 7．已知i 为虚数单位，若复数12i 12i z +=+-，则z = A ．9i 5+ B ．1i -C ．1i +D ．i - 8．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．函数f (x )＝21x x e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．10．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．11．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A．121in=--B．12ii=-+C．(1)21nin-=+D．(1)2nii-=+12．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1(北京17)设{an}和{bn}是两个等差数列，记c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…)，其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若a n =n ，b n =2n –1，求c 1,c 2,c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列．2（北京16）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。

如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。

记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合。

（I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (II)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠∅；(III ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于N a -1a 。

3（北京15）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．4（北京14）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列 P(2,5),(4,1)，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列g (,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.5（北京13）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后的各项1n a +，2n a +，的最小值记为n B ，n n n d A B =-（1）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，，是一个周期为4的数列（即对任意N*n ∈，4n n a a +=）写出1d ，2d ，3d ，4d 的值。