2020年中考高频考点——圆中常用的辅助线作法

《圆》常用辅助线作法1、弧有中点：圆心连。

利用等弧所对的圆心角相等、弦相等、圆周角相等可得到一系列的相等关系的量2、弦有中点：圆心连。

利用垂径定理的推论可得，所连半径垂直于弦。

如果再把圆心和弦的一端连起来，就可以得到由半径、半弦、弦心距构成的直角三角形。

3、弦和直径同时现：过圆心作弦的垂线。

利用垂径定理构建由半径、半弦、弦心距构成的直角三角形4、两条半径同时现：半径外端用线连。

此时就构建了一个等腰三角形，可以进一步用等腰三角形性质解题5、条件中有直径和与直径有公共端点的弦：把弦的另一端点与直径的另一端点连起来。

利用直径所对的圆周角是直角，可得到一个直角三角形6、条件中有90°的圆周角：把圆周角所对的弦做出来。

利用90°的圆周角所对的弦是直径，可得所作的弦是直径，同时得到一个直角三角形7、证明直线是圆的切线：当直线与圆有明确的公共点时，连接圆心和公共点，证明所连半径与直线垂直即可；当直线与圆没有明确的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明所做垂线段等于半径即可。

8、条件中有切线，有切点：连结圆心和切点。

利用切线的性质---圆的切线垂直于过切点的半径——可得到所连半径与切线垂直。

《圆》解题规律1、“圆内接四边形”往往是隐含条件，要注意分析观察，自觉应用圆内接四边形的性质解决问题2、连结半径外端构建等腰三角形，往往忽计，要善于用等腰三角形性质解决问题3、有弦有直径，要构建半径、半弦、弦心距构成的直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解决问题4、圆中主要学了两种特殊的角,圆心角和圆周角，它们不仅在解题时用的多，而且它们之间的关系很特殊，要主动利用5、圆中得“线段相等、角相等”的方法比直线型问题要多得多，垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角关系定理，切线长定理都可以用。

6、垂径定理和三线合一定理既有联系又有区别，在做题时要分清（是弦时，直接用垂径定理，否则要用三线合一定理）7、三角形中位线定理和垂径定理的综合比较常见8、作出恰当的辅助线很关键，而辅助线的作法如前8条9、要注意多解的问题：（1）平形弦间的距离（2）圆周角的计算时，顶点位置不明确（优弧上、劣弧上）（3）点到圆的最大距离和最小距离问题（点在圆内、点在圆外）(4) 两圆相切（内切、外切）（5）弦所在弓形高（弦对的弧为优弧、劣弧）。

圆中常用辅助线的添法圆是初中数学重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的问题，大部分需添辅助线解之，那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢？现就圆中常用辅助线的添法作一归纳，以期对同学们的学习有所帮助．1.作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.例1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM •PN=2PO 2.分析：过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，要证明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC =PO 2，只需证明PM •PC=PO 2，要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO.证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 21PN∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 2.作直径所对的圆周角在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。

例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。

（1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB∴△ACB ∽△NMB ∴BN AB BM BC ∴AB ·BM=BC ·BN（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90°∵N 为OC 中点∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60°∵OM=OB ，∴∠B=21∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=63、连结半径 圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一. 例3．已知：如图，△ABC 中，∠B=90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径的圆切AC 于D 点，交AB 与E 点，AD=2，AE=1.求CD 的长.分析：D 为切点，连结DO ，则∠ODA=90°.根据切线长定理，有CD=CB.DO=EO=半径r ，在Rt △ADO 中根据勾股定理或Rt △ADO~ Rt △ABC ，即可求出CD.证明: 连结DO ∴OD ⊥AC 于D, ∴∠ODA =90°.B∵AB过O点, ∠B=90°. ∴BC为⊙O的切线, ∴CD=CB 设CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1∴2222)1(yy+=+, 解得 y=23在Rt△ABC中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ y + y)2+x2, ∴x=3 ∴CD=3.4、连结公共弦在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。

几何证明一般都离不开作辅助线，能否迅速、准确地作出所需的辅助线，往往成为成败的关键。

本文就圆中常见辅助线的作法归纳如下，供参考。

一、作弦心距证明圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的在于利用垂径定理来沟通弦、弦、弦心距之间的关系，或构造半径、弦心距、弦为边的直角三角形。

例1：求证：经过相交两圆的一个交点的那些直线，被两圆所截得的线段中，平行于连心线的那一条线段最长。

分析：如图1，PQ ∥OO′，要证明PQ 最长，只须证明PQ 大于过A 点的任意一条不平行于OO ′的割线P′Q′，这是证明与圆的弦有关的问题，因此过O 、O′分别作PQ 、P′Q′的垂线，垂足分别为C 、D ；C′、D′。

由垂径定理知AC= AP 、AD= AQ ，所以CD=PQ 。

同理C′D′= P′Q′，又OO′=CD ，于是问题转化为证明OO′> C′D′，而OO′D′C′为直角梯形，显然有OO′> C′D′。

从而问题可证。

图1二、作过切点的半径或弦当所证问题含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径或弦，利用该半径与切线垂直或弦切角定理来沟通题设与结论之间的联系。

例2：已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥MN ，BD ⊥MN ，MN 切⊙O 于K ，求证：（1）AC+BD=AB（2）BK2=AB·BD分析：（1）AC 、BD 为直角梯形的上、下底边，其和必与梯形的中位线有关，由MN切⊙O 于K ，想到需连结OK ，则OK 为梯形的中位线且OK= （AC+BD ），而AB=2OK ，所以有AC+BD=AB 。

（2）要证BK =AB·BD ，即AB ：BK=BK ：BD ，所以需连结AK ，由弦切角定理知∠KAB=∠BKD ，又∠AKB=∠KDB=90°，所以△AKB ∽△KDB，故问题可以获证。

图2 三、过已知点作圆的切线过已知点作圆的切线是圆中常作的辅助线之一，其目的在于利用切线的性质来沟通题中各元素间的联系。

圆中常用辅助线的作法1．圆中作辅助线的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。

（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。

（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段。

（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。

（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。

（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。

（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。

1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。

3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。

4.当两圆相切，可作公切线或连心线说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。

说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。

5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。

说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。

说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。

6．有半圆，可作整圆说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。

解题技巧专题圆中辅助线的作法在解题过程中，我们经常会遇到一些问题，例如如何构造等腰三角形、正方形、平行四边形等几何图形，以及如何构造垂直线、角平分线、中位线等几何线段。

这些问题在解决数学问题时非常常见，而圆中辅助线的作法就是一种常用的解决这类问题的技巧。

圆中辅助线的作法是指在解决圆相关的问题时，通过添加一些辅助线来辅助解决问题。

这些辅助线可以增强我们对图形的理解，简化问题的分析过程，使问题更易于解决。

下面将介绍一些常见的圆中辅助线的作法：1.构造圆的切线如果需要构造一条圆的切线，可以先连接圆心与切点，然后再从切点向圆外引一条与半径垂直的线段，两条线段的交点就是切线的切点。

利用这条切线可以帮助我们解决一些关于切线的性质问题。

2.构造垂直线如果需要构造一条与圆上特定点垂直的直线，可以连接该点与圆心，并在圆上引一条经过该点的切线，然后从圆心引一条与切线垂直的线段，两条线段的交点就是所求直线与圆的交点。

利用这条直线可以帮助我们解决一些关于圆的性质问题。

3.构造角平分线如果需要构造一条角的平分线，可以先连接角的两个顶点与圆心，然后再从圆心引一条与角平分线相垂直的线段，两条线段的交点就是所求角的平分线与圆的交点。

利用这条角平分线可以帮助我们解决一些关于角平分线的性质问题。

4.构造中位线如果需要构造一条线段的中位线，可以将线段的两个端点连接到圆心，并在圆上引一条经过中点的切线，然后再从圆心引一条与切线垂直的线段，两条线段的交点就是所求线段的中点。

利用这条中位线可以帮助我们解决一些关于线段中点的性质问题。

5.构造等腰三角形如果需要构造一个等腰三角形，可以先在圆上确定一个顶点，然后连接圆心与该点，并延长线段到圆的另一侧，再将圆切割成两个等弧，然后以切割点为顶点连接圆心，就可以得到一个等腰三角形。

利用这个等腰三角形可以帮助我们解决一些关于等腰三角形的性质问题。

这些是一些常见的圆中辅助线的作法，通过添加这些辅助线，我们可以更好地理解和解决与圆相关的问题。

例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。

只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。

通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。

解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。

例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。

初中数学《圆》常用辅助线构造技巧圆是初中数学中的重要内容，常常会涉及到圆的基本性质、切线、切点、弦、弦长、弧、弧长等概念。

为了更好地解题，我们可以使用一些常用的辅助线构造技巧。

下面，我将介绍几种常用的辅助线构造技巧。

1.直径是圆的特殊弦，通过任意两点连接圆心，可以得到直径。

在解题中，如果涉及到圆心和两点的位置关系，可以考虑构造直径。

2.过圆心的直线与圆的切线垂直。

当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过圆心的直径，使其与需要垂直的线段或角度相交。

3.过圆心的直线将弧等分为两个等长的弧。

当我们需要将一个弧等分为两个等长的弧时，可以考虑构造一条过圆心的直线，将这个弧分割为两个等长的弧。

1.过切点的切线与圆的半径垂直。

当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与需要垂直的线段或角度相交。

2.过切点的切线等于切点至圆心的半径。

当我们需要求解两个等长的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与另一条需要等长的线段或角度相交。

1.弦的中点与圆心以及两个端点可以构成一个等腰三角形。

当我们需要求解与等腰三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与圆心以及两个端点的直线。

2.以弦的中点为顶点的直角三角形。

当我们需要求解与直角三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与两个端点的直线，并通过调整弦的位置，使其与这条直线构成一个直角。

1.弦的垂直平分线同时也是弦的中垂线。

在解题中，如果需要求解弦的垂直平分线或者弦的中垂线，可以考虑构造一条连接弦的两个端点的直线，并将其垂直平分或中垂。

2.连接弦的两个端点与圆心的线段是一个等角二段线。

当我们需要求解与等角二段线相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的两个端点与圆心的直线。

以上是一些常用的圆的辅助线构造技巧，通过合理地运用这些技巧，可以帮助我们更好地理解和解题。

解题技巧专题：圆的切线中常见辅助线的作法◆类型一 利用切线的性质时，连接圆心和切点1．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，若∠P ＝70°，则∠C 的大小为( ) A ．40° B ．50° C ．55° D ．60°第1题图 第2题图 第3题图2．如图，一个边长为4cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为【方法3】( )A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1.5cm3．(益阳中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P ＝40°，则∠D 的度数为________．第4题图 第5题图 第6题图4．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝23，∠BAO ＝60°，弦BC ∥OA ，则BC ︵的长为________(结果保留π)．5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线DM 交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为________．6．★如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E.若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点E ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D. (1)求证：AE 平分∠BAC ；(2)若AD ＝2，CE ＝3，∠BAC ＝60°，求⊙O 的半径．8．如图，AB 是⊙O 的直径，ED ︵＝BD ︵，连接ED ，BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA＝CD＝22，求阴影部分的面积；(2)求证：DE＝DM.◆类型二证明切线时，有切点型：连半径、证垂直一、利用角度转换证垂直9．(大连中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.求证：DE与⊙O相切．二、利用勾股定理的逆定理证垂直10．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，ME＝1，AM＝2，AE＝ 3.求证：BC是⊙O的切线．三、利用全等证垂直11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC 并延长交AB的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切线．◆类型三证明切线时，无切点型：作垂直，证半径12．(南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．求证：AB为⊙O的切线．【方法4②】参考答案与解析1．C2．B解析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F.∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，∴△ABC 的高为23cm，∴OC＝3cm.∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC，∴∠OCB＝90°.又∵∠ACB＝60°，∴∠OCF＝30°.在Rt△OFC中，FC＝OC·cos∠OCF＝32cm，∴CE＝2FC＝3cm.故选B.3．115° 4.2π 5.133解析：连接OE ，OF ，ON ，OG ，OD ，OM .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4.∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，OE ＝OF ＝OG ，∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形，∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴∠OED ＝∠OND ＝90°.又∵OE ＝ON ，OD ＝OD ，∴△OED ≌△OND ，∴DN ＝DE ＝3.同理得MN ＝MG ，∴CM ＝BC －BG －MG ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝42＋(3－MN )2，∴MN ＝43，∴DM ＝3＋43＝133.6.258解析：连接OD ，BD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴BD ⊥AC .又∵AB ＝BC ，∴AD ＝CD .又∵AO ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥BC .∵DE 是⊙O 的切线，∴DE ⊥OD ，∴DE ⊥BC .∵CD ＝5，CE ＝4，∴DE ＝52－42＝3.∵S △BCD ＝12BD ·CD ＝12BC ·DE ，∴5BD ＝3BC ，∴BD ＝35BC .∵BD 2＋CD 2＝BC 2，∴⎝⎛⎭⎫35BC 2＋52＝BC 2，解得BC ＝254.∵AB ＝BC ，∴AB ＝254，∴⊙O 的半径是254÷2＝258. 7．(1)证明：连接OE .∴OA ＝OE ，∴∠OEA ＝∠OAE .∵PQ 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥PQ .∵AC ⊥PQ ，∴OE ∥AC ，∴∠OEA ＝∠EAC ，∴∠OAE ＝∠EAC ，∴AE 平分∠BAC .(2)解：连接BE .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.由(1)可知AE 平分∠BAC .∵∠BAC ＝60°，∴∠BAE＝∠EAC ＝30°.∵AC ⊥PQ ，∴∠ACE ＝90°，∴AE ＝2CE .∵CE ＝3，∴AE ＝23，∴AB ＝AEcos ∠BAE ＝4，∴⊙O 的半径为2.8．(1)解：连接OD .∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD .∵OA ＝CD ＝22，OA ＝OD ，∴OD ＝CD ＝22，∴△OCD 为等腰直角三角形，∴∠DOC ＝∠C ＝45°，∴S 阴影＝S △OCD －S扇形OBD ＝12×22×22－45π×（22）2360＝4－π.(2)证明：连接AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ADM ＝90°.又∵ED ︵＝BD ︵，∴ED ＝BD ，∠MAD ＝∠BAD .在△AMD 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADM ＝∠ADB ，AD ＝AD ，∠MAD ＝∠BAD ，∴△AMD ≌△ABD ，∴DM ＝DB ，∴DE ＝DM .9．证明：连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC ＝90°.∵∠BOD ＝2∠BCD ，∠A ＝2∠BCD ，∴∠BOD ＝∠A .∵∠AED ＝∠ABC ，∴∠BOD ＋∠AED ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 与⊙O 相切．10．证明：∵ME ＝1，AM ＝2，AE ＝3，∴ME 2＋AE 2＝AM 2，∴△AME 是直角三角形，∠AEM ＝90°.又∵MN ∥BC ，∴∠ABC ＝∠AEM ＝90°，∴OB ⊥BC .又∵OB 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．11．证明：连接OC ，如图．∵AD 为⊙O 的切线，∴AD ⊥AB ，∴∠BAD ＝90°.∵OD ∥BC ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∵OB ＝OC ，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.在△OCD 和△OAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OD ，∠1＝∠2，OC ＝OA ，∴△OCD ≌△OAD (SAS)，∴∠OCD ＝∠OAD ＝90°，∴OC ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线．12．证明：过点O作OM⊥AB于M.∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC.又∵OA平分∠CAB，OM⊥AB，∴OM ＝OC，∴AB是⊙O的切线．。

圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

例：如图,在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。

求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：如图,AB 为⊙O 的弦,P 是AB 上的一点，AB = 10cm,PA = 4cm 。

求⊙O 的半径。

2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证: AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB ∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD =(二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD =3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明:连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o－∠OMN ∠CNM = 90o －∠ONM∴∠AMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。

万能解题模型(六)圆中常见辅助线的作法前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

类型1 连半径——构造等腰三角形作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答．1．如图，△ABC 内接于⊙O.若∠A ＝α，则∠OBC 等于(D) A ．180°－2α B ．2α C ．90°＋α D ．90°－α2．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E.若DE ＝OB ，∠AOC ＝84°，则∠E 等于(B) A ．42° B ．28° C ．21° D ．20°类型2 与垂径定理有关的辅助线在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数进行计算．3．(2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为(C) A.15 B ．2 5 C ．215 D ．84．(2018·威海)如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB ︵的中点．若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为(D) A.12 B ．5 C.532D ．5 3类型3 与圆周角定理及其推论有关的辅助线(1)利用圆周角定理求角度时，常构造同弧或等弧所对的圆周角或者圆心角；(2)遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质；(3)遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．5．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD.若AC ＝2，则tanD 的值是(A)A ．2 2B.223C.24D.136．(2019·辽阳)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC ︵的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝60°．7．(2019·连云港)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为6．类型4 与切线的性质有关的辅助线已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，从而构造出直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．8．如图，在⊙O 中，AD ，CD 是弦，连接OC 并延长，交过点A 的切线于点B.若∠ADC ＝30°，则∠ABO 的度数为(B)A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°类型5 与切线的判定有关的辅助线证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，则需要过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．9．(2019·齐齐哈尔)如图，以△ABC 的边BC 为直径作⊙O ，点A 在⊙O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD ＝AB ，∠D ＝30°.(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；(2)若直径BC ＝4，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OA. ∵AD ＝AB ，∠D ＝30°， ∴∠B ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B ＝30°. ∴∠AOD ＝60°. ∴∠OAD ＝180°－30°－60°＝90°. ∴OA ⊥AD.又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵BC ＝4，∴OA ＝2. ∴AD ＝OA·tan60°＝2 3.∴S △AOD ＝12AD·OA ＝2 3.又∵S 扇形AOC ＝60π×4360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，∠ADC 的平分线交AE 于点O ，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B ，交BC 于另一点F.(1)求证：CD 与⊙O 相切；(2)若BF ＝24，OE ＝5，求tan ∠ABC 的值．解：(1)证明：过点O 作OG ⊥DC ，垂足为G. ∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ， ∴OA ⊥AD.又∵DO 平分∠ADC ，OG ⊥DC ， ∴OA ＝OG.∴OG 是⊙O 的半径． ∴DC 是⊙O 的切线． (2)连接OF. ∵OA ⊥BC ，∴BE ＝EF ＝12BF ＝12.在Rt △OEF 中，OE ＝5，EF ＝12. ∴OF ＝OE 2＋EF 2＝13.∴AE ＝OA ＋OE ＝13＋5＝18.∴tan ∠ABC ＝AE BE ＝32.类型6 与三角形内切圆有关的辅助线 11．(2019·娄底)如图，边长为23的等边△ABC 的内切圆的半径为(A)A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 312．(2018·河北)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4C．3 D．2类型7与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线13．(2019·南充)如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A)A．6πB．33πC．23πD．2π。

中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容，也是学习中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。

1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。

例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线C D、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。

求证：CE=DF。

图1分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直截了当证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。

证明：连结AB因为又因此即CE//DF又CD//EF因此四边形CEFD为平行四边形即CE=DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的运算问题。

例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。

求的度数。

图2分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。

解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。

连结O1、O2，交AB于C，则。

分别在和中，利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3则综上可知或3. 两圆相切，作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线A C切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。

求证PC平分。

图4分析：要证PC平分，即证而的边分布在两个圆中，难以直截了当证明。

若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一个外角因此又从而有即PC平分4. 两圆相切，作连心线利用连心线通过切点的性质，解决有关运算问题。

例4. 如图5，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1通过圆心O 2，作⊙O2的直径BC，交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若，求的度数。

圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线是画圆过程中常用的技巧，可以帮助我们更准确地画出所需的图形。

下面介绍几种常见的圆的辅助线添法。

一、正方形法
正方形法是最基本、最简单的圆的辅助线添法之一。

具体步骤如下：
1. 画一个正方形，边长等于所需圆的直径。

2. 将正方形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。

3. 在垂线上取一个点作为圆心，以垂线长度为半径画出所需圆。

二、三角形法
三角形法也是常用的一种圆的辅助线添法。

具体步骤如下：
1. 画一个等腰直角三角形，底边等于所需圆的直径。

2. 将底边中点与顶点相连，并做垂线。

3. 在垂足处作为圆心，以底边长度为半径画出所需圆。

三、六边形法
六边形法同样是一种常用的添法。

具体步骤如下：
1. 画一个正六边形，外接于所需圆上。

2. 连接相邻两个顶点，形成一个正三角形。

3. 在正三角形的垂心处作为圆心，以正六边形边长为半径画出所需圆。

四、四边形法
四边形法也是一种常用的添法。

具体步骤如下：
1. 画一个矩形，长宽分别等于所需圆的直径。

2. 将矩形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。

3. 在垂线上取一个点作为圆心，以矩形长或宽的一半为半径画出所需圆。

以上就是几种常见的圆的辅助线添法。

通过这些方法可以更加准确地
画出所需图形，并且在实际应用中也有很大的帮助。

圆中常见辅助线的作法方法1 连接半径构造等腰三角形圆中的半径相等，所以连接圆心和圆上任意两个不构成直径的点都会组成等腰三角形．这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答．1．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（D ） A ．36°B ．30°C ．18°D ．24°2．（2019·连云港）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为6．方法2 遇弦添加弦心距或半径由于垂直于弦的直径平分这条弦，因此利用垂径定理求线段长时，可构造由半径、半弦和过圆心作垂直于弦的线段组成的直角三角形，如下图，从而得到r 2＝d 2＋（a 2）2，r ＝d ＋h.3．（2019·云南模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（C ）A.95B.215C.185D.524．如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点D.如果EF ＝8，AD ＝2，那么⊙O 半径的长是5．方法3 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角解题在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，有以下3种常见基本图形：5．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝26°，则∠C 的大小为（D ） A ．26°B ．52°C ．60°D ．64°6．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝120°，点B 是AC ︵的中点，则∠D 的度数是（D ） A ．60°B ．35°C ．30.5°D ．30°方法4 构造直角或直径（1）遇直径时，常构造直径所对的圆周角，可充分利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质； （2）遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．7．（2019·曲靖麒麟区模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O ，∠BAD ＝3∠C ，则∠C 度数为（B ） A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．30°8．如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为32．方法5 切线性质有关的辅助线——添加过切点的半径已知圆的切线时，常把切点和圆心连接起来，得到半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．9．（2019·昆明模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D.若∠A ＝30°，则∠D 的度数是（A ）A ．30°B ．60°C ．40°D ．25°方法6 与切线判定有关的辅助线的作法（1）有公共点，连接半径，证明垂直； （2）无公共点，作垂直，证明与半径长相等．10．（2019·楚雄一模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，∠B ＝2∠ACE ，在BA 的延长线上有一点P ，使得∠P ＝∠BAC ，弦CE 交AB 于点F ，连接AE.（1）求证：PE 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝2，AE ＝EF ＝10，求OA 的长．解：（1）证明：连接OE，则∠AOE＝2∠ACE.∵∠B＝2∠ACE，∴∠AOE＝∠B.∵∠P＝∠BAC，∴∠ACB＝∠OEP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠OEP＝90°.∴OE⊥PE.又∵OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线．（2）∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE.∴∠OAE＝∠OEA＝∠EAF＝∠AFE. ∴△AEF∽△AOE.∴AEOA＝AFAE，即10OA＝210.∴OA＝5.11．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. （1）求证：CD与⊙O相切；（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．解：（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD.∴OM＝ON，即ON为⊙O的半径．∴CD与⊙O相切．（2）∵四边形ABCD为正方形，∠OMC＝90°，∴AB＝CD＝1，∠B＝90°，∠OCM＝45°.∴AC＝2，∠MOC＝∠OCM＝45°.∴MC＝OM＝OA.∴OC＝OM2＋MC2＝2OM＝2OA.又∵AC＝OA＋OC，∴OA＋2OA＝ 2.∴OA＝2－ 2.方法7 与三角形内切圆有关的辅助线遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明．12．如图，在△ABC中，E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠DAC，∠ABE＝∠CBE.又∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠DAC＝∠CBE＋∠CBD.∴∠BED＝∠EBD.∴DE＝DB.一、选择题1．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．54 ° B ．36° C ．32 ° D ．27°（第5题）【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC =∠AOB =27°，故选D ． 2. （2019·无锡）如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为 （ ） A.20° B.25° C.40° D.50°x y O-6OOOBCA ABBAPE F【答案】B 【解析】∵PA 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．3.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）A . B.C. D.【答案】B.【解析】∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900， ∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时， ∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线， ∴DH =CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动， 当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小. 在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13, ∴AD =.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ， ∴△AOE ∽△ADH ， ∴，即， ∴OE =，∴BE =OB -OE =.∵S △ABE =BE ·OA =AB ·EG ， ∴EG =.在Rt △BGE 中，∠EBG =450， ∴BG =EG =， ∴AG =AB -BG =. 在Rt △AEG 中， tan ∠BAD =. 故选B.4. (2019·台州)如图,等边三角形ABC 的边长为8,以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB,AC 相切,则 O 的半径为( )A.23B.3C.4D.43-【答案】A【解析】∵ O 与AB,AC 相切,∴OD ⊥AB,OE ⊥AC,又∵OD ＝OE,∴∠DAO ＝∠EAO,又∵AB ＝AC,∴BO ＝CO,∴∠DAO ＝30°,BO ＝4,∴OD ＝OAtan ∠DAO ＝3OA,又∵在Rt △AOB 中,2243AO AB OB =-=,∴OD ＝23,故选A.5.（2019·重庆B 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C ＝40°则∠B的度数为（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC 是⊙O 的切线，A 为切点，所以∠BAC ＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C ＝40°则∠B 的度数为50°. 故选Ｂ．6. （2019·重庆A 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为 （ ） A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°【答案】C【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ．二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ； ③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM =3．【答案】①②④【解析】连接OM，BM∵PE是⊙O的切线，∴OM⊥PE．∵AC⊥PE，∴AC∥OM．∴∠CAM＝∠AMO．∵OA＝OM，∴∠AMO＝∠MAO．∴∠CAM=∠MAO．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，∴∠AMB=90º=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．∴AC AM AM AB=．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴60221803BMlππ⨯==．选项③错误；∵BD∥OM∥AC，OA=OB，∴CM=MD．∵∠CAM＋∠AMC=90°，∠AMC＋∠BMD=90°，∴∠CAM＝∠BMD．∵∠ACM=∠BDM=90°，∴△ACM ∽△MDB ． ∴AC CMDM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM =3．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2. （2019·无锡）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，O 在△ABC 内自由移动，若O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BCAC BC AB⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m=25.3. （2019·济宁）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝3，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是．EDOBAC【答案】6334π- 【解析】在Rt △ABC 中，∵3tan 3BC A AC ==，∴∠A ＝30°． ∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ． 设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r A OA r==-，解得r ＝3332-，∴阴影的面积是S ＝60360×π×(3332-)2＝6－334π．4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =42，⊙O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】23【解析】连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短， ∵在Rt △AOB 中，OA=OB=42，∴AB=2OA=8，∴S △AOB = 12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB∙=4， ∴PQ=22OP OQ -=2242-=23．故答案为： 23.5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.【答案】132或313 【解析】半径为6的P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论:①当P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在;②当P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD;③当P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ＝22AC BC +＝613,∴AP ＝313; 综上所述,AP 的长为132或313.三、解答题 1．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求图中阴影部分的面积．DAOCBE DAOCB解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°． 在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ． ∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线； （2）由半径为8，所以OA =OB =8．在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝83．由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝83．∴∆OBD 的面积为12×8×83＝323，扇形OAB 的面积为16×π×82＝323π， ∴阴影部分的面积为323－323π． 2．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．图6O EDCBA【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．OEDCBA（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB ＝2243+＝5， ∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD OD BC AC =，∴438AC=，∴AC ＝6． 3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D 、C两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积O DEN MC BAF EA BC MND O图1 图2 【解题过程】 证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ． ∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC（2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

中考高频考点————圆中常用的辅助线作法圆是中考的必考点，也是重难点，圆的题型难点很大一部分来源于圆中很多的隐藏条件，需要添加辅助线才能很好的理解，圆中常见的辅助线作法有如下几种：(1)遇弦作弦心距或半径；(2)遇直径作直径所对的圆周角；(3)已知切线，连半径，得垂直；(4)直线与圆交点明确，证切线时，连半径，证垂直；(5)直线与圆交点不明确，证切线时，作垂直，证半径．一．知识梳理圆的主要知识点：1.垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________.推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧圆的两条平行弦所夹的弧。

2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________.推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________.2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______.3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距4.切线的性质与判定、性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径.推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径.二．常见辅助线做法►作法一作半径或直径①作半径(或直径)：构造等腰三角形或直角三角形1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5B .5 32C ．5 2D ．5 32．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝63，则BC ︵的长为( )A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π3．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝2 3，则⊙O 的面积为( )A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π4．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________．5．如图，⊙O 的半径为6，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝45°，则弦AB 的长是________．②连接过切点的半径或直径：见切线，连切点，得垂直6．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为()A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm7．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．►作法二作弦心距：解决弦长的计算与证明问题8．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽为()A ．1.4 mB ．1.6 mC ．1.8 mD ．2 m9．如图9－ZT －9所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为( )A .15B ．2 5C ．2 15D ．8► 作法三 构造直径所对的圆周角：见直径想直角10． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.11．如图，⊙O 的直径AB ＝12 cm ，C 为AB 延长线上一点，CP 与⊙O 相切于点P ，过点B 作弦BD ∥CP ，连接PD.(1)求证：点P 为BD ︵的中点；(2)若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．►作法四判定直线与圆相切(作半径或作垂直)①有交点⇒作半径，证垂直12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，E 为BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．13.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线．②无交点⇒作垂直，证半径14．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O相交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长．15.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC 相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与⊙O相切.。