2020年中考数学复习： 圆中常见辅助线的作法 专题练习题

初中几何辅助线——圆常用辅助线题型 1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例1如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，P A = 4cm .求⊙O 的半径.题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,求证：证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴题型3.有弦中点时常连弦心距例3如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o －∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例4如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B .求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M ,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例5如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的 中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴»»AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例6如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12 AP练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：BC CF BE EF=题型6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC（提示如图）题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线例7已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =12 AD证明：作直径CF，连结DF、BF ∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴»»AD BF=∴AD = BF∵OE⊥BC O为圆心CO = FO ∴CE = BE∴OE =12 BF∴OE =12ADP2题图A1题图BA题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例8如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠F AC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB ·AC= AD ·AE证明：连结BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE ∽△ADC∴AE AB AC AD∴AB ·AC = AD ·AE题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例9如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F .求证：CE ∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴∠C ＋∠D = 180o ∴CE ∥DF题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例10如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结P A 、PB .求证：P A 、PB 为⊙O 的切线 证明：连结OA ∵PO 为直径∴∠P AO = 90o ∴OA ⊥P A∵OA 为⊙O 的半径 ∴P A 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例11如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于F ∵OE 为半径，AB 为小圆的切线∴OE ⊥AB ∵OF ⊥CD , AB = CD∴OF = OE ∴CD 为小圆的切线P练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E , 求证：PE 是⊙O 的切线题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例12如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o ，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长.解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC∴OE AOBC AB=在Rt △ABC 中，AB= 15==∴15915OE AB OB OEAB --==∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CDCC AE。

解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成思维模式，快速解题◆类型一 遇弦添加弦心距或半径1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB 于点E.若AB ＝24，OE ＝5，则⊙O 的半径为( )A ．15B ．13C ．12D ．10第1题图 第2题图2．如图，一个宽为2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm )，那么该光盘的直径是________cm .3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，⊙O 的半径为4，求AC 的长．◆类型二 遇直径添加直径所对的圆周角4．如图，CD 是⊙O 的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°第4题图 第5题图 5．如图，BC 为半圆O 的直径，A ，D 为半圆上两点，AB ＝3，BC ＝2，则∠D 的度数为________度．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，交BC 于点E.(1)求证：BE ＝CE ；(2)若∠B ＝70°，求DE ︵的度数；(3)若BD ＝2，BE ＝3，求AC 的长．◆类型三 遇切线连接圆心和切点7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P ＝40°，则∠D 的度数为________．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，求DM 的长．参考答案与解析1．B 2.103．解：连接OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .∵OA ＝OC ，OD ⊥AC ，∴∠AOD ＝∠COD ＝12∠AOC .又∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠COD ＝∠B ＝60°.在Rt △COD 中，OC ＝4，∠COD ＝60°，∴CD ＝OC ·sin ∠COD ＝23，∴AC ＝2CD ＝4 3.4．C 5.1506．(1)证明：连接AE .∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC ＝90°，∴AE ⊥BC .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .(2)解：连接OD ，OE .在Rt △ABE 中，∠BAE ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°，∴∠DOE ＝2∠DAE ＝40°，∴DE ︵的度数为40°.(3)解：连接CD .由(1)可知BE ＝CE ，∴BC ＝2BE ＝6.设AB ＝AC ＝x ，则AD ＝AB －BD ＝x －2.∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°.在Rt △BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝62－22＝32.在Rt △ADC 中，AD 2＋CD 2＝AC 2，即(x －2)2＋32＝x 2，解得x ＝9，即AC 的长为9.7．115°8．解：连接OE ，OF ，ON ，OG .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4.∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，OE ＝OF ＝OG ，∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形，∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ，∴CM ＝BC －BG －MG ＝5－2－MN＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝42＋(3－MN )2，∴MN ＝43，∴DM ＝3＋43＝133.。

——教学资料参考参考范本——2019-2020九年级数学下册小专题（八）圆中常见辅助线的作法练习湘教版______年______月______日____________________部门圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．还要作个内切圆，内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC ＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OAB＝∠OBA.∴∠OAC＝∠OBD.在△AOC和△BOD中，⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠OAC ＝∠OBD ，AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD(SAS)．∴OC ＝OD ，即△OCD 是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个． 2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，求排水管内水的深度．解：过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，E ，连接OA. OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m. ∵OC ⊥AB ， ∴AC ＝BC ＝0.4 m. 在Rt △AOC 中， OA2＝AC2＋OC2，∴OC ＝0.3 m ，则CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径——构造直径所对的圆周角构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．解：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵＝BC︵∴∠CDB＝∠CAB＝40°.∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过CD延长线上一点E 作⊙O的切线交AB的延长线于点F，切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.证明：连接OG.∵FE切⊙O于点G，∴∠OGE＝90°.∴∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.又∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．解：连接OB，OC.∵BC∥OA，∴△OBC和△ABC同底等高．∴S△ABC＝S△OBC.∴S阴影＝S扇形OBC.∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB.∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°.∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．∴∠COB＝60°.∴S阴影＝S扇形OBC＝＝.。

圆中常见辅助线的作法1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( )A.15°B.18°C.20°D.28°2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是( )A.60°B.50°C.40°D.30°3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )A.10B.8C.5D.34.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是( )A.2 5B. 5C.213D.135.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )A．10 B．8 C．5 D．36. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D 为( )A.50°B.45°C.40°D.30°7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为( ) A．8 B．5 5 C．5 D．458. 如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为( )A．3 B．4 C．3 2 D．429.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 .10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ .11. 已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝ .12. 如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为52，CD ＝4，则弦AC 的长为 .13. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD,垂足是E,连接BC,若AB=c22cm, ∠BCD=22°30’，则⊙O 的半径为 cm.14. 如图所示，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上四点，∠ABD ＝20°，BD 是直径，则∠ACB ＝____．15. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切，AB ＝8，则图中阴影部分的面积是____．(结果保留π)16. 如图，是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这个外圆半径为 cm.17. 如图所示，在△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC的中点，∠ABC＝120°.(1)求∠ACB的大小；(2)求点A到直线BC的距离．18. 如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F.已知∠AEF＝135°.(1)求证：DF∥AB；(2)若OC＝CE，BF＝22，求DE的长.19. 已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE.(1)求证：AG与⊙O相切；(2)若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长.20. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．21. 如图所示，已知MN 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于P 点，NP 平分∠MNQ.(1) 求证：NQ ⊥PQ(2) 若⊙O 的半径R=3，NP=33，求NQ 的长.22. 如图所示，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB ＝∠DCO ＝90°，O 为AB 的中点.(1)求证：∠B ＝∠ACD ；(2)已知点E 在AB 上，且BC 2＝AB ·BE ； ①若tan ∠ACD ＝34，BC ＝10，求CE 的长；②试判定CD 与以A 为圆心、AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由.23. 如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点.(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由.24. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O 于点C，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离.25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长.参考答案:1---8 BACAC CDC9. 3 210. 50°11. 40°12. 4513. 214. 70° 15. 16π 16. 50 17.解：(1)连接BD ，∵以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∴∠BDC ＝90°.∵D 是AC 的中点，∴BD 是AC 的垂直平分线．∴AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C.∵∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝30°，即∠ACB ＝30°. (2)过点A 作AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，∵BC ＝3，∠ACB ＝30°，∠BDC ＝90°，∴BD ＝32.在Rt △BCD 中，由勾股定理可得CD ＝BC 2－BD 2＝332.∵AD ＝CD ，∴AC ＝3 3.∵在Rt △AEC 中，∠ACE ＝30°，∴AE ＝12AC ＝12×33＝332，即点A 到直线BC 的距离为332.18. 解：(1)如图，连接OF ，∵DF 切半圆O 于点F ，∴DF⊥OF.∵∠AEF＝135°，四边形ABFE 为圆内接四边形，∴∠B＝45°.∴∠FOA＝90°，∴AB⊥OF，∴DF∥AB；(2)如图，连接OE ，∵BF＝22，∠FOB＝90°.在Rt△BOF 中，由勾股定理，得OB 2＋OF 2＝BF 2,2OB 2＝(22)2，解得OB ＝2.∴OB＝OF ＝OE ＝2.∵OC＝CE ，CE⊥AB，在Rt △OCE 中，由勾股定理，得CE 2＋OC 2＝OE 2,2CE 2＝22，∴CE ＝ 2.∵DC ∥OF ，DF ∥AB ，∴DC ＝OF ＝2.∴DE ＝DC －CE ＝2－ 2.19. (1) 证明：如图，连接OA.∵OA＝OB ，∴∠B＝∠BAO.又∵EF⊥BC，∴∠BFE ＝90°，∴∠B＋∠BEF＝90°.∵GA＝GE ，∴∠GAE＝∠GEA.∵∠GEA＝∠BEF，∴∠GAE＝∠BEF，∴∠BAO＋∠GAE＝∠B＋∠BEF＝90°，∴GA⊥AO.又∵OA 为⊙O 的半径，∴AG 与⊙O 相切；(2) 解：如图，过点O 作OH⊥AB，垂足为H.由垂径定理，得BH ＝AH ＝12AB ＝12×8＝4.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.又∵AB＝8，AC ＝6，∴BC＝82＋62＝10，∴OB＝5，OH ＝3.又∵BH＝4，BE ＝3，∴EH＝1， ∴OE＝32＋12＝10.20.解(1)：如图，连接OD ，∵DE 为过点D 的⊙O 的切线，∴OD ⊥DE 于点D ，∠ODE ＝90°.又∵O 为AB 中点，D 为BC 中点，∴DO为△ABC 中位线且OD 綊12AC.∴∠DEA ＋∠ODE ＝180°，∴∠DEA ＝90°，∴DE ⊥AC. (2)连接AD ，则∠ADB ＝90°＝∠ADC.又∵BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADC ，∴AB ＝AC.在Rt △ADC 中，∠ADE ＋∠EDC ＝90°，在Rt △DEC 中，∠EDC ＋∠C ＝90° ，∴∠C ＝∠EDA ，又∠AED ＝∠DEC ＝90°，∴△ADE ∽△DCE.∴AE DE ＝DE EC，∴ED 2＝AE·EC ＝EC·(AC －EC )＝EC·(AB －EC )．又AB ＝3DE ，∴DE 2－3DE·EC ＋EC 2＝0，解得DE ＝3±52EC ，∴tan ∠ACB ＝DE EC ＝3±5221.解：(1)证明：连接OP.∵直线PQ 与⊙O 相切于P 点，MN 是⊙O的直径，∴OP ⊥PQ.又∵NP 平分∠MNQ ，∴∠MNP ＝∠QNP.又∠OPN ＝∠MNP ＝∠QNP ，∴OP ∥NQ ，∴NQ ⊥PQ. (2)连接MP ，在Rt △MNP 中，∵MN ＝2R ＝6，NP ＝33，∴MP ＝MN 2－PN 2＝3，则∠MNP ＝30°，∴∠QNP ＝30°，∴PQ ＝332，故NQ ＝PN 2－PQ 2＝9222. 解：(1)∵∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB－∠ACO＝∠DCO－∠ACO，即∠ACD ＝∠OCB，又∵点O 是AB 的中点，∴OC＝OB ，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACD＝∠B；(2)①∵BC 2＝AB·BE，∴BC AB ＝BE BC ，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE， ∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tan ∠B ＝34，设BE ＝4x ，CE ＝3x ，由勾股定理可知：BE 2＋CE 2＝BC 2，∴(4x)2＋(3x)2＝100，∴解得x ＝25，∴CE ＝65；②过点A 作AF ⊥CD 于点F ，∵∠CEB ＝90°，∴∠B ＋∠ECB ＝90°，∵∠ACE ＋∠ECB ＝90°，∴∠B ＝∠ACE ，∵∠ACD ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠ACE ， ∴CA 平分∠DCE ，∵AF ⊥CD ，AE ⊥CE ，∴AF ＝AE ，∴直线CD 与⊙A 相切.23. 解：(1)证明：连接AD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC ， ∴AB＝BC ＝AC.∴△ABC 为等边三角形；(2)连接BE.∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE＝EC ，即E 为AC 的中点.∵D 是BC 的中点，故DE 为△ABC 的中位线， ∴DE＝12AB ＝12×2＝1； (3)存在点P 使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD ＝ED ，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED ＝120°.∵∠ABC ＝60°，∴∠PBD ＝120°，∴∠PBD ＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB ＝AE ＝1.24. 解：(1)证明：连接OD.∵EF 是⊙O 的切线，∴OD⊥EF.又∵BH⊥EF，∴OD∥BH.∴∠ODB＝∠DBH.而OD ＝OB ，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠OBD＝∠DBH， ∴BD 平分∠ABH；(2)过点O 作OG⊥BC 于点G ，则BG ＝CG ＝4.在Rt △OBG 中，OG ＝OB 2－BG 2＝62－42＝2 5.所以圆心O 到BC 的距离为2 5.25. 解：(1)连接OC ，如图所示：∵BD 是⊙O 的切线，∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，∵E 是BD 中点，∴CE＝12BD ＝BE ，∴∠BCE＝∠CBE＝∠A， ∵OA＝OC ，∴∠ACO＝∠A，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE＋∠BCO＝90°， 即∠OCE＝90°，CE⊥OC，∴CE 是⊙O 的切线；(2)∵∠ACB＝90°，∴AB＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝25，∵tanA＝BD AB ＝BC AC ＝24＝12，∴BD ＝12AB ＝5，∴CE ＝12BD ＝52.。

圆中常用辅助线的作法【八大题型】【题型1遇弦连半径构造三角形】 1【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 5【题型3遇直径作直径所对的圆周角】 8【题型4遇切线作过切点的半径】 11【题型5遇90°的圆周角连直径】 16【题型6转移线段】 19【题型7构造相似三角形】 23【题型8四点共圆】 30【题型1遇弦连半径构造三角形】1.(2024·陕西渭南·三模)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接CD、BD，BD =BC，延长DB到点E，使得BE=BD，连接CE．(1)求证：∠A+∠E=90°；(2)若⊙O的半径为256，BC=5，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．(1)利于等边对等角的性质得到∠BCE=∠E，∠BCD=∠D，利用三角形的内角和得到∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°，即可得到∠E+∠D=90°，再由圆周角的性质等量代换即可；(2)连接OC，由垂径定理推出OB⊥CD，CF=DF，利用勾股定理建立式子运算出BF的长，再利用中位线定理即可推出CE的长．【详解】(1)证明：∵BD=BC，BE=BD，∴BC=BE，∴∠BCE=∠E，∠BCD=∠D，∵∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°，∴∠E +∠D =12×180°=90°，∵∠A =∠D ，∴∠A +∠E =90°；(2)解：连接OC ，则OC =OB =256，如图所示：∵BC =BD ，∴BC =BD ，∴OB ⊥CD ，CF =DF ，在Rt △OCF 中，CF 2=OC 2-OF 2=2562-256-BF 2，在Rt △BCF 中，CF 2=BC 2-BF 2=52-BF 2，∴256 2-256-BF 2=52-BF 2，解得BF =3，∵BD =BE ，DF =CF ，∴BF 为△DCE 的中位线，∴CE =2BF =6．2.(23-24九年级上·重庆大足·期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若CD =8，OP =3，则⊙O 的直径为()A.10B.8C.5D.3【答案】A 【分析】连接OC ，由垂径定理可得CP =PD =4，然后再根据勾股定理可得OC ，进而问题可求解．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵CD ⊥AB ，CD =8，∴CP =PD =4，∵OP =3，∴在Rt △CPO 中，OC =CP 2+OP 2=5，∴⊙O 的直径为10；故选A ．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3.(2024·贵州黔东南·二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AC =BC ，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为点E ，延长BE 交⊙O 于点D ，连接AD ，CD ，CO ，并延长CO 交BD 于点F ．(1)写出图中一个与∠ACD相等的角∶；(2)求证∶CD=CF；(3)若BC=10，BE=6，求⊙O的半径．【答案】(1)∠ACD=∠ABD(答案不唯一)(2)见解析(3)⊙O的半径为5103【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；(1)根据圆周角可得∠ACD=∠ABD；(2)延长CF交AB于M，根据垂径定理的推论可得∠ACF=∠BCF，CM⊥AB，即可由BE⊥AC得到∠ACF=∠ABD，进而得到∠ACD=∠ABD=∠ACF=∠BCF，由三线合一即可得到CD=CF；(3)连OA，由勾股定理求得CE=8，进而依次得到AE=2，AB=210，AM=1AB=10，再求出CM，最2后在Rt△AOM中利用勾股定理求半径即可．【详解】(1)由圆周角可得：∠ACD=∠ABD，故答案为：∠ABD(答案不唯一)；(2)延长CF交AB于M，∵AC=BC，延长CO交BD于点FAB∴∠ACF=∠BCF，CM⊥AB，AM=12∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠AMC=90°，∴∠ACF=∠ABD=90°-∠CAB，∴∠ACD=∠ABD=∠ACF=∠BCF，∵BE⊥AC，∴∠CED=∠CEF=90°，∴△CED≌△CEF，∴CD=CF；(3)连OA，∵BC=10，BE=6，∴CE=BC2-CE2=8，AC=BC=10∴AE=AC-CE=2，∴AB=AE2+BE2=210，AB=10∴AM=12∴CM=AC2-AM2=310，∴OM=CM-OA=310-OA222∴310-OA2+102=OA2解得OA=510 3，∴⊙O的半径为5103．4.(2024·陕西咸阳·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，⊙O与边AB交于点D，E为BD的中点，连接CE，与AB交于点F．(1)求证：AC=AF．(2)当F为AB的中点时，求证：FC=2EF．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)连接EO，交BD于点N，根据E为BD的中点，可得OE⊥BD，即有∠NEF+∠EFN=90°，再根据EO=OC，可得∠OEC=∠OCE，进而可得∠ACF=∠AFC，即可证明；(2)连接EB，在Rt△ABC中，有BF=AF=FC=12AB，即∠ABC=∠FCB，再由E为BD的中点，可得∠EBD=∠FCB，进而可得∠EBD=∠ABC，即可证明△EBF∽△CBA，问题随之得证．【详解】(1)连接EO，交BD于点N，如图，∵E为BD的中点，∴OE⊥BD，∴∠ENF=90°，∴∠NEF+∠EFN=90°，∴∠NEF+∠AFC=90°，∵EO=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠OCE=90°，∴∠ACF+∠OEC=90°，∵∠NEF+∠AFC=90°，∴∠ACF=∠AFC，∴AC=AF；(2)连接EB，如图，∵在Rt△ABC中，F为AB的中点，∴BF=AF=FC=12AB，∵E 为BD 的中点，∴DE =BE ，∴∠EBD =∠FCB ，∴∠EBD =∠ABC ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC =90°，∴∠BEC =∠ACB ，又∵∠EBD =∠ABC ，∴△EBF ∽△CBA ，∴EF AC =BF AB ，即EF AC =BF AB=12，∴2EF =AC ，∵AF =FC ，且在(1)已证明AC =AF ，即FC =2EF ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，作出合理的辅助线，掌握垂径定理是解答本题的关键．【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5.(23-24九年级上·云南昆明·期末)如图，半径为5的⊙O 中，有两条互相垂直的弦AB 、CD ，垂足为点E ，且AB =CD =8，则OE 的长为()A.3B.3C.23D.32【答案】D 【分析】作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CB 于N ，连接OA ，OC ，根据垂径定理得出BM =AM =4，DN =CN =4，根据勾股定理求出OM 和ON 证明四边形OMEN 是正方形，即可解决问题．【详解】解：如图，作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CB 于N ，连接OA ，OC ．∴AM =BM =4，CN =DN =4，∵OA =OC =5，∴OM =OA 2-AM 2=52-42=3，ON =OC 2-CN 2=52-42=3∴OM =ON ，∵AB ⊥CD ，∴∠OME =∠ONE =∠MEN =90°，∴四边形OMEN 是矩形，∵OM =ON ，∴四边形OMEN 是正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定，关键在于作出辅助线，利用垂径定理得到证明．6.(23-24九年级上·山东潍坊·期末)如图，⊙O的半径是4，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=6，∠APO=30°，则弦AB的长为()A.27B.7C.5D.52【答案】A【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含30°的直角三角形，连接OA，则OA=4，过点O作OD⊥AB交AB于点D，则可计算出OD，利用勾股定理求出AD，进一步利用垂径定理即可求出弦AB的长．【详解】解：连接OA，则OA=4，过点O作OD⊥AB交AB于点D，∵若OP=6，∠APO=30°∴OD=OP÷2=6÷2=3，则AD=OA2-OD2=42-32=7=7∴AB=2AD=27．故选：A．7.(23-24九年级下·上海·阶段练习)如图，⊙O1和⊙O2相交于A和B，过点A作O1O2的平行线交两圆于C、D，已知O1O2=20cm，则CD=cm．【答案】40【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作O1E⊥CD于点E，O2F⊥CD于点F，利用垂径定理得到AE=CE，AF=DF，且易得四边形O1O2FE为矩形，进而得到EF=O1O2=20cm，再利用等量代换即可得到CD．E⊥CD于点E，O2F⊥CD于点F，【详解】解：作O∴O1E∥O2F，AE=CE，AF=DF，∵O1O2∥CD，易得四边形O1O2FE为矩形，∵O1O2=20cm，∴EF=O1O2=20cm，∴CD=CE+AE+AF+DF=2AE+AF=2EF=40cm，故答案为：40．8.(23-24九年级上·福建厦门·期末)关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0，如果a、b、c满足a2 +b2=c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：(1)求证：关于x的“勾系方程”2ax2+2cx+2b=0必有实数根.(2)如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，且关于x的方程2ax2+ 10x+2b=0是“勾系方程”.①求∠BDC的度数，②直接写出BD的长：(用含a、b的式子表示).【答案】(1)见解析(2)①∠BDC=45°；②2a+b【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式即可判断；(2)①由勾股定理，圆周角定理，垂径定理即可求解．②过点D作AB的垂线，垂足为G，则四边形DGEF是矩形，根据AB∥CD，得出∠GBD=∠BDC=45°，进而勾股定理，即可求解．【详解】(1)证明：∵关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0是“勾系方程”，∴a2+b2=c2且c≠0，a≠0，Δ=2c2-4⋅2a⋅2b=4c2-8ab=4a2+b2-8ab=4a2+b2-2ab=4a-b2，∵a-b2≥0，∴Δ≥0，∴方程必有实数根；(2)解：①∠BDC=45°，理由如下：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，∵DC∥AB，∴EF⊥CD，∴AE=BE=a，CF=DF=b，∵BE2+OE2=OB2，∴a2+OE2=52，∵2ax2+10x+2b=0是“勾系方程”，∴a2+b2=52，∴OE=b=CF；∵OB=OC，∴Rt△BOE≌Rt△OCF HL；∴∠FOC=∠OBE，∵∠OBE+∠EOB=90°，∴∠FOC+∠EOB=90°，∴∠COB=90°，∠BOC=45°．∴∠BDC=12②如图所示，过点D作AB的垂线，垂足为G，则四边形DGEF是矩形，∴DG=EF=a+b，∵AB∥CD，则∠GBD=∠BDC=45°∴DB=2DG=2a+b故答案为：2a+b．【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形全等，解题的关键是明白“勾系方程”的定义．【题型3遇直径作直径所对的圆周角】9.(2024·安徽合肥·一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连接OD．(1)若∠ODB=54°，求∠BAC的度数；(2)AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC=CD．【答案】(1)36°(2)见详解【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD=54°，求得∠DOB=180°-∠OBD-∠ODB=72°，根据垂径定理得到BC=BD，于是得到结论；(2)连接OC，BC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据平行线的性质得到∠ACO=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，求得AB=BF，根据等腰三角形的性质得到AC=CF，等量代换得到结论．本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】(1)解：∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD=54°，∴∠DOB=180°-∠OBD-∠ODB=72°，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC=BD，∠BOD=36°，∴∠BAC=12故∠BAC的度数为36°；(2)证明：连接OC，BC，∵CE是⊙O的切线，∵CE⊥DF，∴OC∥DF，∴∠ACO=∠F，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠A=∠F，∴AB=BF，∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AF，∴AC=CF，∵∠A=∠CDB，∴∠CDB=∠F，∴CD=CF，∴AC=CD．10.(2024九年级上·湖北武汉·期中)如图，AB为⊙O的直径，点C为BE的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．(1)求证：OC∥AD；(2)若DE=1,CD=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)证明OC⊥EB，AD⊥BE即可得出结论；(2)设BE交OC于点T，证明四边形DETC是矩形，设OB=OC=r，利用勾股定理即可求解．【详解】(1)证明：连接BE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，即AD⊥BE，∵点C为BE的中点，∴EC=CB，∴OC⊥EB，∴OC∥AD；(2)解：设BE交OC于点T，如图，∵CD⊥AD，∴∠D=∠DET=∠CTE=90°，∴四边形DETC是矩形，∴CD=ET=2,DE=CT=1，∴BT =TE =2，设OB =OC =r ，则r 2=r -1 2+22，∴r =52，∴AB =2r =5，即⊙O 的直径为5；【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质,勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题．11.(2024·浙江温州·三模)如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，AC =3，点E 是AC 边上的动点，以CE 为直径作⊙F ，连接BE 交⊙F 于点D ，则AD 的最小值为．【答案】43-72【分析】连接DC ，由以CE 为直径作⊙F ，得∠CDE =90°，∠CDB =90°，即可得动点D 在以BC 为直径的圆上运动，当A ，D ，O 在一直线上时，根据AD ≥AO -OD ，即可求解．【详解】解：△ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，AC =3，∴BC =AB 2-AC 2=42-32=7连接DC ，由以CE 为直径作⊙F ，BC =4，AC =5，∴∠CDE =90°，∠CDB =90°，∴动点D 在以BC 为直径的圆上运动，O 为圆心，当A ，D ，O 在一直线上时，AO =32+72 2=432∴AD ≥AO -OD =432-72=43-72即AD 的最小值为43-72故答案为：43-72．12.(23-24九年级上·福建莆田·期中)如图，AB 是半圆O 的直径，AB =10，点D 在半圆O 上，AD =6，C是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH ⊥AC 于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是．【答案】73-3/-3+73【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后利用勾股定理，求出BD的长，再利用勾股定理，求出BE的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，再由BH=BE-EH，即可算出BH的长．【详解】解：如图，连接BD，取AD的中点E，连接BE，∵DH⊥AC，∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，∵AB是直径，∴∠BDA=90°，在Rt△BDA中，∵AB=10，AD=6，∴由勾股定理得：BD=AB2-AD2=100-36=8，∵E为AD的中点，AD=3，∴DE=12在Rt△BDE中，∵BD=8，DE=3，∴由勾股定理得：BE=DE2+BD2=9+64=73，又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点，AD=3，∴EH=12∴BH=BE-EH=73-3．故答案为：73-3．【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．【题型4遇切线作过切点的半径】13.(2024·贵州·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为边BC上一点，连接AP，分别以点A，P为圆心，大于是1AP的长为半径画弧，两弧交于点E，F，EF交AB于点D，再以点D为圆心，DA长2为半径作圆，交AB于点M，BC恰好是⊙D的切线．若∠B=30°，AC=3，则BM的长为()A.233B.33C.34D.3【答案】A【分析】本题考查的是切线的性质、含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接DP ，由线段垂直平分线的性质可得AD =DP ，再由直角三角形性质求得AB =23，根据切线的性质得到∠DPB =90°，再证明△BPD ∽△BCE ，再列出方程求解即可．【详解】解：连接DP ，由题意可得，EF 是AP 的垂直平分线，∴AD =DP ，设AD =DP =r ，∵∠B =30°，AC =3，∴AB =23，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠DPB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠DPB =∠ACB =90°，∴DP ∥AC ，∴△BPD ∽△BCE ，∴BD AB =DP AC ，∴23-r 23=r 3，∴r =233，∴AD =233，∴AM =433，∴BM =AB -AM =23-433=233，故选：A 14.(2024·辽宁大连·一模)如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径与BC 交于点F ，∠CAD =45°，过B 点的切线交AD 的延长线于点E ．(1)若∠C=64°，求∠E的度数；(2)⊙O的半径是3，OF=1，求BE的长．【答案】(1)38°(2)BE的长为4【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识．(1)连接OB，由切线的性质得到∠OBE=90°，由圆周角定理得到∠AOB=2∠C，又由∠C=64°得到∠AOB =128°，则∠BOE=180°-128°=52°，利用直角三角形性质即可得到答案；(2)连接OC，OB，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD=2×45°=90°，再证明EF=BE，在Rt△OBE中，根据勾股定理得，OE2=OB2+BE2，设BE=EF=x，得到x+12=32+x2，解方程即可得到答案．【详解】(1)解：连接OB，∵BE是⊙O的切线∴OB⊥BE∴∠OBE=90°∵AB=AB∴∠AOB=2∠C∵∠C=64°∴∠AOB=128°∴∠BOE=180°-128°=52°∴∠E=90°-52°=38°(2)解：连接OC，OB，∵CD=CD∴∠COD=2∠CAD=2×45°=90°∴∠1+∠3=90°∵OC=OB∴∠1=∠2∵∠OBE=90°∴∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∵∠3=∠5∴∠4=∠5∴EF=BE在Rt△OBE中，∠OBE=90°，根据勾股定理得，OE2=OB2+BE2设BE=EF=x，由OB=3，OF=1得，x+12=32+x2∴BE 的长为4．15.(2024·福建泉州·模拟预测)已知AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 与⊙O 相交于C ，D 两点(AO >AC )，E 为BD 的中点，连接OE 并延长，交AB 的延长线于点F ．(1)如图①，若E 为OF 的中点，求∠A 的大小；(2)如图②，连接BD 与OF 相交于点G ，求证：∠D =∠F ．【答案】(1)30°(2)见解答【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．(1)连接OB ，如图①，先根据切线的性质得到∠OBF =90°，再利用余弦的定义求出∠BOF =60°，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOE =∠BOE =60°，所以∠AOB =60°，然后利用互余得到∠A 的度数；(2)连接OB ，如图②，根据垂径定理得到OE ⊥BD ，再利用等角的余角相等得到∠OBD =∠F ，加上∠OBD =∠D ，从而得到∠D =∠F ．【详解】(1)解：连接OB ，如图①，∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥AF ，∴∠OBF =90°，∵E 为OF 的中点，∴OE =EF ，∴OF =2OB ，在Rt △OBF 中，∵cos ∠BOF =OB OF =12，∴∠BOF =60°，∵点E 为BD 的中点，∴∠DOE =∠BOE =60°，∴∠AOB =60°，∴∠A =90°-60°=30°；(2)证明：连接OB ，如图②，∵点E 为BD 的中点，∴OE ⊥BD ，∴∠OGB =90°，∵∠OBD +∠BOF =90°，∠BOF +∠F =90°，∴∠OBD =∠F ，∵OB =OD ，∴∠OBD =∠D ，∴∠D =∠F ．16.(23-24九年级上·北京西城·期中)如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC=6，DE=4．(1)求证：∠FEB=∠ECF；(2)求⊙O的半径长．(3)求线段EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)3(3)25【分析】(1)根据切线的性质及SAS证得△COD≌△COB，可证∠OCD=∠OCB，再利用角的等量代换即可求证结论；(2)设OD=x，则OB=x，OE=8-x，在Rt△BCE和Rt△OED中，分别利用勾股定理即可求解；(3)在Rt△OED和Rt△OCD中，利用勾股定理得OE=5，OC=35，再利用相似三角形的判定及性质即可求解；【详解】(1)证明：连接OD，∵CB，CD是⊙O的切线，∴CB=CD，∠ODC=∠OBC=90°，在△COD和△COB中，OD=OB∠CDO=∠CBO CD=CB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠OCD=∠OCB，∵EF⊥OG，∴∠OEF+∠EOF=90°，∵∠BOC+∠BCO=90°，∠EOF=∠BOC，∴∠FEB=∠OCB，∴∠FEB=∠ECF．(2)解：由(1)得：CD=CB=6，∵DE=4，∴CE=CD+DE=10，在Rt△BCE中，根据勾股定理得：∴BE=EC2-BC2=102-62=8，在Rt△OED中，设OD=x，则OB=x，OE=8-x，由勾股定理得：DE2+OD2=OE2，即：42+x2=8-x2，解得：x=3，∴OD=3，即⊙O的半径为3．(3)解：在Rt△OED和Rt△OCD中，根据勾股定理得：OE=OD2+DE2=32+42=5，OC=OD2+CD2=32+62=35，∵∠FEO=∠DCO，∠EFO=∠CDO=90°，∴△EOF∽△COD，∴EF CD =OEOC，即：EF6=535，∴EF=25．【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质：作出合适的辅助线是解本题的关键．【题型5遇90°的圆周角连直径】17.(2024·安徽合肥·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．(1)求证：AB=AE．(2)若AD=DE=2，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】(1)如图，连接AC，根据BC=CD推出∠BAC=∠EAC，再证明BC=CE，∠B=∠E，进而证明△ABC≌△AEC AAS，即可证明AB=AE．(2)先证明BD是⊙O的直径，得到∠BCD=90°．由(1)可得AB=4．在Rt△ABD中求出BD=25；在Rt△BCD中，CD=BC=22BD=10．【详解】(1)证明：如图，连接AC．∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠BAC=∠EAC．∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，BC=CE．∵∠B+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDE，∴∠B=∠E．在△ABC 与△AEC 中，∠BAC =∠EAC ，∠B =∠E ，BC =CE ，∴△ABC ≌△AEC AAS ，∴AB =AE ．(2)解：如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD =90°．由(1)可得AB =AE ．∵AD =DE =2，∴AB =4．在Rt △ABD 中，BD =AB 2+AD 2=25；在Rt △BCD 中，CD =BC =22BD =10．【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理，90度圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．18.(2024·浙江嘉兴·模拟预测)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ,AB =2,BC =23，则AB ⏜的长为()A.13πB.23πC.33πD.233π【答案】B【分析】本题考查了圆的基础知识，如图，连接AC ，BD ，根据内接矩形的性质可得AB ，CD 是直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的高，可得OA =OB =2，可得△AOB 是等边三角形，再根据弧长的计算方法即可求解，掌握矩形的性质，圆的基础值，弧长计算公式是解题的关键．【详解】解：如图所示，连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =∠ABC =90°，∴AC ，BD 是直径，点O 是线段AC 的中点，∴在Rt △ABC 中，AC =AB 2+BC 2=22+23 2=4，∴OB =12AC =2=OA ，∴OA =OB =AB =2，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =60°，∴l AB ⏜=n πr 180=60π×2180=23π故选：B．19.(23-24九年级下·四川成都·开学考试)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ，若A B :AB=2:1，则四边形A B C D 的外接圆半径为．【答案】22【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形ABCD的边长为2和位似比求出A B =4，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长．【详解】解：如图，连接A C ，∵正方形ABCD与四边形A B C D 是位似图形，∴四边形A B C D 是正方形，∴∠A B C =90°∴A C 是四边形A B C D 的外接圆直径，∵正方形ABCD的边长为2，A B :AB=2:1∴A B =4∴AC =42+42=42∴四边形A B C D 的外接圆半径为22，故答案为：22．20.(2024·江西景德镇·三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点A0,6，与x轴交于点B8,0，则OP的长为．【答案】5【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接AB，通过题意判断出AB为直径，圆心P在AB上，根据勾股定理计算出AB的长，从而得出结果．【详解】解：如图，连接AB，∵∠AOB为直角，且点A，B，O都在圆上，∴AB为直径，圆心P在AB上，∵A 0,6 ，B 8,0 ，∴OA =6，OB =8，∴AB =OA 2+OB 2=10，∴OP =12AB =5，故答案为：5．【题型6转移线段】21.(23-24九年级上·四川泸州·阶段练习)如图，⊙O 的直径AB =8，弦CD =3，且弦CD 在圆上滑动(CD 的长度不变，点C 、D 与点A 、B 不重合)，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若M 是CD 的中点，则PM 的最大值是．【答案】4【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长CP 交⊙O 于点K ，连接DK ，根据垂径定理可得CP =PK ，再根据三角形中位线定理可得PM =12KD ，进而可得当KD 最大时，PM 的值最大，即即当KD 为直径时，KD 的值最大，即可求解．【详解】解：延长CP 交⊙O 于点K ，连接DK ，∵AB ⊥CK ，∴CP =PK ，∵M 是CD 的中点，∴PM 是△CKD 的中位线，∴PM =12KD ，∴当KD 最大时，PM 的值最大，即当KD 为直径时，KD 的值最大，∵⊙O 的直径AB =8，∴PM =12KD =12AB =4，故答案为：4．22.(2024九年级上·浙江台州·期中)如图，在△ABC 中，AB =5，AC =4，BC =3，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是．【答案】125/2.4/225【分析】设圆心为点F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，则有FD ⊥AB ，由勾股定理的逆定理可得△∠ACB =90°，再由直角三角形的性质可得FC +FD =QP ，又由FC +FD ≥CD ，PQ 为圆F 的直径，可得点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值，即CD 为圆F 的直径，再利用△ABC 的面积即可求解．【详解】解：如图，设圆心为点F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，∵圆F 与AB 相切，∴FD ⊥AB ，∵在△ABC 中，32+42=52，即BC 2+AC 2=AB 2，∴△∠ACB =90°，∴CF =12QP ，又∵CF =FD ，∴FC +FD =QP ，∵FC +FD ≥CD ，PQ 为圆F 的直径，∴当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值，即CD 为圆F 的直径，∵S △ABC =12BC ⋅AC =12AB ⋅CD ，∴12×4×3=12×5×CD ，∴CD =125，故答案为：125．【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值是解题的关键．23.(2024·江苏徐州·三模)【问题情境】如图1，P 是⊙O 外的一点，直线PO 分别交⊙O 于点A 、B ．小明认为线段P A 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O 上任意取一个不同于点A 的点C ，连接OC 、CP ，则有OP <OC +PC ，即OP -OC <PC ，由OA =OC 得OP -OA <PC ，即P A <PC ，从而得出线段P A 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段．小红认为在图1中，线段PB 是点P 到⊙O 上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．【直接运用】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是；【构造运用】如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN，连接A C，请求出A C长度的最小值．【深度运用】如图5，已知点C在以AB为直径，O为圆心的半圆上，AB=4，以BC为边作等边△BCD，则AD的最大值是．【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：5-1；构造运用：7-1；深度运用：23+2【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；直接运用∶取半圆的圆心O，连接OA交半圆于点M，则当P与点M重合时，P A最小，由勾股定理得OA= 22+12=5，从而即得解；构造运用：由折叠知A M=AM，进而得点A ，A，D都在以AD为直径的圆上．如图3，以点M为圆心，MA 为半径画⊙M，连接MC．当A C长度取最小值时，点A 在MC上，过点M作MH⊥DC于点F，根据菱形的性质及勾股定理即可得解；深度运用：如图，在AB的上方作等边△ABH，连接DH，取BH的中点G连接DG，证明△ABC≌△HBD，得∠BDH=∠ACB=90°，点D在以BH为直径的半圆上，进而利用勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解．【详解】解：问题情境∶小红的说法正确，在圆О上任意取一个不同于点B的点C，连接OC、OP，∵在△POC 中，OP +OC >PC ．OB =OC ，∴OP +OB >PC ，即PB >PC ．∴线段PB 是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．∴小红的说法正确；直接运用∶取半圆的圆心O ，连接OA 交半圆于点M ，则当P 与点M 重合时，P A 最小，∵∠ACB =90°，AC =BC =2，∴OC =1，OC 2+AC 2=OA 2，∴OA =22+12=5，∴P A 的最小值为OA -AM =5-1故答案为：5-1．构造运用：由折叠知A M =AM ，∵M 是AD 的中点，∴MA =MA =MD ，∴点A ，A ，D 都在以AD 为直径的圆上．如图3，以点M 为圆心，MA 为半径画⊙M ，连接MC ．当A C 长度取最小值时，点A 在MC 上，过点M 作MH ⊥DC 于点F ，∵在边长为6的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点，∴2MD =AD =CD =2，∠HDM =60°，∴∠HMD =30°，∴HD =12MD =12．∴HM =DM ×cos30°=32,HC =52，∴MC =HM 2+HC 2=7，∴A C =MC -MA =7-1；深度运用：如图，在AB 的上方作等边△ABH ，连接DH ，取BH 的中点G 连接DG ，∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°，∵△ABH 和△BCD 都是等边三角形，∴AB =BH =AH =4，BD =BC =DC ，∠ABH =∠CBD =60°即∠ABC +∠CBH =∠CBH +∠HBD ，∴∠ABC =∠HBD ，∴△ABC ≌△HBD ，∴∠BDH =∠ACB =90°，∴点D 在以BH 为直径的半圆上，∵G 是BH 的中点，AB =AH =BH =4，∴AG ⊥BH ，BG =DG =HG =2，∴AG =AB 2-BG 2=42-22=23，∴根据三角形的两边之和大于第三边可得AD 的最大值为AG +DG =23+2，故答案为：23+2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三24.(23-24九年级上·河南开封·阶段练习)如图，以G(0,3)为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．【答案】33-3/-3+33【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形30度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点G作GM⊥AC于点F，连接AG．得到点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，最小值=FM-GM，即可得到答案．【详解】解：过点G作GM⊥AC于点F，连接AG，∵GO⊥AB，∴OA=OB，∵G(0,3)，∴OG=3，在Rt△AGO中，AG=6,OG=3，∴OA=AG2-GO2=33，∴∠GAO=30°,AB=2AO=63，∴∠AGO=60°，∵GC=GA=6，∴∠GCA=∠GAC，∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠AGO=∠GAC=30°，∴AC=2OA=63,MG=1CG=3，2∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，∴MF=AC=33，2点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，最小值=FM-GM=33-3，故答案为：33-3．【题型7构造相似三角形】25.(2024·贵州六盘水·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，DB平分∠ADC，CA=CD，DB与CA交于点E，延长AB,DC交于点F．(1)直接写出线段AB 与线段BC 的数量关系；(2)求证：△AFC ≌△DEC ；(3)设△ABD 的面积为S 1，△BCD 的面积为S 2，求S 1S 2的值．【答案】(1)AB =BC(2)见解析(3)2【分析】(1)根据等角，等弧，等弦，即可得出结论；(2)根据同弧所对的圆周角相等，利用ASA 证明△AFC ≌△DEC 即可；(3)过点C 作CH ⊥DE ，圆周角定理得到∠ACD =∠ABD =90°，勾股定理得到AD =CA 2+CD 2=2CD ，证明△ABD ∽△CHD ，得到AB CH =AD CD=2，根据同底三角形的面积比等于高线比，即可得出结果．【详解】(1)解：连接OB ,OC ，则：∠AOB =2∠ADB ,∠BOC =2∠CDB ，∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠AOB =∠BOC ，∴AB =BC ，∴AB =BC ；(2)∵AD 为直径，∴∠ACD =90°，∴∠ACF =90°=∠ACD ，又∵∠BAC =∠CDB ，CA =CD ，∴△AFC ≌△DEC ；(3)过点C 作CH ⊥DE ，则∠CHD =90°∵AD 为直径，∴∠ACD =∠ABD =90°，∵CA =CD ，∴AD =CA 2+CD 2=2CD ，∵∠ABD =∠CHD =90°,∠ADB =∠CDB ，∴△ABD ∽△CHD ，∴AB CH =AD CD =2，∴S 1S 2=12AB ⋅BD 12CH ⋅BD =AB CH =2．【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．线上．且AD =2．过点A 另一条直线交⊙O 于B 、C ．(1)如图1，当AC =5时，研究发现：连接CE 、BD 可以得到△ABD ∽△AEC ，继而可以求AB 长．请写出完整的解答过程．(2)如图2，当B 、C 重合于一点时，AC =．(3)如图3，当OB 平分∠AOC 时，AC =．【答案】(1)AB =165；过程见解析(2)4(3)8105【分析】(1)连接BD 、CE ，证明△ABD ∽△AEC ，得出AD AC =AB AE，求出AB =165．(2)连接OC ，根据当B 、C 重合于一点时，AC 与⊙O 相切于点C ，得出∠ACO =90°，求出AC =AO 2-OC 2=52-32=4．(3)连接BD ，根据角平分线定义得出∠AOB =∠COB =12∠AOC ，证明DB =BC ，△ABD ∽△AOB ，得出AB AO =AD AB =BD OB ，即AB 5=2AB=BD 3，求出AB =10，BD =3105，即可求出结果．【详解】(1)解：连接BD 、CE ，如图所示：∵DE =6，AD =2，∴AE =AD +DE =2+6=8，∵∠ABD +∠CBD =180°，∠CBD +∠E =180°，∴∠ABD =∠E ，∵∠BAD =∠EAC ，∴△ABD ∽△AEC ，∴AD AC =AB AE ，∴25=AB 8，解得：AB =165．(2)解：连接OC ，如图所示：∵当B 、C 重合于一点时，AC 与⊙O 相切于点C ，∴∠ACO =90°，∵DE =6，∴OC =OD =OE =3，∴AO =AD +DO =2+3=5，∴AC =AO 2-OC 2=52-32=4．∵OB 平分∠AOC ，∴∠AOB =∠COB =12∠AOC ，∴DB =BC ，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∵∠AOC =∠OCE +∠OEC ，∴∠OCE =∠OEC =12∠AOC ，∴∠DOB =∠OEC ，根据解析(1)可知：∠ABD =∠AEC ，∴∠ABD =∠AOB ，∵∠DAB =∠OAB ，∴△ABD ∽△AOB ，∴AB AO =AD AB =BD OB ，即AB 5=2AB=BD 3，解得：AB =10，BD =3105，∴AC =AB +BC =AB +BD =10+3105=8105．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．27.(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)如图，以AB 为直径的⊙O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，连接AC ，AD ，点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交⊙O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：∠CAG =∠AGC ；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若EF CE =25，求DP CP的值；(3)当点E 在射线AB 上，AB =2，四边形ACOF 中有一组对边平行时，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)57(3)2-2或3-52【分析】(1)设AB 与CD 相交于点M ，由⊙O 与AH 相切于点A ，得到∠BAG =90°，由CD ⊥AB ，得到∠AMC =90°，进而得到AG ∥CD ，由平行线的性质推导得，∠CAG =∠ACD ，∠AGC =∠FCD ，最后由点A关于CD 的对称点为E 得到∠FCD =∠ACD 即可证明．(2)过F 点作FK ⊥AB 于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，证明∠FAD =∠ADC 得到DP =AP ，再证明△CP A ≌△FPD 得到PF =PC ；最后根据△KEF ∽△NEC 及△APN ∽△AFK 得到KE EN =EF CE =25和P A AF =AN AK=512，最后根据平行线分线段成比例求解．(3)分两种情形：当OC ∥AF 时，当AC ∥OF 时，分别求解即可．【详解】(1)证明：如图，设AB 与CD 相交于点M ，∵⊙O 与AH 相切于点A ，∴∠BAG =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AMC =90°，∴AG ∥CD ，∴∠CAG =∠ACD ，∠AGC =∠FCD ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴∠FCD =∠ACD ，∴∠CAG =∠AGC ．(2)解：过F 点作FK ⊥AB 于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：∠FCD =∠FAD ，∵AB 为⊙O 的直径，且CD ⊥AB ，由垂径定理得：AC =AD ，∴∠ACD =∠ADC ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴∠FCD =∠ACD ，∴∠FAD =∠FCD =∠ACD =∠ADC ，即∠FAD =∠ADC ，∴DP =AP ，由同弧所对的圆周角相等得：∠ACP =∠DFP ，且∠CP A =∠FPD ，∴△CP A ≌△FPD ，∴PC =PF ，∵FK ⊥AB ，AB 与CD 交于点N ，∴∠FKE =∠CNE =90°．∵∠KEF =∠NEC ，∠FKE =∠CNE =90°，∴△KEF ∽△NEC ，∴KE EN =EF CE=25，设KE =2x ,EN =5x ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴AN =EN =5x ，AE =AN +NE =10x ，AK =AE +KE =12x ，又FK ∥PN ，∴△APN ∽△AFK ，∴P A AF =AN AK=5x 12x =512．∵∠FCD =∠CDA ，∴CF ∥AD ，∴DP =AP =AP =5；。

小专题(八) 圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站． 圆上若有一切线，切点圆心半径连． 要想证明是切线，半径垂线仔细辨． 是直径，成半圆，想成直角径连弦． 弧有中点圆心连，垂径定理要记全． 圆周角边两条弦，直径和弦端点连． 还要作个内切圆，内角平分线梦圆． 三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C ，D 是直线AB 上的两点，且AC ＝BD.求证：△OCD 是等腰三角形．证明：连接OA ，OB. ∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴OA ＝OB. ∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠OAC ＝∠OBD. 在△AOC 和△BOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠OAC ＝∠OBD ，AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD(SAS)．∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度．解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5 m，AB＝0.8 m.∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝0.4 m.在Rt△AOC中，OA2＝AC2＋OC2，∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径——构造直径所对的圆周角构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．解：连接BD. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. 又∵∠ADC ＝50°， ∴∠CDB ＝∠ADB －∠ADC ＝40°. ∵BC ︵＝BC ︵∴∠CDB ＝∠CAB ＝40°.∴∠CEB ＝∠CAB ＋∠ACD ＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点F ，切点为G ，连接AG 交CD 于点K.求证：KE ＝GE.证明：连接OG. ∵FE 切⊙O 于点G ， ∴∠OGE ＝90°. ∴∠OGA ＋∠AGE ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.又∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．解：连接OB，OC.∵BC∥OA，∴△OBC和△ABC同底等高．∴S△ABC＝S△OBC.∴S阴影＝S扇形OBC.∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB.∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°.∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．∴∠COB＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。

2020年中考数学二轮专项特训——圆的综合应用专训1圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．有关角度的计算1．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为()A．76°B．68°C．52°D．38°(第1题)(第2题) 2．如图，有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则AD ︵所对圆心角的度数为( )A ．23°B ．28°C ．30°D ．37°3．(中考·娄底)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD ≌△CDB ；(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．(第3题)半径、弦长的计算4．(中考·南京)如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2 2 cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________．(第4题)(第5题)5．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝________.6．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30 cm .求直径AB 的长．(第6题)面积的计算7．(2015·丽水)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．(第7题)专训2圆中常用的作辅助线的方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．作半径，巧用同圆的半径相等1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径．(第1题)连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H，求证：AP＝BH.(第2题)作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)证切线时辅助线作法的应用4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(第4题)遇弦加弦心距或半径5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3 B．4 C．3 2 D．4 2(第5题)(第6题)6．(中考·贵港)如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB＝________.遇直径巧作直径所对的圆周角7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC 于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形．(2)求DE的长．(第7题)遇切线巧作过切点的半径8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA 切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(第8题)巧添辅助线计算阴影部分的面积9．(中考·自贡)如图，点B ，C ，D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 的延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB ＝∠OBD ＝30°，DB ＝6 3 cm .(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求由弦CD ，BD 与BC ︵所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．(第9题)专训3圆的实际应用名师点金：与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的．利用垂径定理解决台风问题1．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．(第1题)利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)2．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第2题)利用直线与圆的位置关系解决范围问题3．已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第3题)利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题4．如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm，高为40 2 cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？(第4题)专训4与圆有关的动态问题名师点金：对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论当作已知用．利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题1．如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，若AB长为10 cm，点O到BC的距离为4 cm.(1)求弦BC的长；(2)经过几秒△BPC是等腰三角形？(PB不能为底边)(第1题)2．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P 是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题)利用圆探究运动中的特殊位置关系问题3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12 cm，AD ＝8 cm，BC＝22 cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动，P，Q分别从点A，C同时出发．当其中一动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．当t为何值时，PQ与⊙O相切？(第3题)利用圆探究运动中的面积问题4．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60°.(1)求∠AOC的度数；(2)如图，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长．(第4题)专训5几种常见的热门考点名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点．本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识作为载体，与函数、方程等知识综合考查．垂径定理及其推论的应用1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为()A.95B.245C.185D.52(第1题)(第2题)2．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分．如果水面AB 的宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，那么该输水管的半径为() A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm圆心角与圆周角3．如图所示，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于点E，∠BOC＝70°，则∠ABD ＝()A．20°B．46°C．55°D．70°(第3题)(第4题)4．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°5．如图所示，C 为半圆上一点，AC ︵＝CE ︵，过点C 作直径AB 的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 交PC 于点D ，交CB 于点F.求证：AD ＝CD.(第5题)点、直线与圆的位置关系6．已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，当OP＝7 cm时，点A 与⊙O的位置关系是()A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r 为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为()A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm8．设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程2x2－22x＋m－1＝0有实数根，则直线l与⊙O()A．相离或相切B．相切或相交C．相离或相交D．无法确定切线的判定与性质(第9题)9．(中考·哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结OC交⊙O于点D，连结BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是()A．30°B．25°C．20°D．15°10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，与BC相交于点E.(1)若BC＝3，CD＝1，求⊙O的半径；(2)取BE的中点F，连结DF，求证DF是⊙O的切线．(第10题)与圆有关的计算11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为()(第11题) A．25π－6B.252π－6C.256π－6D.258π－612．(2015·兰州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°，①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留根号和π)(第12题)圆与其他知识的综合类型1：圆与三角形的综合13．(2015·成都)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF ＝BC.⊙O 是△BEF 的外接圆，连结BD.(1)求证：△ABC ≌△EBF ；(2)试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(第13题)类型2：圆与四边形的综合14．(2015·天津)已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.(1)如图①，求∠ADC 的大小；(2)如图②，经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵交于点F ，连结AF，求∠FAB的大小．(第14题) 类型3：圆与函数的综合15．如图，直线y＝－34x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.(1)如图①，当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；(2)如图②，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r；(3)在⊙C的移动过程中，能否使△OEF是等边三角形？(只回答“能”或“不能”)(第15题)专训6圆与二次函数的综合名师点金：圆与二次函数的综合，一般会涉及勾股定理、相似三角形的判定、求二次函数的表达式、求直线对应的函数表达式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，有的问题的解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．二次函数中利用全等证明圆与直线的位置关系1．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．(第1题)利用直线与圆的位置关系求直线对应的函数表达式2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)以AB为直径作⊙M，一直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求该直线对应的函数表达式．(第2题)利用圆的有关性质求抛物线对应的函数表达式3．(2015·烟台节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧ED上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.(1)求点D的坐标及该抛物线对应的函数表达式；(2)若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标.(第3题)二次函数中利用勾股定理的逆定理证明直线与圆的位置关系4．如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；(2)求sin∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．(第4题)答案专训1 1．A2．B 点拨：∵有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D 点，∴AB ︵所对的圆心角的度数＝2∠C ＝2×46°＝92°，ADC ︵所对的圆心角的度数＝2∠B ＝2×74°＝148°＝AD ︵所对的圆心角的度数＋DC ︵所对的圆心角的度数＝AD ︵所对的圆心角的度数＋BAD ︵所对的圆心角的度数＝AD ︵所对的圆心角的度数＋AB ︵所对的圆心角的度数＋AD ︵所对的圆心角的度数，∴AD ︵所对的圆心角的度数＝12(148°－92°)＝28°.故选B .3．(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD ＝90°. 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中， ⎩⎨⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL )．(2)解：∵BE 是切线，∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°. ∵∠DBE ＝37°，∴∠ABD ＝53°.∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ＝90°－53°＝37°， 即∠ADC 的度数为37°.4．2 cm 点拨：连接OB ，∵∠BCD ＝22°30′，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝45°.∵AB ⊥CD ，∴BE ＝AE ＝12AB ＝12×22＝2(cm )，△BOE 为等腰直角三角形，∴OB ＝2BE ＝2 cm ，故答案为2 cm .5．2 36．解：连接OC.∵∠A ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵DC 切⊙O 于C ，∴∠OCD ＝90°.∴∠D ＝30°.∵OD ＝30 cm ，∴OC ＝12OD ＝15 cm . ∴AB ＝2OC ＝30 cm .(第7题) 7．(1)证明：如图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)解：如图，连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°.∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°.∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE ＝4π，S△AOE＝8.∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.专训2(第1题)1．解：连接OA ，OF ，如图．设OA ＝OF ＝r cm ，AB ＝a cm .在Rt △OAB 中，r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2，在Rt △OEF 中，r 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋a 22，∴a 24＋a 2＝16＋16＋4a ＋a24，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)．∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＋82＝80，∴r 1＝45，r 2＝－45(舍去)，即该半圆的半径为4 5 cm .点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．2．证明：连接AD ，BD.∵∠DAC ，∠DBC 是DC ︵所对的圆周角． ∴∠DAC ＝∠DBC.∵CD 平分∠ACM ，DP ⊥AC ，DH ⊥CM ，∴DP ＝DH. 在△ADP 和△BDH 中， ⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DBH ，∠DPA ＝∠DHB ＝90°，DP ＝DH ，∴△ADP ≌△BDH ，∴AP ＝BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC ＝∠DBC ，为证两三角形全等创造了条件．3．(1)证明：过点D 作⊙O 的直径DE ，连接AE ，EC ，AC. ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠ECD ＝∠EAD ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴EC ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠ACE. ∴BC ︵＝AE ︵.∴BC ＝AE.在Rt △AED 中，AD 2＋AE 2＝DE 2， ∴AD 2＋BC 2＝4R 2.(2)解：过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2，∴R＝26 2.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O为DE的中点，∴OF＝12AE＝12BC＝12，即点O到AD的距离为12.点拨：本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．4．解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE.∵CE是直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．(第4题)(第7题) 5．C 6.60°7．(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC 的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形．(2)解：连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线．∴DE＝12AB＝12×2＝1.8．(1)证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)解：连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线，又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.∴∠OPA＝30°. 在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，即AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半径为1.(第8题)(第9题) 9．(1)证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝3 3 cm.在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，∴OE＝12OB.∵EB＝3 3 cm，∴由勾股定理可求得OB＝6 cm. 又∵∠D＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE，∴S△CDE ＝S△OBE，∴S阴影＝S扇形OCB＝60360π·62＝6π(cm2)．专训31．解：(1)如图，过B作BH⊥PQ于H，在Rt△BHP中，由条件易知：BP＝320 km，∠BPQ＝30°.∴BH＝12BP＝160 km<200 km.∴台风会影响B市．(2)如图，以B为圆心，200 km为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.在Rt△BHP1中，BP1＝200 km，BH＝160 km，∴P1H＝2002－1602＝120(km)．∴P1P2＝2P1H＝240 km.∴台风影响B市的时间为24030＝8(h)．点拨：本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题．(第1题)(第2题) 2．解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的交点为C，连接PC，如图所示．∵∠PCQ是△PAC的外角，∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．3．解：修建的这条水渠不会穿过公园．理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CBA＝45°，∴∠BCD＝45°，CD＝BD.设CD＝x km，则BD＝x km.易知∠CAB＝30°，∴AC＝2x km，AD＝（2x）2－x2＝3x km.∴3x＋x＝1，解得x＝3－1 2，即CD＝3－12km≈0.366 km＝366 m＞350 m，也就是说，以点C为圆心，350 m为半径的圆与AB相离．即修建的这条水渠不会穿过公园．4．解：∵圆锥形漏斗的底面半径为20 cm，高为40 2 cm，∴圆锥的母线长为202＋（402）2＝60(cm)．设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，则有nπ×60180＝2π×20，解得n＝120.方案一：如图①，扇形的半径为60 cm，矩形的宽为60 cm，易求得矩形的长为60 3 cm.此时矩形的面积为60×603＝3 6003(cm2)．方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60 cm，长为30＋60＝90(cm)，此时矩形的面积为90×60＝5 400(cm2)．∵3 6003>5 400，∴方案二所用材料最省，即选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省．(第4题)专训41．解：(1)作OD⊥BC于D.由垂径定理知，点D是BC的中点，即BD＝12BC，∵OB＝12AB＝5 cm，OD＝4 cm，由勾股定理得，BD＝OB2－OD2＝3 cm，∴BC＝2BD＝6 cm.(2)设经过t s，△BPC是等腰三角形．①当PC为底边时，有BP＝BC，即10－t＝6，解得t＝4；②当BC为底边时，有PC＝PB，此时P点与O点重合，t＝5.∴经过4 s或5 s△BPC是等腰三角形．2．解：(1)线段AB长度的最小值为4.理由如下：连接OP.∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB.取AB的中点C，则AB＝2OC，当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4.(2)存在．假设存在符合条件的点Q.如图①，设四边形APOQ为平行四边形，∵∠APO＝90°，∴四边形APOQ为矩形．又∵OP＝OQ，∴四边形APOQ为正方形，∴OQ＝QA.∴∠QOA＝45°，在Rt△OQA中，根据OQ＝2，∠AOQ＝45°，得Q点的坐标为(2，－2)．(第2题)如图②，设四边形APQO为平行四边形，连接OP，∵OQ∥PA，∠APO＝90°，∴∠POQ＝90°.又∵OP＝OQ，∴∠PQO＝45°，∵PQ∥OA，∴PQ⊥y轴．设PQ交y轴于点H，在Rt△OHQ中，根据OQ＝2，∠HQO＝45°，得Q点的坐标为(－2，2)．∴符合条件的点Q的坐标为(2，－2)或(－2，2)．3．解：如图，设PQ与⊙O相切于点H，过点P作PE⊥BC，垂足为E.(第3题)∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴PE＝AB.由题意可知：AP＝BE＝t cm，CQ＝2t cm，∴BQ＝BC－CQ＝(22－2t) cm，EQ＝BQ－BE＝22－2t－t＝(22－3t) cm.∵AB 为⊙O 的直径，∠ABC ＝∠DAB ＝90°， ∴AD ，BC 为⊙O 的切线．∴AP ＝PH ，HQ ＝BQ. ∴PQ ＝PH ＋HQ ＝AP ＋BQ ＝t ＋22－2t ＝(22－t) cm . 在Rt △PEQ 中，PE 2＋EQ 2＝PQ 2， ∴122＋(22－3t)2＝(22－t)2，即 t 2－11t ＋18＝0，解得t 1＝2，t 2＝9.∵P 在AD 边运动的时间为AD 1＝81＝8(s )，而t ＝9>8，∴t ＝9(舍去)． ∴当t ＝2 s 时，PQ 与⊙O 相切．4．解：(1)∵在△ACO 中，∠OAC ＝60°，OC ＝OA ， ∴△ACO 是等边三角形． ∴∠AOC ＝60°. (2)如图，(第4题)①作点C 关于直径AB 的对称点M 1，连接AM 1，OM 1. 易得S △M 1AO ＝S △CAO ，∠AOM 1＝60°，∴AM 1︵＝4π180×60＝43π.∴当点M 运动到M 1时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为43π.②过点M 1作M 1M 2∥AB 交⊙O 于点M 2，连接AM 2，OM 2，易得S △M 2AO ＝S △CAO ，∴∠OM 1M 2＝∠AOM 1＝60°.又∵OM 1＝OM 2，∴∠M 1OM 2＝60°，∴∠AOM 2＝120°.∴AM 2︵＝4π180×120＝83π.∴当点M 运动到M 2时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为83π. ③过点C 作CM 3∥AB 交⊙O 于点M 3，连接AM 3，OM 3，易得S △M 3AO＝S △CAO ，∠AOM 3＝120°.∴AM 2M 3︵＝4π180×240＝163π.∴当点M 运动到M 3时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为163π. ④当点M 运动到C 时，M 与C 重合，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为4π180×300＝203π.综上所述，当S △MAO ＝S △CAO 时，动点M 所经过的弧长为43π或83π或163π或203π.专训51．C 2.C 3.C 4.D(第5题)5．证明：如图，连结AC. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°. ∵CP ⊥AB 于点P ， ∴∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B.又∵AC ︵＝CE ︵，∴∠B ＝∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD. 6．A 7.B 8.B 9.B(第10题)10．(1)解：设⊙O 的半径为r ，∵AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥BC ，在Rt △OBC 中，∵OC 2＝OB 2＋CB 2， ∴(r ＋1)2＝r 2＋(3)2，解得r ＝1，∴⊙O 的半径为1. (2)证明：连结OF ， ∵OA ＝OB ，BF ＝EF ， ∴OF 是△BAE 的中位线， ∴OF ∥AE ，∴∠A ＝∠2，∠1＝∠ADO ， 又∵∠ADO ＝∠A ，∴∠1＝∠2，在△OBF 和△ODF 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，∠2＝∠1，OF ＝OF ，∴△OBF ≌△ODF ， ∴∠ODF ＝∠OBF ＝90°，即OD ⊥DF ，又OD 是⊙O 的半径， ∴FD 是⊙O 的切线． 11．D(第12题)12．解：(1)相切，理由如下： 如图，连结OD ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴OD ∥AC. 又∠C ＝90°，∴OD ⊥BC ， ∴BC 与⊙O 相切． (2)①设⊙O 的半径为r. ∵AC ＝3，∠B ＝30°，∴AB ＝6. 又OA ＝OD ＝r ，∴OB ＝2r.∴2r ＋r ＝6，解得r ＝2，即⊙O 的半径是2.②由①得OD ＝2，则OB ＝4，BD ＝23，S 阴影＝S △OBD －S 扇形ODE ＝12×23×2－60π×22360＝23－2π3.13．(1)证明：在Rt △CED 中，∠C ＋∠CED ＝90°，在Rt △BFE 中，∠EFB ＋∠BEF ＝90°.∵∠CED ＝∠BEF ，∴∠C ＝∠EFB.在Rt △ABC 和Rt △EBF 中， ⎩⎨⎧∠C ＝∠EFB ，BC ＝BF ，∠ABC ＝∠EBF ，∴△ABC ≌△EBF.(2)解：BD 与⊙O 相切，理由如下： 连结BO ，∵OB ＝OF ， ∴∠OBF ＝∠OFB.∵FD 垂直平分AC ，∴D 为AC 的中点，又∵△ABC 为直角三角形． ∴BD ＝CD ，∴∠DCB ＝∠DBC.由(1)知∠ACB ＝∠EFB ， ∴∠DBC ＝∠DFB ＝∠OBF.∵∠CBF ＝∠CBO ＋∠OBF ＝90°， ∴∠DBO ＝∠CBO ＋∠DBC ＝90°， ∴BD 为⊙O 的切线．14．解：(1)∵CD 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴OC ⊥CD ，即∠OCD ＝90°. ∵四边形OABC 是平行四边形，(第14题)∴AB ∥OC ，即AD ∥OC. ∴∠ADC ＋∠OCD ＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠OCD ＝90°.(2)如图，连结OB ，则OB ＝OA ＝OC. ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ＝AB ， ∴OA ＝OB ＝AB.即△AOB 是等边三角形． 于是，∠AOB ＝60°.由OF ∥CD ，又∠ADC ＝90°，得∠AEO ＝∠ADC ＝90°.∴OF ⊥AB ，有BF ︵＝AF ︵.∴∠FOB ＝∠FOA ＝12∠AOB ＝30°.∴∠FAB ＝12∠FOB ＝15°.15．解：(1)∵直线y ＝－34x ＋3与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B(0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝32＋42＝5.连结CF ，∵四边形OBCE 是矩形，∴CE ＝OB ＝3.设OE ＝x ，则由切线长定理知AF ＝AE ＝x ＋4，∴BF ＝x ＋4－5＝x －1.在Rt △CBF 中，∵BC ＝OE ＝x ，CF ＝CE ＝3，BF ＝x －1，BC 2＝CF 2＋BF 2，∴x 2＝32＋(x －1)2，解得x ＝5，即OE ＝5，∴点C 的坐标为(－5，3)．(2)连结CE ，CD ，易知四边形CEOD 是正方形，∴OE ＝OD ＝r.由切线长定理知BF ＝BD ＝3－r ，AE ＝AF ，又∵AE ＝AO ＋OE ＝4＋r ，AF ＝AB ＋BF ＝5＋3－r ＝8－r ，∴4＋r ＝8－r ，∴r ＝2.(3)不能．专训61．(1)解：设过点B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx＋c ，则⎩⎨⎧4＝c ，0＝4a －2b ＋c ，0＝64a －8b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝52，c ＝4.∴经过B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数表达式为y ＝14x 2＋52x ＋4. (2)证明：∵y ＝14x 2＋52x ＋4＝14(x ＋5)2－94，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－94. 设直线CE 对应的函数表达式为y ＝mx ＋n ，直线CE 与y 轴交于点G ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2m ＋n ，－94＝－5m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝34，n ＝32，∴直线CE 对应的函数表达式为y ＝34x ＋32. 在y ＝34x ＋32中，当x ＝0时，y ＝32，∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.如图，连结AB 、AC 、AG ，则BG ＝OB －OG ＝4－32＝52，CG ＝OC 2＋OG 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52，∴BG ＝CG.又∵AB ＝AC ，AG ＝AG ， ∴△ABG ≌△ACG ， ∴∠ACG ＝∠ABG.∵⊙A 与y 轴相切于点B(0，4)， ∴∠ABG ＝90°，。

圆中常见辅助线的作法方法1 连接半径构造等腰三角形圆中的半径相等，所以连接圆心和圆上任意两个不构成直径的点都会组成等腰三角形．这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答．1．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（D ） A ．36°B ．30°C ．18°D ．24°2．（2019·连云港）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为6．方法2 遇弦添加弦心距或半径由于垂直于弦的直径平分这条弦，因此利用垂径定理求线段长时，可构造由半径、半弦和过圆心作垂直于弦的线段组成的直角三角形，如下图，从而得到r 2＝d 2＋（a 2）2，r ＝d ＋h.3．（2019·云南模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（C ）A.95B.215C.185D.524．如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点D.如果EF ＝8，AD ＝2，那么⊙O 半径的长是5．方法3 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角解题在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，有以下3种常见基本图形：5．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝26°，则∠C 的大小为（D ） A ．26°B ．52°C ．60°D ．64°6．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝120°，点B 是AC ︵的中点，则∠D 的度数是（D ） A ．60°B ．35°C ．30.5°D ．30°方法4 构造直角或直径（1）遇直径时，常构造直径所对的圆周角，可充分利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质； （2）遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．7．（2019·曲靖麒麟区模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O ，∠BAD ＝3∠C ，则∠C 度数为（B ） A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．30°8．如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为32．方法5 切线性质有关的辅助线——添加过切点的半径已知圆的切线时，常把切点和圆心连接起来，得到半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．9．（2019·昆明模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D.若∠A ＝30°，则∠D 的度数是（A ）A ．30°B ．60°C ．40°D ．25°方法6 与切线判定有关的辅助线的作法（1）有公共点，连接半径，证明垂直； （2）无公共点，作垂直，证明与半径长相等．10．（2019·楚雄一模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，∠B ＝2∠ACE ，在BA 的延长线上有一点P ，使得∠P ＝∠BAC ，弦CE 交AB 于点F ，连接AE.（1）求证：PE 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝2，AE ＝EF ＝10，求OA 的长．解：（1）证明：连接OE，则∠AOE＝2∠ACE.∵∠B＝2∠ACE，∴∠AOE＝∠B.∵∠P＝∠BAC，∴∠ACB＝∠OEP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠OEP＝90°.∴OE⊥PE.又∵OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线．（2）∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE.∴∠OAE＝∠OEA＝∠EAF＝∠AFE. ∴△AEF∽△AOE.∴AEOA＝AFAE，即10OA＝210.∴OA＝5.11．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. （1）求证：CD与⊙O相切；（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．解：（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD.∴OM＝ON，即ON为⊙O的半径．∴CD与⊙O相切．（2）∵四边形ABCD为正方形，∠OMC＝90°，∴AB＝CD＝1，∠B＝90°，∠OCM＝45°.∴AC＝2，∠MOC＝∠OCM＝45°.∴MC＝OM＝OA.∴OC＝OM2＋MC2＝2OM＝2OA.又∵AC＝OA＋OC，∴OA＋2OA＝ 2.∴OA＝2－ 2.方法7 与三角形内切圆有关的辅助线遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明．12．如图，在△ABC中，E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠DAC，∠ABE＝∠CBE.又∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠DAC＝∠CBE＋∠CBD.∴∠BED＝∠EBD.∴DE＝DB.一、选择题1．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．54 ° B ．36° C ．32 ° D ．27°（第5题）【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC =∠AOB =27°，故选D ． 2. （2019·无锡）如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为 （ ） A.20° B.25° C.40° D.50°x y O-6OOOBCA ABBAPE F【答案】B 【解析】∵PA 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．3.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）A . B.C. D.【答案】B.【解析】∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900， ∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时， ∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线， ∴DH =CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动， 当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小. 在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13, ∴AD =.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ， ∴△AOE ∽△ADH ， ∴，即， ∴OE =，∴BE =OB -OE =.∵S △ABE =BE ·OA =AB ·EG ， ∴EG =.在Rt △BGE 中，∠EBG =450， ∴BG =EG =， ∴AG =AB -BG =. 在Rt △AEG 中， tan ∠BAD =. 故选B.4. (2019·台州)如图,等边三角形ABC 的边长为8,以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB,AC 相切,则 O 的半径为( )A.23B.3C.4D.43-【答案】A【解析】∵ O 与AB,AC 相切,∴OD ⊥AB,OE ⊥AC,又∵OD ＝OE,∴∠DAO ＝∠EAO,又∵AB ＝AC,∴BO ＝CO,∴∠DAO ＝30°,BO ＝4,∴OD ＝OAtan ∠DAO ＝3OA,又∵在Rt △AOB 中,2243AO AB OB =-=,∴OD ＝23,故选A.5.（2019·重庆B 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C ＝40°则∠B的度数为（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC 是⊙O 的切线，A 为切点，所以∠BAC ＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C ＝40°则∠B 的度数为50°. 故选Ｂ．6. （2019·重庆A 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为 （ ） A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°【答案】C【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ．二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ； ③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM =3．【答案】①②④【解析】连接OM，BM∵PE是⊙O的切线，∴OM⊥PE．∵AC⊥PE，∴AC∥OM．∴∠CAM＝∠AMO．∵OA＝OM，∴∠AMO＝∠MAO．∴∠CAM=∠MAO．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，∴∠AMB=90º=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．∴AC AM AM AB=．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴60221803BMlππ⨯==．选项③错误；∵BD∥OM∥AC，OA=OB，∴CM=MD．∵∠CAM＋∠AMC=90°，∠AMC＋∠BMD=90°，∴∠CAM＝∠BMD．∵∠ACM=∠BDM=90°，∴△ACM ∽△MDB ． ∴AC CMDM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM =3．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2. （2019·无锡）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，O 在△ABC 内自由移动，若O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BCAC BC AB⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m=25.3. （2019·济宁）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝3，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是．EDOBAC【答案】6334π- 【解析】在Rt △ABC 中，∵3tan 3BC A AC ==，∴∠A ＝30°． ∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ． 设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r A OA r==-，解得r ＝3332-，∴阴影的面积是S ＝60360×π×(3332-)2＝6－334π．4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =42，⊙O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】23【解析】连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短， ∵在Rt △AOB 中，OA=OB=42，∴AB=2OA=8，∴S △AOB = 12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB∙=4， ∴PQ=22OP OQ -=2242-=23．故答案为： 23.5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.【答案】132或313 【解析】半径为6的P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论:①当P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在;②当P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD;③当P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ＝22AC BC +＝613,∴AP ＝313; 综上所述,AP 的长为132或313.三、解答题 1．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求图中阴影部分的面积．DAOCBE DAOCB解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°． 在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ． ∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线； （2）由半径为8，所以OA =OB =8．在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝83．由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝83．∴∆OBD 的面积为12×8×83＝323，扇形OAB 的面积为16×π×82＝323π， ∴阴影部分的面积为323－323π． 2．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．图6O EDCBA【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．OEDCBA（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB ＝2243+＝5， ∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD OD BC AC =，∴438AC=，∴AC ＝6． 3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D 、C两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积O DEN MC BAF EA BC MND O图1 图2 【解题过程】 证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ． ∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC（2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

技巧训练（六）圆中常见辅助线的作法 类型1 连半径—构造等腰三角形作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答.1.（2017·泰安）如图，△ABC 内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC 等于（D ）A .180°－2αB .2αC .90°＋αD .90°－α第1题图 第2题图2.如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E.若DE ＝OB ，∠AOC＝84°，则∠E 等于（B ）A .42°B .28°C .21°D .20°类型2 与垂径定理有关的辅助线在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数进行计算.3.（2018·枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（C ）A .15B .2 5C .215D .8第3题图 第4题图 4.（2018·威海）如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB ︵的中点.若∠ABC＝30°，则弦AB 的长为（D ）A .12 B .5 C .532D .5 3 类型3 与圆周角定理及其推论有关的辅助线（1）遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这一性质；（2）遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径.5.（2018·白银、武威、张掖）如图，⊙A 过点O （0，0），C （3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是（B ）A .15°B .30°C .45°D .60°第5题图 第6题图6.如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD.若AC ＝2，则tan D 的值是（A ）A .2 2B .223C .24D .13类型4 与切线的性质有关的辅助线已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题.7.（2018·泰安）如图，BM 与⊙O 相切于点B.若∠MBA＝140°，则∠ACB 的度数为（A ）A .40°B .50°C .60°D .70°类型5 与切线的判定有关的辅助线证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.8.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D.E 是BD 中点，连接CE.求证：CE 是⊙O 的切线.证明：连接CO ，OE.∵AB 为⊙O 的直径.∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°.∵E 是BD 中点，∴CE＝BE ＝12BD. 又∵OC＝OB ，OE ＝OE ，∴△COE≌△B OE （SS S ）.∴∠OCE＝∠OBE.∵BD 为⊙O 的切线.∴∠OBE＝90°. ∴∠OCE＝90°.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线.9.（2017·绥化）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AE⊥B C 于点E ，∠ADC 的平分线交AE 于点O ，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B ，交BC 于另一点F.（1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若BF ＝24，OE ＝5，求tan ∠ABC 的值.解：（1）证明：过点O 作OG⊥DC，垂足为G.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴OA⊥AD.∵DO 平分∠ADC，OA⊥AD，DG⊥DC.∴OA＝OG.∴OG 是⊙O 的半径，∴DC 是⊙O 的切线.（2）连接OF.∵OA⊥BC，∴BE＝EF ＝12BF ＝12. 在Rt △OEF 中，OE ＝5，EF ＝12.∴OF＝OE 2＋EF 2＝13.∴AE＝OA ＋OE ＝13＋5＝18.∴tan ∠ABC＝AE BE ＝32.类型6 与三角形内切圆有关的辅助线遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算.10.（2018·威海）在扇形CAB 中，C D⊥AB，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为135°Ｗ.类型7 与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线当圆中阴影部分为不规则图形时，可以通过添辅助线把不规则的图形等积替换为规则图形，从而利用和差法求得面积.11.如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC∥OA，连接AC ，则阴影部分的面积为2π3Ｗ.。

2020中考数学几何专题突破模块一：圆中常见辅助线添加技巧例1．（2019·安徽中考真题）如图，△ABC 内接于☉O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若☉O 的半径为2，则CD 的长为_____例2．（2019·辽宁中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的直径，过点A 的切线与CD 的延长线相交于点P ．且APC BCP ∠=∠ （1）求证：2BAC ACD ∠=∠；（2）过图1中的点D 作DE AC ⊥，垂足为E （如图2），当6BC =，2AE =时，求圆O 的半径．（垂径定理辅助线添加）1. 题目条件遇到弦时（辅助线添加技巧） ①作垂直于弦的半径（或直径）②连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形， ③连接圆周上一点和弦的两个端点 核心知识：① 利用垂径定理② 利用圆心角，圆周角及其所对的弧、弦和弦心距之间的系 ③ 利用弦的一半、弦心距和半径构建直角三角形，根据勾股定理或三角函数求有关量④构建等腰三角形，利用三线合一的性质。

【变式训练】1．（2019·陕西中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF=40°，则∠F 的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°2．（2019·四川中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为圆上的两点，//OC BD ，弦AD ，BC 相交于点E ,（1）求证：»»AC CD= （2）若1CE =，3EB =，求⊙O 的半径；⊥，垂足为点C，将劣弧¶AB 3．（2019·宁夏中考真题）如图，AB是圆O的弦，OC ABAB=，则圆O的半径为_____．沿弦AB折叠交于OC的中点D，若2104.（2018•安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm5.（2018•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．6．（2019·安徽中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB 所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）例1．（2019·江苏中考真题）如图，Oe的半径为5，点P在Oe上，点A在Oe内，且3AP=，过点A作AP的垂线交Oe于点B、C．设PB x=，PC y=，则y与x的函数表达式为_____．【变式训练】已知⊙O中，弦AB垂直弦CD于E．2.题目条件遇两弦垂直（辅助线添加技巧）连接弦一端点和圆心，反向延长直径，并且构造直径所对的圆周角为90度的直角三角形（1）如图1，若AE=DE ，求证：CE=BE ；（2）如图2，若∠AOD=140°，求∠BOC 的度数； （3）如图3，若点M 为AC 的中点，求证：ME ⊥BD（4）如图4，若ON ⊥BD 于N ，求证：ON=AC 21例1．（2019·陕西中考真题）如图，AC 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线。

有关切线的辅助线作法 一 切线的性质(教材P101习题24.2第5题)如图1，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，求证：AP ＝BP . .∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB .在大圆中由垂径定理得AP ＝BP .图2【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为( C )B ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm如图3，已知点O 为Rt △ABC 斜边AC 上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ，与AC 相交于点D ，连接AE .(1)求证：AE 平分∠CAB ；C 的数量关系，并求当AE ＝EC 时∠C 的值．图3变形2答图解：(1)证明：如图，连接OE ，∵BC 是⊙O 的切线，且切点为E ，∴OE ⊥BC ，∴∠OEC ＝90°.又∵△ABC 是直角三角形，∴∠B ＝90°，∴∠OEC ＝∠B ，∴OE ∥AB ，∴∠BAE ＝∠OEA .∵OA ＝OE ，∴∠1＝∠OEA ，∴∠BAE ＝∠1，∴AE 平分∠CAB .(2)∵△ABC 是直角三角形，∴∠BAC ＋∠C ＝90°.∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAC ＝2∠1，∴2∠1＋∠C ＝90°，即∠1＝12(90°－∠C )．当AE ＝EC 时，∠1＝∠C ，则2∠C ＋∠C ＝90°，∴∠C ＝30°.图4 如图4，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过点T 作AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝3，求AD的长．解：(1)证明：连接OT∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线．(2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点又∵CT⊥AC，∴OE∥CT∴四边形OTCE为矩形∵CT＝3，∴OE＝ 3又∵OA＝2∴在Rt△OAE中，AE＝OA2－OE2＝22－（3）2＝1∴AD＝2AE＝2.二切线的判定(教材P101习题24.2第4题)如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．解：CD与⊙O相切．理由如下：连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO ＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半径，CD经过点D，∴CD是⊙O的切线．[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D .(1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若CD 的弦心距为1，BE ＝EO ，求BD 的长．图7变形2答图解：(1)证明：如图，连接OD ，∵∠DOB ＝2∠DCB ，又∵∠A ＝2∠DCB ，∴∠A ＝∠DOB .又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠DOB ＋∠B ＝90°，∴∠BDO ＝90°，∴OD ⊥AB ，∴AB 是⊙O 的切线．(2)解法一：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，∵OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，∠BDO ＝90°，∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∴∠DCB ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝2，∴OD ＝2，BO ＝4，∴BD ＝2 3.解法二：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接DE ，∵OM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵OC ＝OE ，∴DE ＝2OM ＝2.∵Rt △BDO 中，OE ＝BE ，∴DE ＝12BO ， ∴BO ＝4，∴OD ＝OE ＝2，∴BD ＝2 3.图8 如图8，已知⊙O 的半径为1，DE 是⊙O 的直径，过D 作⊙O 的切线，C 是AD 的中点，AE 交⊙O 于B 点，四边形BCOE 是平行四边形．(1)求AD 的长；(2)BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．解：(1)连接BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1. ∴AD ＝2.(2)连接OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD .∴四边形BCDO 是平行四边形．又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .∴四边形BCDO 是矩形．∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．图9 如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E ，过点C 作DA 的平行线与AF 相交于点F ，CD ＝43，BE ＝2.求证：(1)四边形F ADC 是菱形；(2)FC 是⊙O 的切线．解：(1)连接OC ，依题意知：AF ⊥AB ，又CD ⊥AB ，∴AF ∥CD ，又CF ∥AD ，∴四边形F ADC 是平行四边形，由垂径定理得：CE ＝ED ＝12CD ＝23， 设⊙O 的半径为R ，则OC ＝R ，OE ＝OB －BE ＝R －2，在△ECO 中，由勾股定理得：R 2＝(R －2)2＋(23)2，解得：R ＝4，∴AD ＝AE 2＋DE 2＝62＋（23）2＝43，∴AD ＝CD ，因此平行四边形F ADC 是菱形；(2)连接OF ，由(1)得：FC ＝F A ，又OC ＝OA ，FO ＝FO ，∴△FCO ≌△F AO ，∴∠FCO ＝∠F AO ＝90°，因此FC 是⊙O 的切线．第3课时 切线长定理和三角形内切圆 [见B 本P46]1．如图24－2－30，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B .如果∠APB ＝60°，P A ＝8，那么弦AB 的长是( B )图24－2－30A ．4B ．8C ．6D ．10【解析】 ∵P A 、PB 都是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，又∵∠P ＝60°，∴△P AB 是等边三角形，即AB ＝P A ＝8，2．如图24－2－31，P A 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是( D ) 图24－2－31A ．∠1＝∠2B ．P A ＝PBC ．AB ⊥OPD ．P A 2＝PC ·PO3．如图24－2－32，已知△ABC 中，⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，则I 是△DEF 的( A )图24－2－32A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 ⊙I 是△DEF 的外接圆．4．如图24－2－33，已知P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，C 是劣弧AB ︵上一动点，过C 作⊙O 的切线交P A于M ，交PB 于N ，已知∠P ＝56°，则∠MON ＝( C )图24－2－33A ．56°B ．60°C ．62°D ．不可求【解析】 连接OA ，OB ，则∠AOB ＝124°，∴∠MON ＝12∠AOB ＝12×124°＝62°，故选C. 5．△ABC 中∠A ＝80°，若O 为外心，M 为内心，则∠BOC ＝__160__度，∠BMC ＝__130__度．【解析】 根据分析，得∠BOC ＝2∠A ＝160°；∠BMC ＝90°＋12∠A ＝130°. 6．[2013·天津]如图24－2－34，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，若∠P ＝70°，则∠C 的大小为__55°．图24－2－34【解析】 连接OA ，OB ，∵P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，即∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∴∠AOB ＝360°－∠P AO －∠P －∠PBO ＝360°－90°－70°－90°＝110°，∴∠C ＝12∠AOB ＝55°. 7．[2012·菏泽]如图24－2－35，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠P ＝46°，则∠BAC ＝__23°__．图24－2－35【解析】 ∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，又∠P ＝46°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝180°－46°2＝67°. 又P A 是⊙O 的切线，AO 为⊙O 的半径，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP ＝90°，∴∠BAC ＝∠OAP －∠P AB ＝90°－67°＝23°.8．如图24－2－36，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，连接PO 与⊙O 相交于C ，连接AC ，BC ，求证：AC ＝BC .图24－2－36证明：∵P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，∴P A ＝PB ，∠APC ＝∠BPC .又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC .∴AC ＝BC .9．如图24－2－37，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∠BCA ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.(1)求△ABC 的面积；(2)求⊙O 的半径；(3)求AF 的长．图24－2－37解：(1)∵∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴△ABC 的面积为：12×3×4＝6；(2)连接OE ，OD ，∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∴EB ＝FB ，CD ＝CE ，AD ＝AF ，OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，又∵∠C ＝90°，OD ＝OE ，∴四边形ECDO 为正方形，∴设OE ＝OD ＝CE ＝CD ＝x ，∴BE ＝3－x ，DA ＝4－x ；∴FB ＝3－x ，AF ＝4－x ，∴3－x ＋4－x ＝5，解得x ＝1.(3)∵CD ＝1，∴AF ＝AD ＝4－1＝3.10．如图24－2－38所示，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝60°，连接AB ，过A ，B 两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P .若已知⊙O 的半径为1，则△P AB 的周长为__33__．图24－2－38【解析】 ∵AP ，BP 是⊙O 的切线，∴∠P AC ＝90°，P A ＝PB .∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠C ＝90°－60°＝30°，∴∠P AB ＝90°－30°＝60°，∴△P AB 是等边三角形．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AC ＝12×2＝1， ∴AB ＝AC 2－BC 2＝22－12＝3，∴△P AB 的周长为3 3.11．如图24－2－39，已知AB 为⊙O 的直径，P A ，PC 是⊙O 的切线，A ，C 为切点，∠BAC ＝30°.(1)求∠P 的大小；(2)若AB ＝2，求P A 的长(结果保留根号)．图24－2－39第11题答图解：(1)∵P A 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴P A ⊥AB ，∴∠BAP ＝90°.∵∠BAC ＝30°，∴∠CAP ＝90°－∠BAC ＝60°.又∵P A ，PC 切⊙O 于点A ，C ，∴P A ＝PC ，∴△P AC 为等边三角形，∴∠P ＝60°.(2)如图，连接BC ，则∠ACB ＝90°.在Rt △ACB 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ＝12×2＝1， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝22－12＝3，∴P A ＝AC ＝ 3. O 相切，AB ＝8 cm.求圆O 的直径．解：作出示意图如答图，连接OE ，OA ，OB ，∵AC ，AB 都是⊙O 的切线，切点分别是E ，B ，∴∠OBA ＝90°，∠OAE ＝∠OAB ＝12∠BAC . ∵∠CAD ＝60°，∴∠BAC ＝120°，∴∠OAB ＝12×120°＝60°， ∴∠BOA ＝30°，∴OA ＝2AB ＝16 cm.由勾股定理得OB ＝OA 2－AB 2＝162－82＝83(cm)，即⊙O 的半径是83cm ，∴⊙O 的直径是163cm.13．如图24－2－41，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，连接PO ，AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；的面积．图24－2－41解：(1)∵P A ，PB 分别为⊙O 的切线，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB .∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.∵∠C ＝60°，∴∠AOB ＝2∠C ＝120°.在四边形APBO 中，∠APB ＝360°－∠OAP －∠OBP －∠AOB ＝360°－90°－90°－120°＝60°.(2)∵P A ，PB 分别为⊙O 的切线，∴P A ＝PB .∵OA ＝OB ，PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO ，∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°， ∴PO ⊥AB ，∴∠DAO ＝∠APO ＝30°，∴OA ＝12×OP ＝12×20＝10 (cm)． 在Rt △AOD 中，∠DAO ＝30°，OA ＝10 cm ，∴AD ＝32×OA ＝32×10＝53(cm)， OD ＝12×OA ＝12×10＝5 (cm)， ∴AB ＝2AD ＝103cm ，∴S △AOB ＝12·AB ·OD ＝12×103×5 ＝25 3 (cm 2)．14．如图24－2－42，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DC 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，(1)求证：OD ∥BE ；CD 的长．⊥AM ，OE ⊥CD .又OA ＝OE ，OD ＝OD ，∴△OAD ≌△OED (HL)，∴∠AOD ＝∠DOE .∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB .∵∠AOE ＝∠OBE ＋∠OEB ＝2∠OBE ＝2∠AOD ，∴∠AOD ＝∠OBE ，∴OD ∥BE .(2)由(1)得∠AOD＝∠DOE.∵CD，BC是⊙O的切线，∴OE⊥CD，OB⊥BC.∵OB＝OE，OC＝OC，∴△OEC≌△OBC，∴∠EOC＝∠BOC，∴∠DOC＝∠DOE＋∠EOC＝∠AOD＋∠BOC＝90°，∴CD＝OD2＋OC2＝62＋82＝10(cm)．。